专题:直线与圆
1.圆C 1 : x 2+y 2+2x +8y -8=0与圆C 2 : x 2+y 2-4x +4y -2=0的位置关系是( ). A .相交
B .外切
C .内切
D .相离
2.两圆x 2+y 2-4x +2y +1=0与x 2+y 2+4x -4y -1=0的公共切线有( ). A .1条
B .2条
C .3条
D .4条
3.若圆C 与圆(x +2)2+(y -1)2=1关于原点对称,则圆C 的方程是( ). A .(x -2)2+(y +1)2=1 B .(x -2)2+(y -1)2=1 C .(x -1)2+(y +2)2=1
D .(x +1)2+(y -2)2=1
4.与直线l : y =2x +3平行,且与圆x 2+y 2-2x -4y +4=0相切的直线方程是( ). A .x -y ±5=0 B .2x -y +5=0 C .2x -y -5=0
D .2x -y ±5=0
5.直线x -y +4=0被圆x 2+y 2+4x -4y +6=0截得的弦长等于( ). A .2
B .2
C .22
D .42
6.一圆过圆x 2+y 2-2x =0与直线x +2y -3=0的交点,且圆心在y 轴上,则这个圆的方程是( ). A .x 2+y 2+4y -6=0 B .x 2+y 2+4x -6=0 C .x 2+y 2-2y =0
D .x 2+y 2+4y +6=0
7.圆x 2+y 2-4x -4y -10=0上的点到直线x +y -14=0的最大距离与最小距离的差是( ). A .30
B .18
C .62
D .52
8.两圆(x -a )2+(y -b )2=r 2和(x -b )2+(y -a )2=r 2相切,则( ). A .(a -b )2=r 2 B .(a -b )2=2r 2 C .(a +b )2=r 2
D .(a +b )2=2r 2
9.若直线3x -y +c =0,向右平移1个单位长度再向下平移1个单位,平移后与圆x 2+y 2=10相切,则c 的值为( ). A .14或-6
B .12或-8
C .8或-12
D .6或-14
10.设A (3,3,1),B (1,0,5),C (0,1,0),则AB 的中点M 到点C 的距离|CM | =( ). A .
4
53
B .
2
53 C .
2
53 D .213
11.若直线3x -4y +12=0与两坐标轴的交点为A ,B ,则以线段AB 为直径的圆的一般方程为____________________. 12.已知直线x =a 与圆(x -1)2+y 2=1相切,则a 的值是_________. 13.直线x =0被圆x 2+y 2―6x ―2y ―15=0所截得的弦长为_________. 14.若A (4,-7,1),B (6,2,z ),|AB |=11,则z =_______________.
15.已知P 是直线3x +4y +8=0上的动点,P A ,PB 是圆(x -1)2+(y -1)2=1的两条切线,A ,B 是切点,C 是圆心,则四边形P ACB 面积的最小值为 . 三、解答题
16.求下列各圆的标准方程:
(1)圆心在直线y =0上,且圆过两点A (1,4),B (3,2);(2)圆心在直线2x +y =0上,且圆与直线x +y -1=0切于点M (2,-1).
17.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是AB的中点,F是BB1的中点,G是AB1的中点,试建立适当的坐标系,并确定E,F,G三点的坐标.
18.圆心在直线5x―3y―8=0上的圆与两坐标轴相切,求此圆的方程.
19.已知圆C :(x-1)2+(y-2)2=2,点P坐标为(2,-1),过点P作圆C的切线,切点为A,B.
(1)求直线P A,PB的方程;(2)求过P点的圆的切线长;(3)求直线AB的方程.
20.求与x轴相切,圆心C在直线3x-y=0上,且截直线x-y=0得的弦长为27的圆的方程.
参考答案
一、选择题 1.A
解析:C 1的标准方程为(x +1)2+(y +4)2=52,半径r 1=5;C 2的标准方程为(x -2)2+(y +2)2=(10)2,半径r 2=10.圆心距d =224 - 2 + 1 + 2)()(=13.
因为C 2的圆心在C 1内部,且r 1=5<r 2+d ,所以两圆相交. 2.C
解析:因为两圆的标准方程分别为(x -2)2+(y +1)2=4,(x +2)2+(y -2)2=9, 所以两圆的圆心距d =222 - 1 - + 2 + 2)()(=5. 因为r 1=2,r 2=3,
所以d =r 1+r 2=5,即两圆外切,故公切线有3条. 3.A
解析:已知圆的圆心是(-2,1),半径是1,所求圆的方程是(x -2)2+(y +1)2=1. 4.D
解析:设所求直线方程为y =2x +b ,即2x -y +b =0.圆x 2+y 2―2x ―4y +4=0的标准方程为(x -1)2+(y -2)2=1.由2
2
1
+ 2 + 2 - 2 b =1解得b =±5.
