《圆》知识点复习
一、圆的概念
集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：
1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也
叫中垂线）；
3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点及圆的位置关系
1、点在圆内 ? d r < ? 点C 在圆内；
2、点在圆上 ? d r = ? 点B 在圆上；
3、点在圆外 ? d r > ? 点A 在圆
外；
三、直线及圆的位置关系
1、直线及圆相离 ? d r > ? 无交点；
2、直线及圆相切 ? d r = ? 有一个交点；
A
3、直线及圆相交?d r
四、圆及圆的位置关系
外离（图1）?无交点?d R r
>+；
外切（图2）?有一个交点?d R r
=+；
相交（图3）?有两个交点?R r d R r
-<<+；
内切（图4）?有一个交点?d R r
=-；
内含（图5）?无交点?d R r
<-；
五、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
图4
图5
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相
等。
即：在⊙O 中，∵AB ∥CD
∴弧AC =弧BD
六、圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，
即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；
③OC OF =；④ 弧BA =弧BD
七、圆周角定理
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠ 2、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
B
D
B
即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵90C ∠=? ∴90C ∠=? ∴AB 是直径
推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 即：在△ABC 中，∵OC OA OB ==
∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=?
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙O 中，
∵四边形ABCD 是内接四边形 ∴180C BAD ∠+∠=? 180B D ∠+∠=? DAE C ∠=∠
九、切线的性质及判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
B
A
B
A
O
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线
（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线
必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理 切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵PA 、PB 是的两条切线
∴PA PB = PO 平分BPA ∠
十一、圆幂定理
（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积
相等。
D
B
即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ， ∴PA PB PC PD ?=?
（2）推论：如果弦及直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 即：在⊙O 中，∵直径AB CD ⊥， ∴2CE AE BE =?
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线及圆交点的两条线段长的比例中项。
即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线 ∴ 2PA PC PB =?
（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线及圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。
即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ?=?
十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公
共弦。
如图：12O O 垂直平分AB 。
即：∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点 ∴12O O 垂直平分AB 十三、圆的公切线
两圆公切线长的计算公式：
A
（1）公切线长：12Rt O O C ?
中，221AB CO ==
（2）外公切线长：2CO 是半径之差； 内公切线长：2CO 是半径之和 。 十四、圆内正多边形的计算 （1）正三角形
在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ?
中进行：
::2OD BD OB =；
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在Rt OAE ?
中进行，::OE AE OA =
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在Rt OAB ?中进行
，
::2AB OB OA =.
十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形：（1）弧长公式：180
n R
l π=
； （2）扇形面积公式： 21
3602
n R S lR π=
= n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积
2、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图
2S S S =+侧表底=222rh r ππ+
l
O
C 1
D 1
（2）圆柱的体积：2V r h π=
（2）圆锥侧面展开图 （1）S S S =+侧表底=2Rr r ππ+ （2）圆锥的体积：213
V r h π=
十六、知识框图：
圆圆的有关性质
直线和圆的位置关系圆和圆的位置关系正多边形和圆
????
???
圆的有关性质圆的定义点和圆的位置关系（这是重点）不在同一直线上的三点确定一个圆圆的有关性质轴对称性—垂径定理（这是重点）旋转不变性圆心角、弧、弦、弦心距间的关系圆心角定理圆周角定理（这是重点）圆内接四边形（这是重点）??????????????
?
???????
?
???
???? 直线和圆的位置关系相离
相交相切切线的性质（这是重点）切线的判定（这是重点）弦切角（这是重点）和圆有关的比例线段（这是重点难点）
?????????????
?
????
圆和圆的位置关系
外离
内含
相交
相切
内切（这是重点）
外切（这是重点）两圆的公切线
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
正多边形和圆
正多边形和圆
正多边形定义
正多边形和圆
正多边形的判定及性质
正多边形的有关计算（这是重点）圆的有关计算
圆周长、弧长（这是重点）
圆、扇形、弓形面积（这是重点）
圆柱、圆锥侧面展开图（这是重点）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
【典型例题】
例1. 爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m 以外的安全区域。这个导火索的长度为18cm，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全？
分析：爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，以120m为半径的圆的外部，如图所示：
O 120m 爆破中心安全区域
解： 导火索燃烧的时间为18
0920
.
