高中数学-数列详解
本文以高中数学的“数列”为例，进行详细介绍和解释。
一、基本概念
数列是由一系列数字按照一定规律排列而成的序列，通常用a1, a2, a3, … , an表示。其中，a1表示数列的第一项，an 表示数列的第n项。
数列中的规律可以通过一些公式或者关系式来描述，这些公式或者关系式被称为数列的通项公式。
二、基本概念之等差数列
等差数列是指数列中相邻两项之差等于一个常数d，这个常数d被称为等差数列的公差。即，对于等差数列a1, a2, a3, … , an，有如下关系式：
a2 - a1 = a3 - a2 = … = an - a(n-1) = d
等差数列的通项公式可以表示为：
an = a1 + (n-1)d
其中，an表示数列的第n项，a1表示数列的第一项，d 表示数列的公差。
三、基本概念之等比数列
等比数列是指数列中相邻两项之比等于一个常数q，这个常数q被称为等比数列的公比。即，对于等比数列a1, a2, a3, … , an，有如下关系式：
a2 / a1 = a3 / a2 = … = an / a(n-1) = q
等比数列的通项公式可以表示为：
an = a1q^(n-1)
其中，an表示数列的第n项，a1表示数列的第一项，q 表示数列的公比。
四、例题解析
1. 若数列9, 12, 15, …, an是一个等差数列，且其中第13项为30。求an。
解：根据等差数列的通项公式，可以得到：
an = a1 + (n-1)d
由于第13项为30，所以可以得到：
a1 + 12d = 30
又因为数列9, 12, 15, …是等差数列，所以可以得到：
a2 - a1 = a3 - a2 = … = a13 - a12 = d
因此，可以得到：
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d = a1 + 2d
…
a13 = a12 + d = a1 + 11d
将上式代入a1 + 12d = 30，解得a1= -15，d=3。
因此，可以得到：
an = a1 + (n-1)d = -15 + 3(n-1) = 3n-18
2. 若数列2, x, 6是一个等比数列，求x的值。
解：根据等比数列的通项公式，可以得到：
an = a1q^(n-1)
由于数列2，x，6是一个等比数列，所以可以得到：
x / 2 = 6 / x
解得x = ±2√3。
由于等比数列的公比是一个正数，所以得到x = 2√3。
因此，x的值为2√3。
五、总结
数列是高中数学中的基础知识，它是许多数学问题和实际应用的基础。掌握等差数列和等比数列的定义、通项公式和求解方法对于学习高年级的数学知识和实际应用都有帮助。
高中数学数列知识点 高中数学数列知识点1 1.定义：如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的`公差，通常用字母d来表示。同样为数列的等比数列的性质与等差数列也有相通之处。 2.数列为等差数列的充要条件是：数列的前n项和S 可以写成S = an^2 + bn的形式(其中a、b为常数)．等差数列练习题 3.性质1：公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd． 4.性质2：公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d． 5.性质3：当公差d＞0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d＜0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d ＝0时，等差数列中的数等于一个常数． 高中数学数列知识点2
数列的函数理解： ①数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N_或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。 ②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a。列表法；b。图像法；c。解析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。 通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式an=f（n）来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式（注：通项公式不）。 数列通项公式的特点： （1）有些数列的通项公式可以有不同形式，即不。 （2）有些数列没有通项公式（如：素数由小到大排成一列2，3，5，7，11，。。。）。 递推公式：如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。 数列递推公式特点：
高中数学数列知识点总结 一、数列 1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. ⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列． ⑵在数列中同一个数可以重复出现． ⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念． ⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列 2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =. 3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项 1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ， 那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ，其中 12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式. 4.数列的前n 项和与通项的公式 ①n n a a a S +++= 21； ②⎩⎨ ⎧≥-==-) 2() 1(11n S S n S a n n n . 