故所求直线的方程为2x -y ±5=0. 5.C
解析:因为圆的标准方程为(x +2)2+(y -2)2=2,显然直线x -y +4=0经过圆心. 所以截得的弦长等于圆的直径长.即弦长等于22. 6.A
解析:如图,设直线与已知圆交于A ,B 两点,所求圆的圆心为C . 依条件可知过已知圆的圆心与点C 的直线与已知直线垂直. 因为已知圆的标准方程为(x -1)2+y 2=1,圆心为(1,0), 所以过点(1,0)且与已知直线x +2y -3=0垂直的直线方程为y =2x -2.令x =0,得
C (0,-2).
联立方程x 2+y 2-2x =0与x +2y -3=0可求出交点A (1,1).故所求圆的半径r =
|AC |=223 + 1=10.
所以所求圆的方程为x 2+(y +2)2=10,即x 2+y 2+4y -6=0. 7.C
解析:因为圆的标准方程为(x -2)2+(y -2)2=(32)2,所以圆心为(2,2),r =32. 设圆心到直线的距离为d ,d =
2
10>r ,
(第6题)
8.B
解析:由于两圆半径均为|r |,故两圆的位置关系只能是外切,于是有 (b -a )2+(a -b )2=(2r )2. 化简即(a -b )2=2r 2. 9.A
解析:直线y =3x +c 向右平移1个单位长度再向下平移1个单位. 平移后的直线方程为y =3(x -1)+c -1,即3x -y +c -4=0. 由直线平移后与圆x 2+y 2=10相切,得
2
2
1
+ 3
4 - + 0 - 0 c =10,即|c -4|=10,
所以c =14或-6. 10.C
解析:因为C (0,1,0),容易求出AB 的中点M ??? ??3 ,23 ,2, 所以|CM |=22
2
0 - 3 + 1 -23 + 0 - 2)()(??
?
??=
253. 二、填空题
11.x 2+y 2+4x -3y =0.
解析:令y =0,得x =-4,所以直线与x 轴的交点A (-4,0). 令x =0,得y =3,所以直线与y 轴的交点B (0,3). 所以AB 的中点,即圆心为??? ?
?
23 2, -. 因为|AB |=2
2
3 + 4=5,所以所求圆的方程为(x +2)2
+2
23 - ??? ?
?
y =425.
即x 2+y 2+4x -3y =0. 12.0或2.
解析:画图可知,当垂直于x 轴的直线x =a 经过点(0,0)和(2,0)时与圆相切, 所以a 的值是0或2. 13.8.
解析:令圆方程中x =0,所以y 2―2y ―15=0.解得y =5,或y =-3. 所以圆与直线x =0的交点为(0,5)或(0,-3).
所以直线x =0被圆x 2+y 2―6x ―2y ―15=0所截得的弦长等于5-(-3)=8. 14.7或-5.
解析:由2221 - + 7 + 2 + 4 - 6)()()(z =11得(z -1)2
=36.所以z =7,或-5.
15.22.
解析:如图,S 四边形P ACB =2S △P AC =
2
1
|P A |·|CA |·2=|P A |,又|P A |=
12-||PC ,故求|P A |最小值,只需求|PC |最小值,另
|PC |最小值即C 到直
线3x +4y +8=0的距离,为
2
2
4
3843+|++|=3.
于是S 四边形P ACB 最小值为132-=22. 三、解答题
16.解:(1)由已知设所求圆的方程为(x -a )2+y 2=r 2,于是依题意,得
??
?
??.=+)(,=+)(2222 4 - 3 16 - 1r a r a 解得?????.,-20 = 1 = 2r a 故所求圆的方程为(x +1)2+y 2=20.
(2)因为圆与直线x +y -1=0切于点M (2,-1),
所以圆心必在过点M (2,-1)且垂直于x +y -1=0的直线l 上. 则l 的方程为y +1=x -2,即y =x -3. 由?????.=+,-=023 y x x y 解得??
???.- =,
=2 1 y x 即圆心为O 1(1,-2),半径r =222 + 1 - + 1 - 2)()(=2. 故所求圆的方程为(x -1)2+(y +2)2=2.
