教辅:新课标版数学(理)高三总复习:第八章
立体几何单元测试卷
>第八章单元测试卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题中只有一项符合题目要求) 1.设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题错误的是() A.若a⊥α,b∥α,则a⊥b B.若a⊥α,b∥a,b?β,则α⊥βC.若a⊥α,b⊥β,α∥β,则a∥b D.若a∥α,a∥β,则α∥β答案 D 解析由题意可得A,B,C选项显然正确,对于选项D:当α,β相交,且a与α,β的交线平行时,有a∥α,a∥β,但此时α与β不平行.故选D. 2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是() A.MN与CC1垂直B.MN与AC垂直C.MN与BD平行D.MN 与A1B1平行答案 D 解析连接C1D,BD.∵N是D1C的中点,∴N是C1D的中点,∴MN∥BD.又∵CC1⊥BD,∴CC1⊥MN,故A,C正确.∵AC⊥BD,MN∥BD,∴MN⊥AC,故B正确,故选D. 3.用与球心距离为1的平面去截球,所得的截面面积为π,则球的体积为() A. B. C.8π D. 答案 B 解析S圆=πr2=1?r=1,而截面圆圆心与球心的距离d=1,∴球的半径为R ==. ∴V=πR3=,故选B. 4.某个长方体被一个平面所截,得到几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为() A.4 B.2 C. D.8 答案 D 解析由三视图可知,该几何体如图所示,其底面为正方形,正方形的边长为2.HD=3,BF=1,将相同的两个几何
体放在一起,构成一个高为4的长方体,所以该几何体的体积为×2×2×4=8. 5.如图所示,正四棱锥P-ABCD的底面积为3,体积为,E为侧棱PC的中点,则PA与BE所成的角为() A. B. C. D. 答案 C 解析连接AC,BD交于点O,连接OE,易得OE∥PA. ∴所求角为∠BEO. 由所给条件易得OB=,OE=PA=,BE=. ∴cos ∠OEB=,∴∠OEB=60°,选C. 6.直三棱柱ABC-A1B1C1的直观图及三视图如下图所示,D为AC的中点,则下列命题是假命题的是() A.AB1∥平面BDC1 B.A1C⊥平面BDC1 C.直三棱柱的体积V=4 D.直三棱柱的外接球的表面积为4π答案 D 解析由三视图可知,直三棱柱ABC-A1B1C1的侧面B1C1CB是边长为2的正方形,底面ABC是等腰直角三角形,AB⊥BC,AB=BC=2.连接B1C交BC1于点O,连接AB1,OD.在△CAB1中,O,D分别是B1C,AC的中点,∴OD∥AB1,∴AB1∥平面BDC1.故A正确.直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,∴AA1⊥BD.又AB =BC=2,D为AC的中点,∴BD⊥AC,∴BD⊥平面AA1C1C. ∴BD⊥A1C.又A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,∴A1B1⊥平面B1C1CB,∴A1B1⊥BC1. ∵BC1⊥B1C,且A1B1∩B1C=B1,∴BC1⊥平面A1B1C. ∴BC1⊥A1C,∴A1C⊥平面BDC1. 故B正确.V=S△ABC ×C1C=×2×2×2=4,∴C正确.此直三棱柱的外接球的半径为,其表面积为12π,D错误.故选D. 7.在平面四边形ABCD中,AD =AB=,CD=CB=,且AD⊥AB,现将△ABD沿着对角线BD翻折成△A′BD,则在△A′BD折起至转到平面BCD内的过程中,直
