数学归纳法(资料)
学归纳法证明与递归定义法的合法性依据(如何避免一个表面上的“恶性循环”,即用归纳法定义自然数，然后由此出发来证明自然数上数学归纳法的可行性?)
算术理论的形式展开. (一个少年时代的疑问之终结：如何严格证明加法与乘法的结合律，交换律与分配律? “定律”(Postulates)转化为“定理”(Theorems))^ *
Digression, 归纳与递归的数值与非数值形式，不动点计算over sets.
归纳与递归
目录
中文摘要 (1)
ABSTRACT (1)
引言 (2)
1. 数学归纳法的历史由来 (1)
1．1 基本步骤 (3)
1．2 基本形式 (3)
⒉．数学归纳法解决应用问题 (4)
2．1 代数恒等式方面的问题 (4)
2．2 几何方面的应用 (4)
2．3 排列和组合 (5)
2．4 对于不等式的证明，有时适当放大或缩小，有时用综合法和分析法 . 6
3. 常见误区及剖析 (7)
3．1 忽略了归纳的基础 (7)
3．2 归纳推理出错 (7)
4. 应用技巧 (9)
4．1 配凑“归纳假设”法 (9)
4．2 分析法 (10)
5. 数学归纳法的推广 (11)
6. 小结 (12)
２
３
参考文献 (13)
1、数学归纳法的理论依据
2、数学归纳法的表现形式
2.1.第一数学归纳法
2.2.第二数学归纳法
2.3.反向归纳法
3、数学归纳法的应用
3.1.数学归纳法在初等代数中的应用
3.2.数学归纳法在高等数学中的应用
3.3.数学归纳法在离散数学中的应用
3.4.数学归纳法在中学竞赛中的应用
4、对数学归纳法的认识
5.数学归纳法在应用中要注意的问题
5.1在应用第一数学归纳法时，只有第2步而无第1步的证明可能导致错误.
5.2在应用第一数学归纳法时，只第1步骤而无第2步骤的归纳证明可能导致错误的结论.
5.3并不是凡与自然数相关的命题()T n 都要用数学归纳法来证明，而且也不是所有这类命题都能用数学归纳法给以证明的.
摘要 (1)
1.数学归纳法的定义概述 (2)
1.1常用数学证明方法 (2)
1.2数学归纳法的定义 (3)
2.数学归纳法的步骤 (4)
４
3.易错分析 (5)
3.1弄不清n k =到1n k =+时的式子变化 (5)
3.2运用数学归纳法时忽略了n k =时的假设条件 (5)
4.运用数学归纳法的典型例题 (5)
5.中学数学中关于数学归纳法的用途............................................................6 参考文献 (6)
中文摘要
英文摘要
1 引言 (1)
2 数学归纳法原理 (1)
2.1 良序原理 (1)
2.2 数学归纳法 (2)
2.3 第二数学归纳法 (3)
2.4 数学归纳法的有效性 (4)
3 数学归纳法应用举例 (4)
3.1 数学归纳法在解题和证明中的一些应用 (4)
3.2 数学归纳法在递归定义上的应用 (10)
3.3 数学归纳法在递归算法上的应用 (13)
参考文献 (17)
一 归纳法的特点
５ 二 求同法
三 求异法
四 求同求异并用法
五 共变法
六 剩余法
七 在高等数学中的归纳法运用举例
八 总结
递归法
设一个未知函数f ，用其自身构成的已知函数g 来定义：
f(n)=g(n ，f(n-1)) n>0
f(0)=a n=0
为了定义f(n)，必须先定义f(n-1)，为了定义f(n-1)，又必须先定义f(n-2)…，上述这种用自身的简单情况来定义自己的方式称为递归定义。
一个递归定义必须是有确切含义的，也就是说，必须一步比一步简单，最后是有终结的，决不能无限循环下去。在f(n)的定义中，当n 为0时定义一个已知数a ，是最简单的情况，称为递归边界，它本身不再使用递归的定义。与递推一样，每一个递归定义都有其边界条件。但不同的是，递推是由边界条件出发，通过递推式求f(n)的值，从边界到求解的全过程十分清楚； 而递归则是从函数自身出发来达到边界条件。在通往边界条件的递归调用过程中，系统用堆栈把每次调用的中间结果(局部变量和返回地址值)保存在栈区，直至求出递归边界值f(0)=a 。然后返回调用函数。返回过程中，中间结果相继出栈恢复，f(1)=g(1，a) → f(2)=g(2，f(1)) →…→ f(n)=g(n ，f(n-1))为止。
描述递归定义的函数或求解递归问题的过程称为递归算法。一个递归算法，本质上是将较复杂的处理归结为简单处理，直到最简单的处理。从实际问题中抽象递归定义和边界条件的过程是一种归纳，通过这种归纳方式能使一个蕴含递归关系且结构复杂的程序简洁精炼，增加可读性。特别是在难于找到从边界到解的全过程的情况下，如果把问题推进一步，其结果仍维持原问题的关系，则采用递归算法编程比较合适。但递归算法也有致命的缺点，其执行的效率比较低，尤其在边界条边设置不当的情况，极有可能陷入死循环或者内存溢出的窘境。递归按其调用方式分
1. ⑴直接递归──过程P 直接自己调用自己；
⑵间接递归──即过程Ｐ调用一过程Ｄ，而过程Ｄ又调用过程P ，即两个过程都通过另一
６
过程调用它们自己，故称为间接递归；
由于人们通常使用直接递归方式编程，很少有人问津间接递归，因此这里主要介绍直接递
归方式。递归算法适用的一般场合为：
1、数据的定义形式按递归定义。如裴波那数列的定义f n =f n-1 +f n-2 ，f 0 =1，f 1 =2。对应的
递归程序为：
function fib(n:integer)：integer ；
begin
if n=0 then fib ←1 {递归边
界}
else if n=1 then fib ←2
else fib ←fib(n-2)+fib(n-1)； {递
归}
end ；{fib}
这类递归问题可转化为递推算法，递归边界作为递推的边界条件。例如上例
f[0]←1；f[1]←2； {递推边
界}
for i ←2 to n do f[i]←f[i-1]+f[i-2]；
fib←f(n)；
2、数据之间的关系(即数据结构)按递归定义。如树的遍历，图的搜索等。
3、有些问题本身没有明显的递归结构，但使用递归求解比其它方法更简单。例如递归的
分治策略
对于2、3，可利用堆栈结构将其转换为非递归算法，但结构不如递归算法简洁清晰，可读
性较差。限于篇幅，这里不作介绍。编写递归程序时应注意解决如下几个问题：
2. ⑴问题的递归定义，即如何用自身的简单情况定义自己；
3. ⑵递归边界，即递归至哪个边界值后开始回溯；
4. ⑶参与递归运算的变量有哪些，其中哪些作为值参，哪些作为局部变量。如果有全局变量
参与递归运算的话（初始值由主程序传入，受内存限制不便作为值参），回溯过程中必须恢
复其递归前状态；
【例题11.3.4】计算交点数
在平面上有n 条直线，且无三线共点。问这些直线能有多少种不同的交点数。
输入：
n
输出：
以下若干行列出所有相交方案。其中一行为一个交点数。
分析：我们将n 条直线排成一个序列。直线2与直线1最多有一个交点；直线3与直线1和直
线2最多有2个交点，……，直线n 与其它n-1条直线有n-1个交点。由此得出n 条直线互不
７ 平行且无三线交于一点的最多交点数为1+2+…+（n-1）=2
)1(*-n n 。设 ???=;1
;0][存在交点数不存在交点数i i i g （0≤i
≤
2)1(*-n n ）
我们来具体分析n=4的情况
⑴ 四条直线全部平行，无交点，g[0]=1
⑵ 其中三条直线平行，交点数为(n-1)*1+0=3，g[3]=1
⑶ 其中二条直线平行。这两条直线与另外两条直线之间的交点数为(n-2)*2=4。而另外两条
直线本身既可能平行亦可能相交，因此交点数据分别为
(n-2)*2+0=4 g[4]=1
(n-2)*2+1=5 g[5]=1
⑷ 四条直线互不平行。交点数为(n-1)*1+3条直线的相交情况
(n-1)*1+0=3 g[3]=1
(n-1)*1+2=5 g[5]=1
(n-1)*1+3=6 g[6]=1
即n=4时，有0个、3个、4个、5个、6个不同的交点数。由此得出
m 条直线的交点方案=(m-r)条平行线与r 条直线交叉的交点数+r 条直线本身的交点方案 =(m-r)*r+r 条直线本身的交点数
（1≤r ≤m ）
显然，计算不同交点数的问题是递归的，可以描述成如下递归算法：
procedure try (m ，j) {值参m 为直线数， j 为交
点数}
begin
if m>0 {若直线存在，则递归计算所有的交叉情
况}
then for r ←m downto 1do try(m-r ，j+r*(m-r))
else g[j]←1； {否则确定m 条直线存在j 个交
点}
end ；{try}
有了递归过程try(m ，j)后，我们便可以通过下述方式计算和输出n 条直线的交点方案；
2
)1(-←n n k ； {计算n 条直线的最多交点
８
数}
fillchar(g ，sizeof (g)，0)；
try(n ，0)；
方案数total 初始化为0；
for i ←0 to k do
if g[i]=1 then begin total ←total+1；输出第total 个方案为交点数i ；end ；{then}
“数”之概念的起源，its Meaning & Representations, 数系的形成：
One, t wo, three; … and then extend up to arbitrary large but bounded numbers (including zero)
考古学与人类学的证据；语言学与文化史的背景；认知心理学的实验与分析。
９
e.g. 为什么汉语（或亚洲）语言文化圈内儿童学习与掌握的数字及其运算的能力，在整体上，优于欧美语言文化圈内的儿童？
从notches on the bones, finger counting ，body counting ，到tally marks ，进而数的几何表示；
“数”的“语义”与“语法”：numbers vs . numerals （& digits ），from logic point of view;
Numeral Systems vs. Codings : from information – theoretic point of view.
