2017-2018学年高中数学人教B版
选修4-5全册同步配套教学案
目录
第一章1.1 1.1.1不等式的基本性质
第一章1.1 1.1.2一元一次不等式和一元二次不等式的解法
第一章1.2 基本不等式
第一章1.3绝对值不等式的解法
第一章1.4绝对值的三角不等式
第一章1.51.5.1比较法
第一章1.51.5.2综合法和分析法
第一章1.51.5.3反证法和放缩法
第一章章末小结知识整合与阶段检测
第二章2.1 柯西不等式
第二章2.2 排序不等式
第二章2.3~2.4 平均值不等式(选学)最大值与最小值问题优化的数学模型
第二章章末小结知识整合与阶段检测
第三章3.1 数学归纳法原理
第三章3.2 用数学归纳法证明不等式贝努利不等式
第三章章末小结知识整合与阶段检测
1.1不等式的基本性质和一元二次不等式的解法 1.1.1 不等式的基本性质
[对应学生用书P1]
[读教材·填要点]
1.实数的大小的几何意义和代数意义之间的联系 设a ,b ∈R ,则 ①a >b ?a -b >0; ②a =b ?a -b =0; ③a <b ?a -b <0. 2.不等式的基本性质
[小问题·大思维]
1.若x >y ,a >b ,则在①a -x >b -y ,②a +x >b +y ,③ax >by ,④x -b >y -a ,⑤
a
y >b
x
这五个不等式中,恒成立的不等式有哪些? 提示:令x =-2,y =-3,a =3,b =2, 符合题设条件x >y ,a >b ,
则∵a -x =3-(-2)=5,b -y =2-(-3)=5, ∴a -x =b -y ,因此①不成立.
又∵ax =-6,by =-6,∴ax =by ,因此③也不正确. 又∵a y =3-3=-1,b x =2
-2
=-1,
∴a y =b
x
,因此⑤不正确. 由不等式的性质可推出②④恒成立. 即恒成立的不等式有②④. 2.若a 1
b
吗?
提示:不一定.如a =-1,b =2.事实上, 当ab >0时,若a 1
b ;
当ab <0时,若a
b
;
当ab =0时,若a
b 中有一个式子无意义.
[对应学生用书P2]
[例1] x ∈R ,比较x 3-1与2x 2-2x 的大小.
[思路点拨] 本题考查利用作差法比较两个代数式的大小.解答本题需要将作差后的代数式分解因式,然后根据各因式的符号判断x 3-1与2x 2-2x 的大小.
[精解详析] (x 3-1)-(2x 2-2x ) =(x 3-x 2)-(x 2-2x +1) =x 2(x -1)-(x -1)2 =(x -1)(x 2-x +1)
∵x 2-x +1=????x -122+34≥3
4>0, ∴当x >1时,(x -1)(x 2-x +1)>0. 即x 3-1>2x 2-2x ;
当x =1时,(x -1)(x 2-x +1)=0, 即x 3-1=2x 2-2x .
当x <1时,(x -1)(x 2-x +1)<0, 即x 3-1<2x 2-2x .
(1)用作差法比较两个数(式)的大小时,要按照“三步一结论”的程序进行,即:作差→变形→定号→结论,其中变形是关键,定号是目的.
(2)在变形中,一般是变形得越彻底越有利于下一步的判断.变形的常用技巧有:因式分解、配方、通分、分母有理化等.
(3)在定号中,若为几个因式的积,需每个因式均先定号,当符号不确定时,需进行分类讨论.
1.当a ≠0时,比较(a 2+2a +1)(a 2-2a +1)与(a 2+a +1)(a 2-a +1)的大小. 解:两式作差得
(a 2+2a +1)(a 2-2a +1)-(a 2+a +1)(a 2-a +1) =[(a 2+1)2-(2a )2]-[(a 2+1)2-a 2]=-a 2. ∵a ≠0,∴-a 2<0.
∴(a 2+2a +1)(a 2-2a +1)<(a 2+a +1)(a 2-a +1).
