2.1 导数的概念
历史背景
数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学．微分学和积分学统称为微积分学．
微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一．
恩格斯曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了．”微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材．积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，但微分概念直到16世纪才应运萌生．
从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代．而16世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展．生产实践的发展对自然科学提出了新的问题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展．在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生：
（1）求变速运动的瞬时速度；
（2）求曲线上一点处的切线；
（3）求最大值和最小值．
这三类实际问题的现实原形在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题．牛顿从第一个问题出发，莱布尼兹从第二个问题出发，分别给出了导数的定义．
注：
（1）恩格斯（F.Engels,1820-1895），德国哲学家，马克思主义创始人之一．
（2）牛顿(I.Newton,1642-1727)，英国数学家．
（3）莱布尼兹(G.W.Leibniz,1646-1716)，德国数学家．
引例
1． 变速直线运动的瞬时速度
设物体沿直线作变速运动，其经过的路程s 与时间t 的函数关系是)(t s s =，求该物 体在时刻0t 处的瞬时速度v
设物体从0t 到t t ?+0时间段经过的路程为s ?，即
)()(00t s t t s s -?+=?，于是该物体在时间段内运动的平均速度
t
t s t t s t s ?-?+=??=
)()(00ν 如果物体作匀速运动，则ν是常数，它就是物体在时刻0t 的瞬时速度，但在变速运动中，ν是随时间t ?的不同取值而不同，平均速度
ν只是0t 时刻速度的近似值，而且t ?越小，这种近似程度就越好，
于是当t ?→0时，平均速度ν就应趋向于物体在时刻0t 处的瞬时速度ν．即有
t
t s t t s t s
t t t ?-?+=??==→?→?→?)()(lim lim
lim 00000
ν
变速直线运动在时刻0t 处的瞬时速度 反映了路程s 对时刻t 变化快慢的程度，因 此，速度ν又称为路程s 在时刻0t 处的变化 率．
2． 曲线切线的斜率 设l 是坐标平面内的一条曲线，其方程为)(x f y =．M 0)(0,0y x
是曲线l 上的一点,求曲线在该点处切线M 0T 的斜率k ．
在M 0点附近任取一点M ),,(00y y x x ?+?+作割线M 0M,倾角为β,其斜率为tan 1=k x
y
??=
β，当M 沿曲线l 接近M 0点时,割线就越接近切线,从而割线的斜率就越接近切线的斜率．换句话说，|x ?|越
小，其接近程度就越高,从而当0→?x 时，点M 就沿着曲线趋向于
M 0，割线M 0M 就趋向于曲线在M 0处的切线M 0T ，于是割线M 0M 的斜
率1k 就应趋向于切线M 0T 的斜率k ．设切线M 0T 倾角为α，则
=k tan 0
lim →?=x αtan
x
x f x x f x y
x x ?-?+=??=→?→?)()(lim lim
0000β
曲线l 在点M 0处的切线反映了曲线)(x f y =在点M 0处升降的快慢程度．因此，切线斜率k ，又称为曲线)(x f y =在0x x =处的变化率．
上述两个实例，一个是运动问题，一个是几何问题，虽然所研究的问题内容不同，但数学模型却是一样的，都是求函数的改变量与自变量的改变量之比在自变量的改变量趋于零时的极限．此外，还有很多理论或实际问题，也要求计算这种类型的极限，如电流强度、线速度、角速度等，这些都是变化率问题；对于它们的讨论与研究，也都可归为求这类极限的问题．因此撇开这些量的具体意义，抓住它们在数量关系上的共性，便得出了函数导数的概念． 一、导数 1、导数
设函数)(x f y =在点0x 的某一邻城内有定义，当 自变量在点
0x 处取得增量x x ??(≠0）时，函数)(x f 取得相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?，若0→?x 时，极限
x x f x x f x y
x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim
0000
存在，则称此极限为)(x f 在0x 处的导数，记为
),(0x f '或记为 0x x y ='，
0x x dx dy =，
)
(x x dx
x df =
并称函数)(x f y =在点0x 处可导，即
x
x f x x f x y
x f x x ?-?+=??='→?→?)()(lim lim
)(00000
若极限x
y
x ??→?0lim
不存在，则称函数)(x f y =在0x 处不可导．
注：
（1）如果不可导的原因是极限为无穷大，则导数是不存在的，但为
了以后方便起见，也称函数)(x f y =在0x 处的导数为无穷大． （2）导数概念是函数变化率的精确描述，撇开了自变量和因变量所代表的几何或物理等方面的特殊意义，纯粹从数量方面来刻画函数变化率的本质：函数增量与自变量增量的比值x
y ??是函数y 在以0x 和
x x ?+0为端点的区间上的平均变化率，而导数0
x x y ='则是函数y 在
点0x 处的变化率，它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度． （3）导数定义的等价形式：
h
x f h x f x f h )
()(lim
)(000
0-+='→
或x
x f x x f x f x ?--?-='→?)
()(lim
)(000
或
x x x f x f x f x x --='→)
()(lim
)(00
2、导函数
如果函数)(x f y =在区间,(a )b 内的每一点都可导，则称函数
)(x f y =在区间,(a )b 内可导．这时对,(a )b 内每一确定的x ，都
对应着)(x f 的一个确定的导数值),(x f '当x 取遍,(a )b 内一切值时，这样就构成了一个新函数，这个函数叫做原来函数)(x f y =的 导函数，记为
y '， )(x f '，
dx dy 或dx
x df )( 按照导数的定义，有
x
x f x x f x f x ?-?+='→?)
()(lim
)(0
而函数)(x f y =在点0x 的导数)(0x f '，就是导函数)(x f '在0x 点的函数值，即
)
()(0x x x f x f ='='
在不引起混淆的情况下，导函数也简称导数．通常所说的求导数，就是指求函数的导函数．
案例 2.1【高台跳水问题】运动员相对于水面的高度h （单位：米）与起跳后的时间t （单位：秒）存在如下函数关系
2() 4.9 6.510h t t t =-++.
（1）计算运动员在1到2秒末时间段内的平均速度； （2）计算2秒末附近某段时间间隔t ?内的平均速度；当0t ?→
时，平均速度有怎样的变化趋势？
（3）2t s =时的瞬时速度如何表示？
（4）运动员在某个时刻0t 时的瞬时速度如何表示？
解（1）(2)(1)
21
h h v -=-；
（2）(2)(2)
h t h v t
+?-=?，当0t ?→时，平均速度无限接近于
2秒末时的瞬时速度；
（3）20(2)(2)
lim
t t h t h v t
=?→+?-=?；
（4）000()(2)
lim t t h t t h v t
?→+?-=?.
3、左、右导数
x x f x x f x ?-?+-
→?)
()(lim 000称为函数)(x f y =在0x 处的左导数， 记作)0(0-'x f ．
x
x f x x f x ?-?++
→?)
