用判别式法求函数值域的方法
例1求函数y=1
223222++--x x x x 的值域 解:∵2x 2+2x+1=2(x+21)2+2
1>0 ∴函数的定义域为R,
将原函数等价变形为(2y-1)x 2+(2y+2)x+y+3=0,
我认为在此后应加上:关于．．x ．的方程．．．(2．．y ．-．1．)．x ．2．+(2y+2)x+y+3=0．．．．．．．．．．．．．．有实数解．．．．
例2求函数y=6
3422-+++x x x x 的值域 解:由x 2+x-6≠0得x ≠2,x ≠-3
∴函数的定义域为{x|x ∈R,x ≠2,x ≠-3}
由原函数变形得:(y-1)x 2+(y-4)x-6y-3=0
我认为在此之后应加上:关于．．x ．的方程．．．(．y ．-．1．)．x ．2．+(y ．．．-．4)x ．．．-．6y ．．-．3=0．．．有实数根且至少有一．．．．．．．．．
根不为．．．2．且不为．．．-．3．
例1及例2也需要作此修正,本人认为,这些文字说明对于整个题目的解题过程起着统帅作用．．．．
,同时也暴露出作者的思维过程,不能略去。 思考之二:对于形如y=f
ex dx c bx ax ++++22中分子分母都有公因式的处理方法 中处理方法就是要验证△=0时对应的y 值,该文中就是这样的说明的:由于函数变形为方程时不就是等价转化,故在考虑判别式的同时,还需对△=0进行检验,若对应的自变量在函数的定义域内,则y 值在值域内,否则舍去。
但在文2中例2中第2小题并没有对△=0进行检验,得出正确结果,这就使读者很困惑,究竟什么情况要检验,什么情况不进行检验呢？
我认为有关形如y=f
ex dx c bx ax ++++22中分子分母都有公因式的处理方法第一种可以按例2中约去公因式的方法,这已经不就是判别式法的范围之内,不在讨论之列,第二种处理方法仍然用判别式法,只不过在例1的解法基础上稍加改动即可,例3
求函数求函数y=6
3422-+++x x x x 的值域 解:由x 2+x-6≠0得x ≠2,x ≠-3
∴函数的定义域为{x|x ∈R,x ≠2,x ≠-3}
由原函数变形得:(y-1)x 2+(y-4)x-6y-3=0
我认为在此之后应加上:关于．．x ．的方程．．．(．y ．-．1．)．x ．2．+(y ．．．-．4)x ．．．-．6y ．．-．3=0．．．有实数根且至少有一．．．．．．．．．
根不为．．．2．且不为．．．-．3．
(1)当y=1时,代入方程求得x= -3,而x ≠-3,因此y ≠1
(2)当y ≠1时关于x 的方程(y-1)x 2+(y-4)x-6y-3=0为一元二次方程,可以验证x=-3
为该方程的根,x=2不就是该方程的根,因此只有两个根都为-3时不满足题意,其余
都符合题意,因此只需△≠0,即可得出即可得出y ≠5
2 由上可知:原函数的值域为{y|y ≠1, y ≠5
2} 上述作题步骤也适用于分子分母没有公因式的情况,
例4 求函数y=3
2122--+-x x x x 的值域 解:由已知得x ≠-1且x ≠3,将原函数化为(y-1)x 2-(2y-1)x-3y-1=0
由题意得关于x 的方程(y-1)x 2-(2y-1)x-3y-1=0有解且至少有一解不为3与-1
(1)当y=1时,x= -4,∴y 可以取1
(2)当y ≠1时,关于x 的方程(y-1)x 2-(2y-1)x-3y-1=0为一元二次方程,
显然可以验证x=3与x= -1不就是该方程的解
因此只需△≥0即可,以下过程略
思考之三:该方法的适用范围不仅适用于分式形式,对于二次函数．．．．
同样适用, 如:求函数y=x 2-3x+5的值域
解:由已知得关于x 的方程x 2-3x+5-y=0有实数解,因此△≥0即(-3)2-4(5-y)≥0
∴y ≥4
11 ∴所求函数的值域为{y| y ≥4
11} 练习: 求函数3
22122+-+-=x x x x y 的值域。 错解 原式变形为0)13()12()12(2=-+-+-y x y x y (*)
∵R x ∈,∴0)13)(12(4)12(2≥----=?y y y ,解得
21103≤≤y 。 故所求函数的值域就是]21,103[
分析 把21=
y 代入方程(*)显然无解,因此21=y 不在函数的值域内。事实上,2
1=y 时,方程(*)的二次项系数为0,显然用“?”来判定其根的存在情况就是不正确的,因此要注意判别式存在的前提条件,即需对二次方程的二次项系数加以讨论。
正解 原式变形为0)13()12()12(2=-+-+-y x y x y (*)
(1)当2
1=
y 时,方程(*)无解; (2)当21≠y 时,∵R x ∈,∴0)13)(12(4)12(2≥----=?y y y ,解得
2
1103<≤y 。 由(1)、(2)得,此函数的值域为)2
1,103[ 例5 求函数1++=x x y 的值域。
错解 移项平方得:()011222=+++-y x y x ,
由()014)]12([22≥+---=?y y 解得43≥y ,则原函数的值域就是??
