函数极限与连续知识梳理

知识梳理?

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函数极限内容网络图

内容提要与释疑解难内容提要与释疑解难

一、函数极限的概念

1.

。

2. 把1中“”换成“”。

3．把1中“”换成“”。

定理且

4．设在的某空心邻域内有定义，若存在一个常数A，

，都有。

5．设在的某左半邻域内有定义，若存在一个常数A，

时，都有。

此时也可用记号或表示左极限值A，因此可写成

6. 设在的某右半邻域内有定义，若存在一个常数

，当时，都有。此时也可用或

表示右极限。因此可写成。

定理且

该定理是求分界点两侧表达式不同的分段函数在该分界点极限是否存在的方法，而如果在的左右极限存在且相等，则在该点的极限存在，否则不存在。

7．时，都有。此时称

时，是无穷大量。

而，只要把公式中“”改成“”，，只要把上式中“”改成“”。

8.。当时，都有。

读者同理可给出定义。

注：（常数）与的区别，前者是表明函数极限存在，后者指函数极限不存在，但还是有个趋于无穷大的趋势。因此，给它一个记号，但还是属于极限不存在之列，以后，我们说函数极限存在，指的是函数极限值是个常数。

9．。称当是无穷小量。这里的可以是常数，也可以是。

定理。

其中。

10．若时，都有，称时是有界量。

二、无穷小量阶的比较，无穷小量与无穷大量关系

设，

（这里可以是常数，也可以是，以后我们不指出都是指的这个意思）

（1）若，称当时是的高阶无穷小量，记作

。

（2）若，称时是的同价无穷小量。

（3）若，称时是的等价无穷小量，记作，此时（2）式也可记作。

（4）若，称时是的k阶无穷小量。

由等价无穷量在求极限过程中起到非常重要的作用，因此，引入

若。记作，

如果均是无穷小量，称为等价无穷小量；如果均是无穷大量，称为等价无穷大量；如

果既不是无穷小也不是无穷大，我们称为等价量。

例如，则。

注：A不能为零，若A=0，不可能和0等价。

无穷小量的性质：

1．若均为无穷小量，则

（i）

其中均为常数。

（ii）。

2．若时是有界量，，则。

无穷大量的性质：

1．有限个无穷大量之积仍是无穷大量。

2．有界量与无穷大量之和仍是无穷大量。

无穷小量与无穷大量之间的关系：

若；

若。

三、函数连续的概念。

定义1 若处连续。

用语言可写为

定义设的某邻域内有定义，若时，都有

，称连续。

用函数值增量形式可写为

定义若，称在处连续。

若,称处左连续。

若称处右连续。

定理处连续处既是左连续又是右连续。

如果处不连续，称为的间断点。

间断点的分类：

（1）若点。

若为函数的可去间断点，只须补充定义或改变函数在该点连续。但须注意，这时函数与已经不是同一个函数但仅在处不同，在其它点相同。我们正是利用这一性质去构造一个新的函数，使在某闭区间上处处连续，因而有某种性质。当时，也具有这种性质。而时，，所以在的范围内也具有这种性质，从而达到了我们的目的。