()(lim 000
称为函数)(x f y =在0x 处的右导数，
记作)0(0+'x f ．
定理 )(x f 在点0x 处可导?左导数、右导数存在并且相等． 注：本定理常用于判断分段函数在分段点处是否可导． 4、函数的可导性
如果函数)(x f 在开区间,(a )b 内可导，且)0(+'a f 和)0(-'b f 都存在，则称)(x f 在闭区间],[b a 上可导． 5、求导数的一般步骤：
（1）写出函数的增量)()(x f x x f y -?+=? （2）计算比值
x
x f x x f x y ?-?+=
??)
()( （3）求极限)()
()(lim
'0
x f x
x f x x f x =?-?+→?
【例1】求常函数 y C =(C 为常数)的导数. 解 (1)求函数的改变量
()()0y f x x f x C C ?=+?-=-=
(2)算比值
0=??x
y
(3)取极限
00lim lim
0==??='→?→?x x x y
y
即
()0C '=.
就是说，常数的导数为零.
【例2】求幂函数n x x f =)()(N n ∈的导数. 解(1)求函数的改变量
n n x x x x f x x f y -?+=-?+=?)()()(
+?+?=--22211)(x x C x x C n n n n …()n
n n C x +?
(2)算比值
=??x
y +?+=--x x C x C n n n n 2211…1()n n n C x -+? (3)取极限
11
10lim
)(--→?==??='n n n x nx x C x
y x f
即
1)(-='n n nx x .
特别地，当1=n 时，1)(='x ；2=n 时，x x 2)(2
='.
一般地，对任意一实数α，有
1)(-='αααx x
这就是幂函数的导数公式．
【例3
】利用幂函数的求导公式求函数y =的导数.
解 因为
12
y x ==，
所以
1
1 12
2
1()2y x x -''=
=1212x -==
． 【例4】 设x x x f =)(，求)16(f '.
解 因为4
32
12
1)()(x x x x x x f =?==
由公式有
4
1
4
3)(-='x x f
所以
8
3
)16(43)16(41
=='-f .
【例5】 求函数 x y sin =的导数. 解(1)求函数的改变量
x
x x x f x x f y sin )sin()()(-?+=-?+=?2
sin )2cos(2x
x x ??+
= (2)算比值
2
2sin )2
cos(2sin )2cos(2x x x x x x x x x
y
???+=???+
=??
(3)取极限
x x x
x x x y y x x cos 2
2sin
)2
cos(lim lim 00=???+=??='→?→? 即
x x cos )(sin ='
这就是正弦函数的导数公式．
用类同的方法可得余弦函数的导数公式
x x sin )(cos -='.
【例6】求函数x y a log =0(>a 且a ≠1)的导数. 解(1)求函数的改变量
)1(log log log )()(x
x x f x x f y a x
a x
x a
?+
=-=-?+=??+ (2)算比值
x a
a x
x x x x x
y ??+=??+
=??1
)1(log )1(log (3)取极限
x a x x x
x x y y ?→?→??+=??='1
00)1(log lim lim
x
x
a x x
x x a x x x x x x ?→??→??+=??
?????+=)1(log 1lim )1(log lim 01
0 a
x e x a ln 1log 1== 即
()a
x x a ln 1
log =
' 这就是对数函数的导数公式．
特别地，若e a =时，有
()x
x 1ln ='
2.1.4 导数的几何意义
由前面切线问题的讨论及导数的定义可知，函数)(x f y =在点
0x 处的导数)(0x f '在几何上表示为曲线)(x f y =在点000(,)
M x y 处切线的斜率，即
αtan )(0='=x f k α(≠
2
π） 这就是导数的几何意义（图2—2）．
如果)(x f y =在点0x 处的导数为无穷大，即αtan 不存在，这时，曲线)(x f y =在点000(,)M x y 处的切线垂直于x 轴；如果
)(x f y =在点0x 处的导数为零，这时曲线)(x f y =在点000(,)
M x y 处的切线平行于x 轴．
根据导数的几何意义及直线的点斜式方程，我们即可得到曲线
)(x f y =在点000(,)M x y 处的切线方程为
))((000x x x f y y -'=-
法线方程
)()
(1
000x x x f y y -'-
=- )0)((0≠'x f 【例7】求曲线x
y 1=在点1
(,2)2处的切线方程与法线方程．
图2—2
解 因为
21)(---='='x x y 4)2
1(1
22
1-=-
='==x y k 所以，所求切线方程为
1
24()2
y x -=--
即
044=-+y x
法线方程为
112()42
y x -=
- 即
01582=+-y x .
【例8】求曲线 x y ln =上的一点，使过该点的切线与直线
022=+-y x 平行．
解 设曲线x y ln =上点00(,)M x y 处的切线与直线
022=+-y x 平行，由导数的几何意义，所求切线的斜率为
1
)(ln 0
x x k x x =
'
==；而直线 022=+-y x 的斜率为21=k ；根
据题意有
2
1
10=x ，所以20=x 将20=x 代入x y ln =，得2ln 0=y 所以曲线x y ln =在点
)2ln ,2(处的切线与直线022=+-y x 平行．
2.1.5 函数可导性与连续性的关系
定理1 如果函数)(x f y =在点0x 处可导，则)(x f 在点0x 处必连续．
证明 因为)(x f 在点0x 处可导，故有)(lim 00x f x
y
x '=??→?存在，
由极限与无穷小的关系有
α+'=??)(0x f x
y
其中0lim 0
=→?αx ，因此
x x x f y ?+?'=?α)(0
所以0lim 0
=?→?y x ，这就是说，函数)(x f y =在点0x 处是连续的．
应当指出，上述定理的逆命题不一定成立，也就是说，一个函数在某点处连续，但在该点处函数却不一定可导．举例说明如下：
【例9】讨论函数, 0,
, 0.x x y x x x ≥?==?-
在点0x =处的连续性
与可导性.
解 因为
lim lim 0(0)x x y x f →→===
所以y x =点0x =处连续．但是由于
1, 0,
1, 0.
x x y x x x ?>???==?
-?
-?→?=-?， 所以0lim x y
x
?→??不存在，即y x =点0x =处不可导.
这在图形中的表现为y x =点0x =处没有切线(如图2-3所示).
由此可见，函数连续是可导的必要条件，但不是充分条件． 小结：极限、连续和可导的关系
函数可导必连续，连续的函数一定有极限，所以可导就一定有极限． （1）A x f x x =→)(lim
、A x f x =∞
→)(lim 存在，称函数)(x f 有极限．
（2）()()00
lim x f x f x x =→，称函数在点0x 处连续．
（3）x
x f x x f x ?-?+→?)
()(lim 000
存在，称函数在点0x 处可导．
图 2—3
2.2 初等函数的导数运算
在上一节中，根据导数的定义求出了一些简单函数的导数，但是对于比较复杂的函数，直接利用定义来求它们的导数往往是很困难的．这一节我们将讨论函数的求导法则，利用这些法则，能比较简便地求出任意可导的初等函数的导数．
2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则
定理1 设函数)(),(x v x u u ==ν都在x 处可导，则它们的和、差、积、商（分母不为零）也在x 处可导，且有
（1）νν'±'='±u u )(
（2）ννν'+'='u u u )(（特别地，若 ()x C νν==时，则有
()Cu Cu ''=）
（3）2
)(ννν'-'='u u v u 定理中的（1），（2）可推广到任意有限项的情形，如
w u w u '+'+'='++νν)( w u w u w u w u '+'+'='νννν)(
【例1】设函数5ln sin 33
-++=x x x y ，求y '. 解 )5ln sin 3(3
'-++='x x x y )5()(ln )sin 3()(3
'-'+'+'=x x x x
x x 1
cos 332
++=. 【例2】求函数
x x y cos )21(2-=的导数.
