二次函数的图像与性质
满分训练
1.已知二次函数y=x2-5x+m的图像与x轴有两个交点,若其中一个交点的坐标为(1,0),则另一个交点的坐标为()
A.(-1,0)``
B.(4,0)
C.(5,0)
D.(-6,0)
2.若直线y=x+m与抛物线y=x2+3x有交点,则m的取值范围是()
A.m≥-1
B.m≤-1
C.m>1
D.m<1
3.如图,在平面直角坐标系中,点A是抛物线y=a(x-3)2+k与y轴的交点,点B是这条抛物线上的另一点,且AB∥x轴,则以AB为边的等边三角形ABC的周长为()
A.15
B.18
C.21
D.24
4.下列关于抛物线y=x2-(a+1)x+a-2的说法错误的是()
A.开口向上
B.当a=2时,经过坐标原点O
C.不论a为何值,都过定点(1,-2)
D.当a>0时,对称轴在y轴的左侧
5.(xx·陕西模拟)已知二次函数y=x2+2x+m2+2m-1(m为常数),当自变量x的值满足1≤x ≤3时,与其对应的函数值y的最小值为5,则m的值为()
A.1或-5
B.-1或5
C.1或-3
D.1或3
6.若点A(a,m)和点B(b,m)是二次函数y=mx2+4mx-3上的两个点,则a+b的值为()
A.2
B.4
C.-2
D.-4
7.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像是由二次函数y=1
2
x2的图像经过平移而得到的,若二次
函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于A,C(-1,0)两点,与y轴交于点D
5
0,
2
??
?
??
,顶点为B,
则四边形ABCD的面积为()
A.9
B.10
C.11
D.12
8.如图,是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图像的一部分,抛物线的顶点坐标为A(1,3),抛物线与x轴的一个交点为B(4,0),有下列结论:①2a+b=0;②abc>0;③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根;④当y<0时,-2<x<4。其中正确的是()
A.②③
B.①③
C.①③④
D.①②③④
9.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是实数,且a≠0)中x与y的部分对应值如下表,则下列结论正确的个数是()
①当x<-4时,y<3;②当x=1时,y的值为-13;③x=-2是方程ax2+(b-2)x+c-7=0的一个根;④方程ax2+bx+c=6有两个不相等的实数根。
A.4
B.3
C.2
D.1
10.设直线x=2是函数y=ax2+bx+c(a,b,c是实数,且a>0)的图像的对称轴,()
A.若m>3,则(m-1)a+b>0
B.若m>3,则(m-1)a+b<0
C.若m<3,则(m-1)a+b>0
D.若m<3,则(m-1)a+b<0
11.(xx·某高新一中模拟)已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)过点A(0,3),B(9,4),则对称轴可能是直线x=()
A.6
B.5
C.4.5
D.4
12.抛物线y=ax2+(a-3)x-2(a<0)的顶点一定位于()
A.x轴的负半轴上
B.第二象限
C.第三象限
D.第二象限或第三象限
13.如果二次函数y=x2-2x+p的图像与端点为(-1,2)和(3,5)的线段只有一个交点,那么p的值可能为()
A. 5
2
B.
3
2
C.3
D.
3
2
14.(xx·陕西模拟)如图,抛物线过(-2,0),(4,0),(0,-4)三点,沿x轴方向平移抛物线,使以平移后的抛物线与x轴、y轴的三个交点为顶点的三角形的面积为9,则符合条件的平移方式有()
A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
15.如图,边长为1的正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上,将正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°,使点B落在抛物线y=ax2(a<0)上,则抛物线y=ax2的解析式为()
A.y=
2
3
-x2 B.y=
2
3
-x2 C.y=-2x2 D.y=
1
2
-x2
16.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),顶点坐标为C(1,k),与y轴的交点在(0,2),(0,3)之间(不包含端点),则k的取值范围是()
A.2<k<3
B. 5
2
<k<4 C.
8
3
<k<4 D.3<k<4
17.(xx·某铁一中模拟)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像经过(-1,0),(3,0)两点,当-2≤x≤5时,y的最大值为12,则a的值为()
A.1
B.-3
C.1或-3
D.无法确定
18.(xx·陕西模拟)如图,已知抛物线y=3
2
x2+3x-
9
2
与x轴交于A,B两点(点A在点B
的左侧),且抛物线的顶点为C,连接BC,则sin∠ABC=()
A. 1
3
B.3
C.
10
10
D.