例如，

但

则在处连续，但与定义域不同，

虽然，又如

知。设

则在处连续，虽然与定义域相同，但在处，两个函数值不同，知与不是同一函数，但仅在不同，其余点函数值处处相同。

（2）若但，称

为的跳跃间断点，称的跳跃度。

（1）（2）两种类型的特点是左右极限都存在，我们统称为第一类间断点。

（3）若处，左、右极限至少有一个不存在，我们称。

若，我们也称为的无穷型间断点，属于第二类间断点。

四、函数极限的性质

在下述六种类型的函数极限：

（1）（2）（3）（4）

（4）（6）

它们具有与数列极限相类似的一些性质，我们以为例，其它类型极限的相应性质的叙述只要作适当修改就可以了。

性质1（唯一性）若极限存在，则它只有一个极限。

性质2（局部有界性）若极限存在，则存在的某空心邻域，使在内有界。

注意：存在，只能得出在的某邻域内有界，得不出在其定义域内有界。

性质3 若，则存在的某空心邻域，使时，都有。

性质4（局部保号性）若，则对任何常数，存在的某空心邻域，使得对一切，都有成立。

性质5（不等式）若，且存在的某空心邻域，使得对一切，都有。

性质6 （复合函数的极限）若，且存在的某空心邻域，

当时，，则。

性质6是求极限的一个重要方法——变量替换法，即

。

性质7（函数极限的四则运算）若均存在，则函数

（1）；（2）

；

（3）；又若在时的极限也存在，且有

（4）。

利用极限的四则运算，可得下列重要结果。

上面的结论可作为公式用。

性质8（归结原则或海涅（Heine）定理）存在的充要条件是：

都存在且相等。

逆否定理若存在两个数列==且

或存在不存在，则

不存在。

此定理是判断函数极限不存在的一个重要方法。

五、函数连续的性质

若函数处连续，即，利用极限的性质1-5可得到函数在连

续的局部有界性，局部保号性，不等式等，只要把即可，读者自己叙述出来。

利用极限的四则运算，我们有

性质1（连续函数的四则运算）若处连续，则

。

性质2 若处连续，则

处也连续且

在满足性质2的条件下，极限符号与外函数可交换顺序，如果仅要可交换顺序，有

推论若。

证设则处连续，又

处连续，由性质2知。

由于。

在这里，我们巧妙地利用可去间断点的性质，构造一个连续函数，以满足所需的条件，上面的性质2及推论也是求函数极限的一个重要方法。

即极限符号与外函数交换顺序，把复杂函数极限转化为简单函数极限。

定理初等函数在其定义域上连续。

六、闭区间上连续函数的性质

定理（最大值与最小值定理）若在闭区间上连续，则在上一定能取到最大值与最小值，即存在，使得对一切，都有。

推论1 若上连续，则上有界。

定理（根的存在定理或零值点定理）若函数上连续，，则至少存在一点。

推论1 若函数上连续，且之间的任何常数，则至少存在一点。

推论2 若函数上连续，则。

这几个定理非常重要，请大家要记住这些定理的条件与结论，并会运用这些定理去解决问题。

七、重要的函数极限与重要的等价量

利用初等函数的连续性及极限符号与外函数的可交换性及等价量替换，夹逼定理可得到下面的重要的函数极限。1． 2. .

3．.

4..

5. .

6、.

7．.

8．.

9．.

10．.

11．若

=

即。

注：不仅要记住这些公式的标准形式，更要明白一般形式。即上面公式中的可换成，只要时，，结论依然成立。

利用上述重要极限，我们可以得到下列对应的重要的等价无穷小量，在解题中经常要利用他们

当时，.

.

注：上式中的可换成，只要时，.结论依然成立。

例如。

此外，若.

解题基本方法与技巧

解题基本方法与技巧

一、求函数极限的有关定理

等价量替换定理，若

（1）；

（2）；，则.

证,

即.

这个定理告诉我们，在求函数极限时，分子、分母中的因式可用它的简单的等价的量来替换，以便化简，容易计算。但替换以后函数极限要存在或为无穷大。需要注意的是，分子、分母中加减的项不能替换，应分解因式，用因式替换，包括用等价无穷小量、等价无穷大量或一般的等价量来替换。

夹逼定理若，且存在的某空心邻域，使得对一切，都有，则。

单调有界定理（1）若在内递增（或递减）有下界（或上界），则存在。

（2）若在内递增（或递减）有下界（或上界），则存在。

请读者给出的叙述。函数的单调有界定理应用的较少，大家只要了解就可以。

洛必达法则I 设

（1）；

（2）存在的某邻域，当时，都存在，且；

（3），则.

洛必达法则II，设

（1）；

（2）存在的某邻域，当时，都存在且；

（3），则.

1．上述两个法则中的改成时，条件（2）只须作相应的修改，结论依然成立。

2．在用洛必达法则求极限之前，应尽可能把函数化简，或把较复杂的因式用简单等价的因式来替换，以达到简化，再利用洛必达法则。

3．利用洛必达法则求极限时，可在计算的过程中论证是否满足洛必达法则的条件，若满足洛必达法则的条件，结果即可求出；若不满足，说明不能使用洛必达法则，则需用其它求极限的方法。此外，可重复使用洛必达法则，但只能用有限次。

注：洛比达法则是第三章内容。

二、函数极限的类型

1．若是初等函数，的定义域，由初等函数的连续性知.

2．若，则

（1）

（2）

对于因式中含有对数函数，反三角函数时，一般放在分子、否则利用洛必达法则很繁，或求不出来。

（3）

当同号时，

这时，把化成分式，通分、化简，化成“”或“”，再利用洛必达法则。

（4）

(i)当时，

我们有两种方法求该未定式的极限，一种方法利用重要极限来计算，另一种方法，化为以e为底的指数函数，再利用洛必达法则。即

解法一

再根据具体情况化成。

解法二

这两种方法，我们经常还是利用解法一方便。

（ii）当时，（iii）当时

这时，只有化成以e为底的指数函数，再利用洛必达法则。即

.

而不属于未定式，因为

。

。

已知函数的表达式

三、已知函数的表达式，求函数的极限

1．求函数极限的四种重要方法

（1）极限的四则运算；（2）等价量替换；（3）变量替换；（4）洛必达法则。

对于未定式的极限，先用等价量替换或变量替换或极限的四则运算化简，再利用洛必达法则求极限。很多情况下，这几种方法常常综合运用。

例1 求.

解（）=。

例2 求.

解,

由得

原式=。

注：本题虽然是未定式，但巧妙地用变量替换，并没用洛必法则就直接求出了极限。

例3 求。

解原式

，

由时，，得原式

。

例4 求.

解原式，

由时，，得

原式

.

例5 求.

解原式

.

例6 求.

解法一由，故

原式=.

解法二原式,

由，得原式. 例7 求.

解法一原式,

且时，

原式=

.

解法二原式

例8 求.

解原式

由。得

原式. 例9 求.

解原式

由，，得

原式

.

例10 求.