解 ))(cos 21(cos )21(2
2'-+'-='x x x x y x x x x sin )21(cos 42
---=. 【例3】求函数x y tan =的导数. 解 x
x x x x x x x y 2cos )(cos sin cos )(sin )cos sin ()(tan '
-'='='='
x x
x x x 22
22
2sec cos 1
cos sin cos ==+=
即
x x 2sec )(tan ='
这就是正切函数的导数公式．
类似地可以得到余切函数的导数公式：
x x 2csc )(cot -='.
【例4】求函数sec y x =的导数. 解 1
(sec )(
)cos y x x
'''== 2
1cos 1(cos )cos x x x ''?-?= 2sin sec tan cos x x x x
==. 即得到正割函数的求导公式：
(sec )sec tan x x x '=.
类似的，可得到余割函数的求导公式：
(csc )csc cot x x x '=-.
综合前面各导数公式，得到了部分基本初等函数的求导公式；这些是求导数的基本公式，再加上指数函数及反三角函数的导数公式（将在第3节中介绍），就可以得到了所有基本初等函数的导数公式，必须熟记．
案例2.2【电流】电路中某电处的电流i 是通过该点处的电量q 关于时间t 的瞬时变化率，如果一电路中的电量为3
()q t t t =+.
（1）求其电流函数()i t ； （2）2t =时的电流是多少？ （3）什么时候的电流为28. 解 （1）332d ()()()()31d q
i t t t t t t t
'''=
=+=+=+； （2）2
22
(2)(31)
32113t i t ==+=?+=；
（3）解方程()28i t =，即2
3128t +=得3t =.
案例2.3【制冷效果】某电器厂在对冰箱制冷后断电测试其制冷效果，t 小时后冰箱的温度为2200.051
t
T t =-+.问冰箱温度T 关于
时间t 的变化率是多少？
解 冰箱温度T 关于时间t 的变化率为
d 22(20)()(20)d 0.0510.051
T t t
t t t '''=-=-++ =
22
2(0.051)20.052
0(0.051)(0.051)
t t t t +-?-=++. 2.2.2 复合函数的求导法则
定理2 设函数)(u f y =在u 处可导，)(x u ?=在x 处可导，则复合函数)]([x f y ?=在x 处可导，且有
d d d d d d y y u
x u x
=?或写成x u x u y y ''='
上述定理又称链导法则，即复合函数的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．该法则可推广到有多个中间变量的复合函数上去，例如)(u f y =，)(ν?=u ，)(x φν=均可
导，则复合函数))](([x f y φ?=的导数为
d d d d d d d d y y u x u v x
ν=?? 注意：中间变量的设置以保证内外层函数能成为基本初等函数或简单函数的形式为准．
【例5】求5
3)21(x y +=的导数. 解 设35
21,x u u y +==，则
4
3224324)21(306)21(565x x x x x u u y y x u x +=?+=?='?'='.
【例6】求函数x y tan ln =的导数. 解 设u y ln =，x u tan =，则
x
x x x x u u y y x u x cos sin 1
cos 1tan 1cos 112
2=?=?=
'?'='. 【例7】求函数)2(cos sin 3
x y =的导数.
解 设3
u y =，sin u ν=，t cos =ν，x t 2=；则
2)sin (cos 32
?-?=''''='t u t u y y x
t u x ννν x x x t u 2sin )2cos(cos )2(cos sin 6sin cos 622-=-=ν.
运算比较熟练后，就不必写出中间变量，而只要在心中找准中间
变量，按求导的链导法则直接由 外往里，逐层求导即可．
案例2.4【电阻中电流与电压的关系】在电容器两端加正弦电流电压sin()c m u U t ω?=+，求电流i .
解 因为
d [sin()][cos()]d c
m m u i C
C U t C U t t
ω?ωω?'==+=+ sin()sin()2
m m CU t I t π
ωω?ωθ=++=+
其中m m CU I ω=是电流的峰值（最大值），称为振幅，
2
π
θ?=+称为相位.
【例8】求下列函数的导数：
(1)y =
（2)2sin 1cos x
y x
=-；
（3）5log ()1x y x
=-. 解（１）因为
y =
=
x =-
所以
21(1)y x ''=-+
1=--
（２）因为
2sin 1cos x y x =-21cos 1cos 1cos x x x
-==+-，
所以
(1cos )sin y x x ''=+=-.
（3）因为
55log log (1)y x x =--，
所以
11(1)ln 5(1)ln 5y x x x ''=
---111
ln 5(1)ln 5(1)ln
x x x x =+=--. 2.2.3 高阶导数
我们知道，一个函数)(x f y =的导数)(x f y '='仍是x 的函数，如果)(x f '仍可求导，则称)(x f y '='的导数 ])([)(''=''x f y 是函数
)(x f y =的二阶导数，记为
y ''，)(x f ''，22d d y x
或22
d ()
d f x x 相应地，把)(x f y =的导数)(x f '称为函数)(x f y =的一阶导数.
类似地，如果)(x f y ''=''的导数存在，则称这个导数为)(x f y =的三阶导数，记作
y '''，)(x f '''，33d d y x 或33
d ()
d f x x
. 依次类推，就可以定义函数)(x f y =的n 阶导数，并且记为
)
(n y
，
)()
(x f
n ，d d n n y x
或d ()d n n
f x x 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.
高阶导数的求法，在本质上与求一阶导数相同，只是在求导过程中反复运用了一阶导数的求法．
【例9】求函数)ln 1(2
x x y +=的二阶导数. 解 因为
)ln 1(2x x y +=
所以
22()'(1ln )(1ln )'y x x x x '=+++
21
2(1ln )32ln x x x x x x x
=++?
=+ 1
32ln 252ln y x x x x
''=++?
=+． 【例10】求函数n
x y =)(N n ∈的n 阶导数.
解 1
-='n nx
y ，2
)1(--=''n x
n n y ，
3)2)(1(---='''n x n n n y ……
)1()(-=n n y n ……1n n x -=!n .
【例11】求函数x
y xe =的n 阶导数． 解 因为
x
y xe =
所以
'(1)x x x y e xe x e =+=+ ''(1)(2)x x x y e x e x e =++=+ '''(2)(3)x x x y e x e x e =++=+
……
()()n x y n x e =+．
【例12】求函数x y sin =的n 阶导数.
