2015年安徽省高考数学试卷
（理科）
一.选择题（每小题5分，共50分，在每小
题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1．（5分）（2015?安徽）设i是虚数单位，
则复数在复平面内对应的点位于
（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（5分）（2015?安徽）下列函数中，既是
偶函数又存在零点的是（）
A．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=x2+1
3．（5分）（2015?安徽）设p：1＜x＜2，q：
2x＞1，则p是q成立的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不
必要条件
4．（5分）（2015?安徽）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（）
A．
x2﹣=1B．
﹣y2=1
C．
﹣x2=1
D．
y2﹣=1
5．（5分）（2015?安徽）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（）
A．若α，β垂直
于同一平面，则
α与β平行
B．若m，n平行于
同一平面，则m
与n平行
C．若α，β不平
行，则在α内
不存在与β平
行的直线
D．若m，n不平行，
则m与n不可能
垂直于同一平
面
6．（5分）（2015?安徽）若样本数据x1，
x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，
2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（）
A．8B．15C．16D．
7．（5分）（2015?安徽）一个四面体的三视
图如图所示，则该四面体的表面积是（）
A．1+B．2+C．1+2D．2
8．（5分）（2015?安徽）△ABC是边长为2
的等边三角形，已知向量，满足=2，
=2+，则下列结论正确的是（）
A．
||=1
B．
⊥
C．
?=1D．（4+）
⊥
9．（5分）（2015?安徽）函数f（x）
=的图象如图所示，则下列结论
成立的是（）
A ． a ＞0，b ＞0，c ＜0
B ． a ＜0，b ＞0，c ＞0
C ． a ＜0，b ＞0，c ＜0
D ． a ＜0，b ＜0，c
＜0 10．（5分）（2015?安徽）已知函数f （x ）
=Asin （ωx+φ）（A ，ω，φ均为正的常数）
的最小正周期为π，当x=时，函数f
（x ）取得最小值，则下列结论正确的是（ ） A ． f （2）＜f （﹣2）＜f （0） B ． f （0）＜f （2）＜f （﹣2） C ． f （﹣2）＜f （0）＜f （2） D ． f （2）＜f （0）
＜f （﹣2） 二.填空题（每小题5分，共25分） 11．（5分）（2015?安徽）（x 3+）7
的展开
式中的x 5
的系数是 （用数字填
写答案） 12．（5分）（2015?安徽）在极坐标系中，圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值是 ． 13．（5分）（2015?安徽）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n 为
14．（5分）（2015?安徽）已知数列{a n }是
递增的等比数列，a 1+a 4=9，a 2a 3=8，则数列{a n }的前n 项和等于 ． 15．（5分）（2015?安徽）设x 3
+ax+b=0，其中a ，b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 （写出所有正确条件的编号）
①a=﹣3，b=﹣3．②a=﹣3，b=2．③a=﹣3，b ＞2．④a=0，b=2．⑤a=1，b=2．
三.解答题（共6小题，75分） 16．（12分）（2015?安徽）在△ABC 中，∠A=
，AB=6，AC=3
，点D 在BC 边上，
AD=BD ，求AD 的长．
17．（12分）（2015?安徽）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束． （Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； （Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3