解原式

高等数学函数极限与连续习题及答案

1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()11 3--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．

函数与数列的极限的强化练习题答案(含详细分析)

第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案 一、单项选择题 1．下面函数与y x =为同一函数的是（） 2 .A y= .B y= ln .x C y e =.ln x D y e = 解：ln ln x y e x e x === Q，且定义域 () , -∞+∞，∴选D 2．已知?是f的反函数，则() 2 f x的反函 数是（） () 1 . 2 A y x ? =() .2 B y x ? = () 1 .2 2 C y x ? =() .22 D y x ? = 解:令() 2, y f x =反解出x：() 1 , 2 x y =?互 换x，y位置得反函数() 1 2 y x =?，选A 3．设() f x在() , -∞+∞有定义，则下列函数 为奇函数的是（） ()() .A y f x f x =+- ()() .B y x f x f x =-- ?? ?? () 32 .C y x f x = ()() .D y f x f x =-? 解：() 32 y x f x = Q的定义域() , -∞+∞且 ()()()()() 3232 y x x f x x f x y x -=-=-=- ∴选C 4．下列函数在() , -∞+∞内无界的是（） 2 1 . 1 A y x = + .arctan B y x = .sin cos C y x x =+.sin D y x x = 解: 排除法：A 2 1 122 x x x x ≤= + 有界， B arctan 2 x π <有界， C sin cos x x +≤ 故选D 5．数列{}n x有界是lim n n x →∞ 存在的（） A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件 解：Q{}n x收敛时，数列n x有界（即 n x M ≤），反之不成立，（如() {}11n--有界， 但不收敛， 选A 6．当n→∞时，2 1 sin n 与 1 k n 为等价无穷小， 则k= （） A 1 2 B 1 C 2 D -2 解：Q 2 2 11 sin lim lim1 11 n n k k n n n n →∞→∞ ==，2 k=选C 二、填空题（每小题4分，共24分） 7．设() 1 1 f x x = + ，则() f f x ?? ??的定义域 为

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第一章 函数、极限与连续 (一) 1．区间[)+∞,a 表示不等式( ) A ．+∞<

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高等数学 二、计算题（共 200 小题，） 1、设x x x f +=12)(，求)(x f 的定义域及值域。 2、设x x x f -+= 11)(，确定)(x f 的定义域及值域。 3、设)ln(2)(22x x x x x f -+-= ，求)(x f 的定义域。 4、的定义域，求设)(sin 51 2arcsin )(x f x x x f π+-=。 5、的定义域，求设??? ??++-=x f x f x x x f 1)(22ln )(。 6、的定义域求函数22112arccos )(x x x x x f --++=。 7、设)(x f 的定义域为[) )()()(m x f m x f x F b a ++-=，．，)0(++=。 19、及其定义域，求， 设)(02)(ln 2x f x x x x f +∞<<+-=。

高考数学常考知识点之极限

高考数学常考知识点之极限 考试内容： 教学归纳法．数学归纳法应用． 数列的极限． 函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性． 考试要求： （1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． （2）了解数列极限和函数极限的概念． （3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限． （4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质． §13. 极 限 知识要点 1. ⑴第一数学归纳法：①证明当n 取第一个0n 时结论正确；②假设当k n =（0,n k N k ≥∈+）时，结论正确，证明当1+=k n 时，结论成立. ⑵第二数学归纳法：设)(n P 是一个与正整数n 有关的命题，如果 ①当0n n =（+∈N n 0）时，)(n P 成立； ②假设当k n ≤（0,n k N k ≥∈+）时，)(n P 成立，推得1+=k n 时，)(n P 也成立. 那么，根据①②对一切自然数0n n ≥时，)(n P 都成立. 2. ⑴数列极限的表示方法： ①a a n n =∞ →lim ②当∞→n 时，a a n →. ⑵几个常用极限： ①C C n =∞ →lim （C 为常数） ②),(01 lim 是常数k N k n k n ∈=∞→ ③对于任意实常数， 当1|| a 时，0lim =∞ →n n a 当1=a 时，若a = 1，则1lim =∞→n n a ；若1-=a ，则n n n n a )1(lim lim -=∞ →∞→不存在 当1 a 时，n n a ∞ →lim 不存在 ⑶数列极限的四则运算法则： 如果b b a a b n n n ==∞ →∞→lim ,lim ，那么 ①b a b a n n n ±=±∞ →)(lim