????+∞,43、 分析 由于1-=-x x y 平方得()011222=+++-y x y x ,这种变形不就是等价变形,实际上扩大了x 的取值范围,如果从原函数定义域1≥x ,那么
11≥++=x x y ,显然??
????+∞∈,43y 就是错误的。 正解 令1-=x t ,则t ≥0,得12+=t x ,∴432112
2+??? ??+=++=t t t y , 又Θt ≥0,∴14321012
2=+??? ??+≥++=t t y , 故原函数的值域为[)+∞∈,1y
例6 求函数5
422++=x x y 的值域 错解 令42+=x t ,则1
2+=t t y ,∴02=+-y t yt ,由0412≥-=?y 及0>y 得值域为]2
1,0(∈y 。 分析 解法中忽视了新变元t 满足条件2≥t 。
正解 设y t yt t f +-=2)(,0>y ,),2[+∞∈t ,
?????????>≤>>≥?2210)2(0)2(0,0y
f f y 或520≤
例7 求函数1
222--+=x x x y 的值域 错解 Θ 1
222--+=x x x y )1(±≠x ----------------------① ∴222-+=-x x y yx ,即()0212=+---y x x y ---------②
当01=-y ,即1=y 时,由②得1=x (舍去),∴1≠y ;
当01≠-y 即1≠y 时,()()02141≥+---=?y y x 得()0322
≥-y , ∴R y ∈。 综上可述,原函数的值域为{y |1≠y 且R y ∈}。
分析 事实上,当23=y ,即1222--+x x x =2
3时,解得1=x ,而当1=x 时原函数没有意义,故2
3≠y 。错误的原因在于,当1=x 时,()212+---y x x y 的值为零,所以1=x 就是方程②的根,但它不属于原函数的定义域,所以方程②与方程①不同解,故函数1
222--+=x x x y 不能转化为二次方程,用二次方程的理论行不通。 正解 原函数可化为y =)1)(1()1)(2(+--+x x x x =)
1()2(++x x )1(±≠x ,即111++
=x y )1(±≠x , Θ11+x 0≠,1≠∴y 且2
3≠y 故原函数的值域为{y |1≠y 且23≠y }。
判别式法求函数值域 [6] 把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =，通过方程有实根，判别式0?≥，从而求得原函数的值域，这种方法叫做判别法。形如 2111122222 (,0)a x b x c y a a a x b x c ++=++不同时为的函数常用此法。此类问题分为两大类：一类为分子和分母没有公因式一般可使用判别式0?≥解得，但要注意判别式?中二次项系数为零和不为零两种情况；另一类为分子和分母中有公因式，约去因式回到上述方法解决。但值得注意的是函数的定义域问题。 例1、求函数22y=3 x x +的值域。 分析：函数22y=3x x +形如2111122222 (,0)a x b x c y a a a x b x c ++=++不同时为，且定义域为全休实数，因此可用判别式法求解。 解：由22y=3 x x + 得 2320yx y x +-= 当y = 0 时， x = 0 当0y ≠时，由0?≥ 得24120y -≥ ∴33 y -≤≤ ∴函数22y= 3x x +的值域为|33y y ??-≤≤?????。 例2、求函数22(1)(2)(1) x y x x +=--的值域。 分析：察看函数22(1)(2)(1)x y x x += --可知，分子和分母存在公因式1x +，因为分母不为0，则有10x +≠，因此可以分子和分母同时约去公因式1x +。从而原函数就等价为2(2)(1) y x x =--，再用判别式法去解。 解：由22(1)(2)(1)x y x x +=--=2(2)(1)x x --=2232 x x -+ 得
23220yx yx y -+-= ∵当0y =时，-2 = 0 ，不成立 当0y ≠时，由0?≥，得2(3)4(22)y y y ---=280y y +≥ ∴8y ≤-或0y ≥ 由于0y ≠ ∴函数22(1)(2)(1)x y x x +=--的值域为{}|80y y y ≤->或。
值域简单练习题 1.求6)(2+-=x x x f 在[]11， -上的值域 2.求函数132)(++= x x x f 的值域 3. 求函数1 33)(2+++=x x x x f 的值域 4.求函数x x x f -+=1)(的值域 5.1321 3)(x x +?-=x f 6.1)(22 +--=x x x x x f 7.x -1x 3131)(-+=x f 8.x x x f +-+=243)( 9.2x 2x -)(2++=x f 10.y =11.2256y x x =-++ 12.2cos 1 3cos 2x y x +=- 13. 求函数()1y x =≥的值域。
值域的求法加强练习题 解答题（共10小题） 1．已知函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B，求A∩B和（C R A）∩（C R B）． 2．已知函数f（x）=x2﹣bx+3，且f（0）=f（4）． （1）求函数y=f（x）的零点，写出满足条件f（x）＜0的x的集合； （2）求函数y=f（x）在区间（0，3]上的值域． 3．求函数的值域：． 4．求下列函数的值域： （1）y=3x2﹣x+2；（2）；（3）； （4）；（5）（6）； 5．求下列函数的值域 （1）； （2）； （3）x∈[0，3]且x≠1；
（4）． 6．求函数的值域：y=|x﹣1|+|x+4|． 7．求下列函数的值域． （1）y=﹣x2+x+2；（2）y=3﹣2x，x∈[﹣2，9]；（3）y=x2﹣2x﹣3，x∈（﹣1，2]；（4）y=．8．已知函数f（x）=22x+2x+1+3，求f（x）的值域． 9．已知f（x）的值域为，求y=的值域． 10．设的值域为[﹣1，4]，求a、b的值．
