圆锥曲线的二个定义
（1）第一定义中要重视“括号”的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段F F，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|F F|，定义中的“绝对值”与＜|F F|不可忽视。若＝|F F|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|F F|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。比如：
①已知定点，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是
A． B．
C． D．（答：C）；
②方程表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）
（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
如已知点及抛物线上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____
（答：2）
一、求焦点弦长
例 1 过抛物线x 4y 2=的焦点F 作直线交抛物线于A （11y x ，）、B （22y x ，），若
6x x 21=+，求|AB|的长。
解：设AB 的中点为E ，点A 、E 、B 在抛物线准线l ：1x -=上的射影分别为G 、H 、M 。由第二定义知：
8)1(2
x x 2
|EH |2|BM ||AG ||BF ||AF ||AB |2
1=--+==+=+=。
二、求离心率
例2 设椭圆22
22b
y a x +=1（a>b>0）的右焦点为1F ，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴
的弦的长度等于F 1到准线l 1的距离，求椭圆的离心率。
解：如图，AB 是过F 1垂直于x 轴的弦，|C F |1为F 1到准线l 1的距离，AD ⊥l 1于D ，则|AD|=|F 1C|，由题意知|AB |2
1
|AF |1=
。 由椭圆的第二定义知：
2
1|AB ||
AB |21|C F ||AB |21|AD ||AF |e 11====
三、求点的坐标
例3 双曲线13
y x 22
=-的右支上一点P ，到左焦点F 1与到右焦点F 2的距离之比为2：
1，求点P 的坐标。
解：设点P （00y x ，）（0x 0>），双曲线的左准线为l 1：21x -=，右准线为l 2：2
1
x =，则点P 到l 1、l 2的距离分别为2
1x d 21
x d 0201-
=+=，。 所以，122
1x 21
x d d PF PF 002
121=-
+
==，解得23x 0
=。 将其代入原方程，得215y 0±
=。因此，点P 的坐标为???
? ??±21523，。 四、求焦半径
（圆锥曲线上的点P 到焦点F 的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径
，其中
表示P 到与F 所对应的准线的距离。比如：
1、点P 在椭圆上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐
标为_______（答：）；
2、抛物线上的两点A 、B 到焦点的距离和是5，则线段AB 的中点到轴的距离为
______（答：2）；
3、椭圆有一点，F 为右焦点，在椭圆上有一点M ，使 之
值最小，则点M 的坐标为_______（答：
）；
五、求离心率的围
例4 已知椭圆)0b a (1b
y a x 22
22>>=+，21F F 、分别是左、右焦点，若椭圆上存在点P ，
使∠F 1PF 2=90°，求椭圆的离心率e 的取值围。
解：设点P （00y x ，），则由第二定义得0201ex a c a x e |PF |+=????
??+=，
0022ex a x c
a e |PF |-=???
?
??-=。 因为21F PF ?为直角三角形，所以2212221|F F ||PF ||PF |=+。 即222020c 4)c 2()ex a ()ex a (==-++
解得22220
e
a c 2x -=，由椭圆方程中x 的围知22
a x 0≤≤。 2
2
22a e
a c 20<-≤∴，解得1e 22<≤。
五、求最值
例5 已知点A （32，-），设点F 为椭圆112
y 16x 2
2=+的右焦点，点M 为椭圆上一动点，
求|MF |2|MA |+的最小值，并求此时点M 的坐标。
解：如图，过点A 作右准线l 的垂线，垂足为N ，与椭圆交于点M 。
∵椭圆的离心率2
1e =
∴由第二定义得|MN ||MF |2=
∴|MF |2|AM |+的最小值为|AN|的长，且1082|AN |=+= ∴|MF |2|AM |+的最小值为10，此时点M 的坐标为（32，3）