5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法. 6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列. ①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1. ②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1. ③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. ⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,. ⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 1、已知* 2 ()156n n a n N n = ∈+，则在数列{}n a 的最大项为__（答：125 ）； 2、数列}{n a 的通项为1+=bn an a n ，其中 b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___（答： n a <1+n a ）； 3、已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）； 4、一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式) (1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(* 1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是 （）（答：A ）
高中数学-数列详解 本文以高中数学的“数列”为例，进行详细介绍和解释。 一、基本概念 数列是由一系列数字按照一定规律排列而成的序列，通常用a1, a2, a3, … , an表示。其中，a1表示数列的第一项，an 表示数列的第n项。 数列中的规律可以通过一些公式或者关系式来描述，这些公式或者关系式被称为数列的通项公式。 二、基本概念之等差数列 等差数列是指数列中相邻两项之差等于一个常数d，这个常数d被称为等差数列的公差。即，对于等差数列a1, a2, a3, … , an，有如下关系式： a2 - a1 = a3 - a2 = … = an - a(n-1) = d 等差数列的通项公式可以表示为： an = a1 + (n-1)d 其中，an表示数列的第n项，a1表示数列的第一项，d 表示数列的公差。 三、基本概念之等比数列 等比数列是指数列中相邻两项之比等于一个常数q，这个常数q被称为等比数列的公比。即，对于等比数列a1, a2, a3, … , an，有如下关系式： a2 / a1 = a3 / a2 = … = an / a(n-1) = q
等比数列的通项公式可以表示为： an = a1q^(n-1) 其中，an表示数列的第n项，a1表示数列的第一项，q 表示数列的公比。 四、例题解析 1. 若数列9, 12, 15, …, an是一个等差数列，且其中第13项为30。求an。 解：根据等差数列的通项公式，可以得到： an = a1 + (n-1)d 由于第13项为30，所以可以得到： a1 + 12d = 30 又因为数列9, 12, 15, …是等差数列，所以可以得到： a2 - a1 = a3 - a2 = … = a13 - a12 = d 因此，可以得到： a2 = a1 + d a3 = a2 + d = a1 + 2d … a13 = a12 + d = a1 + 11d 将上式代入a1 + 12d = 30，解得a1= -15，d=3。 因此，可以得到： an = a1 + (n-1)d = -15 + 3(n-1) = 3n-18 2. 若数列2, x, 6是一个等比数列，求x的值。
1数列中a n 与S n 之间的关系: a n S ‘（n 1） 注意通项能否合并。 S n & i ,（n 2）. 2、等差数列： ⑴定义：如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数， 即a n - a n 1 =d ， (n >2, n € N ), 那么这个数列就叫做等差数列。 ⑵等差中项：若三数 a 、A b 成等差数列 或a n pn q （p 、q 是常数） ⑷前n 项和公式： n n 1 S n n^ d 2 ⑸常用性质： ① 若 m n p q m,n, p,q N ，贝U a m a n a p a q ； ② 下标为等差数列的项 a k ,a k m ,a k 2m ,，仍组成等差数列； ③ 数列 a n b （ ,b 为常数）仍为等差数列； ④ 若｛a n ｝、｛0｝是等差数列，则｛ka n ｝、｛ka n pb n ｝ （k 、p 是非零常数）、 ｛a p nq ｝（ p,q N ）、，…也成等差数列。 ⑤单调性： a n 的公差为d ，则： i) d 0 a n 为递增数列； ii) d 0 a n 为递减数列； iii) d 0 a n 为常数列； ⑥数列｛a n ｝为等差数列 a n pn q （ p,q 是常数） ⑦若等差数列 a n 的前n 项和S n ,则S k 、S 2k S k 、S 3k S 2k … 是等差数列。 3、等比数列 ⑴定义：如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数， 那么这个数 列就叫做等比数列。 ⑵等比中项：若三数a 、Gb 成等比数列 G 2 ab, （ ab 同号）。反之不一定成立。 数列 ⑶通项公式：a n a 1 (n 1)d a m (n m)d n a-i a n 2
1.1.1 数列的概念 1. 数列的定义：按一定次序排列的一列数。数列是定义在正整数集或其有限子集｛1，2，3，…，n ｝上的函数当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值。 如：4，5，6，7，8，9，10． ① 1，21，31，41，5 1，…. ② 1，0.1，0.01，0.001，0.0001，…. ③ 1，1.4，1.41，1.414，…. ④ -1，1，-1，1，-1，1，…. ⑤ 2，2，2，2，2，…. ⑥ 1，0，1，0，1，…. ⑦ 均表示数列。 数列中的每一个数叫这个数列的项；数列中的每一项都与它的序号有关，排在第一位的数为这个数列的第一项，也叫着首项，记着1a ；排在第n 位的数称作这个数列的第n 项，记作n a ，也叫着数列的通项；数列的一般形式为,,,321a a a …，,n a …，简记为{}n a 。如上例①中，4、5、6、7、8、9、10均是数列的项；4是数列的第一项，也叫首项；6是数列的第三项，等等。 2. 通项公式：数列的第n 项n a 与n 之间的关系用一个函数式n a =()n f 来表示，那么这个公 式叫做这个数列的通项公式。如上例数列①：n a =n +3(1≤n ≤7)；数列②：n a n 1=； 数列③：n a n n (10 11-=≥1）；数列⑤：n n a )1(-=n ≥1）等。 注意：（1）并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④； （2）一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项 公式可以是2 )1(11+-+=n n a ，也可以是|21cos |π+=n a n ；再如数列1，-1，1，-1，1，-1，…的通项可写成()11n n a +=-或()11n n a -=-或1,(-1{n n n a =为奇数） ，（为偶数）等； （3）求数列的通项公式时，如果一个数列出现“+”、“-”相间时，应先把符号分离出来，用()()111n n +-或-等来控制； （4）有些数列的通项公式可以用分段的形式来表示；如上例中 1,(-1{n n n a =为奇数） ，（为偶数） ； （5）数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项；