正确用判别式法求值域“着重点”辨析 用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要方法之一，它主要适用于分式型二次函数，或可通过换元法转化为二次函数的一些函数求值域问题。但在用判别式法求值域时因忽视一些“着重点”而经常出错，下面针对“着重点”一一加以辨析 着重点1 对二次方程的二次项系数是否为零加以讨论 例1 求函数3 22122+-+-=x x x x y 的值域。 错解 原式变形为0)13()12()12(2=-+-+-y x y x y （*） ∵R x ∈，∴0)13)(12(4)12(2≥----=?y y y ，解得 21103≤≤y 。 故所求函数的值域是]21,103[ 分析 把21=y 代入方程（*）显然无解，因此21=y 不在函数的值域内。事实上，21=y 时，方程（*）的二次项系数为0，显然用“?”来判定其根的存在情况是不正确的，因此要注意判别式存在的前提条件，即需对二次方程的二次项系数加以讨论。 正解 原式变形为0)13()12()12(2 =-+-+-y x y x y （*） （1）当2 1= y 时，方程（*）无解； （2）当2 1≠y 时，∵R x ∈，∴0)13)(12(4)12(2≥----=?y y y ，解得2 1103<≤y 。 由（1）、（2）得，此函数的值域为)21,103[ 着重点2 将原函数转化为方程时应等价变形 例2 求函数1++=x x y 的值域。 错解 移项平方得：()011222=+++-y x y x ， 由()014)]12([22≥+---=?y y 解得43≥y ，则原函数的值域是?? ????+∞,43. 分析 由于1-= -x x y 平方得()011222=+++-y x y x ，这种变形不是等价变
如何用判别式法求函数值域 用判别式法求值域是求函数值域的常用方法，但在教学过程中，很多学生对用判别式求值域掌握不好。一是不理解为什么可以这样做，二是学生对哪些函数求值域可以用判别式法，哪些函数不能也比较模糊。本人结合自己的教学实践谈谈对本内容的一点体会。 一、判别式法求值域的理论依据 例1、 求函数1 22+--=x x x x y 的值域 象这种分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。 解：由1 22+--=x x x x y 得： （y-1）x 2+(1-y)x+y=0 ① 上式中显然y ≠1,故①式是关于x 的一元二次方程 ?? ????-+--=∴≠≤≤-≥?---=?13111,13 10) 1(4)1(222，x x x x y y y ，y y y 的值域为又解得令 为什么可以这样做？即为什么△≥0，解得y 的范围就是原函数的值域？ 我们可以设计以下问题让学生回答： 1、 当x=1时，y=? (0) 反过来当y=0时，x=?（1） 当x=2时，y=? (32) 当y=3 2时，x=?（2） 以上y 的取值，对应x 的值都可以取到，为什么？ （因为将y=0和y=3 2代入方程①，方程的△≥0） 2、 当y=-1时，x=? 当y=2时，x=? 以上两个y 的值x 都求不到，为什么求不到？（因为将y 的值代入方程①式中△<0,所以无解） 3、 当y 在什么范围内，可以求出对应的x 值？ 4、 函数1 22+--=x x x x y 的值域怎样求？ 若将以上问题弄清楚了，也就理解了判别式求值域的理论依据。 二、判别式法求值域的适用范围 前面已经谈到分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。是不是所有这种类函数都可以用判别式法求值域？
关于判别式法求值域增根的研究 文章来源：2008年下半年度《试题与研究》 我们都知道对于形如f ( x ) = 的二次分式函数我们通常使用判别式来求其值域。但这是在分子分母没有公因式的前提下进行的，若分子分母有公因式时，我们须先 约去公因式，化成f(x) =的形式，然后再求出其值域。但如果我们用判别式法求这类函数的值域时，会出现什么情况呢？让我们比较吧！ 例：求二次分式函数y = 的值域．
y = y = = ， = 通过比较，我们发现用判别式法求值域的结果，比先化成一次分式函数来求解其值域的结果多了一个值y = 2。这就是说，
用判别式法求值域会产生增根。这是为什么呢？下面让我们首先来研究一下用判别式法来求值域的原理吧！ 函数是定义域到值域的映射，在定义域内任何一个x值，在值域内都有唯一一个y值与之对应。反过来，值域内每一个y 值，都会有一个或多个x值与之对应。将某一函数化为关于x 的方程（将y看作是x的系数），只是将x和y的对应关系用另一种形式表示出来，其对应实质并未改变。判别式法求值域就是基于这种思想而产生的。 将二次分式函数的分母乘到另一侧，得到一个关于x的方程。如果二次项系数不为0，此方程为关于x的一元二次方程。其中，当△≥0时（△是含字母y的式子），将这个范围内的y 值代入方程，都能够得到一个或两个与之对应的x值；而当△＜0时，方程无解，这说明在此范围内的y值没有x值与之对应，因此此范围内的值y不属于值域。如果二次项系数为0，此方程为关于x的一次方程，将此时y的取值代入解析式可得到一个与之对应的x值，如果所得x值在定义域内，则该y值属于值域；如果所得x值不在定义域内，或所得解析式根本没有意义，则该y值不属于值域。