310
10
19.(xx·某汇知中学模拟)已知抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点,且过A(x1,m),B (x1+n,m)两点,则m,n的关系为()
A.m=1
2
n B.m=
1
4
n C.m=
1
2
n2 D.m=
1
4
n2
20.(xx·陕西模拟)已知二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值如下表:
有下列说法:①该抛物线的开口向上;②该抛物线的对称轴为过点(1,0)且平行于y轴的直线;③方程ax2+bx+c=2的正根在3与4之间;④若A(-2 017,m),B(2 018,n)在二次函数的图像上,则m>n。其中正确的个数是()
A.1
B.2
C.3
D.4
21.(xx·山东威海中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图,下列结论错误的是(
)
A.abc<0
B.a+c<b
C.b2+8a>4ac
D.2a+b>0
22.(xx·陕西模拟)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴交于点A(-2,0),B(1,0),直线x=-0.5与此抛物线交于点C,与x轴交于点M,在直线上取点D,使MD=MC,连接AC,BC,AD,BD。有下列结论:①a-b=0;②当-2<x<1时,y>0;③四边形ACBD是菱形;④9a-3b+c>0。其中正确的是()
A.②③④
B.①②④
C.①③④
D.①②③
23.(xx·湖北荆门中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图像如图,顶点坐标为(-2,-9a),有下列结论:① 4a+2b+c>0;②5a-b+c=0;③若方程a(x+5)·(x-1)=-1有两个根x1和x2,且x1<x2,则-5<x1<x2<1;④若方程|ax2+bx+c|=1有四个根,则这四个根的和为-4。其中正确的结论有()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
24.(xx ·某工大附中模拟)在平面直角坐标系中,点P 的坐标为(3,3),将抛物线y=-12
x 2
+2x+3沿水平方向或竖直方向平移,使其经过点P ,则平移的最短距离为( )
A.1
B.
32
D.3
参考答案
2008年全国中考数学试题分类精编 二次函数专题一、选择题 1.(2008资阳市) 在平面直角坐标系中,如果抛物线y =2x 2 不动,而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位,那么在新坐标系下抛物线的解析式是 ( ) A .y =2(x -2)2 + 2 B .y =2(x + 2)2 -2 C .y =2(x -2)2-2 D .y =2(x + 2)2 + 2 2.(2008四川达州市)已知二次函数 2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,当0y <时, x 的取值范围是( ) A .13x -<< B .3x > C .1x <- D .3x >或1x <- 3.(2008泰州市)二次函数 342++=x x y 的图像可以由二次函数2x y =的图像平移而得 到,下列平移正确的是( ) A .先向左平移2个单位,再向上平移1个单位 B .先向左平移2个单位,再向下平移1个单位 C .先向右平移2个单位,再向上平移1个单位 D .先向右平移2个单位,再向下平移1个单位 4.(2008山西省)抛物线 5422---=x x y 经过平移得到22x y -=,平移方法是( ) A .向左平移1个单位,再向下平移3个单位 B .向左平移1个单位,再向上平移3个单位 C .向右平移1个单位,再向下平移3个单位 D .向右平移1个单位,再向上平移3个单位 5.(2008年陕西省)已知二次函数 2y ax bx c =++(其中000a b c >><,,), 关于这个二次函数的图象有如下说法: ①图象的开口一定向上;②图象的顶点一定在第四象限;③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧. 以上说法正确的个数为( ) A .0 B .1 C .2 D .3 6、(2008年吉林省长春市)抛物线 ()2 23y x =++的顶点坐标是 【 】 A.(-2,3) B.(2,3) C.(-2,-3) D.(2,-3) 7、(2008年吉林省长春市)二次函数 362+-=x kx y 的图象与x 轴有交点,则k 的取值范围是【 】 A .3 二次函数的图像与性质 满分训练 1.已知二次函数y=x2-5x+m的图像与x轴有两个交点,若其中一个交点的坐标为(1,0),则另一个交点的坐标为() A.(-1,0)`` B.(4,0) C.(5,0) D.(-6,0) 2.若直线y=x+m与抛物线y=x2+3x有交点,则m的取值范围是() A.m≥-1 B.m≤-1 C.m>1 D.m<1 3.如图,在平面直角坐标系中,点A是抛物线y=a(x-3)2+k与y轴的交点,点B是这条抛物线上的另一点,且AB∥x轴,则以AB为边的等边三角形ABC的周长为() A.15 B.18 C.21 D.24 4.下列关于抛物线y=x2-(a+1)x+a-2的说法错误的是() A.开口向上 B.当a=2时,经过坐标原点O C.不论a为何值,都过定点(1,-2) D.当a>0时,对称轴在y轴的左侧 5.(xx·陕西模拟)已知二次函数y=x2+2x+m2+2m-1(m为常数),当自变量x的值满足1≤x ≤3时,与其对应的函数值y的最小值为5,则m的值为() A.1或-5 B.-1或5 C.1或-3 D.1或3 6.若点A(a,m)和点B(b,m)是二次函数y=mx2+4mx-3上的两个点,则a+b的值为() A.2 B.4 C.-2 D.-4 7.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像是由二次函数y=1 2 x2的图像经过平移而得到的,若二次 函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于A,C(-1,0)两点,与y轴交于点D 5 0, 2 ?? ? ?? ,顶点为B, 则四边形ABCD的面积为() A.9 B.10 C.11 D.12 8.