件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）
18．（12分）（2015?安徽）设n∈N*，x n是曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线与x
轴交点的横坐标
（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；
（Ⅱ）记T n=x12x32…x2n﹣12，证明：T n ≥．
19．（13分）（2015?安徽）如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F．
（Ⅰ）证明：EF∥B1C；
（Ⅱ）求二面角E﹣AD﹣B1的余弦值．
20．（13分）（2015?安徽）设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，
点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，
直线OM 的斜率为
（Ⅰ）求E的离心率e；
（Ⅱ）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵
坐标为，求E的方程．
21．（13分）（2015?安徽）设函数f（x）=x2﹣ax+b．（Ⅰ）讨论函数f（sinx ）在（﹣，）
内的单调性并判断有无极值，有极值时求出最值；
（Ⅱ）记f n（x）=x2﹣a0x+b0，求函数|f（sinx）﹣f0（sinx）|在[﹣，]上的最大值D2
（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取a n=b n=0，求s=b ﹣
满足条件D≤1时的最大值．
2015年安徽省高考数学试
卷（理科）
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1．（5分）（2015?安徽）设i 是虚数单位，则复数
在复平面内对应的点位于
（ ）
A ． 第一象限
B ． 第二象限
C ． 第三象限
D ． 第四象限
考点： 复数的代数表
示法及其几何意义．
专题： 计算题；数系的
扩充和复数．
分析： 先化简复数，再
得出点的坐标，即可得出结论．
解答：
解：=i
（1+i ）=﹣1+i ，对应复平面上的点为（﹣1，1），在第二象限，
故选：B ． 点评：
本题考查复数的运算，考查复数的几何意义，考查学生的计算能力，比较基础．
2．（5分）（2015?安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A ． y =cosx B ． y =sinx C ． y =lnx D ． y =x 2
+1
考点： 函数的零点；函
数奇偶性的判
断．
专题： 函数的性质及应用．
分析：
利用函数奇偶性的判断方法以及零点的判断方法对选项分别分析选择． 解答：
解：对于A ，定义域为R ，并且cos （﹣x ）=cosx ，是偶函数并且有无数个零点； 对于B ，sin （﹣x ）=﹣sinx ，是奇函数，由无数个零点；
对于C ，定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数，有一个零点；
对于D ，定义域为R ，为偶函数，都是没有零点； 故选A ．
点评：
本题考查了函数的奇偶性和零点的判断．①求函数的定义域；②如果定义域关于原点不对称，函数是非奇非偶的函数；如果关于原点对称，再判断f （﹣x ）与f （x ）的关系；相等是偶函数，相反是
奇函数；函数的零点与函数图象与x 轴的交点以及与对应方
程的解的个数
是一致的．
3．（5分）（2015?安徽）设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不
必要条件
考点：必要条件、充分
条件与充要条
件的判断．
专题：简易逻辑．
分析：运用指数函数
的单调性，结合
充分必要条件
的定义，即可判
断．
解答：解：由1＜x＜2
可得2＜2x＜4，
则由p推得q成
立，
若2x＞1可得x
＞0，推不出1
＜x＜2．
由充分必要条
件的定义可得p
是q成立的充分
不必要条件．
故选A．