() =s
相同时间内，人跑的路程为2065130?=.()m ∴>人跑的路程130120m m ∴点导火索的人非常安全
例2. 已知梯形ABCD 内接于⊙O ，AB ∥CD ，⊙O 的半径为4，AB ＝6，CD ＝2，求梯形ABCD 的面积。
分析：要求梯形面积必须先求梯形的高，即弦AB 、CD 间距离，为此要构造直角三角形利用勾股定理求高。为了便于运用垂径定理，故作OE ⊥CD 于E ，延长EO 交AB 于F ，证OF ⊥AB 。
此题容易出现丢解的情况，要注意分情况讨论。 解：分两种情况讨论：
（1）当弦AB 、CD 分别在圆心O 的两侧时，如图（1）：
过O 作OE ⊥CD 于E ，延长EO 交AB 于F 连OC 、OB ，则CE ＝DE ∵AB ∥CD ，OE ⊥CD
∴OF ⊥AB ，即EF 为梯形ABCD 的高 在Rt △OEC 中，∵EC ＝1，OC ＝4 ∴=-=-=OE OC EC 22224115 同理，OF =7
∴=+=+EF OE OF 157
()()()∴=++=+=+S ABCD 梯形1
2
26157415741547 （2）当弦AB 、CD 在圆心O 的同侧时，如图（2）：
过O 作OE ⊥CD 于E ，交AB 于F 以下证法同（1），略。 ∴=-EF 157
()()()∴=+-=-=-S ABCD 梯形12
26157415741547 ()()∴+-梯形的面积为或ABCD 41574157
《圆》练习 一、填空题
1、已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为2和3，两圆相交于点A 、B ，且
AB ＝2，则O 1O 2＝______ ．
2、已知四边形ABCD 是⊙O 的外切等腰梯形，其周长为20，则梯形的中位线长为_____．
3、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，⊙O过A、B两点，且及BC切于点B，及AC交于D，连结BD，若BC＝－1，则AC＝______．
4、用铁皮制造一个圆柱形的油桶，上面有盖，它的高为80厘米，底面圆的直径为50厘米，那么这个油桶需要铁皮（不计接缝）厘米2（不取近似
值）．
5、已知两圆的半径分别为3和7，圆心距为5，则这两个圆的公切线有_____条．
6、如图，以AB为直径的⊙O及直线CD相切于点E，且AC⊥CD，BD⊥CD，AC＝8 cm，BD＝2 cm，则四边形ACDB的面积为______．
7、如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，⊙O的半径长为6 cm，
PO＝10 cm，
则△PDE的周长是______．图中知，CM＝R＋8，MD＝R－8，
8、一个正方形和一个正六边形的外接圆半径相等，则此正方形及正六边形的面积之比为_______．
9、如图，已知PA及圆相切于点A，过点P的割线及弦AC交于点B，及圆相交于点D、E，且PA＝PB＝BC，又PD＝4，DE＝21，则AB＝______．
二、选择题
10、有4个命题：
①直径相等的两个圆是等圆；②长度相等的两条弧是等弧；
③圆中最大的弧是过圆心的弧；④一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不可能是等弧．其中真命题是（）（A）①③（B）①③④（C）①④（D）①11、如图，点I为△ABC的内心，点O为△ABC的外心，∠O＝140°，则∠I为（）（A）140°（B）125°（C）130°（D）110°
12、如果正多边形的一个外角等于60°，那么它的边数为…………（）
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7 13、如图，AB是⊙O的弦，点C是弦AB上一点，且BC︰CA＝2︰1，连结OC并延长交⊙O于D，又DC＝2厘米，OC＝3厘米，则圆心O到AB的距离为……（）（A）厘米（B）厘米（C）2厘米（D）
3厘米
14、等边三角形的周长为18，则它的内切圆半径是……………………………………（）
（A）6（B）3（C）（D）
15、如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，PA＝4厘米，PB＝3厘米，PC＝6厘米，EA切⊙O于点A，AE及CD的延长线交于点E，AE＝2厘米，则PE的长为（）
（A）4厘米（B）3厘米（C）厘米（D）厘米
16、一个扇形的弧长为20厘米，面积是240厘米2，则扇形的圆心角是……………（）
