《轴对称、平移与旋转》全章复习与巩固--知识讲解（提高）
【学习目标】
1.了解轴对称、平移、旋转，探索它们的基本性质；
2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称、平移、旋转后的图形，能作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；
3.利用轴对称、平移、旋转及其组合进行图案设计；认识和欣赏轴对称、平移、旋转在现实生活中的
应用；
4.掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、平移变换
1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为
平移，平移不改变图形的形状和大小．
要点诠释：
（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内
的变换；
（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是
图形平移的依据；
（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，
而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．
2．平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动
相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所
连的线段平行且相等，对应角相等．
要点诠释：
（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；
（2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，
又可作为平移作图的依据．
要点二、旋转变换
1．旋转概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.
２．旋转变换的性质
图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变化.
３．旋转作图步骤
①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角.
②分析所作图形，找出构成图形的关键点.
③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点.
④按原图形连结方式顺次连结各对应点.
４．中心对称与中心对称图形
中心对称：
把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心对称的对称点．
中心对称图形：
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫中心对称图形.
5．中心对称作图步骤
①连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点.
②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.
要点诠释：
图形变换与图案设计的基本步骤
①确定图案的设计主题及要求；
②分析设计图案所给定的基本图案；
③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合；
④对图案进行修饰，完成图案.
要点三、轴对称变换
1．轴对称与轴对称图形
轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点. 轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.
2．轴对称变换的性质
①关于直线对称的两个图形是全等图形.
②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线.
③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.
④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.
3．轴对称作图步骤
①找出已知图形的关键点，过关键点作对称轴的垂线，并延长至2倍，得到各点的对称点．
②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.
4.平移、轴对称、旋转三种变换的关系：
图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图
形是全等的．
要点四、图形的全等
1. 全等图形
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等图形.
要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.
2. 全等多边形
（1）定义：能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角.
（2）性质：全等多边形的对应边相等，对应角相等.
（3）判定：边、角分别对应相等的两个多边形全等.
3. 全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
（1）全等三角形的性质
全等三角形的对应边、对应角分别相等.
要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.
（2）全等三角形的判定
如果两个全等三角形的边、角分别对应相等，那么这两个全等三角形全等.
【典型例题】
类型一、平移变换
1. 阅读理解题．
（1）两条直线a，b相交于一点O，如图①，有两对不同的对顶角；
（2）三条直线a，b，c相交于点O，如图②，则把直线平移成如图③所示的图形，可数出6对不同的对顶角；
（3）四条直线a，b，c，d相交于一点O，如图④，用（2）的方法把直线c平移，可数出对不同的对顶角；
（4）n条直线相交于一点O，用同样的方法把直线平移后，有对不同的对顶角；
（5）2013条直线相交于一点O，用同样的方法把直线平移后，有对不同的对顶角．
【思路点拨】
（3）画出图形，根据图形得出即可；
（4）根据以上能得出规律，有n（n-1）对不同的对顶角；
（5）把n=2013代入求出即可．
【答案与解析】
解：（3）
如图有12对不同的对顶角，
故答案为：12．
（4）有n（n-1）对不同的对顶角，
故答案为：n（n-1）；
（5）把n=2013代入得：2013×（2013-1）=4050156，
故答案为：4050156．
【总结升华】本题考查了平移与对顶角的应用，关键是能根据题意得出规律．2．操作与探究：
对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以1
3
，再把所得数对应的点向右平移1个单位，
得到点P的对应点P′．点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．如图1，若点A表示的数是-3，则点A′表示的数是________；若点B′表示的数是2，则点B表示的数是_____；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合，则点E表示的数是__________．
【思路点拨】（根据题目规定，以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点A′，设点B表示的数为a，根据题意列出方程求解即可得到点B表示的数，设点E表示的数为b，根据题意列出方程计算即可得解；
【答案】0；3；3 2 .
【解析】
解：点A′：-3×1
3
+1=-1+1=0，
设点B表示的数为a，则1
3
a+1=2，解得a=3，
设点E表示的数为b，则1
3
b+1=b，解得b=
3
2
；
故答案为：0；3；3
2
.
【总结升华】耐心细致的读懂题目信息是解答本题的关键．
举一反三：
【变式】如图，面积为12cm2的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移距离是边BC长的两倍，则图中四边形ACED的面积为（）
A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．无法确定
【答案】B.