点评：本题考查充分
必要条件的判
断，同时考查指
数函数的单调
性的运用，属于
基础题．
4．（5分）（2015?安徽）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（）
A．
x2﹣=1B．
﹣y2=1
C．
﹣x2=1
D．
y2﹣=1
考点：双曲线的简单
性质．
专题：圆锥曲线的定
义、性质与方
程．
分析：对选项首先判
定焦点的位置，
再求渐近线方
程，即可得到答
案．
解答：解：由A可得焦
点在x轴上，不
符合条件；
由B可得焦点在
x轴上，不符合
条件；
由C可得焦点在
y轴上，渐近线
方程为y=±2x，
符合条件；
由D可得焦点在
y轴上，渐近线
方程为
y=x，不符
合条件．
故选C．
点评：本题考查双曲
线的方程和性
质，主要考查双
曲线的焦点和
渐近线方程的
求法，属于基础
题．
5．（5分）（2015?安徽）已知m，n是两条
不同直线，α，β是两个不同平面，则下列
命题正确的是（）
A．若α，β垂直
于同一平面，则
α与β平行
B．若m，n平行于
同一平面，则m
与n平行
C．若α，β不平
行，则在α内
不存在与β平
行的直线
D．若m，n不平行，
则m与n不可能
垂直于同一平
面
考点：空间中直线与
平面之间的位
置关系；空间中
直线与直线之
间的位置关系；
平面与平面之
间的位置关系．
专题：空间位置关系
与距离．
分析：利用面面垂直、
线面平行的性
质定理和判定
定理对选项分
别分析解答．
解答：解：对于A，若
α，β垂直于同
一平面，则α
与β不一定平
行，如果墙角的
三个平面；故A
错误；
对于B，若m，n
平行于同一平
面，则m与n平
行．相交或者异
面；故B错误；
对于C，若α，
β不平行，则在
α内存在无数
条与β平行的
直线；故C错误；
对于D，若m，n
不平行，则m与
n不可能垂直于
同一平面；假设
两条直线同时
垂直同一个平
面，则这两条在
平行；故D正确；
故选D．
点评：本题考查了空
间线面关系的
判断；用到了面
面垂直、线面平
行的性质定理
和判定定理．
6．（5分）（2015?安徽）若样本数据x1，
x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，
2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（）
A．8B．15C．16D．
考点：极差、方差与标
准差．
专题：概率与统计．
分析：根据标准差和
方差之间的关
系先求出对应
的方差，然后结
合变量之间的
方差关系进行
求解即可．
解答：解：∵样本数据
x1，x2，…，x10
的标准差为8，
∴=8，即
DX=64，
数据2x1﹣1，2x2
﹣1，…，2x10
﹣1的方差为D
（2X﹣1）
=4DX=4×64，
则对应的标准
差为
==16，
故选：C ． 点评：
本题主要考查方差和标准差的计算，根据条件先求出对应的方差是解决本题的关键．
7．（5分）（2015?安徽）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）
A ． 1+
B ． 2+
C ． 1+2
D ． 2
考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 计算题；空间位置关系与距离． 分析：
根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥，结合题意画出图形，利用图中数据求出它的表面积．
解答：
解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥，如图所示； ∴该几何体的
表面积为 S 表面积
=S △PAC +2S △PAB +S △ABC
=×2×1+2××
+×
2×1 =2+． 故选：B ．
点评：
本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．
8．（5分）（2015?安徽）△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量，满足
=2，
=2+，则下列结论正确的是（ ） A ．
||=1 B ．
⊥
C ．
?
=1
D ．
考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用．
分析：
