第1章 集合1.1 集合的含义及其表示
一、 学习内容、要求及建议
知识、方法
要求 建议
集合的概念 确定性、互异性、无序性 了解 集合是不定义的原始概念，通过举例进行概念辨析；会用适当的方法表示集合；数形结合、分类讨论思想在集合中有重要应用.
集合的表示 列举法、描述法、Venn 图
了解 元素与集合、集合与集合的关系
属于、包含
了解
二、 预习指导 1. 预习目标
(1)通过预习初步了解集合的概念，能用集合的语言描述具体问题； (2)会判断元素与集合的关系；知道几个常用数集的表示方法； (3)会用列举法、描述法及Venn 图表示集合. 2. 预习提纲
(1)对集合的理解应从初中数学和实际生活中寻找实例，请举例，并与同学交流辨析. (2)对课本中集合的定义的理解要注意关键词的内涵，请找出你认为的关键词.
(3)用列举法、描述法表示集合时，应注意根据问题选择合理的表示方法，归纳一下哪类问题宜用哪种表示法.
(4)课本例1是解一元一次不等式，并将不等式的解用集合的形式表示出来，这是一种常见题型.同学们解不等式要正确，解集的表达也要正确. (5)上网查阅集合论的创始人康托(Cantor)的资料. 3. 典型例题
例1 判断下列描述的对象能否构成集合：
(1)某校高一(1)班的女生； (2)某校高一(1)班比较聪明的女生； (3)某校高一(1)班学生家长；(4)某校高一(1)班经常体育锻炼的学生. 分析：根据集合的定义判断特性所描述的对象是否确定，若对象确定，则他们可以构成集合；反之，则不能构成集合.
解：(1)由于“某校高一(1)班的女生”所描述的对象是确定的，所以，某校高一(1)班的
女生可以构成集合.
(2)由于“某校高一(1)班比较聪明的女生”所描述的对象不确定，所以，某校高一(1)
班比较聪明的女生不能构成集合.
(3)由于“某校高一(1)班学生家长”所描述的对象是确定的，所以，某校高一(1)班
学生家长可以构成集合.
(4)由于“某校高一(1)班经常体育锻炼的学生”所描述的对象不确定，所以，某校高 一(1)班经常体育锻炼的学生不能构成集合.
点评：判断某种对象能否构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个元素，都确定它是不是给定集合的元素. 例2 用“∈”或“?”符号填空：
(1)3.14 N ； (2)π R ； (3)2 N ； (4)3 Q ；
(5)sin450 R ； (6)cos450
Z ； (7)4
9 Q ； (8)3 {(2，3)}.
分析：首先了解常用数集符号表示方法，而后判断“数”是否是集合中的元素，最后填写符号“∈”或“?”.
解：(1) 3.14 ?N ； (2)π∈R ； (3)2∈N ； (4)3 ?Q ；
(5)sin450∈R ； (6)cos450
?Z ； (7)4
9∈Q ； (8)3 ?{(2，3)} .
点评：判断元素与集合的关系，必须先确定集合是由什么元素组成，然后再判断所给对象是否是集合中的元素.
例3 用适当的方法表示下列集合：
(1)由15的正约数组成的集合； (2)能被3整除的整数；
(3)方程0322=--x x 的解； (4)直角坐标平面中一、三象限角平分线上的点.
解：(1)因为15的正约数为1，3，5，15，所以15的正约数组成的集合用列举法表示为
{1，3，5，15}. (2)用描述法表示为{}
Z n n x x ∈=,3.
(3)用列举法表示为{-1，3}.
(4)用描述法表示为{}
R x x y y x ∈=,),（.
点评：(1)列举法表示集合时,要符合互异性，元素之间要用逗号分隔，但列举时与元素的顺序无关.列举法一般适用于元素不多的有限集.
(2)描述法表示集合时要符合确定性，元素x 满足的条件p(x)要表达准确.描述法适用于元素比较多的有限集或无限集. 例4 用列举法表示下列集合：
(1)；
为非零实数},,|
||||{b a b
b a a x x A +== (2) },36
|),{(*N x Z x
y y x A ∈∈-=
=. 解：(1)根据绝对值的定义化简b
b a a x |
|||+
=
, 当0,0>>b a 时, 2=x ； 当0,0<
当b a ,异号时, 0=x .所以}2,0,2{-=A . (2)根据元素x 满足的条件
Z x
∈-36且*
N x ∈得到x 的值. x 所取的正整数必须使得x -3整除6,所以6,3,2,13±±±±=-x ,
.9,3,6,0,5,1,4,2-=x 因为*
N x ∈所以.9,6,5,4,2,1=x
所以 )}1,9(),2,6(),3,5(),6,4(),6,2(),3,1{(----=A .
点评：用列举法表示集合时，要把元素不重复、不遗漏、不计顺序的全部列出来. 例5 已知集合}33,)1(,2{22++++=a a a a A ，若A ∈1，求实数a 的值.
分析： A ∈1，则33,)1(,222++++a a a a 均有可能为1，则需分类讨论解决，且必须检
验是否满足集合中元素的互异性.
解：(1)若12=+a 则1-=a ；此时，}1,0,1{=A 与集合中元素的互异性矛盾，(舍去)； (2)若1)1(2=+a ，则0=a 或2-，当0=a 时}3,1,2{=A ，满足题意；当2-=a 时，
}1,1,0{=A 与集合中元素的互异性矛盾，(舍去)；
(3)若 1332=++a a 则1-=a (舍去)或2-=a (舍去)．
综上所述，0=a ，此时集合}3,1,2{=A .
点评：本题易错原因：忽视元素的互异性.在解决集合问题时常用分类讨论思想，需要弄清“为什么要分类”、“按什么分类”和“怎样进行分类”.
例6 已知集合{}1,1,12A x x =++，集合{}
2
1,,B y y =，且A B =，求实数x 和y 的值.
分析：求未知数x y 和的值，常需要用解方程的方法，根据集合相等，可列出方程组.
解：∵A B =，∴(Ⅰ)2
1,
12;x y x y +=??+=?或(Ⅱ)21,12.
x y x y ?+=?+=? 解方程组(Ⅰ)，得0,
1.x y =??=?
检验知不合题意，舍去.