线A′C与平面BCD所成的最大角的正切值为() A.1 B. C. D. 答案 C 解析如图所示,OA=1,OC=2.当A′C与圆相切时,直线A′C与平面BCD所成的角最大,最大角为30°,其正切值为.故选C. 8.一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分,余下的几何体的三视图如图,则该几何体的表面积为() A.+++1 B.2+3π++1 C.++ D.+++1 答案 A 解析还原为直观图如图所示,圆锥的高为2,底面半径为,圆锥的母线长为,故该几何体的表面积为S=×2×+×2π×××+π×()2×+×2×1=+++1. 9.二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,则该二面角的大小为() A.150°B.45°C.60°D.120°答案 C 解析由条件,知·=0,·=0,=++. ∴||2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=62+42+82+2×6×8cos〈,〉=(2)2.∴cos〈,〉=-,〈,〉=120°,∴二面角的大小为60°,故选C. 10.已知某个几何体的三视图如图(主视图的弧线是半圆),根据图中标出的数据,这个几何体的体积是() A.288+36πB.60πC.288+72πD.288+18π答案 A 解析将几何体的三视图转化为直观图此几何体下面为长方体上面为半圆柱,根据三视图所标数据,可得V长方体=6×8×6=288,V半圆柱=×32×π×8=36π. ∴此几何体的体积为V=288+36π. 11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BB1中点,G是DD1中点,F是BC上一点且FB=BC,则GB与EF所成的角为() A.30°B.120°C.60°D.90°
答案 D 解析方法一:连D1E,D1F,解三角形D1EF即可.方法二:如图建立直角坐标系D-xyz,设DA=1,由已知条件,得G(0,0,),B(1,1,0),E(1,1,),F(,1,0),=(1,1,-),=(-,0,-).cos 〈,〉==0,则⊥.故选D. 12.已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1,点P在线段BD1上,当∠APC最大时,三棱锥P-ABC的体积为() A. B. C. D. 答案 B 解析以B为坐标原点,BA为x 轴,BC为y轴,BB1为z轴建立空间直角坐标系,设=λ,可得P(λ,λ,λ),再由cos∠APC=可求得当λ=时,∠APC最大,故VP-ABC=××1×1×=. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上) 13.已知四个命题:
①若直线l∥平面α,则直线l的垂线必平行于平面α;
②若直线l与平面α相交,则有且只有一个平面经过直线l与平面α垂直;
③若一个三棱锥每两个相邻侧面所成的角都相等,则这个三棱锥是正三棱锥;
④若四棱柱的任意两条对角线相交且互相平分,则这个四棱柱为平行六面体.其中正确的命题是________.答案④解析④正确,如右图,A1C与B1D互相平分,则四边形A1B1CD是平行四边形,同理四边形ABC1D1是平行四边形,则A1B1綊AB綊CD,因此四边形ABCD是平行四边形,进而可得这个四棱柱为平行六面体.14.(2013·江苏)如图所示,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F-ADE的体积为
V1,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1∶V2=________. 答案1∶24 解析由题意可知点F到面ABC的距离与点A1到面ABC的距离之比为1∶2,S△ADE∶S△ABC=1∶4. 因此V1∶V2==1∶24. 15.已知正三棱锥P-ABC,点P,A,B,C都在半径为的球面上,若PA,PB,PC两两相互垂直,则球心到截面ABC的距离为________.答案解析正三棱锥P-ABC可看作由正方体PADC-BEFG截得,如图所示,PF为三棱锥P-ABC的外接球的直径,且PF⊥平面ABC. 设正方体棱长为a,则3a2=12,a=2,AB =AC=BC=2. S△ABC=×2×2×=2. 由VP-ABC=VB-PAC,得·h·S△ABC=××2×2×2,所以h=,因此球心到平面ABC的距离为. 16.如图所示是一几何体的平面展开图,其中ABCD为正方形,E,F,分别为PA,PD的中点,在此几何体中,给出下面四个结论:
①直线BE与直线CF异面;
②直线BE与直线AF异面;
③直线EF∥平面PBC;
④平面BCE⊥平面PAD. 其中正确的有______个.答案 2 解析将几何体展开图拼成几何体(如图),因为E,F分别为PA,PD 的中点,所以EF∥AD∥BC,即直线BE与CF共面,①错;
