2 4 4
所以不等式的解集为W*vxv上斗厅或上护vxv0}?
10?【解析】
(1)显然于(兀)的定义域是/?,它关于原点对称.在/(x + y) = .f(x) + /O)中,
令)?= -X ,得/(0) = /(x)+ /(-%),令兀=y = o,得/(0) = /(0) + /(0), /. /(0) = 0, /./(x) + /(-x) = 0,即/(-%) = -/(%), A /(%)是奇函数.
(2)由/(-3) = a, /(x + y) = /(x) + /(y)及/(x)是奇函数,
得兀⑵=2/⑹=仃⑶=-4/(-3) = -4a.
函数奇偶性的案例分析
函数奇偶性的案例分析
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函数奇偶性的案例分析-中学数学论文 函数奇偶性的案例分析 江苏省南京市第四中学洪莎莎 函数的奇偶性是函数的重要性质之一,它在代数、三角以及高等数学中都有着广泛的应用,近几年的中学各类考试中,也经常出现关于函数奇偶性的题型,一般出现在填空、选择、判断、证明、求值等题型中。正因如此,对函数奇偶性的教学必须给予重视。 例如在某次函数奇偶性教学课中,由对称的图形进行内容导入,从而让学生举例关于y轴对称的函数,并让学生尝试语言描述如何判断图象关于y轴对称,教学过程中教师给予一些具体数字的帮助,逐步得出结论:对定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x)成立。然后,再由教师给出了函数奇偶性的概念: 一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,如果对于任意的x∈A,都有f(-x)=f(x),那么称函数y=f(x)是偶函数;如果对于任意的x∈A,都有f(-x)=-f(x),那么称函数y=f(x)是奇函数。偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称。概念给出后,教师给出了6个小题,让学生判断其奇偶性,其中前3题可以由其关系式直接得到结论,但是后3题则不然,需要考虑函数的定义域。经过6个小题的练习后,师生共同总结了函数奇偶性的判断先决条件是函数的定义域是否关于原点对称。然后又通过一道例题,发现有一类既是奇函数又是偶函数的函数,即f(x)=0,这样的函数有无数个,根据其定义域的不同而不同。课的最后师生共同将函数根据其奇偶性进行了分类。 这节课上的一气呵成,非常的流畅,有关于函数奇偶性的几个重要知识点都讲解到位,特别是利用了6个小题,让学生边练边总结方法,这样可以加深学生的理
《函数的奇偶性与周期性》教案
教学过程 一、课堂导入 我们生活在美的世界中,有过许多对美的感受,请想一下有哪些美? 对于对称美,请想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢? 生活中的美引入我们的数学领域中,它又是怎样的情况呢?若给它适当地建立直角坐标系,那么会发现什么特点? 数学中对称的形式也很多,这节课我们就来复习在坐标系中对称的函数
二、复习预习 1、复习单调性的概念 2、复习初中的轴对称和中心对称 3、预习奇偶性的概念 4、预习奇偶性的应用
三、知识讲解 考点1 函数的奇偶性 [探究] 1. 提示:定义域关于原点对称,必要不充分条件. 2.若f(x)是奇函数且在x=0处有定义,是否有f(0)=0?如果是偶函数呢? 提示:如果f(x)是奇函数时,f(0)=-f(0),则f(0)=0;如果f(x)是偶函数时,f(0)不一定为0,如f(x)=x2+1. 3.是否存在既是奇函数又是偶函数的函数?若有,有多少个? 提示:存在,如f(x)=0,定义域是关于原点对称的任意一个数集,这样的函数有无穷多个.
考点2 周期性 (1)周期函数: 对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y =f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期: 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
四、例题精析 【例题1】 【题干】判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)=lg 1-x 1+x ;(2)f(x)= ? ? ?x2+x(x>0), x2-x(x<0); (3)f(x)= lg(1-x2) |x2-2|-2 .