解方程组(Ⅱ)，得3,0,4
1 1.;2
x x y y ?=-?=????=??=-??或检验知0,1.x y =??=?不合题意，舍去. 综上所述，31,42
x y =-
=-. 4. 自我检测
(1)以下元素的全体不能够构成集合的是 .
①中国古代四大发明； ②地球上的小河流； ③方程210x -=的实数解； ④周长为10cm 的三角形.
(2)方程组{
23
211
x y x y -=+=的解集是 .
(3)给出下列关系：①1
2
R ∈； ②2Q ∈；③ *3N ∈；④0Z ∈. 其中正确的个数是 .
(4)下列各组中的两个集合M 和N, 表示同一集合的是 .
①{}M π=, {3.14159}N =； ②{2,3}M =, {(2,3)}N =； ③{|11,}M x x x N =-<≤∈, {1}N =； ④{1,3,}M π=, {,1,|3|}N π=-. (5)已知实数2a =，集合{|13}B x x =-<<，则a 与B 的关系是 . (6)已知x R ∈，则集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满足的条件为 . 三、 课后巩固练习
A 组
1．判断下列特性描述的对象能否形成集合： (1)算术平方根等于自身的数；
(2)高一(1)班1988年出生的学生； (3)与一个角的两边距离相等的点； (4)难解的题目.
2．分别写出下列集合中的元素: (1){中国的直辖市)；
(2){大于0且小于5的整数的平方}； (3){大于10且小于20的合数}； (4){既是质数又是偶数的整数}； (5){大于10且小于20的质数}； (6){方程020*******
=+-x x 的解}； (7){24和36的正公因数}； (8){江苏省的省辖市}． 3．用“∈”或?号填空： (1)若}78,76,
54{=A 则36
49
A ； (2)若B={小于10的质数}，则3
B ； (3)若},102|{<<-∈=x Z x
C 则5.5 C ； (4)若},9|{2≤∈=x N x
D 则8 D ； (5)(){}
2
2,2450M x y x
y x y =
++-+=，则数对()1,2- M .
4．下面七个命题：(1)集合N 中的最小元素是1：(2)若a N -?，则a N ∈ (3)2
44x x +=
的解集为{2，2}；(4)0.7Q ∈；(5)方程()
()()3
1250x x x -+-=的解集中含有3个元素；
(6)0∈?；(7)满足1x x +>的实数的全体形成的集合为R .其中正确命题是 ；不正确命题为 .
5．下列命题(1){}
2
00x ∈=；(2)(){}
00,0∈；(3)0∈?；(4)0N ∈中表述正确的
是 .
6．下列命题(1){}0=?；(2){}{}1,22,1=；(3)0N ?中表述正确的是 .
7．用列举法表示不等式组240
121
x x x +>??
+≥-?的整数解集为 .
8．在实数范围内，方程062
=-+x x 的解集是 ；方程012
=++x x 的解集是 .
9．设集合M ={正方形}，T ={能被7整除的数},P ={比2大3的数}，H ={大于1且小于2的有理数}，其中无限集为 .
10．下列每一题中各个集合的意义是否相同？并说明理由．
(1){1,5},{(1,5)},{5,1},{(5,1)}; (2){|0},{(,)|0,}x x x y x y R ==∈.
11．已知1212{|
,,0},{|,,0}A x Q x Z x B y Z y Z y x y =∈∈==∈∈=//. (1)试判断集合A 、B 是有限集还是无限集； (2)试判断2
1
,
8,1-是否是这两个集合的元素． 12．已知集合}5|{>=x x p ，则以下结论中正确的是 (1)2P ∈且3P ∈；(2)2P
∈但3P ?；(3)2P ?但3P ∈；(4)2P ?且3P ?.
B 组
13．集合{有长为2的边和40度的内角的等腰三角形}的元素个数为 . 14．已知集合12,
6A x x N N x ??
=∈∈??-??
用列举法表示集合A 为 . 15．下列四个集合中表示空集的是 (1){0}；(2){(x ,y )|y 2
=-x 2
,x ∈R ，y ∈R }； (3){x ∈N |2x 2
+3x -2=0}.
16．若集合}01|{2=++x ax x 有且只有一个元素，则实数a 的取值集合为 . 17．数集},{2a a a -中实数a 的取值范围是 . 18. 用列举法表示下列集合： ⑴{(x ,y )|x +y =5, x ∈N ，y ∈N }； ⑵{(x ,y )|y =x 2
-1, |x |≤2，x ∈Z }.
19．直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为 . (1){(x ,y )|x =0, y ≠0或x ≠0，y =0}；(2){(x ,y )|x =0且y =0}； (3){(x ,y )|xy =0}；
(4){(x ,y )|x ,y 不同时为0}.
20．若},0|{2},0|{12
2
=++∈=++∈b ax x x b ax x x 求b a ,的值.
21. 设b a ,均为整数，把形如5b a +的一切数构成的集合记作M ，设M y x ∈,，试判断
y
x
xy y x y x ,,,-+是否属于集合M ，并说明理由.
C 组
22．已知集合241x A a x x a
??-??==??
+???
?
关于的方程有惟一解，用列举法表示集合A 为 .
23．集合},,|{},22,|{2A x x y y B x Z x x A ∈==≤≤-∈=用列举法表示集合B ． 24．设{}
{}2,y x ax b A x y x a =++===，求,a b . 25. 已知集合{
}
2
210,A x ax x x R =++=∈，a 为实数. (1)若A 是空集，求a 的取值范围； (2)若A 是单元素集，求a 的值；
(3)若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围．
26．已知集合}{
Z n Z m n m x x A ∈∈-==,,2
2
，求证：(1)3A ∈；(2)()21,k A k Z +∈∈
(3)偶数()42k k Z -∈不属于A .
知识点 题号 注意点
集合的概念
集合是不定义的原始概念，通过举例进行辨析；会用适当的方法表示集合；分类讨论思想在集合中有重要应用. 集合的表示
注意列举法、描述法、Venn 图各自的特点.