因为B?平面PAD,E∈平面PAD,E?AF,所以BE与AF是异面直线,②正确;
因为EF∥AD∥BC,EF?平面PBC,BC?平面PBC,所以EF∥
平面PBC,③正确;
平面PAD与平面BCE不一定垂直,④错.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)右图为一简单组合体,其底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,EC∥PD,且PD=AD=2EC=2. (1)请画出该几何体的三视图;
(2)求四棱锥B-CEPD的体积.答案(1)略(2)2 解析(1)该组合体的三视图如右图所示.(2)因为PD⊥平面ABCD,PD?平面PDCE,所以平面PDCE⊥平面ABCD. 因为四边形ABCD为正方形,所以BC⊥CD,且BC=DC=AD=2. 又因为平面PDCE∩平面ABCD=CD,BC?平面ABCD,所以BC⊥平面PDCE. 因为PD ⊥平面ABCD,DC?平面ABCD,所以PD⊥DC. 又因为EC∥PD,PD=2,EC=1,所以四边形PDCE为一个直角梯形,其面积S梯形PDCE=(PD+EC)×DC=×3×2=3. 所以四棱锥B-CEPD的体积VB-CEPD=S梯形PDCE×BC=×3×2=2. 18.(本小题满分12分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠ADC=45°,AD=AC=1,O为AC的中点,PO⊥平面ABCD,PO=2,M为PD的中点.(1)证明:PB∥平面ACM;
(2)证明:AD⊥平面PAC;
(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.答案(1)略(2)略(3) 解析(1)连接BD,MO,在平行四边形ABCD中,因为O 为AC的中点,所以O为BD的中点.又M为PD的中点,所以PB
∥MO.因为PB?平面ACM,MO?平面ACM,所以PB∥平面ACM.
(2)因为∠ADC=45°,且AD=AC=1,所以∠DAC=90°,即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD,AD?平面ABCD,所以PO⊥AD.而AC∩PO=O,所以AD⊥平面PAC. (3)取DO中点N,连接MN,AN.因为M为PD的中点,所以MN∥PO,且MN=PO=1.由PO⊥平面ABCD,得MN⊥平面ABCD,所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角.在Rt△DAO中,AD=1,AO=,所以DO=.从而AN=DO=.在Rt△ANM中,tan∠MAN===,即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为. 19.(本小题满分12分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,AB=4,PA=3,A点在PD上的射影为G点,E点在AB上,平面PEC⊥平面PCD. (1)求证:AG∥平面PEC;
(2)求AE的长;
(3)求二面角E-PC-A的正弦值.答案(1)略(2)(3) 解析(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD. 又∵CD⊥AD,PA∩AD =A,∴CD⊥平面PAD.∴CD⊥AG. 又PD⊥AG,∴AG⊥平面PCD. 作EF⊥PC于点F,连接GF,∵平面PEC⊥平面PCD,∴EF⊥平面PCD.∴EF∥AG. 又AG?平面PEC,EF?平面PEC,∴AG∥平面PEC. (2)解:由(1)知A,E,F,G四点共面,又AE∥CD,AE?平面PCD,CD?平面PCD,∴AE∥平面PCD. 又∵平面AEFG∩平面PCD=GF,∴AE∥GF. 又由(1)知EF∥AG,∴四边形AEFG为平行四边形,∴AE=GF. ∵PA=3,AD=4,∴PD=5,AG=. 又PA2=