2高一数学函数的奇偶性(1对1)
师:什么是函数的奇偶性呢? 生:回答 师:我们在函数奇偶性的知识点上重点考察的题型有哪些呢? 生:回答 师:我们通过今天的学习一起来回顾一下函数奇偶性的重点题目。 一、函数奇偶性定义 1、图形描述: 函数()f x 的图像关于y 轴对称?()f x 为偶函数; 函数()f x 的图像关于原点轴对称?()f x 为奇函数 定量描述 一般地,如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ,都有()()f x f x -=,则称()f x 为偶函数;如果都有()()--f x f x =,则称()f x 为奇函数;如果()()f x f x -= 与 函数的奇偶性
()()--f x f x =同时成立,那么函数()f x 既是奇函数又是偶函数;如果()()f x f x -=与()()--f x f x =都不能成立,那么函数()f x 既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函 数。 如果函数()f x 是奇函数或偶函数,则称函数()y f x =具有奇偶性。 特别提醒: 1、函数具有奇偶性的必要条件是:函数的定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称。换言之,若所给函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不具备奇偶性。2、用函数奇偶性的定义判断函数是否具有奇偶性的一般步骤:(1)考察函数的定义域是否关于原点对称。若不对称,可直接判定该函数不具有奇偶性;若对称,则进入第二步;(2)判断 ()()f x f x -=与()()f x f x -=-这两个等式的成立情况,根据定义来判定该函数的奇偶 性。 二、函数具有奇偶性的几个结论 1、()y f x =是偶函数?()y f x =的图像关于y 轴对称;()y f x =是奇函数? ()y f x =的图像关于原点对称。 2、奇函数()f x 在0x =有定义,必有()00f =。 3、偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反;奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同。 4、()(),f x g x 是定义域为12,D D 且1 2D D 要关于原点对称,那么就有以下结论: 奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇?奇=偶 偶?偶=偶 奇?偶=奇 5、复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”。 6、多项整式函数1 10()n n n n P x a x a x a --=++ +的奇偶性 多项式函数()P x 是奇函数?()P x 的偶次项的系数和常数项全为零; 多项式函数()P x 是偶函数?()P x 的奇次项的系数全为零。 (20-40分钟) 类型一 函数奇偶性的判断 例1:判断下列函数是否具有奇偶性: (1)f (x )=2x 4+3x 2 ; (2)f (x )=1x +x ; 练习1:判断下列函数的奇偶性: (1)f (x )=x 2 +1; 考点
三角函数的奇偶性测试题(人教A版)(含答案)
三角函数的奇偶性(人教A版) 一、单选题(共15道,每道6分) 1.下列函数中是偶函数的是( ) A. B. C. D. 答案:D 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:三角函数的奇偶性 2.下列函数中是奇函数的是( )
A. B. C. D. 答案:A 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:三角函数的奇偶性 3.下列函数中是偶函数的是( ) A. B. C. D. 答案:D 解题思路:
试题难度:三颗星知识点:三角函数的奇偶性 4.函数,( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案:C 解题思路:
试题难度:三颗星知识点:余弦函数的奇偶性 5.函数( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案:B 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:余弦函数的奇偶性 6.函数( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
答案:C 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:正切函数的奇偶性 7.函数( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数又不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案:A 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:三角函数的奇偶性 8.已知函数,,则( )
A.与都是奇函数 B.和都是偶函数 C.是奇函数,是偶函数 D.是偶函数,是奇函数 答案:A 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:三角函数的奇偶性 9.已知函数,,则( ) A.与都是奇函数 B.和都是偶函数 C.是奇函数,是偶函数 D.是偶函数,是奇函数 答案:C 解题思路:
函数的奇偶性与周期性练习题
函数的奇偶性与周期性 1.奇函数f (x )的定义域为R ,若f (x +2)为偶函数,则f (1)=1,则f (8)+f (9)= ( ) A. -2 B.-1 C. 0 D. 1 2.在函数①|2|cos x y =,②|cos |x y = ,③)62cos(π +=x y ,④)42tan(π -=x y 中,最小正周期为π的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 3.设函数)(),(x g x f 的定义域为R ,且)(x f 是奇函数,)(x g 是偶函数,则下列结论中正确的是 A. )()(x g x f 是偶函数 B. )(|)(|x g x f 是奇函数 C. |)(|)(x g x f 是奇函数 D. |)()(|x g x f 是奇函数 4.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且是以2为周期的周期函数,若当(]0,1x ∈时 2()1f x x =-,则7()2 f 的值为 A 34- B 34 C 12- D 12 5.下列函数为偶函数的是 A. sin y x = B. 3y x = C. x y e = D. y = 6.设()f x 是周期为2的奇函数,当0≤x ≤1时,()f x =2(1)x x -,则5 ()2f -= (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12 7.下列函数中,既是偶函数又在()0,+∞单调递增的函数是 (A )3y x = (B) 1y x =+ (C )21y x =-+ (D) 2x y -= 8.下列函数为偶函数的是() A.()1f x x =- B.()2f x x x =+ C.()22x x f x -=- D.()22x x f x -=+ 9.偶函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=_______. 10.函数)4)(()(-+=x a x x f 为偶函数,则实数a = . 11.已知()f x 为奇函数,()()9,(2)3,(2)g x f x g f =+-==则 .