元素与集合、集合与集合的关系
分清元素与集合、集合与集合的属于关系和包含关系
综合题
用分类讨论思想
四、 学习心得
五、 拓展视野
罗素悖论
十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击.但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉.数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦.因而集合论成为现代数学的基石.“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉.1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“………借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……”
可是，好景不长.1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国著名数学家伯特兰·罗素（Russel ，1872—1970）提出的著名的罗素悖论：把所有集合分为两类，第一类中的集合以其自身为元素，第二类中的集合不以自身为元素，令第一类所组成的集合为P ，第二类所组成的集合为Q ，于是有：
P ={A ∣A ∈A }，Q ={A ∣A ?A } 问，Q ∈P 还是 Q ∈Q ？ 罗素悖论还有一些较为通俗的版本，即理发师悖论：
在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城.我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸.我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人.可是，有一天，这位
理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸.
罗素悖论提出，危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案.人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则.“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来.”
公理化集合系统的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机.但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响.有人说：“提出问题就是解决问题的一半”，而悖论提出的正是让数学家无法回避的问题.它对数学家说：“解决我，不然我将吞掉你的体系！”正如希尔伯特在《论无限》一文中所指出的那样：“必须承认，在这些悖论面前，我们目前所处的情况是不能长期忍受下去的.人们试想：在数学这个号称可靠性和真理性的模范里，每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构和推理方法竟会导致不合理的结果.如果甚至于数学思考也失灵的话，那么应该到哪里去寻找可靠性和真理性呢？”悖论的出现逼迫数学家投入最大的热情去解决它.而在解决悖论的过程中，各种理论应运而生了：第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生；第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立；第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生.数学由此获得了蓬勃发展，这或许就是数学悖论重要意义之所在吧，而罗素悖论在其中起到了重要的作用.
《集合的概念》教案 教材分析 集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础．许多重要的数学分支，都是建立在集合理论的基础上．此外，集合理论的应用也变得更加广泛． 教学目标 【知识与能力目标】 1．通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； 2．知道常用数集及其专用记号； 3．了解集合中元素的确定性、互异性、无序性； 4．会用集合语言表示有关数学对象； 5．培养学生抽象概括的能力． 【过程与方法目标】 1．让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义． 2．让学生归纳整理本节所学知识． 【情感态度价值观目标】 使学生感受学习集合的必要性和重要性，增加学生对数学学习的兴趣． 教学重难点 【教学重点】 集合的含义与表示方法． 【教学难点】 对待不同问题，表示法的恰当选择． 课前准备 学生通过预习，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标． 教学过程 （一）创设情景，揭示课题 请分析以下几个实例： 1．正整数1，2，3， ； 2．中国古典四大名著； 3．2018足球世界杯参赛队伍；
4．《水浒》中梁山108好汉； 5．到线段两端距离相等的点． 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体． （二）研探新知 1．集合的有关概念 （1）一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）． 思考：上述5个实例能否构成集合？如果是集合，那么它的元素分别是什么？ 练习1：下列指定的对象，是否能构成一个集合？ ①很小的数②不超过30的非负实数③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点④π的近似值⑤高一年级优秀的学生⑥所有无理数⑦大于2的整数 ⑧正三角形全体 （2）关于集合的元素的特征 （a）确定性：设A一个给定的集合，对于一个具体对象a，则a或者是集合A的元素，或者不是集合A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立． （b）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素． （c）无序性：集合中的元素是没有顺序关系的，即只要构成两个集合的元素一样，我们称这两个集合是相等的，跟顺序无关． （3）思考1：列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题． 答案：（a）把3-11内的每一个偶数作为元数，这些偶数全体就构成一个集合．（b）不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的． （4）元素与集合的关系； （a）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A （b）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作a?A 例如：A表示方程x2＝1 的解．2?A，1∈A （5）集合的表示方法 我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列
