坐标系与参数方程
1.以双曲线C :13
12
2=-y x 的左焦点为极点,x 轴正方向为极轴方向(长度单位不变)建立极坐标系,则
双曲线C 的一条倾斜角为锐角的渐近线的极坐标方程是 .
2.在极坐标系中,曲线C
的极坐标方程为)4
π
ρθ=-,以极点O 为原点,极轴为x 轴的正半轴建
立平面直角坐标系,直线l 的参数方程为1314x t
y t
=-+??=-+?(t 为参数),试判断直线l 与曲线C 的位置关系,并
说明理由.
3.在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线
)0(sin 2cos :2>=a a C θθρ,过点)2,4(--P 的直线l 的参数方程为???
?
??
?
+-=+-=t y t x 2
222
2
4(t 为参数),l 与C 分别交于N M ,,(1)写出C 的平面直角坐标系方程和l 的普通方程; (2)若||PM 、||MN 、||PN 成等比数列,求a 的值.
4. 已知直角坐标系xOy 和极坐标系Ox 的原点与极点重合,x 轴正半轴与极轴重合,单位长度相同,在直角坐标系下,曲线C 的参数方程为2cos ,(sin x y ?
??
=??
=?为参数).
(1)在极坐标系下,若曲线犆与射线14θ=
和射线1
4
θ=-分别交于A,B 两点,求ΔAOB 的面积; (2)在直角坐标系下,给出直线l
的参数方程为22(x t y ?=+????=??为参数),求曲线C 与直线l 的交点坐标.
5.选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=-.以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标
系,直线l 的参数方程为1cos ,
1sin x t y t αα=+??
=-+?
(t 为参数).
(Ⅰ)判断直线l 与曲线C 的位置关系,并说明理由;
(Ⅱ)若直线l 和曲线C 相交于,A B
两点,且AB =l 的斜率.
6.在直角坐标系xOy 中,直线l 的方程为40x y -+=,曲线C 的参数方程为3cos sin x y α
α
?=??
=??(α为参数).
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,点P 的极坐标为(4,
)2
π,判断点P 与直线l 的位置关系;
(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的最小值.
7.在直角坐标系xOy 中,曲线M 的参数方程为sin cos sin 2x y θθ
θ=+??
=?
(θ为参数),若以该直角坐标系的原点O 为
极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线N 的极坐标方程为:2
sin()4t π
ρθ+
=
(其中t 为常数). (1)若曲线N 与曲线M 只有一个公共点,求t 的取值范围; (2)当2t =-时,求曲线M 上的点与曲线N 上点的最小距离. 8.
9.在极坐标系中,设圆C :ρ=4 cos θ 与直线l :θ=π
4 (ρ∈R )交于A ,B 两点,求以AB 为直径的圆的极坐标方程.
10.在平面直角坐标系xOy 中,已知曲线1C 的方程为2
2
1x y +=,以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点,
x 轴的正半轴为极轴,且取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线l 的极坐标方程为
(2cos sin )6ρθθ-=。
(1)将曲线1C 2倍后得到曲线2C ,试写出直线l 的直角坐标方程和曲线2C 的参数方程;
(2)设P 为曲线2C 上任意一点,求点P 到直线l 的最大距离.
坐标系与参数方程 参考答案与解析
1.【答案】3)3
sin(
=-θπ
ρ
【命题立意】本题主要考查极坐标方程、双曲线的性质
【解析】由13
12
2=-y x 可知左焦点为(2,0)
,倾斜角为锐角的渐近线的极坐标方程是y =,所以其极
坐标方程为sin cos )ρθρθ=-,化简得3)3
sin(=-θπ
ρ.
2.【答案】相交.
【命题立意】本题旨在考查极坐标方程、参数坐标方程与普通方程的相互转化与应用,直线与圆的位置关系.
【解析】将直线l 与曲线C 的方程化为普通方程,得直线l :4310x y -+=,曲线C :2
2
220x y x y +--=,
所以曲线C 是以(1,1)的圆,所以圆心到直线l 的距离2
5
d =<,因此,直线l 与曲线C 相交. ………10分
3.【答案】(1)ay x 22=(a >0),x -y+2=0;(2)1.
【命题立意】考查参数方程、极坐标方程与普通方程的转化,中等题.
【解析】(1)曲线C 的直角坐标方程为ay x 22
=(a >0);
直线l 的普通方程为x -y+2=0.
(2)将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立,得
t 2-2(4+t +8(4+a)=0 (*) △=8a(4+a)>0.
设点M ,N 分别对应参数t 1,t 2,恰为上述方程的根. 则|PM|=|t 1|,|PN|=|t 2|,|MN|=|t 1-t 2|. 由题设得(t 1-t 2)2=|t 1t 2|,即(t 1+t 2)2-4t 1t 2=|t 1t 2|.
由(*)得t 1+t 2=2(4+t 1t 2=8(4+a)>0,则有 (4+a)2-5(4+a)=0,得a =1,或a =-4. 因为a >0,所以a =1. 4.【答案】(1)
45;(2)(2,0)或64-55??