17.解:以D 为坐标原点,分别以射线DA ,DC ,DD 1的方向为正方向,以线段DA ,DC ,DD 1的长为单位长,建立空间直角坐标系Dxyz ,E 点在平面xDy 中,且EA =2
1. 所以点E 的坐标为??
?
??0 ,21 ,
1, 又B 和B 1点的坐标分别为(1,1,0),(1,1,1),
所以点F 的坐标为??? ??21 ,1 ,1,同理可得G 点的坐标为??? ?
?21 21 1,,.
18.解:设所求圆的方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2, 因为圆与两坐标轴相切,
所以圆心满足|a |=|b |,即a -b =0,或a +b =0. 又圆心在直线5x ―3y ―8=0上,
所以5a ―3b ―8=0.由方程组?????,=-,=--00835b a b a 或?????,=+,
=--00835b a b a
解得?????,=,44b a =或?????.
=-,
11=b a 所以圆心坐标为(4,4),(1,-1).
故所求圆的方程为(x -4)2+(y -4)2=16,或(x -1)2+(y +1)2=1.
(第15题)
19.解:(1)设过P 点圆的切线方程为y +1=k (x -2),即k x ―y ―2k ―1=0. 因为圆心(1,2)到直线的距离为2,
1
+ 3 - - 2
k k =2, 解得k =7,或k =-1.
故所求的切线方程为7x ―y ―15=0,或x +y -1=0.
(2)在Rt △PCA 中,因为|PC |=222 - 1 - + 1 - 2)()(=10,|CA |=2, 所以|P A |2=|PC |2-|CA |2=8.所以过点P 的圆的切线长为22.
(3)容易求出k PC =-3,所以k AB =3
1.
如图,由CA 2
=CD ·PC ,可求出CD =PC CA 2
=10
2.
设直线AB 的方程为y =31
x +b ,即x -3y +3b =0.
由
102=2
3 + 1 3 + 6 - 1 b 解得b =1或b =37(舍).
所以直线AB 的方程为x -3y +3=0.
(3)也可以用联立圆方程与直线方程的方法求解.
20.解:因为圆心C 在直线3x -y =0上,设圆心坐标为(a ,3a ), 圆心(a ,3a )到直线x -y =0的距离为d =2
2 - a .
又圆与x 轴相切,所以半径r =3|a |, 设圆的方程为(x -a )2+(y -3a )2=9a 2, 设弦AB 的中点为M ,则|AM |=7. 在Rt △AMC 中,由勾股定理,得
2
2
2 - ???
?
??a +(7)2=(3|a |)2. 解得a =±1,r 2=9.
故所求的圆的方程是(x -1)2+(y -3)2=9,或(x +1)2+(y +3)2=9.
(第19题)
(第20题)
吉林省德惠市实验中学2014-2015学年必修二第四章单元测试题 (时间:120分钟总分:150分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知两圆的方程是x2+y2=1和x2+y2-6x-8y+9=0,那么这两个圆的位置关系是() A.相离B.相交 C.外切D.内切 2.过点(2,1)的直线中,被圆x2+y2-2x+4y=0截得的最长弦所在的直线方程为() A.3x-y-5=0 B.3x+y-7=0 C.x+3y-5=0 D.x-3y+1=0 3.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y2-2x=0相切,则a的值为() A.1,-1 B.2,-2 C.1 D.-1 4.经过圆x2+y2=10上一点M(2,6)的切线方程是() A.x+6y-10=0 B.6x-2y+10=0 C.x-6y+10=0 D.2x+6y-10=0 5.点M(3,-3,1)关于xOz平面的对称点是() A.(-3,3,-1) B.(-3,-3,-1) C.(3,-3,-1) D.(3,3,1) 6.若点A是点B(1,2,3)关于x轴对称的点,点C是点D(2,-2,5)关于y轴对称的点,则|AC|=() A.5 B.13 C.10 D.10 7.若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点,且∠POQ=120°(其中O为坐标原点),则k的值为() A. 3 B. 2 C.3或- 3 D.2和- 2 8.与圆O1:x2+y2+4x-4y+7=0和圆O2:x2+y2-4x-10y+13=0都相切的直线条数是() A.4 B.3 C.2 D.1 9.直线l将圆x2+y2-2x-4y=0平分,且与直线x+2y=0垂直,则直线l的方程是() A.2x-y=0 B.2x-y-2=0 C.x+2y-3=0 D.x-2y+3=0
高一数学圆的方程典型例题 类型一:圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系. 分析:欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点P 与圆的位置关系,只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系,若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内. 解法一:(待定系数法) 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-.∵圆心在0=y 上,故0=b .∴圆的方程为 222)(r y a x =+-.又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点. ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得:1-=a ,202 =r .所以所求圆的方程为20)1(22=++y x . 解法二:(直接求出圆心坐标和半径) 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点,所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上,又因为 13 12 4-=--= AB k ,故l 的斜率为1,又AB 的中点为)3,2(,故AB 的垂直平分线l 的方程为:23-=-x y 即01=+-y x . 又知圆心在直线0=y 上,故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2=++==AC r . 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x .又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22.∴点P 在圆外. 例2 求半径为4,与圆04242 2 =---+y x y x 相切,且和直线0=y 相切的圆的方程. 解:则题意,设所求圆的方程为圆2 22)()(r b y a x C =-+-: . 圆C 与直线0=y 相切,且半径为4,则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C . 又已知圆04242 2 =---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(,半径为3. 若两圆相切,则734=+=CA 或134=-=CA . (1)当)4,(1a C 时,2 2 2 7)14()2(=-+-a ,或2 2 2 1)14()2(=-+-a (无解),故可得 1022±=a .∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ,或2224)4()1022(=-++-y x .