由题意，知道
，
，根据已
知三角形为等
边三角形解之．解答：解：因为已知三
角形ABC的等边
三角形，，满
足=2，
=2+，又
，
所以，
，
所以=2，
=1×2×co
s120°=﹣1，
4=4×1×2
×cos120°=﹣
4，=4，所以
=0，
即（4）
=0，即
=0，所以
；
故选D．
点评：本题考查了向
量的数量积公
式的运用；注
意：三角形的内
角与向量的夹
角的关系．
9．（5分）（2015?安徽）函数f（x）
=的图象如图所示，则下列结论
成立的是（）
A．a＞0，b＞0，c
＜0
B．a＜0，b＞0，c
＞0
C．a＜0，b＞0，c
＜0
D．
考点：函数的图象．
专题：函数的性质及
应用．
分析：分别根据函数
的定义域，函数
零点以及f（0）
的取值进行判
断即可．
解答：解：函数在P处
无意义，即﹣c
＞0，则c＜0，
f（0）=，
∴b＞0，
由f（x）=0得
ax+b=0，即x=
﹣，
即函数的零点
x=﹣＞0，
∴a＜0，
综上a ＜0，b ＞0，c ＜0， 故选：C
点评：
本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合定义域，零点以及f （0）的符号是解决本题的关键．
10．（5分）（2015?安徽）已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x=
时，函数f
（x ）取得最小值，则下列结论正确的是
（ ） A ． f （2）＜f （﹣2）＜f （0） B ． f （0）＜f （2）＜f （﹣2） C ． f （﹣2）＜f （0）＜f （2） D ． f （2）＜f （0）
＜f （﹣2）
考点： 三角函数的周期性及其求法．
专题： 三角函数的图
像与性质．
分析： 依题意可求
ω=2，又当x=时，函数
f （x ）取得最小值，可解得φ，从而可求解析
式f （x ）=Asin
（2x+），利用正弦函数的图
象和性质及诱导公式即可比较大小．
解答：
解：依题意得，函数f （x ）的周期为π，
∵ω＞0， ∴ω==2．（3
分） 又∵当x=时，函数f （x ）取得最小值， ∴2×+φ=2kπ+
，k∈Z，可解得：φ=2kπ+
，
k∈Z，（5分）
∴f（x ）=Asin
（2x+2kπ+）
=Asin （2x+）．（6
分）
∴f （﹣2）=Asin （﹣4+）
=Asin （﹣
4+2π）＞0．
f （2）=Asin
（4+）＜0
f （0）=Asin =Asin
＞0 又∵
＞
﹣4+2π＞＞
，而f （x ）
=Asin（2x+）
在区间（，
）是单调递
减的，
∴f（2）＜f（﹣
2）＜f（0）
故选：A．
点评：本题主要考查
了三角函数的
周期性及其求
法，三角函数的
图象与性质，用
诱导公式将函
数值转化到一
个单调区间是
比较大小的关
键，属于中档
题．
二.填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）（2015?安徽）（x3+）7的展开
式中的x5的系数是35 （用数字填写答案）
考点：二项式定理的
应用．
专题：二项式定理．
分析：根据所给的二
项式，利用二项
展开式的通项
公式写出第r+1
项，整理成最简
形式，令x的指
数为5求得r，
再代入系数求
出结果．
解答：解：根据所给的
二项式写出展
开式的通项，
T r+1=
=；
要求展开式中
含x5的项的系
数，
∴21﹣4r=5，
∴r=4，可得：
=35．
故答案为：35．
点评：本题考查二项
式定理的应用，
本题解题的关
键是正确写出
二项展开式的
通项，在这种题
目中通项是解
决二项展开式
的特定项问题
的工具．
12．（5分）（2015?安徽）在极坐标系中，圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值是 6 ．
考点：简单曲线的极
坐标方程．
专题：坐标系和参数
方程．
分析：圆ρ=8sinθ化
为
ρ2=8ρsinθ，
把
代入可得直角
坐标方程，直线
θ=（ρ∈R）
化为y=x．利
用点到直线的
距离公式可得
圆心C（0，4）
到直线的距离
d，可得圆
ρ=8sinθ上的
点到直线
θ=（ρ∈R）
距离的最大值
=d+r．
解答：解：圆
ρ=8sinθ化为
ρ2=8ρsinθ，
∴x2+y2=8y，化
为x2+（y﹣4）
2=16．
直线θ=
（ρ∈R）化为
y=x．
∴圆心C（0，4）