四边形ABED是平行四边形且S四边形ABED=S四边形ACFD，而S四边形ACED=S四边形ABED-S△ABC．
类型二、旋转变换
3．正方形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，F是OB上一点，且OE=OF，回答下列问题：
（1）在图中1，可以通过平移、旋转、翻折中的哪一种方法，使△OAF变到△OBE的位置．请说出其变化过程．
（2）指出图（1）中AF和BE之间的关系，并证明你的结论．
（3）若点E、F分别运动到OB、OC的延长线上，且OE=OF（如图2），则（2）中的结论仍然成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明你的理由．
【思路点拨】
（1）根据图形特点即可得到答案；
（2）延长AF交BE于M，根据正方形性质求出AB=BC，∠AOB=∠BOC，证△AOF≌△BOE，推出AF=BE，∠FAO=∠EBO，根据三角形内角和定理证出即可；
（3）延长EB交AF于N，根据正方形性质推出∠ABD=∠ACB=45°，AB=BC，得到∠ABF=∠BCE，同法可证△ABF≌△BCE，推出AF=BE，∠F=∠E，∠FAB=∠EBC，得到∠E+∠FAB+∠BAO=90°即可．
【答案与解析】
解：（1）旋转，以点O为旋转中心，逆时针旋转90度．
（2）图（1）中AF和BE之间的关系：AF=BE；AF⊥BE．
证明：延长AF交BE于M，
∵正方形ABCD，
∴AC⊥BD，OA=OB，
∴∠AOB=∠BOC=90°，
在△AOF和△BOE中
∴△AOF≌△BOE（SAS），
∴AF=BE，∠FAO=∠EBO，
∵∠EBO+∠OEB=90°，
∴∠FAO+∠OEB=90°，
∴∠AME=90°，
∴AF⊥BE，
即AF=BE，AF⊥BE．
（3）成立；
证明：延长EB交AF于N，
∵正方形ABCD，
∴∠ABD=∠ACB=45°，AB=BC，
∵∠ABF+∠ABD=180°，∠BCE+∠ACB=180°，
∴∠ABF=∠BCE，
∵AB=BC，BF=CE，
∴△ABF≌△BCE，
∴AF=BE，∠F=∠E，∠FAB=∠EBC，
∵∠F+∠FAB=∠ABD=45°，
∴∠E+∠FAB=45°，
∴∠E+∠FAB+∠BAO=45°+45°=90°，
∴∠ANE=180°-90°=90°，
∴AF⊥BE，
即AF=BE，AF⊥BE．
【总结升华】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，旋转的性质等知识点的连接和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
4. 如图，在正方形ABCD中，F是AD的中点，E是BA延长线上一点，且AE=1
2 AB．
①你认为可以通过平移、轴对称、旋转中的哪一种方法使△ABF变到△ADE的位置？若是旋转，指出旋转中心和旋转角．
②线段BF和DE之间有何数量关系？并证明．
【思路点拨】
（1）把△ABF以A点为旋转中心，逆时针旋转90°可得到△ADE；
（2）根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAF=∠EAD，又F是AD的中点，AE=1
2
AB，则AE=AF，根据旋转
的定义得到△ABF以A点为旋转中心，逆时针旋转90°时，AB旋转到AD，AF旋转到AE，于是有BF=DE．【答案与解析】
解：（1）可以通过旋转使△ABF变到△ADE的位置，即把△ABF以A点为旋转中心，逆时针旋转90°可得到△ADE；
（2）线段BF和DE的数量关系是相等．理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAF=∠EAD，
∵F是AD的中点，AE=1
2 AB，
∴AE=AF，
∴△ABF以A点为旋转中心，逆时针旋转90°时，AB旋转到AD，AF旋转到AE，即F点与E点重合，B点与D点重合，
∴BF与DE为对应线段，
∴BF=DE．
【总结升华】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形的性质．
举一反三：
【变式】如下图，等边△ABC经过平移后成为△BDE，则其平移的方向是；平移的距离是；△ABC经过旋转后成为△BDE，则其旋转中心是；旋转角度是度．
【答案】
解：等边△ABC经过平移后成为△BDE，则其平移的方向是水平向右；平移的距离是AB或BD；
△ABC经过旋转后成为△BDE，则其旋转中心是B；旋转角度是120度．
类型三、轴对称变换
5．现有如图①的瓷砖若干块．
（l）用两块这样的瓷砖拼成一个长方形，使拼成的图案呈轴对称图形，请在图②的两
个长方形中各画出一种拼法（要求两种拼法不同，所画图案中的阴影部分用斜线表示）；
（2）用四块如图①的瓷砖拼成一个正方形，使拼成的图案成轴对称图形，请你在图③的三个正方形中各画出一种拼法，要求同（1）；
（3）在第（1）题中，请你计算用如图①的瓷砖拼成的所有长方形中，是轴对称图形的成功率是多少？
【思路点拨】
（1）根据用两块这样的瓷砖拼成一个长方形，使拼成的图案呈轴对称图形，利用轴对称图形的性质拼凑即可；
（2）利用轴对称图形的性质拼凑即可；
（3）根据所有是轴对称图形的个数，以及拼凑总数即可求出是轴对称图形的成功率．
【答案与解析】
解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）∵所有拼凑图形是16种，是轴对称图形的个数是4种，
∴是轴对称图形的成功率为：
41 164
．
【总结升华】此题考查了利用轴对称设计图案的知识，同时考查了学生的动手实践能力和逻辑思维能力．趣味性强，便于操作，是一道好题．
举一反三：
【变式】（2015秋?睢宁县期中）如图，是4×4正方形网格，其中已有4个小方格涂成了黑色．现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个黑色部分图形构成轴对称图形，这样的白色小方格有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C．
解：如图所示：蓝色正方形位置都能使此图形是轴对称图形，
类型四、图形的全等
6. （2016春?蓝田县期中）如图，在下列4个正方形图案中，与左边正方形图案全等的图案是（）
A．B．C．D．
【思路点拨】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断，对选择项逐个与原图对比验证．【答案】C．
【解析】
解：能够完全重合的两个图形叫做全等形．
A、B、D图案均与题干中的图形不重合，所以不属于全等的图案，