高中数学-集合的含义与表示教案 学习目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的 具体问题，感受集合语言的意义和作用； 学习重点：集合的基本概念与表示方法； 学习难点:运用集合的两种常用表示方法，即列举法与描述法,正确表示一些简单的集合；课堂探究： 一、引入课题 大家对“集合”这个词陌生吗？ 初中时学过的自然数集，有理数集等. 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念—集合，即是一些研究对象的总体. 阅读课本P2-P3内容. 二、新课教学 （一）集合的有关概念 1.一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也 简称集. 2.思考1：课本P3的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学 生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题. 3.关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元 素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立. （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素. （3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样. 4.元素与集合的关系； (1)如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A； （2）如果a不是集合A的元素,就说a不属于（not belong to）A,记作a?A（举例）. 5.重要数集及其记法 自然数集（或非负整数集），记作N； 正整数集，记作N*或N+； 整数集，记作Z； 有理数集，记作Q； 实数集，记作R. 6.随堂练习 ∈或填空. 用符号? (1) 3.14＿＿Q；(2)π＿＿Q；
§1．1 集合的概念 1．了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； 2．能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 3．掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征． （预习教材P2~ P5，回答下列问题） ①不等式30 x->的解； ②接近数0的数； ③方程2210 x x -+=的解； ④1,2,1；
⑤坐标平面内第一象限内所有的点； 非负整数集（自然数集）：全体非负整数组成的集合，记作； 正整数集：所有正整数的集合，记作； 整数集：全体整数的集合，记作； 有理数集：全体有理数的集合，记作； 实数集：全体实数的集合，记作． 自我检测2：填∈或? ① 3.14Q②0N③ 1,2Z ④πQ⑤()02-N*⑥() 自我检测3：选择恰当的方法表示下列集合 ①由大于3小于10的整数组成的集合___________ ________； x-=的实数解组成的集合_____ _； ②方程240
题型一 集合的概念 【例1】 下列对象能构成集合的是( ) A.高一年级全体较胖的学生 B ．sin 30°，sin 45°，cos 60°，1 C ．全体很大的自然数 D ．平面内到△ABC 三个顶点距离相等的所有点 题型二 元素与集合的关系 【例2】填∈或? 1- N ，0 *N ，3．7 Z ，3 1 Q ，． 题型三 集合的表示 【例3】 试分别用描述法和列举法表示下列集合： (1) 由大于10小于20的所有整数组成的集合； (2) 方程2 2+10x x +=的所有实数根组成的集合； (3) 不等式450x ->的解集； (4) 所有奇数组成的集合； (5) 坐标平面内第一、三象限内所有点的集合； (6) 一次函数y x =的图象与二次函数2y x =的图象的交点组成的集合；
集合的概念》教案 公共教研室汪金 一、教学目标 1. 知识目标：(1)了解集合的含义与集合中元素的特征 (2)熟记常用数集符号 (3)掌握集合的两种表示方法 2. 能力目标：(1)能归纳整理本次课所学的知识 (2)能在实例中运用集合概念的相关知识 3.情感目标：感受数学的简洁美与人文价值 二、教学重难点 教学重点：集合的基本概念与表示方法. 教学难点：集合的表示方法的恰当选择. 三、教法与学法教法：生活实例与数学实例相结合，师生互动与课堂讲解相辅助学 法：自主探究、观察发现、课堂讨论. 四、教学过程一）创设情境，揭示课题 1. 在初中学习中，我们接触过哪些集合？请举例说明. 2. 根据你对集合的理解，能在生活中举出几个集合的实例吗？二）研探新知，建构 概念 1. 集合的含义 思考1：（1）所有的等边三角形； （2）1至10以内的所有质数； （3）学校图书馆的藏书； （4）某班的全体同学. 上述四个例子能否组成集合？并说出集合由什么组成. 板书：一般地，我们把一些能够确定的对象组成一个整体，称为集合，研究的称为元素。通常用大写字母A, B, C,,表示集合，用小写英文字母a, b, c,, 表示集合中的元素?思考2:任意一组对象是否都能组成一个集合？集合中的元素有什么特征？
(1)某班个子高的同学能否构成一个集合？由此说明什么？ 学生：不能?集合中的元素必须是确定的?(确定性) (2)在一个给定的集合中能否有相同的元素？由此说明什么？ 学生：不能?集合中的元素是不重复出现的?(互异性) (3)某班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？由此说明什么？ 学生：没变化?集合中的元素是没有顺序的?(无序性) 探究练习： (1)由1, 3组成的集合与由3, 1组成的集合是同一个集合吗？ (2)当x是大于-2小于2的整数时，如果x2和|x|分别构成集合A,B，说出A,B所有元素是否在这两个集合中？ 思考3:(1)设集合A表示“1?10以内的所有质数”，那么3, 4, 5, 6这四个元素哪些在集合A中？哪些不在集合A中？ (2) 对于一个给定的集合A,那么某元素a与集合A有哪几种可能关系？ (3) 如果元素a是集合A中的元素，我们如何用数学化的语言表达？ (4) 如果元素a不是集合A中的元素，我们如何用数学化的语言表达？ 思考4：( 1)所有的自然数，正整数，整数，有理数，实数能否分别构成集合？ (2)自然数集，正整数集，整数集，有理数集，实数集等一些常用数集，分别用什么符号表示？ 练习题： 用符号€或「一填空： (1)设A为所有亚洲国家组成的集合，贝U 中国____ A美国 _____ A, 印度____ A 英国 ____ A; (2) 3.14 ___ N, n _____ Q 2. 集合的表示： A. 列举法 思考5：考察下列集合： （1）小于4 的所有自然数组成的集合；
模块纵览 课标要求 1.知识与技能 认识和理解集合、映射、函数、幂函数、指数函数、对数函数等概念,认识和理解它们的有关性质和运算.具有一定的把函数应用于实际的能力. 2.过程与方法 通过背景的给出,通过经历、体验和实践探索过程的展现,通过数学思想方法的渗透,让学生体会过程的重要,并在过程中学习知识,同时领会一定的数学思想和方法. 3.情感、态度与价值观 教育的根本目的是育人.通过对本模块内容的教学,使学生在学习和运用知识的过程中提高对数学学习的兴趣,并在初中函数的学习基础上,对数学有更深刻的感受,提高说理、批判和质疑精神,形成锲而不舍追求真理的科学态度和习惯,树立良好的情感态度和价值观. 内容概述 本模块共三章:第一章集合与函数概念;第二章基本初等函数(Ⅰ);第三章函数的应用. 本模块为了用集合与对应的语言刻画函数概念,先在第一章给出集合的有关概念、表示、关系和运算等;然后从函数实例出发深化函数概念及其表示,并研究映射概念;进而又给出了函数的性质:单调性、最值、奇偶性,这也是对函数的深化;接下来再回到特殊的函数——几个基本初等函数,继续认识函数,本模块重点涉及了指数函数、对数函数、幂函数;最后专门给出了函数在数学和实际中的一些应用实例,使函数的价值得到体现,也是进一步巩固函数的概念,更加强了数学应用. 概括地说,本模块的核心内容是“函数”.函数是描述现实世界最重要、最常用的数学模型,是贯穿整个高中数学的纽带,是学生进一步学习的准备,是未来公民的必需,因此,整个模块以函数作为中心,以函数思想作为指导思想. 本模块无论是数还是形都用函数观点来研究,研究它们的变化及其规律.对方程的认识和研究,也是从函数出发,把它与两个函数相结合,把它的解看成两个函数图象的交点的横坐标.这里把函数作为整体来认识,方程则被看成是包含于函数的局部. 教学建议 教师,对数学应该有自己深入的想法,只有教师深入了才能有教学的浅出;教师,对于教学也应该有自己的想法,唯其有自己的想法,才能发挥自己的特长,教出具有独到想法的学生. 1.抓住核心,重点突破 由于函数是本模块的重点和核心,因此教师要重视函数的教学,向学生贯彻函数的数学思想,逐步让学生掌握学会函数,更会用函数的思想去解决数学和实际问题.函数概念的教学要从实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数的本质,教学中可引导学生联系生活常识,尝试列举具体函数,构建函数的一般定义.要注意：①构成函数的要素和相同函数的含义,②函数的三种表示法的联系、区别与适用性,③分段函数的意义,④映射的概念和判断.教学中应强调对函数概念本质的理解,在求函数定义域、值域时,要控制难度. 2.用课本教,而非教课本 《普通高中数学课程标准》是在《基础教育课程改革纲要(试行)》的指导下编写的,是数学学科教育目标的具体化,体现数学学科对学生最起码的要求,是编制高考大纲的依据,是数学教学和培养学生数学素质的主要依据,具有指导性.《普通高中数学课程标准》的目标是包含“双基”在内的三维发展目标:知识与技能,过程与方法,情感、态度与价值观.在这种教学过程中,课本仅仅是一种学习工具,是课程标准的具体化,课本内容仅仅是帮助学生实现三维发展目标的一种载体,并不要求学生将课本内容全部掌握.由于高中数学课本版本的多样化,高考数学