到直线的距离
d=
=2，
∴圆ρ=8sinθ
上的点到直线
θ=（ρ∈R）
距离的最大值
=d+r=2+4=6．
故答案为：6．点评：本题考查了极
坐标化为直角
坐标方程、点到
直线的距离公
式，考查了推理
能力与计算能
力，属于中档
题．13．（5分）（2015?安徽）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n 为 4
考点：程序框图．
专题：图表型；算法和
程序框图．
分析：模拟执行程序
框图，依次写出
每次循环得到
的a，n的值，
当a=时不满
足条件|a﹣
1.414|=0.0026
7＞0.005，退出
循环，输出n的
值为4．
解答：解：模拟执行程
序框图，可得
a=1，n=1
满足条件|a ﹣
1.414|＞
0.005，a=，n=2
满足条件|a ﹣
1.414|＞
0.005，a=，n=3
满足条件|a﹣
1.414|＞
0.005，a=，
n=4
不满足条件|a
﹣
1.414|=0.0026
7＞0.005，退出
循环，输出n的
值为4．
故答案为：4．
点评：本题主要考查
了循环结构的
程序框图，正确
写出每次循环
得到的a，n的
值是解题的关
键，属于基础
题．
14．（5分）（2015?安徽）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{a n}的前n 项和等于2n﹣1 ．
考点：等比数列的性
质；等比数列的
前n项和．
专题：等差数列与等
比数列．
分析：利用等比数列
的性质，求出数
列的首项以及
公比，即可求解
数列{a n}的前n
项和．
解答：解：数列{a
n
}是
递增的等比数
列，a1+a4=9，
a2a3=8，
可得a1a4=8，解
得a1=1，a4=8，
∴8=1×q3，q=2，
数列{a n}的前n
项和为：
=2n﹣1．
故答案为：2n﹣
1．
点评：本题考查等比
数列的性质，数
列{a n}的前n项
和求法，基本知
识的考查．
15．（5分）（2015?安徽）设x3+ax+b=0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是①③④⑤
（写出所有正确条件的编号）
①a=﹣3，b=﹣3．②a=﹣3，b=2．③a=﹣3，b＞2．④a=0，b=2．⑤a=1，b=2．
考点：函数的零点与
方程根的关系．
专题：函数的性质及
应用．
分析：对五个条件分
别分析解答；利
用数形结合以
及导数，判断单
调区间以及极
值．
解答：解：设f（x）
=x3+ax+b，f'（x）
=3x2+a，
①a=﹣3，b=﹣3
时，令f'（x）
=3x2﹣3=0，解得
x=±1，x=1时f
（1）=﹣5，f（﹣
1）=﹣1；
并且x＞1或者
x＜﹣1时f'（x）
＞0，
所以f（x）在（﹣
∞，﹣1）和（1，
+∞）都是增函
数，
所以函数图象
与x轴只有一个交点，故
x3+ax+b=0仅有一个实根；如图
②a=﹣3，b=2时，令f'（x）=3x2﹣3=0，解得x=±1，x=1时f （1）=0，f（﹣1）=4；如图
③a=﹣3，b＞2时，函数f（x）=x3﹣3x+b，f（1）=﹣2+b＞0，函数图象形状如
图②，所以方程x3+ax+b=0只有一个根；
④a=0，b=2时，
函数f（x）
=x3+2，f'（x）
=3x2≥0恒成
立，故原函数在
R上是增函数；
故方程方程
x3+ax+b=0只有
一个根；
⑤a=1，b=2时，
函数f（x）
=x3+x+2，f'（x）
=3x2+1＞0恒成
立，故原函数在
R上是增函数；
故方程方程
x3+ax+b=0只有
一个根；
综上满足使得
该三次方程仅
有一个实根的
是①③④⑤．
故答案为：
①③④⑤．
点评：本题考查了函
数的零点与方
程的根的关系；
关键是数形结
合、利用导数解
之．
三.解答题（共6小题，75分）
16．（12分）（2015?安徽）在△ABC中，
∠A=，AB=6，AC=3，点D在BC边上，AD=BD，求AD的长．
考点：正弦定理；三角
形中的几何计
算．
专题：解三角形．
分析：由已知及余弦
定理可解得BC
的值，由正弦定
理可求得sinB，从而可求cosB，过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由AD=BD得：cos∠DAE=cosB
，即可求得AD
的长．
解答：
解：∵∠A=，
AB=6，AC=3，
∴在△ABC中，
