平方根与立方根之间的区别与联系
平方根与立方根是两个很相近的概念，如果不正确地认识和理解它们的异同，在解题中很容易引起混淆而造成解题错误，为此，笔者将其区别与联系小结如下。
一、两者的区别
1、定义不同
平方根：如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根
立方根：如果a x =3 ，那么x 叫做a 的立方根
2、表示方法不同
正数a 的平方根记为a ±，数a 的立方根记为3a 。表示平方根时，根指数2一般省略不写，但是用根号表示立方根时，根指数3绝对不能省略，否则就与二次根式混淆了。
3、读法不同
正数a 的平方根记为a ± ，读作“正、负根号 a ”。
3a 读作“ 三次根号a 或a
的立方根”。
4、被开方数的取值范围不同 在平方根a ±中，被开方数a 是非负数，即 0≥a 。但在3a 中，a 可以是任意的数。
5、根的个数不同
一个正数的平方根有两个，它们是互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根。
任何数都存在立方根，一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0。
二、二者的联系
求平方根与立方根的运算都是开方运算，开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算，都是乘方的逆运算。
三、应用举例
例1、 求下列各式的值
（1）121
1- （2） 16.0± （3） 32764- （4）3216125 解：（1）1111211,1211)111(
2-=-∴=Θ （2）4.016.0,16.0)4.0(2=±∴=±Θ
（3）3
42764,2764)34(33-=-∴-=-Θ （4）6
5216125,216125)65(33=∴=Θ 例2、 求下列各式中的x
（1）48)43)(43(=-+x x
（2）343)35(3=-x
解：（1）481692=-x 即9642=
x 3
8964±=±=∴x （2）734335,343)35(33==-∴=-x x Θ 即2,105=∴=x x
平方根与立方根练习题 班级 姓名 时间 一、填空题 1．如果9=x ，那么x ＝________；如果92=x ，那么=x ________； 2．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是_________； 3．算术平方根等于它本身的数有________，立方根等于本身的数有________． 4. x ==则 ，若,x x =-=则 。 5．81的平方根是_______，4的算术平方根是_________，210-的算术平方根是 ； 6．当______m 时，m -3有意义；当______m 时，3 3-m 有意义； 7．若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则____=a ，这个正数是 ； 8．21++a 的最小值是________，此时a 的取值是________． 二、选择题 9. 若2x a =，则（ ） A.0x > B. 0x ≥ C. 0a > D. 0a ≥ 10．2)3(-的值是（ ）． A ．3- B ．3 C ．9- D ．9 11．设x 、y 为实数，且554-+-+=x x y ，则y x -的值是（ ） A 、1 B 、9 C 、4 D 、5 12．如果53-x 有意义，则x 可以取的最小整数为（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 13．一个等腰三角形的两边长分别为25和32，则这个三角形的周长是（ ） A 、32210+ B 、3425+ C 、32210+或3425 + D 、无法确定 14. 若5x -能开偶次方，则x 的取值范围是（ ） A ．0x ≥ B.5x > C. 5x ≥ D. 5x ≤
15. 若n 为正整数,则2n ） A ．-1 B.1 C.±1 D.21n + 16. 若正数a 的算术平方根比它本身大，则（ ） A.01a << B.0a > C. 1a < D. 1a > 三、解方程 1. 8)12(3-=-x 2．4(x+1)2=8 3. 2(23)2512x x -=- 4. (2x-5)3=-27 四、解答题 已知： 实数a 、b 满足条件 0)2(12=-+-ab a 试求: ) 2004)(2004(1)2)(2(1)1)(1(1 1 ++++++++++b a b a b a ab 的值
平方根算术平方根立方根三说 一、平方根、算术平方根、立方根知识点概要 1.平方根、算术平方根的概念与性质 如果一个数 x 的平方等于 a（即x2 a ），那么这个数x 就叫做 a 的平方根（或二次方根），记作： x a ，这里a是x的平方数，故 a 必是一个非负数即 a 0；例如16的平方根是±4，从定义还可得出：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根；0 的平方根只有一个0，即为它本身。 正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，表示为 a a 0 ，例如 16 的算术平方根是16 4 ，从定义中容易发现：算术平方根具有双重非负性：① a 0 ；② a 0 。 2.平方根、算术平方根的区别与联系区别：①定义不同；②个数不同；③表示方法不同；④ 取值范围不同：平方根可以是正数、负数、零，而算术平方根只能取零及正数，即非负数。联 系：①它们之间具有包含关系； ②它们赖以生存的条件相同，即均为非负数； ③ 0 的平方根以及算术平方根均为0。 3. 立方根的定义与性质 如果一个数x 的立方等于a（即x3 a ），那么这个数x 就叫做 a 的立方根（或三次方根），记作：x 3 a 。 立方根的性质：正数的立方根是正数，0 的立方根是0，负数的立方根是负数。 二、解题中常见的错误剖析 第 1 页共7 页