方法论译注：
i. 1-1 对应方法的原始呈现及其在Abstraction & Generalization 过程中的意义；
ii. Coding/Decoding 是现代计算理论中的三大支柱(A. Rosenberg 语)之一
Ⅱ A Constructive Way (from scratch) to Natural Numbers and their Operations, w.r.t
the Axiomatic Approach to Peano Arithmetic: von Neumann vs. G.Peano
嵌入在自然数构造中的归纳与递归(Induction & Recursion), 数学归纳法证明与递归定义法的合法性依据(如何避免一个表面上的“恶性循
１０ 环”,即用归纳法定义自然数，然后由此出发来证明自然数上数学归纳法的可行性?)
算术理论的形式展开 . (一个少年时代的疑问之终结：如何严格证明加法与乘法的结合律，交换律与分配律? “定律”(Postulates)转化为“定理”(Theorems))^ *
Digression, 归纳与递归的数值与非数值形式， 不动点计算 over sets.
*只介绍 basic ideas, 具体细节作为homeworks 由学生自己完成。 方法论评述： 构造性approach vs 公理化方法. 二者融合的典型是现代集合论。 在下面的多种数系的进化中也将反复出现，但更侧重于构造性方法。(本单元需要2讲)
Ⅲ 数系的进化Ⅰ
A constructive approach To ， with historical notes.
相应“数论”的形式展开。^*
准备工作（Proviso ）:等价关系与同余关系，映射与同态，商集与商结构。
方法论评注：同余与商结构方法的运用有二个相反的模式：Reduction vs.Extension.
在下文 数系的进化过程中，这一思想方法（extension 模式。而在CS
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中，更多的是reduction 形式）将被反复应用， 由简单到复杂，直至最后 SuperReals 的非平凡的构造。
Ⅳ 有限vs. 无限，可数无限 vs. 不可数无限，无穷大（基）数
历史回顾：涉及无穷大的悖论，3rd(or 4th )数学危机与Hilbert Program;
有限与无限的特征：鸽笼原理与Dedekind 原理, etc.
不可数无限集的存在性：Cantor 定理与对角线论证法（Cor:没有最大的无穷大）
从无限集到无穷大数，无穷基数的算术初步。
Digression ：无穷数学与选择公理（AC ）
方法论评注：
i. 从集合之“相等”到“对等”,“1-1对应”revisited. 从“潜无限”到“实无限”漫长进化中，Cantor 最终解决“无限”之疑惑，使无限集与无穷数 成为数学对象，1-1对应概念之引入及适当运用，是关键之举。
ii. Russell Paradoxes 与对角线论证法的非对角线形式的活用，在Math & CS 中有不少深刻的应用（往往结合Coding 的技术）：从一阶逻辑SAT 问题不可解，图灵机停机问题的不可判定性到G ?del 的不完备性定理，etc.（非此法则无法证明!）
iii. The Difference in methodology between finite counting vs. infinite
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counting.
iv. Proofs, Algorithms, even Consciousness are all Finite. Hilbert Finitary Principle.
(本单元需二讲及一次课堂讨论for some technical even challenging problems.)
Ⅴ What is a Cardinal Number(基数)? 基数概念之引入：Cantor vs von Neumann
Cantor 之native 定义中有bugs! A constructive definition via Ordinal numbers （序数）---自然数的构造式定义的一种自然延拓.(von Neumann Assignment)
序数vs.基数：二概念在无限场合的分离现象。(在自然数之场合finite counting ，二概念重合)
无穷序数（或无穷良序集）上的超限归纳法。（ 上数学归纳法的一种拓广。）
无穷基数的可比较性(Dichotomy)与Bernstein-Schr ?der 定理
Digressions : (i)集合世界的分层式构造（Hierarchical Construction ）。The position of Ordinals
& Cardinals in this Hierarchy;
(ii)Cantor 的连续性假设(CH) 与数学中的独立性结果; 对照G ?del ’s
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Incompleteness; The limits of mathematical reasoning 。 (Chaitin ’s, etc.)
方法论评注：
1) Bernstein-Schr ?der 定理这一深刻的结果有众多不同的证明，这里介绍二种对偶的证明方法值得说明解释一下。 利用最大不动点计算的Top-down 式approach 其简洁与优美，令人意外；而利用最小不动点之Bottom-up 构造，虽然有点technical ，但在其逼近式地构造所须之1-1对应时出现一种back and forth 操作。由Cantor 首创的bock & forth argument 有着直观的two-player game 的语义解释(在CS 中称为Pebble Games)。我们将举一些更简单纯粹的例子，来进一步介绍这一强有力的工具。
2)（数学）归纳与递归方法适用范围的最远边界在何处？
Well- founded relational structures 。 由于其在算法设计与验证etc.中的应用，已开始被引入离散数学的教材中去了.这也是一个非常典型的例子，说明科学中一种常见的现象:一个概念or 方法，越是被提炼得抽象与简洁(去掉了非实质性的不必要的约束与限制后)，则其适用范围越广且运用起来更简单灵活。We shall introduce some technical problems from the theory of real numbers to exemplify this idea in an abstract set setting.
