高中数学16个二级结论
结论一 奇函数的最值性质
已知函数f(x)是定义在集合D 上的奇函数,则对任意的x ∈D,都有f(x)+f(-x)=0.特别地,若奇函数f(x)在D 上有最值,则f(x)max +f(x)min =0,且若0∈D,则f(0)=0.
例1 设函数22(1)sin ()1
x x
f x x ++=+的最大值为M,最小值为m,则M+m= .?
跟踪集训1.(1)已知函数2()ln(193)1f x x x =+-+,则1(lg 2)(lg )2
f f + =( )
(2)对于函数f(x)=asin x+bx+c(其中,a,b ∈R,c ∈Z),选取a,b,c 的一组值计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果一定不可能是．．．．．．( )和6
和1
和4
和2
结论二 函数周期性问题
已知定义在R 上的函数f(x),若对任意的x ∈R,总存在非零常数T,使得f(x+T)=f(x),则称f(x)是周期函数,T 为其一个周期.
常见的与周期函数有关的结论如下:
(1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.
(2)如果f(x+a)=
1
()
f x (a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a. (3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a. (4)如果f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=6a.
例2 已知定义在R 上的函数f(x)满足f 3()2
x + =-f(x),且f(-2)=f(-1)=-1, f(0)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 014)+f(2 015)=( )
跟踪集训2.(1)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=( )
(2)定义在R 上的函数f(x)满足f(x)= 2log (1),0,
(1)(2),0,x x f x f x x -≤??--->?
则f(2 014)=( )
结论三 函数的对称性
已知函数f(x)是定义在R 上的函数.
(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x= 2
a b
+对称,特别地,若f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=a 对称.
(2)若f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图象关于点(,)22
a b c
+中心对称.特别地,若f(a+x)+f(a-x)=2b 恒成立,则y=f(x)的图象关于点(a,b)中心对称.
例3 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x),且在[1,+∞)上是增函数,不等式f(ax+2)≤f(x -1)对任意的x ∈1[,1]2
恒成立,则实数a 的取值范围是( )A.[-3,-1] B.[-2,0] C.[-5,-1] D.[-2,1]
跟踪集训3.(1)若偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)= .?
(2)函数y=f(x)对任意x ∈R 都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f(1)=4,则f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)的值为 . 结论四 反函数的图象与性质
若函数y=f(x)是定义在非空数集D 上的单调函数,则存在反函数y=f -1(x).特别地,y=a x 与y=log a x(a>0且a≠1)互为反函数,两函数图象在同一直角坐标系内关于直线y=x 对称,即(x 0, f(x 0))与(f(x 0),x 0)分别在函数y=f(x)与反函数y=f -1(x)的图象上.
例4 设点P 在曲线y=
12
e x
上,点Q 在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为( ) 2 B.
2(1-ln 2) +ln 2 D. 2
跟踪集训4.若x 1满足2x+2x =5,x 2满足2x+2log 2(x-1)=5,则x 1+x 2=( )
A.
5
2
C.
72
结论五 两个对数、指数经典不等式
1.对数形式:1-
1
1
x +≤ln(x+1)≤x(x>-1),当且仅当x=0时,等号成立. 2.指数形式:e x ≥x+1(x ∈R),当且仅当x=0时,等号成立. 例5 设函数f(x)=1-e -x .证明:当x>-1时, f(x)≥
1
x x +.
跟踪集训5.(1)已知函数f(x)=
1
ln(1)x x
+-,则y=f(x)的图象大致为( )
(2)已知函数f(x)=e x ,x ∈R.证明:曲线y=f(x)与曲线y=12
x 2
+x+1有唯一公共点.
结论六 三点共线的充要条件
设平面上三点O,A,B 不共线,则平面上任意一点P 与A,B 共线的充要条件是存在实数λ与μ,使得OP OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r
,
且1λμ+=.特别地,当P 为线段AB 的中点时, 1122
OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r
.
例6 已知A,B,C 是直线l 上不同的三个点,点O 不在直线l 上,则使等式2
0x OA xOB BC ++=u u u r u u u r u u u r r
成立的实数x 的取值
集合为( )A.{-1}
B. ?
C.{0}
D.{0,-1}
跟踪集训6.在梯形ABCD 中,已知AB ∥CD,AB=2CD,M 、N 分别为CD 、BC 的中点.若AB AM AN λμ=+u u u r u u u u r u u u r
,则
λμ+= .
结论七 三角形“四心”的向量形式
设O 为△ABC 所在平面上一点,角A,B,C 所对的边长分别为a,b,c,则
(1)O 为△ABC 的外心? ||||||2sin a
OA OB OC A
===
u u u r u u u r u u u r
.
(2)O 为△ABC 的重心? 0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r
.
(3)O 为△ABC 的垂心? OA OB OB OC OC OA ?=?=?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
. (4)O 为△ABC 的内心? 0aOA bOB cOC ++=u u u r u u u r u u u r r
.
例7 已知A,B,C 是平面上不共线的三点,动点P 满足1[(1)(1)(12)],3
OP OA OB OC R λλλλ=-+-++∈u u u r u u u r u u u r u u u r
,则点P
的轨迹一定经过( ) A.△ABC 的内心 B.△ABC 的垂心 C.△ABC 的重心
边的中点
跟踪集训7.(1)P 是△ABC 所在平面内一点,若PA PB PB PC PC PA ?=?=?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
,则P 是△ABC 的( )
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
(2)O 是平面上一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足,(0,)2
OB OC OP AP λλ+=
+∈+∞u u u r u u u r u u u r u u u r
,则P 点的轨迹一定通过△ABC 的( )A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
(3)O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足(),[0,)||||
AB AC
OP OA AB AC λλ=++∈+∞u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u
r u u u r ,则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 结论八 等差数列
1.若S m ,S 2m ,S 3m 分别为等差数列{a n }的前m 项,前2m 项,前3m 项的和,则S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m 成等差数列.