C中的图案旋转180°后与题干中的图形重合．
故选C．
【总结升华】本题考查的是全等图形的识别，主要根据全等图形的定义做题．
第八单元对称、平移和旋转测试题 班级姓名分数 一、画出下面图形的对称轴（每题3分） 二、画出下面每个图形所有的对称轴（每题5分） 三、选择（将正确答案的序号填在括号里）（每题2分） 1.下面图形不是轴对称图形的是（）。 ①长方形②等腰梯形③平行四边形④等边三角形 2.长方形有（）条对称轴，圆有（）条对称轴，正方形有（）条对称轴。 ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤无数 3.从6:00到9:00，时针旋转了（）。 ① 30°② 60°③ 90°④ 180° 四、看图填一填（每空2分） （1）小帆船先向（）平移了（）格，再向（）平移了（）格。（2）三角形先向（）平移了（）格，再向（）平移了（）格。
（注意：图在格内所画的竖线、横线都是与格子竖线、横线重合的！！！） 2、指针从B开始，顺时针旋转90°到（）。指针从B开始，逆时针旋转90°到（） 五、按要求画一画 1.将六边形先向下平移4格，再向右平移5格。（10分） 2.将小旗图围绕A点顺时针旋转90°。（9分）
倍数和因数测试题 班级姓名等 级 一、填空（每空2分） 1.在18÷3=6中，（）和（）是（）的因数。在3×9=27中，（）是（）和（）的倍数。 2.24的所有因数有（），从小到大15的5个倍数有（）。 3.7是7的（）数，也是7的（）数。 4.在15、18、25、30、19中，2的倍数有（），5的倍数有（），3的倍数有（），既是2、5又是3的倍数有（）。 5.一个数的最大因数是12，这个数是（）；一个数的最小倍数是18，这个数是（）。 6.在20以内的自然数中，是奇数又是合数的数是 （）。 二、判断（在括号里对的打“√”，错的打“×” ）（每题2分） 1.1是奇数也是素数。………………………………………… （） 2.所有的偶数都是合数。……………………………………… （） 3.18的因数有6个，18的倍数有无数个。…………………（） 4.一个数是6的倍数，这个数一定是2和3的倍数。……… （） 5.两个奇数的和是偶数，两个奇数的积是合数。…………… （） 6.一个自然数个位上是0，这个自然数一定是2和5的倍数。（） 三、选择（将正确答案的序号填在括号里）（每题2分） 1.13的倍数是（） ①合数②素数③可能是合数，也可能是素数 2.11和2都是（）。
旋转、平移、轴对称、中心对称知识点总结 轴对称平移旋转中心对称全等 定义一个（两个）平 面图形沿某条直 线对折能够完全 重合 平面图形在它所在 平面上的平行移动。 决定要素：平移的方 向、平移的距离 一个平面图形绕一 定点按一定的方向 旋转一定的角度的 运动。 一个图形旋转 180°能与自身 重合 能够完全重合的 两个图形 表示方法： ΔABC≌△DEF 轴对称 图形 成轴对 称 中心对 称图形 成中心 对称 全等多边形 全等三角形 对应边 对应角 一个图 形； 不止一 条对称 轴 两个图 形； 只有一 条对称 轴 旋转对称图形：一 个图形绕内部某一 点旋转一定的角度 能与自身重合。 一个图 形 两个图 形 图形 特征对应角相等，对 应边相等 ①对应点间的连线 平行且相等（或在同 一条直线上） ②对应边平行且相 等（或在同一条直线 上），对应角相等， 图形的形状和大小 不改变。 ①图形上每一点都 绕同一点按相同的 方向和角度旋转 ②对应点到旋转中 心的距离相等 ③对应边相等，对 应角相等，图形的 性状大小不改变 连结对应点的线 段必然经过对称 中心，并被对称 中心平分成相等 的两部分。 对应边相等，对应 角相等
判断方法沿着某条直线对 折看是否重合。 找平移的方向和距 离： 找一组对应点，连线 即是他平移的方向 和距离 找旋转的方向和角 度： 找一组对应点，与 旋转中心连线的夹 角 ①旋转180°能 否与自身重合 ②对应点间的连 线是否经过同一 点，并被这一点 平分 各边对应相等 各角对应相等 找对称轴：①找一 组对应点连线， 做其垂直平分 线。②找两组对应 点连线，过两条 中点的直线 找对称中心：① 找一组对应点连 线找其中点 ②两组对应点连 线的交点 画法 ①找关键点 ②过每个关键点 做对称轴的垂线 截取与之相等的 距离，标出对应 点 ③连接对应点。 ①找关键点 ②过每个关键点做 平移方向的平行线 截取与之相等的距 离，标出对应点 ③连接对应点。 ①找关键点 ②连接关键点与旋 转中心，将这条线 段按方向和角度旋 转，标出对应点 ③连接对应点。 ①找关键点 ②连接关键点与 对称中心，延长 并截取相等的长 度，标出对应点 ③连接对应点。 重要结论①线段是轴对称 图形，对称轴是 它的垂直平分 线。 ②角是轴对称图 形，对称轴是它 的角平分线。 ③垂直平分线的 性质：垂直平分 线上任意一点到 线段两端的距离 相等。④角平分 线的性质：角平 分线上任意一点 到叫两边的距离 相等。⑤对称轴 垂直平分对称点 间的连线。 ①多次平移相当于 一次平移 ②两条对称轴平行 时，两次轴对称相当 于一次平移 ①线段旋转90°后 与原来的位置垂直 ②两条对称轴相交 时，两次轴对称相 当于一次旋转。 ①中心对称一定 是旋转对称，旋 转对称不一定是 中心对称。 ②任何通过中心 对称图形的对称 中心的直线都将 这个图形分成面 积相等的两部 分。 ③两条对称轴互 相垂直时，两次 轴对称相当于一 次中心对称 ①一个图形经过 轴对称、平移或选 转等变换得到的 新图形一定与原 图形全等 ②两个全等的图 形总能经过轴对 称、平移或旋转等 变换后重合。
轴对称全章复习与巩固（基础） 【学习目标】 1. 认识轴对称、轴对称图形，理解轴对称的基本性质及它们的简单应用； 2. 了解垂直平分线的概念，并掌握其性质； 3. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、轴对称 1.轴对称图形和轴对称 （1）轴对称图形 如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. （2）轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． 2.线段的垂直平分线 线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 要点二、作轴对称图形 1.作轴对称图形