一、数列 1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. ⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列． ⑵在数列中同一个数可以重复出现． ⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念． ⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列 2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =. 3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式. 4.数列的前n 项和与通项的公式 ①n n a a a S +++= 21； ②???≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n . 5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法. 6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列. ①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1. ②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1. ③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. ⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,. ⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 1、已知*2()156 n n a n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为__（答：125）； 2、数列}{n a 的通项为1 +=bn an a n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___（答：n a <1+n a ） ； 3、已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）； 4、一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是 （）（答：A ）
高中数列知识点大全 ps：整理不易，点赞支持 已完结的地方： 一、等差数列 二、斐波那契数列 三、数列的通项公式 四、数列的放缩 尚未完结的地方： 一、等比数列的部分例题 二、拓展：提丢斯数列（全国卷考到了） 三、周期数列的部分例题 四、求和 可能要个目录 一、等差数列 1、等差数列的基本概念和基本公式 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列。（1）递推关系： a_{n+1}-a_{n}=d（常数），或 a_{n}-a_{n-1}=d（n\in N^\ast且n\geq2)。（2）通项公式：a_{n}=a_1+（n-1）d 。推广形式： a_{n}=a_m+（n-m）d （当 d\ne0 时， a_n 是关于 n 的一次函数）（3）求和公式：
S_{n}=\dfrac{n\left( a_{1}+a_{n}\right) }{2}=na_{1}+\d frac{n\left( n-1\right) }{2}d (当 d\ne0 时， S_n 是关于 n 的二次函数，且常数项为零） 例题： 2011 湖北文 9 2、等差数列的主要性质 等差数列的性质主要包括以下12个方面。 （1）若 n+m=p+q ，则 a_n+a_m=a_p+a_q 。（反之 不一定成立，如常数数列）（2）等差中项：若三个 数 a,b,c 成等差数列，则称 b 为 a 和 c 的等差中 项，即 2b=a+c ，可将这三个数记为：b-d ， b ， b+d 。 例题一： 例题二 （3） a_k，a_{k+m}，a_{k+2m}，…构成以 md 为 公差的等差数列。（4）在等差数列中依次取出若干 个n项，其和也构成等差数列，即S _ { n } , S _ { 2 n } - S _ { n } , S _ { 3 n } - S _ { 2 n } , \dots \ldots 也为等差数列，公差为 n^2d ；图示理解：\underbrace { a _ { 1 } , a _ { 2 } , \cdots , a _ { m } } _ { s _ { m } },\underbrace { a _ { m + 1 } , a _ { m + 2 } , \cdots , a _ { 2 m } } _ { s _ { 2 m }
高中数学数列经典题型及解析 1. 求数列的通项公式： 题目描述：已知数列的前几项为1，4，9，16，...，求该数列的通项公式。 解析：观察该数列可以发现，每一项都是前一项的平方加1，所以可以得到通项公式为an = n^2 + 1。 2. 求数列的和： 题目描述：已知数列的前几项为2，5，8，11，...，求前100项的和。 解析：观察该数列可以发现，每一项都是前一项加3，所以可以得到通项公式为an = 3n - 1。 根据等差数列的求和公式，前n项的和可以表示为Sn = (n/2)(a1 + an)，所以前100项的和为 S100 = (100/2)(2 + a100)，代入通项公式，得到S100 = (100/2)(2 + (3*100 - 1)) = 10100。 3. 求等差数列的前n项和： 题目描述：已知数列的前几项为3，7，11，15，...，求前20项的和。 解析：观察该数列可以发现，每一项都是前一项加4，所以可以得到通项公式为an = 4n - 1。 根据等差数列的求和公式，前n项的和可以表示为Sn = (n/2)(a1 + an)，所以前20项的和为S20 = (20/2)(3 + (4*20 - 1)) = 820。 4. 求数列的极限： 题目描述：已知数列的前几项为1，1/2，1/3，1/4，...，求该数列的极限值。 解析：观察该数列可以发现，每一项都是前一项的倒数，即an = 1/n。当n趋向于无穷大时， an趋向于0，所以该数列的极限值为0。 5. 求数列的递推关系： 题目描述：已知数列的前几项为1，2，4，7，11，...，求该数列的递推关系。 解析：观察该数列可以发现，每一项都是前一项加一个递增的数，递增的数可以依次为1，2，3，4，...，所以可以得到递推关系为an = an-1 + (n-1)。 以上是高中数学中数列的经典题型及解析，希望对你有帮助！
