专题训练(六)基本推理训练
基本推理的内容包括推理的基本格式、等式的性质及等量代换的应用、基本定义(如角平分线的定义)的应用、几何基本性质(如同角的补角相等)的应用等.
1.请用式子及符号表示下列句子:
例:因为∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°,根据“同角的余角相等”,所以∠2=∠3.
解:因为∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°,
所以∠2=∠3(同角的余角相等).
(1)因为∠1=60°,∠2=60°,根据“等量代换”,所以∠1=∠2;
(2)因为M是AB的中点,根据“线段中点的定义”,所以AM=BM;
(3)因为3AC=3BD,根据“等式的性质2”,所以AC=BD;
(4)因为∠1与∠2互补,∠1与∠3互补,根据“同角的补角相等”,所以∠2=∠3;
(5)因为∠AOB=180°,根据“平角的定义”,所以点A,O,B在一条直线上.
2.填空:
(1)因为∠1=∠2,∠2=∠3,
所以=(等量代换).
(2)因为AB=5 cm,CD=5 cm,
所以=().
(3)因为∠1=∠B,∠2=∠C,∠1=∠2,
所以=().
(4)因为∠1+∠2+∠C=180°,∠1=∠A,∠2=∠B,所以++∠
C=180°().
(5)因为a>b,c=a,
所以().
(6)因为∠1=120°-∠A,∠2=120°-∠A,
所以=().
3.如图6-ZT-1,若∠1=∠2,试说明:∠AOB=∠COD.
图6-ZT-1
4.如图6-ZT-2,已知点C在线段AB的延长线上,点C'在线段A'B'的延长线上,AB=A'B',BC=B'C'.试说明:AC=A'C'.
图6-ZT-2
5.如图6-ZT-3,已知点C在线段AB的延长线上,点C'在线段A'B'的延长线上,AC=A'C',BC=B'C'.试说明:AB=A'B'.
图6-ZT-3
6.如图6-ZT -4,若∠AOB=∠COD ,试说明:∠1=∠2.
图6-ZT -4
7.如图6-ZT -5,∠ABC=∠A'B'C',BD ,B'D'分别是∠ABC ,∠A'B'C'的平分线.试说明:∠1=∠2.
图6-ZT -5
解:因为BD ,B'D'分别是∠ABC ,∠A'B'C'的平分线, 所以∠1=1∠ABC ,∠2= ( ). 又因为∠ABC=∠A'B'C',
所以1
2∠ABC=12∠A'B'C'( ). 所以∠1=∠2( ).
8.如图6-ZT -6,M ,M'分别是AB ,A'B'的中点,AM=A'M'.试说明:AB=A'B'.
图6-ZT -6
9.如图6-ZT -7,直线AB 与CD 相交于点O ,请说明:∠1=∠2.补全下面的说理过程,并在括号内填上适当的理由.
图6-ZT -7
解:因为点C ,O ,D 在同一条直线上, 所以∠1+∠AOD=180°(平角的定义). 因为点A ,O ,B 在同一条直线上,
所以 +∠AOD=180°( ). 所以∠1=∠2( ).
10.已知:如图6-ZT -8,∠ABC=∠ADC ,BF ,DE 分别平分∠ABC 与∠ADC ,且∠1=∠3.说明∠2=∠3的理由.补全下面的说理过程,并在括号内填上适当的理由.
图6-ZT -8
解:因为BF ,DE 分别平分∠ABC 与∠ADC (已知), 所以∠1=1
2∠ABC ,∠2=1
2 ( ). 因为∠ABC=∠ADC ,
所以 = ( ), 即∠1=∠2( ). 因为∠1=∠3(已知),
所以∠2= ( ).
11.如图6-ZT -9(a)所示,将一副三角尺的直角顶点重合在点O 处. (1)①∠AOD 和∠BOC 相等吗?说明理由;
②∠AOC 和∠BOD 有何关系?说明理由;
(2)若将含45°角的三角尺绕点O旋转到如图(b)的位置.
①∠AOD和∠BOC相等吗?说明理由;
②∠AOC和∠BOD在(1)中的关系还成立吗?说明理由.
图6-ZT-9
12.如图6-ZT-10,(1)若O是直线AB上的一点,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC.试说明:∠MON=90°.
(2)若O是直线AB上的一点,∠MON=90°,OM平分∠AOC,则ON平分∠BOC吗?请说明理由.
(3)若∠MON=90°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,则点A,O,B在同一条直线上吗?请说明理由.
图6-ZT-10
教师详解详析1.解:(1)因为∠1=60°,∠2=60°,
所以∠1=∠2(等量代换).
(2)因为M是AB的中点,
所以AM=BM(线段中点的定义).