如图,是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图像的一部分,抛物线的顶点坐标为A(1,3),抛物线与x轴的一个交点为B(4,0),有下列结论:①2a+b=0;②abc>0;③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根;④当y<0时,-2<x<4。其中正确的是() A.②③ B.①③ C.①③④ D.①②③④ 1、抛物线()322 +-=x y 的顶点坐标是( ) A (-2,3) B (2,3) C (-2,-3) D (2,-3) 2、抛物线21 323y x x =-+-与2y ax =的形状相同,而开口方向相反,则a =( ) A 13- B 3 C 3- D 13 3.二次函数c bx x y ++=2的图象上有两点(3,-8)和(-5,-8), 则此拋物线的对称轴是( ) A .x =4 B. x =3 C. x =-5 D. x =-1。 4.抛物线122+--=m mx x y 的图象过原点,则m 为( ) A .0 B .1 C .-1 D .±1 5.把二次函数122--=x x y 配方成顶点式为( ) A .2)1(-=x y B . 2)1(2--=x y C .1)1(2++=x y D .2)1(2-+=x y 6.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示, 给出以下结论: ① 0a b c ++<;② 0a b c -+<;③20b a +<;④0abc >. 其中所有正确结论的序号是( ) A. ③④ B. ②③ C. ①④ D. ①② 7.直角坐标平面上将二次函数y =-2(x -1)2-2的图象向左平移1个单位,再向上平移1个 单位,则其顶点为( ) A.(0,0) B.(1,-2) C.(0,-1) D.(-2,1) 8.18.已知函数y=3x 2-6x+k(k 为常数)的图象经过点A(0.85,y 1),B(1.1,y 2),C(2,y 3), 则有( ) (A) y 1 二次函数专项复习经典试题集锦(含答案) 一、选择题: 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是( ) A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图,则点 ),(a c b M 在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2,且0+-c b a ,则一定有( ) A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式 是532+-=x x y ,则有( ) A. 3=b ,7=c B. 9-=b ,15-=c C. 3=b ,3=c D. 9-=b ,21=c 5. 下面所示各图是在同一直角坐标系,二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象,有且只有一个是正确的,正确的是( ) B D 6. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线( ) A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x 7. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是( ) A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 8. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,若 c b a M ++=24c b a N +-=,b a P -=4,则( ) A. 0>M ,0>N ,0>P B. 0 x 时,求使y ≥2的x 的取值围. 2018二次函数中考选择填空题(难) 一.选择题(共18小题) 1.(2018?杭州)四位同学在研究函数y=x2+bx+c(b,c是常数)时,甲发现当x=1时,函数有最小值;乙发现﹣1是方程x2+bx+c=0的一个根;丙发现函数的最小值为3;丁发现当x=2时,y=4,已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的,则该同学是() A.甲B.乙C.丙D.丁 2.(2018?泸州)已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自变量),当x≥2时,y随x的增大而增大,且﹣2≤x≤1时,y的最大值为9,则a的值为()A.1或﹣2 B.或C.D.1 3.(2018?齐齐哈尔)抛物线C1:y1=mx2﹣4mx+2n﹣1与平行于x轴的直线交于A、B两点,且A点坐标为(﹣1,2),请结合图象分析以下结论:①对称轴为直线x=2;②抛物线与y轴交点坐标为(0,﹣1);③m>;④若抛物线C2:y2=ax2(a≠0)与线段AB恰有一个公共点,则a的取值范围是≤a<2;⑤不等式mx2﹣4mx+2n>0的解作为函数C1的自变量的取值时,对应的函数值均为正数,其中正确结论的个数有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 4.(2018?连云港)已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h=﹣t2+24t+1.则下列说法中正确的是() A.点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B.点火后24s火箭落于地面 C.点火后10s的升空高度为139m D.火箭升空的最大高度为145m 5.(2018?贵阳)已知二次函数y=﹣x2+x+6及一次函数y=﹣x+m,将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新函数(如图所示),当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时,m的取值范围是() A.﹣<m<3 B.﹣<m<2 C.﹣2<m<3 D.﹣6<m<﹣2 6.(2018?乐山)二次函数y=x2+(a﹣2)x+3的图象与一次函数y=x(1≤x≤2)的图象有且仅有一个交点,则实数a的取值范围是() A.a=3±2B.