函数极限与连续

函 数 1.1.1 函数及其性质 1.函数的概念 引例 汽车以60千米/小时的速度均速行驶，那么行驶里程与时间有什么关系 设行驶路程为s 千米，行驶时间为t 小时，依题意可得()600s t t =<<+∞.变量s 和t 的这种对应关系，即是函数概念的实质. 定义 设x 和y 是两个变量，D 是一个非空实数集，如果对于数集D 中的每一个数x 按照一定的对应法则f 都有唯一确定的实数y 与之对应，则称f 是定义在数集D 上的函数，记作)(x f y =，其中D 称为函数的定义域，x 称为自变量，y 称为因变量． 如果对于确定的0x D ∈，通过对应法则f ，有唯一确定的实数0y 与之对应，则称0y 为)(x f y =在0x 处的函数值，记作00()y f x =.集合{} (),Y y y f x x D ==∈称为函数的值域. 2.函数的表示法 （1）解析法：用一个等式来表示两个变量的函数关系.如一次函数y kx b =+ （,k b 为常数，且0k ≠）. （2）列表法：列出表格来表示两个变量的函数关系.如三角函数表. （3）图像法：用函数图像表示两个变量之间的函数关系.如二次函数图像. 3.函数的两个要素 函数的对应法则和定义域称为函数的两个要素.函数的对应法则通常由函数的解析式给出，函数的值域由定义域和对应法则确定.函数的定义域是使函数表达式有意义的自变量取值的全体.在实际问题中，函数的定义域要由问题的实际意义确定.在求函数的定义域时，应注意：分式函数的分母不能为零；偶次根式的被开方式必须大于等于零；对数函数的真数必须大于零；反正弦函数与反余弦函数的定义域为[]1,1-等，如果函数表达式中含有上述几种函数，则应取各部分定义域的交集. 两个函数只有当定义域和对应法则都相同时，才是同一个函数. 例如函数 y =y x =是相同的函数；而函数()2lg f x x =与()2lg f x x =因定义域不

函数的极限及函数的连续性典型例题

函数的极限及函数的连续性典型例题 一、重点难点分析： ① 此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。 ② 要掌握常见的几种函数式变形求极限。 ③ 函数 f(x)在 x=x 0 处连续的充要条件是在 x=x 0 处左右连续。 ④ 计算函数极限的方法，若在 x=x 0 处连续，则 ⑤ 若函数在 [a,b] 上连续，则它在 [a,b] 上有最大值，最小值。 二、典型例题 例 1 ．求下列极限 解：由 可知 x 2+mx+2 含有 x+2 这个因式， ∴ x=-2 是方程 x 2+mx+2=0 的根， ∴ m=3 代入求得 n=-1。 求 m,n 。 ① ④ ④ ③ ③ ② 解析：① 例 2．已知

的连续性。 解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处 函数是连续的， 从而 f(x)在点 x=-1 处不连续。 ∴ f(x) 在 (- ∞,-1),(- 1,+∞) 上连续， x=-1 为函数的不连续点。 , (a,b 为常数 ) 。 试讨论a,b 为何值时，f(x)在 x=0 处连续。 例 3 ．讨论函数 例 4 ．已知函数 ， ∴ f(x)在 x=1 处连续。 解析： ∴ a=1, b=0 。 例 5 ．求下列函数极限 ① ② 解析：① ②

要使 存在，只需 ∴ 2k=1 ，故 时， 存在。 例7．求函数 在 x=-1 处左右极限，并说明在 x=-1 处是否有极限？ ，∴ f(x)在 x=-1处极限不存在。 三、训练题： 2． 的值是 3. 已知 ，则 = ，2a+b=0，求 a 与 b 的值。 ，求 a 的值。 5．已知 参考答案：1. 3 2. 3. 4. a=2, b=-4 5. a=0 例 6 ．设 ，问常数k 为何值时，有 存在？ 解析：∵ 4．已知 解析：由 1．已知

高等数学(同济五版)第一章 函数与极限知识点

第一章函数与极限 一、对于函数概念要注意以下几点： (1) 函数概念的本质特征是确定函数的两个要素：定义域和对应法则。定义域是自变量和因变量能相互联系构成函数关系的条件，无此条件，函数就没意义。对应法则是正确理解函数概念的关键。函数关系不同于一般的依赖关系，“y是x的函数”并不意味着y随x的变化而变化。函数关系也不同于因果关系。例如一昼夜的气温变化与时间变化是函数关系，但时间变化并不是气温变化的实际原因。y=f(x)中的“f”表示从x到y的对应法则，“f”是一个记号，不是一个数，不能把f(x)看作f乘以x。如果函数是用公式给出的，则“f”表示公式里的全部运算。 (2) 函数与函数表达式不同。函数表达式是表示函数的一种形式，表示函数还可以用其他的形式，不要以为函数就是式子。 (3) f(x)与f(a)是有区别的。f(x)是函数的记号，f(a)是函数值的记号，是f(x)当x=a时的函数值。 (4)两个函数，当其定义域相同，对应法则一样时，此二函数才是相同的。 二、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性： 对函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性的学习应注意以下几点： (1) 并不是函数都具有这些特性，而是在研究函数时，常要研究函数是否具有这些特性。 (2) 函数是否“有界”或“单调”，与所论区间有关系。 (3) 具有奇、偶性的函数，其定义域是关于原点对称的。如果f(x)是奇函数，则f(0)=0。存在着既是奇函数，又是偶函数的函数，例f(x)=0。f(x)+f(-x)=0是判别f(x)是否为奇函数的有效方法。 (4) 周期函数的周期通常是指其最小正周期，但不是任何周期函数都有最小周期。

函数与极限测试题及答案(一)

