上海市徐汇区位育中学2020-2021学年高三下学期期中数学试题
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示，已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原
点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=?，且||2||BF AF =，则双曲线C 的离心率是（ ）.
A ．
3
B ．
72
C ．3
D ．7
2．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为 （ ）
A ．4π
B ．16π
C ．36π
D ．
643
π
3．方程2(1)sin 10x x π-+=在区间[]2,4-内的所有解之和等于( ) A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
4．以下两个图表是2019年初的4个月我国四大城市的居民消费价格指数（上一年同月100=）变化图表，则以下说法错误的是（ ）
（注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是1、2、3、4月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是北京、天津、上海、重庆）
A ．3月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均
B ．4月份仅有三个城市居民消费价格指数超过102
C ．四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小
D ．仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势
5．费马素数是法国大数学家费马命名的,形如()221n
n N +∈的素数(如：0
2213+=)为费马索数,在不超过
30的正偶数中随机选取一数,则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是( ) A ．
2
15
B ．
15
C ．
415
D ．
13
6．复数()
()()2
11z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则z =( )
A ．i
B ．﹣2i
C ．2i
D ．﹣i
7．函数()1cos f x x x x ??
=-
???
（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ） A ． B ． C ．
D ．
8．命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得()0sin sin x x x +=-恒成立；q ：0a ?>，()ln a x
f x a x
+=-为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ）
A ．p q ∧
B ．()()p q ?∨?
C ．()p q ∧?
D ．()p q ?∧
9．已知x ，y R ∈，则“x y <”是
“1x
y
<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
10．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图：
根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为 A ．171.25cm B ．172.75cm C ．173.75cm
D ．175cm
11．设全集为R ，集合{}02A x x =<<，{}
1B x x =≥，则()A B =R
A ．{}
01x x <≤ B ．{}
01x x <<
C ．{}12x x ≤<
D ．{}
02x x <<
12．已知复数11i
z i
+=-，则z 的虚部是（ ） A ．i
B ．i -
C ．1-
D ．1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知等比数列{}n a 的各项都是正数，且2311
3,
,42
a a a 成等差数列，则234245()()log a a log a a +-+=__________．
14．在ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 3cos 1A A -=，2a =，则ABC ?的面积的最大值为______.
15．已知椭圆C ：22
22x y a b
+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆的焦距为2c ，过C 外一点
P(c,2c)作线段PF 1，PF 2分别交椭圆C 于点A 、B ，若|PA|＝|AF 1|，则
22
PF BF =_____.
16．已知函数()5
cos x
f x e x x =+，则曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程是_______． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知倾斜角为4
π的直线经过抛物线2
:2(0)C x py p =>的焦点F ，与抛物线C 相交于A 、B 两点，且||8AB =.
（1）求抛物线C 的方程；
（2）设P 为抛物线C 上任意一点（异于顶点），过P 做倾斜角互补的两条直线1l 、2l ，交抛物线C 于另两点C 、D ，记抛物线C 在点P 的切线l 的倾斜角为α，直线CD 的倾斜角为β，求证：α与β互补.
18．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x t y t α
α=??=-+?
（t 为参数，0απ≤<），点
(0,2)M -.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为
42cos 4πρθ?
?
=+
??
?
. （1）求曲线2C 的直角坐标方程，并指出其形状； （2）曲线1C 与曲线2C 交于A ，B 两点，若
1117
||||4
MA MB +=
，求sin α的值. 19．（12分）某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试，从中随机抽取了20人的分数.以下茎叶图记录了他们的考试分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：
若分数不低于95分，则称该员工的成绩为“优秀”.
（1）从这20人中任取3人，求恰有1人成绩“优秀”的概率；
（2）根据这20人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图，并根据频率分布直方图解决下面的问题.
组别 分组 频数 频率
频率
组距
1
[)60,70
2 [)70,80
3
[)80,90
4 []
90,100
①估计所有员工的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
②若从所有员工中任选3人，记X表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数，求X的分布列和数学期望. 20．（12分）如图在棱锥P ABCD
-中，ABCD为矩形，PD⊥面ABCD，
2,45,30.
PB BPC PBD
=∠=∠=
（1）在PB上是否存在一点E，使PC⊥面ADE，若存在确定E点位置，若不存在，请说明理由；（2）当E为PB中点时，求二面角P AE D
--的余弦值.
21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
2
2
1
2
x t
y t
=
?
?
?
=
??
（t为参数），以原点O为极点，
x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l极坐标方程为cos2
4
π
ρθ??
-=
?
??
若直线l交曲线C于A，B 两点，求线段AB的长.
22．（10分）在直角坐标系中，直线l过点()
1,2
P，且倾斜角为α，0,.
2
π
α??
∈ ?
??