解 )2
s i n (c o s π
+=='x
x y
cos()sin(2)22y x x ππ
''=+
=+? )2
3sin()22cos(π
π?+=?+='''x x y
……
)2
sin()(π
?+=n x y n . 高阶导数也有许多实际背景，以二阶导数为例，由于加速度是速度的变化率，因而加速度是速度对时间的导数，但又由于速度本身是路程对时间的导数，所以加速度是路程对时间的二阶导数．
即设物体作变速直线运动，其运动方程为)(t s s =，则物体运动的加速度a 为
)(t s a ''=
这就是二阶导数的力学意义．
【例13】某物体作直线运动，其运动规律是1s t t
=+(s 的单位是为米，时间t 的单位是秒)，求该物体在3t =秒时的速度与加速度．
解 物体运动的速度为
211
'()()'1v s t t t t
==+=-
加速度为
2312'()(1)'a v t t t
==-
=． 当3t =秒时，
218
139
v =-
=(米/秒)，
322327
a =
=(米/秒2
)． 此外二阶导数还有非常重要的几何意义，即曲线的凹凸性，将在第三章中专门讨论．
小结：初等函数求导数
重点掌握四则运算求导数和复合函数求导数，能够计算函数的二阶导数和部分简单函数的n 阶导数．
2.3 隐函数的导数运算
前面讨论的函数都可以表示成)(x f y =的形式，这样的函数称为显函数．但有时会遇到另一类函数，如0522=++y x ，xy e y x =+等，即函数是由一个方程0),(=y x F 所确定的，这种由含x 和y 的方程
0),(=y x F 所确定的函数，称为隐函数．下面我们就讨论隐函数的
求导方法．
为了求隐函数的导数y '，只须将方程0),(=y x F 两边对x 求导，遇到y 时，就视y 为x 的函数；遇到y 的函数时，就看成是x 的复合函数，y 为中间变量；然后从所得的等式中解出y '，即得隐函数的导数．
【例1】求由方程19
42
2=+y x 所确定的隐函数y 的导数y '． 解 将方程两边同时对x 求导得，09
22='+y y
x 解出y '，得
y '=y
x 49-
． 【例2】求由方程 2ln sin =+y x y 所确定的隐函数y 的导数
y '．
解 将方程两边同时对x 求导得，01
cos sin ='?+
+'y y
x y x y 解出y '，得x
y x
y y sin 1cos 2+-='．
【例3】求指数函数x
a y =(,0>a 且1≠a )的导数．
解 把x
a y =改写成x y a =log ，两边同时对x 求导得
1ln 1
='y a
y 解出y '，得a a a y y x ln ln ==' 即
a a a x x ln )(='
这就是指数函数的导数公式．
特别当e a =时，x x e e =')(．
【例4】求反三角函数x y arcsin =的导数．
解 把x y arcsin =改写成x y =sin ，两边同时对x 求导得
1cos ='?y y
解出y '，得y
y cos 1
=
'，因为 221sin 1cos x y y -=-=，)2
2
(π
π
<
<-
y
所以
2
11x
y -=
'
即
2
11)(arcsin x
x -=
'
这就是反正弦函数的导数公式．
类似地可以得到其它反三角函数的导数公式
2
11)(arccos x
x --
='
2
11
)(arctan x x +=
' 2
1
(cot )1arc x x '=-+
（反函数求导法则）如果函数()y f x =在区间内单调且连续，并在该区间内处处有不等于0的导数()f x '，那么它的反函数
1()x f y -=在相应区间内也处处可导，并且
1x
y
y x '='． 有些显函数，直接求导往往比较复杂，这时我们也可考虑先把它
化成隐函数后，再求导．
【例5】求函数4
1)3)(2()1(????
??+--=x x x x y 的导数．
解
将
函
数
两
边
取
对
数
得
，
)]3ln()2ln()1ln([ln 4
1
ln +----+=x x x x y
两边同时对x 求导得，
)3
121111(411-----+='?x x x x y y 解出y '，得
)3
121111(41+----+=
'x x x x y y )3121111()3)(2()1(414
1
+----+???
? ??+--=
x x x x x x x x ． 【例6】求函数x
y x =的导数(0)x >． 解 两边取自然对数，得
ln ln y x x =
两边同时对x 求导，得
1
1ln y x y
'?=+ 所以
(1ln )x y x x '=+．
至此我们得到了所有的基本初等函数的导数公式，再根据函数的和、差、积、商求导法则、复合函数的求导法则、隐函数的求导方法，从而解决了初等函数的求导问题．
【例7】求函数2
(arcsin )y x =的导数． 解
2a r c s i n (a r c s i y x x ''=?
= 【例8
】求函数y e =的导数．
解
第二章 导数与微分 【内容提要】 1．导数的概念 设函数y ＝f (x )在x 0的某邻域（x 0－δ，x 0 + δ）（δ＞0）内有定义，当自变量x 在点x 0处有改变量Δx 时，相应地，函数有改变量00()()y f x x f x ?=+?-．若0→?x 时，极限x y x ??→?0lim 存在，则称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，称此极限值为f(x)在点x 0 处的导数， 记为 )(0x f '或)(0x y '或0|x x y ='或 0|d d x x x y =或0|d d x x x f = +→?0x 时，改变量比值的极限x y x ??+ →?0 lim 称f(x)在x 0处的右导数，记为)(0x f +'。 -→?0x 时，改变量比值的极限x y x ??- →?0 lim 称f(x)在x 0处的左导数，记为)(0x f -'。 2．导数的意义 导数的几何意义：)(0x f '是曲线y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处切线的斜率，导数的几何意义给我们提供了直观的几何背景，是微分学的几何应用的基础。 导数的物理意义：路程对时间的导数)(0t s '是瞬时速度v (t 0) 。以此类推，速度对时间的导数)(0t v '是瞬时加速度a (t 0)。 3．可导与连续的关系 定理 若函数)(x f y =在点x 0处可导，则函数在点x 0处一定连续。 此定理的逆命题不成立，即连续未必可导。 4．导数的运算 定理1（代数和求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，则 v u v u '±'='±)( 定理2（积的求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，则 v u v u uv '+'=')( 定理3（商的求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，且v (x )≠0，则 2v v u v u v u ' -'= ' ?? ? ??