2.若等差数列{a n }的项数为2m,公差为d,所有奇数项之和为S 奇,所有偶数项之和为S 偶,则所有项之和S 2m =m(a m +a m+1),S 偶-S 奇=md,
1
m m S a S a +=奇偶. 3.若等差数列{a n }的项数为2m-1,所有奇数项之和为S 奇,所有偶数项之和为S 偶,则所有项之和S 2m-1=(2m-1)a m ,S 奇
=ma m ,S 偶=(m-1)a m ,S 奇-S 偶=a m ,
1
S m S m =-奇偶. 例8 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m-1=-2,S m =0,S m+1=3,则m=( )
(2)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a m-1+a m+1- 2
m a =0,S 2m-1=38,则m 等于 .? 跟踪集训8.(1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 10=20,S 20=50,则S 30= .?
(2)一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27,则数列的公差d= . 结论九 等比数列
已知等比数列{a n },其公比为q,前n 项和为S n .
(1)数列1{
}n a 也为等比数列,其公比为1q
. (2)若q=1,则S n =na 1,且{a n }同时为等差数列.
(3)若q≠1,则S n =
11111(1)()11111n n n n a a q a q a a a
q q q q q q q
λλλ--==-=-=-----. (4)S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…仍为等比数列(q≠-1或q=-1且n 为奇数),其公比为q n .
(5)S n ,
2n n S S , 32n
n
S S ,…仍为等比数列,公比为2n q . 例9 (1)已知{a n }是首项为1的等比数列,S n 是{a n }的前n 项和,且9S 3=S 6,则数列1
{
}n
a 的前5项和为( ) A.
158
或5 B.
3116
或5 C.
3116
D.
158
(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若
63S S =3,则96
S
S =( ) B.
7
3
C.
83
跟踪集训9.在等比数列{a n }中,公比为q,其前n 项和为S n .已知S 5=
3116,a 3= 1
4
,则1234511111a a a a a +
+++= . 结论十 多面体的外接球和内切球
1.长方体的体对角线长d 与共点三条棱长a,b,c 之间的关系为d 2=a 2+b 2+c 2;若长方体外接球的半径为R,则有(2R)2=a 2+b 2+c
2.
2.棱长为a 的正四面体内切球半径r=
,外接球半径R=
.
例10 已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O(重量忽略不计),现从该三棱锥顶端向内注水,小球慢慢上浮,若注入的水的体积是该三棱锥体积的7
8
时,小球与该三棱锥的各侧面均相切(与水面也相切),则小球的表面积等于( )A.
76π B. 43π C. 23π D. 2
π 跟踪集训10.(1)已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形,直角边长是1,且其外接球的表面积是16π,则该三棱柱的侧棱长为( )A. 14
B. 23
C. 46
(2)已知正三角形ABC 的三个顶点都在半径为2的球面上,球心O 到平面ABC 的距离为1,点E 是线段AB 的中点,过点E 作球O 的截面,则截面面积的最小值是( ) A.
74
π π C.
94
π π 结论十一 焦点三角形的面积公式
1.在椭圆22221x y a b += (a>b>0),F 1,F 2分别为左、右焦点,P 为椭圆上一点,则△PF 1F 2的面积122
tan 2
PF F S b θ=V ,其中
θ=∠F 1PF 2.
2.在双曲线22221x y a b -=1(a>0,b>0)中,F 1,F 2分别为左、右焦点,P 为双曲线上一点,则△PF 1F 2的面积122
tan 2
PF F b S θ=V ,其
中θ=∠F 1PF 2.
例11 已知F 1,F 2是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且∠F 1PF 2=
3
π
,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A.
433 B. 23
3
跟踪集训
11.(1)如图,F 1,F 2是椭圆C 1: 2
214
x y +=与双曲线C 2的公共焦点,A,B 分别是C 1,C 2在第二、四象限的公共点.若四边形AF 1BF 2为矩形,则C 2的离心率是( )
A.
2 B.
3 C.
3
2
D. 6
(2)已知F1,F2是椭圆C:
22
22
1
x y
a b
+=(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C一上点,且
12
PF PF
⊥
u u u r u u u u r
.若△PF1F2的面积为9,则
b=.
结论十二圆锥曲线的切线问题?
1.过圆C:(x-a)2+(y-b)2=R2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=R
2.
2.过椭圆
22
22
1
x y
a b
+=上一点P(x0,y0)的切线方程为00
22
1
x x y y
a b
+=.
3.已知点M(x0,y0),抛物线C:y2=2px(p≠0)和直线l:y0y=p(x+x0).
(1)当点M在抛物线C上时,直线l与抛物线C相切,其中M为切点,l为切线.
(2)当点M在抛物线C外时,直线l与抛物线C相交,其中两交点与点M的连线分别是抛物线的切线,即直线l为切点弦所在的直线.
(3)当点M在抛物线C内时,直线l与抛物线C相离.
例12已知抛物线C:x2=4y,直线l:x-y-2=0,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点,当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程.
跟踪集训12.(1)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为()
+y-3=0 =0 =0 +y-3=0
(2)设椭圆C:
22
1
43
x y
+=,点P
3
(1,)
2
,则椭圆C在点P处的切线方程为.
结论十三圆锥曲线的中点弦问题?
1.在椭圆E:
22
22
1
x y
a b
+=(a>b>0)中:
(1)如图①所示,若直线y=kx(k≠0)与椭圆E交于A,B两点,过A,B两点作椭圆的切线l,l',有l∥l',设其斜率为k0,则k0·k=
2
2
b
a
-.