[例2] 下列命题中正确的是( ) (1)若a >b ,c >b ,则a >c ; (2)若a >b ,则lg a
b >0;
(3)若a >b ,c >d ,则ac >bd ; (4)若a >b >0,则1a <1
b ;
(5)若a c >b
d
,则ad >bc ;
(6)若a >b ,c >d ,则a -d >b -c . A .(1)(2) B .(4)(6) C .(3)(6)
D .(3)(4)(5)
[思路点拨] 本题考查对不等式的性质的理解,解答本题需要利用不等式的性质或利用特殊值逐项判断.
[精解详析] (1)错误.因为当取a =4,b =2,c =6时,有a >b ,c >b 成立,但a >c 不成立.
(2)错误.因为a 、b 符号不确定,所以无法确定a b >1是否成立,从而无法确定lg a
b >0
是否成立.
(3)错误.此命题当a 、b 、c 、d 均为正数时才正确.
(4)正确.因为a >b ,且a 、b 同号,所以ab >0,两边同乘以1ab ,得1a <1
b .
(5)错误.只有当cd >0时,结论才成立.
(6)正确.因为c >d ,所以-d >-c ,又a >b , 所以a -d >b -c . 综上可知(4)(6)正确. [答案] B
运用不等式的性质时要注意条件,如倒数法则要求两数同号;两边同乘一个数,不等号方向是否改变要视此数的正负而定;同向不等式可以相加,异向不等式可以相减.
2.若m ,n ∈R ,则1m >1
n 成立的一个充要条件是( )
A .m >0>n
B .n >m >0
C .m D .mn (m -n )<0 解析:1m >1n ?1m -1 n >0?n -m mn >0?mn (n -m )>0?mn (m -n )<0. 答案:D [例3] 已知π<α+β<4π3,-π<α-β<-π 3 ,求2α-β的取值范围. [思路点拨] 解答本题时,将α+β,α-β看作整体,再求出2α-β的取值范围. [精解详析] 设2α-β=A (α+β)+B (α-β), 则2α-β=(A +B )α+(A -B )β. 比较两边系数得? ?? ?? A + B =2, A - B =-1???? A =1 2, B =3 2. ∴2α-β=12(α+β)+3 2(α-β). ∵π2<12(α+β)<2 3π, -3π2<32(α-β)<-π2, ∴-π<2α-β<π6. 故2α-β∈? ???-π,π6. (1)若已知某两个代数式的取值范围,求另一个代数式的取值范围时,应利用待定系数法把所求代数式用已知的两代数式表示,进而利用同向不等式的可加性求其范围,否则可能导致所求代数式范围变大. (2)同一问题中应用同向不等式相加性质时,不能多次使用,否则可能导致范围扩大. 3.若已知二次函数y =f (x )的图象过原点,且1≤f (-1)≤2,3≤f (1)≤4.求f (-2)的范围. 解:法一:∵f (x )过原点,∴可设f (x )=ax 2+bx . ∴? ???? f (1)=a +b , f (-1)=a -b . ∴??? a =1 2 [f (1)+f (-1)],b =1 2[f (1)-f (-1)]. ∴f (-2)=4a -2b =3f (-1)+f (1). ∵1≤f (-1)≤2,3≤f (1)≤4. ∴6≤f (-2)≤10. 法二:设f (x )=ax 2+bx , 则f (1)=a +b ,f (-1)=a -b . 令m (a +b )+n (a -b )=f (-2)=4a -2b , ∴????? m +n =4,m -n =-2.∴????? m =1,n =3. ∴f (-2)=(a +b )+3(a -b )=f (1)+3f (-1). ∵1≤f (-1)≤2,3≤f (1)≤4, ∴6≤f (-2)≤10. [对应学生用书P3] 一、选择题 1.已知a ,b ,c ,d 为实数,且c >d ,则“a >b ”是“a -c >b -d ”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 解析:由????? a -c >b -d , c > d ?a >b ;而当a =c =2,b =d =1时,满足? ???? a > b , c > d ,但a -c >b -d 不成立,所以“a >b ”是“a -c >b -d ”的必要而不充分条件. 