-- 圆方程与直线与圆、圆与圆关系 一、圆的标准方程 1.圆的定义 (1)条件:平面内到定点的距离等于定长的点的__集合___. (2)结论:定点是_圆心____,定长是___半径__. 2.圆的标准方程 (1)圆心为A (a,b ),半径长为r 的圆的标准方程为 . (2)圆心在原点,半径长为r的圆的标准方程为 2.点与圆的位置关系 圆C :(x -a )2 +(y-b)2=r2(r >0),其圆心为(a ,b ),半径为r ,点P (x 0,y 0),设d =|PC |=错误!. 位置关系 d 与r 的大小 图示 点P 的坐标的特点 点在圆外 d__>__r (x 0-a )2+(y 0-b )2>r 2 点在圆上 d __=__r (x 0-a)2+(y0-b )2=r 2 点在圆内 d __<__r (x 0-a )2+(y 0-b )2 <r2 题型一:圆的标准方程 例1.写出下列各圆的方程: (1)圆心在原点,半径是3; (2)圆心在点C (3,4)处,半径是5; (3)经过点P (5,1),圆心在点C (8,-3)处 题型二:点与圆的位置关系的判断 例2. 已知两点P1(3,8)和P 2(5,4),求以线段P 1P 2为直径的圆的方程,并判断点M(5,3),N (3, 4),P(3,5)是在此圆上,在圆内,还是在圆外? 变式:若原点在圆(x -1)2+(y +2)2=m 的内部,则实数m 的取值范围是( ) A .m >5 B.m <5 C .-2<m<2 D.0<m <2 题型三:圆标准方程的求解 例3.求下列条件所决定的圆的方程: (1)已知圆 C 过两点 A (5,1),B (1,3),圆心在 x 轴上; (x -a )2+(y -b )2=r 2 x 2+y 2=r 2
圆与方程基础训练题 1.若直线0Ax By C ++=通过第二、三、四象限,则系数A 、B 、C 需满足条件( ). A. A 、B 、C 同号 B. AC <0,BC <0 C. C =0,AB <0 D. A =0,BC <0 2.(02年京皖春文)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是( ). A. x -y =0 B. x +y =0 C. |x |-y =0 D. |x |-|y |=0 3.(1995上海卷)下列四种说法中的正确的是( ). A. 经过定点P 0(x 0,y 0)的直线都可以用方程y -y 0=k (x -x 0)表示 B. 经过任意两个不同点111222(,),(,)P x y P x y 的直线都可以用方程 121121()()()()y y x x x x y y --=--表示 C. 不经过原点的直线都可以用方程1x y a b +=表示 D. 经过定点A (0,b )的直线都可以用方程y =kx +b 表示 4.已知点(0,1)P -,点Q 在直线x -y +1=0上,若直线PQ 垂直于直线x +2y -5=0,则点Q 的坐标 是 .A .(-2,1) B .(2,1) C .(2,3) D .(-2,-1) 5.已知两点A (1,-1)、B (3,3),点C (5,a )在直线AB 上,则实数a 的值是 6.点P 在直线x +y -4=0上,O 为原点,则|OP |的最小值是 . 7.圆22(2)(3)2x y -++=的圆心和半径分别是( ). A .(2,3)-,1 B .(2,3)-,3 C .(2,3)-,2 D .(2,3)-,2 8.已知直线l 的方程为34250x y +-=,则圆221x y +=上的点到直线l 的距离的最小值是 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9.过两点P (2,2),Q (4,2) 且圆心在直线0x y -=上的圆的标准方程是( ). A .22(3)(3)2x y -+-= B. 22(3)(3)2x y +++= C. 22(3)(3)2x y -+-= D. 22(3)(3)2x y +++= 10.(04年天津卷理7)若(2,1)P - 为圆22(1)25x y -+=的弦AB 的中点,则直线AB 的方程是. A. 30x y --= B. 230x y +-= C. 10x y +-= D. 250x y --= 11.已知圆22(5)(7)4C x y -+-=:,一束光线从点(11) A -,经x 轴反射到圆周C 的最短路程是 A. 622- B. 8 C. 46 D. 10 12.已知点A (-4,-5),B (6,-1),则以线段AB 为直径的圆的方程为 . 13.(04年江苏卷.14)以点(1,2)为圆心,与直线43350x y +-=相切的圆的方程是 14.