一. 教学内容： 求函数的定义域与值域的常用方法 求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值 二. 学习目标 1、进一步理解函数的定义域与值域的概念； 2、会应用代换、方程思想求简单的函数解析式； 3、会求基本初等函数、简单的复合函数及含参变量函数的定义域、值域和最值； 4、会将求函数值域问题化归为求函数的最值问题，重视函数单调性在确定函数最值中的作用； 5、会求实际问题中的函数解析式、定义域、值域和最值问题； 6、会用集合、区间或不等式表示函数的定义域和值域。 三. 知识要点 （一）求函数的解析式 1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0； 2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形； 3、求函数解析式的一般方法有： （1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。 （2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值； （3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g （x），以换元法解之； （4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式； （5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。 （二）求函数定义域 1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示； 2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题； 3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；
求函数值域的解题方法总结（16种） 在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。 一、观察法： 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例:求函数()x 323y -+=的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出 ()x 3-2的值域。 解：由算术平方根的性质知()0x 3-2≥，故()3x 3-23≥+。 点评:算术平方根具有双重非负性，即：（1）、被开方数的非负性，（2）、值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧发。 练习：求函数()5x 0x y ≤≤=的值域。（答案：{}5,4,3,2,1,0） 二、反函数法： 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例：求函数2 x 1x y ++=的值域。 点拨:先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数2 x 1x y ++=的反函数为：y y --=112x ，其定义域为1y ≠的实数，故函数y 的值域为{}R y 1,y |y ∈≠。 点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。 练习:求函数x -x -x x 10101010y ++=的值域。（答案：{}1y 1-y |y 或）。 三、配方法： 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求函数的值域。 例：求函数() 2x x -y 2++=的值域。 点拨:将被开方数配方成平方数，利用二次函数的值求。 解：由02x x -2≥++可知函数的定义域为{}2x 1-|x ≤≤。此时2x x -2++=
第 1 页 共 6 页 求函数值域的几种常用方法 在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就求函数值域的方法归纳如下，供参考。 一、直接观察法 这是最基本的方法，通过对函数的定义域及其对应关系的观察分析，求函数的值域。 例1 求函数y = x 1 的值域。 解： x ≠0 ，∴ x 1 ≠0 显然函数的值域是：（ -∞，0 ）∪（0 ，+∞）. 例2 求函数y = 3 -x 的值域。 解： x ≥0 ∴- x ≤0 3 -x ≤3 故函数的值域是：(,3]-∞ . 二、反函数法 当一个函数存在反函数又便于求其反函数时，可以通过求原函数的定义域来确定反函数的值域。 例3 求函数y = 6 54 3++x x 值域。 解：由原函数式可得：x = 3 564--y y ， 则其反函数为：4653x y x -= - 其定义域为：x ≠5 3 ， 故所求函数的值域为：33 (,)(,)55 -∞?+∞. 注：本题还可以用分离系数法，把原函数式变形为：3252530 y x = ++同样达到目的。 例4 求函数11()211()2 x x y -= +值域。 解：由原函数式可得：1 21log 1y x y -=+， 则其反函数为：1 2 1log 1x y x -=+ 由 101x x ->+，知11x -<<， 故所求函数的值域为：(1,1)-. 注：本题还可以利用函数的有界性法，把原函数式变形为：11()02 1x y y -= >+同样达到目的 三、配方法 配方法是求二次函数（即形如2 ()()()f x ag x bg x c =++的函数）值域最基本的方法之一。 例5 求函数y =2 x -2x + 5，x ∈[-1，2]的值域。 解：将函数配方得：y =（x -1）2 + 4， x ∈[-1，2]， 由二次函数的性质可知： 当x = 1时，min y = 4 ， 当x = - 1，时max y = 8 ， 故函数的值域是：[ 4 ，8 ]. 例6 求函数y = 的值域。 解： 将函数变形为：y =故函数的值域是：[ 0 ， 3 2 ].