(2)如图②所示,若直线y=kx与椭圆E交于A,B两点,P为椭圆上异于A,B的点,若直线PA,PB的斜率存在,且分别为k1,k2,则k1·k2=
2
2
b
a
-.
(3)如图③所示,若直线y=kx+m(k≠0且m≠0)与椭圆E交于A,B两点,P为弦AB的中点,设直线PO的斜率为k0,则k0·k=
2
2
b
a
-.
[提醒]该结论常变形为:以椭圆
22
22
1
x y
a b
+=内任意一点(x0,y0)为中点的弦AB的斜率k=
2
2
x
b
a y
-?.
2.在双曲线E:
22
22
1
x y
a b
-=(a>0,b>0)中,类比上述结论有:(1)k0·k=
2
2
b
a
.(2)k1·k2=
2
2
b
a
.(3)k0·k=
2
2
b
a
.
例13已知椭圆E:
22
22
1
x y
a b
+=(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A、B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则椭圆E的方程为()
A.
22
1
4536
x y
+= B.
22
1
3627
x y
+= C.
22
1
2718
x y
+= D.
22
1
189
x y
+=
跟踪集训13.(1)椭圆C:
22
1
43
x y
+=的左,右顶点分别为A1,A2,点P在椭圆上且直线PA2的斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1的斜率的取值范围是.?
(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的直线交椭圆
22
1
42
x y
+=于P,A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k.对任意k>0,求证:PA⊥PB.
结论十四圆锥曲线中的一类定值问题
在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点P(非顶点)与曲线上的两动点A,B满足直线PA与PB的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线AB的斜率为定值.
图示条件结论
已知椭圆
22
22
1
x y
a b
+=(a>b>0),定点
P(x0,y0)(x0y0≠0)在椭圆上,A,B是椭圆上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为k PA,k PB,且满足
k PA+k PB=0直线AB的斜率k AB为定值
2
2
b x
a y
已知双曲线
22
22
1
x y
a b
-=(a,b>0),定点
P(x0,y0)(x0y0≠0)在双曲线上,A,B是双曲线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为k PA,k PB,且满足k PA+k PB=0直线AB的斜率k AB为定值
2
2
b x
a y
-
已知抛物线y 2=2px(p>0),定点P(x 0,y 0)(x 0y 0≠0)在
抛物线上,A,B 是抛物线上两个动点,直线PA,PB 的斜率分别为k PA ,k PB ,且满足k PA +k PB =0 直线AB 的斜率k AB 为定值0
p y - 例14 已知抛物线C:y 2=2x,定点P(8,4)在抛物线上,设A,B 是抛物线上的两个动点,直线PA,PB 的斜率分别为k PA ,k PB ,且满足k PA +k PB =0.证明:直线AB 的斜率k AB 为定值,并求出该定值.
跟踪集训14.已知椭圆C: 22143x y +=,A 为椭圆上的定点且坐标为31,2
（）,E,F 是椭圆C 上的两个动点,如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数.证明:直线EF 的斜率为定值,并求出这个定值.
结论十五 圆锥曲线中的一类定点问题
若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.
(1)对于椭圆22
221x y a b += (a>b>0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB 为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线l AB 过定点
2222(,0)a b a a b -?+.同理,当以AB 为直径的圆过左顶点(-a,0)时,直线l AB 过定点22
22
(,0)a b a a b --?+. (2)对于双曲线22
221x y a b -= (a>0,b>0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB 为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线l AB 过定
点222
2(,0)a b a a b +?-.同理,对于左顶点(-a,0),则定点为2222
(,0)a b a a b
+-?-.
(3)对于抛物线y 2
=2px(p>0)上异于顶点的两动点A,B,若0OA OB ?=u u u r u u u r
,则弦AB 所在直线过点(2p,0).同理,抛物线
x 2
=2py(p>0)上异于顶点的两动点A,B,若OA OB ⊥u u u r u u u r
,则直线AB 过定点(0,2p).
例15 已知抛物线y 2=2px(p>0)上异于顶点的两动点A,B 满足以AB 为直径的圆过顶点.求证:AB 所在的直线过定点,并求出该定点的坐标.
跟踪集训15.已知椭圆22
143
x y +=,直线l:y=kx+m 与椭圆交于A,B 两点(A,B 不是左、右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点.求证:直线l 过定点,并求该定点的坐标.
结论十六 抛物线中的三类直线与圆相切问题
AB 是过抛物线y 2=2px(p>0)焦点F 的弦(焦点弦),过A,B 分别作准线l:2
p
-
的垂线,垂足分别为A 1,B 1,E 为A 1B 1的中点.(1)如图①所示,以AB 为直径的圆与准线l 相切于点E.(2)如图②所示,以A 1B 1为直径的圆与弦AB 相切于点F,且|EF|2=|A 1A|·|BB 1|.(3)如图③所示,以AF 为直径的圆与y 轴相切.
例16 过抛物线y 2=2px(p>0)的对称轴上一点A(a,0)(a>0)的直线与抛物线相交于M,N 两点,自M,N 向直线l:x=-a 作垂线,垂足分别为M 1,N 1.当a= 2
p
时,求证:AM 1⊥AN 1.
跟踪集训16.已知抛物线C:y 2=8x
与点M(-2,2),过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A,B 两点,若0MA MB ?=u u u r u u u r
,则
k= .?
答案全解全析
结论一 奇函数的最值性质
跟踪集训
1.(1)D 令g(x)=ln(-3x),x ∈R,则g(-x)=ln(+3x),因为
g(x)+g(-x)=ln(-3x)+ln(
+3x)=ln(1+9x 2-9x 2)=ln 1=0,所以g(x)是定义在R 上的奇函数.又lg =-lg 2,所以g(lg 2)+g
=0,所以f(lg 2)+f
=g(lg 2)+1+g
+1=2.故选D.