方程224250x y x y m ++-+=表示圆的条件是( ). A. 114m << B. 1m > C. 14 m < D. 1m < 15.M (3,0)是圆2282100x y x y +--+=内一点,过M 点最长的弦所在的直线方程是. A. 30x y +-= B. 30x y --= C. 260x y --= D. 260x y +-= 16.(04年重庆卷.文理3)圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为( ). A . 2 B. 22 C. 1 D. 2 17.(1999全国文)曲线x 2+y 2+22x -22y =0关于( ). A. 直线x =2轴对称 B. 直线y =-x 轴对称 C. 点(-2,2)中心对称 D. 点(-2,0)中心对称 18.若实数,x y 满足224240x y x y ++--=,则22x y +的最大值是( ). A. 53+ B. 6514+ C. 53-+ D. 6514-+ 19.已知圆C :(x -1)2+y 2=1,过坐标原点O 作弦OA ,则OA 中点的轨迹方程是 . 20.(1997上海卷)设圆x 2+y 2-4x -5=0的弦AB 的中点为P (3,1),则直线AB 的方程是 21.直线4x -3y -2=0与圆2224110x y x y +-+-=的位置关系是( ).
必修2第四章《圆与方程》单元测试题 (时间:60分钟,满分:100分) 班别 座号 姓名 成绩 一、 选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 1.方程x 2+y 2+2ax-by+c=0表示圆心为C (2,2),半径为2的圆,则a 、b 、c 的值依次为 (A )2、4、4; (B )-2、4、4; (C )2、-4、4; (D )2、-4、-4 2.直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为( ) (A)22 (B)4 (C)24 (D)2 3.点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部,则a 的取值范围是( ) (A) 11<<-a (B) 10<-所表示的曲线关于直线y x =对称,必有 ( ) A .E F = B .D F = C . D E = D .,,D E F 两两不相等 8. 已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4)则三角形ABC 的形状是( ) (A) 直角三角形 (B )锐角三角形 (C )钝角三角形 (D )斜三角形 9.直线0323=-+y x 截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角是 A 、6π B 、4π C 、3π D 、2π 10.两圆x 2+y 2-4x+6y=0和x 2+y 2 -6x=0的连心线方程为 ( ) A .x+y+3=0 B .2x -y -5=0
圆的方程经典题目 1.求满足下列条件的圆的方程 (1)过点A(5,2)和B(3,-2),且圆心在直线32-=x y 上;(2)圆心在835=-y x 上,且与两坐标轴相切;(3)过ABC ?的三个顶点)5,5()2,2()5,1(C B A 、、---;(4)与y 轴相切,圆心在直线03=-y x 上,且直线 x y =截圆所得弦长为72;(5)过原点,与直线1:=x l 相切,与圆1)2()1(:2 2 =-+-y x C 相外切;(6)以C(1,1)为圆心,截直线2-=x y 所得弦长为22;(7)过直线042:=++y x l 和圆0142:2 2 =+-++y x y x C 的交点,且面积最小的圆的方程. (8)已知圆满足①截y 轴所得弦长为2;②被x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为1:3③圆心到直线02:=-y x l 的距离为52.0,求该圆的方程. (9)求经过)3,1()2,4(-B A 两点且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程 2、已知方程0916)41(2)3(24222=++-++-+m y m x m y x 表示一个圆(1)求实数m 的取值范围 (2)求该圆半径r 的取值范围(3)求面积最大的圆的方程(4)求圆心的轨迹方程 1. 已知圆252 2 =+y x , 求下列相应值