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进入本课程下一模块之前，学生最好有一点数学分析的基础知识和经验。特别是关于极限的概念与操作及实数理论的初步（大一
数分第一学期的内容已足够了）。否则，宜事先预习R.Courant 的《What is Math 》（有中译本）中的相关内容，即可。
Ⅵ 数系的进化Ⅱ： --> （实数的Cantor Construction ）
历史的回顾：从方程之求解谈起：有理数vs.无理数，代数数vs.超越数，最后到实数（可略讲），What is a real number ？Axiomatic Description of ;
Infinitesimal & the Birth of Calculus, Paradise Lost:
无穷小数概念与实数理论的冲突；在分析严格化（又称算术化）的过程中，无穷小这一直观且有用的概念与工具被摒弃。
Review ： 极限的 定义，实数的若干基本性质
e.g. 实数序列收敛的Cauchy 特征；紧致性及其若干等价变形；
Digression: Terrence Tao(陶哲轩)关于“分析”的一种新的分类：Soft(Analysis) vs. Hard(Analysis). 此分类 背后的标尺是一种有限性原理：有限覆盖定理的逻辑变形Compactness. 它可以视为归纳思想的一种non-trivial 活用or 更高的境界:从有限局部提升到无限整体（无须良序或良基的构造,but another logical restriction: FO-Definability ）。这也是下面将介绍的非标准方法的核心与出发点。
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Ⅶ Paradise Returned. Robinson 之非标准分析（NSA ）的引入
在实数理论的非标准模型中,无穷小数（无穷大数）概念将获得“平反”，具有了合法的身份。
非标准模型的物理类比：高维的有超微卷曲子空间的平行宇宙... 准备工作:
-Some notions & ideas from Model Theory(简介而已)
形式理论及其模型； Tarski 关于形式算术理论之非标准模型 (含无穷大的非标准自然数)的存在性；
上的filter ，ultrafilter ，principle & non-principle ultrafilters.
What features would we need for the 非标准实数（又称超实数的hyperreals ）?
A wishing list for the intended ideal reals(包括无穷小数与无穷大数)
Ⅷ 数系的进化 Ⅲ ： --> (超实数的构造及其上之运算体系)（三讲） 的 Ultrapower construction from .
与 ( )的若干basic notions 与运算性质.
两个平行的世界 与 之间的时空隧道——Transfer Principle. 标准数论与分析中性质的非标准证明：若干有趣的实例。
方法论注记
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（1） 本模块的目点，不在于另介绍一种与经典分析不同的New Approach （故并没有完整地展开NSA 的理论），而是向学生展示一种新的非标准or Unconventional 的思想方法。（也是一种先退后进的“绕道”的思想。反向归纳or Top-down ？）这往往会得到一些意想不到的新结果。（例，NSA 首先解答了泛函分析中的不变子空间问题）正是在此意义上，G ?del 将Robinson 的NSA 称为二十世纪最伟大的数学成果之
一。概言之，Math ，CS 或其它科学技术中的革命性突破，也往往发端于一些奇思妙想：新颖的视角，原创的思想或异想天开的设计，等等。
（2） Ultrapower 的拓广— Ultraproduct 的概念与方法最早源自（调和）分析，但在模型论中得到极度的发展。由于因子空间/结构 ,指标集I 及 上的ultrafilter U 有机动灵活的选择性，使超积 成为一个强有力的工具。但在标准的数学课程中，很难遇到它。另二个经典的例子：布尔代数的Stone 表示定理； Wallman ’s construction in Topology; 在Logic in CS(LICS)的某些领域，也有关键性的应用。
（3） 的超幂构造 可以视为 之 Cantor Construction 的一种non-trivial but smooth extension or generalization(利用non-principle U 可在无穷维空间 中引入一个广义的同余关系，进而可诱导出一个广义的商结构)。从上述的wishing list 出发，分析积空间 之不足，Goldblatt 提出了一个相当自然的引入of (from 之Cantor Construction)，使得随后推导 与 的相应性质时变得简单与自然（特别是将 中的极限运算
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转化为 中的代数操作），尤其是对初学者。尽管如此，对保送班的新生来说，这一Approach 仍是一个有趣的挑战。
数学归纳法的拓广
摘要： 本文指明数学归纳法的实质在于递推，将其从正整数集逐步推广至整数集、实数集、有理数集、复数集等集合，从普通加法运算推广至一般抽象运算，给出了一般集合上的数学归纳法，为数学命题的证明开辟了一条新的道路，同时举例说明了其应用。
关键词 ：数学归纳法、递推、整数集、实数集、抽象运算。
数学归纳法通常是证明与正整数集有关命题的一种重要的论证方法，许多数学命题利用其它数学方法很难证明或者根本无法证明，但利用数学归纳法很容易解决。数学归纳法的理论根据是正整数集的序数理论，为了证明命题的需要而演变成了多种形式，同时将数学归纳法从正整数集推广至所有良序集。
定义：设S 是一个集合，≤是S 中一个二元关系，满足 ① 对任何x ∈S 有x ≤x; ② 对任何 x 、y ∈S 有x ≤y 且y ≤x 可得 x ＝y; ③对任
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何 x 、y 、z ∈S 有x ≤y 且y ≤z 可得x ≤z ，④ 对任何x 、y ∈S 均有x ≤y 或y ≤x; ⑤若S 的任何非空子集有最小元。则称S 是良序集。 超限归纳法原理：设（S ，≤ ）是一个良序集，P （x ）是与元素x ∈S 有关的一个命题，①如果对于S 中的最小元 a 0，P （a 0）成立；②
假定对于任何x ＜a,Ｐ（ｘ）成立，可证明Ｐ(a)也成立。则 P(x)对任何 x ∈S 都成立。
根据上面的理论，集合Ｍ＝｛n 0,n 0+1,n 0+2,······｝，n 0∈ Z, 对
于普通数的大小是良序的，因此类似于正整数集也可以列出数学归纳法的各种形式．整数集与实数集对于普通数的大小不是良序的，但可对其重新规定序使其成为良序集，不过有时给证明命题带来很大困难．倘若我们从另一个角度审视数学归纳法会发现数学归纳法的理论根据是正整数集的序数理论，其实质在于递推．
（－）整数集上的数学归纳法原理
定义：任何一个非空集合Ｚ的元素叫做整数，如果在这个集合里的所有元素之间有两种基本关系―＂前继＂与＂后继＂满足下面的公理：① 对任何一个数a ，存在着且仅存在者一个后继数a'与前继数'a ；②任何数只能是一个数的后继数与另一个数的前继数；③ 存在a ∈Ｎ，且a ∈Ｚ；④（归纳公理）设Z 有一个子集M ，满足条件
Ⅰ Z 0∈M,且Z 0∈Z ；
Ⅱ 若a ∈M ，有,a ∈M ，a , ∈M.则M=Z.
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1、 第一数学归纳法原理：设有一个关于整数集Z 的命题p(Z),①若存在Z 0∈Z ，p （Z 0）成立；②若p(k)成立，则p(k+1)与p(k-1)均
成立。那么对于任意整数Z ，p(Z)都成立.
证明：设M 是使命题p （Z ）成立的整数集合，于是：①因为存在Z 0∈Z ，p （Z 0）成立，故得Z 0∈M ：②因为假定p(k)成立的条件下，能推
出p(k+1)与p(k-1)成立，即由k ∈M 能推出,k ∈M,k ,∈M.因此集合M 具有整数定义中归纳公理的条件①②,由归纳公理得M=Z 。 故p(Z)对于任意整数Z 都成立.