人教版必修一求函数值域的几种常见方法 1．直接法：利用常见函数的值域来求 一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠= k x k y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ， 当a>0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{a b a c y y 4)4(|2 -≤}. 例1．求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1 += x x y ④x x y 1 + = 解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3， ∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5] ②∵),0[4+∞∈-x ∴),2[)(+∞∈x f 即函数x x f -+=42)(的值域是 { y| y ≥2} ③1 111 111 +- =+-+= +=x x x x x y ∵ 01 1≠+x ∴1≠y 即函数的值域是 { y| y ∈R 且y ≠1}（此法亦称分离常数法） ④当x>0，∴x x y 1+ ==2)1(2 +- x x 2≥， 当x<0时，)1(x x y -+ --==－2)1(2 --- -x x 2-≤ ∴值域是 ]2,(--∞[2，+∞).（此法也称为配方法） 函数x x y 1+ =的图像为： 2．二次函数比区间上的值域(最值)： 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域： ①142+-=x x y ； ②]4,3[,142∈+-=x x x y ；③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ； 4 3 21 -1-2-3 -4 -6 -4 -2 2 4 6 y=x o -2 -112 f x () = x+ 1x
高中函数值域的12种求法 一．观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。 解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0， 故3+√(2－3x)≥3。 ∴函数的知域为. 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。 练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 二．反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。 点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。 练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝） 三．配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3}) 四．判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。 解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊） 当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3 当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。 点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。 练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。 五．最值法 对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。 例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。 点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。 解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x 中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2), ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。 当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。 ∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。 点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值
求函数的定义域与值域的常用方法 引入： 自变量x 的取值范围为 定义域 因变量y 的取值范围为 值域 求函数的解析式、求函数的定义域、求函数的值域、求函数的最值 一、 求函数的解析式 （一）解析式的表达形式 （解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。） 1、一般式 （是大部分函数的表达形式） 例：一次函数：b kx y +=)0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2)0(≠a 反比例函数：x k y = )0(≠k 正比例函数：kx y =)0(≠k 2、复合式 若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例1、已知3)(,12)(2+=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ，[]=)(x f g 。 解：[]721)3(21)(2)(22+=++=+=x x x g x g f [][]4443)12(3)()(222 ++=++=+=x x x x f x f g （二）解析式的求法 （根据已知条件求函数的解析式，常用配凑法、换元法、待定系数法、赋值（式）法、方程法等。） 1. 配凑法 例1.已知 ：23)1(2 +-=+x x x f ，求f(x)； 解：因为15)1(23)1(22+-+=+-=+x x x x x f 65)(6)1(5)1(22+-=++-+=x x x f ，x x 所以 例2、已知：221)1(x x x x f +=+，求)(x f 。 解： 2)1(1)1(222-+=+=+x x x x x x f ∴ )22(2)(2-≤≥-=x x x x f 或 注意：使用配凑法也要注意自变量的范围限制。