答案:B 2.已知a ,b ,c ∈R ,且ab >0,则下面推理中正确的是( ) A .a >b ?am 2>bm 2 B .a c >b c ?a >b C .a 3>b 3?1a <1 b D .a 2>b 2?a >b 解析:对于A ,若m =0,则不成立;对于B ,若c <0,则不成立;对于C ,a 3-b 3>0?(a -b )(a 2+ab +b 2)>0, ∵a 2+ab +b 2=(a +b 2)2+3 4b 2>0恒成立, ∴a -b >0.∴a >b .又∵ab >0,∴1a <1 b .∴C 成立. 对于D ,a 2>b 2?(a -b )(a +b )>0,不能说a >b . 答案:C 3.设a ,b ∈R ,若a -|b |>0,则下列不等式正确的是( ) A .b -a >0 B .a 3+b 3<0 C .a 2-b 2<0 D .b +a >0 解析:∵a -|b |>0,∴a >|b |>0. ∴不论b 取任何实数不等式a +b >0都成立. 答案:D 4.如果a ∈R ,且a 2+a <0,那么a ,a 2,-a ,-a 2的大小关系是( ) A .a 2>a >-a 2>-a B .-a >a 2>-a 2>a C .-a >a 2>a >-a 2 D .a 2>-a >a >-a 2 解析:∵a 2+a <0,即a (a +1)<0,可得,-1<a <0, ∴-a >a 2>0,∴0>-a 2>a . 综上有-a >a 2>-a 2>a . 答案:B 二、填空题 5.若f (x )=3x 2-x +1,g (x )=2x 2+x -1,则f (x )与g (x )的大小关系是f (x )________g (x ). 解析:f (x )-g (x )=(3x 2-x +1)-(2x 2+x -1)=x 2-2x +2=(x -1)2+1≥1>0,∴f (x )>g (x ). 答案:> 6.已知12 ∴-24 7.给出下列条件:①1<a <b ;②0<a <b <1;③0<a <1<b .其中能推出log b 1b <log a 1 b <log a b 成立的条件的序号是________.(填所有可能的条件的序号) 解析:∵log b 1 b =-1, 若1<a <b ,则1b <1 a <1<b , ∴log a 1b <log a 1 a =-1,故条件①不可以; 若0<a <b <1,则b <1<1b <1a . ∴log a b >log a 1b >log a 1a =-1=log b 1 b , 故条件②可以; 若0<a <1<b ,则0<1 b <1, ∴log a 1 b >0, log a b <0,条件③不可以.故应填②. 答案:② 8.设x =a 2b 2+5,y =2ab -a 2-4a ,若x >y ,则实数a ,b 满足的条件是________________. 解析:∵x >y ,∴a 2b 2+5-2ab +a 2+4a =a 2+4a +4+a 2b 2-2ab +1 =(a +2)2+(ab -1)2>0. ∴ab ≠1或a ≠-2. 答案:ab ≠1或a ≠-2. 三、解答题 9.已知-π2≤α<β≤π2,求α+β2,α-β2的范围. 解:∵-π2≤α<β≤π 2, ∴-π4≤α2<π 4, -π4<β2≤π4 . 因而两式相加得-π2<α+β2<π 2 . 又∵-π4<β2≤π4,∴-π4≤-β2<π4. ∴-π2≤α-β2<π2 . 又∵α<β,∴α-β2<0.∴-π2≤α-β2<0. 即 α+β2∈????-π2,π2,α-β2 ∈???? -π2,0. 10.已知a ,b ∈{正实数}且a ≠b ,比较a 2b +b 2 a 与a + b 的大小. 解:∵????a 2 b +b 2 a -(a + b )=a 2 b -b +b 2 a -a =a 2- b 2b +b 2-a 2a =(a 2-b 2)???? 1b -1a =(a 2-b 2)(a -b )ab , =(a -b )2(a +b )ab , 又∵a >0,b >0,且a ≠b , ∴(a -b )2>0,a +b >0,ab >0, ∴a 2b +b 2 a >a +b . 11.已知α,β满足? ??? ? -1≤α+β ≤1,1≤α+2β ≤3,试求α+3β的取值范围. 