﹣1≤a<2 C.a=3或﹣≤a<2 D.a=3﹣2或﹣1≤a<﹣ 7.(2018?宁波)如图,二次函数y=ax2+bx的图象开口向下,且经过第三象限的点P.若点P的横坐标为﹣1,则一次函数y=(a﹣b)x+b的图象大致是() A.B.C. D. 8.(2018?达州)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(﹣1,0),与y轴的交点B在(0,2)与(0,3)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=2. 砺智教育二次函数 一、选择题:(共30分) 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是( ) A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线 2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图,则点), (a c b M 在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2,且0+-c b a ,则一定有( ) A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式 是532+-=x x y ,则有( ) A. 3=b ,7=c B. 9-=b ,15-=c C. 3=b ,3=c D. 9-=b ,21=c 5. 已知反比例函数x k y = 的图象如右图所示,则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为( ) B x 6. 下面所示各图是在同一直角坐标系内,二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象,有且只有一个是正确的,正确的是( ) B D 7. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线( ) A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x 8. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是( ) A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 9. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,若 c b a M ++=24c b a N +-=,b a P -=4,则( ) A. 0>M ,0>N ,0>P B. 0 二次函数经典测试题及答案解析 一、选择题 1.如图,ABC ?为等边三角形,点P 从A 出发,沿A B C A →→→作匀速运动,则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是( ) A . B . C . D . 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段,故可排除选项C 与D ;点P 从点B 运动到点C 时,y 是x 的二次函数,并且有最小值,故选项B 符合题意,选项A 不合题意. 【详解】 根据题意得,点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段,故选项C 与选项D 不合题意; 点P 从点B 运动到点C 时,y 是x 的二次函数,并且有最小值, ∴选项B 符合题意,选项A 不合题意. 故选B . 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象:通过分类讨论,利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系,然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题. 2.二次函数y =x 2+bx 的对称轴为直线x =2,若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t =0(t 为实数)在﹣1<x <4的范围内有解,则t 的取值范围是( ) A .0<t <5 B .﹣4≤t <5 C .﹣4≤t <0 D .t ≥﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出b ,确定二次函数解析式,关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t =0的解可以看成二次函 数y =x 2﹣4x 与直线y =t 的交点,﹣1<x <4时﹣4≤y <5,进而求解; 【详解】 解:∵对称轴为直线x =2, ∴b =﹣4, ∴y =x 2﹣4x , 关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t =0的解可以看成二次函数y =x 2﹣4x 与直线y =t 的交点, ∵﹣1<x <4, ∴二次函数y 的取值为﹣4≤y <5, ∴﹣4≤t <5; 故选:B . 【点睛】 本题考查二次函数图象的性质,一元二次方程的解;将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题,数形结合的解决问题是解题的关键. 3.一列自然数0,1,2,3,…,100.依次将该列数中的每一个数平方后除以100,得到一列新数.则下列结论正确的是( ) A .原数与对应新数的差不可能等于零 B .原数与对应新数的差,随着原数的增大而增大 C .当原数与对应新数的差等于21时,原数等于30 D .当原数取50时,原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】 设出原数,表示出新数,利用解方程和函数性质即可求解. 【详解】 解:设原数为m ,则新数为2 1100 m , 设新数与原数的差为y 则22 11100100 y m m m m =-=-+, 易得,当m =0时,y =0,则A 错误 ∵1 0100 - < 当1m 50 122100b a ﹣﹣﹣===??? ??? 时,y 有最大值.则B 错误,D 正确. 