第二章 导数与微分 一 导数 （一） 导数的概念（见§2.1） Ⅰ 内容要求 （ⅰ）理解导数的概念及其几何意义，了解函数的可导性与连续性之间的关系。 （ⅱ）了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些量的变化率。 Ⅱ 基本题型 （ⅰ）用导数定义推证简单初等函数的导数公式 1． 用导数定义求证下列导数公式，并记忆下列公式（每题4分） （1）0)(='C （2）21 )1(x x - =' （3）x x 21)(=' （4）x x sin )(cos -=' （5）a a a x x ln )(=' （6）1 )(-='μμμx x （ⅱ）确定简单基本初等函数在某点处的切线方程和法线方程 2．（6分）求x y ln =在)0,1(点处的切线方程及法线方程。 解：x y 1' = ，1)1(' ==k y ，所以 切线方程为1-=x y 法线方程为1+-=x y 3．（6分）求x x y = 在)1,1(点处的切线方程。 解：4 3 x y =，41 ' 43-=x y ，4 3)1(' ==k y 切线方程为1)1(43+-= x y ，即4 143+=x y （ⅲ）科技中一些量变化率的导数表示 4．填空题（每题4分） （1）若物体的温度T 与时间t 的函数关系为)(t T T =，则该物体的温度随时间的变化 速度为 )(' t T （2）若某地区t 时刻的人口数为)(t N ，则该地区人口变化速度为 )(' t N Ⅲ 疑难题型 （ⅰ）分段函数在分段点处的导数计算 5. 讨论下列函数在0=x 处的连续性与可导性 （1）（7分）|sin |x y =
第二章 导数与微分 教学目的： 1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。 2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n 阶导数。 4、 会求分段函数的导数。 5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 教学重点： 1、导数和微分的概念与微分的关系； 2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 3、基本初等函数的导数公式； 4、高阶导数； 6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。 教学难点： 1、复合函数的求导法则； 2、分段函数的导数； 3、反函数的导数 4、隐函数和由参数方程确定的导数。 §2. 1 导数概念 一、引例 1．直线运动的速度 设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数: s =f (t ), 求动点在时刻t 0的速度. 考虑比值 000) ()(t t t f t f t t s s --=--, 这个比值可认为是动点在时间间隔t -t 0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践 中也可用来说明动点在时刻t 0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令t -t 0→0, 取
比值 0) ()(t t t f t f --的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即 0) ()(lim t t t f t f v t t --=→, 这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度. 2．切线问题 设有曲线C 及C 上的一点M , 在点M 外另取C 上一点N , 作割线MN . 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT , 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线. 设曲线C 就是函数y =f (x )的图形. 现在要确定曲线在点M (x 0, y 0)(y 0=f (x 0))处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M 外另取C 上一点N (x , y ), 于是割线MN 的斜率为 0 000) ()(tan x x x f x f x x y y --= --= ?, 其中?为割线MN 的倾角. 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, x →x 0. 如果当x → 0时, 上式的极限存 在, 设为k , 即 00) ()(lim 0x x x f x f k x x --=→ 存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里k =tan α, 其中α是切线MT 的 倾角. 于是, 通过点M (x 0, f (x 0))且以k 为斜率的直线MT 便是曲线C 在点M 处的切线. 二、导数的定义 1. 函数在一点处的导数与导函数 从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限: 00) ()(lim 0x x x f x f x x --→. 令?x =x -x 0, 则?y =f (x 0+?x )-f (x 0)= f (x )-f (x 0), x →x 0相当于?x →0, 于是0 0) ()(lim 0 x x x f x f x x --→ 成为 x y x ??→?0lim 或x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 000. 定义 设函数y =f (x )在点x 0的某个邻域内有定义, 当自变量x 在x 0处取得增量?x (点x 0+?x 仍在该邻域内)时, 相应地函数y 取得增量?y =f (x 0+?x )-f (x 0); 如果?y 与?x 之比当?x →0时的极限存在, 则称函数y =f (x )在点x 0处可导, 并称这个极限为函数y =f (x )在点x 0处的导数, 记为0|x x y =', 即 x x f x x f x y x f x x ?-?+=??='→?→?)()(lim lim )(00000,
高数第二章导数与微分知识点总结 第一节 导数 1．基本概念 （1）定义 0000000000 ()()()()()|(|)'()lim lim lim x x x x x x x f x x f x f x f x dy df x y f x dx dx x x x x ==?→?→→+?--?====??-或 注：可导必连续，连续不一定可导. 注:分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求. （2）左、右导数 0'00000 0()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x - --?→→+?--==?-. 0 '00000 0()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x + ++?→→+?--==?-. 0'()f x 存在''00()()f x f x -+?=. （3）导数的几何应用 曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程：000()'()()y f x f x x x -=-. 法线方程：0001 ()()'() y f x x x f x -=- -. 2．基本公式 （1）'0C = （2）' 1 ()a a x ax -= （3）()'ln x x a a a =（特例()'x x e e =）（4）1 (log )'(0,1)ln a x a a x a = >≠
（5）(sin )'cos x x = （6）(cos )'sin x x =- （7）2(tan )'sec x x = （8）2 (cot )'csc x x =- （9）(sec )'sec tan x x x = （10）(csc )'csc cot x x x =- （11）2 1(arcsin )'1x x = - （12）2 1(arccos )'1x x =- - （13）21(arctan )'1x x = + （14）2 1 (arccot )'1x x =-+ （15222 2 1[ln()]'x x a x a + += + 3．函数的求导法则 （1）四则运算的求导法则 ()'''u v u v ±=± ()'''uv u v uv =+ 2 '' ()'u u v uv v v -= （2）复合函数求导法则--链式法则 设(),()y f u u x ?==，则(())y f x ?=的导数为：[(())]''(())'()f x f x x ???=. 例5 求函数2 1 sin x y e =的导数. （3）反函数的求导法则 设()y f x =的反函数为()x g y =，两者均可导，且'()0f x ≠，则 11 '()'()'(()) g y f x f g y = =. （4）隐函数求导 设函数()y f x =由方程(,)0F x y =所确定，求'y 的方法有两种：直接求导法和公式法' ''x y F y F =-. （5）对数求导法：适用于若干因子连乘及幂指函数 4．高阶导数
第二章 导数与微分答案 第一节 导数概念 1．填空题. （1） ()'f 0= 0； （2） (2, 4) （3） 1 . （4） =a 2 ，=b -1 . 2．选择题. （1）B ； （2）B ； （3） C ； （4）D ； （5） B ； （6）B 3．解 令)(t v 表示在t 时刻的瞬时速度，由速度与位移的关系知 ()().5)21(lim 2 ) 22(lim 22lim )2()2(22222' =++=-+-+=--==→→→t t t t t s t s s v t t t 4．设()? x 在x a =处连续，()()()f x x a x =-?， 求()'f a ；若)(||)(x a x x g ?-=，()x g 在x a =处可导吗？ 解（1）因为()? x 在x a =处连续， 故)()(lim a x a x ??=→，所以 ()()()).()(lim 0 )(lim lim )('a x a x x a x a x a f x f a f a x a x a x ???==---=--=→→→ （2）类似于上面推导知 ()()()),(0 )(lim lim )(' a a x x a x a x a g x g a g a x a x ??=---=--=++ →→+ ()()()).(0)(lim lim )(' a a x x a x a x a g x g a g a x a x ??-=----=--=--→→- 可见当()0=a ?时，()0)(' ==a a g ?；当()0≠a ?时，())(' ' a g a g -+≠， 故这时()x g 在x a =处不可导。 5．求曲线y x =-43在点()12,-处的切线方程和法线方程. 解 根据导数的几何意义知道，所求切线的斜率为 ,4|4|131'1=====x x x y k 从而所求切线方程为 ),1(4)2(-=--x y 即 64-=x y .