第十三章《轴对称》 一、知识点归纳 （一）轴对称和轴对称图形 1、有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称． 2、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线） 3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 4、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 5．画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。 （二）、轴对称与轴对称图形的区别和联系 区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称． 联系： 1：都是折叠重合 2;如果把成轴对称的两个图形看成一个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。 （三）线段的垂直平分线 （1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线） （2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． （证明是必须有两个点）因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合． （四）用坐标表示轴对称 1、点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（-x，y）；
轴对称知识梳理 一、基本概念 1.轴对称图形 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点. 2.线段的垂直平分线 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 3.轴对称变换 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换. 4.等腰三角形 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 5.等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 二、主要性质 1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 2.线段垂直平分钱的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 3.（1）点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为P′（x，-y）. （2）点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标为P″（-x，y）. 4.等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合. （3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴. （4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等. （5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。 （6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边. 5.等边三角形的性质 （1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. （2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴. （3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合. 三、有关判定 1.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）. 3.三个角都相等的三角形是等边三角形. 4.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
轴对称与轴对称图形 一、知识点： 1．什么叫轴对称： 如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。 2．什么叫轴对称图形： 如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 3．轴对称与轴对称图形的区别与联系： 区别： ①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿 某直线对折能完全重合。 ②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。 联系： ①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。 ②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形； 如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对 称。 常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等 边三角形、角、线段、相交的两条直线等。
4．线段的垂直平分线：Array 垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 （也称线段的中垂线） 5．轴对称的性质： ⑴成轴对称的两个图形全等。 ⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。 6．怎样画轴对称图形： 画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点。 二、举例： 例1：判断题： ①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线；（） ②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴；（） ③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形；（） ④两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁。（） 例2：下图曾被哈佛大学选为入学考试的试题.请在下列一组图形符号中找出它们所蕴含的在规律，然后把图形空白处填上恰当的图形.