当y =21时,2 1100 m m - +=21 解得1m =30,2m =70,则C 错误. 二次函数练习题 一、选择题: 1.下列关系式中,属于二次函数的是(x为自变量)() A. B. C. D. 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1,-4) B.(-1,2) C. (1,2) D.(0,3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论中,正确的是() A. ab>0,c>0 B. ab>0,c<0 C. ab<0,c>0 D. ab<0,c<0 6. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则点在第___象限() A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 7. 如图所示,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4,图象交 x轴于点A(m,0)和点B,且m>4,那么AB的长是() A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限,则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是() 9. 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示,抛物线的对称轴为直线 x=-1,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是抛物线上的点,P3(x3,y3)是直线上的点, 且-1 10.把抛物线的图象向左平移2个单位,再向上平移3个单位,所得的抛物线的函数关系式是() A. B. C. D. 二、填空题: 11. 二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是______________. 12. 若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式,则y=________. 13. 若抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点,则AB的长为_________. 14. 抛物线y=x2+bx+c,经过A(-1,0),B(3,0)两点,则这条抛物线的解析式为_____________. 15. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点,交y轴于C点,且△ABC是直角三角形,请写出一个符合要求的二次函数解析式________________. 16. 在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v0(m/s)竖直向上抛物出,在不计空气阻力的 情况下,其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足:(其中g是常数,通常取10m/s2).若v0=10m/s,则该物体在运动过程中最高点距地面_________m. 17. 试写出一个开口方向向上,对称轴为直线x=2,且与y轴的交点坐标为(0,3)的抛物线的解析式为______________. 18. 已知抛物线y=x2+x+b2经过点,则y1的值是_________. 三、解答题: 19. 若二次函数的图象的对称轴方程是,并且图象过A(0,-4)和B(4,0),(1)求此二次函数图象上点A关于对称轴对称的点A′的坐标;(2)求此二次函数的解析式; 历届中考二次函数试题精选 一、填空题 1.(2012?烟台)已知二次函数y=2(x ﹣3)2+1.下列说法:①其图象的开口向下;②其图象的对称轴为直线x=﹣3;③其图象顶点坐标为(3,﹣1);④当x <3时,y 随x 的增大而减小.则其中说法正确的有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 2.(2012泰安)设A 1(2)y -,,B 2(1)y ,,C 3(2)y ,是抛物线2(1)y x a =-++上的三点,则1y ,2y ,3y 的大小关系为( ) A .213y y y >> B .312y y y >> C .321y y y >> D .312y y y >> 3.(2012潜江)已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,它与x 轴的两个交点分别为(﹣1,0),(3,0).对于下列命题:①b﹣2a=0;②abc<0;③a﹣2b+4c <0; ④8a+c>0.其中正确的有( ) A .3个 B .2个 C .1个 D .0个 4. (2011湖北襄阳)已知函数12)3(2 ++-=x x k y 的图象与x 轴有交 点,则k 的取值范围是( ) A.4 A .31≤≤-x B .31<<-x C .31>- 细品二次函数小题 感受知识运用经典 在中考中二次函数占举足轻重的地位,其小题更是涌现出其灵活性、创新性。选择填空题虽阅读量小,但细品来,其解法灵活,且具有探索性,对学生的基础知识、基本技能及分析理解能力的要求不亚于一些压轴题。现加以归类浅析,为大家以后解决小题提供经验: 一、与a 、b 、c 有关 例1 如图1,在平面直角坐标系中,二次函数c ax y +=2 的图象过正方形ABOC 的三个顶点A 、B 、C ,则ac 值为 。 解析:由已知易得A (0,c )则正方形ABOC 的C 点坐标为( 1 c 2 ,1c 2 ),代入c ax y +=2 得211c ac c 24 =+,化简得ac 2=-。 例2 (2010邯郸)如图2,抛物线y=ax 2+bx+c ,OA=OC ,下列关系中正确的是 ( ) A .ac+1=b B .ab+1=c C .bc+1=a D . b a +1=c 解析:由已知得C (0,c ),又OA=OC ,∴A(-c ,0),将A 点代入y=ax 2+bx+c 得,0=2 ac bc c ac 1b -++=,得,即ac+1=b 。选A 。 例3 (2009义乌)如图3,抛物线2 y ax bx c =++与x 轴的一个交点A 在点(-2,0)和(-1,0)之间(包括这两点),顶点C 是矩形DEFG 上(包括边界和内部)的一个动点,则 (1)abc 0(填“>”或“<”); (2)a 的取值范围是 。 