(2)D 令g(x)=f(x)-c=asin x+bx, 易证g(x)是奇函数.
又g(-1)+g(1)=f(-1)-c+f(1)-c=f(-1)+f(1)-2c, 而g(-1)+g(1)=0,c 为整数, ∴f(-1)+f(1)=2c 为偶数. 1+2=3是奇数,故不可能,选D.
结论二 函数周期性问题
跟踪集训
2.(1)D由f(x+2)是偶函数可得f(-x+2)=f(x+2),又由f(x)是奇函数得f(-x+2)=-f(x-2),所以f(x+2)=-f(x-2), f(x+4)=-f(x), f(x+8)=f(x),故f(x)是以8为周期的周期函数,所以f(9)=f(8+1)=f(1)=1,又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,所以f(8)=f(0)=0,故f(8)+f(9)=1,故选D.
(2)C当x>0时,有f(x)=f(x-1)-f(x-2),①
同理有f(x+1)=f(x)-f(x-1),②
①+②得f(x+1)=-f(x+2),即f(x+3)=-f(x).所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),T=6.
故f(2 014)=f(4)=-f(1)=f(-1)-f(0)=log22-0=1,故选C.
结论三函数的对称性
跟踪集训
3.(1)答案3
解析因为f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(x)=f(4-x),f(-x)=f(4+x),又f(-x)=f(x),所以f(x)=f(4+x),则
f(-1)=f(4-1)=f(3)=3.
(2)答案4
解析因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以f(x)是R上的奇函数. f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期为4.所以f(2 017)=f(504×4+1)=f(1)=4,所以f(2 016)+
f(2 018)=-f(2 014)+f(2 014+4)=-f(2 014)+f (2 014)=0,所以f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)=4.
结论四反函数的图象与性质
跟踪集训
因为2x+2x=5,所以x+2x-1=,同理x+log2(x-1)=,令t=x-1,则x=t+1,即t1是t+2t=的解,t2是t+log2t=的解,且
t1=x1-1,t2=x2-1.
如图所示,t1为函数y=2t与y=-t的图象交点P的横坐标,t2为函数y=log2t与y=-t的图象交点Q的横坐标,所以
P(t1,),Q(t2,log2t2),所以P,Q为对称点,且t1+t2=t1+=t1+=.所以x1+x2=t1+1+t2+1=+2=.故选C.
结论五两个对数、指数经典不等式
跟踪集训
5.(1)B由题意得f(x)的定义域为{x|x>-1且x≠0},所以排除选项D.
令g(x)=ln(x+1)-x,则由经典不等式ln(x+1)≤x知,g(x)≤0恒成立,故f(x)=<0恒成立,所以排除A,C,故选B.
(2)证明令g(x)=f(x)-=e x-x2-x-1,x∈'(x)=e x-x-1,
由经典不等式e x≥x+1恒成立可知,g'(x)≥0恒成立,所以g(x)在R上为单调递增函数,且g(0)=0,所以函数g(x)有唯一零点,即两曲线有唯一公共点.
结论六三点共线的充要条件
跟踪集训
6.答案
解析解法一:由=λ+μ及题意得=λ·(+)+μ·(+),则++=0,得++=0,得λ+μ-1+=0.
又因为,不共线,所以由平面向量基本定理得
解得
所以λ+μ=.
解法二:如图,连接MN并延长交AB的延长线于T.
由已知易得AB=AT,
∴==λ+μ.
∴=λ+μ,
∵T、M、N三点共线,∴λ+μ=1,则λ+μ=.
结论七三角形“四心”的向量形式
跟踪集训
7.(1)D由·=·,可得·(-)=0,即·=0,∴⊥,同理可证⊥,⊥,∴P是△ABC的垂心.
(2)C设BC的中点为M,则=,则有=+λ,即=λ,∴P点的轨迹所在直线一定通过△ABC的重心.
(3)B解法一:为上的单位向量,为上的单位向量,则+的方向为∠BAC的平分线的方向.
又λ∈[0,+∞),∴λ的方向与+的方向相同.=+λ,∴点P在上移动.∴P 的轨迹一定通过△ABC的内心.故选B.
解法二:由于P点轨迹通过△ABC内一定点且该定点与O点位置和△ABC的形状无关,故取O点与A点重合,由平行四边形法则很容易看出P点在∠BAC的平分线上,故选B.
结论八等差数列
跟踪集训
8.(1)答案90
解析(S20-S10)-S10=(S30-S20)-(S20-S10),S30=3S20-3S10=3×50-3×20=90.
(2)答案5
解析设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇,偶数项的和为S偶,由已知条件,得解得又S偶-S奇=6d,所以d==5.
结论九等比数列
跟踪集训
9.答案31
解析由等比数列的性质知,a1a5=a2a4=,则
++++=++====31.
结论十多面体的外接球和内切球
跟踪集训
10.(1)A因为该三棱柱外接球的表面积是16π,所以外接球的半径R=2.又直三棱柱底面是等腰直角三角形,直角边长是1,故该三棱柱的侧棱长是=,故选A.
(2)C由题意知,正三角形ABC的外接圆半径为=,则AB=3,过点E的截面面积最小时,截面是以AB为直径的圆面,截面面积S=π×=.
结论十一焦点三角形的面积公式
跟踪集训
11.(1)D设双曲线C2的方程为-=1,则有+===4-1=3.又四边形AF1BF2为矩形,所以焦点三角形AF1F2的
面积为tan 45°=,即==1.所以=-=3-1=2.故双曲线的离心率e====.故选D.
