正弦、余弦定理及解三角形
【考纲要求】
1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 【知识网络】
【考点梳理】
要点一、三角形中的边与角之间的关系
约定：ABC ?的三个内角A 、B 、C 所对应的三边分别为a 、b 、c . 1．边的关系：
(1) 两边之和大于第三边：a b c +>，a c b +>，c b a +>；
两边之差小于第三边：a b c -<，a c b -<，c b a -<； (2) 勾股定理：ABC ?中，2
2
2
90a b c C +=?=?. 2．角的关系：
ABC ?中，A B C π++=,222C B A ++=2
π （1）互补关系：
sin()sin()sin A B C C π+=-= cos()cos()cos A B C C π+=-=- tan()tan()tan A B C C π+=-=-
（2）互余关系：
sin
sin()cos 2222A B C C
π+=-= cos cos()sin 2222A B C C π+=-=
tan tan()cot 2222
A B C C π+=-=
3．直角三角形中的边与角之间的关系
Rt ABC ?中，90C =?（如图）
，有： c c
C c b B c a A ====
1sin ,sin ,sin ， cos ,cos ,cos 0b a
A B C c c
===.
要点二、正弦定理、余弦定理
1.正弦定理：在—个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即：
应用
解三角形
正弦定理 余弦定理
2sin sin sin a b c R A B C ===（R 为ABC ?的外接圆半径）???
???===C
R c B R b A
R a sin 2sin 2sin 2
2. 余弦定理：三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即：
222222
222
2cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ?=+-?=+-??=+-??222222222
cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ?+-=??+-?=???+-=
??
要点诠释：
（1）正弦定理适合于任何三角形；每个等式可视为一个方程：知三求一. （2）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；
②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边. （3）利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角； ②已知三角形的三条边，求其三个角. (4) 利用余弦定理判断三角形形状：
①勾股定理是余弦定理的特殊情况，2
2
2
90cos 0a b c C C +=?=??=.
②在ABC ?中，222
2
2
2
cos 0902b c a c b a A A bc
+-+>?=
>?，222
a b c +>，同理可得角B 、C 为锐角.
当2
2
2
a c
b +>，2
2
2
a b c +>，2
2
2
c b a +>都成立时，ABC ?为锐角三角形．
③在ABC ?中，若222
2
2
2
cos 0902b c a c b a A A bc
+-+
?， 所以A 为钝角，则ABC ?是钝角三角形．
同理：若2
2
2
a c
b +<，则ABC ?是钝角三角形且B 为钝角； 若2
2
2
a b c +<，则ABC ?是钝角三角形且C 为钝角．
要点三、解斜三角形的类型
1.已知两角一边，用正弦定理，有解时，只有一解.
2.已知两边及其一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为以下情况，在ABC ?中，已知,a b 和角A 时，解的情况如下：
(1)若A为锐角时：
a bsin A
a bsin A()
bsin A a b()
a b()
<
?
?
=
?
?
<<
?
?≥
?
无解
一解直角
二解一锐，一钝
一解锐角
如图：
(2)若A为直角或钝角时：
a b
a b ()
≤
?
?
>
?
无解
一解锐角
3.已知三边，用余弦定理有解时，只有一解.
4.已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解.
要点诠释：
1．在利用正弦定理理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍.
2．在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角关系或边边关系，再用三角变换或代数式的恒等变换（如因式分解、配方等）求解，注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则会漏掉一种形状的可能．
要点四、三角形面积公式
1．
1
2a
S a h
=?（
a
h表示a边上的高）；
2．
111
sin sin sin
222
S ab C ac B bc A
===；
3．2
2sin sin sin
S R A B C
=；
4．
4
abc
S
R
=；
5.
1
()()().()
2
S p p a p b p c p a b c
=---=++
要点五、实际问题中的常用角
1. 仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示：
2.方位角：一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角. 方位角的取值范围为0°～360°. 如图，点B 的方位角是0
135α=。
3. 坡角和坡度
坡面与地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者坡比，常用字母i 表示。坡比是坡角的正切值。 【典型例题】
类型一、利用正弦、余弦定理解三角形 例1. 在ABC ?中，已知下列条件，解三角形.
（1）10a =, 52b =45A =?； （2）23=a 62c 45B =?.