（A）120°（B）150°（C）210°（D）240°
17、两圆半径之比为2︰3，当两圆内切时，圆心距是4厘米，当两圆外切时，圆心距为（）
（A）5厘米（B）11厘米（C）14厘米（D）20
厘米
18、一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则这个圆锥的侧面展开图的圆周角是……（）
（A）60°（B）90°（C）120°（D）180°
19、如图，等腰直角三角形AOB的面积为S1，以点O为圆心，OA为半径的弧及以AB为直径的半圆围成的图形的面积为S2，则S1及S2的关系是………………………（）（A）S1＞S2（B）S1＜S2（C）S1＝S2（D）S1≥S2
三、解答题
20、如图，在□ABCD中，AB＝4，AD＝2，BD⊥AD，以BD为直
径的⊙O交AB于E，交CD于F，则□ABCD被⊙O截得的阴影部分的
面积为_______．
21、如图，△ABC内接于⊙O，AB的延长线及过C点的切线GC相交于点D，
BE及AC相交于点F，且CB＝CE，求证：（1）BE∥DG；（2）CB2－CF2＝BF·FE．
22、如图，⊙O表示一个圆形工件，图中标注了有关尺寸，且MB︰MA＝1︰4，求工件半径的长．
23、已知：如图（1），⊙O1及⊙O2相交于A、B两点，经过A点的直线分别交⊙O1、⊙O2于C、D两点（C、D不及B重合），连结BD，过点C作BD的平行线交⊙O1于点E，连BE．
（1）求证：BE是⊙O2的切线；
（2）如图（2）若两圆圆心在公共弦AB的同侧，其他条件不变，判断BE和⊙O 2的位置关系（不要求证明）．
24、如图，已知CP为⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB切⊙O于点D，并及CP的延长线相交于点B，又BD＝2 BP．求证：（1）PC＝3 PB；（2）AC＝PC．
《圆》参考答案
一、填空题
1、当两圆在AB的两侧时，设O1O2交AB于C，则O1O2⊥AB，且AC＝BC，
∴AC＝1．
在Rt△AO2C中，O2C＝＝＝2；
在Rt△AO1C中，O1C＝＝＝．
∴O1O2＝2＋．
当两圆在AB的同侧时，同理可求O1O2＝2－．【答案】2±．
2、圆外切四边形的两组对边之和相等，则上、下底之和为10，故中位线长为5．【答案】5．
3、在△ABC中，AB＝AC，则∠ABC＝∠ACB＝72°，
∴∠BAC＝36°．
又BC切⊙O于B，
∴∠A＝∠DBC＝36°．
∴∠BDC＝72°．
∴∠ABD＝72°－36°＝36°．
∴AD＝BD＝BC．
易证△CBD∽△CAB，
∴BC2＝CD·CA．
∵AD＝BD＝BC，
∴CD＝AC－AD＝AC－BC．
∴BC2＝（AC－BC）·CA．
解关于AC的方程，得AC＝BC．
∴AC＝·（－1）＝2．【答案】2．
4、铁皮的面积即圆柱的侧面积及两底的面积的和．底面圆面积为·502＝625（厘米2），底面圆周长为×50＝50（厘米），则铁皮的面积为2×625＋80×50
＝5250（厘米2）．
【答案】5250厘米2．
5、∵ 7－3＜5＜7＋3，
∴两圆相交，
∴外公切线有2条，内公切线有0条．【答案】2．
6、设AC交⊙O于F，连结BF．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°．
连结OE，则OE⊥CD，
∴AC∥OE∥BD．
∵点O为AB的中点，
∴E为CD的中点．
∴OE＝（BD＋AC）＝（8＋2）＝5（cm）．
∴AB＝2×5＝10（cm）．
在Rt△BFA中，AF＝CA－BD＝8－2＝6（cm），AB＝10 cm，∴BF＝＝8（cm）．
∴四边形ACDB的面积为
（2＋8）·8＝40（cm2）．
【答案】40 cm2．
7、连结OA，则OA⊥AP．
在Rt△POA中，PA＝＝＝8（cm）．
由切线长定理，得EA＝EC，CD＝BD，PA＝PB，
∴△PDE的周长为
PE＋DE＋PD
＝PE＋EC＋DC＋PD，
＝PE＋EA＋PD＋DB
＝PA＋PB＝16（cm）．
【答案】16 cm．
8、设两正多边形的外接圆半径为R，则正方形面积为4×·R2＝2 R2，正六边形的面积为6×R2＝R2，所以它们的比为2 R2：R2＝4︰9．
【答案】4︰9．
9、由切割线定理，得PA2＝PD·PE．
∴PA＝＝10．
∴PB＝BC＝10．
∵PE＝PD＋DE＝25，
∴BE＝25－10＝15．
∴DB＝21－15＝6．
由相交弦定理，得AB·BC＝BE·BD．
∴AB·10＝15×6．
∴AB＝9．
【答案】9．
二、选择题