一．观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。 解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0， 故3+√(2－3x)≥3。 ∴函数的知域为 . 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 二．反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝） 三．配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3}) 四．判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。 解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊） 当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3 当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。 点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。 练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。 五．最值法 对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函域。 例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。 点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。 解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=-x2+4x(-1≤x≤3/2), ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。 当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。
用判别式法求函数值域的方法 例1求函数y=1 223222++--x x x x 的值域 解：∵2x 2+2x+1=2(x+21)2+2 1>0 ∴函数的定义域为R ， 将原函数等价变形为（2y-1）x 2+(2y+2)x+y+3=0, 我认为在此后应加上：关于．．x ．的方程（．．．．2．y ．-．1．）．x ．2．+(2y+2)x+y+3=0．．．．．．．．．．．．．．有实数解．．．． 例2求函数y=6 3422-+++x x x x 的值域 解：由x 2+x-6≠0得x ≠2,x ≠-3 ∴函数的定义域为{x|x ∈R ，x ≠2,x ≠-3} 由原函数变形得：（y-1）x 2+(y-4)x-6y-3=0 我认为在此之后应加上：关于．．x ．的方程（．．．．y ．-．1．）．x ．2．+(y ．．．-．4)x ．．．-．6y ．．-．3=0．．．有实数根且至少．．．．．．． 有一根不为．．．．．2．且不为．．．-．3． 例1及例2也需要作此修正，本人认为，这些文字说明对于整个题目的解题过程起着统帅作用．．．． ，同时也暴露出作者的思维过程，不能略去。 思考之二：对于形如y=f ex dx c bx ax ++++22中分子分母都有公因式的处理方法 中处理方法是要验证△=0时对应的y 值，该文中是这样的说明的：由于函数变形为方程时不是等价转化，故在考虑判别式的同时，还需对△=0进行检验，若对应的自变量在函数的定义域内，则y 值在值域内，否则舍去。 但在文2中例2中第2小题并没有对△=0进行检验，得出正确结果，这就使读者很困惑，究竟什么情况要检验，什么情况不进行检验呢 我认为有关形如y=f ex dx c bx ax ++++22中分子分母都有公因式的处理方法第一种可以按例2中约去公因式的方法，这已经不是判别式法的范围之内，不在讨论之列，第二种处理方法仍然用判别式法，只不过在例1的解法基础上稍加改动即可， 例3 求函数求函数y=6 3422-+++x x x x 的值域 解：由x 2+x-6≠0得x ≠2,x ≠-3 ∴函数的定义域为{x|x ∈R ，x ≠2,x ≠-3} 由原函数变形得：（y-1）x 2+(y-4)x-6y-3=0 我认为在此之后应加上：关于．．x ．的方程（．．．．y ．-．1．）．x ．2．+(y ．．．-．4)x ．．．-．6y ．．-．3=0．．．有实数根且至少．．．．．．． 有一根不为．．．．．2．且不为．．．-．3． （1）当y=1时，代入方程求得x= -3,而x ≠-3，因此y ≠1 （2）当y ≠1时关于x 的方程（y-1）x 2+(y-4)x-6y-3=0为一元二次方程，可以验
高考数学函数求值域的十二种方法 出国留学高考网为大家提供高考数学函数求值域的十二种方法，更多高考资讯请关注我们网站的更新! 高考数学函数求值域的十二种方法 一.观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2-3x)的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2-3x)的值域。 解：由算术平方根的性质，知√(2-3x)≥0，故3+√(2-3x)≥3。∴函数的值域为{y∣y≥3｝. 点评：算术平方根具有双重非负性，即：(1)被开方数的非负性，(2)值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。练习：求函数 y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案：值域为：{0，1，2，3，4，5｝) 二.反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定 义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R｝。 点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案：函数的值域 为{y∣y1｝) 三.配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利 用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(-x2+x+2)的值域。 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1，2]。