PG·PD,∴PG=. 又=,∴GF==,∴AE=. (3)解:过E作EO⊥AC于点O,连接OF,易知EO⊥平面PAC,又EF⊥PC,∴OF⊥PC. ∴∠EFO即为二面角E-PC-A的平面角.EO=AE·sin45°=×=,又EF=AG=,∴sin∠EFO==×=. 20.(本小题满分12分)如图所示,△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD ⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,AB=2. (1)求证:AB∥平面MCD;
(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值.答案(1)略(2) 解析(1)证明:取CD中点O,因为△MCD为正三角形,所以MO⊥CD. 由于平面MCD⊥平面BCD,所以MO⊥平面BCD. 又因为AB⊥平面BCD,所以AB∥MO.又AB?平面MCD,MO?平面MCD,所以AB∥平面MCD. (2)连接OB,则OB⊥CD,又MO ⊥平面BCD. 取O为原点,直线OC,BO,OM为x轴,y轴,z 轴,建立空间直角坐标系如图所示.OB=OM=,则各点坐标分别为C(1,0,0),M(0,0,),B(0,-,0),A(0,-,2).=(-1,0,),=(-1,-,2).设平面ACM的法向量为n1=(x,y,z),由得解得x=z,y=z,取z=1,得n1=(,1,1).又平面BCD的法向量为n2=(0,0,1),所以cos〈n1,n2〉==. 设所求二面角为θ,则sin θ=. 21.(本小题满分12分) 圆锥PO如图①所示,图②是它的正(主)视图.已知圆O的直径为AB,C是圆周上异于A,B的一点,D为AC的中点.(1)求该圆锥的侧面积S;
(2)求证:平面PAC⊥平面POD;
(3)若∠CAB=60°,在三棱锥A-PBC中,求点A到平面PBC
的距离.答案(1)π(2)略(3) 解析(1)由圆锥的正视图可知,圆锥的高h=,底面半径r=1,所以其母线长为l=,所以圆锥的侧面积S=l·2πr=××2π×1=π. (2)证明:因为AB是圆O的直径,所以AC⊥BC.又因为O,D分别为AB,AC的中点,所以OD∥BC,所以OD⊥AC. 因为PO⊥平面ABC,所以AC⊥PO. 因为PO∩OD =O,PO,OD?平面POD,所以AC⊥平面POD. 因为AC?平面PAC,所以平面PAC⊥平面POD. (3)因为∠CAB=60°,AB=2,所以BC=,AC=1.所以S△ABC=. 又因为PO=,OC=OB=1,所以S△PBC=. 设A到平面PBC的距离为h,由于VP-ABC=V A-PBC,得S△ABC·PO=S△PBC·h,解得h=. 22.(本小题满分12分)如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2,侧棱长是,D是AC的中点.(1)求证:B1C∥平面A1BD;
(2)求二面角A1-BD-A的大小;
(3)在线段AA1上是否存在一点E,使得平面B1C1E⊥平面A1BD?若存在,求出AE的长;
若不存在,说明理由.答案(1)略(2)(3)存在且AE=解析(1)如图①所示,连接AB1交A1B于点M,连接B1C,DM. 因为三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,所以四边形AA1B1B是矩形,所以M为AB1的中点.因为D是AC的中点,所以MD是三角形AB1C 的中位线,所以MD∥B1C. 因为MD?平面A1BD,B1C?平面A1BD,所以B1C∥平面A1BD. (2)作CO⊥AB于点O,所以CO⊥平面ABB1A1,所以在正三棱柱ABC-A1B1C1中建立如图②所示的空间
直角坐标系O-xyz. 因为AB=2,AA1=,D是AC的中点,所以A(1,0,0),B(-1,0,0),C(0,0,),A1(1,,0).所以D(,0,),=(,0,),=(2,,0).设n=(x,y,z)是平面A1BD的法向量,所以即令x =-,则y=2,z=3. 所以n=(-,2,3)是平面A1BD的一个法向量.由题意可知=(0,,0)是平面ABD的一个法向量,所以cos〈n,〉==.所以二面角A1-BD-A的大小为. (3)设E(1,y,0),则=(1,y -,-),=(-1,0,-).设平面B1C1E的法向量n1=(x1,y1,z1),所以即令z1=-,则x1=3,y1=,所以n1=(3,,-).又n1·n =0,即-3+-3=0,解得y=. 所以存在点E,使得平面B1C1E⊥平面A1BD且AE=.