（封面） 《对称平移和旋转》教学要点及易错点 授课学科： 授课年级： 授课教师： 授课时间： XX学校
《对称、平移和旋转》教学要点及易错点 在这一单元中，包括三个章节的内容：对称、平移和旋转。 （一）对称这一章节中教学目的有三：1、认识轴对称图形，掌握轴对称图形的基本特征。2、能用折纸等方法确定轴对称图形的对称轴。3、能在方格纸上按要求画出轴对称图形的另一半。重点：理解轴对称图形 的意义和特征。难点：确定轴对称图形的对称轴；画出轴对称图形的另 一半。 易错点：1、对称轴的画法。有学生把虚线画成了实线，有学生把 对称轴画成了线段，即虚线的两端不出图形两头，因为对称轴是折痕所 在的这条直线，所以应该画成虚的直线。2、画对称图形的另一半。引 导学生掌握画法：（1）先确定对称点，如图形的顶点、相交点、端点等；（2）然后数出或量出图形关键点到对称轴的距离；在对称轴的另一侧找出关键点的对称点；（3）按所给图形的顺序连接各点，画出所给图形的另一半。但是往往有学生不用直尺画，因此画出的图形严格意义讲并不 是轴对称图形。 （二）平移的知识教学目的：1、感知平移现象，认识图形的平移，理解平移的特点。2、掌握图形连续平移的方法，能利用平移设计简单 的图案。重点：图形连续平移的方法。难点：正确判断平移的方向和距离。 平移的方向：上下左右移动。 平移的特点：物体或图形平移后，它们的形状、大小、方向都不改变，只是位置发生了变化。
在方格纸上画出平移后的图形。方法是：（1）找出图形的关键点（或关键线段）；（2）以关键点（或关键线段）为参照点（或参照线段），数出平移的格数。（3）按指定方向和格数，把参照点（或参照线段）平移到新位置，描出各点或画出线段。（4）把各点按原图顺次连接，就得到平移后的图形。 学生的易错点：学生在数出图形平移了几格时，部分会数错，原因 是搞不清以哪里为平移的起点到哪里为止。 （三）旋转的教学目的：1、理解旋转的含义和旋转三要素，探索图形旋转的特点和性质。2、能在方格纸上将简单图形旋转90°，并能运 用旋转在方格纸上设计图案。3、了解由简单图形经过旋转制作复杂图 形的过程，提高空间想象能力和综合运用知识的能力。重点：图形旋转 的特征和性质。难点：能画出一个图形旋转一定角度后的图形。 知识点：什么是旋转，旋转三要素：旋转中心、旋转方向（顺时针 或逆时针）、旋转角度。 易错点：1、旋转的叙述。需要从旋转中心、旋转方向和旋转度数 三个方面入手。学生不容易说全面。2、画出旋转90°后的图形。方法：（1）找出原图形的关键线段或关键点，借助三角板做关键段的垂线段，或者作关键点与旋转点所在线段的垂线段。（2）从旋转点开始，在所作的垂线上量出与原线段相等的长度标好端点，既原图所找关键点的对应点。3、顺次连接所画的对应点。通过演示、动手画等让学生掌握方法。但是学生对方法的掌握需要一个过程，仍有学生不知所措。
第三章图形的平移与旋转复习要点 专点一：图形的平移 1．平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移是由移动的方向和距离决定的。 2.平移的性质： （1）平移不改变图形的形状和大小：即平移前后的线段相等，平移前后的三角形或多边形全等。 （2）平移后的图形与原来图形的对应线段平行且相等，对应角相等。 （3）平移后两图形的对应点所连的线段平行且相等。 专点二：图形的旋转 ` 1.旋转的定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点沿着某个方向（顺时针或逆时针）旋转一定的角度，这样的图形运动成为旋转，这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。 2.旋转的性质： （1）旋转不改变图形的形状和大小：即旋转前后的图形是一组全等形。 （2）旋转后的图形与原来的图形的对应线段相等，对应角相等。 （3）经过旋转，图形上的每一点都绕着旋转中心沿相同的方向转动了相同的角度。 （4）任意一对对应点与旋转中心的距离相等。 考点三、中心对称 ( 1、定义 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 2、性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3、判定
^ 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 4、中心对称图形 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 考点四、坐标系中对称点的特征 1、关于原点对称的点的特征：两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y） 2、关于x轴对称的点的特征：两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y） 3、关于y轴对称的点的特征：两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y） ： 专点五：利用轴对称、旋转和平移作图 1.平移作图的一般步骤： （1）确定平移的方向和距离； （2）确定构成图形的关键点（线段两个端点，三角形三个顶点，n边形n 个顶点）； （3）按照平移的方向和距离平移各个关键点； （4）顺次连接各个关键点的对应点，所得的图形就是平移后的图形。 2.旋转作图的一般步骤： * （1）确定旋转中心、旋转角及旋转方向； （2）确定原图形的关键点； （3）旋转个关键点，得到对应点； （4）依次连接各关键点的对应点，所得的图形就是旋转后的图形。 3.图形之间的变换关系： 在图形变换中，最常见的变换有轴对称、平移、旋转，它们都是把一个图形变成另外一个图形，并且这些变换都只是改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。
轴对称 【学习目标】 1．理解轴对称图形以及两个图形成轴对称的概念，弄清它们之间的区别与联系，能识别轴对称图形． 2．理解图形成轴对称的性质，会画一些简单的关于某直线对称的图形． 3．理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段的垂直平分线的性质及判定，会画已知线段的垂直平分线． 4．能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的数学问题及实际问题． 【要点梳理】 【高清课堂 389298 轴对称知识要点】 要点一、轴对称图形 轴对称图形的定义 一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴. 要点诠释： 轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定. 要点二、轴对称 1.轴对称定义 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点 要点诠释： 轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等. 2.轴对称与轴对称图形的区别与联系 轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称. 要点三、轴对称与轴对称图形的性质 轴对称、轴对称图形的性质 轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．要点四、线段的垂直平分线 定义： 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线． 性质： 性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 要点诠释：