例 1. 求 3 2的平方根。 2 错解：39 3 2的平方根是 3 剖析：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而2 是一个正数，故它的平方根应有39 两个即± 3。 例 2. 求9 的算术平方根。 错解：329 9 的算术平方根是 3 剖析：本题是没有搞清题目表达的意义，错误的认为是求9 的算术平方根，因而导致误解，事实上本题9 就是表示的9 的算术平方根，而整个题目的意义是让求9 的算术平方根的算术平方根。 9 3 ，而3的算术平方根为 3 ，故9 的算术平方根应为 3 。仿此你能给出64 的平方 根的结果吗？ 三、典型例题的探索与解析 例 3. 已知：M a b 2 a8 是a8 算数平方根，N 2 a b 4 b 3 是b 3 立方根，求M N 的平方根。 分析：由算术平方根及立方根的意义可知 a 80 a b 2 2 1 2a b 4 3 2 联立 <1><2> 解方程组，得： a 1， b 3 第 2 页共7 页
“平方根”与“立方根”知识点小结 一、知识要点 1、平方根： ⑴、定义：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作 “ （a称为被开方数）。 ⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 ⑶、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平 。 2、立方根： ⑴、定义：如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作 （a称为被开方数）。 ⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。 3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。 二、规律总结： 1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。 2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。 3 有意义的条 件是a≥0。 4、公式：⑴ 2=a（a≥0） a取任 何数）。 5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。例1求下列各数的平方根和算术平方根 （1）64；（2）2)3 (-；（3） 49 15 1；⑷ 2 1 (3) - 例2 求下列各式的值 （1）81 ±；（2）16 -；（3） 25 9 ；（4）2)4 (-. （5）44 .1，（6）36 -，（7） 49 25 ±（8）2) 25 (- 例3、求下列各数的立方根： ⑴343；⑵ 10 2 27 -；⑶0.729 二、巧用被开方数的非负性求值. 大家知道，当a≥0时，a的平方根是±a，即a是非负数. 例4、若,6 2 2= - - - -y x x求y x的立方根. 练习：已知,2 1 2 2 1+ - + - =x x y求y x的值. 三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值. 我们知道，当a≥0时，a的平方根是±a，而.0 ) ( ) (= - + +a a 例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a，求a的平方的相反数的立方根. 练习：若3 2+ a和12 - a是数m的平方根，求m的值.
平方根练习题 1、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a,即x 2=a 那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根式），算术平方根 2、平方根的性质：（1）一个正数有 个平方根，它们 （2）0的平方根是 ；（3） 没有平方根． 3、重要公式： （1）=2 )( a （2） { ==a a 2 4、平方表： 5.正数有_____________个立方根, 0有__________个立方根,负数有__________个立方根,立方根也叫做_______________. 6.一个正方体的棱长扩大3倍,则它的体积扩大_____________. 7.若一个数的立方根等于数的算术平方根,则这个数是_____________. 8. 0的立方根是___________.(-1)2005的立方根是______________.1827 26 的立方根是________. 例1、判断下列说法正确的个数为（ ） ① -5是-25的算术平方根； ② 6是()26-的算术平方根； ③ 0的算术平方根是0；
④ 0.01是0.1的算术平方根； ⑤ 一个正方形的边长就是这个正方形的面积的算术平方根． A ．0 个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 例2、 36的平方根是（ ） A 、6 B 、6± C 、 6 D 、 6± 例3、下列各式中，哪些有意义？ （1） 5 （2）2- （3）4- （4） 2 )3(- （5） 310- 例4、一个自然数的算术平方根是a ，则下一个自然数的算术平方根是（ ） A ．()1+a B ．()1+±a C ．1 2+a D ．12+± a 强化训练 一、选择题 1．下列说法中正确的是（ ） A ．9的平方根是3 B 4 2 2． 4的平方的倒数的算术平方根是（ ） A ．4 B ．18 C ．-14 D ．14 3．下列结论正确的是（ ） A 6)6(2-=-- B 9)3(2=- C 16)16(2±=- D 25 1625162 =? ?? ? ? ?-- 4．以下语句及写成式子正确的是（ ） A 、7是49的算术平方根，即749±= B 、 7是2 )7(-的平方根，即 7)7(2=- C 、7±是49的平方根，即7 49=± D 、7±是49的平方根，即749±= 5．下列说法：(1)3±是9的平方根；(2)9的平方根是3±；(3)3是9的平方根； (4)9的平方根是3，其中正确的有（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．4个 6．下列说法正确的是（ ） A ．任何数的平方根都有两个 B ．只有正数才有平方根
七年级数学平方根和立 方根同步练习含答案 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT
一、基础训练 1．9的算术平方根是（） A．-3 B．3 C．±3 D．81 2．下列计算不正确的是（） A．=±2 B= C． 3．下列说法中不正确的是（） A．9的算术平方根是3 B 2 C．27的立方根是±3 D．立方根等于-1的实数是-1 4．的平方根是（） A．±8 B．±4 C．±2 D 5．-1 8 的平方的立方根是（） A．4 B．1 8 C．- 1 4 D． 1 4 6．_______；9的立方根是_______． 7．用计算器计算：≈______________（保留4个有效数字） 8．求下列各数的平方根． （1）100；（2）0；（3）9 25 ；（4）1；（5）1 15 49 ；（6）0．09． 9．计算： （1）234
二、能力训练 10．一个自然数的算术平方根是x，则它后面一个数的算术平方根是（） A．x+1 B．x2+1 C 11．若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，则m的值是（） A．-3 B．1 C．-3或1 D．-1 12．已知x，y是实数，且（y-3）2=0，则xy的值是（） A．4 B．-4 C．9 4 D．- 9 4 13．若一个偶数的立方根比2大，算术平方根比4小，则这个数是_______．14．将半径为12cm的铁球熔化，重新铸造出8个半径相同的小铁球，不计损耗，?小铁 球的半径是多少厘米（球的体积公式为V=4 3 πR3） 三、综合训练 15．利用平方根、立方根来解下列方程． （1）（2x-1）2-169=0；（2）4（3x+1）2-1=0； （3）27 4 x3-2=0；（4） 1 2 （x+3）3=4．
平方根与立方根典型题大全 一、填空题 2．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是_________； 3．算术平方根等于它本身的数有________，立方根等于本身的数有________． 4.若3,x x x ==则 ，若2,x x x =-=则 。 4．81的平方根是_______， 4的算术平方根是_________，210-的算术平方根是 ； 5．当______m 时，m -3有意义；当______m 时，33-m 有意义； 6．若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则____=a ，这个正数是 ； 7．21++a 的最小值是________，此时a 的取值是________． 二、选择题 8.若2x a =，则（ ）A.0x > B. 0x ≥ C. 0a > D. 0a ≥ 8．2 )3(-的值是（ ）．A ．3- B ．3 C ．9- D ．9 9．设x 、y 为实数，且554-+-+=x x y ，则y x -的值是（ ） A 、1 B 、9 C 、4 D 、5 10．如果53-x 有意义，则x 可以取的最小整数为（ ）．A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 11．一个等腰三角形的两边长分别为25和32，则这个三角形的周长是（ ） A 、32210+ B 、3425+ C 、32210+或3425+ D 、无法确定 12.若5x -能开偶次方，则x 的取值范围是（ ） A ．0x ≥ B.5x > C. 5x ≥ D. 5x ≤ 13.若n 为正整数,则211n +-等于（ ）A ．-1 B.1 C.±1 D.21n + 14.若正数a 的算术平方根比它本身大，则（ ）A.01a << B.0a > C. 1a < D. 1a > 四、解答题 15．已知：实数a 、b 满足条件 0)2(12=-+-ab a 试求) 2004)(2004(1)2)(2(1)1)(1(11++++++++++b a b a b a ab 的值
平方根: 概括1：一般地，如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根(或二次方根)。就是 说，如果x 2 ＝a,那么x 就叫做a 的平方根。 如：23与－23都是529的平方根。 因为(±23)2 ＝529，所以±23是529的平方根。 问：（1）16，49，100，1 100都是正数，它们有几个平方根?平方根之间有什么关系? （2）0的平方根是什么? 概括2：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没 有平方根。 知识点二： 概括3：求一个数a(a ≥0)的平方根的运算，叫做开平方。 开平方运算是已知指数和幂求底数。平方与开平方互为逆运算。一个数可以是正数、负数或者是0，它的平方数只有一个，正数或负数的平方都是正数，0的平方是0。但一个正数的平方根却有两个，这两个数互为相反数，0的平方根是0。负数没有平方根。 因为平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。 知识点三： （1）625的平方根是多少？这两个平方根的和是多少？ －7和7是哪个数的平方根？ 正数m 的平方根怎样表示？ （2）下列各数的平方根各是什么？ 64； 0； (－0.4)2 ； )3 21(-（3）已知正方形的面积等于a, 3、例题讲解： 例1、求下列各数的平方根： (1)81； (2)1916； (3)0.09 例2、下列各数有平方根吗? 如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由。 (1)－64； (2)0； (3)( - 例3、求下列各式的值： (1)10000； (2)144-；(4)0001.0-； (5)81 49±
6．2 立方根 1．了解立方根的概念及性质，会用根号表示一个数的立方根；(重点) 2．了解开立方与立方是互逆运算，会用开立方运算求一个数的立方根．(难点) 一、情境导入 填空并回答问题： (1)( )3＝0.001； (2)( )3＝－27 64； (3)( )3＝0； (4)若正方体的棱长为a，体积为8，根据正方体的体积公式得a3＝8，那么a叫做8的什么呢？ 二、合作探究 探究点一：立方根的概念及性质 【类型一】立方根的概念及性质 立方根等于本身的数有________个． 解析：在正数中，3 1＝1，在负数中， 3 －1＝－1，又 3 0＝0， ∴立方根等于本身的数有1，－1，0.故填3.