函数与极限测试题（一） 一、 填空题 1、若1ln 1 1ln x f x x +??= ?-??，则()f x =_____。 2、函数()f x 的定义域为[],a b ，则()21f x -的定义域为_____。 3、若0x →时，无穷小2 21ln 1x x -+与2sin a 等价，则常数a =_____。 4、设()()2 1lim 1 n n x f x nx →∞ -=+，则()f x 的间断点为x =_____。 二、 单选题 1、当0x →时，变量 2 11 sin x x 是（ ） A 、无穷小 B 、无穷大 C 、有界的，但不是无穷小 D 、无界的，也不是无穷大 2、设函数()bx x f x a e =+在(),-∞+∞上连续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 满足（ ） A 、0,0a b << B 、0,0a b >> C 、0,0a b ≥< D 、0,0a b ≤> 3、设()232x x f x =+-，则当0x →时（ ） A 、()f x 与x 是等价无穷小 B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小 C 、()f x 是x 的高阶无穷小 D 、()f x 是x 的低阶无穷小 4、设对任意的x ，总有()()()x f x g x ?≤≤，且()()lim 0x g x x ?→∞ -=????， 则()lim x f x →∞ 为（ ） A 、存在且等于零 B 、存在但不一定等于零 C 、一定不存在 D 、不一定存在

例：()()()11 ,,22 1 x x f x x g x x x x ?==+ =+ ++ 三、 求下列极限 1 、 lim x 2、()2 21212lim 1x x x x x -→?? ?+?? 四、 确定,a b 的值，使() 32 2ln 10 011ln 0 1ax x f x b x x x x x x x ?+<==??-+?>++?? 在(),-∞+∞内连续。 五、 指出函数()1 11x x x e e f x e e --= -的间断点及其类型。 六、 设1234,,,a a a a 为正常数，证明方程 31240123 a a a a x x x x +++=---有且仅有三个实根。 七、 设函数()(),f x g x 在[],a b 上连续，且满足()()()(),f a g a f b g b ≤≥，证明： 在[],a b 内至少存在一点ξ，使得()()f g ξξ=。 函数与极限测试题答案（一） 一、1、 11x x e -+； 2、 11, 2 2a b ++?? ???? ； 3、 4-； 4、0 ； 二、1—4、DCBD 三、1 、解：原式lim 3x ==；

极限知识点(2020年10月整理).pdf

高中数学第十三章-极 限 考试内容： 教学归纳法．数学归纳法应用． 数列的极限． 函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性． 考试要求： （1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． （2）了解数列极限和函数极限的概念． （3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限． （4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质． §13. 极 限 知识要点 1. ⑴第一数学归纳法：①证明当n 取第一个0n 时结论正确；②假设当k n =（0,n k N k ≥∈+）时，结论正确，证明当1+=k n 时，结论成立. ⑵第二数学归纳法：设)(n P 是一个与正整数n 有关的命题，如果 ①当0n n =（+∈N n 0）时，)(n P 成立； ②假设当k n ≤（0,n k N k ≥∈+）时，)(n P 成立，推得1+=k n 时，)(n P 也成立. 那么，根据①②对一切自然数0n n ≥时，)(n P 都成立. 2. ⑴数列极限的表示方法： ①a a n n =∞ →lim ②当∞→n 时，a a n →. ⑵几个常用极限： ①C C n =∞ →lim （C 为常数） ②),(01 lim 是常数k N k n k n ∈=∞→ ③对于任意实常数， 当1|| a 时，0lim =∞ →n n a 当1=a 时，若a = 1，则1lim =∞→n n a ；若1?=a ，则n n n n a )1(lim lim ?=∞ →∞→不存在 当1 a 时，n n a ∞ →lim 不存在 ⑶数列极限的四则运算法则： 如果b b a a b n n n ==∞ →∞→lim ,lim ，那么 ①b a b a n n n ±=±∞ →)(lim ②b a b a n n n ?=?∞ →)(lim

函数、极限与连续复习题参考答案Word版

函数、极限与连续 复习题 一.填空题: 1. 函数1 1ln +-=x x y 的奇偶性是奇函数. 2. 设1 2)11(-=-x x x f ，则=)(x f 1 1x -. 3. 函数x e y -=1的复合过程是,1u y e u x ==-. 4. 函数y =sin ,12y u u v x ===+. 5. 设)(x f 的定义域是[0,1] , 则函数y=)(ln x f 的定义域[1,]e 6. =∞→x x x sin lim 0 . 7. =-∞→n n n )1 1(lim 1e - 8. 5 432lim 42-+-∞→n n n n =0 9. 设43 2lim 23=-+-→x k x x x ，则k =___-3_. 10. 设b ax x x x f ++-+= 1 3 4)(2，0)(lim =∞→x f x ，则=a __-4_，=b __-4. 11. 设0→x 时，b ax 与x x sin tan -为等价无穷小，则=a __1 2 __，=b __3__. 12. 函数3 21 2 --=x x y 的间断点有x=-1,x=3 连续区间是(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞. 二、选择题 1、ln(1) y x =+ A ） A 、（—1，+∞） B 、]1,1(- C 、（—1，1） D 、（1，+∞） 2、当0→x 时，下列变量为无穷小量的是（ D ） A 、x 1sin B 、x 1 cos C 、x e 1 D 、) 1ln(2x +