2019年高三数学知识点总结:立体几何 由查字典数学网高中频道提供,2019年高三数学知识点总结:立体几何,因此老师及家长请认真阅读,关注孩子的成长。 立体几何初步 (1)棱柱: 定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱或用对角线的端点字母,如五棱柱 几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示:用各顶点字母,如五棱锥 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 (3)棱台:
定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示:用各顶点字母,如五棱台 几何特征:①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱: 定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥: 定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台: 定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。
高中数学必修2立体几何测试题及答案(一)一,选择(共80分,每小题4分) 1,三个平面可将空间分成n个部分,n的取值为() A,4;B,4,6;C,4,6,7 ;D,4,6,7,8。 2,两条不相交的空间直线a、b,必存在平面α,使得() A,a?α、b?α;B,a?α、b∥α;C,a⊥α、b⊥α;D,a?α、b⊥α。 3,若p是两条异面直线a、b外的任意一点,则() A,过点p有且只有一条直线与a、b都平行;B,过点p有且只有一条直线与a、b都垂直;C,过点p有且只有一条直线与a、b都相交;D,过点p有且只有一条直线与a、b都异面。 4,与空间不共面四点距离相等的平面有()个 A,3 ;B,5 ;C,7;D,4。 5,有空间四点共面但不共线,那么这四点中() A,必有三点共线;B,至少有三点共线;C,必有三点不共线;D,不可能有三点共线。 6,过直线外两点,作与该直线平行的平面,这样的平面可有()个 A,0;B,1;C,无数;D,涵盖上三种情况。 7,用一个平面去截一个立方体得到的截面为n边形,则() A,3≤n≤6 ;B,2≤n≤5 ;C,n=4;D,上三种情况都不对。 8,a、b为异面直线,那么() A,必然存在唯一的一个平面同时平行于a、b;B,过直线b 存在唯一的一个平面与a平行;C,必然存在唯一的一个平面同时垂直于a、b;D,过直线b 存在唯一的一个平面与a垂直。 9,a、b为异面直线,p为空间不在a、b上的一点,下列命题正确的个数是() ①过点p总可以作一条直线与a、b都垂直;②过点p总可以作一条直线与a、b都相交;③
过点p 总可以作一条直线与a 、b 都平行;④过点p 总可以作一条直线与一条平行与另一条垂直;⑤过点p 总可以作一个平面与一条平行与另一条垂直。 A ,1; B ,2; C ,3; D ,4。 10,异面直线a 、b 所成的角为80°,p 为空间中的一定点,过点p 作与a 、b 所成角为40° 的直线有( )条 A ,2; B ,3; C ,4; D ,6。 11,P 是△ABC 外的一点,PA 、PB 、PC 两两互相垂直,PA=1、PB=2、PC=3,则△ABC 的 面积为( )平方单位 A ,25; B ,611; C ,27; D ,2 9。 12,空间四个排名两两相交,以其交线的个数为元素构成的集合是( ) A ,{2,3,4}; B ,{1,2,3,}; C ,{1,3,5}; D ,{1,4,6}。 13,空间四边形ABCD 的各边与对角线的长都是1,点P 在AB 上移动 ,点Q 在CD 上移 动,点P 到点Q 的最短距离是( ) A ,21; B ,22; C ,23; D ,4 3。 14,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,PA ⊥平面ABC ,PA=8,则P 到BC 的距离是( ) A ,45; B ,43; C ,25; D ,23。 15,已知m ,n 是两条直线,α,β是两个平面,下列命题正确的是( ) ①若m 垂直于α内的无数条直线,则m ⊥α;②若m 垂直于梯形的两腰,则m 垂直于梯形所 在的平面;③若n ∥α,m ?α,则n ∥m ;④若α∥β,m ?α,n ⊥β,则n ⊥m 。 A ,①②③; B ,②③④; C ,②④; D ,①③。 16,有一棱长为1的立方体,按任意方向正投影,其投影最大面积为( )