高中数学数列基础知识：等差数列定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列(arithmetic sequence)，这个常数叫做等差数列的公差(common difference)，公差通常用字母d表示，前n项和用Sn表示。等差数列可以缩写为A.P.(Arithmetic Progression)。 通项公式 an=a1+(n-1)d n=1时 a1=S1 n≥2时 an=Sn-Sn-1 an=kn+b(k,b为常数) 推导过程：an=dn+a1-d 令d=k，a1-d=b 则得到 an=kn+b 等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时，A 叫做a与b的等差中项(arithmetic mean)。 有关系：A=(a+b)÷2 前n项和 倒序相加法推导前n项和公式： Sn=a1+a2+a3 +·····+an =a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d] ① Sn=an+an-1+an-2+······+a1 =an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d] ② 由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n个)=n(a1+an) ∴Sn=n(a1+an)÷2 等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半：
Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2 Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2) 亦可得 a1=2sn÷n-an an=2sn÷n-a1 有趣的是S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1 性质 一、任意两项am，an的关系为： an=am+(n-m)d 它可以看作等差数列广义的通项公式。 二、从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈N* 三、若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有 am+an=ap+aq 四、对任意的k∈N*，有 Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…成等差数列。 高中数学数列基础知识：等比数列定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列(geometric sequence)。这个常数叫做等比数列的公比(common ratio)，公比通常用字母q表示。 缩写 等比数列可以缩写为G.P.(Geometric Progression)。 等比中项
高中数学数列知识点 数列中的每一个数都叫做这个数列的项。数列(sequence of number)是以正整数集(或它的有限子集)为定义域的函数，是一列有序的数。一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列(arithmetic sequence)，这个常数叫做等差数列的公差(common difference)，公差通常用字母d表示，前n项和用Sn表示。等差数列可以缩写为A.P.(Arithmetic Progression)。 高中数列基本公式： 1、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an= 2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式;当d=0时，an是一个常数。 3、等差数列的前n项和公式：Sn= Sn= Sn= 当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0;当d=0时(a1≠0)，Sn=na1是关于n的正比例式。 4、等比数列的通项公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k (其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0) 5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式); 当q≠1时，Sn= Sn=
高中数学数列知识点总结二:高中数学中有关等差、等比数列的结论 1、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、 S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。 2、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则 3、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则 4、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、 S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。 5、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。 6、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列 {an bn}、 、 仍为等比数列。 7、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 8、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d;四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d 10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,aq; 四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么?) 11、{an}为等差数列，则 (c>0)是等比数列。 12、{bn}(bn>0)是等比数列，则{logcbn} (c>0且c 1) 是等差数列。 13. 在等差数列