由余弦定理可
得：BC2=AB2+AC2
﹣
2AB?ACcos∠B
AC=90．
∴BC=3 (4)
分
∵在△ABC中，
由正弦定理可
得：
，
∴sinB=，
∴cosB=
…8分
∵过点D作AB
的垂线DE，垂足
为E，由AD=BD
得：
cos∠DAE=cosB
，
∴Rt△ADE中，
AD==
= (1)
2分点评：本题主要考查
了正弦定理，余
弦定理在解三
角形中的应用，
属于基本知识
的考查．
17．（12分）（2015?安徽）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．
（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）
考点：离散型随机变
量的期望与方
差；离散型随机
变量及其分布
列．
专题：概率与统计．
分析：（Ⅰ）记“第一
次检测出的是
次品且第二次
检测出的是正
品”为事件A，
利用古典概型
的概率求解即
可．
（Ⅱ）X的可能
取值为：200，
300，400．求出
概率，得到分布
列，然后求解期
望即可．
解答：解：（Ⅰ）记“第
一次检测出的
是次品且第二
次检测出的是
正品”为事件
A，
则P（A）
==．
（Ⅱ）X的可能
取值为：200，
300，400
P（X=200）
==．
P（X=300）
==
．
P（X=400）=1﹣
P（X=200）﹣P
（X=300）=．
X的分布列为：
X
P
EX=200×+30
0×+400×
=350．
点评：本题考查离散
型随机变量的
分布列以及期
望的求法，考查
计算能力．18．（12分）（2015?安徽）设n∈N*，x n是曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线与x 轴交点的横坐标
（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；
（Ⅱ）记T n=x12x32…x2n﹣12，证明：T n ≥．
考点：利用导数研究
曲线上某点切
线方程；数列的
求和．
专题：导数的概念及
应用；点列、递
归数列与数学
归纳法．
分析：（1）利用导数
求切线方程求
得切线直线并
求得横坐标；
（2）利用放缩
法缩小式子的
值从而达到所
需要的式子成
立．
解答：解：（1）y'=
（x2n+2+1）'=
（2n+2）x2n+1，
曲线y=x2n+2+1
在点（1，2）处
的切线斜率为
2n+2，
从而切线方程
为y﹣2=（2n+2）
（x﹣1）
令y=0，解得切
线与x轴的交点
的横坐标为
，
（2）证明：由
题设和（1）中
的计算结果可
知：
T n=x12x32…x2n﹣1
2
=
，
当n=1时，
，
当n≥2时，因
为
=
所以
T n
综上所述，可得
对任意的
n∈N+，均有
点评：本题主要考查
切线方程的求
法和放缩法的
应用，属基础题
型．
19．（13分）（2015?安徽）如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F．
（Ⅰ）证明：EF∥B1C；
（Ⅱ）求二面角E﹣AD﹣B1的余弦值．考点：二面角的平面
角及求法；直线
与平面平行的
性质．
专题：空间位置关系
与距离；空间
角．
分析：（Ⅰ）通过四边
形A1B1CD为平行
四边形，可得
B1C∥A1D，利用
线面平行的判
定定理即得结
论；
（Ⅱ）以A为坐
标原点，以AB、
AD、AA1所在直
线分别为x、y、
z轴建立空间直
角坐标系A﹣
xyz，设边长为
2，则所求值即
为平面A1B1CD的
一个法向量与
平面A1EFD的一
个法向量的夹
角的余弦值的
绝对值，计算即
可．
解答：（Ⅰ）证明：
∵B1C=A1D且
A1B1=CD，
∴四边形A1B1CD
为平行四边形，
∴B1C∥A1D，
又∵B1C?平面
A1EFD，
∴B1C∥平面
A1EFD，
又∵平面
A1EFD∩平面EF，
∴EF∥B1C；（Ⅱ）解：以A 为坐标原点，以AB、AD、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标
系A﹣xyz如图，设边长为2，
∵A1D⊥平面
A1B1CD，∴=
（0，1，1）为平面A1B1CD的一个法向量，
设平面A1EFD的一个法向量为
=（x，y，z），又∵=（0，2，﹣2），=（1，1，0），
∴
，，
取y=1，得=（﹣1，1，1），
∴cos （，）