以直角坐标系的原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为()
22
3sin12
ρθ
+=．
()1求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程，并判断曲线C是什么曲线；
()2设直线l与曲线C相交与M，N两点，当2
PM PN
?=，求α的值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【解析】 【分析】
易得||2AF a =，||4BF a =，又1
()2
FO FB FA =+，平方计算即可得到答案. 【详解】
设双曲线C 的左焦点为E ，易得AEBF 为平行四边形， 所以||||||||2BF AF BF BE a -=-=，又||2||BF AF =， 故||2AF a =，||4BF a =，1
()2
FO FB FA =+， 所以2
221
(41624)4
c a a a a =
+-?，即223c a =，
故离心率为e =故选：C. 【点睛】
本题考查求双曲线离心率的问题，关键是建立,,a b c 的方程或不等关系，是一道中档题. 2、C 【解析】 【分析】
设球的半径为R ，根据组合体的关系，圆柱的表面积为222254S R R R πππ=+?=，解得球的半径
3R =，再代入球的体积公式求解.
【详解】 设球的半径为R ，
根据题意圆柱的表面积为222254S R R R πππ=+?=， 解得3R =， 所以该球的体积为3344
33633
V R πππ==??= . 故选：C 【点睛】
本题主要考查组合体的表面积和体积，还考查了对数学史了解，属于基础题.
3、C 【解析】 【分析】
画出函数sin y x =π和12(1)y x =--的图像，sin y x =π和1
2(1)
y x =--均关于点()1,0中心对称，计算
得到答案. 【详解】
2(1)sin 10x x π-+=，验证知1x =不成立，故1
sin 2(1)
x x π=-
-，
画出函数sin y x =π和1
2(1)
y x =-
-的图像，
易知：sin y x =π和1
2(1)
y x =-
-均关于点()1,0中心对称，图像共有8个交点，
故所有解之和等于428?=. 故选：C .
【点睛】
本题考查了方程解的问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定函数关于点()1,0中心对称是解题的关键. 4、D 【解析】 【分析】
采用逐一验证法，根据图表，可得结果. 【详解】
A 正确，从图表二可知，
3月份四个城市的居民消费价格指数相差不大
B 正确，从图表二可知，
4月份只有北京市居民消费价格指数低于102 C 正确，从图表一中可知，
只有北京市4个月的居民消费价格指数相差不大 D 错误，从图表一可知
上海市也是从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势 故选：D 【点睛】
本题考查图表的认识，审清题意，细心观察，属基础题. 5、B 【解析】 【分析】
基本事件总数15n =，能表示为两个不同费马素数的和只有835=+，20317=+，22517=+，共有3个，根据古典概型求出概率． 【详解】
在不超过30的正偶数中随机选取一数，基本事件总数15n =
能表示为两个不同费马素数的和的只有835=+，20317=+，22517=+，共有3个 则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是31155
P == 本题正确选项：B 【点睛】
本题考查概率的求法，考查列举法解决古典概型问题，是基础题． 6、B 【解析】 【分析】
复数()
()()2
11z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，求出a ，即得z .
【详解】
∵()
()()2
11z a a i a R =-+-∈为纯虚数，
∴21010
a a ?-=?-≠?，解得1a =-. 2z i ∴=-. 故选：B . 【点睛】
本题考查复数的分类，属于基础题. 7、D 【解析】
因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x
-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则1
1
()()cos ()0f πππππ
π
=-
=--<，故选D.
考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象. 8、A 【解析】 【分析】
分别判断命题p 和q 的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项. 【详解】
对于命题p ，由于()sin sin x x π+=-，所以命题p 为真命题.对于命题q ，由于0a >，由
0a x
a x
+>-解得a x a -<<，且()()1
ln ln ln a x a x a x f x f x a x a x a x --++??-===-=- ?+--??
，所以()f x 是奇函数，故q 为真命题.所以p q ∧为真命题. ()()p q ?∨?、()p q ∧?、()p q ?∧都是假命题. 故选：A 【点睛】
本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题. 9、D 【解析】 【分析】
x y <，不能得到
1x y <， 1x
y
<成立也不能推出x y <，即可得到答案. 【详解】 因为x ，y R ∈，
当x y <时，不妨取11,2x y =-=-
，21x
y
=>， 故x y <时，
1x
y
<不成立， 当
1x
y
<时，不妨取2,1x y ==-，则x y <不成立，
综上可知，“x y <”是“1x
y
<”的既不充分也不必要条件， 故选：D 【点睛】
本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，属于容易题. 10、C 【解析】 【分析】 【详解】
由题可得0.00520.02020.040(1)10a ?++?+?=，解得0.010a =， 则(0.0050.0100.020)100.35++?=，0.350.040100.750.5+?=>， 所以这部分男生的身高的中位数的估计值为0.50.35
17010173.75(cm)100.040
-+?=?，故选C ．
11、B 【解析】
分析：由题意首先求得R C B ，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：{}|1R C B x x =<， 结合交集的定义可得：(){}01R A C B x ?=<<. 本题选择B 选项.
点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12、C 【解析】 【分析】
化简复数，分子分母同时乘以1i +，进而求得复数z ，再求出z ，由此得到虚部. 【详解】
11i
z i i
+=
=-，z i =-，所以z 的虚部为1-. 故选：C 【点睛】
本小题主要考查复数的乘法、除法运算，考查共轭复数的虚部，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、2- 【解析】