§1．1集合的含义与表示 李宁陕西师范大学附属中学 710061 【教材版本】北师大版 【教材分析】 1．知识内容与结构分析 集合论是现代数学的一个重要的基础．在高中数学中，集合的初步知识与其他内容有着密切的联系，是学习、掌握和使用数学语言的基础，集合论以及它所反映的数学思想在越来越广泛的领域中得到应用．课本从学生熟悉的集合（自然数集合、有理数的集合等）出发，结合实例给出了元素、集合的含义，学生通过对具体实例的抽象、概括发展了逻辑思维能力．2．知识学习意义分析 通过自主探究的学习过程，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，能选择合适的语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 3．教学建议与学法指导 由于本节新概念、新符号较多，虽然内容较为浅显，但不应讲得过快，应在讲解概念的同时，让学生多阅读课本，互相交流，在此基础上理解概念并熟悉新符号的使用．通过问题探究、自主探索、合作交流、自我总结等形式，调动学生的积极性． 【学情分析】 在初中，学生学习过一些点的集合或轨迹，如：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合（圆）；到一条线段的两个端点的距离相等的点的集合（线段的垂直平分线）．这对学生学习本节课的知识有一定的帮助，只不过现在我们要把这个“集合”推广，它不仅仅是点的集合或图形的集合，而是“指定的某些对象的全体”．集合语言是现代数学的基本语言，使用这种语言，不仅有助于简洁、准确地表达数学内容，还可以用来刻画和解决生活中的许多问题．学习集合，可以发展同学们用数学语言进行交流的能力． 【教学目标】 1．知识与技能
（1）学生通过自主学习，初步理解集合的概念，理解元素与集合间的关系，了解集合元素的确定性、互异性，无序性，知道常用数集及其记法； （2）掌握集合的常用表示法——列举法和描述法． 2．过程与方法 通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，能选择合适的语言（如自然语言、图形语言、集合语言）描述不同的具体问题，提高语言转换和抽象概括能力，树立用集合语言表示数学内容的意识． 3．情态与价值 在掌握基本概念的基础上，能够解决相关问题，获得数学学习的成就感，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的应用意识． 【重点难点】 1．教学重点：集合的基本概念与表示方法． 2．教学难点：选择合适的方法正确表示集合． 【教学环境】 ◆多媒体教室 ◆课件 【教学思路】 通过实例以及学生熟悉的数集，引入集合的概念，进而给出集合的表示方法，学生通过自我体会、自主学习、自我总结达到掌握本节课内容的目的．教学过程按照“提出问题——学生讨论——归纳总结——获得新知——自我检测”环节安排． 【教学过程】 一、导入新课 师：同学们，我们在初中时最开始接触到的有理数的分类大家应该还很熟悉．下面我们来看一个当时我们常见的很简单的题目： 问题1：将下列各数填入相应的图形中：
第一章 集合与函数概念 1.1集合 1.1.1 集合的含义及其表示 教学目的：（1）初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法； （2）初步了解“属于”关系的意义； （3）初步了解有限集、无限集、空集的意义； 教学重点：集合的含义与表示方法； 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合。 教学过程： 一、问题引入： 我家有爸爸、妈妈和我； 我来自燕山中学； 省溧中高一（1）班； 我国的直辖市。 分析、归纳上述各个实例的共同特征，归纳出集合的含义。 二、建构数学： 1．集合的概念：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合（set ）。集合常用大写的拉丁字母来表示，如集合A 、集合B …… 集合中的每一个对象称为该集合的元素（element ）,简称元。集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。如a 、b 、c 、p 、q …… 指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。 （1）我国的直辖市； （2）省溧中高一（1）班全体学生；（3）较大的数 （4）young 中的字母； （5）大于100的数； （6）小于0的正数。 2．关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。 （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。 （3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。 3．集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示； （1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A （2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ?A （“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写） 4．有限集、无限集和空集的概念： 5．常用数集的记法：（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + {} ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，， 210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数 =Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应 的=R
第1讲 集合的含义与表示 【学习目标】 （1） 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； （2） 初步掌握表示集合的主要方法——列举法、描述法。 【学习重点】 （1） 了解集合的含义、集合的本质属性； （2） 恰当表示一个集合。 【学习准备】 （1）预习课本第2页～第3页“列举法”前。 （2）哪些对象能组成一个集合？ ①小于6的全体非负偶数； ②整数12的正因数； ③抛物线 2=y x 图象上所有的点； ④所有的直角三角形； ⑤高一年级的全体同学； ⑥我们班的师哥靓妹。 （3）填空： ① 3___Z ；② 0___N ；③ 0(1)-___ N +；④ 1___Q ；⑤ 3 4___R 。 【学习过程】 一、集合的含义 （1）概念：一般地，我们把研究对象统称为______，通常用____写字母表示；把一些元素组成的总体叫做______（简称为____），通常用____写字母表示。 （2）元素与集合的关系：如果a 是集合A 的元素，就说a ______集合A ，记作a ___A ；如果a 不是集合A 的元素，就说a ________集合A ，记作a ___A 。 （3）常用数集： __________________组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作____； __________________组成的集合称为正整数集，记作________； __________________组成的集合称为整数集，记作____； __________________组成的集合称为有理数集，记作____； __________________组成的集合称为实数集，记作____。