此时- x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0，9/4]∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值 域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注 意定义域对值域的制约作用。 配方法是数学的一种重要的思想方法。练习：求函数y=2x- 5+√15-4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3}) 四.判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判 别式法求函数的值域。 例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。 解：将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0(*)当y≠2时,由 Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0，解得：2当y=2时,方程(*)无解。 ∴函数的值域为2点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于 方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应 于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。
求函数值域（最值）的几种常见方法 1．直接法：利用常见函数的值域来求 一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠= k x k y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ， 当a>0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{a b a c y y 4)4(|2 -≤}. 例1．求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1+=x x y ④x x y 1 += 2．二次函数必区间上的值域(最值)： 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域： ①142+-=x x y ； ②]4,3[,142∈+-=x x x y ；
③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ； 3．判别式法（△法）： 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论 例3．求函数6 6 522-++-=x x x x y 的值域 4．换元法 例4．求函数x x y -+=142的值域 5．分段函数 例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
练习 1 553--=x y ； 2 3 425 2+-=x x y 3、x x y -+=2； 4、242x x y --= 5、y=1 1 22+++-x x x x 6、12-=x x y
7、1 24 2+-=x x y 8、243+-=x x y 9、])3,1((342-∈-+-=x x x y 10、x x y 233-+-= 11、x x y 23-+= 12、2 21 322+---+=x x x x y
求函数值域的方法 求函数值域的方法有图象法，函数单调性法，配方法，平方法，换元法，反函数法（逆求法），判别式法，复合函数法，三角代换法，基本不等式法等。 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 1、求13+--=x x y 的值域 解法一：（图象法）可化为 ?? ? ??>-≤≤---<=3,431,221,4 x x x x y 观察得值域{}4 4≤≤-y y 解法三：（利用绝对值不等式） 4 14114)1(134 )1()3(13-=+--+≥+--+=+--=+--≤+--x x x x x x x x x x 所以同样可得值 域 2、求函数[]5,0,522∈+-=x x x y 的值域 解： 对称轴 []5,01∈=x [] 20,420,54 ,1max min 值域为时时∴====∴y x y x 3、求函数x x y -+=12 的值域 解：（换元法）设t x =-1，则)0(122≥++-=t t t y [)(] 4,41,01max ∞-∴==∴+∞∈=值域为，时当且开口向下 ，对称轴y t t
4、求函数[])1,0(239∈+-=x y x x 的值域 解：（换元法）设t x =3 ，则 31≤≤t 原函数可化为 [][]8,28,3;2,13,12 1 ,2m a x m i n 2值域为 时时对称轴∴====∴?= +-=y t y t t t t y 5、求函数x x y -+-=53 的值域 解：（平方法）函数定义域为：[]5,3∈x [][][] [] 2 ,24,21,0158,5,315 82)5()3(2 222原函数值域为得由∴∈∴∈-+-∈-+-+-+-=y x x x x x x x y 6、求函数 )0(2≤=x y x 的值域 解：（图象法）如图，值域为(]1,0 7、求函数x x y 2231+-? ? ? ??= 的值域 解：（复合函数法）令1)1(22 2 +--=+-=x x x t 3?? ? 由指数函数的单调性知，原函数的值域为?? ? ???+∞,31 8、求函数2 1 +-= x x y 的值域 解法一：（反函数法）{}1121,≠-+= y y y y x x 原函数值域为观察得解出 解法二：（利用部分分式法）由12 3 1232≠+-=+-+= x x x y ，可得值域{}1≠y y
求函数值域的 7类题型和16种方法 一、函数值域基本知识 1．定义：在函数()y f x =中，与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合）。 2．确定函数的值域的原则 ①当函数()y f x =用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合； ②当函数()y f x =用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； ③当函数()y f x =用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数()y f x =由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。 二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。 一般地，常见函数的值域： 1.一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R. 2.二次函数()2 0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ?? -+∞?? ?? ，当0a <时的值域为24,4ac b a ?? --∞ ???.， 3.反比例函数()0k y k x = ≠的值域为{}0y R y ∈≠. 4.指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 5.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R. 6.正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R. 三、求解函数值域的7种题型 题型一：一次函数()0y ax b a =+≠的值域（最值） 1、一次函数：()0y ax b a =+≠当其定义域为R ，其值域为R ；