高中数学数列知识总结 一.数列的定义及表示方法 1．数列的定义 按________________着的一列数叫数列，数列中的______________都叫这个数列的项；在函数意义下，数列是________________________的函数，数列的一般形式为：______________________，简记为{a n }，其中a n 是数列的第____项． 2．通项公式： 如果数列{a n }的______与____之间的关系可以____________来表示，那么这个式子叫做数列的通项公式．但并非每个数列都有通项公式，也并非都是唯一的． 3．数列常用表示法有：_________、________、________. 4．数列的分类： 数列按项数来分，分为____________、__________；按项的增减规律分为________、________、__________和__________．递增数列⇔a n ＋1______a n ；递减数列⇔a n ＋1______a n ；常数列⇔a n ＋1______a n . 5．a n 与S n 的关系： 已知S n ，则a n ＝⎩ ⎪⎨⎪⎧ ，n ＝1， ，n ≥2. 1．一定顺序排列 每一个数 定义域为N *(或它的子集)a 1，a 2，a 3，…，a n ，… n 2.第n 项 n 用一个公式 3.解析法(通项公式或递推公式) 列表法 图象法 4.有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列 摆动数列 常数列 > < ＝ 5.S 1 S n －S n －1 二.等差数列及其前n 项和 1．等差数列的有关定义 (1)一般地，如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的____等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为____________ (n ∈N *，d 为常数)． (2)数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是__________，其中A 叫做a ，b 的__________． 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝________，a n ＝a m ＋________ (m ，n ∈N *)． (2)前n 项和公式：S n ＝__________＝____________. 3．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d 2 n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列的充要条件是其前n 项和公式S n ＝__________. 4．等差数列的性质 (1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有__________，特别地，当m ＋n ＝2p 时，______________. (2)等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列． (3)等差数列的单调性：若公差d >0，则数列为____________；若d <0，则数列为__________；若d ＝0，则数列为________． 1．(1)2 差 a n ＋1－a n ＝d (2)A ＝a ＋b 2 等差中项 2．(1)a 1＋(n －1)d (n －m )d (2)na 1＋n (n －1)2d (a 1＋a n )n 2 3.An 2＋Bn 4.(1)a m ＋a n ＝a p ＋a q a m ＋a n ＝2a p (3)递增数列 递减数列 常数列
数列基础知识点和方法归纳 1. 等差数列的定义与性质 定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+ 前n 项和()() 1112 2 n n a a n n n S na d +-= =+ 性质：{}n a 是等差数列 （1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； （2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2； （3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，， （4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则 21 21 m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数） n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界 项， 即：当100a d ><，，解不等式组10 0n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值. 当100a d <>，，由10 0n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值. (6)项数为偶数n 2的等差数列{} n a ，有 ),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S Λ nd S S =-奇偶， 1 += n n a a S S 偶 奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列{} n a ，有
数列知识点总结 数列的概念与简单表示法 知识点一、数列的定义 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项（通常称为首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项，所以数列的一般形式可以写成： ,,,,,,321 n a a a a 简记为{}n a 。项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列。 1.从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列； 2.从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列； 3.各项相等的数列叫做常数列； 4.从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它前一项的数列叫做摆动数列； 知识点二、通项公式 如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。 知识点三、数列的前n 项和 1.数列的前n 项和的定义：我们把数列{}n a 从第一项起到第n 项止的各项之和，称为数列{}n a 的前n 项和，记作n S ，即n n a a a S +++= 21。 2.数列前n 项和n S 与通项公式n a 之间的关系：⎩⎨⎧≥-==-.2,,1,1 1n S S n S a n n n