解析:(1)开口向下a <0,对称轴b x 2a =->0,∴b >0,C 是与y 轴交点的纵坐标,∴C >0,∴abc <0; (2)a 决定开口大小,a 越大,抛物线开口越小。当抛物线在x 轴的交点与抛物线对称轴的距离大,且顶点接近x 轴(顶点与x 轴距离小)时,抛物线开口就大,即 a 最小,此时 图1 B A C 图2 图3 二次函数——选择填空题 1、(2013)已知两点),3(),,5(21y B y A -均在抛物线)0(2 ≠++=a c bc ax y 上,点 ),(00y x C 是该抛物线的顶点,若021y y y ≥>,则0x 的取值围是( ) A .50->x B .10->x C .150-<<-x D .320<<-x 考点:二次函数图象性质的应用及对称性的考查。 解析:由点),(00y x C 是该抛物线的顶点,且021y y y ≥>,所以0y 为函数的最小值,即得出抛物线的开口向上,因为021y y y ≥>,所以得出点A 、B 可能在对称轴的两侧或者是在对称轴的左侧,当在对称轴的左侧时,y 随x 的增大而减小,因此0x >3,当在对称轴的两侧时,点B 距离对称轴的距离小于点A 到对称轴的距离,即得0x -(-5)>3-0x ,解得10->x ,综上所得:10->x ,故选B 2、(2013)二次函数y=ax 2 +bx+c (a≠0)的图象如图所示,则下列结论中正确的是( ) A .a >0 B .当﹣1<x <3时,y >0 C .c <0 D .当x ≥1时,y 随x 的增大而增大 考点:二次函数图象与系数的关系. 分析:由抛物线的开口方向判断a 与0的关系,由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断. 解答:解:A .抛物线的开口方向向下,则a <0.故本选项错误; B .根据图示知,抛物线的对称轴为x=1,抛物线与x 轴的一交点的横坐标是﹣1,则抛物线与x 轴的另一交点的横坐标是3, 所以当﹣1<x <3时,y >0.故本选项正确; C .根据图示知,该抛物线与y 轴交与正半轴,则c >0.故本选项错误; D .根据图示知,当x ≥1时,y 随x 的增大而减小,故本选项错误. 故选B . 点评:本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数y=ax 2 +bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定. 二次函数练习题及答案 一、选择题 1. 将抛物线23y x =先向左平移2个单位,再向下平移1个单位后得到新的抛物线,则新抛物线的解析式是 ( ) A 23(2)1y x =++ B.23(2)1y x =+- C.23(2)1y x =-+ D.23(2)1y x =-- 2.将抛物线22+=x y 向右平移1个单位后所得抛物线的解析式是………………( ) A.32+=x y ; B.12+=x y ;C.2)1(2++=x y ; D.2)1(2+-=x y . 3.将抛物线y= (x -1)2 +3向左平移1个单位,再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为( ) A .y=(x -2)2 B .y=(x -2)2+6 C .y=x 2+6 D .y=x 2 4.由二次函数1)3(22 +-=x y ,可知( ) A .其图象的开口向下 B .其图象的对称轴为直线3x =- C .其最小值为1 D .当x<3时,y 随x 的增大而增大 5.如图,抛物线的顶点P 的坐标是(1,﹣3),则此抛物线对应的二 次函数有( ) A .最大值1 B .最小值﹣3 C .最大值﹣3 D .最小值1 6.把函数()y f x ==246x x -+的图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位,所得图象对应的函数的解析式是( ) A .2(3)3y x =-+ B .2(3)1y x =-+ C .2(1)3y x =-+ D .2(1)1y x =-+ 7.抛物线图像向右平移2个单位再向下平移3个单位,所得图像的解析式为,则b 、c 的值为 A . b=2, c=2 B. b=2,c=0 C . b= -2,c=-1 D. b= -3, c=2 二、填空题 8.二次函数y=-2(x -5)2+3的顶点坐标是 . 2c bx x y ++=2322 --=x x y 实用标准文案 二次函数填空压轴题精选 一.填空题(共20小题) 1.(2013?)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,给出下列结论: ①2a+b>0;②b>a>c;③若﹣1<m<n<1,则m+n<﹣;④3|a|+|c|<2|b|. 其中正确的结论是_________(写出你认为正确的所有结论序号). 2.(2013?)二次函数y=的图象如图,点A0位于坐标原点,点A1,A2,A3…A n在y轴的正半轴上,点B1, B2,B3…B n在二次函数位于第一象限的图象上,点C1,C2,C3…C n在二次函数位于第二象限的图象上,四边形 A0B1A1C1,四边形A1B2A2C2,四边形A2B3A3C3…四边形A n﹣1B n A n C n都是菱形, ∠A0B1A1=∠A1B2A2=∠A2B3A3…=∠A n﹣1B n A n=60°,菱形A n﹣1B n A n C n的周长为_________. 3.(2013?)如图,抛物线y=x2+bx+与y轴相交于点A,与过点A平行于x轴的直线相交于点B(点B在第一象 限).抛物线的顶点C在直线OB上,对称轴与x轴相交于点D.平移抛物线,使其经过点A、D,则平移后的抛物线的解析式为_________. 4.(2012?贵港)若直线y=m(m为常数)与函数y=的图象恒有三个不同的交点,则常数m的取值围是_________. 5.(2011?)如图,已知函数y=与y=ax2+bx(a>0,b>0)的图象交于点P.点P的纵坐标为1.则关于x的方程ax2+bx+=0的解为_________. 6.(2010?)如图,抛物线y=ax2+c(a<0)交x轴于点G,F,交y轴于点D,在x轴上方的抛物线上有两点B,E,它们关于y轴对称,点G,B在y轴左侧,BA⊥OG于点A,BC⊥OD于点C,四边形OABC与四边形ODEF的面积分别为6和10,则△ABG与△BCD的面积之和为_________. 