4.6 角
专题一认识角
1.从一个钝角的顶点，在它的内部引5条互不相同的射线，则该图中共有角的个数是（）
A．28 B．21 C．15 D．6
2. 2时32分时，时针与分针的夹角是度，这个角是一个角．
3.一艘轮船行驶在B处同时测得小岛A，C的方向分别为北偏西30°和西南方向，则∠ABC
的度数是度.
4.将图中的角用不同方法表示出来，并填写下表：
∠α∠β∠C∠θ∠ABC∠BAD
专题二角的比较和运算
5.若∠A=30°18′，∠B=30°15′30″，∠C=30.25°，则这三个角的大小关系正确的是（）
A．∠C＞∠A＞∠B B．∠C＞∠B＞∠A
C．∠A＞∠C＞∠B D．∠A＞∠B＞∠C
6.如果∠AOB+∠BOC=180°，则∠AOB与∠BOC的平分线相交成（填“直
角”、“钝角”或“锐角”）．
7.如图1，∠AOC与∠BOD都是直角，∠BO C=50°．
（1）指出图1中∠BOC的余角.
（2）求∠AOB和∠DOC的度数，∠AOB和∠DOC有何大小关系？
（3）若∠BOC的具体度数不固定，其他条件不变，这种关系仍然成立吗？说明理由．（4）试猜想∠AOD与∠COB在数量上是相等、互余，还是互补关系？
（5）当∠BOD绕点O旋转到图2的位置时，（4）中的猜想还成立吗？说明理由．
状元笔记
【知识要点】
1. 角的定义： （1）静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点， 这两条射线叫做角的边．
（2）动态定义：也可以把角看作是一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．射线的端点
叫做角的顶点，起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边．我们 把射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面其余部分称为角的外部．
2. 角的表示：角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，具体的有以下 四种表示方法：
①用数字表示单独的角，如图中的∠1，∠2，∠3等．
②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如图中的θγβα∠∠∠∠,,,等．
③用一个大写英文字母表示一个独立(在一个顶点处只有一个角)的角，如图中的
C B ∠∠,等．
④用三个大写英文字母表示任一个角，这时要把顶点字母写在中间，如图中的
CAE BAE BAD ∠∠∠,,等．
3. 特殊的角：
（1）平角：一条射线绕其端点旋转到角的终边和始边成一条直线时，所成的角叫平角. 1平角＝180°.
（2）周角：一条射线绕其端点旋转到角的终边和始边再次重合时所成的角叫做周角． 1周角＝360°.
（3）锐角、直角、钝角：大于0°且小于90°的角是锐角；等于90°的角是直角； 大于90°且小于180°的角是钝角.
（4）方向角：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角．一般记 为“北（或南）偏东（或西）××°”．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向 线成45°的角，此时的方向可以说成是“西（或东）北（或南）方向”. 4. 角的度量：
把一个周角等分成360份，每一份就是1度的角，1度记作1°；把1度等分成60份， 每一份就是1分，记作1′；把1分再60等分等分成60份，每一份就是1秒，记作 1″ ．不是整数度数的角可以只用单位“度”表示，也可以同时用度、分、秒表示. 1°＝60′，1′＝60″.
5. 角的比较和运算：角的大小可以度量，可以比较大小．角可以参与运算．
6. 角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫 做这个角的平分线．
7. 余角和补角：
两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角．
两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角．
同角或等角的余角相等，同角和等角的补角相等.
【温馨提示（针对易错）】
1. 角的大小与边的长短无关．
2. 用数字或小写的希腊字母或一个大写英文字母不能表示两个或几个小角拼成的角，用这
种方法表示角时，要在图中相应角的内部标清楚数字或小写希腊字母.
3. 直线不是平角，射线不是周角.
4. 角的运算中单位不统一时要先化单位再计算.
【方法技巧】
1. 在复杂图形中数角的原则是不重不漏，要从某一条线开始，按照一定的顺序和方向进行.
2. 角度的加减时要用相同的单位分别相加减，若被减数的分或秒不够减，要从上一级单位
里借1当60来用.
答案
1. B 【解析】 共有角的个数是2
)
17(7-?=21．故选B ． 2. 116°，钝 【解析】如图，
分针由起始位置12开始，旋转了32分钟，∴共计6°×32=192°，时针由起始位置2开始， 旋转了192°×
12
1
=16°，∴时针与分针的夹角为192°﹣（30°×2+16°）=116°，它是钝角． 3. 105
4. 解：由于以B 为顶点的角只有一个，所以∠ABC 直接用∠B 表示；∠α、∠β、∠C 可用
三个大写英文字母表示，即∠ADC 、∠ADB 、∠ACB ；∠BAD 可用一个希腊字母表示， 即∠γ；∠θ也可用三个大写字母表示，即∠CAD ． 答案为：
∠B ∠γ
∠ADC
∠ADB
∠ACB
∠CAD
5. D 【解析】 ∵∠C=30.25°=30°+0.25°，0.25°=0.25×60′=15′，，∴∠C=30°15′． ∵∠A=30°18′，∠B=30°15′30″，∴∠A ＞∠B ＞∠C ．故选D ．
6. 直角或锐角 【解析】 如图（1），
∠AOB 与∠BOC 的平分线相交成的角=
2
1
（∠AOB+∠BOC ）=90°； 如图（2），∠AOB 与∠BOC 的平分线相交成的角=2
1
（∠AOB ﹣∠BOC ）＜90°．
故∠AOB 与∠BOC 的平分线相交成直角或锐角． 7. 解：（1）图1中∠BOC 的余角是∠AOB 、∠DOC. （2）∠AOB ＝∠AOC －∠BOC=90°－50°=40°， ∠DOC ＝∠BOD －∠BOC=90°－50°=40°，所以∠AOB 和∠DOC 相等. （3）这种关系仍然成立，理由是：∠AOB 和∠DOC 都是∠BOC 的余角. （4）∠AOD 与∠COB 互补.
（5）当∠BOD 绕点O 旋转到图2的位置时，（4）中的猜想还成立.理由是：
∠AOC＋∠COB＋∠BOD＋∠AOD＝360°，所以∠AOD＋∠COB＝360°－∠AOC－∠BOD＝360°－90°－90°＝180°，所以∠AOD与∠COB仍然互补.