(1)过)4,3(-的切线方程(2)过)7,5(的切线方程、切线长;切点弦方程、切点弦长 (3)以)2,1(为中点的弦的方程 (4)过)2,1(的弦的中点轨迹方程 (5)斜率为3的弦的中点的轨迹方程 2. 已知圆 062 2 =+-++m y x y x 与直线032=-+y x 相交于Q P 、两点,O 为坐标原点,若OQ OP ⊥,求实数m 的值. 3、已知直线b x y l +=:与曲线21:x y C -=有两个公共点,求b 的取值范围 4、一束光线通过点)18,25(M 射到x 轴上,被反射到圆25)7(:2 2 =-+y x C 上.求: (1)通过圆心的反射线方程,(2)在x 轴上反射点A 的活动范围. 5、圆03422 2 =-+++y x y x 上到直线0=++m y x 的距离为2的点的个数情况 已知两圆01010:2 2 1=--+y x y x O 和04026:2 2 2=--++y x y x O (1)判断两圆的位置关系 (2)求它们的公共弦所在的方程 (3)求公共弦长 (4)求公共弦为直径的圆的方程. 题型五、最值问题 思路1:几何意义 思路2:参数方程 思路3、换元法 思路4、函数思想 1. 实数y x ,满足012462 2 =+--+y x y x (1)求 x y 的最小值 (2)求2 2y x ++32-y 的最值;(3)求y x 2-的最值(4)|143|-+y x 的最值 2. 圆25)2()1(:2 2=-+-y x C 与)(047)1()12(:R m m y m x m l ∈=--+++.(1)证明:不论m 取什么实数直线l 与圆C 恒相交(2)求直线l 被圆C 截得最短弦长及此时的直线方程 3、平面上有A (1,0),B (-1,0)两点,已知圆的方程为()()2 2 2342x y -+-=.⑴在圆上求一点1P 使△AB 1P 面积最大并求出此面积;⑵求使2 2 AP BP +取得最小值时的点P 的坐标. 4、已知P 是0843:=++y x l 上的动点,PB PA ,是圆01222 2 =+--+y x y x 的两条切线,A 、B 是切点, C 是圆心,那么四边形PACB 的面积的最小值为 5、已知圆的方程为0862 2=--+y x y x .设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ,则四边形ABCD 的面积为_________ 6、已知圆的方程为0862 2=--+y x y x .设该圆过点(3,5)的互相垂直的弦分别为AC 和BD ,则四边形ABCD 的面积为_________
第四章 4.1 4.1.1 A 级 基础巩固 一、选择题 1.圆心是(4,-1),且过点(5,2)的圆的标准方程是 ( ) A .(x -4)2+(y +1)2=10 B .(x +4)2+(y -1)2=10 C .(x -4)2+(y +1)2=100 D .(x -4)2+(y +1)2=10 2.已知圆的方程是(x -2)2+(y -3)2=4,则点P (3,2)满足 ( ) A .是圆心 B .在圆上 C .在圆内 D .在圆外 3.圆(x +1)2+(y -2)2=4的圆心坐标和半径分别为 ( ) A .(-1,2),2 B .(1,-2),2 C .(-1,2),4 D .(1,-2),4 4.(2016·锦州高一检测)若圆C 与圆(x +2)2+(y -1)2=1关于原点对称,则圆C 的方程是 ( ) A .(x -2)2+(y +1)2=1 B .(x -2)2+(y -1)2=1 C .(x -1)2+(y +2)2=1 D .(x +1)2+(y +2)2=1 5.(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2+y 2-2x -8y +13=0的圆心到直线ax +y -1=0的距离为1,则a = ( ) A .-4 3 B .-34 C .3 D .2 6.若P (2,-1)为圆(x -1)2+y 2=25的弦AB 的中点,则直线AB 的方程是 ( A ) A .x -y -3=0 B .2x +y -3=0 C .x +y -1=0 D .2x -y -5=0 二、填空题 7.以点(2,-1)为圆心且与直线x +y =6相切的圆的方程是 . 8.圆心既在直线x -y =0上,又在直线x +y -4=0上,且经过原点的圆的方程是 三、解答题 9.圆过点A (1,-2)、B (-1,4),求 (1)周长最小的圆的方程; (2)圆心在直线2x -y -4=0上的圆的方程. 10.已知圆N 的标准方程为(x -5)2+(y -6)2=a 2(a >0). (1)若点M (6,9)在圆上,求a 的值; (2)已知点P (3,3)和点Q (5,3),线段PQ (不含端点)与圆N 有且只有一个公共点,求a 的取值范围.