方法总结：不论正数、负数还是零，都有立方根． 【类型二】 立方根与平方根的综合问题 已知x －2的平方根是±2，2x ＋y ＋7的立方根是3，求x 2＋y 2的算术平方根． 解析：根据平方根、立方根的定义和已知条件可知x －2＝4，2x ＋y ＋7＝27，从而解出x ，y ，最后代入x 2＋y 2，求其算术平方根即可． 解：∵x－2的平方根是±2，∴x －2＝4，∴x ＝6.∵2x＋y ＋7的立方根是3，∴2x ＋y ＋7＝27.把x ＝6代入解得y ＝8，∴x 2＋y 2＝62＋82＝100.∴x 2＋y 2的算术平方根为10. 方法总结：本题先根据平方根和立方根的定义，运用方程思想列方程求出x ，y 的值，再根据算术平方根的定义求出x 2＋y 2的算术平方根． 【类型三】 立方根的实际应用 已知球的体积公式是V ＝43 πr 3(r 为球的半径，π取3.14)，现已知一个小皮球的体积是113.04cm 3，求这个小皮球的半径r. 解析：将公式变形为r 3 ＝3V 4π，从而求r. 解：由V ＝43πr 3，得r 3＝3V 4π，∴r ＝33V 4π .∵V ＝113.04cm 3，π取3.14，∴r ≈33×113.044×3.14 ＝327＝3(cm)． 答：这个小皮球的半径r 约为3cm.
12.若X - 5能开偶次方，则X的取值范围是（） A? X _ 0 B. X 5 C.X _5 D.x _ 5 13.若n为正整数，则2n \ _ 1等于（)A. -1 B.1 C.± 1 D. 14.若正数a的算术平方根比它本身大，则（）A. 0 ：：：a 1 B. a 0 C.a 1 D 四、解答题 15 ?已知：实数a、b满足条件.a - 1 (ab -2)2 = 0 试求1.1. 1半..... +1的值 2n 1 a 1 平方根与立方根典型题大全 一、填空题 2?若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是______________ ; 3 ?算术平方根等于它本身的数有 __________ ，立方根等于本身的数有________ ? 4.若、、X=：X,则X= _____ ，若?,亍二…X,则X =________ 。 4. 781的平方根是_______ , J4的算术平方根是_____________ , io-的算术平方根是 5?当m _____ 时，理；3 _m有意义；当m ______ 时，詁m _3有意义； 6?若一个正数的平方根是2a —1和一a +2，则a = ______ ，这个正数是________ ； 7. _____________________________ . a 1 2的最小值是_________ ，此时a的取值是? 二、选择题 8. 若x2=a，则（）A. x〉0 B. x^O C. a》0 D. a A O ' 2 8?，.（_3）的值是（）.A. — 3 B ? 3 C ? -9 D ? 9 9 ?设x、y为实数，且y = 4…J5 — x…J x - 5，则x—y的值是（） A 1 B 、9 C 、4 D 、5 10 ?如果.3x_5有意义，则X可以取的最小整数为（）? A. 0 B ? 1 C ? 2 11 ? 一个等腰三角形的两边长分别为 5 2和2 3，则这个三角形的周长是（） A 102 2、3 B 、5.2 43 C、10、2 2.3 或5 2 4 3 D 、无法确定 ab (a 1)(b 1) (a ■ 2)(b2) (a - 2004)(b - 2004)
6.2 立方根练习 一、选择题 1.一个数的算术平方根与它的立方根的值相同，则这个数是( ) A.1 B.0或1 C.0 D.非负数 2.一个数的立方根等于它本身，则这个数是( ) A.0 B.1 C.－1 D.±1，0 3.一个正数的算术平方根是8，则这个数的相反数的立方根是( ) A.4 B.－4 C.4± D.8± 4.－8的立方根与4的算术平方根的和是（ ） A..0 B.4 C.－4 D.0或4 5.下列命题中正确的是（ ） （1）0.027的立方根是0.3；（2）3a 不可能是负数；（3）如果a 是b 的立方根，那么ab ≥0;(4)一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1. A. （1）（3） B.（2）（4） C.（1）（4） D.（3）(4) 二、填空题 1.若642=x ，则3x ＝_______. 2.立方根是－8的数是_______， 64的立方根是_______。 3.若1253=x ，则x ＝_______；336=x ，则x ＝_______，若33)4(-=x ，则x ＝_______. 4.当x ＜7时，33)7(-x ＝_______. 5. －27的立方根与81的平方根之和是_______. 三、解答题 1.求下列各式的值或x. （1）327102 --；（2）327 174+； （3）43623=-x ；（4）027)3(3=++x 2.若2x ＋19的立方根是3，求3x ＋4的平方根.