立体几何单元测验题 一、选择题:把每小题的正确答案填在第二页的答题卡中,每小题4分,共60分 1.一个圆锥的底面圆半径为3,高为4,则这个圆锥的侧面积为 A . 152 π B .10π C .15π D .20π 2.C B A ,,表示不同的点,l a ,表示不同的直线,βα,表示不同的平面,下列推理错误 的是 A .ααα??∈∈∈∈l B l B A l A ,,, B .,,,AB l l AB l αβαβαβ=⊥?⊥?⊥I C .,l A l A αα?∈?? D .βαβα与不共线,,且?∈∈C B A C B A C B A ,,,,,,重合 3.直线c b a ,,相交于一点,经过这3条直线的平面有 A .0个 B .1个 C .3个 D .0个或1个 4.下列说法正确的是 A .平面α和平面β只有一个公共点 B .两两相交的三条直线共面 C .不共面的四点中,任何三点不共线 D .有三个公共点的两平面必重合 5. 直线b a 与是一对异面直线,a B A 是直线,上的两点,b D C 是直线,上的两点, N M ,分别是BD AC 和的中点,则a MN 和的位置关系为 A .异面直线 B .平行直线 C .相交直线 D .平行直线或异面直线 6.已知正方形ABCD ,沿对角线ABC AC ?将折起,设AD 与平面ABC 所成的角为α,当α最大时,二面角D AC B --等于( ) A .0 90 B .0 60 C .0 45 D .0 30 7.已知异面直线b a ,分别在平面βα,内,且βαI c =,直线c A .同时与b a ,相交 B .至少与b a ,中的一条相交 C .至多与b a ,中的一条相交 D .只能与b a ,中的一条相交 8.一个平面多边形的斜二侧图形的面积是S ,则这个多边形的面积是 A B .2S C . D .4S
2015届高三数学(文)立体几何训练题 1、如图3,AB 是⊙O 的直径,PA 垂直于⊙O 所在的平面,C 是圆周上不同于A 、B 的一点. ⑴求证:平面PAC ⊥平面PBC ; ⑵若PA=AB=2,∠ABC=30°,求三棱锥P -ABC 的体积. 2、如图,已知P A ?⊙O 所在的平面,AB 是⊙O 的直径,AB =2,C 是⊙O 上一点,且AC =BC =P A ,E 是PC 的中点,F 是PB 的中点. (1)求证:EF 3、如图,四棱柱1111D C B A ABCD -中,A A 1?底面ABCD ,且41=A A . 梯 形ABCD 的面积为6,且AD 平面DCE A 1与B B 1交于点E . (1)证明:EC D A 111A ABB 4、如图,已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1,AA 1=AB =2a ,D 、E 分别为CC 1、A 1B 的中 点. (1)求证:DE ∥平面ABC ; (2)求证:AE ⊥BD ; (3)求三棱锥D —A 1BA 的体积 . 5.如图,矩形ABCD 中,3AB =,4=BC .E ,F 分别在线段BC 和AD 上,EF ∥AB , 将矩形ABEF 沿EF 折起.记折起后的矩形为MNEF ,且平面⊥MNEF 平面ECDF . (Ⅰ)求证:NC ∥平面MFD ; P A B C O E F A B C D E A 1 B 1 C 1 D 1 A D F
F E A (Ⅱ)若3EC =,求证:FC ND ⊥; (Ⅲ)求四面体CDFN 体积的最大值. 6、如图,在三棱锥P ABC -中,PA ⊥底面ABC,090=∠BCA ,AP=AC, 点D ,E 分别在棱,PB PC 上,且BC (Ⅰ)求证:D E ⊥平面PAC ; (Ⅱ)若PC ⊥AD ,且三棱锥P ABC -的体积为8,求多面体ABCED 的体积。 7、如图:C 、D 是以AB 为直径的圆上两点,==AD AB 232,BC AC =,F 是AB 上一点, 且AB AF 3 1 =,将圆沿直径AB 折起,使点C 在平面ABD 的射影E 在BD 上,已知2=CE . (1)求证:⊥AD 平面BCE ; (2)求证://AD 平面CEF ; (3)求三棱锥CFD A -的体积. 8、如图甲,在平面四边形ABCD 中,已知45,90,105,o o o A C ADC ∠=∠=∠=A B BD =,现将四边 形ABCD 沿BD 折起,使平面ABD ⊥平面BDC (如图乙),设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点. (1)求证:DC ⊥平面ABC ;