3、A x f x x =→)(lim 0 （A 为常数），则)(x f 在0x 处（ D ） A 、一定有定义 B 、一定无定义 C 、有定义且A x f =)(0 D 、不一定有定义 4、设???≥+<=0,20,)(2x a x x e x f x 当时；当在点0=x 连续，则a 的值等于（D ） A 、0 B 、1 C 、—1 D 、2 1 5、函数)(x f = 3 2 -x ，则x=3是函数)(x f 的（D ） A 、连续点 B 、可去间断点 C 、跳跃间断点 D 、无穷间断点 6、)(x f 在0x 处左、右极限存在是)(x f 在0x 处连续的（ B ） A 、充分条件 B 、必要条件 C 、充要条件 D 、以上都不是 三.求下列极限: 1. )1(lim 2x x x x -++∞ → 解：)1(lim 2 x x x x -++∞ → =lim x lim x = lim x =1 2 2. 3 tan sin lim x x x x →- 解：30tan sin lim x x x x →-=32 00 sin (1cos )sin 11cos lim lim()cos cos x x x x x x x x x x x →→--= =20 1cos lim x x x →-=2 202lim x x x →=12 3. x x x x ?? ? ??+-∞→11lim 解：x x x x ??? ??+-∞→11lim =11lim 11x x x x →∞??- ? ? ? +? ?=1e e -=2e - 4. x x x x x 3sin 2sin lim 0-+→

函数与极限习题与答案

第一章 函数与极限 （A ） 一、填空题 1、设x x x f lg lg 2)(+-= ，其定义域为 。 2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为 。 3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为 。 4、设)(x f 的定义域是[0，1]，则)(sin x f 的定义域为 。 5、设)(x f y =的定义域是[0，2] ，则)(2x f y =的定义域为 。 6、43 2lim 23=-+-→x k x x x ，则k= 。 7、函数x x y sin = 有间断点 ，其中 为其可去间断点。 8、若当0≠x 时 ，x x x f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续 ，则=)0(f 。 9、=++++++∞→)21(lim 222 n n n n n n n n 。 10、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的 条件。 11、=++++∞→352352) 23)(1(lim x x x x x x 。 12、3) 2 1(lim -∞ →=+e n kn n ，则k= 。 13、函数2 31 22+--=x x x y 的间断点是 。 14、当+∞→x 时， x 1 是比3-+x 15、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。 16、函数x e y 1=在x=0处是第 类间断点。 17、设1 1 3 --= x x y ，则x=1为y 的 间断点。 18、已知33=?? ? ??πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。

19、设?? ???>+<=0)1(02sin )(1x ax x x x x f x 若)(lim 0 x f x →存在 ，则a= 。 20、曲线2sin 2 -+=x x x y 水平渐近线方程是 。 21、1 14)(2 2-+ -= x x x f 的连续区间为 。 22、设?? ?>≤+=0 ,cos 0 ,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ，则常数 a= 。 二、计算题 1、求下列函数定义域 （1）2 11 x y -= ； （2）x y sin = ； （3）x e y 1= ； 2、函数)(x f 和)(x g 是否相同？为什么？ （1）x x g x x f ln 2)(,ln )(2 == ； （2）2)(,)(x x g x x f = = ； （3）x x x g x f 22tan sec )(, 1)(-== ； 3、判定函数的奇偶性 （1）)1(2 2 x x y -= ； （2）3 2 3x x y -= ；

大学高等数学函数极限和连续

第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2),

则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x ∈X 2.初等函数:

(完整版)函数极限与连续习题含答案,推荐文档

基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。 函数的极限与连续训练题 1、已知四个命题：（1）若在点连续，则在点必有极限 )(x f 0x )(x f 0x x →（2）若在点有极限，则在点必连续 )(x f 0x x →)(x f 0x （3）若在点无极限，则在点一定不连续 )(x f 0x x →)(x f 0x x =（4）若在点不连续，则在点一定无极限。 )(x f 0x x =)(x f 0x x →其中正确的命题个数是（ B ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、42、若，则下列说法正确的是（ C ） a x f x x =→)(lim 0A 、在处有意义 B 、)(x f 0x x =a x f =)(0 C 、在处可以无意义 D 、可以只从一侧无限趋近于)(x f 0x x =x 0 x 3、下列命题错误的是（ D ） A 、函数在点处连续的充要条件是在点左、右连续 0x 0x B 、函数在点处连续，则)(x f 0x )lim ()(lim 00x f x f x x x x →→=C 、初等函数在其定义区间上是连续的 D 、对于函数有)(x f )()(lim 00 x f x f x x =→4、已知，则的值是（ C ）x x f 1)(= x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 0A 、 B 、 C 、 D 、21x x 21x -x -5、下列式子中，正确的是（ B ）A 、 B 、 C 、 D 、1lim 0=→x x x 1)1(21lim 21=--→x x x 111lim 1=---→x x x 0lim 0=→x x x 6、，则的值分别为（ A ）51lim 21=-++→x b ax x x b a 、A 、 B 、 C 、 D 、67和-67-和67--和6 7和7、已知则的值是（ C ）,2)3(,2)3(-='=f f 3)(32lim 3--→x x f x x A 、 B 、0 C 、8 D 、不存在4-8、（ D ） =--→33lim a x a x a x