3.已知A ＝n m m n -+-3是n －m ＋3的算术平方根，B ＝322+-+n m n m 是m ＋2n 的立方根，求B －A 的立方根. 5.先判断下列等式是否成立： （1）337 22722=+（ ） （2）3326 332633=+（ ） （3）3363 446344=+（ ） （4）331245512455=+ （ ） ………. 经判断： （1）请你写出用含的自然数）2(>n n 的等式表示上述各式规律的一般公式。 （2）证明你的结论。
平方根与立方根练习 题39136
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 一、填空题： 1、144的算术平方根是 ，16的平方根是 ； 2、327= ， 64-的立方根是 ； 3、7的平方根为 ，21.1= ； 4、一个数的平方是9，则这个数是 ，一个数的立方根是1，则这个数是 ； 5、平方数是它本身的数是 ；平方数是它的相反数的数是 ； 6、当x= 时，13-x 有意义；当x= 时，325+x 有意义； 7、若164 =x ，则x= ；若813=n ，则n= ； 8、若3x x =，则x= ；若x x -=2，则x ； 9、若0|2|1=-++y x ，则x+y= ； 10、计算： 381264 27 3292531+-+= ； 11、若m 的平方根是51a +和19a -，则m = ． 12、0.25的平方根是 ；125的立方根是 ； 13、计算：412 =＿＿＿；38 3 3-=＿＿＿； 14、若x 的算术平方根是4，则x=＿＿＿；若3x =1，则x=＿＿＿； 15、若2 )1(+x -9=0，则x=＿＿＿；若273 x +125=0，则x=＿＿＿； 16 、当x ＿＿＿时，代数式2x+6的值没有平方根； 17、如果x 、y 满足|2|+++x y x =0，则x= ，y=＿＿＿； 18、如果a 的算术平方根和算术立方根相等，则a 等于 ； 二、选择题 1、若a x =2 ，则（ ）A 、x>0 B 、x ≥0 C 、a>0 D 、a ≥0 2、一个数若有两个不同的平方根，则这两个平方根的和为（ ） A 、大于0 B 、等于0 C 、小于0 D 、不能确定 3、一个正方形的边长为a ，面积为b ，则（ ） A 、a 是b 的平方根 B 、a 是b 的的算术平方根 C 、b a ±= D 、a b = 4、若a ≥0，则2 4a 的算术平方根是（ ） A 、2a B 、±2a C 、a 2 D 、| 2a | 5、若正数a 的算术平方根比它本身大，则（ ）A 、0
七年级数学下册《立方根》知识点整理 七年级数学下册《立方根》知识点整理 知识要领：如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a(x^3=a)，即3个x连续相乘等于a,那么这个数x就叫做a的立方根。 立方根读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数。(a等于所有数，包括0)如果被开方数还有指数，那么这个指数(必须是三能约去的)还可以和三次根号约去。求一个数a的立方根的运算叫做开立方。立方根的性质：⑴正数的立方根是正数.⑵负数的立方根是负数.⑶0的立方根是0.一般地，如果一个数X的立方等于 a，那么这个数X就叫做a的立方根(cube root，也叫做三次方根)。如2是8的立方根，-3分之2是-27分之8的立方根，0是0的立方根。立方和开立方运算，互为逆运算。互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数。负数不能开平方，但能开立方。立方根如何与其他数作比较? ⑴做这两个数的立方⑵作差⑶比较被开方数(如三 次根号3大于三次根号2) 任何数(正数、负数、或零)的立方根如果存在的话，必定只有一个. 平方根与立方根的区别与联系一、区别⑴根指数不同：平方根的根指数为2，且可以省略不写;立方根的根指数为3，且不能省略不写。 ⑵ 被开方的取值范围不同：平方根中被开方数必需为非负数;立方根中被开方数可以为任何数。⑶ 结果不同：平方根的结果除0之外，有两个互为相反的结果;立方根的结果只有一个。 二、连系二者都是与乘方运算互为逆运算 知识点一：平方根的概念：若x2=a(a≥0)，则x叫做a的平方根，记作x=±\，求一个非负数的平方根的运算叫做开平方.开平方与平方互为逆运算. 例1 \的平方根是( ). A.±9 B. ±3 C.9 D.3 解:因为\=9，所以\的平方根就是9的平方根，即±\=±3，故选择B. 注:应现将\化简后再求值. 知识点二: 算术平方根的概念:正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作\，0的算术平方根是0. 例2若a<0，则a2的算术平方根是( ). A.-a B.a C.±a D. ±\ 解:当a<0时，\=|a|=-a，故选择A. 例3一个数的算术平方根是a，则比这个数大5的数是( ). A.a+5