2、 第二数学归纳法原理：设有一个关于整数Z 命题p(Z)。①若存在Z 0∈Z ，p(Z 0)成立；②设Z 0≤x ＜k 1,若p(x)成立，则p(k 1)成立；
③设k 2＜x ≤Z 0 ,若p(x)成立，则p(k 2)成立。那么p(Z)对于任意整数Z
均成立。注：k 1与k 2为整数。
证明：假设p （Z ）不是对于所有整数均成立，根据整数集的序数理论，可以找到一个整数Z 1，不妨设Z 1≥k 1(当Z 1≤k 1时，证明类似)，
使p(Z 1)不成立，而p(Z 1-1)成立。根据归纳假设--由p(x)，k 1≤x ＜Z 1-1成立，得p(Z 1)成立.这与前面的假设相矛盾。故p(Z)对于任意整数均
成立。
数学归纳法可以应用于整数集的实质在于整数集中相邻两数的差为定值1，那么它也可以应用于其它公差为定值或公差为统一公式的数集，例如集合M=｛n 0,n 0-1,n 0-2,…｝，n 0∈Z 。奇数集或偶数集也可以建
２０ 立其序数理论，方法及证明类似于整数集，只不过将k ±1变为k ±2即可。
综上所述，数学归纳法可以应用于整数集及其某些子集，而数论主要是研究整数性质的，所以数学归纳法的拓广可能有助于数论的研究，例如可以把某些关于正整数的命题推广至整数集等。下面举例说明数学归纳法在整数集中的应用。
例1 求证：对于任意整数x ，f(x)= 0.2x 5+1/3x 3+ 7/15x 是一个整数。
证明：①当x=0时，f(x)=0命题成立。②假定当x=k 时命题成立，即f(k)=0.2k 5+1/3 k 3+7/15k 为整数,
则当x=k ±1时f(k ±1)=0.2 (k ±1)5+1/3 (k ±1)3+7/15(k ±
1)=(k 5/5+k 3/3+7k/15)±k 4+2k 3+3k 2+4k ±1∈Z 。
这说明当x=k ±1时命题成立。由①②可知，对于任意整数x ，原命题均成立。
下面笔者举出几例，作为引玉之砖。
① 当n 为任何非负偶数时，x n -1都可以被x+1整除；当n 为任何非负偶数时，x n +1都可以被x+1整除；
② n 3+5n 能被6整除（n ∈Z ）。
③ 若x ∈Z,x 3+2x+3y=0,则y ∈Z.
④ 已知：x+x -1=2cos θ。求证：x n +x -n =2cosn θ,n ∈Z.
㈡实数集上的数学归纳法
在运用数学归纳法证明有关整数集上的命题时，初始值取一个数，若将初始值变为一个区间，则可证明实数集上的某些命题。下面列出实
高一数学归纳法分析及解题步骤 当我第一遍读一本好书的时候，我仿佛觉得找到了一个朋友;当我再一次读这本书的时候，仿佛又和老朋友重逢。我们要把读书当作一种乐趣，并自觉把读书和学习结合起来，做到博览、精思、熟读，更好地指导自己的学习，让自己不断成长。让我们一起到一起学习吧! 高一数学归纳法 《2.3数学归纳法》教学设计 青海湟川中学刘岩 一、【教材分析】 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2(人教A 版)》第二章第三节《2.3数学归纳法》。在之前的学习中，我们已经用不完全归纳法得出了许多结论，例如某些数列的通项公式，但它们的正确性还有待证明。因此，数学归纳法的学习是在合情推理的基础上，对归纳出来的与正整数有关的命题进行科学的证明，它将一个无穷的归纳过程转化为有限步骤的演绎过程。通过把猜想和证明结合起来，让学生认识数学的本质，把握数学的思维。本节课是数学归纳法的第一课时，主要让学生了解数学归纳法的原理，并能够用数学归纳法解决一些简单的与正整数有关的问题。 二、【学情分析】 我校的学生基础较好，思维活跃。学生在学习本节课新知的过程中可能存在两方面的困难：一是从骨牌游戏原理启发得到数学方法的
过程有困难;二是解题中如何正确使用数学归纳法，尤其是第二步中如何使用递推关系，可能出现问题。 三、【策略分析】 本节课中教师引导学生形成积极主动，勇于探究的学习精神，以及合作探究的学习方式;注重提高学生的数学思维能力;体验从实际生活理论实际应用的过程;采用教师引导学生探索相结合的教学方法，在教与学的和谐统一中，体现数学的价值，注重信息技术与数学课程的合理整合。 四、【教学目标】 (1)知识与技能目标： ①理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤; ②会用数学归纳法证明某些简单的与正整数有关的命题。 (2)过程与方法目标： 努力创设愉悦的课堂气氛，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围中，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会归纳递推的数学思想。 (3)情感态度与价值观目标： 通过本节课的教学，使学生领悟数学归纳法的思想，由生活实例，激发学生学习的热情，提高学生学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证，以及发现问题、提出问题，解决问题的数学能力。 五、【教学重难点】
1.5 归纳法原理与反归纳法 数学归纳法是中学教学中经常使用的方法．中学教材中的数学归纳法是这样叙述的：如果一个命题与自然数有关，命题对n =1正确；若假设此命题对n －1正确，就能推出命题对n 也正确，则命题对所有自然数都正确．通俗的说法：命题对n =1正确，因而命题对n =2也正确，然后命题对n =3也正确，如此类推，命题对所有自然数都正确．对于中学生来说，这样形象地说明就足够了；但是毕竟自然数是无限的，因而上述描述是不够严格的，有了皮阿罗公理后，我们就能给出归纳法的严格证明． 定理1.19 如果某个命题Ｔ，它的叙述含有自然数，如果命题Ｔ对n =1是正确的，而且假定如果命题Ｔ对n 的正确性就能推出命题Ｔ对n +1也正确，则命题Ｔ对一切自然数都成立．（第一数学归纳法） 证明 设Ｍ是使所讨论的例题Ｔ正确的自然数集合，则 (1) M ∈1． 设M n ∈，则命题Ｔ对n 正确，这时命题对n n '=+1也正确，即 (2) M n ∈' 所以由归纳公理Ｄ，Ｍ含有所有自然数，即命题Ｔ对所有自然数都成立． 下面我们给出一个应用数学归纳法的命题． 例１ 求证 6 ) 12)(1(212 2 2 ++= +++n n n n 证明 (1)当n =1时，有 16 ) 112()11(112 =+?++?= 所以n =1，公式正确． (2)假设当k =n 时，公式正确，即 6 ) 12)(1(212 2 2 ++= +++n n n n 那么当k =n ＋１时，有 =+++++=+++++2 2222222)1()21()1(21n n n n =++++2 ) 1(6 ) 12)(1(n n n n =++++6 ) 1(6)12)(1(2 n n n n =++++6 )] 1(6)12()[1(n n n n =+++6 ) 672)(1(2 n n n =+++6) 32)(2)(1(n n n =+++++6 ) 1)1(2)(1)1)((1(n n n 所以公式对n +1也正确．
归纳法基本步骤 （一）第一数学归纳法： 一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n)，有如下步骤： （1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况； （2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n)都成立。 （二）第二数学归纳法： 对于某个与自然数有关的命题P(n)， （1）验证n=n0时P(n)成立； （2）假设n0≤n
例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n ． 请读者分析下面的证法： 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k ． 那么当n =k +1时，有： ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k ????????? ??+-++??? ??+--++??? ??-+??? ??-+??? ? ?-=3211211211217151513131121k k k k 322221321121++?=??? ??+-= k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立． 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求． 正确方法是：当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k ()() 3212112++++=k k k k
()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式： a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2) 都成立，并证明你的结论． 分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性． 解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组． ?????=++=+=603224 26321 211a a a a a a ， 解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3． 故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立． 下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立． 因为起始值已证，可证第二步骤． 假设n =k 时，等式成立，即 a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2) 那么当n =k +1时， a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1 = k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3] =(k +1)(k 2+2k +3k +6) =(k +1)(k +2)(k +3) =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2] 这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…
§数学归纳法 1．数学归纳法的概念及基本步骤 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是： (1)验证：n＝n0 时，命题成立； (2)在假设当n＝k(k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时，命题成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立． 2．归纳推理与数学归纳法的关系 数学上，在归纳出结论后，还需给出严格证明．在学习和使用数学归纳法时， 需要特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题； (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 1．用数学归纳法证明命题的第一步时，是验证使命题成立的最小正整数n，注意n不一定是1. 2．当证明从k到k＋1时，所证明的式子不一定只增加一项；其次，在证明命题对n＝k＋1成立时，必须运用命题对n＝k成立的归纳假设．步骤二中，在 由k到k＋1的递推过程中，突出两个“凑”：一“凑”假设，二“凑”结论．关键是明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时命题 形式之间的区别与联系，若实在凑不出结论，特别是不等式的证明，还可以应用比较法、分析法、综合法、放缩法等来证明当n＝k＋1时命题也成立，这也是证题的常用方法． 3．用数学归纳法证命题的两个步骤相辅相成，缺一不可．尽管部分与正整数 有关的命题用其他方法也可以解决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须 依题目的要求严格按照数学归纳法的步骤进行，否则不正确． 4．要注意“观察——归纳——猜想——证明”的思维模式，和由特殊到一般的数学思想的应用，加强合情推理与演绎推理相结合的数学应用能力．