函数的奇偶性与函数图象同步练习题及答案
函数的奇偶性与函数图象同步练习题及答案 一、选择题: 1、函数是() A、奇函数,且在(0,1)上是增函数 B、奇函数,且在(0,1)上是减函数 C、偶函数,且在(0,1)上是增函数 D、偶函数,且在(0,1)上是减函数 2、下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的为() A. B. C. D. 3、已知且为奇函数,若则() A.1 B.-3 C.0 D.3 4、下列函数中,满足的是() A. B. C. D. 5、已知函数y=f(x)在R上为奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2﹣2x,则当x<0时,f(x)的解析式是() A.f(x)=﹣x(x+2) B.f(x)=x(x﹣2) C.f(x)=﹣x(x﹣2) D.f(x)=x(x+2) 6、() A.3 B.-1 C.1 D.-3 7、若是偶函数,其定义域为,且在上是减函数,则的大小关系是() A.> B.< C. D. 8、已知是定义在上的奇函数,若,当时,是增函数,且对任意的都有 ,则在区间上的最大值为() A.-4 B.-5 C.-6 D.-7 9、是定义域为R上的奇函数,当x≥0时,为常数),则() A.9 B.7 C.-9 D.-7 10、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为() A.-1 B.0 C.1 D.2
11、已知,分别是定义在上的奇函数和偶函数,且,则 ( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 12、已知定义在上的奇函数满足,且则的值为() A.1 B.0 C.-2 D.2 二、填空题: 13、已知f(x)是R上的奇函数,f(x+3)=f(x),则f(2 016)=________. 14、已知是奇函数,且,若,则 . 15、已知是奇函数,,且则 . 16、函数在R上为奇函数,且,则当时, . 17、若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式 f(x)= 18、设是定义在上的偶函数,则的值域是_______. 19、f(x)是定义在[﹣2,2]上的偶函数,且f(x)在[0,2]上单调递减,若f(1﹣m)<f(m)成立,求实数m的取值范围 20、定义在上的偶函数在区间上是增函数,且,关于函数有如下结论: ①;②图象关于直线对称;③在区间上是减函数;④在区间上是增函数, 其中正确结论的序号是________. 三、简答题: 21、已知函数是R上的奇函数,且当时, . (1)求的解析式;(2)作出函数的图像,并指出它的增区间.
函数的奇偶性与周期性 知识点与题型归纳
1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性. 3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性. ★备考知考情 1.对函数奇偶性的考查,主要涉及函数奇偶性的判断,利用奇偶函数图象的特点解决相关问题,利用函数奇偶性求函数值,根据函数奇偶性求参数值等. 2.常与函数的求值及其图象、单调性、对称性、零点等知识交汇命题. 3.多以选择题、填空题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P18 注意: 研究函数奇偶性必须先求函数的定义域 知识点一函数的奇偶性的概念与图象特征 1.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数. 2.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数. 1
2 3.奇函数的图象关于原点对称; 偶函数的图象关于y 轴对称. 知识点二 奇函数、偶函数的性质 1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同, 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. 2. 若f (x )是奇函数,且在x =0处有定义,则(0)0=f . 3. 若f (x )为偶函数,则()()(||)f x f x f x =-=. 《名师一号》P19 问题探究 问题1 奇函数与偶函数的定义域有什么特点? (1)判断函数的奇偶性,易忽视判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. (2)判断函数f (x )的奇偶性时,必须对定义域内的 每一个x , 均有f (-x )=-f (x )、f (-x )=f (x ), 而不能说存在x 0使f (-x 0)=-f (x 0)、f (-x 0)=f (x 0). (补充) 1、若奇函数()f x 的定义域包含0,则(0)0=f . (0)0=f 是()f x 为奇函数的 既不充分也不必要条件 2.判断函数的奇偶性的方法 (1)定义法: 1)首先要研究函数的定义域,
函数的奇偶性及周期性综合运用