7.(2007?)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点为D,其图象与x轴的交点A,B的横坐标分别为﹣1, 3,与y轴负半轴交于点C.下面五个结论:①2a+b=0;②a+b+c>0;③4a+b+c>0;④只有当a=时,△ABD 是等腰直角三角形;⑤使△ACB为等腰三角形的a的值可以有三个.那么,其中正确的结论是_________. 8.(2013?模拟)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),下列说法: ①若b2﹣4ac=0,则抛物线的顶点一定在x轴上; ②若b=a+c,则抛物线必经过点(﹣1,0); ③若a<0,且一元二次方程ax2+bx+c=0有两根x1,x2(x1<x2),则ax2+bx+c<0的解集为x1<x<x2; ④若,则方程ax2+bx+c=0有一根为﹣3. 其中正确的是_________(把正确说法的序号都填上). 二次函数——选择填空题 1、(2013陕西)已知两点),3(),,5(21y B y A -均在抛物线)0(2 ≠++=a c bc ax y 上, 点),(00y x C 是该抛物线的顶点,若021y y y ≥>,则0x 的取值范围是( ) A .50->x B .10->x C .150-<<-x D .320<<-x 考点:二次函数图象性质的应用及对称性的考查。 解析:由点),(00y x C 是该抛物线的顶点,且021y y y ≥>,所以0y 为函数的最小值,即得出抛物线的开口向上,因为021y y y ≥>,所以得出点A 、B 可能在对称轴的两侧或者是在对称轴的左侧,当在对称轴的左侧时,y 随x 的增大而减小,因此0x >3,当在对称轴的两侧时,点B 距离对称轴的距离小于点A 到对称轴的距离,即得0x -(-5)>3-0x ,解得10->x ,综上所得:10->x ,故选B 2、(2013济宁)二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象如图所示,则下列结论中正确的是( ) A .a >0 B .当﹣1<x <3时,y >0 C .c <0 D .当x ≥1时,y 随x 的增大而增大 考点:二次函数图象与系数的关系. 分析:由抛物线的开口方向判断a 与0的关系,由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断. 解答:解:A .抛物线的开口方向向下,则a <0.故本选项错误; B .根据图示知,抛物线的对称轴为x=1,抛物线与x 轴的一交点的横坐标是﹣1,则抛物线与x 轴的另一交点的横坐标是3, 所以当﹣1<x <3时,y >0.故本选项正确; C .根据图示知,该抛物线与y 轴交与正半轴,则c >0.故本选项错误; D .根据图示知,当x ≥1时,y 随x 的增大而减小,故本选项错误. 故选B . 点评:本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定. 3、(2013杭州)给出下列命题及函数y=x ,y=x 2和y= 人教版初中数学二次函数经典测试题 一、选择题 1.已知二次函数y =ax 2+bx +c (a >0)经过点M (﹣1,2)和点N (1,﹣2),则下列说法错误的是( ) A .a +c =0 B .无论a 取何值,此二次函数图象与x 轴必有两个交点,且函数图象截x 轴所得的线段长度必大于2 C .当函数在x <110 时,y 随x 的增大而减小 D .当﹣1<m <n <0时,m +n < 2a 【答案】C 【解析】 【分析】 根据二次函数的图象和性质对各项进行判断即可. 【详解】 解:∵函数经过点M (﹣1,2)和点N (1,﹣2), ∴a ﹣b +c =2,a +b +c =﹣2, ∴a +c =0,b =﹣2, ∴A 正确; ∵c =﹣a ,b =﹣2, ∴y =ax 2﹣2x ﹣a , ∴△=4+4a 2>0, ∴无论a 为何值,函数图象与x 轴必有两个交点, ∵x 1+x 2=2a ,x 1x 2=﹣1, ∴|x 1﹣x 2|=>2, ∴B 正确; 二次函数y =ax 2+bx +c (a >0)的对称轴x =﹣ 2b a =1a , 当a >0时,不能判定x < 110时,y 随x 的增大而减小; ∴C 错误; ∵﹣1<m <n <0,a >0, ∴m +n <0, 2a >0, ∴m +n <2a ; 故选:C. 【点睛】 本题考查了二次函数的问题,掌握二次函数的图象和性质是解题的关键. 2.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点(1,0)和点(0,﹣2),且顶点在第三象限,设P=a﹣b+c,则P的取值范围是( ) A.﹣4<P<0 B.﹣4<P<﹣2 C.﹣2<P<0 D.﹣1<P<0 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 解:∵二次函数的图象开口向上,∴a>0. ∵对称轴在y轴的左边,∴ b 2a -<0.∴b>0. ∵图象与y轴的交点坐标是(0,﹣2),过(1,0)点,代入得:a+b﹣2=0. ∴a=2﹣b,b=2﹣a.∴y=ax2+(2﹣a)x﹣2. 把x=﹣1代入得:y=a﹣(2﹣a)﹣2=2a﹣4, ∵b>0,∴b=2﹣a>0.∴a<2. ∵a>0,∴0<a<2.∴0<2a<4.∴﹣4<2a﹣4<0,即﹣4<P<0. 故选A. 【点睛】 本题考查二次函数图象与系数的关系,利用数形结合思想解题是本题的解题关键. 3.抛物线y=-x2+bx+3的对称轴为直线x=-1.若关于x的一元二次方程-x2+bx+3﹣t=0(t为实数)在﹣2<x<3的范围内有实数根,则t的取值范围是() A.-12<t≤3B.-12<t<4 C.-12<t≤4D.-12<t<3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据给出的对称轴求出函数解析式为y=-x2?2x+3,将一元二次方程-x2+bx+3?t=0的实数根看做是y=-x2?2x+3与函数y=t的交点,再由﹣2<x<3确定y的取值范围即可求解. 二次函数练习题 姓名: 一、选择题(每题3分,共60分) 1.