(2)答案3
解析在焦点三角形PF1F2中,⊥,
故=|PF1||PF2|,
又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,|PF1|+|PF2|=2a,
则(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=|F1F2|2,4a2-2|PF1|·|PF2|=4c2,所以|PF1||PF2|=2b2,则=b2=9,故b=3.
结论十二圆锥曲线的切线问题
跟踪集训
12.(1)A如图,圆心坐标为C(1,0),
易知A(1,1).
又k AB·k PC=-1,且k PC==,∴k AB=-2.
故直线AB的方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0,
故选A.
(2)答案x+2y-4=0
解析由于点P在椭圆+=1上,故所求的切线方程为+=1,即x+2y-4=0.
结论十三圆锥曲线的中点弦问题
跟踪集训
13.(1)答案
解析设PA2的斜率为k2,PA1的斜率为k1,则k1·k2=-=-,又k2∈[-2,-1],所以k1∈.
(2)证明设P(x 0,y0),则A(-x0,-y0),C(x0,0),k AC==,又k PA==k,所以k AC=,由k BA·k BP =-知,k BP·k BA=k BP·k AC=·k PB=-,所以k PB·k=-1,即PA⊥PB.
结论十四圆锥曲线中的一类定值问题
跟踪集训
14.解析设直线AE的方程为y=k(x-1)+,
联立得
消去y,整理得(4k2+3)x2+(12k-8k2)x+4-12=0,则x E==.①
同理,可得x F=.②
所以k EF=
==,将①②代入上式,化简得k EF=.
所以直线EF的斜率为定值,这个定值为.
结论十五圆锥曲线中的一类定点问题
跟踪集训
15.解析设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得消y,得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,则有
Δ=(8km)2-4(4k2+3)·(4m2-12)>0,即m2<4k2+3,即m2<4k2+3,①
因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),所以(x1-2,y1)·(x2-2,y2)=0,即x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2=0,
即x1x2-2(x1+x2)+4+(kx1+m)(kx2+m)=0.
把①代入化简得7m2+16km+4k2=0,
得m=-2k或m=-.
当m=-2k时,直线l:y=kx-2k过右顶点(2,0),与题意不符,故舍去;
当m=-时,直线l:y=kx-过定点,且满足m2<4k2+3,符合题意.
所以l:y=kx+m过定点.
结论十六抛物线中的三类直线与圆相切问题
跟踪集训
16.答案2
解析如图所示,因为·=0,所以MA⊥MB,故点M在以AB为直径的圆上,又准线为x=-2,直线AB经过焦点F(2,0),所以有MF⊥AB,又k MF==-,所以k AB=2.
高中数学二级结论 1．任意的简单n面体内切球半径为3V/S表V是简单n面体的体积，S表是简单n面体的表面积， 2．在任意三角形内都有tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC，至于有什么用，，，:三个tan加起来如果是负的那就是钝角三角形了 3．矩阵和矩阵逆的行列式，特征值都互为倒数， 4．斜二测画法画出的图形面积变小了，为原来的√2/4倍 5．过椭圆准线上一点作椭圆切线，两切点所在直线必过椭圆相应焦点，椭圆准线广义称极线，那个是极线的性质之一 6．在做导数题的时候要熟练以下不等式便于放缩等。。。e^x≥x+1 lnx≤x-1 泰勒基数展开，这个常用，一般前一问有提示 7．球的体积：V(r)=(4/3pi)r^3 求导：V'R=4pir^2=表面积，，，神奇！:这个我们老师的解释是，球的体积可以看成无穷个表面积的积分，所以体积的微分就应该是表面积 8．椭圆的面积S=派ab 应该很难用上，直接换元，转换成圆，再换回去就行了 9．圆锥曲线切线，隐函数求导高考不让用:用于秒杀选择填空，大题找思路以及验证等x 不用处理 10．来个非常有用的，。过椭圆x2/a2+y2/b2上任意一点(x0,y0)的切线方程为xx0/a2+yy0/b2既用xx0替换x2用yy0替换y2。双曲线也一样这个椭圆切线的结论可以用的，同理圆、双曲线、抛物线的切线方程都可以直接用 11．来个比较少用，但是选择填空一考到你可以捞大把时间的⊙▽⊙。。。。过椭圆外一点(x0,y0)作椭圆的两条切线，过两切点的直线方程为xx0/a2+yy0/b2=1 这个叫做切点弦方程 12．分享个最最有用的。。椭圆x2/a2+y2/b2=1与直线Ax+By+C=0相切的条件是A2a2+B2b2=C2至于椭圆焦点在y轴上的情况，，。欢迎讨论把a、b换个位置就行了个最屌，双曲线的话上面的+号变-号，秒出答案 13．设双曲线方程x^2/a^2-y^2/b^2=1,双曲线焦点到渐近线距离为b 14．托密勒定理有道证明题用过这个 15．椭圆焦点三角形设顶角为A.焦点三角形面积为b平方tanA/2，双曲线是cot 16． 1.函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c的充要条件是函数关于((a+b)/2,c/2)中心对称 2.函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)的充要条件是函数关于x=(a+b)/2轴对称 3.L*Hospital*s rule 4.三角形中射影定理：a=bcosC+ccosB 5.任意三角形内切圆半径r=2S/(a+b+c) 6.任意三角形外切圆半径R=abc/4S=a/2sinA 7.Euler不等式：R>2r 8.海伦公式的变式：设三角形内切圆分三角形三边为不相邻的线段x,y,z则 S=sqrt(xyz(x+y+z))=1/4*sqrt(∑a∏(a+b-c)) 9.边角边面积公式：S=a^2sinBsinC/2sin(B+C) 10.各种三角恒等式 11.各种三角不等式： 1）在锐角三角形中成立不等式:∑sinA>∑cosA 2)嵌入不等式：x^2+y^2+z^2>=∑2yzcosA,x,y,z为实数 12.权方和不等式
高中数学二级结论 1.任意的简单n 面体内切球半径为 表 S V 3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C 推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形 3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的 4 2倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点 5.导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<- x x x x x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 的面积S 为πab S = 7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导 推论：①过圆2 22)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+-- ①过椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx ①过双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx 8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆02 2 =++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为02 20000=+++++ +F E y y D x x y y x x ①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b y y a x x ①双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-b y y a x x ①抛物线)0(22 >=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y += ①二次曲线的切点弦方程为02 22000000=++++++++F y y E x x D y Cy x y y x B x Ax 9.①椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 与直线)0· (0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+ ②双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线)0· (0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =- 10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC 、