5．数学归纳法与归纳推理不同．(1)归纳推理是根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性．结果不一定正确，需要进行严格的证明．(2)数学归纳法是一种证明数学命题的方法，结果一定正确． 6．在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n 有关的命题，要求这个命题对所有的正整数n 都成立； (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可．特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性．如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题． 证明：12＋122＋123＋…＋12 n －1＋12n ＝1－1 2n (其中n ∈N ＋)． [证明] (1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝1 2，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1)时，等式成立，即 12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＝1－12k ， 那么当n ＝k ＋1时， 左边＝12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＋1 2k ＋1 ＝1－12k ＋12k ＋1＝1－2－12k ＋1＝1－1 2k ＋1＝右边． 这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立． 根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N ＋都成立． 用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－ 1 2n
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 1.5 归纳法原理与反归纳法 1.5 归纳法原理与反归纳法数学归纳法是中学教学中经常使用的方法．中学教材中的数学归纳法是这样叙述的： 如果一个命题与自然数有关，命题对 n=1 正确；若假设此命题对 n－1 正确，就能推出命题对n 也正确，则命题对所有自然数都正确．通俗的说法： 命题对 n=1 正确，因而命题对 n=2 也正确，然后命题对 n=3 也正确，如此类推，命题对所有自然数都正确．对于中学生来说，这样形象地说明就足够了；但是毕竟自然数是无限的，因而上述描述是不够严格的，有了皮阿罗公理后，我们就能给出归纳法的严格证明．定理 1.19 如果某个命题Ｔ，它的叙述含有自然数，如果命题Ｔ对 n=1 是正确的，而且假定如果命题Ｔ对 n 的正确性就能推出命题Ｔ对 n+1 也正确，则命题Ｔ对一切自然数都成立．（第一数学归纳法）证明设Ｍ是使所讨论的例题Ｔ正确的自然数集合，则 M1．设Mn ，则命题Ｔ对 n 正确，这时命题对(2) Mn 所以由归纳公理Ｄ，Ｍ含有所有自然数，即命题Ｔ对所有自然数都成立．下面我们给出一个应用数学归纳法的命题．例１求证(1) nn=+1也正确，即6) 证明 (1)当 n=1 时，有 16) 112 () 11 (112=+++= 所以 n=1，公式正确． (2)假设当 k=n 时，公式正确，即那么当 k=n＋１时，有 1 / 9
数学归纳法经典练习及 解答过程 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-
第七节数学归纳法 知识点数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立． (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．易误提醒运用数学归纳法应注意： (1)第一步验证n＝n0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值． (2)由n＝k时命题成立，证明n＝k＋1时命题成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法． [自测练习] 1．已知f(n)＝1 n ＋ 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋…＋ 1 n2 ，则( ) A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝1 2 ＋ 1 3 B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝1 2 ＋ 1 3 ＋ 1 4 C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝1 2 ＋ 1 3 D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝1 2 ＋ 1 3 ＋ 1 4 解析：从n到n2共有n2－n＋1个数，所以f(n)中共有n2－n＋1项，且f(2)＝1 2 ＋ 1 3 ＋ 1 4 ，故选D. 答案：D
2．(2016·黄山质检)已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1 n ＋1 ＝ 2? ???? 1n ＋2＋1n ＋4 ＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n ＝( )时等式成立( ) A ．k ＋1 B ．k ＋2 C ．2k ＋2 D ．2(k ＋2) 解析：根据数学归纳法的步骤可知，则n ＝k (k ≥2为偶数)下一个偶数为k ＋2，故选B. 答案：B 考点一 用数学归纳法证明等式| 求证：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·5·…·(2n －1)(n ∈N *)． [证明] (1)当n ＝1时，等式左边＝2，右边＝21·1＝2，∴等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )＝2k ·1·3·5·…·(2k －1)． 当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)·…·2k ·(2k ＋1)(2k ＋2) ＝2·(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )·(2k ＋1) ＝2·2k ·1·3·5·…·(2k －1)·(2k ＋1) ＝2k ＋1·1·3·5·…·(2k －1)(2k ＋1)． 这就是说当n ＝k ＋1时，等式成立． 根据(1)，(2)知，对n ∈N *，原等式成立． 1．用数学归纳法证明下面的等式： 12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1n ?n ＋1? 2 . 证明：(1)当n ＝1时，左边＝12＝1， 右边＝(－1)0 ·1×?1＋1? 2 ＝1， ∴原等式成立． (2)假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，等式成立，
数学归纳法 数学归纳法是用于证明与正整数n 有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法．在数学竞赛中占有很重要的地位． （1）第一数学归纳法 设)(n P 是一个与正整数有关的命题，如果 ① 0n n =（N n ∈01．数学归纳法的基本形式）时，)(n P 成立； ②假设),(0N k n k k n ∈≥=成立，由此推得1+=k n 时，)(n P 也成立，那么，根据①②对一切正整数0n n ≥时，)(n P 成立． （2）第二数学归纳法 设)(n P 是一个与正整数有关的命题，如果 ①当0n n =（N n ∈0）时，)(n P 成立； ②假设),(0N k n k k n ∈≥≤成立，由此推得1+=k n 时，)(n P 也成立，那么，根据①②对一切正整数0n n ≥时，)(n P 成立． 2．数学归纳法的其他形式 （1）跳跃数学归纳法 ①当l n ,,3,2,1Λ=时，)(,),3(),2(),1(l P P P P Λ成立， ②假设k n =时)(k P 成立，由此推得l k n +=时，)(n P 也成立，那么，根据①②对一切正整数1≥n 时，)(n P 成立． （2）反向数学归纳法 设)(n P 是一个与正整数有关的命题，如果
① )(n P 对无限多个正整数n 成立； ②假设k n =时，命题)(k P 成立，则当1-=k n 时命题)1(-k P 也成立，那么根据①②对一切正整数1≥n 时，)(n P 成立． 例如，用数学归纳法证明： 为非负实数，有 在证明中，由 真，不易证出 真；然而却很容易证出 真，又容易证明不等式对无穷多个 （只要 型的自然数）为真；从而证明 ，不等式成立． （3）螺旋式归纳法 P （n ），Q （n ）为两个与自然数 有关的命题，假如 ①P(n0)成立； ②假设 P(k) (k>n0)成立，能推出Q(k)成立，假设 Q(k)成立，能推出 P(k+1)成立； 综合（1）（2）,对于一切自然数n （>n0），P(n),Q(n)都成立； （4）双重归纳法 设 是一个含有两上独立自然数 的命题． ① 与 对任意自然数 成立； ②若由 和 成立，能推出 成立； 根据（1）、（2）可断定， 对一切自然数 均成立． 3．应用数学归纳法的技巧 （1）起点前移：有些命题对一切大于等于1的正整数正整数n 都成立，但命题本身对0=n 也成立，而且验证起来比验证1=n 时容易，
高中数学归纳法证明题 高中数学归纳法证明题 1/2+2/2^2+3/2^3+......+n/2^n=2-n+2/2^n. 1/2+2/2^2+3/2^3+......+n/2^n=2-(n+2)/2^n. 1、当n=1时候， 左边=1/2; 右边=2-3/2=1/2 左边=右边，成立。 2、设n=k时候，有： 1/2+2/2^2+3/2^3+......+k/2^k=2-(k+2)/2^k成立， 则当n=k+1时候：有： 1/2+2/2^2+3/2^3+.....+k/2^k+(k+1)/2^(k+1) =2-(k+2)/2^k+(k+1)/2^(k+1) =2-[2(k+2)-(k+1)]/2^(k+1) =2-(k+3)/2^(k+1) =2-[(k+1)+2]/2^(k+1) 我觉得不是所有的猜想都非要用数学归纳法. 比如a1=2,a(n+1)/an=2,这显然是个等比数列 如果我直接猜想an=2^n,代入检验正确,而且对所有的n都成立,这时候干嘛还用数学归纳法啊.可是考试如果直接这样猜想是不得分的,必须要用数学归纳法证明.