集合的概念及相关运算教学设计 一、教材分析 1.知识来源：集合的概念选自湖南教育出版社必修一中第一章集合与函数概念的第一小节； 2. 知识背景：作为现代数学基础的的集合论，集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学中一些冗长的文字语言．高中数学课程只将集合作为一种语言来学习，作为一种数学简单符号来探究。通过本节课的学习，是阶段性的要求，学生将领悟集合的抽象性及其具体性，学会使用最基本的集合语言去表示有关的数学对象，逐渐发展运用数学语言进行交流的能力。 3.知识外延：集合相关知识的学习对于接下来函数的学习至关重要，高中函数的概念将建立在集合间关系的基础上的。 二、学情分析 1．学生心理特征分析：集合为高一上学期开学后的第一次授课知识，是学生从初中到高中的过渡知识，存在部分同学还沉浸在暑假的懒散中，从而增加了授课的难度。再者，与初中直观、具体、易懂的数学知识相比，集合尤其是无限集合就显得抽象、不易理解，这会给学生产生一定的心理负担，对高中数学知识的学习产生排斥心理。因此本节授课方法就显得十分重要。 2．学生知识结构分析：对于高一的新生来说，能够顺利进入高中知识的学习，基本功还是较扎实的，有良好的学习态度，也有一定的自主学习能力和探究能力。对集合概念的知识接纳和理解打下了良好的
基础，在教学过程中，充分调动学生已掌握的知识，增强学生的学习兴趣。 三、教学目标 (一)知识与技能目标 1．了解集合的含义与表示，理解集合间的基本关系，掌握集合的基本运算。能从集合间的运算分析出集合的基本关系，同时对于分类讨论问题，能区分取交还是取并． 2．学会在具体的问题中选择恰当的集合表示方法，理解集合有限和无限的特征，理清“元素和集合关系”和“集合与集合关系”符号的区别，不混淆。 3.学会正确使用集合补集思想，即为“正难则反”的思想。 (二)过程与方法目标 1．通过学生自主知识梳理，了解自己学习的不足，明确知识的来龙去脉，把学习的内容网络化、系统化． 2．在解决问题的过程中，学生通过自主探究、合作交流，领悟知识的横、纵向联系，体会集合的本质． 3. 学生通过集合概念的学习，应掌握分类讨论思想、化简思想以及补集思想等。 (三)情感态度与价值观目标 1.在学生自主整理知识结构的过程中，认识到材料整理的必要性，从而形成及时反思的学习习惯，独立获取数学知识的能力。 2.在解决问题的过程中，学生感受到成功的喜悦，树立学好数学的
1.1.1集合的含义与表示 一．学习目标： l.知识与技能 (1)通过三张图片，了解集合的含义，理解元素与集合之间的属于关系； (2)掌握集合中元素的三要素：确定性.互异性.无序性； (3)熟练应用常用数集及其专用记号；会用集合语言表示有关数学对象. 二. 学习重点、难点： 重点：集合的含义与表示方法. 难点：集合的三要素：确定性、互异性、无序性. 三．自学指导： (一)创设情景，揭示课题 1．教师首先提出问题：通过PPT 图片，启发引导学生找到三张图片的共同特征，并引 导学生举出一些集合的例子。通过举例说明和互相交流.做好教师对学生的活动的梳理引导， 并给予积极评价. 2.用6分钟时间预习教材P2～P5，完成下列内容： （1）、集合：一般地，我们把 统称为元素，把一些元素组成的 叫 做集合，简称为： 。 （2）、集合元素的三要素（三特征）： 、 、 ； 若两个集合相等，那么必须有： 。 （3）、元素与集合的关系： 若a 是集合A 的元素，则记作：a A ； 若a 不是集合A 的元素，则记作：a A 。 （4）、常用数集的记法： 自然数集： ； 有理数集： ； 整数集： ； 实数集： ； 正实数集： ； 正整数集： . （5）集合的表示方法 列举法：把集合中的元素 ，并用 括起来表示集合的方法叫列举法 描述法：用集合所含元素的 表示集合的方法称为描述法，具体方法是： 在 内写上表示这个集合元素的 及取值（或变化）范围，再画 ， 最后在 后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 四．教学过程： （一）、问题导学：检查自学指导内容，并分组探讨一下问题： a.如何判断所给对象是否组成集合？ b.集合中元素的特征性质有哪些？如何判断两个集合是相等的？ 判断集合A={-2，2}与集合2 {|40}B x R x =∈-=一样吗？ c.试着总结集合的表示方法有哪些？并试比较各自的特点和适用的对象。 （二）.自学检测：完成以下练习： 1．下面给出的四类对象中，能组成集合的是（ ） A.高一某班个子较高的同学 B.比较著名的科学家 C.无限接近于4的实数 D.到一个定点的距离等于定长的点的全体
1集合的概念和表示方法教材分析 集合概念的基本理论，称为集合论．它是近、现代数学的一个重要基础．一方面，许多重要的数学分支，如数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在集合理论的基础上．另一方面，集合论及其反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用．在小学和初中数学中，学生已经接触过集合，对于诸如数集（整数的集合、有理数的集合）、点集（直线、圆）等，有了一定的感性认识．这节内容是初中有关内容的深化和延伸．首先通过实例引出集合与集合元素的概念，然后通过实例加深对集合与集合元素的理解，最后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法，描述法，还给出了画图表示集合的例子．本节的重点是集合的基本概念与表示方法，难点是运用集合的两种常用表示方法———列举法与描述法正确表示一些简单的集合． 教学目标 1.初步理解集合的概念，了解有限集、无限集、空集的意义，知道常用数集及其记法． 2.初步了解“属于”关系的意义，理解集合中元素的性质． 3.掌握集合的表示法，通过把文字语言转化为符号语言（集合语言），培养学生的理解、化归、表达和处理问题的能力． 任务分析 这节内容学生已在小学、初中有了一定的了解，这里主要根据实例引出概念．介绍集合的概念采用由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法，学生容易接受．在引出概念时，从实例入手，由具体到抽象，由浅入深，便于学生理解，紧接着再通过实例理解概念．集合的表示方法也是通过实例加以说明，化难为易，便于学生掌握． 教学设计 一、问题情境 1.在初中，我们学过哪些集合？ 2.在初中，我们用集合描述过什么？ 学生讨论得出：
在初中代数里学习数的分类时，学过“正数的集合”，“负数的集合”；在学习一元一次不等式时，说它的所有解为不等式的解集． 在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合． 3.“集合”一词与我们日常生活中的哪些词语的意义相近？ 学生讨论得出： “全体”、“一类”、“一群”、“所有”、“整体”，…… 4.请写出“小于10”的所有自然数． 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．这些可以构成一个集合． 5.什么是集合？ 二、建立模型 1.集合的概念（先具体举例，然后进行描述性定义） （1）某种指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集． （2）集合中的每个对象叫作这个集合的元素． （3）集合中的元素与集合的关系： a是集合A中的元素，称a属于集合A，记作a∈A； a不是集合A中的元素，称a不属于集合A，记作a A． 例：设B＝｛1，2，3｝，则1∈B，4B． 2.集合中的元素具备的性质 （1）确定性：集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何一个对象是否属于这个集合的元素也就确定了．如上例，给出集合B，4不是集合的元素是可以确定的． （2）互异性：集合中的元素是互异的，即集合中的元素是没有重复的． 例：若集合A＝｛a，b｝，则a与b是不同的两个元素． （3）无序性：集合中的元素无顺序．