1 激发兴趣，教给方法，培养习惯，塑造品格 乐学，让学习更快乐 乐学教育 平方根与立方根典型题大全 一、 填空题 1 .如果 x 9，那么x = _________ ;如果 X 9，那么x _____________ 2?若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是 ____________ ; 3. __________________________________ 算术平方根等于它本身的数有 ___ 立方根等于本身的数有 ________________________________ . 4. 若 -,.x 3 x,贝Vx ______ ，若?- x 2 x,贝Ux ______ 。 4.的平方根是 ____________ ，V4的算术平方根是 ________ ，10 2的算术平方根是 ___________ ; 5 .当m ______时，3 m 有意义；当m _________ 时，3 m 3有意义； 6. 若一个正数的平方根是2a 1和a 2，则a __________ ，这个正数是 _________ ; 7. _______________________________ TTH 2的最小值是 ________ 此时a 的取值是 . 二、 选择题 8. 若x 2 a ，则（ ) A. x 0 B. x 0 C. a 0 D. a 0 8. （3）2 的值是 （ ). A. 3 B .3 C 9 D .9 9. 设x 、 y 为实数, 且 y 4 5 x . x 5 ，则x y 的值是（ ） A 1 B 、9 C 、4 D 、5 10 .如果 3x 5有意义, 则x 可以「 取的最小 整 数为（ ). A. 0 B .1 C .2 D .3 11. 一个等腰三角形的两边长分别为5 2和2 3，则这个三角形的周长是（ ） A 、10 .2 2 3 B 、5 .2 4 3 C 、10 2 2.3 或 5 2 4 3 D 、无法确定 12.若x 5能开偶次方，则x 的取值范围是（ ) A. x 0 B. x 5 C. x 5 D. x 5 13.若n 为正整数,则姑'、1 1等于（ ) A. -1 B.1 C. ± 1 D. 2n 1 14.若正数a 的算术平方根比它本身大， 则（ )
平方根和立方根（讲义） ?课前预习 1.填空： (_____)2=0；(_____)2=4；(_____)2=9；(_____)2=16． 由上述运算可知： ①零的平方是______；任何非零数的平方都是______；任何数的平方都是 _______；_______（“存在”或“不存在”）某个数的平方是负数． ②互为相反数的两个数的平方________． 2.做一做，想一想 把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，设大正方形的边长为x，则x满足的条件为__________． ?知识点睛 1.平方根：一般地，如果一个_______________________，即__________，那么这个
________就叫做a 的平方根；也叫做____________；记作________，读作 “____________”． 2. 一个正数有_____个平方根，它们____________；0有____个平方根，是 ________；负数________平方根． 3. 算术平方根：一般地，如果一个_______________________ 这个________就叫做a 的算术平方根；记作______，读作“平方根是______． 4. 求一个数a 的平方根的运算，叫做_____，其中a 叫做_______5. 立方根：一般地，如果一个_______________________，即________就叫做a 的立方根；也叫做____________；记作“____________”． 6. 正数的立方根是______；0的立方根是______；负数的立方根是______． 7. 求一个数a 的立方根的运算叫做______，其中a 叫做_______． ? 精讲精练 1. 4121 的平方根是_________；(14-)2的算术平方根是_______． 2. 下列说法正确的是（ ） A ．-2是-4的平方根 B ．2是(-2)2的算术平方根 C ．(-2)2的平方根是2 D ．8的平方根是4 3. 下列说法正确的是（ ） A ．-81的平方根是±9 B ．任何数的平方是非负数，因而任何数的平方根也是非负数 C ．任何一个数的算术平方根都是正数 D ．2是4的平方根 4. 下列各式中，正确的是（ ） A = B ．0.6=± C 13= D 6=± 5. 下列各式中，正确的是（ ） A ．-(-7)=7 B ．