m C A B P 图3 图2 m C A B 第十二章 轴对称知识点总结 我保证认真独立地完成今天的作业！ 签名：____________ 一、知识梳理 1、轴对称图形____________________ ____________________________ 这条直线叫做________________。互相重合的点叫做________________。 轴对称_______________________________________________ _ 这条直线叫做________________。。互相重合的点叫做________________。。 2、轴对称图形与轴对称的区别与联系： 区别________________________________________________。 联系________________________________________________。 3、轴对称的性质： _______________________________________________。 _______________________________________________。 4、线段的垂直平分线定义： ________________________________________________ 如图2， ∵CA=CB ， 直线m ⊥AB 于C ， ∴直线m 是线段AB 的垂直平分线。 5、线段的垂直平分线性 质:_______________________________________________。 如图3， ∵CA=CB ， 直线m ⊥AB 于C ， 点P 是直线m 上的点。 ∴PA=PB 。 6、等腰三角形定 义:___________________________________________： 7、等腰三角形性质:___________________________________________： ___________________________________________： 8、等腰三角形判定。 判定①。___________________________________________： 判定②___________________________________________：
轴对称—知识讲解（提高） 【学习目标】 1．理解轴对称图形以及两个图形成轴对称的概念，弄清它们之间的区别与联系，能识别轴对称图形； 2．理解轴对称图形的性质，会画一些简单的关于某直线对称的图形； 3．理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段的垂直平分线的性质及判定，会画已知线段的垂直平分线； 4.能运用轴对称的性质，解决简单的数学问题或实际问题，提高分析问题和解决问题的能力．【要点梳理】 要点一、轴对称与轴对称图形 1.轴对称图形的定义 一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴. 要点诠释： 轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定. 2.轴对称定义 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点. 要点诠释： 轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等. （后边学习全等） 3.轴对称与轴对称图形的区别与联系 轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称. 4.轴对称、轴对称图形的性质 轴对称图形（或成轴对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等； 如果一个图形是轴对称图形，那么连结对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴． 要点二、线段的垂直平分线 定义： 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线． 性质： 性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 要点诠释： 线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件. （后边学习全等）
第13章轴对称（知识归纳） 【学习目标】 1. 认识轴对称、轴对称图形，理解轴对称的基本性质及它们的简单应用； 2. 了解垂直平分线的概念，并掌握其性质； 3. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法. 【知识网络】 【知识讲解】 知识点一：轴对称 1.轴对称图形和轴对称 （1）轴对称图形 如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. （2）轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的. 联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． 2.线段的垂直平分线 线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 知识点二：作轴对称图形 1.作轴对称图形 （1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形； （2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
平移旋转与对称 一、选择题 1. （2014?四川巴中，第7题3分）下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） A．B． C．D． 考点：轴对称图形和中心对称图形的识别． 分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 解答：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项错误； C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误．故选C． 点评：考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. （2014?山东枣庄，第8题3分）将一次函数y=x的图象向上平移2个单位，平移后，若y A．x＞4 B．x＞﹣4 C．x＞2 D．x＞﹣2 考点：一次函数图象与几何变换 分析：利用一次函数平移规律得出平移后解析式，进而得出图象与坐标 轴交点坐标，进而利用图象判断y＞0时，x的取值范围． 解答：解：∵将一次函数y=x的图象向上平移2个单位， ∴平移后解析式为：y=x+2， 当y=0，则x=﹣4，x=0时，y=2，如图： ∴y＞0，则x的取值范围是：x＞﹣4， 故选：B．
点评：此题主要考查了一次函数图象与几何变换以及图象画法，得出函 数图象进而判断x的取值范围是解题关键． 3. （2014?山东潍坊，第2题3分）下列标志中不是中心对称图形的是( ) 考点：中心对称图形． 分析：根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解． 解答：A、是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项错误； C、是不中心对称图形，故本选项正确； D、是中心对称图形，故本选项错误． 故选：C． 点评：本题考查了中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 4. （2014?山东烟台，第2题3分）下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） A．B．C．D． 考点：轴对称图形和中心对称图形的识别． 分析：根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出． 解答：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称 图形，故此选项错误；
轴对称 【知识脉络】 【基础知识】 Ⅰ. 轴对称 （1）轴对称图形 如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴. 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. （2）轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.