1高中数学二级结论 1.任意的简单n 面体内切球半径为 表 S V 3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C 推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形 3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的 4 2倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点 5.导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<- x x x x x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 的面积S 为πab S = 7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导 推论：①过圆2 22)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为2 00))(())((r b y b y a x a x =--+-- ②过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx ③过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx 8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆02 2 =++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为02 20000=+++++ +F E y y D x x y y x x ②椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b y y a x x ③双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-b y y a x x ④抛物线)0(22 >=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y += ⑤二次曲线的切点弦方程为02 22000000=++++++++F y y E x x D y Cy x y y x B x Ax 9.①椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+ ②双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =- 10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC 、
高中数学二级结论 1、任意的简单n 面体内切球半径为表 S V 3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2、在任意ABC △内，都有t a n A +t a n B +t a n C =t a n A ·t a n B ·t a n C 3、若a 是非零常数，若对于函数y ＝f(x )定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数y ＝f(x )是周期函数，且2|a |是它的一个周期。 ①f(x ＋a )＝f(x －a ) ②f(x ＋a )＝－f(x ) ③f(x ＋a )＝1/f(x ) ④f(x ＋a )＝－1/f(x ) 4、若函数y ＝f(x )同时关于直线x ＝a 与x ＝b 轴对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝2|a －b| 5、若函数y ＝f(x )同时关于点（a ，0）与点（b ，0）中心对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝2|a －b| 6、若函数y ＝f(x )既关于点（a ，0）中心对称，又关于直线x ＝b 轴对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝4|a －b| 7、斜二测画法直观图面积为原图形面积的 4 2 倍 8、过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点 9、导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 1 1-≤≤-< -x x x x x 、)1(>>x ex e x 10、椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 的面积S 为πab S =
11、圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导 推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为 200))(())((r b y b y a x a x =--+-- ①过椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为 12 20=+b yy a xx ①过双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为 12 20=-b yy a xx 12、切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ① 圆 022=++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为 02 20000=+++++ +F E y y D x x y y x x ①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b y y a x x ①双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-b y y a x x ①抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y += ① 二次曲线的切点弦 方 程 为 02 22000000=++++++++F y y E x x D y Cy x y y x B x Ax 13、①椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 与直线)0· (0≠=++B A C By Ax 相切的条件是
高中数学16个二级结论 结论一 奇函数的最值性质 已知函数f(x)是定义在集合D 上的奇函数,则对任意的x ∈D,都有f(x)+f(-x)=0.特别地,若奇函数f(x)在D 上有最值,则f(x)max +f(x)min =0,且若0∈D,则f(0)=0. 例1 设函数22(1)sin ()1 x x f x x ++=+的最大值为M,最小值为m,则M+m= .? 跟踪集训1.(1)已知函数2()ln(193)1f x x x =+-+,则1(lg 2)(lg )2 f f + =( ) (2)对于函数f(x)=asin x+bx+c(其中,a,b ∈R,c ∈Z),选取a,b,c 的一组值计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果一定不可能是．．．．．．( )和6 和1 和4 和2 结论二 函数周期性问题 已知定义在R 上的函数f(x),若对任意的x ∈R,总存在非零常数T,使得f(x+T)=f(x),则称f(x)是周期函数,T 为其一个周期. 常见的与周期函数有关的结论如下: (1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a. (2)如果f(x+a)= 1 () f x (a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a. (3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a. (4)如果f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=6a. 例2 已知定义在R 上的函数f(x)满足f 3()2 x + =-f(x),且f(-2)=f(-1)=-1, f(0)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 014)+f(2 015)=( ) 跟踪集训2.(1)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=( ) (2)定义在R 上的函数f(x)满足f(x)= 2log (1),0, (1)(2),0,x x f x f x x -≤??--->? 则f(2 014)=( )
双曲线 1.122PF PF a -= 2.标准方程22 221x y a b -= 3.11 1PF e d => 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切. 8．设P 为双曲线上一点，则△PF 1F 2的内切圆必切于与P 在同侧的顶点. 9．双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线 交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b +=. 10．若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是 00221x x y y a b -=. 11．若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切 点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b -=. 12．AB 是双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的 中点，则2 2OM AB b k k a ?=. 13．若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b -=-. 14．若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 22002222x x y y x y a b a b -=-. 15．若PQ 是双曲线22 221x y a b -=（b ＞a ＞0）上对中心张直角的弦，则 122222 121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=-==. 16．若双曲线22 221x y a b -=（b ＞a ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为 1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 22 2211A B a b -=+ ;(2) L =.