高一数学《集合概念》教案Teaching plan of set concept for senior one mathematics
高一数学《集合概念》教案 前言：数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。本教案根据数学课程标准的要求和教学对象的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。便于学习和使用，本文档下载后内容可按需编辑修改及打印。 集合的概念 教学目的： （1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法 （2）使学生初步了解“属于”关系的意义 （3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义 教学重点：集合的基本概念及表示方法 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示 一些简单的集合 授课类型：新授课
课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 1.集合是中学数学的一个重要的基本概念在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表述一些问题例如，在代数中用到的有数集、解集等;在几何中用到的有点集至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离 不开对逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识问题、研究问题不可缺少的工具这 些可以帮助学生认识学习本章的意义，也是本章学习的基础把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最 开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础例如，下一章 讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑 本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出 集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子
第1课时集合的含义与表示 （一）教学目标 1．知识与技能 （1）初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法． （2）初步了解“属于”关系的意义．理解集合相等的含义. （3）初步了解有限集、无限集的意义，并能恰当地应用列举法或描述法表示集合. 2．过程与方法 （1）通过实例，初步体会元素与集合的“属于”关系，从观察分析集合的元素入手，正确 地理解集合． （2）观察关于集合的几组实例，并通过自己动手举出各种集合的例子，初步感受集合语 言在描述客观现实和数学对象中的意义． （3）学会借助实例分析、探究数学问题（如集合中元素的确定性、互异性）． （4）通过实例体会有限集与无限集，理解列举法和描述法的含义，学会用恰当的形式表 示给定集合掌握集合表示的方法. 3．情感、态度与价值观 （1）了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系． （2）在学习运用集合语言的过程中，增强学生认识事物的能力．初步培养学生实事求是、 扎实严谨的科学态度． （二）教学重点、难点 重点是集合的概念及集合的表示．难点是集合的特征性质和概念以及运用特征性质描述 法正确地表示一些简单集合. （三）教学方法 尝试指导与合作交流相结合．通过提出问题、观察实例，引导学生理解集合的概念，分析、讨论、探究集合中元素表达的基本要求，并能依照要求举出符合条件的例子，加深对概 种．从而指出：导入课题． 识： 集．
第一组实例（幻灯片一）： ． 数． 间的距离的点． ）班全体同学． 成员． ．集合： 这些对象的全体构成的集合（或集）．．集合的元素（或成员）： 请大家讨论．的要点，然后教师肯定或补充．师总结． ? 第二组实例（幻灯片二）： 国代表团的成员构成的集合． 合． 合． 的点的全体构成的集合． ?
§1．1集合的概念 一、教学目标： ① 掌握集合的概念，初步理解集合三要素，了解常用数集的符号 ② 会使用∈?、判断元素与集合之间的关系 ③ 培养学生严谨的学习态度. 二、重点：集合的概念 难点：常用数集的范围，含义，符号。 三、知识点精讲： ① 集合的概念。 集合是一个不加定义的概念。 指 特定对象的全体。 ② 元素三要素：i ） 确定性：对于集合A 和某一对象a ，要么a A ∈要么a A ?。 ii ） 互异性：集合中相同的元素只能算是一个。 iii ）无序性：集合中的元素是不排序的。――元素的“平等地位” 区分：{1,2}与{2,1}以及{(1,2)}与{(2,1)}的关系。 ③ 对于集合的理解，一定要把集合和它的元素（哪怕是元素的全体）严格的区分开来。档我们把一些对象看成集合时，就把它们看成了整体。 ④符号∈?、的用法。 符号∈?、是表示元素与集合之间的关系，不能用来表示集合之间的关系。这在以后的学习中会有体现。 四、相关知识渗透：点坐标、列举法、文恩图。 五、教学过程： ① 本章展望： ????????????????????????????????????????? 元素、元素与集合的关系文氏图法集合的表示法:列举法 性质描述法有限集集合的分类无限集 集合子集集合与集合之间的关系真子集相等交集集合的运算并集补集 一、引言：（实例）用到过的“正数的集合”、“负数的集合”
如：2x-1>3?x>2所有大于2的实数组成的集合称为这个不等式的解集。 如：几何中，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 如：自然数的集合 0，1，2，3，…… 如：高一（5）全体同学组成的集合。 结论：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 指出：“集合”如点、直线、平面一样是不定义概念。 二、集合的表示： { … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋} 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员} ，B={1，2，3，4，5} 常用数集及其记法： 1．非负整数集（即自然数集）记作：N 2．正整数集N*或 N+ 3．整数集 Z 4．有理数集Q 5．实数集R 集合的三要素： 1。元素的确定性； 2。元素的互异性； 3。元素的无序性 （例子略） 三、关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集A 记作a∈A ，相反，a不属于集A 记作 a?A （或a∈A） ⑤应用、小组讨论、及时反馈。 、。 ⑥小结：集合三要素、常用数集、∈? ⑦作业： ⑧板书设计： 配套课件：