1 直线与圆的方程单元测试题 卷一(选择题,共60分) 一、 选择题(本大题共20个小题,每小题3分,共60分。在每小题列出的 四个选项中,只有一项符合题目要求,请将符合题目要求的选项选出,填在答题卡上) 1. ()的斜率为,则直线,,, 已知AB B A )30()25(-- A.-1 B.1 C.3 2 D.2 2. ()),则它的斜率为,(的一个方向向量为已知直线1-2= → AB l A. 21- B.21 C. 2 D.-2 3.())平行的直线方程为,(),且与向量, (过点4-312=→ v P A.0143=-+y x B.0143=--y x C. 01134=-+y x D.01034=--y x 4.()垂直的直线方程为的交点且与直线 与过直线052302=++=-=+y x y x y x A.012x 3-=++y B.0123=+-y x C.0132=++-y x D.0132=+-y x 5.()轴上的截距分别为的斜率和在 直线y y x 01054=-- A.454,- B.5-45, C.2-54, D.54 5 -, 6.(),则有经过第一、二、三象限若直线01=-+by ax A.0,0<>b a C.0,0<>b a D.0,0>高中数学圆的方程典型例题
高中数学圆的方程典型例题 类型一:圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系. 分析:欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点P 与圆的位置关系,只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系,若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内. 解法一:(待定系数法) 设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-. ∵圆心在0=y 上,故0=b . ∴圆的方程为2 22)(r y a x =+-. 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点. ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得:1-=a ,202 =r . 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x . 解法二:(直接求出圆心坐标和半径) 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点,所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上,又因为 13 12 4-=--= AB k ,故l 的斜率为1,又AB 的中点为)3,2(,故AB 的垂直平分线l 的方程为:23-=-x y 即01=+-y x . 又知圆心在直线0=y 上,故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++= =AC r . 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x . 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22. ∴点P 在圆外. 说明:本题利用两种方法求解了圆的方程,都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量,然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系,若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢?
第四章 圆与方程 一、选择题 1.圆C 1 : x 2+y 2+2x +8y -8=0与圆C 2 : x 2+y 2-4x +4y -2=0的位置关系是( ). A .相交 B .外切 C .内切 D .相离 2.两圆x 2+y 2-4x +2y +1=0与x 2+y 2+4x -4y -1=0的公共切线有( ). A .1条 B .2条 C .3条 D .4条 3.若圆C 与圆(x +2)2+(y -1)2=1关于原点对称,则圆C 的方程是( ). A .(x -2)2+(y +1)2=1 B .(x -2)2+(y -1)2=1 - C .(x -1)2+(y +2)2=1 D .(x +1)2+(y -2)2=1 4.与直线l : y =2x +3平行,且与圆x 2+y 2-2x -4y +4=0相切的直线方程是( ). A .x -y ±5=0 B .2x -y +5=0 C .2x -y -5=0 D .2x -y ±5=0 5.直线x -y +4=0被圆x 2+y 2+4x -4y +6=0截得的弦长等于( ). A .2 B .2 C .22 D .42 6.一圆过圆x 2+y 2-2x =0与直线x +2y -3=0的交点,且圆心在y 轴上,则这个圆的方程是( ). A .x 2+y 2+4y -6=0 B .x 2+y 2+4x -6=0 ! C .x 2+y 2-2y =0 D .x 2+y 2+4y +6=0 7.圆x 2+y 2-4x -4y -10=0上的点到直线x +y -14=0的最大距离与最小距离的差是 ( ). A .30 B .18 C .62 D .52 8.两圆(x -a )2+(y -b )2=r 2和(x -b )2+(y -a )2=r 2相切,则( ). A .(a -b )2=r 2 B .(a -b )2=2r 2 C .(a +b )2=r 2 D .(a +b )2=2r 2 9.若直线3x -y +c =0,向右平移1个单位长度再向下平移1个单位,平移后与圆x 2 +y 2=10相切,则c 的值为( ). A .14或-6 B .12或-8 C .8或-12 D .6或-14 ' 10.设A (3,3,1),B (1,0,5),C (0,1,0),则AB 的中点M 到点C 的距离|CM | =( ). A .4 53 B . 2 53 C . 2 53 D .213