高中课程复习专题——数学立体几何 一空间几何体 ㈠空间几何体的类型 1 多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中,这条直线称为旋转体的轴。 ㈡几种空间几何体的结构特征 1 棱柱的结构特征 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形, 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所 围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 棱柱的性质 ⑴侧棱都相等,侧面是平行四边形; ⑵两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形; ⑷直棱柱的侧棱长与高相等,侧面的对角面是矩形。 长方体的性质 ⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和:AC12 = AB2 + AC2 + AA12 ⑵长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成图1-2 长方体
的角分别是α、β、γ,那么: cos2α + cos2β + cos2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2 ⑶ 长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ,则: cos2α + cos2β + cos2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1 棱柱的侧面展开图:正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。 棱柱的面积和体积公式 S直棱柱侧面 = c·h (c为底面周长,h为棱柱的高) S直棱柱全 = c·h+ 2S底 V棱柱 = S底·h 2 圆柱的结构特征 2-1 圆柱的定义:以矩形的一边所在的直线 为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成 的几何体叫圆柱。 图1-3 圆柱 2-2 圆柱的性质 ⑴上、下底及平行于底面的截面都是等圆; ⑵过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 2-3 圆柱的侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 2-4 圆柱的面积和体积公式 S圆柱侧面= 2π·r·h (r为底面半径,h为圆柱的高) S圆柱全= 2π r h + 2π r2 V圆柱 = S底h = πr2h 3 棱锥的结构特征 3-1 棱锥的定义 ⑴棱锥:有一个面是多边形,其余各面是 有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成 的几何体叫做棱锥。
2020高考数学之立体几何解答題23題 一.解答题(共23小题) 1.在如图所示的几何体中,四边形ABCD是菱形,ADNM是矩形,平面ADNM⊥平面ABCD,∠DAB=60°,AD=2,AM=1,E为AB的中点. (Ⅰ)求证:AN∥平面MEC; (Ⅱ)在线段AM上是否存在点P,使二面角P﹣EC﹣D的大小为?若存在,求出AP的长h;若不存在,请说明理由. 2.如图,三棱柱中ABC﹣A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D为棱AC的中点,侧面A1ACC1为边长为2 的菱形,AC⊥CB,BC=1. (Ⅰ)证明:AC1⊥平面A1BC; (Ⅱ)求二面角B﹣A1C﹣B1的大小.
3.如图,已知四棱锥P﹣ABCD,PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°. (I)求点P到平面ABCD的距离, (II)求面APB与面CPB所成二面角的大小. 4.在正三棱锥P﹣ABC中,底面正△ABC的中心为O,D是PA的中点,PO=AB=2,求PB与平面BDC所成角的正弦值.
5.如图,正三棱锥O﹣ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直,且长度均为2.E、F分别是AB、AC的中点,H是EF的中点,过EF作平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A1、B1、C1,已知. (1)求证:B1C1⊥平面OAH; (2)求二面角O﹣A1B1﹣C1的大小. 6.如图,在三棱锥A﹣BCD中,侧面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜边,且AD=,BD=CD=1,另一个侧面是正三角形. (1)求证:AD⊥BC. (2)求二面角B﹣AC﹣D的大小. (3)在直线AC上是否存在一点E,使ED与面BCD成30°角?若存在,确定E的位置;若不存在,说明理由.