412=121
初二数学上册平方根与立方根专项练习题 一、填空题： 1、144的算术平方根是 ， 16的平方根是 ； 2、327= ， 64-的立方根是 ； 3、7的平方根为 ，21.1= ； 4、一个数的平方是9，则这个数是 ，一个数的立方根是1，则这个数是 ； 5、平方数是它本身的数是 ；平方数是它的相反数的数是 ； 6、当x= 时， 13-x 有意义；当x= 时，325+x 有意义； 7、若164=x ，则x= ；若813=n ，则n= ； 8、若 3x x =，则x= ；若x x -=2，则x ； 9、若0|2|1=-++y x ，则x+y= ； 10若x 的算术平方根是4，则x=＿＿＿；若 3x =1，则x=＿＿＿； 11．若2)1(+x -9=0，则x=＿＿＿；若273x +125=0，则x=＿＿＿； 12．当x ＿＿＿时，代数式2x+6的值没有平方根； 13如果a 的算术平方根和算术立方根相等，则a 等于 ； 147在整数 和整数 之间，5在整数 和整数 之间。 二、选择题 11、若a x =2，则（ ） A 、x>0 B 、x ≥0 C 、a>0 D 、a ≥0 12、一个数若有两个不同的平方根，则这两个平方根的和为（ ） A 、大于0 B 、等于0 C 、小于0 D 、不能确定 13、一个正方形的边长为a ，面积为b ，则（ ） A 、a 是b 的平方根 B 、a 是b 的的算术平方根 C 、b a ±= D 、a b = 14、若a ≥0，则24a 的算术平方根是（ ） A 、2a B 、±2a C 、a 2 D 、| 2a | 15、若正数a 的算术平方根比它本身大，则（ ） A 、0
6.1 平方根立方根 一、基础训练 1．9的算术平方根是（） A．-3 B．3 C．±3 D．81 2．下列计算不正确的是（） A±2 B= C=0.4 D 3．下列说法中不正确的是（） A．9的算术平方根是3 B 2 C．27的立方根是±3 D．立方根等于-1的实数是-1 4的平方根是（） A．±8 B．±4 C．±2 D 5．-1 8 的平方的立方根是（） A．4 B．1 8 C．- 1 4 D． 1 4 6_______；9的立方根是_______． 7______________（保留4个有效数字） 8．求下列各数的平方根． （1）100；（2）0；（3）9 25 ；（4）1；（5）1 15 49 ；（6）0．09． 9．计算： （1）234 二、能力训练 10．一个自然数的算术平方根是x，则它后面一个数的算术平方根是（） A．x+1 B．x2+1 C
11．若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，则m的值是（） A．-3 B．1 C．-3或1 D．-1 12．已知x，y（y-3）2=0，则xy的值是（） A．4 B．-4 C．9 4 D．- 9 4 13．若一个偶数的立方根比2大，算术平方根比4小，则这个数是_______． 14．将半径为12cm的铁球熔化，重新铸造出8个半径相同的小铁球，不计损耗，?小铁球的半径是多 少厘米？（球的体积公式为V=4 3 πR3） 三、综合训练 15．利用平方根、立方根来解下列方程． （1）（2x-1）2-169=0；（2）4（3x+1）2-1=0； （3）27 4 x3-2=0；（4） 1 2 （x+3）3=4．
《立方根》精品教案 教学目标： 了解立方根和开立方的概念；掌握立方根的性质；会求一个数的立方根． 重点： 立方根的运算 难点： 立方根的概念及其运算 教学流程： 一、知识回顾 问题1：什么叫做平方根？ 如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根（也叫二次方根）. 即：x 2＝a ，那么x 叫做a 的平方根 a 的平方根记作：_______ 9的平方根记作：_______ 144的平方根记作：_______ 答案：a ±，9±，144± 追问：怎么求一个数的平方根？ 填空： （1）2的平方根是________; （2）0的平方根是________; （3）－16的平方根是____________. 答案：2±，0，没有平方根 问题2：平方根具有什么性质呢？ 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 二、探究1 问题：要制作一种容积为27m 3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的棱长应该是多？ 追问1：你还记得正方体的体积与棱长有什么关系吗？ 答案：V ＝a 3
追问2：谁的立方等于27呢？ 解：设这种包装箱的棱长为x m，则 x3＝27 ∵33＝27 ∴x＝3 定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根（也叫三次方根）.即：x3＝a，那么x叫做a的立方根 ∵33＝27 ∴____是27的立方根 答案：3 练习1：求下列各数的立方根： 解：（1）∵(－3)3＝－27 ∴－27的立方根是－3 （2）∵(3 2 )3＝ 3 3 8 ∴ 3 3 8 的立方根是 3 2 （3）∵(－4)3＝－64 ∴－64的立方根是－4 填空： 答案：1，－8，27，－27，1，－2，3，－3 定义：求一个数的立方根的运算，叫做开立方.追问：左右两图中的运算有什么关系？ 想一想：到现在我们学了哪些运算?