解:设α+3β=λ(α+β)+u (α+2β) =(λ+u )α+(λ+2u )β. 比较α,β的系数,得????? λ+u =1,λ+2u =3,?? ???? λ=-1, u =2. 由题意得-1≤-α-β≤1,2≤2α+4β≤6, 两式相加,得1≤α+3β≤7. 故α+3β的取值范围是[1,7]. 1.1.2一元一次不等式和一元二次不等式的解法 [对应学生用书P4] [读教材·填要点] 1.一元二次不等式 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式. 2.二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系 [小问题·大思维] 1.“若ax2+bx+c<0(a≠0)的解集是空集,则a、b、c满足的关系是b2-4ac<0且a>0” 是否正确? 提示:当Δ=0时,易知ax2+bx+c<0(a>0)的解集也是?,从而满足的条件应为“a>0 且b2-4ac≤0”. 2.当a<0时,若方程ax2+bx+c=0有两个不等实根α,β且α<β,则不等式ax2+bx +c>0的解集是什么? 提示:借助函数f(x)=ax2+bx+c的图象可知,不等式的解集为{x|α 3.一元二次不等式与二次函数有什么关系? 提示:一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集,就是二次函数y=ax2+bx+c(a> 0)的图象在x轴上方的点的横坐标x的集合,ax2+bx+c<0(a>0)的解集,就是二次函数y =ax2+bx+c(a>0)的图象在x轴下方的点的横坐标x的集合. [对应学生用书P5] [例1] 不等式x -2 x 2-1<0的解集为( ) A .{x |1 B .{x |x <2且x ≠1} C .{x |-1 D .{x |x <-1或1 [思路点拨] 根据不等式性质把b a <0转化为a b <0,再求解. [精解详析] 因为不等式x -2 x 2-1<0, 等价于(x +1)(x -1)(x -2)<0, 所以该不等式的解集是{x |x <-1或1 解分式不等式总的原则是利用不等式的同解原理将其转化为整式不等式(组)求解.即 f (x ) g (x )≥0?? ???? f (x )· g (x )≥0g (x )≠0?f (x )·g (x )>0或f (x )=0. f (x ) g (x )>0?????? f (x )>0 g (x )>0或? ???? f (x )<0 g (x )<0?f (x )·g (x )>0. 1.解不等式:x +1 x -2 ≤2. 解:∵x +1x -2≤2,∴x +1x -2-2≤0.即-x +5x -2≤0. ∴ x -5 x -2≥0.∴????? (x -5)(x -2)≥0,x -2≠0, ∴x <2或x ≥5. 即原不等式的解集为{x |x <2或x ≥5}. [例2] 解关于x 的不等式:ax 2-(a +1)x +1<0. [思路点拨] 由于a ∈R ,故分a =0,a >0,a <0讨论. [精解详析] 若a =0,原不等式可化为-x +1<0, 即x >1. 若a <0,原不等式可化为????x -1 a (x -1)>0, 即x <1 a 或x >1. 若a >0,原不等式可化为????x -1 a (x -1)<0 (*) 其解的情况应由1 a 与1的大小关系决定,故 (1)当a =1时,由(*)式可得x ∈?; (2)当a >1时,由(*)式可得1 a (3)当0 a . 综上所述:当a <0时,解集为??? x ????? x <1a 或x >1; 当a =0时,解集为{x |x >1}; 当0 ??? ?? x ? ? 1 当a >1时,解集为? ??? ??x ?? 1a 解含参数的一元二次不等式时要注意对参数分类讨论.讨论一般分为三个层次,第一层次是二次项系数为零和不为零;第二层次是有没有实数根的讨论,即判别式Δ>0,Δ=0,Δ<0;第三层次是根的大小的讨论. 2.若k ∈R ,求解关于x 的不等式:x 22-x <(k +1)x -k 2-x . 解:不等式x 22-x <(k +1)x -k 2-x 可化为x 2-(k +1)x +k 2-x <0,即(x -2)(x -1)(x -k )>0. 