双曲线二级结论大全 1.122PF PF a -= 2.标准方程22 221x y a b -= 3.11 1PF e d => 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切. 8．设P 为双曲线上一点，则△PF 1F 2的内切圆必切于与P 在同侧的顶点. 9．双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、 P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b +=. 10．若000(,)P x y 在双曲线22 22 1x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 11．若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则 切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b -=. 12．AB 是双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=. 13．若000(,)P x y 在双曲线22 2 21x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是22 00002222x x y y x y a b a b -=-. 14．若000(,)P x y 在双曲线 22 22 1x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002 222x x y y x y a b a b -=-. 15．若PQ 是双曲线22 221x y a b -=（b ＞ a ＞0）上对中心张直角的弦，则 122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=-==. 16．若双曲线22 221x y a b -=（b ＞a ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 22 2211A B a b -=+ ;(2) 2222||L a A b B =-. 17．给定双曲线1C ：22 2 2 22 b x a y a b -=（a ＞b ＞0）, 2C ：22 2 2 2 2 22 2 ()a b b x a y ab a b +-=-,则(i)对1C 上任意
高中数学二级结论 1.任意的简单n 面体切球半径为 表 S V 3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C 推论：在ABC △，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形 3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的 4 2倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点 5.导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<- x x x x x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 的面积S 为πab S = 7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导 推论：①过圆2 2 2 )()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+-- ②过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx ③过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx 8.切点弦方程：平面一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆02 2 =++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为02 20000=+++++ +F E y y D x x y y x x ②椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b y y a x x ③双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-b y y a x x ④抛物线)0(22 >=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y += ⑤二次曲线的切点弦方程为02 22000000=++++++++F y y E x x D y Cy x y y x B x Ax 9.①椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+ ②双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =- 10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC 、BD 的斜率存在且不等于零,并有0=+BD AC k k ,(AC k ,BD k 分别表示AC 和BD 的斜率)
高中数学二级结论 高中数学二级结论1.任意的简单n面体内切球半径为(V是简单n面体的体积，是简单n面体的表面积)2.在任意内，都有tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC推论：在内，若tanA+tanB+tanC，，14.任意满足的二次方程，过函数上一点的切线方程为15.已知f(x)的渐近线方程为y=ax+b，则，16.椭圆绕Ox坐标轴旋转所得的旋转体的体积为17.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和18.在锐角三角形中19.函数f(x)具有对称轴，，则f(x)为周期函数且一个正周期为20.y=kx+m与椭圆相交于两点，则纵坐标之和为21.已知三角形三边x，y，z，求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如，，)22.圆锥曲线的第二定义： 椭圆的第二定义：平面上到定点F距离与到定直线间距离之比为常数e(即椭圆的偏心率，)的点的集合(定点F不在定直线上，该常数为小于1的正数)双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于1且为常数的点的轨迹称为双曲线23.到角公式：若把直线依逆时针方向旋转到与第一次重合时所转的角是，则24.A、B、C三点共线(同时除以m+n)25.过双曲线上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为26.反比例函数为双曲线，其焦点为和，k定义：方程的根称为函数的不动点利用递推数列的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法定理1：若是的不动点，满足递推关系，则，即是公比为的等比数列.定理2：设，满足递推关系，初值条件(1)若有两个相异的不动点，则（这里） (2)若只有唯一不动点，则（这里） 定理3：设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且
高中数学二级结论 1.任意的简单n 面体内切球半径为 表 S V 3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C 推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形 3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的 4 2倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点 5.导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<- x x x x x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 的面积S 为πab S = 7., 8.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导 推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为2 00))(())((r b y b y a x a x =--+-- ②过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx ③过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx 9.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆02 2 =++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为02 20000=+++++ +F E y y D x x y y x x ②椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b y y a x x ③双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-b y y a x x ~ ④抛物线)0(22 >=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y += ⑤二次曲线的切点弦方程为02 22000000=++++++++F y y E x x D y Cy x y y x B x Ax 10.①椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+ ②双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =-
椭圆性质92条二级结论大全 1.12 2PF PF a += 2.标准方程22 221x y a b += 3.11 1PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长 轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）. 9．椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时 A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b -=. 10．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 11．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线 方程是00221x x y y a b +=. 12．AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ?=-. 13．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 14．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 15．若PQ 是椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=+==. 16．若椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 22 22 11A B a b +=+ ;(2) L = 17．给定椭圆1C ：2 2 2 2 22 b x a y a b +=（a ＞b ＞0）, 2C ：222222 2 22 ()a b b x a y ab a b -+=+,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M 2222 002 222(,)a b a b x y a b a b ---++. (ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过' P 点. 18．设00(,)P x y 为椭圆（或圆）C:22 221x y a b += (a ＞0,. b ＞0)上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1, PP 2 斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是2 12211m b k k m a +?=- ?-.
双曲线二级结论大全
双曲线 1. 122PF PF a -= 2.标准方程 22 221x y a b -= 3.1 1 1 PF e d => 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切. 8．设P 为双曲线上一点，则△PF 1F 2的内切圆必切于与P 在同侧的顶点. 9．双曲线2 2 2 2 1x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0) A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、 P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是2 2 2 2 1x y a b +=. 10．若0 (,)P x y 在双曲线 22 22 1x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上， 则过0 P 的双曲线的切线方程是002 2 1x x y y a b -=. 11．若0 (,)P x y 在双曲线 22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ， 则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00 2 2 1x x y y a b -=. 12．AB 是双曲线 22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行 于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中点，则 2 2 OM AB b k k a ?=.
椭圆二级结论大全 1.122PF PF a += 2.标准方程22 221x y a b += 3. 11 1PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长 轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）. 9．椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时 A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b -=. 10．若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上，则过0 P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 11．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线 方程是00221x x y y a b +=. 12．AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-. 13．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 14．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b += +. 15．若PQ 是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111 (||,||)r OP r OQ r r a b +=+==. 16．若椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 22 2211A B a b +=+ ;(2) L =. 17．给定椭圆1C ：22 2 2 22 b x a y a b +=（a ＞b ＞0）, 2C ：222 2 2 2 2 22 ()a b b x a y ab a b -+=+,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M 2222 02 222(,)a b a b x y a b a b ---++. (ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过' P 点. 18．设00(,)P x y 为椭圆（或圆）C:22 221x y a b += (a ＞0,. b ＞0)上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1, PP 2 斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是2 12211m b k k m a +?=- ?-.