【思路点拨】画出示意图（1）正弦定理的运用；（2）余弦定理的运用. 【解析】 （1）∵
10521
sin sin 452
o B =?=，
法一：∵0
0180B <<， ∴30B =?或150B =?，
①当30B =?时，105C =?，31)c =； ②当150B =?时，180A B +>?（舍去）. 法二：∵b a <，∴B A <，即00
045B <<，
∴30B =?，105C =?，5(31)c =.
（2）∵22222
2cos (23)(62)223(62)cos45b a c ac B =+-=+-??
212(62)43(31)8=+-=
∴22b =
法一：
∵2221
cos ,22b c a A bc +-=
∴60A =?，75C =? 法二：
∵0sin sin sin452a A B b
==
a c < ∴A C <，有0
090A <<， ∴60A =?，75C =?.
【总结升华】
①解三角形时，可以依据题意画出恰当的示意图，然后正确选择正、余弦定理解答；
②解三角形时，要留意三角形内角和为180°，同一个三角形中大边对大角等性质的应用. 举一反三：
【变式1】在△ABC 中，a
b
B ＝45°
.求角A ，C 和边c . 【解析】由正弦定理得
sin sin a b
A B =
sin 45=o
， ∴sin A
＝
2
.∵a ＞b ，∴A ＝60°或A ＝120°. 当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c
＝
sin sin 2b C B =； 当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c
＝
sin sin 2
b C B =. 【变式2】在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则
c 等于( )．
A
． B
． C.
3
D
．【答案】C
【解析】由A ＋B ＋C ＝180°，知C ＝45°，
由正弦定理得：
sin sin a c A C =
2
=∴c
＝3
.
【高清课堂：正、余弦定理及解三角形401223 例1】
【变式3】 在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，1AB BC ?=u u u r u u u r
，则BC ＝(
)
B. C
．
D. 【答案】A
【解析】∵1AB BC ?=u u u r u u u r
， ∴2cos()1BC B π??-=,
∴
1
cos 2
BC B ?=-，
由余弦定理有2
2
2
3222cos BC BC B =+-?
∴
2
3BC =，从而BC
例2. 在△ABC 中，已知2
2
tan tan b a B A =，试判断△ABC 的形状． 【思路点拨】将等式左边正切化为正弦、余弦形式，右边运用正弦定理将边化为角的形式，化简再判断.也可以直接将等式左边化为边的形式判断. 【解析】方法一：化边为角
由题意得 B
A
A B B A 22sin sin cos sin cos sin =，化简整理得sinAcosA=sinBcosB 即sin2A=sin2B
∴2A=2B 或2A+2B=π ∴A=B 或2
π
=
+B A ，
∴三角形的形状为等腰三角形或直角三角形． 方法二：化角为边
由已知得22cos sin cos sin b a A B B A =结合正、余弦定理得2222222222b
a bc
a c
b b a
c b c a a =-+?
-+?
， 整理得0))((2
2
2
2
2
=-+-c b a b a ∴ 2
2222c b a b a =+=或
即三角形为等腰三角形或直角三角形
【总结升华】依据正、余弦定理定理的结构特点，若在式子中出现的为与边相关的一次式，则一般多用正弦定理，；若在式子中出现的为与边相关的二次式，则一般多用余弦定理.
举一反三：
【变式1】在△ABC 中，若2cosBsinA=sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ）
A ．等腰直角三角形
B ．等腰三角形
C ．直角三角形
D ．等边三角形 【答案】B
【解析】解法一：由已知结合正、余弦定理得
2222222a c b a c ac R R
+-??=，整理得a 2=b 2，∴a=b ，∴△ABC 一定是等腰三角形.
解法二：∵sin sin[()]sin()sin cos cos sin C A B A B A B A B π=-+=+=+， ∴由已知得sinAcosB ―cosAsinB=0，即sin （A ―B ）=0。
又A ―B ∈（－π，π），∴A －B=0，即A=B ，∴△ABC 为等腰三角形. 【变式2】在ABC ?中，若b=asinC,c=acosB ，试判断ABC ?的形状． 【答案】ABC ?为等腰直角三角形 【解析】由b=asinC 可知
A
B
C a b sin sin sin =
=， 由c=acosB 可知ac
b c a a c 2222-+?=整理得222a c b =+，即三角形一定是直角三角形，∠A=ο
90，
∴sinC=sinB ∴∠B=∠C ，∴△ABC 为等腰直角三角形． 类型二、解三角形及其综合应用
例3.（2015 山东高考）△ ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cosB=，sin （A+B ）
=
，ac =2
，求sinA 和c 的值．
【思路点拨】①根据两角和的正弦公式展开，再根据同角关系式求出sinA. ②根据正弦定理就可以出c 的值.