等差数列 知识点一、等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。 知识点二、等差中项 有三个数b A a ,,组成的等差数列可以看成简单的等差数列，这时A 叫做b a 与的等差中项。 1.根据等差中项的定义：b A a ,,是等差数列，则2b a A +=；反之，若2 b a A +=，则 b A a ,,是等差数列。 2.在等差数列{}n a 中，任取相邻的三项() * +-∈≥N n n a a a n n n ,2,,11，则n a 是1-n a 与1+n a 的 等差中项；反之，n a 是1-n a 与1+n a 的等差中项对一切* ∈≥N n n ,2均成立，则数列{}n a 是 等差数列。 因此，数列{}n a 是等差数列⇔),2(211* +-∈≥+=N n n a a a n n n 。 3.若数列{}n a 是等差数列，且p+q=s+t,则t s q p a a a a +=+。（p,q,s,t ∈N * ） 知识点三、等差数列的通项公式 1.等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=，其中1a 为首项，d 为公差。 等差数列的通项公式的推导方法： 累加法：因为{}n a 是等差数列，所以 d a a d a a d a a d a a n n =-=-=-=--1342312, ,,, 等号两边分别相加，得d n a a n )1(1-=-，所以d n a a n )1(1-+=。 2.等差数列的应用：已知等差数列中任意两项),(,* ∈N m n a a m n ， ⎪⎩⎪ ⎨⎧-+=--=⇒-=-⇒⎩⎨ ⎧-+=-+=d m n a a m n a a d d m n a a d m a a d n a a m n m n m n m n )()()1()1(11
.数 列 一．数列的概念： （1）已知*2()156n n a n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为__（答：125 ）； （2）数列}{n a 的通项为1+= bn an a n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为__（答：n a <1+n a ）； （3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）； 二．等差数列的有关概念： 1．等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。 设{}n a 是等差数列，求证：以b n =n a a a n +++Λ21 *n N ∈为通项公式的数列{}n b 为等差数列。 2．等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。 (1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = （答：210n +）； （2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：833 d <≤） 3．等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2 n n n S na d -=+。 （1）数列 {}n a 中，*11(2,)2n n a a n n N -=+ ≥∈，32n a =，前n 项和152n S =-，求1a ，n （答：13a =-，10n =）； （2）已知数列 {}n a 的前n 项和212n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T （答： 2*2*12(6,)1272(6,) n n n n n N T n n n n N ⎧-≤∈⎪=⎨-+>∈⎪⎩）. 三．等差数列的性质： 1．当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且率为公差d ；前n 和 211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. 2．若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。
高中数列知识点总结 1. 等差数列的定义与性质 定义：1n n a a d +-=〔d 为常数〕,()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+ 前n 项和：()() 1112 2 n n a a n n n S na d +-= =+ 性质：〔1〕假如m n p q +=+,如此m n p q a a a a +=+；〔2〕{}n a 为等差数列 2n S an bn ⇔=+〔a b ，为常数,是关于n 的常数项为0的二次函数〕 2. 等比数列的定义与性质 定义： 1 n n a q a +=〔q 为常数,0q ≠〕,11n n a a q -=. 等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=, 或G = 前n 项和：()11(1) 1(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪ =-⎨≠⎪ -⎩〔要注意公比q 〕 性质：{}n a 是等比数列〔1〕假如m n p q +=+,如此m n p q a a a a =·· 3．求数列通项公式的常用方法 一、公式法 例1 数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯,12a =,求数列{}n a 的通项公式. 解：1232n n n a a +=+⨯两边除以1 2n +,得 113222n n n n a a ++=+,如此113222n n n n a a ++-=,故数列{}2 n n a 是以1222 a 1 1==为首项,以23 为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得31(1)22n n a n =+-,所以数列{}n a 的通项公式为31 ()222 n n a n =-. 二、累加法 )(1n f a a n n =-- 例2 数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，,求数列{}n a 的通项公式.