高中数学常用二级结论大全、基础常用结论
、圆锥曲线相关结论
17.若A、B、C、D是圆锥曲线（二次曲线）上顺次的四点,则四点共恻（常用相交弦定理）的一个充要条件是：直线AC. BD的斜率存在且不等于零，并有k AC+^D= O（ΛJC,血ω分别表示XC和BD的斜率）? 2 2 1?.己知椭圆方程为? + ? = l（^>Λ>0）,两焦点分/ Zr 别为林，耳，设焦点三角形P斤坊中ZPF y F2=O,则cos 0 > 1 - 2e2（COS θmm =l-2e2）. 19?椭圆的焦半径（椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为Xo的点P的距离）公式η2=a±ex0. 20.已知Λ1, k2.他为过原点的直线A，厶，厶的斜率, 其中厶是厶和厶的角平分线，则k2,柑满足下述转化关系： 、k；, k二2人一人+k 1 1 一疋 + 2k^k. 斤禹- 1 ± J（l-*∣爲）'十仗］十*3）' 1 一疋÷2Zr∣Λ2 χ2 y2 21?椭圆—÷? = l（α>?>0）绕OX坐标轴旋转所得的旋转体的体枳为V = ^πah. X? V2 22.过双曲线一y-^-r= l（α>O,Λ>O）I:任意 一点作a~ b~ 两条渐近线的平行线?与渐近线围成的四边形而积为 ah ~2
23.过椭圆上?点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于/L 3两点，则直线的斜率为定值. 24.过原点的直线与椭闘交于力，〃两点，椭圆上不与左右顶点璽合的任?点与点〃，〃构成的直线的斜率乘积为定值- 推论：椭圆上不与左右顶点巫合的任一点与左右顶点构 2 成的直线斜率乘积为定值一一（α >A>0）. Ir 25.抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点F的连线垂直于该焦点弦? 26.双曲线焦点三角形的内切IHll员I心的横堆标为定值α（长半轴长）? 27.对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两逍线，若两直线斜率之积为定值，两直线交曲线于〃两点，则直线MB恒过定点. X V- 28?M+"与椭圆h*W">°）相交于两 29.圆锥曲线的第二定义： 椭圆的第二定义：平面上到定点F距离与到定直线间距离之比为常数e（即椭関的偏心率，e = -）的点的集a 合（定点F不在定直线上，该常数为小于1的正数）?双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一也线的距离之比大于1 R为常数e的点的轨迹称为双曲线. 3U.反比例函数y = -（k>Q）为双曲线.其焦点为X （J2k, J2k）和（—（2k、-（2k） , A<0. 点, 则纵坐标之和为2ιnh~ a2k2^b2
高中数学二级结论总结 1.任意的简单n 面体内切球半径为 表 S V 3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C 推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形 3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的 4 2倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点 5.导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<- x x x x x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 的面积S 为πab S = 7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导 推论：①过圆2 22)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+-- ②过椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx ③过双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx 8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆02 2 =++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为02 20000=+++++ +F E y y D x x y y x x ②椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b y y a x x ③双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-b y y a x x ④抛物线)0(22 >=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y += ⑤二次曲线的切点弦方程为02 22000000=++++++++F y y E x x D y Cy x y y x B x Ax 9.①椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 与直线)0· (0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+ ②双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线)0· (0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =- 10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC 、BD 的斜率存在且不等于零,并有0=+BD AC k k ,(AC k ,BD k 分别表示AC 和BD 的斜率)
结论1奇函数的最值性质 已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0. 【例1】设函数f(x)＝（x＋1）2＋sin x x2＋1 的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________. 解析显然函数f(x)的定义域为R， f(x)＝（x＋1）2＋sin x x2＋1 ＝1＋ 2x＋sin x x2＋1 ， 设g(x)＝2x＋sin x x2＋1 ，则g(－x)＝－g(x)， ∴g(x)为奇函数， 由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0， ∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2. 答案 2 【训练1】对于函数f(x)＝a sin x＋bx＋c(其中a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是() A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2 解析令g(x)＝f(x)－c＝a sin x＋bx， 则g(x)是奇函数. 又g(－1)＋g(1)＝f(－1)－c＋f(1)－c＝f(－1)＋f(1)－2c， 而g(－1)＋g(1)＝0，c为整数， ∴f(－1)＋f(1)＝2c为偶数. 选项D中，1＋2＝3是奇数，不可能成立. 答案 D
结论2抽象函数的周期性与对称性 1.函数的周期性 (1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T＝2a. (3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a. 2.函数的对称性 已知函数f(x)是定义在R上的函数. －x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称. 【例2】(1)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈(0， 3)时，f(x)＝x＋1，则f(－2 017)＋f(2 018)＝() A.3 B.2 C.1 D.0 (2)(2018·日照调研)函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)的值为________. 解析(1)因为函数f(x)为定义在R上的奇函数， 所以f(－2 017)＝－f(2 017)， 因为当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)， 所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即当x≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次. 又当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1， ∴f(2 017)＝f(336×6＋1)＝f(1)＝2， f(2 018)＝f(336×6＋2)＝f(2)＝3. 故f(－2 017)＋f(2 018)＝－f(2 017)＋3＝1. (2)因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称， 所以f(x)是R上的奇函数， f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4. 所以f(2 017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4， 所以f(2 016)＋f(2 018)＝－f(2 014)＋f(2 014＋4)