(3)因为3AC=3BD,
所以AC=BD(等式的性质2).
(4)因为∠1与∠2互补,∠1与∠3互补,
所以∠2=∠3(同角的补角相等).
(5)因为∠AOB=180°,
所以点A,O,B在一条直线上(平角的定义).
2.(1)∠1∠3
(2)AB CD等量代换
(3)∠B∠C等量代换
(4)∠A∠B等量代换
(5)c>b等量代换
(6)∠1∠2等量代换
3.解:因为∠1=∠2,
所以∠1+∠BOD=∠2+∠BOD(等式的性质1),
即∠AOB=∠COD.
4.解:因为AB=A'B',BC=B'C',
所以AB+BC=A'B'+B'C'(等式的性质1),
即AC=A'C'.
5.解:因为AC=A'C',BC=B'C',
所以AC-BC=A'C'-B'C'(等式的性质1),
即AB=A'B'.
6.解:因为∠AOB=∠COD,
所以∠AOB-∠BOD=∠COD-∠BOD(等式的性质1),
即∠1=∠2.
7.1
2
∠A'B'C' 角平分线的定义 等式的性质2等量代换
8.解:因为M ,M'分别是AB ,A'B'的中点, 所以AB=2AM ,A'B'=2A'M'(线段中点的定义). 又因为AM=A'M',
所以2AM=2A'M'(等式的性质2), 即AB=A'B'(等量代换).
9.∠2 平角的定义 同角的补角相等
10.∠ADC 角平分线的定义 1
2
∠ABC 1
2
∠ADC 等式的性质2 等量代换
∠3 等量代换
11.[解析] (1)①根据角的和、差关系解答;②利用周角的定义解答.(2)①根据角的和、差关系解答;②根据两三角尺的位置关系表示出∠AOC ,整理即可得到(1)中的关系仍然成立. 解:(1)①∠AOD=∠BOC.理由: 因为∠AOB=90°,∠DOC=90°, 所以∠AOB=∠DOC (等量代换).
所以∠AOB+∠BOD=∠DOC+∠BOD (等式的性质1), 即∠AOD=∠BOC.
②∠AOC 与∠BOD 互补.理由:
因为∠AOB=90°,∠DOC=90°,∠AOC+∠AOB+∠BOD+∠DOC=360°(周角的定义), 所以∠AOC+90°+∠BOD+90°=360°(等量代换). 所以∠AOC+∠BOD=180°.
所以∠AOC 与∠BOD 互补(互补的定义). (2)①∠AOD=∠BOC.理由: 因为∠AOB=90°,∠DOC=90°, 所以∠AOB=∠DOC (等量代换).
所以∠AOB-∠BOD=∠DOC-∠BOD (等式的性质1), 即∠AOD=∠BOC.
也可用同角的余角相等说明结论成立: 因为∠AOB=90°,∠DOC=90°,
所以∠AOD+∠BOD=90°,∠BOC+∠BOD=90°.
所以∠AOD=∠BOC (同角的余角相等).
②成立.
理由:因为∠AOC=90°+∠BOC ,∠BOC=90°-∠BOD , 所以∠AOC=90°+90°-∠BOD. 所以∠AOC+∠BOD=180°. 所以∠AOC 与∠BOD 互补.
12.解:(1)因为O 是直线AB 上的一点, 所以∠AOB=180°(平角的定义). 因为OM 平分∠AOC ,ON 平分∠BOC ,
所以∠COM=1
2∠AOC ,∠CON=1
2∠BOC (角平分线的定义). 所以∠MON=∠COM+∠CON=1
2
∠AOC+1
2
∠BOC=1
2
∠AOB=90°.
(2)ON 平分∠BOC.理由如下: 因为O 是直线AB 上的一点, 所以∠AOB=180°(平角的定义). 因为∠MON=90°,
所以∠BON=∠AOB-∠MON-∠AOM=180°-90°-∠AOM=90°-∠AOM , ∠CON=∠MON-∠COM=90°-∠COM. 因为OM 平分∠AOC ,
所以∠AOM=∠COM (角平分线的定义). 所以∠BON=∠CON (等角的余角相等). 所以ON 平分∠BOC (角平分线的定义). (3)点A ,O ,B 在同一条直线上.理由如下: 因为OM 平分∠AOC ,ON 平分∠BOC ,
所以∠AOC=2∠COM ,∠BOC=2∠CON (角平分线的定义). 所以∠AOB=∠AOC+∠BOC=2(∠COM+∠CON )=2∠MON. 因为∠MON=90°, 所以∠AOB=180°,
即点A ,O ,B 在同一条直线上(平角的定义).