函数的奇偶性及周期性 1. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足 f(x+2)= -f(x) f(6) 的值为 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】 B 【解析】 ∵ f(x+2)=-f(x), ∴ f(6)=f(4+2)=-f(4)=f(2)= -f(0) 又 f(x) 为R 上的奇函数 , ∴ f(0)=0. ∴ f(6)=0. 2. 函数 f ( x) x 3 sin x 1( x R), 若 f(a)=2, 则 f(-a) 的值为 ( ) A.3 B.0 C.-1 D.-2 【答案】 B 【解析】 设 g ( x) 3 sinx, 很明显 g(x) 是一个奇函数 . x ∴ f(x)=g(x)+1. ∵ f(a)=g(a)+1=2, ∴ g(a)=1. ∴ g(-a)=-1. ∴ f(-a)=g(-a)+1=-1+1=0. 3. 已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数 , 并满足 f(x+2)= 1 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 则 f ( x) f(6.5) 等于?? ( ) A.4.5 B.-4.5 C.0.5 D.-0.5 【答案】 D 【 解 析 】 由 f(x 2) 1 得 f(x 4) 1 f ( x ) f ( x 2) f(6.5)=f(2.5). 因为 f(x) 是偶函数 , 得 f(2.5)=f(-2.5)=f(1.5), 而 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 所以 f(1.5)=-0.5. 综上 , 知f(6.5)=-0.5. 4. 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数 , 当 x>0时 ,f(x)= - 是 ( ) A. ( 1) B. ( 1] C. (1 ) D. [1 ) 【答案】 A 【解析】 当 x>0时 f ( x ) 1 2 x 1 1 x 2 当 x<0时,-x>0, ∴ f( x ) 1 2 x . 又∵ f(x) 为 R 上的奇函数 , ∴ f(-x)=-f(x). ∴ f ( x ) 1 2 x . ∴ f ( x ) 2 x 1 . ∴ f ( x) 2 1 1 即 2 x 1 . x ∴ x<-1. 2 2 ∴不等式 f ( x ) 1 的解集是 ( 1) . 2 5. 设 g(x) 是定义在 R 上、以 1为周期的函数 . 若函数 f(x)=x+g(x) 则f(x) 在区间 [0,3] . f ( x) 那 么 f(x) 的 周 期 是 4, 得 2 x 则不等式 f ( x) 1 的解集 2 1 2 在区间 [0,1] 上的值域为 [-2,5],
函数的奇偶性的经典总结
函数的奇偶性 一、函数奇偶性的基本概念 1.偶函数:一般地,如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ,都有()()x f x f =-, 0)()(=--x f x f ,那么函数()x f 就叫做偶函数。 2.奇函数:一般地,如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ,都有()()x f x f -=-, 0)()(=+-x f x f ,那么函数()x f 就叫做奇函数。 注意:(1)判断函数的奇偶性,首先看定义域是否关于原点对称,不关于原点对称是非奇非偶函数,若函数的定义域是关于原点对称的,再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。 (2)在判断()x f 与()x f -的关系时,只需验证()()0=±-x f x f 及) () (x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。 题型一 判断下列函数的奇偶性。 ⑴x x x f +=2 )(,(2)x x x f -=3 )( (3)()()()R x x f x f x G ∈--=,(4) (5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x x x f --=22)(,(8) 提示:上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断 (1)判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。 (2)常见的奇函数有:x x f =)(,3 )(x x f =,x x f sin )(=, (3)常见的奇函数有:2 )(x x f =,x x f =)(,x x f cos )(= (4)若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在(x f 与()x g 的公共定义域上,()x f +()x g 为 偶函数,()-x f ()x g 为偶函数。当()x g ≠0时, ) () (x g x f 为偶函数。 (5)若()x f ,()x g 都是奇函数,那么在()x f 与()x g 的公共定义域上,()x f +()x g 是奇函数,()-x f ()x g 是奇函数,()()x g x f ?是偶函数,当()x g ≠0时, ) () (x g x f 是偶函数。 (6)常函数()()为常数c c x f =是偶函数,()f x =0既是偶函数又是奇函数。 (7)在公共定义域内偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.(8)对于复合函数()()[]x g f x F =;若()x g 为偶函数, ()f x 为奇(偶)函数,则()x F 都为