【基础知识巩固】 一、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 （1）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．即： 如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根． （2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。 （3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3 （4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果； 一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算 （5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根； 正数a 的负的平方根可用-a 表示． （6）a x =2 <—> a x ±= a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的平方根 a 的平方根是x 2、算术平方根 （1）算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，2 个正数x 叫做a 的算术平方根．a “根号a”，a 叫做被开方数． 规定：0的算术平方根是0. 也就是，在等式a x =2 (x≥0)中，规定a x = 。 （2）a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数； 当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。 （3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大； 当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。 一般来说，被开放数扩大（或缩小）a 倍，算术平方根扩大（或缩小）a 倍，例如错误!未找到引用源。=5，错误!未找到引用源。=50。 （4）夹值法及估计一个（无理）数的大小 （5）a x =2 (x≥0) <—> a x = a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的算术平方根 a 的算术平方根是x （6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a （a ≥0） 0≥a
《立方根》典型例题 例1 求下列各数的立方根： （1）27，（2）－125，（3）0.064，（4）0，（5） .343 8 例2 求下列各式中的x ： （1）012583=+x （2）()343143=-x ； （3）064252=-x ； （4）02713=+x ． 例3 圆柱形水池的深是1.4m ，要使这个水池能蓄水80吨（每立方米水有1吨），池的底面半径应当是多少米？（精确到0.1米）． 例4 阅读下面语句： ①1-的k 3次方（k 是整数）的立方根是1-． ②如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数或者是1，或者是0． ③如果0≠a ，那么a 的立方根的符号与a 的符号相同． ④一个正数的算术平方根以及它的立方根都小于原来的数． ⑤两个互为相反数的数开立方所得的结果仍然互为相反数． 在上面语句中，正确的有（ ） A ．1句 B ．2句 C ．3句 D ．4句 例5 设8 27-=x ，则2x ，3x ，32x 分别等于（ ） A ．89,23,827-- B ．8 9,23,827- C ．49,23,827- D ．4 9,23,827-- 例6 有下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根和这个数同号，0的立方根是0；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数必是1和0． 其中错误的是 A ．①②③ B ．①②④ C ．②③④ D ．①③④ 例7 下列语句正确的是（ ） A ．64的立方根是2 B ．-3是27的负立方根
C ．216125的立方根是6 5± D ．2)1(-的立方根是1- 例8 下列语句对不对？为什么？ （1）0.027的立方根是0.3． （2）3a 不可能是负数． （3）如果a 是b 的立方根，那么0≥ab ． （4）一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1． 例9 一种形状为正方体的玩具名为“魔方”，它是由三层完全相同的小正方体组成的，体积为216立方厘米，求组成它的每个小正方体的棱长．
加速度学习网 我的学习也要加速 平方根和立方根 有疑问的题目请发在“51加速度学习网”上，让我们来为你解答 51加速度学习网 整理 一、本节学习指导 平方根是学习实数的准备知识，是以后学习一元二次方程等知识的必备基础，也是中考的必考内容之一，此节我们要掌握平方根和立方根的概念。本节有配套免费学习视频。 二、知识要点 1、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即， )0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。因此： ① 当0=a 时，它的平方根只有一个，也就是0本身； ② 当0>a 时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。 ③ 当0 加速度学习网 我的学习也要加速 例1 求下列各数的算术平方根 （1）64；（2）2 )3(-；（3）49 15 1 . 分析：根据算术平方根的定义，求一个数a 的算术平方根可转化为求一个数的平方等于a 的运算，更具体地说，就是找出平方后等于a 的正数. 解：（1）因为6482 =，所以64的算术平方根是8，即864=； （2）因为93)3(22==-，所以2 )3(-的算术平方根是3，即3)3(2=-； （3）因为496449151 = ，又4964)78(2=，所以49151的算术平方根是7 8 ，即7 8 49151 =. 注意：这类问题应按算术平方根的定义去求.要注意2 )3(-的算术平方 根是3，而不是3.另外，当这个数是带分数时，应先化为假分数，然后再求 其算术平方根，不要出现类似7 4149161=的错误. 例2 求下列各式的值 （1）81±； （2）16-； （3） 25 9； （4）2 )4(-. 分析：±81表示81的平方根，故其结果是一对互为相反数；－16表 示16的负平方根，故其结果是负数； 259表示25 9的算术平方根，故其结果是正数；2 )4(-表示2 )4(-的算术平方根，故其结果必为正数. 解：（1）因为8192 =，所以±81=±9. （2）因为1642 =，所以－416-=. （3）因为2 53??? ??=25 9，所以259=53 . （4）因为2 2 )4(4-=，所以4)4(2 =-.
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