高等数学练习题 第二章 导数与微分 第一节 导数概念 一．填空题 1.若)(0x f '存在，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 = )(0x f '- 2. 若)(0x f '存在，h h x f h x f h ) ()(lim 000 --+→= )(20x f ' . 000 (3)() lim x f x x f x x ?→+?-?=03()f x '. 3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim )000 x f x x f x x 4 1 4.已知物体的运动规律为2 t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y cos =上点（ 3π，2 1 ）处的切线方程为03 123=- -+π y x ，法线方程为 03 22332=-+ -π y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系， 可微 ? 可导 <≠ ? | 连续 <≠ ? 极限存在。 二、选择题 1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x x f x ) (lim 0→= [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2 1 )0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x x b x f x a x f x ??--?+→?) ()(lim 0 = [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2 b a +)(x f ' 3. 函数在点0x 处连续是在该点0x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要 （B ）必要但不是充分 （C ）充分必要 （D ）即非充分也非必要 4．设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ] （A ）(0,1) ( B) (1, 0) (C) ( 0,0) (D) (1,1)
x 第二章导数与微分 (一) f X 0 X f X 0 I x 0 X 3 .函数f x 在点x 0连续，是f x 在点x 0可导的（A ） 5. 若函数f x 在点a 连续，则f x 在点a （ D ） C . a 6. f x x 2 在点X 2处的导数是（D ） A . 1 B . 0 C . -1 D .不存在 7.曲线y 2x 3 5x 2 4x 5在点2, 1处切线斜率等于（A ） A . 8 B . 12 C . -6 D . 6 8.设y e f x 且fx 二阶可导，则y （ D ） A . e f x B f X r e f f X ￡ ￡ f X 丄 2 x C . e f x f x D . e f x 9.若 f x ax e , x 0 在x 0处可导，则a ， b 的值应为 b sin2x, (A ) A .左导数存在； B .右导数存在； C .左右导数都存在 1 .设函数y f x ，当自变量x 由x 0改变到 X o x 时，相应函数的改变量 f x 0 x B . f x 0 x C . f x 0 X f X 0 f X 。 x 2 .设f x 在x o 处可，则lim f X 0 B . X o C . f X 0 D . 2 f X 0 A .必要不充分条件 B . 充分不必要条件 C .充分必要条件 既不充分也不必要条件 4.设函数y f u 是可导的，且u x 2 ，则 d y ( C ) x 2 B . xf x 2 C . 2 2 2xf x D . x f x D .有定义
10?若函数f x 在点X o 处有导数，而函数 g x 在点X o 处没有导数，则 F x f x g x , G x f x g x 在 x 0 处（A ） A ?一定都没有导数 B ?—定都有导数 C .恰有一个有导数 D ?至少一个有导数 11.函数fx 与g x 在x 0处都没有导数，则Fx g x 在 x o 处(D ) 13 . y arctg 1 ，贝U y x A .一定都没有导数 B . 一定都有导数 C .至少一个有导数 D .至多一个有导数 12.已知F x f g x ，在 X X 。处可导，则（A ） g x 都必须可导 B . f x 必须可导 C . g x 必须可导 D . x 都不一定可导
第二章 导数与微分 数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学. 微分学与积分学统称为微积分学. 微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一. 恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）. 积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，但微分概念直至16世纪才应运萌生. 本章及下一章将介绍一元函数微分学及其应用的内容. 第一节 导数概念 从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代. 而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展. 生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展. 在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生： (1) 求变速运动的瞬时速度； (2) 求曲线上一点处的切线； (3) 求最大值和最小值. 这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题. 牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念. 本节主要内容 1 引例变速直线运动的瞬时速度和平面曲线的切线 2 导数的定义 3 左右导数 4 用导数计算导数 5 导数的几何意义 6 函数的可导与连续的关系 讲解提纲： 一、 引例： 引例1：变速直线运动的瞬时速度0 00 ()()lim t t f t f t v t t →-=-；
arccos求导 1基础总结 1、极限的实质是：动而不达 导数的实质是：一个有规律商的极限。规律就是： 2、导数的多种变式定义： 要注意细心观察发现，是描述趋近任意x时的斜率。而可以刻画趋近具体x0时的斜率。 3、 若x没趋近到x0，那么除法得到的值是这段的平均斜率，如果趋近到了x0,得到的就是这点的斜率----导数。 4、可导与连续的关系： 导数的实质是定义在某点的左右极限。既然定义在了某点上，该点自然存在，而且还得等于左右极限。因此，可导一定是连续的。反之，如果连续，不一定可导。不多说。同理，如果不连续，肯定某点要么无定义，要么定义点跳跃跑了，肯定极限有可能存在，但是导数绝不会存在。 同理要注意左右导数的问题。如果存在左或者右导数，那么在左侧该点一定是存在的。如： 这个函数，在0点就不存在左导数，只存在右导数。为什么嫩？看定义： 。定义里面需要用到f(0)啊！因此，千万不要以为导数是一种简单的极限，极限是可以在某点无定义的，而导数却是该点必须存在！ 由此引发了一些容易误判的血案： 例如： 定义解决时候一定要注意中的到底是神马。比如求上图中,这个f(x0)千万要等于2/3，而不是1！ 由此也可以知道，这个函数是不存在导数的，也不存在左导数，只存在右导数。
5、反函数的导数与原函数的关系： 有这样一条有趣的关系：函数的导数=对应的反函数的导数的倒数。 注意，求反函数时候不要换元。因为换了元虽然对自身来讲函数形式不变，但是与原函数融合运算时候就算是换了一个不是自己反函数的一个函数进行运算。结果显然是错误的。举例子： 求的导数。显然反函数（不要换元）是。反函数的导数是。反函数导数的倒数是，因此， 再如，求的导数。 解：令函数为，则其反函数为，导数的倒数为。但是必须消去。因此变形得 (注意到在定义域内cosy恒为正，因此舍掉负解) 6、复合函数求导法则： 只要父函数和子函数随时能有定义，就拆着求就可以了。 7、高阶导数： 如果f(x)在点x处具有n阶导数，那么f(x)在点x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数。 ; ;其余的也记不住，自己慢慢推导。 ; 二项式定理中有：；类似的，乘法的n阶导数也有： 。这个是要熟练记忆的。 8、隐函数，参数方程的导数，相关变化率 建议隐函数，参数方程的导数，以及求导数的相关变化率时使用形式求解。只有这样才能准确，安全，方便。 举例：求（隐函数f(x,y)=0）中y对x的导数 解：两边求导，，解完以后发现效果还不错。如果直接用什么y’神马的净是错误，所以不要直接用口算，用dy/dx方法求解。
1基础总结 1、极限的实质是：动而不达 导数的实质是：一个有规律商的极限。规律就是：0lim x y x ?→?? 2、导数的多种变式定义： 00000()()()() lim =lim lim x x x x f x f x y f x x f x x x x x ?→?→→-?+?-=??- 要注意细心观察发现，0 ()() lim x f x x f x x ?→+?-?是描述趋近任意x 时的斜率。而 00 ()() lim x x f x f x x x →--可以刻画趋近具体x0时的斜率。 3、 若x 没趋近到x0，那么除法得到的值是这段的平均斜率，如果趋近到了x0,得到的就是这点的斜率——导数。 4、可导与连续的关系：