（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别：轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的. 联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． （4）线段的垂直平分线 线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. Ⅱ. 作轴对称图形 1.作轴对称图形 （1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形； （2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. 2.用坐标表示轴对称 点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,－y）；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（－x,y）；点（x,y）关于原点对称的点的坐标为（－x,－y）. Ⅲ. 等腰三角形 1.等腰三角形 （1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形. （2）等腰三角形性质 ①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
第13章 轴对称知识点总结 一、定义 1.轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的 部分能够完全重合。这条直线叫做对称轴。 2.轴对称：两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能 够与另一个图形完全重合。这条直线叫做对称轴。 3.轴对称图形与轴对称的区别和联系： 区别：轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对 称关系”； 轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关 系”。 联系：把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称； 把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。 4.轴对称的性质： （1）成轴对称的两个图形全等。 （2）对称轴与对应点连结的线段垂直。 （3）对应点到对称轴的距离相等。 （4）对应点的连线互相平行。 二、.线段的垂直平分线 （1）定义：经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。 ∵CA=CB ， 直线m ⊥AB 于C ， ∴直线m 是线段AB 的垂直平分线。 （2）垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。 ∵CA=CB ， 直线m ⊥AB 于C ， 点P 是直线m 上的点。 ∴PA=PB 。 （3）垂直平分线判定： ∵PA=PB ， 直线m 是线段AB 的垂直平分线， ∴点P 在直线m 上 。 三、等腰三角形 1.定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。 ①相等的两条边叫做腰。第三条边叫做底。 ②两腰的夹角叫做顶角。 ③腰与底的夹角叫做底角。 注意：等腰三角形底角只能是锐角。 2.等腰三角形性质： ①等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线”，只有一条。 ②等边对等角。 ③三线（垂线、中线、角平分线）合一。 3.等腰三角形判定 ①有两条边相等的三角形是等腰三角形。 m C A B D'D C'B'A'K J I H 底边底角底角顶角腰腰C B A
轴对称知识点总结
轴对称知识点总结 1、轴对称图形： 一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。 这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。 2、轴对称： 两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。 这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。 3、轴对称图形与轴对称的区别与联系： （1）区别。轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系”；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。（2）联系。把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。 4、轴对称的性质： （1）成轴对称的两个图形全等。 （2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。 （3）对应点到对称轴的距离相等。 （4）对应点的连线互相平行。 5、线段的垂直平分线：
（1）定义：经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。 性质：线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。（2）判定： 与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。 6、等腰三角形： （1）定义。有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。。 （2）性质。等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线”，只有一条。等边对等角。三线合一。 （3）判定。有两条边相等的三角形是等腰三角形。有两个角相等的三角形是等腰三角形。 7、等边三角形： （1）定义。三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。 说明：等边三角形就是腰和底相等的等腰三角形，因此，等边三角形是特殊的等腰三角形。 （2）性质。 等边三角形是轴对称图形，其对称轴是“三边的垂直平分线”，有三条。 三条边上的中线、高线及三个内角平分线都相交于一点。 等边三角形的三个内角都等于60°。 （3）判定。 三条边都相等的三角形是等边三角形。