成人高考数学知识点之函数

成人高考数学知识点之函数 (一)函数 1、知识范围 (1)函数的概念 函数的定义、函数的表示法、分段函数、隐函数 (2)函数的性质 单调性、奇偶性、有界性、周期性 (3)反函数 反函数的定义、反函数的图像 (4)基本初等函数 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数 (5)函数的四则运算与复合运算 (6)初等函数 2、要求 (1)理解函数的概念，会求函数的表达式、定义域及函数值，会求分段函数的定义域、函数值，会作出简单的分段函数的图像。 (2)理解函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。 (3)了解函数与其反函数之间的关系(定义域、值域、图像)，会求单调函数的反函数。 (4)熟练掌握函数的四则运算与复合运算。 (5)掌握基本初等函数的性质及其图像。 (6)了解初等函数的概念。 (7)会建立简单实际问题的函数关系式。

(二)极限 1、知识范围 (1)数列极限的概念 数列、数列极限的定义 (2)数列极限的性质 唯一性、有界性、四则运算法则、夹通定理、单调有界数列极限存在定理 (3)函数极限的概念 函数在一点处极限的定义、左、右极限及其与极限的关系趋于无穷时函数的极限、函数极限的几何意义 (4)函数极限的性质 唯一性、四则运算法则、夹通定理 (5)无穷小量与无穷大量 无穷小量与无穷大量的定义、无穷小量与无穷大量的关系、无穷小量的性质、无穷小量的阶 (6)两个重要极限 2、要求 (1)理解极限的概念，会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 (2)了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。 (3)理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较(高阶、低阶、同阶和等价)。会运用等价无穷小量代换求极限。 (4)熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

函数极限与连续知识梳理

知识梳理? ? ? ? 函数极限内容网络图 内容提要与释疑解难内容提要与释疑解难 一、函数极限的概念

1. 。 2. 把1中“”换成“”。 3．把1中“”换成“”。 定理且 4．设在的某空心邻域内有定义，若存在一个常数A， ，都有。 5．设在的某左半邻域内有定义，若存在一个常数A， 时，都有。 此时也可用记号或表示左极限值A，因此可写成 6. 设在的某右半邻域内有定义，若存在一个常数 ，当时，都有。此时也可用或 表示右极限。因此可写成。 定理且 该定理是求分界点两侧表达式不同的分段函数在该分界点极限是否存在的方法，而如果在的左右极限存在且相等，则在该点的极限存在，否则不存在。 7．时，都有。此时称 时，是无穷大量。 而，只要把公式中“”改成“”，，只要把上式中“”改成“”。 8.。当时，都有。

读者同理可给出定义。 注：（常数）与的区别，前者是表明函数极限存在，后者指函数极限不存在，但还是有个趋于无穷大的趋势。因此，给它一个记号，但还是属于极限不存在之列，以后，我们说函数极限存在，指的是函数极限值是个常数。 9．。称当是无穷小量。这里的可以是常数，也可以是。 定理。 其中。 10．若时，都有，称时是有界量。 二、无穷小量阶的比较，无穷小量与无穷大量关系 设， （这里可以是常数，也可以是，以后我们不指出都是指的这个意思） （1）若，称当时是的高阶无穷小量，记作 。 （2）若，称时是的同价无穷小量。 （3）若，称时是的等价无穷小量，记作，此时（2）式也可记作。 （4）若，称时是的k阶无穷小量。 由等价无穷量在求极限过程中起到非常重要的作用，因此，引入 若。记作， 如果均是无穷小量，称为等价无穷小量；如果均是无穷大量，称为等价无穷大量；如

1第一章 函数与极限答案

第一章 函数与极限 第一节 映射与函数 1.填空题: （1）函数)(x f y =与其反函数)(x y ?=的图形关于 x y = 对称. （2 ）函数 2 1 ()1f x x = +-的定义域为__________________________； （3）若)(x f 的定义域是[0，1]，则)1(2+x f 的定义域是 {0} . （4）设b ax x f +=)(，则=-+= h x f h x f x ) ()()(? a . （5）若,11)(x x f -=则=)]([x f f x x 1- ，=)]}([{x f f f x . （6）函数2 x x e e y --=的反函数为 。 （7 ）函数y =: x ≥0，值域: 0≤y <1 ，反函数: x =-ln(1-y 2), 0≤y <1 2. 选择题: （1）下列正确的是：(B ，C ) A.2 lg )(x x f =与x x g lg 2)(=是同一函数. B.设)(x f 为定义在],[a a -上的任意函数，则)()(x f x f -+必为偶函数，)()(x f x f --必为奇函数. C.?? ? ??<-=>==0,10,00,1sgn x x x x y 是x 的奇函数. D.由任意的)(u f y =及)(x g u =必定可以复合成y 为x 的函数. . （2）)sin()(2 x x x f -=是( A ). A.有界函数； B. 周期函数； C. 奇函数； D. 偶函数. （3）设54)(2 ++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 为( B ). A.1； B.–1； C.2； D.–2. （4）函数 2 1 arccos 1++-=x x y 的定义域是（ ）