当k <1时,x ∈(k,1)∪(2,+∞); 当k =1时,x ∈(2,+∞); 当1 [例3] 国家为了加强对烟酒生产的宏观调控,实行征收附加税政策,现知某种酒每瓶 70元,不加收附加税时,每年大约产销100万瓶,若政府征收附加税,每销售100元要征税R 元(叫做税率R %),则每年的销售将减少10R 万瓶,要使每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元,问R 应怎样确定? [思路点拨] 由题意求出在此项经营中所收附加税金,建立不等关系转化为不等式问题求解. [精解详析] 设产销量为每年x 万瓶,则销售收入为每年70x 万元, 从中征收的税金为70x ·R %万元,其中x =100-10R , 由题意得70(100-10R )R %≥112, 整理,得R 2-10R +16≤0. ∵Δ=36>0,方程R 2-10R +16=0的两个实数根为x 1=2,x 2=8. 然后画出二次函数y =R 2-10R +16的图象,由图象得不等式的解集为{R |2≤R ≤8}. 答:当2≤R ≤8时,每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元. 解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型,即分析题目中有哪些未知量,然后选择其中起关键作用的未知量,设此未知量为x ,用x 来表示其他未知量,再根据题目中的不等关系列不等式. 3.据调查,湖南某地区有100万从事传统农业的农民,人均年收入3 000元.为了增加农民的收入,当地政府积极引资建立各种加工企业,对当地的农产品进行深加工,同时吸收当地部分农民进入加工企业工作.据估计,如果有x (x >0)万人进入企业工作,那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高2x %,而进入企业工作的农民人均年收入为3 000a 元(a >0为常数). (1)在建立加工企业后,要使该地区从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的年总收入,求x 的取值范围; (2)在(1)的条件下,当地政府应安排多少万农民进入加工企业工作,才能使这100万农民的人均年收入达到最大? 解:(1)根据题意,得 (100-x )·3 000·(1+2x %)≥100×3 000, 即x 2-50x ≤0,解得0≤x ≤50. 又x >0,故x 的取值范围是(0,50]. (2)设这100万农民的人均年收入为y 元,则 y =(100-x )×3 000×(1+2x %)+3 000ax 100 =-60x 2+3 000(a +1)x +300 000100 =-3 5[x -25(a +1)]2+3 000+375(a +1)2 (0 ①若0<25(a +1)≤50,即050,即a >1, 则当x =50时,y 取最大值. 答:当01时,安排50万人进入加工企业工作,才能使这100万人的人均年收入最大. [对应学生用书P6] 一、选择题 1.已知全集U =R ,集合M ={x |x 2-2x -3≤0},则?U M =( ) A .{x |-1≤x ≤3} B .{x |-3≤x ≤1} C .{x |x <-3或x >1} D .{x |x <-1或x >3} 解析:因为M ={x |-1≤x ≤3},全集U =R , 所以?U M ={x |x <-1或x >3}. 答案:D 2.关于x 的不等式x 2-ax -20a 2<0任意两个解的差不超过9,则a 的最大值与最小值的和是( ) A .2 B .1 C .0 D .-1 解析:方程x 2-ax -20a 2=0的两根是x 1=-4a ,x 2=5a ,由关于x 的不等式x 2-ax -20a 2<0任意两个解的差不超过9,得|x 1-x 2|=|9a |≤9, 即-1≤a ≤1. 答案:C 3.不等式f (x )=ax 2-x -c >0的解集为{x |-2 解析:由题意得??? ?? a <0, -2+1=1a , -2×1=-c a , 解得a =-1,c =-2, 则函数y =f (-x )=-x 2+x +2. 答案:C 4.已知a ∈[-1,1],不等式x 2+(a -4)x +4-2a >0恒成立,则x 的取值范围为( ) A .