1.10基本初等函数奇偶性和周期性
1.10基本初等函数奇偶性和周期性 姓名___________ 本节重点:①能够正确判断函数的奇偶性和周期性;②运用基本初等函数的性质解题。 一.基础练习 1. 写出下列函数中,奇函数是________;偶函数是________;非奇非偶函数是________ ①sin 2y x = ②2cos y x = ③4221y x x =++ ④2(1)y x =- ⑤()x x f x e e -=- ⑥1()1 x f x x -=+ ⑦1()lg 1 x f x x -=+ ⑧23 ()f x x -= 2. 已知多项式函数32()f x ax bx cx d =+++,系数,,,a b c d 满足__________时,()f x 是奇函数; 满足___________时,它是偶函数. 3. 定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-,则(2)f =________. 4. 函数sin 2y x =的周期是________;tan y x π=的周期是________. 5. 已知函数()f x 是定义在(-3,3)上的奇函数,当03x << ()f x 图象如右,则不等式 ()0f x x >的解集是____________. 二、例题讲解 例1:判断下列函数的奇偶性 (1)2 ()2||3f x x x =-- (2)22 2,0 ()2,0 x x x f x x x x ?-≥?=?--? (3)()|3|f x x x =+- 例2:含有字母的函数性质问题. (1)设函数()(),()x x f x x e ae x R -=+∈是偶函数,则实数a=____________. (2)函数2 ()(2)3f x ax b x =+-+是定义在[,34]a a --上的偶函数,则log a b =__________. (3)定义在(1,1)-上的奇函数()f x ,满足在(1,1)-上单调递减,若2 (1)(1)0f a f a -+-<,则实数a 的范围是____________. (4)若函数2 ()cos ,[, ]22f x x x x ππ =-∈- ,且(2)()63 f a f ππ ->,实数a 的范围是____________.
函数的奇偶性与周期性试题(答案)
函数的奇偶性与周期性 一、选择题 1.(2015·四川绵阳诊断性考试)下列函数中定义域为R ,且是奇函数的是( ) A .f(x)=x2+x B .f(x)=tan x C .f(x)=x +sin x D .f(x)=lg 1-x 1+x 2.(2014·新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x),g(x)的定义域都为R ,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( ) A .f(x)g(x)是偶函数 B .|f(x)|g(x)是奇函数 C .f(x)|g(x)|是奇函数 D .|f(x)g(x)|是奇函数 3.(2015·长春调研)已知函数f(x)=x2+x +1x2+1,若f(a)=23 ,则f(-a)=( ) A.23 B .-23 C.43 D .-43 4.已知f(x)在R 上是奇函数,且满足f(x +4)=f(x),当x ∈(0,2)时,f(x)=2x2,则f(7)等于( ) A .-2 B .2 C .-98 D .98 5.函数f(x)是周期为4的偶函数,当x ∈[0,2]时,f(x)=x -1,则不等式xf(x)>0在[-1,3]上的解集为( ) A .(1,3) B .(-1,1) C .(-1,0)∪(1,3) D .(-1,0)∪(0,1) 6.设奇函数f(x)的定义域为R ,最小正周期T =3,若f(1)≥1,f(2)=2a -3a +1 ,则a 的取值范围是( ) A .a<-1或a≥23 B .a<-1 C .-1函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性 考点梳理 一、函数的奇偶性 (探究:奇、偶函数的定义域有何特点?若函数f(x)具有奇偶性,则f(x)的定义域关于原点对称,反之,若函数的定义域不关于原点对称,则函数无奇偶性。) 二、奇、偶函数的性质 1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。 2、在公共定义域内, (1)两个奇函数的和函数是奇函数,两个奇函数的积函数是偶函数。(2)两个偶函数的和函数、积函数是偶函数。 (3)一个奇函数,一个偶函数的积函数是奇函数。 3、若f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0。 (探究:若f(x)是偶函数且在x=0处有定义,是否有f(x)=0?不一定,