1、1、1集合的含义与表示 （教师叙述：在初中我们已经接触过一些集合，例如：自然数的集合，有理数的集合，不等式x-7<3的解集，到一个定点的距离等于定长的点的集合，到一条线段的两个端点距离相等的点的集合等等，那么，我们能给集合一个什么样的叙述性概念呢？这就是我们今天所要学习的内容.请同学们首先看一下我们 今天这节课的学习目标，开始我们今天的学习.我们今天的学习目标一共有三个） 一、【学习目标】（约2分钟） 1、了解集合的含义；理解元素与集合的“属于”关系；熟记常用数集专用符号； 2、深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性；并能够用其解决有关问题； 3、能选择集合不同的语言形式描述具体的问题； （自学引导：下面我们进入这节课的学习，首先是自学内容，今天这节课分为五个自学内容，任务比较大，希望同学们能集中注意力.） 二、【自学内容和要求及自学过程】(总计约24分钟) 阅读教材第2页到第3页前两段，然后回答下列3个问题：（约5分钟） （请同学们用两分钟的时间认真阅读教材，注意理解集合的含义） <1>黄冈实验学校全体高一学生能否构成一个集合？ <2>高一的所有女生能否构成一个集合？ <3>剑桥英语词典的所有英语单词能否构成一个集合？其实,生活中有很多东西 能构成集合，我们生活中的很多东西都能构成集合，你能举出一些例子吗？ 通过以上分析，你能给出集合的含义吗？ <1>能.<2>能.<3>我们把研究的对象统称为“元素”，那么把一些元素组 成的总体叫“集合”，简称“集”. 【教学效果】:此部分自学效果相当成功，学生们都能快速的理解教学内容 阅读教材第3页思考下面第1—3段，然后回答下列个问题:（约3分钟） （自学引导：请同学们认真阅读，理解元素与集合的关系） <4>如果用A表示黄冈实验学校全体高一学生组成的集合，用a表示黄冈实验学 校高一学生中的一位同学,b是高二年级的一位同学，那么a、b与集合A分
1.1.1 集合的含义与表示 【学习目标】 (1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号； (3)了解集合中元素的确定性，互异性，无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象. 【预习指导】 对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作对象. 阅读教材，并思考下列问题： (1)有哪些概念？ (2)有哪些符号？ (3)集合中元素的特性是什么？ (4)如何给集合分类？ 【课堂探究】 一、问题1： (1)1—20以内的所有质数； (2)我国古代的四大发明； (3)所有的安理会常任理事国； (4)所有的正方形； (5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥； (6)到一个角的两边距离相等的所有的点； (7)方程2560 -+=的所有实数根； x x (8)不等式30 x->的所有解； (9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体. 观察上面的例子，指出这些实例的共同特征是什么？(分组讨论，得出集合的概念) 问题2： 你还能给出一些集合的例子吗？(学生自己举例子，得出集合元素的特性)
二、1、任意给定一个对象和一个集合，它们之间有什么关系？用符合如何表示？ 2、常用的数集(自然数集、整数集、正整数集、有理数集、实数集)的专用符号你记住了吗？ 3、要表示一个集合共有几种方式？ 4、试比较自然语言、列举法和描述法在表示集合时，各自有什么特点？适用的对象是什么？ 5、如何根据问题选择适当的集合表示法？ 【课堂练习】 1．下列说法正确的是（ ） A.{}1,2,{}2,1是两个集合 B.{}(0,2)中有两个元素 C.6|x Q N x ??∈∈???? 是有限集 D.{}2|20x Q x x ∈++=且是空集 2．将集合{}|33x x x N -≤≤∈且用列举法表示正确的是（ ） A.{}3,2,1,0,1,2,3--- B.{}2,1,0,1,2-- C.{}0,1,2,3 D.{}1,2,3 3．给出下列4{},0.3,0,00R Q N +?∈∈其中正确的个数是（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4．方程组25 x y x y +=??-=?的解集用列举法表示为_______________. 5．已知集合A ＝{}20,1,x x -，则x 在实数范围内不能取哪些值_____________. 6．(创新题)已知集合{},,S a b c =中的三个元素是ABC ?的三边长，那么ABC ?一定不是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 【尝试总结】 1.本节课我们学习过哪些知识内容？ 2.选择集合的表示法时应注意些什么？
§1．1集合的含义与表示 人教版数学必修一第一章第一节 【教材分析】 1．知识内容与结构分析 集合论是现代数学的一个重要的基础．在高中数学中，集合的初步知识与其他内容有着密切的联系，是学习、掌握和使用数学语言的基础，集合论以及它所反映的数学思想在越来越广泛的领域中得到应用．课本从学生熟悉的集合（自然数集合、有理数的集合等）出发，结合实例给出了元素、集合的含义，学生通过对具体实例的抽象、概括发展了逻辑思维能力． 2．知识学习意义分析 通过自主探究的学习过程，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，能选择合适的语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 3．教学建议与学法指导 由于本节新概念、新符号较多，虽然内容较为浅显，但不应讲得过快，应在讲解概念的同时，让学生多阅读课本，互相交流，在此基础上理解概念并熟悉新符号的使用．通过问题探究、自主探索、合作交流、自我总结等形式，调动学生的积极性． 【教学目标】 1．知识与技能 （1）学生通过自主学习，初步理解集合的概念，理解元素与集合间的关系，了解集合元素的确定性、互异性，无序性，任意性，知道常用数集及其记法； （2）掌握集合的常用表示法——列举法和描述法． 2．过程与方法 通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，能选择合适的语言（如自然语言、图形语言、集合语言）描述不同的具体问题，提高语言转换和抽象概括能力，树立用集合语言表示数学内容的意识．3．情态与价值 在掌握基本概念的基础上，能够解决相关问题，获得数学学习的成就感，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的应用意识． 【重点难点】 1．教学重点：集合的基本概念与表示方法． 2．教学难点：选择合适的方法正确表示集合． 【教学环境】
1.1.1 集合的含义与表示教学设计 三维目标： （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。 （2）了解集合元素的确定性、互异性、无序性，掌握常用数集及其专用符号，并能够用其解决有关问题，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的应用意识。 教学重点：集合的基本概念与表示方法； 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合； 教学过程： 一、创设情境，新课引入 （1）请第一组的全体同学站起来？ 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是第一组的同学）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。 二、师生互动，新课讲解 1、集合的有关概念 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。 课本P2：例子(1)—(8),都构成一个集合。 2、集合的表示方法： （1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如A，B，C，P，Q，X，Y，等；集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如a,b,c, 等。 （2）如果a是集合A的元素，就说a 属于集合A，记作a∈A;如果a 不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a?A(或a∈A)。 3、常用的数集及其记法： 全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作：N；（注意：0．是自然数 ．．．．）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作：N+或N*。 全体整数的集合通常简称整数集，记作：Z； 全体有理数的集合通常简称有理数集，记作：Q； 全体实数的集合通常简称实数集，记作：R。 学生练习：用符号∈或?填空： 1 N ，0 N, -3 N, 0.5 N, 2 N