==
，
∴二面角E﹣AD
﹣B1的余弦值为
．
点评：本题考查空间
中线线平行的
判定，求二面角
的三角函数值，
注意解题方法
的积累，属于中
档题．
20．（13分）（2015?安徽）设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，
点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，
直线OM 的斜率为
（Ⅰ）求E的离心率e；
（Ⅱ）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵
坐标为，求E的方程．
考点：直线与圆锥曲
线的综合问题；
椭圆的简单性
质．
专题：圆锥曲线中的
最值与范围问
题．
分析：（I）由于点M
在线段AB上，
满足
|BM|=2|MA|，即
，可得
．利用
，可得
．
（II）由（I）
可得直线AB的
方程为：
=1，利
用中点坐标公
式可得N．设点
N关于直线AB
的对称点为
S
，线段NS的中
点T，又AB垂直
平分线段NS，可
得b，解得即可．解答：解：（I）∵点M
在线段AB上，
满足
|BM|=2|MA|，
∴，
∵A（a，0），B
（0，b），
∴=
．
∵，∴，
a=b．
∴
=．
（II）由（I）可得直线AB的方程为：
=1，
N
．
设点N关于直线AB的对称点为
S
，线段NS的中点
T
，
又AB垂直平分线段NS，
∴
，解得b=3，
∴a=3．
∴椭圆E的方程
为：．
点评：本题考查了椭
圆的标准方程
及其性质、线段
的垂直平分线
性质、中点坐标
公式、相互垂直
的直线斜率之
间的关系，考查
了推理能力与
计算能力，属于
难题．
21．（13分）（2015?安徽）设函数f（x）=x2﹣ax+b．
（Ⅰ）讨论函数f（sinx ）在（﹣，）
内的单调性并判断有无极值，有极值时求出最值；
（Ⅱ）记f n（x）=x2﹣a0x+b0，求函数|f（sinx）﹣f0（sinx）|在[﹣，]上的最大值D2
（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取a n=b n=0，求s=b ﹣
满足条件D≤1时的最大值．
考点：二次函数的性
质．
专题：函数的性质及
应用；导数的综
合应用．
分析：（Ⅰ）设
t=sinx，f（t）
=t2﹣at+b（﹣1
＜t＜1），讨论
对称轴和区间
的关系，即可判
断极值的存在；
（Ⅱ）设
t=sinx，t∈[﹣
1，1]，求得|f
（t）﹣f0（t）|，
设g（t）=|﹣t
（a﹣a0）+（b
﹣b0）|，讨论g
（1），g（﹣1）
取得最大值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）
讨论ab≥0时，
ab≤0时，D的
取值，求得点
（a，b）所在区
域，求得s=b ﹣
的最大值．
解答：解：（Ⅰ）设
t=sinx，在x∈
（﹣，）
递增，
即有f（t）=t2
﹣at+b（﹣1＜t
＜1），f′（t）
=2t﹣a，
①当a≥2时，
f′（t）≤0，f
（t）递减，即f
（sinx）递减；
当a≤﹣2时，
f′（t）≥0，f
（t）递增，即f
（sinx）递增．
即有a≥2或
a≤﹣2时，不存
在极值．
②当﹣2＜a＜2
时，﹣1＜t ＜，
f′（t）＜0，f （sinx）递减；
＜t＜1，f′
（t）＞0，f （sinx）递增．f（sinx）有极
小值f （）=b ﹣；
（Ⅱ）设
t=sinx，t∈[﹣1，1]，|f（t）﹣f0（t）|=|﹣t （a﹣a0）+（b ﹣b0）|，
易知t=±1时，取得最大值，设g（t）=|﹣t（a ﹣a0）+（b﹣b0）|，
而g（1）=|﹣（a ﹣a0）+（b﹣b0）|，g（﹣1）=|（a﹣a0）+（b ﹣b0）|，
则当（a﹣a0）（b ﹣b0）≥0时，D=g（t）max=g（﹣1）=|（a﹣a0）+（b﹣b0）|；
当（a﹣a0）（b ﹣b0）≤0时，D=g（t）max=g（1）=|﹣（a﹣a0）+（b﹣b0）|．（Ⅲ）由（Ⅱ）得ab≥0时，
D=|a+b|，当
ab≤0时，D=|a ﹣b|．
即有
或
，
点（a，b）在如
图所示的区域
内，
则有s=b ﹣，
当b取最大值1
时，取最小值
0时，
s max=1．
点评：本题考查函数
的性质和运用，
主要考查二次
函数的单调性
和极值、最值，
考查分类讨论
的思想方法和
数形结合的思
想，属于难题．