如f(x)= 21x +,而f(0)=1。) 三、函数的周期性 一般的,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期。 对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。 (探究:若偶函数f(x)满足对任意的x R ∈,都有f(2+x)=f(-x),那么函数f(x)是周期函数吗? 是周期函数,()()(),(2)() (2)(),()=2f x f x f x f x f x f x f x f x T ∴-=+=-∴ += 是偶函数, 又所以是以为周期的函数) 例题解析 要点1:函数奇偶性的判定 判断函数奇偶性的一般方法 (1)首先确定函数的定义域,看其是否关于原点对称,否则,既不是奇函数也不是偶函数。 (2)若定义域关于原点对称,则可用下述方法进行判断: ①定义判断: ()()()()-()()f x f x f x f x f x f x -=?-=?为偶函数, 为奇函数。 ②等价形式判断:
高中数学必修一函数的奇偶性练习
单元测试(2) 一、选择题:(每小题4,共40分) 1. 下列哪组中的两个函数是同一函数 ( ) A .2y =与y x = B 。3y =与y x = C .y = 2y = D 。y =与2 x y x = 2. 若()f x =(3)f -等于 ( ) (A)32- (B)34 - (C)34 (D)32± 3. 函数f(x)=2-x +(x-4)0的定义域为 ( ) A . {x|x>2,x ≠4} B 。{x|x ≥2,或x ≠4} C 。[) ()2,44,+∞ D 。[)2,+∞ 4.函数y=x 2-1的值域是 ( ) A . (-∞,-1) B 。 [)1,-+∞ C 。 [-1,0] D 。 R 5. 函数f(x)=x|x|+x 3是 ( ) A . 偶函数 B 。奇函数 C 。非奇非偶函数 D 。既奇又偶函数 6.若函数)(x f 在区间(a ,b )上为增函数,在区间(b ,c )上也是增函数,则函数)(x f 在区间(a ,c )上 ( ) A .必是增函数 B 。必是减函数 C .是增函数或是减函数 D 。无法确定增减性 7.函数x x x x f +=)(的图象是 ( ) 8. .函数f (x )=x 2+2(a -1)x +2在区间(-∞,4)上递减,则a 的取值范围是 ( ) A.[)3,-+∞ B.(],3-∞- C.(-∞,5) D.[)3,+∞ 9、设偶函数f(x)的定义域为R ,当x [0,)∈+∞时f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是 A B C D
( ) A 。f(π)>f(-3)>f(-2) B 。f(π)>f(-2)>f(-3) C .f(π)-a >0,则F (x )= f (x)-f (-x)的定义域是 . 12.若函数 f (x )=(k -2)x 2+(k-1)x +3是偶函数,则f (x )的递减区间是 . 13.函数y=(x-1)2-2,0≤x ≤2的最大值是 ,最小值是 . 14.设奇函数f(x)的定义域为[?5,5].若当x ∈[0,5]时,f (x )的图象如右图, 则不等式f (x )<0的解集是 . 三、解答题:(共40分). 15.已知,a b 为常数,若22 ()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++ 则求b a -5的值。 16. (12分)如图,用长为1的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架,若半圆半径为x ,求此框架围成的面积y 与x 的函数式y =f (x ),并写出它的定义域.
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性 1.函数的奇偶性 2.(1)周期函数 对于函数y =f (x ),如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的任何值时,都有f (x +T )=f (x ),那么就称函数y =f (x )为周期函数,称T 为这个函数的周期. (2)最小正周期 如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期. 3.判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若f (x )是定义在R 上的奇函数,则f (-x )+f (x )=0.(√) (2)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.(×) (3)如果函数f (x ),g (x )为定义域相同的偶函数,则F (x )=f (x )+g (x )是偶函数.(√) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.(√) (5)若T 是函数的一个周期,则nT (n ∈Z ,n ≠0)也是函数的周期.(√) (6)函数f (x )在定义域上满足f (x +a )=-f (x ),则f (x )是周期为2a (a >0)的周期函数.(√) (7)函数f (x )=0,x ∈(0,+∞)既是奇函数又是偶函数.(×) (8)若函数y =f (x +a )是偶函数,则函数y =f (x )关于直线x =a 对称.(√) (9)若函数y =f (x +b )是奇函数,则函数y =f (x )关于点(b,0)中心对称.(√) (10)若某函数的图象关于y 轴对称,则该函数为偶函数;若某函数的图象关于(0,0)对称,则该函数为奇函数.(√) 考点一 判断函数的奇偶性
函数的奇偶性及周期性