直线与圆的方程练习题 1.圆的方程是(x -1)(x+2)+(y -2)(y+4)=0,则圆心的坐标是( ) A 、(1,-1) B 、(21,-1) C 、(-1,2) D 、(-2 1,-1) 2.过点A(1,-1)与B(-1,1)且圆心在直线x+y -2=0上的圆的方程为( ) A .(x -3)2+(y+1)2=4 B .(x -1)2+(y -1)2=4 C .(x+3)2+(y -1)2=4 D .(x+1)2+(y+1)2=4 3.方程()22()0x a y b +++=表示的图形是( ) A 、以(a,b)为圆心的圆 B 、点(a,b) C 、(-a,-b)为圆心的圆 D 、点(-a,-b) 4.两圆x2+y2-4x+6y=0和x2+y2-6x=0的连心线方程为( ) A .x+y+3=0 B .2x -y -5=0 C .3x -y -9=0 D .4x -3y+7=0 5.方程 052422=+-++m y mx y x 表示圆的充要条件是( ) A .141< 第四章圆与方程 本章教材分析 上一章,学生已经学习了直线与方程,知道在直角坐标系中,直线可以用方程表示,通过方程,可以研究直线间的位置关系、直线与直线的交点坐标、点到直线的距离等问题,对数形结合的思想方法有了初步体验.本章将在上章学习了直线与方程的基础上,学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程,运用代数方法研究点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系,了解空间直角坐标系,以便为今后的坐标法研究空间的几何对象奠定基础,这些知识是进一步学习圆锥曲线方程、导数和微积分的基础,在这个过程中进一步体会数形结合的思想,形成用代数方法解决几何问题的能力. 通过方程,研究直线与圆、圆与圆的位置关系是本章的重点内容之一,坐标法不仅是研究几何问题的重要方法,而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法,通过坐标系把点和坐标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一,因此在教学过程中,要始终贯穿坐标法这一重要思想,不怕反复.用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素:点、直线、圆;然后对坐标和方程进行代数运算;最后把运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是坐标法解决几何问题的三步曲.坐标法还可以与平面几何中的综合方法、向量方法建立联系,同时可以推广到空间,解决立体几何问题. 本章教学时间约需9课时,具体分配如下(仅供参考): §4.1 圆的方程 §4.1.1 圆的标准方程一、教材分析 在初中曾经学习过圆的有关知识,本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上,进一步运用解析法研究圆的方程,它与其他图形的位置关系及其应用.同时,由于圆也是特殊的圆锥曲线,因此,学习了圆的方程,就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础.也就是说,本节内容在教材体系中起到承上启下的作用,具有重要的地位,在许多实际问题中也有着广泛的应用.由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性,对圆的标准方程要求层次是“掌握”,为了激发学生的主体意识,教学生学会学习和学会创造,同时培养学生的应用意识,本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计,所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题,从而引导学生进行探究的课堂教学模式,教师在教学过程中,主要着眼于“引”,启发学生“探”,把“引”和“探”有机的结合起来.教师的每项教学措施,都是给学生创造一种思维情境,一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会,激发学生的求知欲,促使学生解决问题. 二、教学目标 1.知识与技能 (1)掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程. (2)会用待定系数法求圆的标准方程. 2.过程与方法 进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,通过圆的标准方程解决实际问题的学习,注意培养学生观察问题发现问题和解决问题的能力. 3.情感态度与价值观 通过运用圆的知识解决实际问题的学习,从而激发学生学习数学的热情和兴趣. 三、教学重点与难点 教学重点:圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确. 教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程. 四、课时安排 绝密★启用前 2012-2013学年度???学校4月月考卷 试卷副标题 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷(选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题(题型注释) 1.圆的方程是(x -1)(x+2)+(y -2)(y+4)=0,则圆心的坐标是( ) A 、(1,-1) B 、-1) C 、(-1,2) D 、(-1) 2.过点A(1,-1)与B(-1,1)且圆心在直线x+y -2=0上的圆的方程为 A .(x -3)2+(y+1)2=4 B .(x -1)2+(y -1)2=4 C .(x+3)2+(y -1)2=4 D .(x+1)2+(y+1)2=4 3.方程()22()0x a y b +++=表示的图形是( ) A 、以(a,b)为圆心的圆 B 、点(a,b) C 、(-a,-b)为圆心的圆 D 、点(-a,-b) 4.两圆x 2+y 2-4x+6y=0和x 2+y 2-6x=0的连心线方程为 A .x+y+3=0 B .2x -y -5=0 C .3x -y -9=0 D .4x -3y+7=0 5.方程052422=+-++m y mx y x 表示圆的充要条件是 A .141<高中数学圆的方程教案新人教版必修2
圆与方程基础练习题