结果带入递推公式验证是对n属于正整数成立. 用数学归纳法,无论n=1,还是n=k的假设,n=k+1都需要带入递推公式验证,不是多此一举吗.我又不是一个一个验证,是对n这个变量 进行验证,已经对n属于正整数成立了.怎么说就是错误的. 这说明你一眼能看出答案，是个本领。 然而，考试是要有过程的，这个本领属于你自己，不属于其他人，比如你是股票牛人，直接看出哪支会涨哪支会跌，但是不说出为什么，恐怕也不会令人信服。 比如你的问题，你猜想之后，代入检验，验证成功说明假设正确，这是个极端错误的数学问题，请记住：不是验证了一组答案通过， 就说明答案是唯一的!比如x+y=2.我们都知道这是由无数组解的方程。但是我猜想x=y=1,验证成功，于是得到答案，你觉得对吗?所 以你的证明方法是严格错误的! 说说你的这道题，最简单的一道数列题，当然可以一下看出答案，而且你的答案是正确的。但是证明起来就不是那么容易了，答案不 是看出来的，是算出来的。你的解法就是告诉大家，所有的答案都 是看出来，然后代入证明的。假设看不出来怎么办?那就无所适从， 永远也解不出来了!这就是你的做法带来的.答案，你想想呢?你的这 种做法有什么值得推广的? OK,了解! 数学归纳法使被证明了的，证明数学猜想的严密方法，这是毋庸置疑的。在n=1时成立;假设n=k成立，则n=k+1成立。这两个结论 确保了n属于N时成立，这是严密的。 你的例题太简单，直接用等比数列的定义就可以得到答案(首项 和公比均已知)，不能说明你的证明方法有误。我的本意是：任何一 种证明方法，其本身是需要严格证明的，数学归纳法是经过严格证 明的;而你的证明方法：猜想带入条件，满足条件即得到猜想正确的 结论。未经证明，(即使它很严密，我说即使)它不被别人认可。事 实上，你的证明方法(猜想带入所有条件均成立)只能得到“必要”
数学归纳法原理(六种)：【第二归纳法】【跳跃归纳法】【反向归纳法】 一行骨牌，如果都充分地靠近在一起（即留有适当间隔），那么只要推倒第一个，这一行骨牌都会倒塌；竖立的梯子，已知第一级属于可到达的范围，并且任何一级都能到达次一级，那么我们就可以确信能到达梯子的任何一级；一串鞭炮一经点燃，就会炸个不停，直到炸完为止；……，日常生活中这样的事例还多着呢！ 数学归纳法原理设P(n)是与自然数n有关的命题．若 (I)命题P(1)成立； (Ⅱ)对所有的自然数k，若P(k)成立，推得P(k+1)也成立. 由（I）、(Ⅱ)可知命题P(n)对一切自然数n成立． 我们将在“最小数原理”一章中介绍它的证明， 运用数学归纳法原理证题的方法，是中学数学中的一个重要的方法，它是一种递推的方法，它与归纳法有着本质的不同．由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，用归纳法可以帮助我们从具体事例中发现一般规律，但是，仅根据一系列有限的特殊事例得出的一般结论的真假性还不能肯定，这就需要采用数学归纳法证明它的正确性． 一个与自然数n有关的命题P(n)，常常可以用数学归纳法予以证明，证明的步骤为：(I)验证当n取第1个值no时，命题P(no)成立，这一步称为初始验证步． (Ⅱ)假设当n=k(k∈N，后≥no)时命题P(k)成立，由此推得命题P(k+1)成立．这一步称为归纳论证步． (Ⅲ)下结论，根据(I)、(Ⅱ)或由数学归纳法原理断定，对任何自然数(n≥no)命题 P(n)成立．这一步称为归纳断言步， 为了运用好数学归纳法原理，下面从有关注意事项与技巧及运用递推思想解题等几个方面作点介绍． 运用数学归纳法证题时应注意的事项与技巧三个步骤缺一不可 第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第三步是递推的过程与结论．三步缺一不可．数学归纳法的其他几种形式还有：第二数学归纳法；跳跃数学归纳法；倒推数学归纳法（反向归纳法）；分段数学归纳法二元有限数学归纳法；双向数学归纳法；跷跷板数学归纳法；同步数学归纳法等。 1.5归纳法原理与反归纳法 数学归纳法是中学教学中经常使用的方法．中学教材中的数学归纳法是这样叙述的：如果一个命题与自然数有关，命题对n=1正确；若假设此命题对n－1正确，就能推出命题对n也正确，则命题对所有自然数都正确．通俗的说法：命题对n=1正确，因而命题对n=2也正确，然后命题对n=3也正确，如此类推，命题对所有自然数都正确．对于中学生来说，这样形象地说明就足够了；但是毕竟自然数是无限的，因而
数学归纳法证明整除 数学归纳法证明整除数学归纳法 当n=1 的时候 上面的式子 = 3^4-8-9=64 成立 假设当n=k 的时候 3^(2k+2)-8k-9能够被64整除 当n=k+1 式子= 3^(2k+4)-8k-17 =9[3^(2k+2) -8k-9] +64k+64 因为 3^(2k+2)-8k-9能够被64整除 ∴ 9[3^(2k+2) -8k-9] +64k+64 能够被64整除 n=k+1 时，成立 根据上面的由数学归纳法 3的2n+2次方-8n-9(n属于N*)能被64整除。 2 当n=1时 3^4-8-9=81-17=64 能被4整除·····(特殊性) 设当n=k时，仍然成立。 当n=k+1时，·····················(一般性) 3^(2(k+1)+2)-8(k+1)-9=3^(2K+2+2)-8K-17
=9*3^(2K+2)-72K+64K-81+64=9(3^(2k+2)-8k-9)+64k+64 因为3^(2k+2)-8k-9能被64整除 不用写了吧·· 正确请采纳 数学归纳法 当n=1 的时候 上面的式子 = 3^4-8-9=64 成立 假设当n=k (k>=1) 3^(2k+2)-8k-9能够被64整除 当n=k+1(k>=1) 式子= 3^(2k+4)-8k-17 =9[3^(2k+2) -8k-9] +64k+64 由9[3^(2k+2) -8k-9] +64k+64-(3^(2k+2)-8k-9)可以被64整出n=k+1 时，成立 根据上面的由数学归纳法 3的2n+2次方-8n-9(n属于N*)能被64整 3.证明:对于任意自然数n (3n+1)*7^n-1能被9整除 数学归纳法 (1)当n=1时 (3*1+1)*7-1=27能被9整除 (2)假设当n=k时 (3k+1)*7^k-1能被9整除 则当n=k+1时 [3(k+1)+1]*7^(k+1)-1=[21k+28]*7^k-1
“数学归纳法”教学设计 一、教材与内容解析 （一）内容与内容解析 数学归纳法是人教B版普通高级中学教科书数学选修2-2第二章第三节的内容。本节课的主要内容是介绍数学归纳法的原理。 由于正整数具有无穷无尽的特点，有些关于正整数n的命题,难以对n进行一一的验证，从而需要寻求一种新的推理方法，以便能通过有限的推理来证明无限的结论，这是数学归纳法产生的根源。 数学归纳法是一种证明与正整数n有关命题的重要方法。它的独到之处便是运用有限个步骤就能证明无限多个对象，而实现这一目的的工具就是递推思想。 数学归纳法的两个步骤中，第一步是证明的奠基，第二步是递推。递推是实现从有限到无限飞跃的关键，没有它我们就只能停留在对有限情况的把握上。 数学归纳法是以归纳为基础、以演绎为手段证明结论的一种方法，是归纳法与演绎法的完善结合．这也许是数学归纳法不是归纳法但又叫“数学归纳法”的原因． （二）地位与作用解析 从应用上看，数学归纳法是解决与正整数有关命题的一种推理方法，它将无限多个归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是证明与正整数有关问题的重要工具。数学归纳法本质是归纳递推，但它与归纳法有着一定程度的关联。在数学结论的发现过程中，不完全归纳法发现结论，最终利用数学归纳法证明解决问题。 从思想方法上看，数学归纳法蕴含了无限转化为有限的思想，体现了奠基、递推、总结一体的整体思想。 从美学上看，数学归纳法展现了无限与有限的统一美；揭示了有限推证无限，把无限“沦为”有限的思维美；数学归纳法的发展历程展现了数学文化美。 二、教学问题诊断 1．学生已有的经验和基础：(1)学生已有数学归纳法的萌芽和相关经验．虽然学生没有正式学过数学归纳法，但小学的数数、找一列数的规律、高中等差数列和等比数列通项公式的推导过程等等，都蕴含着数学归纳法的萌芽和基础．(2)学生已经有用具有代表性的元素来代替任意的、无穷多的元素的经验．如在线面垂直的定义和证明中，用“平面内