函数的奇偶性及周期性 1.函数的奇偶性 (1)周期函数 对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x +T)=f(x),那么就称函数f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. [小题体验] 1.下列函数中为偶函数的是() A.y=x2sin x B.y=x2cos x C.y=|ln x|D.y=2-x 答案:B 2.若函数f(x)是周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(8)-f(14)=________. 答案:-1 3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1+x),则x<0时,f(x)=________. 答案:x(1-x) 1.判断函数的奇偶性,易忽视判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. 2.判断函数f(x)的奇偶性时,必须对定义域内的每一个x,均有f(-x)=-f(x)或f(-
x )=f (x ),而不能说存在x 0使f (-x 0)=-f (x 0)或f (-x 0)=f (x 0). 3.分段函数奇偶性判定时,误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性. [小题纠偏] 1.已知f (x )=ax 2+bx 是定义在[a -1,2a ]上的偶函数,那么a +b 的值是( ) A .-13 B.13 C.12 D .-1 2 解析:选B ∵f (x )=ax 2+bx 是定义在[a -1,2a ]上的偶函数, ∴a -1+2a =0,∴a =1 3.又f (-x )=f (x ), ∴b =0,∴a +b =1 3 . 2.设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数,当x ∈[-1,1)时, f (x )= ? ???? -4x 2+2,-1≤x <0,x , 0≤x <1,则f ????32=________. 解析:由题意得,f ????32=f ????-12=-4×????-122+2=1. 答案:1 考点一 函数奇偶性的判断(基础送分型考点——自主练透) [题组练透] 判断下列函数的奇偶性: (1)f (x )=1-x 2+x 2-1; (2)f (x )=3-2x +2x -3; (3)f (x )=3x -3- x ; (4)(易错题)f (x )=4-x 2 |x +3|-3 ; (5)(易错题)f (x )=????? x 2+x ,x >0, x 2-x ,x <0. 解:(1)∵由? ???? x 2-1≥0, 1-x 2≥0,得x =±1, ∴f (x )的定义域为{-1,1}. 又f (1)+f (-1)=0,f (1)-f (-1)=0,
数学必修一《函数的基本性质》测试题
《1.3 函数的基本性质》测试题 一、选择题 1.下列函数中,是奇函数的为( ). A. B. C. D. 考查目的:考查函数奇偶性的定义. 答案:A. 解析:的定义域是,∴ ,∴,∴是奇函数.
2.已知函数在内单调递减,则的取值范围是( ). A. B. C. D. 考查目的:主要考查函数的单调性、二次函数、一次函数的图象和性质. 答案:C. 解析:函数在内单调递减,则须在上单调递减和在上单调递减,且,∴ ,∴. 3.已知奇函数在区间上的图像如图,则不等式的解集是( ).
A. B. C. D. 考查目的:主要考查奇函数的图象特点,以及利用图象解题. 答案:B. 解析:奇函数的图象关于原点对称,画出函数的图象,由图得,选B.
二、填空题 4.设是定义在上的奇函数,当时,,则 . 考查目的:本题考查函数的奇偶性以及函数值的求法. 答案:-3. 解析:. 5.已知,则函数的单调增区间 是 . 考查目的:考查函数单调区间的概念及二次函数的单调性. 答案:
解析:抛物线的开口向下,对称轴为直线,故函数 在递增,在递减,所以函数 的单调增区间是. 6.函数,当时,恒成立,则实数的取值范围是 . 考查目的:考查利用函数的奇偶性和单调性解题. 答案:. 解析:∵函数在上是奇函数且为单调增函数,∴由 得,∴,∵,∴恒成立,∴. 三、解答题
7.函数对于任意的,都有,若时, ,求证:是上的单调递减函数. 考查目的:主要考查利用函数的单调性定义证明函数的单调性. 解析:任取,则,由时,,得,根据 ,有,所以,即,所以是上的单调递减函数. 8.已知函数是定义在R上的偶函数,且当≤0时,. ⑴现已画出函数在轴左侧的图像,如图所示,请补出完整函数的图像,并根据图像写出函数的增区间;
高三一轮复习精题组函数的奇偶性与周期性(有详细答案)
§2.3函数的奇偶性与周期性 1.函数的奇偶性 奇偶性,定义,图象特点偶函数,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数,关于y轴对称 奇函数,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数,关于原点对称 2.周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值 时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正 数就叫做f(x)的最小正周期.