【解析】①因为△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 已知cosB=，
sin （A+B ）=，ac=2，所以sinB=
，sinAcosB+cosAsinB=
，
所以sinA+cosA=
，结合平方关系sin 2A+cos 2A=1，
得27sin 2A ﹣6sinA ﹣16=0， 解得sinA=
或者sinA=﹣
（舍去）；
②由正弦定理，
由①可知sin （A+B ）=sinC=
，sinA=
，
所以a =2c ，又ac =2，所以c =1．
【总结升华】有关三角形中的三角函数问题，灵活运用正弦、余弦定理把边、角之间的关系相互转化，然后应用三角函数的有关概念及公式进行恒等变换，从而达到解题的目的.
举一反三：
【变式1】（2015 湖南高考）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =b tanA ． （Ⅰ）证明：sinB=cosA ；
（Ⅱ）若sinC ﹣sinAcosB=，且B 为钝角，求A ，B ，C ． 【解析】（Ⅰ）证明：∵a=btanA ． ∴
=tanA ，
∵由正弦定理：，又tanA=
，
∴
=
，
∵sinA ≠0，
∴sinB=cosA ．得证．
（Ⅱ）∵sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB ，
∴sinC-sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA ， ∴sin 2B=， ∵0＜B ＜π， ∴sinB=
，
∵B 为钝角， ∴B=
，
又∵cosA=sinB=，
∴A=
，
∴C=π﹣A ﹣B=， 综上，A=C=
，B=
．
【高清课堂：正、余弦定理及解三角形401223 例4】
【变式2】在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，已知1cos 24
C =- (I)求sinC 的值；
(Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC 时，求b 及c 的长． 【答案】(I)
10
(Ⅱ) 4,66c b ==或2 例4. 如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(33)+海里的两个观测点. 现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里／小时，该救援船到达D 点需要多少时间？ 【思路点拨】在△DAB 中，由正弦定理得
sin sin DB AB
DAB ADB
=
∠∠，由此可求得DB ；然后在△DAB 中，由余弦定理可求得CD ；最后根据时间=路程\速度，即可求得该救援船到达D 点需要的时间. 准确找出题目中的方向角是解题的关键之处.
【解析】由题意知5(33)AB =+（海里），
∠DBA=90°－60°=30°，∠DAB=90°－45°=45°，
∴∠ADB=180°－(45°+30°)=105°， 在△DAB 中，由正弦定理得
sin sin DB AB
DAB ADB
=∠∠，
∴sin 5(33)sin 455(33)sin 45sin sin105sin 45cos 60cos 45sin 60AB DAB DB ADB ?∠+??+??
=
==∠???+?+?
53(31)
103
31
2
+
==
+
（海里）.
又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°－60°)=60°，203
BC=海里，在△DBC中，由余弦定理得
222
1
2cos30012002103203900
2 CD BD BC BD BC DBC
=+-??∠=+-???=，∴CD=30（海里），则需要的时间
30
1
30
t==（小时）.
【总结升华】对图形进行有效的分析，便于使用正弦、余弦定理.
举一反三：
【变式1】如图,甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲
船位于
1
A处时,乙船位于甲船的北偏西105o的方向
1
B处,此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达2
A处时,乙船航行到甲船的北偏西120o方向的
2
B处,此时两船相距102海里,问乙船每小时航行多少海里?
【解析】如图，连结
12
A B，
∵
22
102
A B=
12
20
302102
60
A A=?=，
221
60
B A A
∠=o
∴122A A B ?是等边三角形，1121056045B A B ∠=?-?=?， 在121A B B ?中，由余弦定理得:
2222212111211122cos 45202202002
B B A B A B A B A B =+-??=+-??=，
∴12B B =
因此乙船的速度的大小为
6020
=
答：乙船每小时航行海里.
【变式2】如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为（ ）
A ．a km
B km
C km
D ．2a km
【答案】B
【解析】利用余弦定理解△ABC. 易知∠ACB=120°，在△ABC 中，由余弦定理得
2222221
2cos12022()32
AB AC BC AC BC a a a =+-??=-?-=，
∴AB =km.