步骤 第一数学归纳法 一般地,证明一个与自然数n有关的命题P(n),有如下步骤: (1)证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1,但 也有特殊情况; (2)假设当n=k(k≥n0,k为自然数)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立。 综合(1)(2),对一切自然数n(≥n0),命题P(n)都成立。 第二数学归纳法 对于某个与自然数有关的命题P(n), (1)验证n=n0,n=n1时P(n)成立; (2)假设n≤k时命题成立,并在此基础上,推出n=k+1命题也成立。 综合(1)(2),对一切自然数n(≥n0),命题P(n)都成立。 倒推归纳法 又名反向归纳法 (1)验证对于无穷多个自然数n命题P(n)成立(无穷多个自然数可以就是一 个无穷数列中的数,如对于算术几何不等式的证明,可以就是2^k,k≥1); (2)假设P(k+1)(k≥n0)成立,并在此基础上,推出P(k)成立, 综合(1)(2),对一切自然数n(≥n0),命题P(n)都成立; 螺旋式归纳法 对两个与自然数有关的命题P(n),Q(n), (1)验证n=n0时P(n)成立; (2)假设P(k)(k>n0)成立,能推出Q(k)成立,假设 Q(k)成立,能推出 P(k+1) 成立; 综合(1)(2),对一切自然数n(≥n0),P(n),Q(n)都成立。 应用 1确定一个表达式在所有自然数范围内就是成立的或者用于确定一个其她的形式在一个无穷序列就是成立的。 2数理逻辑与计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式就是等价表达式。
3证明数列前n项与与通项公式的成立。 4证明与自然数有关的不等式。 变体 在应用,数学归纳法常常需要采取一些变化来适应实际的需求。下面介绍一些常见的数学归纳法变体。 从0以外的数字开始 如果我们想证明的命题并不就是针对全部自然数,而只就是针对所有大于等于某个数字b的自然数,那么证明的步骤需要做如下修改: 第一步,证明当n=b时命题成立。第二步,证明如果n=m(m≥b)成立,那么可以推导出n=m+1也成立。 用这个方法可以证明诸如“当n≥3时,n^2>2n”这一类命题。 针对偶数或奇数 如果我们想证明的命题并不就是针对全部自然数,而只就是针对所有奇数或偶数,那么证明的步骤需要做如下修改: 奇数方面: 第一步,证明当n=1时命题成立。第二步,证明如果n=m成立,那么可以推导出n=m+2也成立。 偶数方面: 第一步,证明当n=0或2时命题成立。第二步,证明如果n=m成立,那么可以推导出n=m+2也成立。 递降归纳法 数学归纳法并不就是只能应用于形如“对任意的n”这样的命题。对于形如“对任意的n=0,1,2,、、、,m”这样的命题,如果对一般的n比较复杂,而n=m 比较容易验证,并且我们可以实现从k到k-1的递推,k=1,、、、,m的话,我们就能应用归纳法得到对于任意的n=0,1,2,、、、,m,原命题均成立。如果命题P(n)在n=1,2,3,、、、、、、,t时成立,并且对于任意自然数k,由 P(k),P(k+1),P(k+2),、、、、、、,P(k+t-1)成立,其中t就是一个常量,那么P(n)对于一切自然数都成立、 跳跃归纳法
教材背景： 归纳是一种由特殊事例导出一般规律的思维方法．归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种．不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的．完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来．数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种推理方法，在数学问题的解决中有着广泛的应用． 教学课题：数学归纳法 教材分析： “数学归纳法”既是高中代数中的一个重点和难点容，也是一种重要的数学方法。它贯通了高中代数的几大知识点：不等式，数列，三角函数……在教学过程中，教师应着力解决的容是：使学生理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法的证题步骤（特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用）。只有真正了解了数学归纳法的实质，掌握了证题步骤，学生才能信之不疑，才能用它灵活证明相关问题。本节课是数学归纳法的第一节课，有两大难点：使学生理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中归纳假设的利用。不突破以上难点，学生往往会怀疑数学归纳法的可靠性，或者只是形式上的模仿而不知其所以然。这会对以后的学习造成极大的阻碍。根据本节课的教学容和学生实际水平，本节课采用“引导发现法”和“讲练结合法”。通过课件的动画模拟展示，引发和开启学生的探究热情，通过“师生”和“生生”的交流合作，掌握概念的深层实质。 教学目标 1、知识和技能目标 (1)了解数学推理的常用方法（归纳法） (2)了解数学归纳法的原理及使用围。 (3)初步掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论。 (4)会用数学归纳法证明一些简单的等式问题。 2、过程与方法目标 通过对归纳法的复习，说明不完全归纳法的弊端，通过多米诺骨牌实验引出数学归纳法的原理，使学生理解理论与实际的辨证关系。在学习中培养学生探索发现问题、提出问题的意识，解决问题和数学交流的能力,学会用总结、归纳、演绎类比探求新知识。
数学归纳法+直接证明与间接证明 题型一：数学归纳法基础 1、已知n 为正偶数，用数学归纳法证明111111112( ) 2 3 4 1 2 4 2n n n n -+-++ =+ ++ -++ 时，若已假设2(≥=k k n 为偶数） 时命题为真，则还需要用归纳假设再证 （） A ．1+=k n 时等式成立 B ．2+= k n 时等式成立 C ．2 2+=k n 时等式成立 D ．)2(2+=k n 时等式成立 2、已知n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k （2≥k 且为偶数） 时命题为真，，则还需证明（ ） A.n=k+1时命题成立 B. n=k+2时命题成立 C. n=2k+2时命题成立 D. n=2（k+2）时命题成立 3、某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+= k n 时命题也成立. 现已知当7 =n 时该命题不成立，那么可推得（） A ．当n=6时该命题不成立 B ．当n=6时该命题成立 C ．当n=8时该命题不成立 D ．当n=8时该命题成立 4、利用数学归纳法证明 “*),12(312)()2)(1(N n n n n n n n ∈-???????=+???++ ”时，从“k n =”变到 “1+=k n ”时，左边应增乘的因式是 （ ） A 12+k B 1 12++k k C 1 ) 22)(12(+++k k k D 1 32++k k 5、用数学归纳法证明),1(1112 2 * +∈≠--= ++++N n a a a a a a n n ，在验证 n=1时， 左边计算所得的式子是（ ） A. 1 B.a +1 C.21a a ++ D. 421a a a +++ 典例分析