【高一数学函数相关知识点分析】函数极限的相关知识点总结

【高一数学函数相关知识点分析】函数极限的相关知识点总结 一、增函数和减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I： 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2).那么就说f(x)在这个区间上是增函数。 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数。 二、单调区间 单调区间是指函数在某一区间内的函数值Y，随自变量X增大而增大（或减小）恒成立。如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y= f(x)的单调区间。 一、指数函数的定义 指数函数的一般形式为y=a(a0且≠1) (x∈R). 二、指数函数的性质 1.曲线沿x轴方向向左无限延展〈=〉函数的定义域为（-∞，+∞） 2.曲线在x轴上方，而且向左或向右随着x值的减小或增大无限靠近X轴（x轴是曲线的渐近线）〈=〉函数的值域为（0，+∞） 一、对数与对数函数定义 1.对数：一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log aN=b,读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。 2.对数函数：一般地，函数y=log(a)X，（其中a是常数，a0且a不等于1）叫做对数函数，它实际上就是指数函数的反函数，因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。 二、方法点拨 在解决函数的综合性问题时，要根据题目的具体情况把问题分解为若干小问题一次解决，然后再整合解决的结果[标签:内容] 感谢您的阅读！

考研数学函数极限连续知识点回顾

考研数学：函数极限连续知识点回顾 进入暑假，考研复习日益紧张起来。对于考研数学的备考复习也进入了强化阶段。它意味着考研时间已过三分之一之多，复习的脚步还要继续马不停蹄，继续前进。凯程考研数学老师提醒广大考生在进行有效复习的同时不要忘了对前面复习的内容进行回顾，不要让努力输给记忆。 第一点函数。函数的概念和性质这些都是高中已经学过的内容，这里主要是以复习的形式来回顾一下，但要提醒考生注意函数的有界性和复合函数运算，要认真理解，因为函数的有界性是新知识，并且对后面知识点的学习起到铺垫的作用，复合函数运算对后面函数的求导、积分等都一定的关系，所以请同学们认真理解。 第二点极限。说起极限，大家都会想起什么呢?是不是想起现阶段极限计算有几种，我们来复习一下： 1)四则运算。在这里要强调一点：什么时候运用四则运算，四则运算要求每个极限都存在，才能有两个函数的极限等于分别求极限之和，否则不能应用四则运算。 2)等价无穷小替换。等价无穷小替换公式可以将极限的计算化简，使得我们更快的求解结果，但这要注意几个问题，第一，什么情况下可以应用等价无穷小替换公式，并不是任何情况下都可以等价替换的，只有在乘法和除法时可以应用的，这一点请同学们注意，有很多同学不记得这一点，上来就替换，最后算错了。第二，牢记等价无穷小替换公式，掌握它的广义化形式，不要记错公式和没有任何前提的应用广义化形式。 3)洛必达法则。说起这个法则，大家应该都很熟悉，没事“导”两下，但是这个可不是什么情况都能使用洛必达法则的，它是有条件的，三条，你还记得么?另外，洛必达法则并不是上来一个极限就用的，一般情况下是先利用等价无穷替换公式和四则运算等将极限表达式化简，最后再用洛必达法则，前提要验证是不是满足洛必达法则的三个条件，只要是想利用，就必须验证条件，而且这三个条件在历年考研真题中也考察过，请同学们注意。 4)重要极限。重要极限两个公式要牢记，也要掌握它们的广义化形式，灵活应用，会计算幂指函数极限的计算处理方法。 5)单侧极限。单侧极限这里要求在什么情况下要分侧求极限，比如分段函数，指数函数，反正切函数等这都是要分测计算极限的。 6)夹逼准则。一阶复习只需要掌握夹逼准则的内容，会简单的应用。 7)单调有界收敛定理。这个定理直接就说明了定理的内容，多是应用对数列极限存在的证明中，数一的部分题目中也会应用到。这里要掌握数列极限存在的证明思路：在草稿纸上，

函数与极限重点知识归纳

常量与变量 变量的定义 我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化,我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则把其称之为变量。 注：在过程中还有一种量，它虽然是变化的，但是它的变化相对于所研究的对象是极其微小的，我们则把它看作常量。 变量的表示 如果变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化范围。 在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。 以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间： [a，+∞)：表示不小于a的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞； (-∞，b)：表示小于b的实数的全体，也可记为：-∞＜x＜b； (-∞，+∞)：表示全体实数R，也可记为：-∞＜x＜+∞ 注：其中-∞和+∞，分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号。 邻域 设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。 函数 函数的定义 如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量，y叫做因变量。 注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示.这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的. 注：如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。 函数的有界性 如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。 注意：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数 例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的. 函数的单调性