导数的实质是定义在某点的左右极限。既然定义在了某点上，该点自然存在，而且还得等于左右极限。因此，可导一定是连续的。反之，如果连续，不一定可导。不多说。同理，如果不连续，肯定某点要么无定义，要么定义点跳跃跑了，肯定极限有可能存在，但是导数绝不会存在。 同理要注意左右导数的问题。如果存在左或者右导数，那么在左侧该点一定是存在的。如： (),0f x x x =< 这个函数，在0点就不存在左导数，只存在右导数。为什么嫩？看定义： 0()()()(0) lim lim x x f x x f x f x x f x x ?→?→+?-+?-=??。定义里面需要用到f(0)啊！因此，千万不要以为导数是一种简单的极限，极限是可以在某点无定义的，而导数却是该点必须存在！ 由此引发了一些容易误判的血案： 例如： 定义解决时候一定要注意0 00 ()() lim x x f x f x x x →--中的0()f x 到底是神马。比如求上图 中01 ()() lim x f x f x x x + →-- ,这个f(x0)千万要等于2/3，而不是1！
学科：数学 教学内容：导数与微分单元达纲检测 【知识结构】 【内容提要】 1．本章主要内容是导数与微分的概念，求导数与求微分的方法，以及导数的应用． 2．导数的概念． 函数y=f(x)的导数f ′(x)，就是当△x →0时，函数的增量△y 与自变量△x 的比x y ??的极限，即 x x f x x f x y x f x x ?-?+=??=→?→?) ()(lim lim )('00 函数y=f(x)在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率． 3．函数的微分
函数y=f(x)的微分，即dy=f ′(x)dx ． 微分和导数的关系：微分是由导数来定义的，导数也可用函数的微分与自变量的微分的商来表示，即dx dy x f = )('． 函数值的增量△y 也可以用y 的微分近似表示，即△y ≈dy 或△y ≈f ′(x)dx 。 4．求导数的方法 (1)常用的导数公式 c ′=0(c 为常数)； )()'(1 Q m mx x m m ∈=-； (sinx)′=cosx ； (cosx)′=－sinx ； x x e e =)'(， a a a x x ln )'(=； x x 1)'(ln = ， e x a x a log 1)'(log =。 (2)两个函数四则运算的导数： (u ±v)′=u ′±v ′； (uv)′=u ′v+uv ′ )0(' ''2 ≠-= ?? ? ??v v uv v u v u 。 (3)复合函数的导数 设y=f(u)，)(x u ?=， 则)(')(''''x u f u y y x u x ??=?=． 5．导数的应用
第二章 导数与微分 第一节 导数概念 1.x x x y = ，求y ' 2．求函数y =2tan x +sec x -1的导数y ' 3. x x y 1010 +=，求y ' 4. 求曲线y =cos x 上点)2 1 ,3(π处的切线方程和法线方程式. 5.3ln ln +=x e y ，求y ' 6.已知? ??<-≥=0 0 )(2x x x x x f 求f +'(0)及f -'(0), 又f '(0)是否存在？ 7.设????? =≠=0 ,00 ,1sin )(x x x x x f ，用定义证明)(x f 在点0=x 处连续，但不可导。
8. 证明: 双曲线xy =a 2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a 2 . 9.讨论函数y =|sin x |在x =0处的连续性与可导性: 10.设函数? ??>+≤=1 1 )(2x b ax x x x f ，为了使函数f (x )在x =1处连续且可导, a , b 应取什么值？ 第二节 函数的求导法则 1.设()22arcsin x y =，求y ' 2．求函数y =sin x ?cos x 的导数y ' 3．求函数y =x 2ln x 的导数y '
4．求函数x x y ln =的导数y ' 5．求函数3ln 2+=x e y x 的导数y ' 6. )(cos )(sin 2 2x f x f y +=，求y ' 7. n b ax f y )]([+=，求y ' 8. ) ()(x f x e e f y =，求y ' 9. x x x y arcsin 12 +-=，求y ' 10．求函数y =x 2ln x cos x 的导数y ' 第三节 高阶导数 1. x x x y ln 1 arctan +=，求y ''
第二章 导数与微分 1. ()().1,102-'=f x x f 试按定义求设 2002 00(1)(1)10(1)10 '(1)lim lim 1020lim lim(1020)20x x x x f x f x f x x x x x x ?→?→?→?→-+?--?---==???-?==?-=-? 2. 下列各题中均假定()0x f '存在，按导数定义观察下列极限，指出此极限表示什么, 并将答案填在括号内。 ⑴ ()()=?-?-→?x x f x x f x 000lim （0'()f x -）； ⑵ ()=→?x x f x 0lim （'(0)f ）， 其中()()存在；且0,00f f '= ⑶ ()() =--+→h h x f h x f h 000lim （02'()f x ）. 3. 求下列函数的导数： ⑴ ='=y x y ,4则3 4x ⑵ ='=y x y ,32则132 3 x - ⑶ ='=y x y ,1 则32 12x -- ⑷ = '=y x x y ,53则115165x 4． 求曲线. 21,3 cos 程处的切线方程和法线方 上点?? ? ??=πx y 'sin ,'()3y x y π=-= 所以切线方程为1)223y x π- =-- 2(1)03 y +-+=
法线方程为1)23y x π- =- 化简得3)0x π+-= 5. 讨论函数?????=≠=0 00 1sin 2 x x x x y 在0=x 处的连续性和可导性. 20(0)0 1 lim sin 0(0)()x f x f x →===因为有界量乘以无穷小 所以函数在0x =处连续 因为 20001 sin (0)(0) 1lim lim lim sin 0x x x x f x f x x x x x ?→?→?→?+?-==?=??? 所以函数在0x =处可导. 6. 已知()()()()是否存在？ 又及求 0 ,0 0 , 0 2f f f x x x x x f '''???<-≥=-+ 2 ' 00(0)(0)(0)lim lim 0h h f h f h f h h + →+→++-=== '0 0(0)(0)(0)lim lim 1h h f h f h f h h -→-→++--===- ''(0)(0)f f +-≠ '(0)f ∴不存在 7. ()(). , 0 sin x f x x x x x f '?? ?≥<=求已知 当0x <时, '()(sin )'cos f x x x ==; 当0x >时, '()()'1f x x ==;
第二章 导数与微分总结 一、导数与微分概念 1．导数的定义 设函数()x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ?，相应地函数增量()()00x f x x f y -?+=?。如果极限 ()()x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?0000lim lim 存在，则称此极限值为函数()x f 在0x 处的导数（也称微商），记作()0x f '，或0 x x y =' ， 0x x dx dy =，()0 x x dx x df =等，并称函数()x f y =在点0x 处可导。如果上面的极限不存在， 则称函数()x f y =在点0x 处不可导。 导数定义的另一等价形式，令x x x ?+=0，0x x x -=?，则 ()()() 000 lim x x x f x f x f x x --='→ 我们也引进单侧导数概念。 右导数：()()()()() x x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--='++ →?→+000000lim lim 0 左导数：()()()()()x x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--='-- →?→-000000lim lim 0 则有 ()x f 在点0x 处可导()x f ?在点0x 处左、右导数皆存在且相等。 2．导数的几何意义与物理意义 如果函数()x f y =在点0x 处导数()0x f '存在，则在几何上()0x f '表示曲线 ()x f y =在点()()00,x f x 处的切线的斜率。 切线方程：()()()000x x x f x f y -'=- 法线方程：()() ()()()01 0000≠'-'- =-x f x x x f x f y
第二章导数与微分 数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学. 微分学与积分学统称为微积分学. 微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一. 恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）. 积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，但微分概念直至16世纪才应运萌生. 本章及下一章将介绍一元函数微分学及其应用的内容. 第一节导数概念 从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代. 而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展. 生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展. 在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生： (1) 求变速运动的瞬时速度； (2) 求曲线上一点处的切线； (3) 求最大值和最小值. 这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题. 牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念. 内容分布图示 ★引言★变速直线运动的瞬时速度