???
,
【命题立意】本题重点考查了极坐标方程和直角坐标方程的互化、曲线的参数方程和普通方程的互化等知
识,属于中档题.
【解析】(1)曲线C 在直角坐标系下的普通方程为1422
=+y x ,将其化为极坐标方程为1422=θρ+θρ22sin cos 分别代入θ=π4和θ=-π
4,得|OA|2=|OB|2=5
8, 因∠AOB =
π2,故△AOB 的面积S =1
2|OA||OB|=5
4. …………… 5分
(2)将l 的参数方程代入曲线C 的普通方程,得
2
221
4t 152t 1t t 04228
+++=+=
,t 0t -5==解得或l 的参数方程,得x =2,y =0,
或5
456-y x ==,
所以曲线C 与直线l 的交点坐标为(2,0)或 ??
? ??5456
-,.……………… 10分 5.【答案】(I)相交,理由略;(II)1±
【命题立意】本题旨在考查直线的参数方程及其几何意义、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系 【解析】(Ⅰ)
2cos 4sin ρθθ=-,22cos 4sin ρρθρθ∴=-,
∴曲线C 的直角坐标方程为2224x y x y +=-,即22(1)(2)5x y -++=,
直线l 过点(1,1)
直线l 与曲线C 相交.
(Ⅱ)当直线l 的斜率不存在时,直线l
过圆心,AB =≠,
则直线l 必有斜率,设其方程为1(1)y k x +=-,即10kx y k ---=, 圆心到直线l
的距离2
d =
==
, 解得1k =±,∴直线l 的斜率为1±. 6.【答案】(1)点P 在直线l 上;(2
【命题立意】本题主要考查椭圆的参数方程、辅助角公式以及点到直线的距离公式,难度中等. 【解析】
7.【答案】(1)2121t <≤
或54t =-
;
(2)82
3.
【命题立意】本题旨在考查参数方程与普通直角坐标方程的转化与应用,函数与方程思维,点到直线的距离公式.
【解析】对于曲线M,消去参数,得普通方程为
2
,12≤-=x x y ,曲线M 是抛物线的一部分; 对
于曲线N ,化成直角坐标方程为t y x =+,曲线N 是一条直线. (2分)
(1)若曲线M,N 只有一个公共点,则有直线N 过点(2,1)时满足要求,并且向左下方平行运动直到过点(2,1)-之前总是保持只有一个公共点,再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两个公共点,所以2121t -<≤
满足要求;相切时仍然只有一个公共点,由12-=-x x t ,得
210,x x t +--=14(1)0t ?=++=,求得54
t =-. 综合可求得t 的取值范围是:2121t -<≤或
5
4
t =-
. (6分) (2)当2-=t 时,直线N: 2-=+y x ,设M 上点为)1,(2
00-x x ,02x ≤
8232
43)21(212002
≥++=
++=x x x d , 当
012x =-
时取等号,满足0x ≤82
3. (10分)
8.【答案】
(Ⅱ
【命题立意】(Ⅰ)参数方程化普通方程,以及点到直线距离公式.
(Ⅱ)极坐标方程化普通方程以及面积最值.
【解析】 (Ⅰ)将2(1为参数)x t
t y t
=+??
=--?化为普通方程,得10x y +-=
将方程3=ρ化为普通方程得到2
2
9x y +=
圆心到直线的距离2d ==
AB == (Ⅱ)圆周上的点到直线l 的最大距离为d =
所以max 1()2222
ABP S AB d ?=
=+= 9.【答案】ρ=2(cos θ+sin θ).
【命题立意】本题旨在考查极坐标与直角坐标方程的转化与应用,直线的方程,圆的方程。 【解析】以极点为坐标原点,极轴为x 轴的正半轴,建立直角坐标系,则由题意,得
圆C 的直角坐标方程 x 2+y 2-4x =0,
直线l 的直角坐标方程 y =x . ………………………… 4分
由???x 2+y 2-4x =0,y =x , 解得???x =0,
y =0,
或 ???x =2,
y =2.
所以A (0,0),B (2,2).
从而以AB 为直径的圆的直角坐标方程为(x -1)2+(y -1)2=2,即x 2+y 2=2x +2y .
………………………… 7分
将其化为极坐标方程为:ρ2-2ρ(cos θ+sin θ)=0,即ρ=2(cos θ+sin θ).
…………………… 10分 10.【答案】(1)260x y --=
,2sin x y θ
θ
?=??
=??(θ为参数);(2
)【命题立意】本题旨在考查极坐标系、极坐标方程和直角坐标方程的互化、曲线的参数方程、图象变换、点到直线的距离等知识。
【解析】(1)由题意知,直线l 的直角坐标方程为:260x y --=………2分
曲线2C
的直角坐标方程为:22
()12y +=,即22134x y +=………4分 ∴曲线2C
的参数方程为:2sin x y θ
θ
?=??=??(θ为参数)………5分
(2)设点P
的坐标,2sin )θθ,则点P 到直线l 的距离为
d ==………8分
∴当cos()16
π
θ+=-
时,max d ==10分