关于判别式法求值域增根的研究 我们都知道对于形如f ( x ) = 的二次分式函数我们通常使用判别式来求其值域。但这是在分子分母没有公因式的前提下进行的，若分子分母有公因式时，我们须先约去公因式，化成f(x) =的形式，然后再求出其值域。但如果我们用判别式法求这类函数的值域时，会出现什么情况呢？让我们比较吧！ 例：求二次分式函数y = 的值域． y = y = = y =
y = = 通过比较，我们发现用判别式法求值域的结果，比先化成一次分式函数来求解其值域的结果多了一个值y = 2。这就是说，用判别式法求值域会产生增根。这是为什么呢？下面让我们首先来研究一下用判别式法来求值域的原理吧！
函数是定义域到值域的映射，在定义域内任何一个x值，在值域内都有唯一一个y值与之对应。反过来，值域内每一个y值，都会有一个或多个x值与之对应。将某一函数化为关于x 的方程（将y看作是x的系数），只是将x和y的对应关系用另一种形式表示出来，其对应实质并未改变。判别式法求值域就是基于这种思想而产生的。 将二次分式函数的分母乘到另一侧，得到一个关于x的方程。如果二次项系数不为0，此方程为关于x的一元二次方程。其中，当△≥0时（△是含字母y的式子），将这个范围内的y 值代入方程，都能够得到一个或两个与之对应的x值；而当△＜0时，方程无解，这说明在此范围内的y值没有x值与之对应，因此此范围内的值y不属于值域。如果二次项系数为0，此方程为关于x的一次方程，将此时y的取值代入解析式可得到一个与之对应的x值，如果所得x值在定义域内，则该y值属于值域；如果所得x值不在定义域内，或所得解析式根本没有意义，则该y值不属于值域。 但这样做不禁会使人产生疑问：将分式两边都乘以分母，x的定义域扩大了，不会产生增根吗？上面题中出现的增根是否源于此呢？让我们一起分析一下吧！
求函数值域常见的五种方法 求函数的值域是函数学习的一个难点，求值域时涉及到的知识和方法较多，下面介绍几种常用的方法供参考． 一、 判别式法 思路：将函数式整理成一元二次方程的形式，借用判别式求值域． 例1 求函数的4 312--=x x y 值域． 解：原式整理成01432 =---y yx yx ， )4()41()1(∞+?-?--∞∈，，，x ，且0≠y ， ∴0)14(492≥++=?y y y . 解得0≥y 或25 4-≤y ． 当 25 4-=y 时，)41(23，-∈=x ． 又0≠y ， ∴所求函数的值域是),0(]25 4--+∞?∞，（． 二、 配方法 例2 求函数x x y 21-+=的值域． 解：由已知得2 121)21(21+-+--=x x y 1)121(2 12+---=x
∴所求函数的值域是 ]1-，（∞． 三、 单调性法 思路：利用函数的图象和性质求解. 例3 当)0,2 1(-∈x 时，求函数)1lg()1lg(x x y -++=的值域． 解：由已知得)1lg(2 x y -=， ∵)0,2 1(-∈x ，∴)41,0(2∈x ． 又2x -在)0,2 1(-∈x 上递增， ∴)1,43(12 ∈-x ． 又u y lg =在)1,4 3(上递增， ∴)0,43(lg )1lg(2∈-x ，原函数的值域为)0,4 3(lg ． 四、 反函数法 例4 求函数x x y -+=11的值域． 解：∵函数的定义域是{}1,0|≠≥x x x 且，由原函数变形得01 1≥+-=y y x ， ∴1≥y 或1- 用判别式法求函数值域的方法 欧阳光明（2021.03.07） 例1求函数y=1223222++--x x x x 的值域 解：∵2x 2+2x+1=2(x+21)2+21 >0 ∴函数的定义域为R ， 将原函数等价变形为（2y-1）x 2+(2y+2)x+y+3=0, 我认为在此后应加上：关于x 的方程（2y-1）x 2+(2y+2)x+y+3=0有实数解 例2求函数y=63422-+++x x x x 的值域 解：由x 2+x-6≠0得x ≠2,x ≠-3 ∴函数的定义域为{x|x ∈R ，x ≠2,x ≠-3} 由原函数变形得：（y-1）x 2+(y-4)x-6y-3=0 我认为在此之后应加上：关于x 的方程（y-1）x 2+(y-4)x-6y-3=0有实数根且至少有一根不为2且不为-3 例1及例2也需要作此修正，本人认为，这些文字说明对于整个题目的解题过程起着统帅作用，同时也暴露出作者的思维过程，不能略去。 思考之二：对于形如y=f ex dx c bx ax ++++22中分子分母都有公因式的处理方 法 中处理方法是要验证△=0时对应的y 值，该文中是这样的说明的： 由于函数变形为方程时不是等价转化，故在考虑判别式的同时，还需对△=0进行检验，若对应的自变量在函数的定义域内，则y 值在值域内，否则舍去。 但在文2中例2中第2小题并没有对△=0进行检验，得出正确结果，这就使读者很困惑，究竟什么情况要检验，什么情况不进行检验呢？ 我认为有关形如y=f ex dx c bx ax ++++22中分子分母都有公因式的处理方法第一种可以按例2中约去公因式的方法，这已经不是判别式法的范围之内，不在讨论之列，第二种处理方法仍然用判别式法，只不过在例1的解法基础上稍加改动即可，例3 求函数求函数y=63422-+++x x x x 的 值域 解：由x 2+x-6≠0得x ≠2,x ≠-3 ∴函数的定义域为{x|x ∈R ，x ≠2,x ≠-3} 由原函数变形得：（y-1）x 2+(y-4)x-6y-3=0 我认为在此之后应加上：关于x 的方程（y-1）x 2+(y-4)x-6y-3=0有实数根且至少有一根不为2且不为-3 （1）当y=1时，代入方程求得x= -3,而x ≠-3，因此y ≠1 （2）当y ≠1时关于x 的方程（y-1）x 2+(y-4)x-6y-3=0为一元二次方程，可以验证x=-3为该方程的根，x=2不是该方程的根，因此只有两个根都为-3时不满足题意，其余都符合题意，因此只需△≠0，即可得出即可得出y ≠52用判别式法求函数值域的方法之欧阳光明创编
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