二次函数22(1)3y x =-+的图象的顶点坐标是 ( ) (A ) (1,3) (B ) (1-,3) (C ) (1,3-) (D ) (1-,3-) 2、二次函数y=x 2-(12-k)x+12,当x>1时,y 随着x 的增大而增大,当x<1时,y 随着x 的增大而减小,则k 的值应取( ) (A )12 (B )11 (C )10 (D )9 3、下列四个函数中,y 的值随着x 值的增大而减小的是( ) (A )x y 2= (B )()01>= x x y (C )1+=x y (D )()02>=x x y 4、如果抛物线y=x 2-6x+c-2的顶点到x 轴的距离是3,那么c 的值等于( ) (A )8 (B )14 (C )8或14 (D )-8或-14 5、把二次函数23x y =的图象向左平移2个单位,再向上平移1个单位,所得到的图象对应的二次函数关系式是( ) (A )()1232+-=x y (B ) ()1232-+=x y (C ) ()1232 --=x y (D )()1232 ++=x y 6、若0<>000,, B .a b c <<>000,, C .a b c <><000,, D .a b c <>>000,, 11.如果二次函数y ax bx c =++2(a >0)的顶点在x 轴上方,那么( ) A .b 2-4ac ≥0 B .b 2-4ac <0 C .b 2-4ac >0 D .b 2-4ac =0 图1 二次函数单元测试卷 一、选择题(每小题3分,共30分) 1. 当-2≤ x ≦1,二次函数y=-(x-m )2 + m 2 +1有最大值4,则实数m 值为( ) A.-4 7 B. 3或-3 C.2或-3 D. 2或3或- 4 7 2. 函数 2 2y mx x m =+-(m 是常数)的图像与x 轴的交点个数为( ) A. 0个 B .1个 C .2个 D .1个或2个 3. 关于二次函数 2 y ax bx c =++的图像有下列命题:①当0c =时,函数的图像经过原点;②当0c >,且函数的图像开口向下时,方程2 0ax bx c ++=必有两个不相等的实根;③函数图像最高点的纵坐标是 2 44ac b a -;④当0b =时,函数的图像关于y 轴对称.其中正确命题的个数是( ) A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个 4. 关于x 的二次函数 2 2(81)8y mx m x m =+++的图像与x 轴有交点,则m 的范围是( ) A . 1 16m <- B . 116m - ≥且0m ≠ C . 1 16m =- D . 1 16m >- 且0m ≠ 5. 下列二次函数中有一个函数的图像与x 轴有两个不同的交点,这个函数是( ) A .2 y x = B .24y x =+ C .2325y x x =-+ D .2 351y x x =+- 6. 若二次函数2 y ax c =+,当x 取1x 、2x (12x x ≠)时,函数值相等,则当x 取12x x +时,函数值为( ) A .a c + B .a c - C .c - D .c 7. 下列二次函数中有一个函数的图像与坐标轴有一个交点,这个函数是( ) A .1x y 2 —= B .24y x =+ C .1x 2x y 2+=— D .2 351y x x =+- 8. 抛物线2 321y x x =-+-的图象与坐标轴交点的个数是( ) A .没有交点 B .只有一个交点 C .有且只有两个交点 D .有且只有三个交点 9. 函数2 y ax bx c =++的图象如图所示,那么关于x 的一元二次方程2 30ax bx c ++-=的根的情况是( ) A .有两个不相等的实数根 B .有两个异号的实数根 《二次函数》填空题专题训练 1(?长春)如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上,顶点C的坐标为(4,3),D是抛物线y=﹣x2+6x上一点,且在x轴上方,则△BCD面积的最大值为______. 2.(?自贡)抛物线y=﹣x 2 +4ax+b(a>0)与x轴相交于O、A两点(其中O为坐标原点), 过点P(2,2a)作直线PM⊥x轴于点M,交抛物线于点B,点B关于抛物线对称轴的对称点为C(其中B、C不重合),连接AP交y轴于点N,连接BC和PC. (1)a=时,求抛物线的解析式和BC的长; (2)如图a>1时,若AP⊥PC,求a的值. 3.(?大庆)直线y=kx+b与抛物线y=x 2 交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,当OA⊥OB 时,直线AB恒过一个定点,该定点坐标为______. 4.(?泰州)二次函数y=x 2 ﹣2x﹣3的图象如图所示,若线段AB在x轴上,且AB为2个 单位长度,以AB为边作等边△ABC,使点C落在该函数y轴右侧的图象上,则点C的坐标为______. 5.(?天水)如图,二次函数y=ax 2 +bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交 于点C,且OA=OC,则下列结论:①abc<0;②;③ac﹣b+1=0;④OA?OB=﹣.其中正确结论的序号是______. 6.(?营口)如图,二次函数y=ax 2 +bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交 于点C,对称轴是直线x=﹣1,点B的坐标为(1,0).下面的四个结论: ①AB=4; ②b2﹣4ac>0; ③ab<0; ④a﹣b+c<0, 其中正确的结论是______(填写序号). 7.(?十堰)已知关于x的二次函数y=ax 2 +bx+c的图象经过点(﹣2,y1),(﹣1,y2),(1, 0),且y1<0<y2,对于以下结论:①abc>0;②a+3b+2c≤0;③对于自变量x的任意一个取值,都有x2+x≥﹣;④在﹣2<x<﹣1中存在一个实数x0,使得x0=﹣,其中结论错误的是______(只填写序号). 8.(?内江)二次函数y=ax 2 +bx+c的图象如图所示,且P=|2a+b|+|3b﹣2c|,Q=|2a﹣b|﹣ |3b+2c|,则P,Q的大小关系是______. 9.(?通辽)如图是二次函数y=ax 2 +bx+c图象的一部分,图象过点A(﹣3,0),对称轴为 直线x=﹣1,给出以下结论: ①abc<0 ②b2﹣4ac>02019届中考数学复习 专项一 选择、填空题专项 一、二次函数的图像与性质练习
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