1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f (x )=0,x ∈(0,+∞)既是奇函数又是偶函数.( × ) (2)若函数y =f (x +a )是偶函数,则函数y =f (x )关于直线x =a 对称.( √ ) (3)若函数y =f (x +b )是奇函数,则函数y =f (x )关于点(b,0)中心对称.( √ ) (4)若函数f (x )=x (x -2)(x +a ) 为奇函数,则a =2.( √ ) (5)函数f (x )在定义域上满足f (x +a )=-f (x ),则f (x )是周期为2a (a >0)的周期函数.( √ ) (6)函数f (x )为R 上的奇函数,且f (x +2)=f (x ),则f (2 014)=0.( √ ) 2.(2013·山东)已知函数f (x )为奇函数,且当x >0时,f (x )=x 2+1 x ,则f (-1)等于( ) A .-2 B .0 C .1 D .2 答案 A 解析 f (-1)=-f (1)=-(1+1)=-2. 3.已知f (x )=ax 2+bx 是定义在[a -1,2a ]上的偶函数,那么a +b 的值是() A .-13B.13C.12D .-12 答案 B 解析 依题意b =0,且2a =-(a -1), ∴a =13,则a +b =13 . 4.已知f (x )在R 上是奇函数,且满足f (x +4)=f (x ),当x ∈(0,2)时,f (x )=2x 2,则f (2 015)等于( ) A .-2 B .2 C .-98 D .98 答案 A 解析 ∵f (x +4)=f (x ), ∴f (x )是以4为周期的周期函数,
函数的奇偶性练习题[(附答案)
函数的奇偶性 1.函数f (x )=x(-1﹤x ≦1)的奇偶性是 ( ) A .奇函数非偶函数 B .偶函数非奇函数 C .奇函数且偶函数 D .非奇非偶函数 2. 已知函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)是偶函数,那么g (x )=ax 3+bx 2+cx 是( ) A .奇函数 B .偶函数 C .既奇又偶函数 D .非奇非偶函数 3. 若函数f (x )是定义在R 上的偶函数,在]0,(-∞上是减函数, 且f (2)=0,则使得f (x )<0的x 的取值范围是 ( ) A.(-∞,2) B. (2,+∞) C. (-∞,-2)?(2,+∞) D. (-2,2) 4.已知函数f (x )是定义在(-∞,+∞)上的偶函数. 当x ∈(-∞,0)时,f (x )=x -x 4,则 当x ∈(0.+∞)时,f (x )= . 5. 判断下列函数的奇偶性: (1)f (x )=lg (12+x -x ); (2)f (x )=2-x +x -2 (3) f (x )=? ? ?>+<-). 0() 1(),0()1(x x x x x x 6.已知g (x )=-x 2-3,f (x )是二次函数,当x ∈[-1,2]时,f (x )的最小值是1,且f (x )+g (x )是奇函数,求f (x )的表达式。 7.定义在(-1,1)上的奇函数f (x )是减函数,且f(1-a)+f(1-a 2 )<0,求a 的取值范围 8.已知函数21 ()(,,)ax f x a b c N bx c += ∈+是奇函数,(1)2,(2)3,f f =<且()[1,)f x +∞在上是增函数, (1)求a,b,c 的值; (2)当x ∈[-1,0)时,讨论函数的单调性. 9.定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3)=log 23且对任意x ,y ∈R 都有 f (x+y )=f (x )+f (y ). (1)求证f (x )为奇函数; (2)若f (k ·3x )+f (3x -9x -2)<0对任意x ∈R 恒成立,求实数k 的取值范围.
函数的奇偶性与周期性专题练习
函数的奇偶性与周期性专题练习 一、选择题 1.(2019·肇庆三模)在函数y =x cos x ,y =e x +x 2,y =lg x 2-2,y =x sin x 中,偶函数的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 解析 y =x cos x 为奇函数,y =e x +x 2为非奇非偶函数,y =lg x 2-2与y = x sin x 为偶函数. 答案 B 2.(2019·湖南卷)设函数f (x )=ln(1+x )-ln(1-x ),则f (x )是( ) A.奇函数,且在(0,1)内是增函数 B.奇函数,且在(0,1)内是减函数 C.偶函数,且在(0,1)内是增函数 D.偶函数,且在(0,1)内是减函数 解析 易知f (x )的定义域为(-1,1),且f (-x )=ln(1-x )-ln(1+x )=-f (x ),则y =f (x )为奇函数, 又y =ln(1+x )与y =-ln(1-x )在(0,1)上是增函数, 所以f (x )=ln(1+x )-ln(1-x )在(0,1)上是增函数. 答案 A 3.已知函数f (x )=x ? ?? ??e x -1e x ,若f (x 1)x 2 B.x 1+x 2=0 C.x 10时,f ′(x )>0,∴f (x )在[0,+∞)上为增函数,