数学归纳法的七种变式及其应用 摘要：数学归纳法是解决与自然有关命题的一种行之有效的方法，又是数学证明 的又一种常用形式.数学归纳法不仅能够证明自然数命题，在实数中也广泛应用，还能对一些数学定理进行证明.在中学时学习了第一数学归纳法和第二数学归纳法，因而对一些命题进行了简单证明.在原有的基础上，给出了数学归纳法的另外五种变式，其中涉及到反向归纳法、二重归纳法、螺旋式归纳法、跳跃归纳法和关于实数的连续归纳法，并简单的举例说明了每种变式在数学各分支的应用.这就突破了数学归纳法仅在自然数中的应用，为今后的数学命题证明提供了一种行之有效的证明方法——数学归纳法. 关键词：数学归纳法；七种变式；应用 1引言 归纳法是由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，一般性结论的正确性依赖于各个个别论断的正确性。数学归纳法的本质[]4 是证明一个命题对于所有的自然数都是成立 的.由于它在本质上是与数的概念联系在一起，所以数学归纳法可以运用到数学的各个分支，例如：证明等式、不等式，三角函数，数的整除，在几何中的应用等. 数学归纳法的基本思想是用于证明与自然数有关的命题的正确性的证明方法，如第一数学归纳法，操作步骤简单明了.在第一数学归纳法的基础上，又衍生出了第二数学归纳法，反向归纳法，二重归纳法等证明方法.从而可以解决更多的数学命题. 2 数学归纳法的变式及应用 2.1 第一数学归纳法 设()p n 是一个含有正整数n 的命题,如果满足： 1） ()1p 成立（即当1n =时命题成立）； 2）只要假设()p k 成立（归纳假设），由此就可证得()1p k +也成立（k 是自然数），就能保证对于任意的自然数n ，命题()p n 都成立. 通常所讨论的命题不都全是与全体自然数有关，而是从某个自然数a 开始的，因此，将第一类数学归纳法修改为： 设()p n 是一个含有正整数n 的命题(n a ≥，*a N ∈), 如果 1）当n =a 时,()p a 成立；
2.3数学归纳法 第1课时数学归纳法 1．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取 ()．A．2 B．3 C．5 D．6 解析当n取1、2、3、4时2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n>n2＋1的n值为5，故选C. 答案 C 2．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4) 2(n∈N＋)，验证n ＝1时，左边应取的项是 ()．A．1 B．1＋2 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 解析等式左边的数是从1加到n＋3. 当n＝1时，n＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4. 答案 D 3．设f(n)＝1＋1 2＋ 1 3＋…＋ 1 3n－1 (n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于 ()． A. 1 3n＋2 B. 1 3n＋ 1 3n＋1 C. 1 3n＋1 ＋ 1 3n＋2 D. 1 3n＋ 1 3n＋1 ＋ 1 3n＋2 解析∵f(n)＝1＋1 2＋ 1 3＋…＋ 1 3n－1 ， ∵f(n＋1)＝1＋1 2＋ 1 3＋…＋ 1 3n－1 ＋ 1 3n＋ 1 3n＋1 ＋ 1 3n＋2 ，
∴f(n＋1)－f(n)＝1 3n＋ 1 3n＋1 ＋ 1 3n＋2 . 答案 D 4．用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋… ＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为________． 答案1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2 5．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________. 解析由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f(k＋1)＝f(k)＋π. 答案π 6．用数学归纳法证明： 1 1×2＋ 1 3×4 ＋…＋ 1 (2n－1)·2n ＝ 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋…＋ 1 n＋n . 证明(1)当n＝1时，左边＝ 1 1×2 ＝ 1 2，右边＝ 1 2，等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即 1 1×2＋ 1 3×4 ＋…＋ 1 (2k－1)·2k ＝ 1 k＋1 ＋ 1 k＋2 ＋…＋ 1 2k. 则当n＝k＋1时， 1 1×2＋ 1 3×4 ＋…＋ 1 (2k－1)·2k ＋ 1 (2k＋1)(2k＋2) ＝ 1 k＋1 ＋ 1 k＋2 ＋…＋ 1 2k＋ 1 (2k＋1)(2k＋2) ＝ 1 k＋2 ＋ 1 k＋3 ＋…＋ 1 2k＋? ? ? ? ? 1 2k＋1 － 1 2k＋2＋ 1 k＋1 ＝ 1 k＋2 ＋ 1 k＋3 ＋…＋ 1 2k＋ 1 2k＋1 ＋ 1 2k＋2 ＝ 1 (k＋1)＋1 ＋ 1 (k＋1)＋2 ＋…＋ 1 (k＋1)＋k ＋ 1 (k＋1)＋(k＋1) .即当n＝k＋1时， 等式成立． 根据(1)(2)可知，对一切n∈N*，等式成立． 7．若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现
数学归纳法（2016421） 、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当n 取第一个值n 0 （如n 0 1或2等）时结论正确; （2）假设当n k （k N , k n °）时结论正确，证明n k 1时结论也正确. 综合（1）、（ 2）, 注意：数学归纳法使用要点： 两步骤，一结论 、题型归纳: 题型1.证明代数恒等式 用数学归纳法证明: 当n=k+1时. k 1 2k 3 由①、②可知，对一切自然数 n 等式成立. 证明：①n=1时，左边 ②假设n =k 时, 2n 1 1 2n 1 n 2n 1 1 3 等式成立，即: -，右边 3 -，左边=右边，等式成立. 3 2k 1 2k 1 k 2k 1 2k 1 2k 1 2k 1 2k 3 2k 1 2k 1 2k 3 2k 2 2k 1 3k 1 2k 3 2k 1 k 1 2k 1 2k 3 这就说明, 当n=k+1时，等式亦成立,
题型2.证明不等式 11 1 _ 例2 ?证明不等式1 2打（n € N ）. V 2 <3 V n 证明：①当n=1时，左边=1，右边=2. 左边 <右边，不等式成立. 那么当n=k+1时， 2 .k 2k 1 2.k 1 这就是说，当n=k+1时，不等式成立. 由①、②可知，原不等式对任意自然数 n 都成立. 说明：这里要注意，当 n=k+1时，要证的目标是 1 1 1 1 ---------------------------------------- 1 — — — ------------ 2 \ k 1，当代入归纟纳假设后，就是要证明: ■. 2 3 . k 、k 1 2、、k 1— 2 k 1 . -k 1 认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标. 题型3.证明数列问题 例 3 (x + 1)n = a o + a 1(x — 1) + a 2(x — 1)2+ a 3(x — 1)3 + …+ a n (x — 1)n (n > 2, n € N *). (1)当 n = 5 时，求 a o + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 的值. a 2 十 ⑵设b n = 2厂3， T n = b 2 + b 3 + b 4+…+ b n .试用数学归纳法证明：当 n 》2时，T n = n(n +1)( n — 1) 3 . 解：(1) 当 n = 5 时， 原等式变为(x + 1)5= a o + a 1(x — 1) + a 2(x — 1)2+ a 3(x — 1)3 + a 4(x — 1)4+ a 5(x — 1)5②假设n=k 时，不等式成立，即 1 'I 1 .3 1 . 2 1 ■- 3