(-∞,2)∪(3,+∞) B .(-∞,1)∪(2,+∞) C .(-∞,1)∪(3,+∞) D .(1,3) 解析:把不等式的左端看成关于a 的一次函数, 记f (a )=(x -2)a +(x 2-4x +4), 则f (a )>0对于任意的a ∈[-1,1]恒成立, 有f (-1)=x 2-5x +6>0,① 且f (1)=x 2-3x +2>0,② 联立①②解得x <1或x >3.故选C. 答案:C 二、填空题 5.若不等式-x 2+2x -m >0在x ∈[-1,0]上恒成立,则m 的取值范围是________. 解析:由m <-x 2+2x 知m 只需小于u =-x 2+2x ,x ∈[-1,0]的最小值即可. 又∵u 在[-1,0]上递增, ∴u min =-1-2=-3. ∴m <-3. 答案:(-∞,-3) 6.已知x =1是不等式k 2x 2-6kx +8≥0(k ≠0)的解,则k 的取值范围是______________. 解析:由题意知,k 2-6k +8≥0, 即(k -2)(k -4)≥0, ∴k ≥4或k ≤2,又∵k ≠0, ∴k 的取值范围是(-∞,0)∪(0,2]∪[4,+∞). 答案:(-∞,0)∪(0,2]∪[4,+∞) 7.若不等式2x -1>m (x 2-1)对满足-2≤m ≤2的所有m 都成立,则x 的取值范围为________________. 解析:(等价转化法)将原不等式化为: m (x 2-1)-(2x -1)<0. 令f (m )=m (x 2-1)-(2x -1), 则原问题转化为当-2≤m ≤2时,f (m )<0恒成立, 只需????? f (-2)<0,f (2)<0即可,即????? -2(x 2 -1)-(2x -1)<0, 2(x 2-1)-(2x -1)<0, 解得-1+72 答案:? ?? ?? -1+72,1+32 8.已知方程x 2+(2m -3)x +m 2-15=0的两个根一个大于-2,一个小于-2,则实数m 的取值范围为________. 解析:设函数f (x )=x 2+(2m -3)x +m 2-15, 则由题意: ? ???? Δ=(2m -3)2-4(m 2-15)>0,f (-2)<0, 即? ???? -12m +69>0,m 2-4m -5<0. ∴-1<m <5. 答案:(-1,5) 三、解答题 9.若不等式(1-a )x 2-4x +6>0的解集是{x |-3 (2)b 为何值时,ax 2+bx +3≥0的解集为R? 解:(1)由题意知1-a <0, 且-3和1是方程(1-a )x 2-4x +6=0的两根, ∴??? 1-a <0, 41-a =-2,6 1-a =-3, 解得a =3. ∴不等式2x 2+(2-a )x -a >0, 即为2x 2-x -3>0, 解得x <-1或x >3 2 . ∴所求不等式的解集为? ?? ? ??x | x <-1或x >32. (2)ax 2+bx +3≥0,即为3x 2+bx +3≥0. 若此不等式解集为R ,则b 2-4×3×3≤0, ∴-6≤b ≤6. 10.一个服装厂生产风衣,日销售量x (件)与售价p (元/件)之间的关系为p =160-2x ,生产x 件的成本R =500+30x 元. (1)该厂日产量多大时,日利润不少于1 300元? (2)当日产量为多少时,可获得最大利润,最大利润是多少? 解:(1)由题意知,日利润y =px -R , 即y =(160-2x )x -(500+30x ) =-2x 2+130x -500, 由日利润不少于1 300元, 得-2x 2+130x -500≥1 300, 即x 2-65x +900≤0,解得20≤x ≤45. 故当该厂日产量在20~45件时,日利润不少于1 300元. (2)由(1)得,y =-2x 2+130x -500 =-2????x -6522+3 2252, 由题意知,x 为正整数. 故当x =32或33时,y 最大为1 612. 所以当日产量为32或33件时,可获得最大利润,最大利润为1 612元. 11.已知二次函数f (x )=ax 2+x ,若对任意x 1,x 2∈R ,恒有2f ???? x 1+x 22≤f (x 1)+f (x 2)成立, 不等式f (x )<0的解集为A . (1)求集合A ;