轴对称 1.1轴对称图形 如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，?这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．（有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴。） 轴对称 有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，?那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称． 图形轴对称的性质 性质1：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；注：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线． 性质1的证明如下：如图所示，△ABC与△关于l对称，其中点A、是对称点，设 交对称轴于点P． 证明：将△ABC和△沿l折叠后，点A与重合，则有，∠1=∠2=90°，即对称轴把垂直平分，同样也能把、都垂直平分，于是得出性质1． 性质2：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．证明类似性质1．
轴对称与轴对称图形的区别 轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，?成轴对称的两个图形是全等形，且有特殊位置关系；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．如图所示： 1.2线段的垂直平分线 性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 证明：如图所示，l是线段AB的垂直平分线，P为l上任意一点，求证性质1. 性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 证明：如图所示，P在线段AB上方，且PA=PB，求证P在线段AB的垂直平分线上。 以上两点性质可得出：线段的垂直平分线可看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合． 1.3 轴对称变换 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．? 成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到．
图形的平移，对称与旋转的易错题汇编含答案 一、选择题 1．如图所示，把一张矩形纸片对折，折痕为AB，再把以AB的中点O为顶点的平角 三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三AOB 角形，那么剪出的等腰三角形全部展开平铺后得到的平面图形一定是() A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形 【答案】D 【解析】 【分析】 对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现． 【详解】 由第二个图形可知：∠AOB被平分成了三个角，每个角为60°，它将成为展开得到图形的中心角，那么所剪出的平面图形是360°÷60°=6边形． 故选D． 【点睛】 本题考查了剪纸问题以及培养学生的动手能力及空间想象能力，此类问题动手操作是解题的关键． 2．下列四个交通标志图中，是轴对称图形的是() A．B．C．D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】 A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项正确； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误． 故选B． 【点睛】 .轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重本题考查了轴对称图形的概念
合． 3．如图，在边长为15 2 2 的正方形ABCD中，点E，F是对角线AC的三等分点，点P在正 方形的边上，则满足PE+PF=55的点P的个数是（） A．0 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【解析】 【分析】 作点F关于BC的对称点M，连接EM交BC于点P，则PE+PF的最小值为EM，由对称性可得CM=5，∠BCM=45°，根据勾股定理得EM=55 【详解】 作点F关于BC的对称点M，连接EM交BC于点P，则PE+PF的最小值为EM． ∵正方形ABCD 15 2 2 ， ∴15 2 2 2=15， ∵点E，F是对角线AC的三等分点， ∴EC=10，FC=AE=5， ∵点M与点F关于BC对称， ∴CF=CM=5，∠ACB=∠BCM=45°， ∴∠ACM=90°， ∴2222 10555 EC CM +=+= ∴在BC边上，只有一个点P满足PE+PF=55， 同理：在AB，AD，CD边上都存在一个点P，满足PE+PF=55，∴满足PE+PF=55的点P的个数是4个． 故选B．
新航道教育四年级寒假培优小册 第一章平移、旋转、轴对称 平移 1、物体在同一平面上沿直线运动，这种现象叫做平移。 注意：平移只是沿水平方向左右移动（×） 平移不仅仅局限于左右运动。 2、平移二要素：（1）平移方向；（2）平移距离。 将一个图形平移时，要先确定方向，再确定平移的距离，缺一不可。 3、平移的特征：物体或图形平移后，他们的形状、大小、方向都不改变，只是位置发生改变。 4、在方格纸上平移图形的方法： （1）找出图形的关键点； （2）以关键点为参照点，按指定方向数出平移的格数，描出平移后的点； （3）把各点按原图顺序连接，就得到平移后的图形。 注意：用箭头标明平移方向（→） 旋转 1、旋转：物体绕某一点或轴的转动。 2、旋转方向：与时针运动方向相同的是顺时针方向； 与时针运动方向相反的是逆时针方向； 3、旋转三要素：旋转点（旋转中心）、旋转方向、旋转角度。 4、图形旋转的特征：图形旋转后，形状、大小都没发生变化，只是位置和方向变了。 5、图形旋转的性质：图形绕某一点旋转一定的角度，图形中的对应点、对应线段都旋转相 同的角度，对应点到旋转点的距离相等。 6、旋转的叙述方法：物体是绕哪个点向什么方向旋转了多少度。 7、简单图形旋转90°的画法： （1）找出原图形的关键线段或关键点，借助三角板作关键线段的垂线，或者作关键点与旋转点所在线段的垂线； （2）从旋转点开始，在所作的垂线上量出与原线段相等的长度取点，即所找的点是原图形关键点的对应点； （3）参照原图形顺次连接所画的对应点。 关键线段：水平的、竖直的、过旋转点的线段。
轴对称图形 1、将图形沿着一条直线对折，如果直线两侧的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。折痕所在的直线叫做对称轴。 注意：对称轴是直线，既不是线段，也不是射线，画时不用实线，用虚线 （虚线、尺子、露头） 2、轴对称图形性质：对称点到对称轴的距离相等。 3、对称点：轴对称图形沿对称轴对折后，互相重合的点叫做对称点。 4、在方格纸上补全轴对称图形关键： 找出所给图形的关键点的对称点，要按照顺序将对称点连接起来。 5、不同的轴对称图形，对称轴的数量也不同，轴对称图形至少有一条对称轴。 图形正方形长方形 等腰 三角形 等边 三角形 等腰 梯形 菱形圆形 对称轴4条2条1条3条1条2条无数条 第一章平移、旋转、轴对称复习题 1、下面哪些是平移，哪些是旋转？ （）（）（） （）（）（）