★平面曲线的切线★导数的定义★几点说明 ★利用定义求导数与求极限（例1、例2）★例3 ★例4 ★例5 ★例6 ★例7 ★左右导数★例8 ★例9 ★导数的几何意义★例10 ★例11 ★导数的物理意义★可导与连续的关系 ★例12 ★例13 ★例14 ★例15 ★内容小结★课堂练习 ★习题 2 - 1 ★返回 内容要点： 一、引例：引例1: 变速直线运动的瞬时速度；引例2: 平面曲线的切线 二、导数的定义： 注：导数概念是函数变化率这一概念的精确描述，它撇开了自变量和因变量所代表的几何或物理等方面的特殊意义，纯粹从数量方面来刻画函数变化率的本质: 函数增量与自变量增量的比值是函数在以和为端点的区间上的平均变化率，而导数则是函数在点处的变化率，它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度. 根据导数的定义求导，一般包含以下三个步骤： 1．求函数的增量： 2．求两增量的比值： ; 3．求极限 三、左右导数 定理1函数在点处可导的充要条件是：函数在点处的左、右导数均存在且相等. 四、用定义计算导数 五、导数的几何意义 六、函数的可导性与连续性的关系 定理2如果函数在点处可导，则它在处连续. 注：上述两个例子说明，函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件. 由定理2还知道，若函数在某点处不连续，则它在该点处一定不可导. 在微积分理论尚不完善的时候，人们普遍认为连续函数除个别点外都是可导的. 1872年得多数学家魏尔斯特拉构造出一个处处连续但处处不
高数第二章导数与微分知识点总结 第一节 导数 1．基本概念 （1）定义 0000000000 ()()()()()|(|)'()lim lim lim x x x x x x x f x x f x f x f x dy df x y f x dx dx x x x x ==?→?→→+?--?====??-或 注：可导必连续，连续不一定可导. 注:分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求. （2）左、右导数 0'00000 0()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x - --?→→+?--==?-. 0'00000 ()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x + ++?→→+?--==?-. 0'()f x 存在''00()()f x f x -+?=. （3）导数的几何应用 曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程：000()'()()y f x f x x x -=-. 法线方程：0001 ()()'() y f x x x f x -=- -. 2．基本公式 （1）'0C = （2）' 1 ()a a x ax -= （3）()'ln x x a a a =（特例()'x x e e =）（4）1 (log )'(0,1)ln a x a a x a = >≠ （5）(sin )'cos x x = （6）(cos )'sin x x =- （7）2(tan )'sec x x = （8）2 (cot )'csc x x =-
考研数学高数第二章导数与微分的知识点总结 导数与微分是考研数学的基础，占据至关重要的地位。基本概念、基本公式一定要掌握牢固，常规方法和做题思路要非常熟练。下面文都考研数学老师给出该章的知识点总结，供广大考生参考。 第一节 导数 1．基本概念 （1）定义 0000000000 ()()()()()|(|)'()lim lim lim x x x x x x x f x x f x f x f x dy df x y f x dx dx x x x x ==?→?→→+?--?====??-或 注：可导必连续，连续不一定可导. 注:分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求. （2）左、右导数 0'000000 ()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x ---?→→+?--==?-. 0'00000 0()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x +++?→→+?--==?-. 0'()f x 存在''00()()f x f x -+?=. （3）导数的几何应用 曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程：000()'()()y f x f x x x -=-. 法线方程：0001()()'() y f x x x f x -=--. 2．基本公式 （1）'0C = （2）'1()a a x ax -=
（3）()'ln x x a a a =（特例()'x x e e =）（4）1(log )'(0,1)ln a x a a x a =>≠ （5）(sin )'cos x x = （6）(cos )'sin x x =- （7）2(tan )'sec x x = （8）2 (cot )'csc x x =- （9）(sec )'sec tan x x x = （10）(csc )'csc cot x x x =- （11 ）(arcsin )'x =（12 ）(arccos )'x = （13）21(arctan )'1x x =+ （14）21(arccot )'1x x =-+ （ 15[ln(x += 3．函数的求导法则 （1）四则运算的求导法则 ()'''u v u v ±=± ()'''uv u v uv =+ 2 ''()'u u v uv v v -= （2）复合函数求导法则--链式法则 设(),()y f u u x ?==，则(())y f x ?=的导数为：[(())]''(())'()f x f x x ???=. 例5 求函数21 sin x y e =的导数. （3）反函数的求导法则 设()y f x =的反函数为()x g y =，两者均可导，且'()0f x ≠，则 11'()'()'(()) g y f x f g y ==. （4）隐函数求导 设函数()y f x =由方程(,)0F x y =所确定，求'y 的方法有两种：直接求导法和公式法'''x y F y F =-. （5）对数求导法：适用于若干因子连乘及幂指函数
第二章 导数与微分 2.1导数的概念 01.1)设f (0)=0，则f (x )在点x =0可导的充要条件为 （ B ） （A ）01lim (1cosh)h f h →-存在 （B ）01 lim (1)h h f e h →-存在 （C ）01lim (sinh)h f h h →-存在 （D ）01 lim [(2)()]h f h f h h →-存在 03.3) 设f (x )为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数x x f x g ) ()(= (A) 在x =0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x =0. (C) 在x =0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x =0. [ D ] 03.4) 设函数)(1)(3 x x x f ?-=，其中)(x ?在x =1处连续，则0)1(=?是f (x )在x =1处可 导的 [ A ] (A) 充分必要条件. （B ）必要但非充分条件. (C) 充分但非必要条件 . (D) 既非充分也非必要条件. 05.12)设函数n n n x x f 31lim )(+=∞ →，则f (x )在),(+∞-∞内 [ C ] (A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. 05.34) 以下四个命题中，正确的是 [ C ] (A ) 若)(x f '在（0，1）内连续，则f (x )在（0，1）内有界. (B) 若)(x f 在（0，1）内连续，则f (x )在（0，1）内有界. (C) 若)(x f '在（0，1）内有界，则f (x )在（0，1）内有界. (D) 若)(x f 在（0，1）内有界，则)(x f '在（0，1）内有界. (取f (x )= x 1 ，x x f =)(反例排除) 06.34) 设函数()f x 在x =0处连续,且()22 lim 1n f h h →=,则 （ C ） (A )()()' 000f f -=且存在(B)()()'010f f -=且存在 (C)()()' 000f f +=且存在 (D)()()' 010f f +=且存在 07.1234) 设函数f (x )在x =0处连续，下列命题错误的是： （ D ）（反例：()f x x =） (A ) 若0()lim x f x x →存在，则f (0)=0. (B) 若0()() lim x f x f x x →+-存在，则f (0)=0. (C) 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在. (D) 若0()() lim x f x f x x →--存在，则(0)f '存在