2019-2020年高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形3.6正弦定理和
余弦定理学案文
[知识梳理]
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
2．在△ABC中，已知a，b和A时，三角形解的情况
3．三角形中常用的面积公式 (1)S ＝1
2ah (h 表示边a 上的高)．
(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝1
2
ab sin C .
(3)S ＝1
2r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．
4．在△ABC 中，常有的结论 (1)∠A ＋∠B ＋∠C ＝π.
(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． [诊断自测] 1．概念思辨
(1)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．( )
(2)在△ABC 中，a sin A ＝a ＋b －c
sin A ＋sin B －sin C
.( )
(3)若a ，b ，c 是△ABC 的三边，当b 2
＋c 2
－a 2
>0时，△ABC 为锐角三角形；当b 2
＋c 2
－
a 2＝0时，△ABC 为直角三角形；当
b 2＋
c 2－a 2<0时，△ABC 为钝角三角形．( )
(4)在△ABC 中，若sin A sin B (1)(必修A5P 10A 组T 4)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin2A sin C ＝________. 答案 1 解析 由正弦定理得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝4∶5∶6，又由余弦定理知cos A ＝ b 2＋ c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，所以sin2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2×46×3 4 ＝1. (2)(必修A5P 20A 组T 11)若锐角△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC 等于________． 答案 7 解析 因为△ABC 的面积S △ABC ＝12AB ·AC sin A ，所以103＝1 2×5×8sin A ，解得sin A ＝ 32，因为角A 为锐角，所以cos A ＝12.根据余弦定理，得BC 2＝52＋82－2×5×8cos A ＝52＋82 －2×5×8×1 2 ＝49，所以BC ＝7. 3．小题热身 (1)(xx·天津高考)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝ 120°，则AC ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A 解析 在△ABC 中，设A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则由c 2 ＝a 2 ＋b 2 －2ab cos C ， 得13＝9＋b 2－2×3b ×? ?? ??－12，即b 2 ＋3b －4＝0，解得b ＝1(负值舍去)，即AC ＝1.故选A. (2)(xx·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝4 5，cos C ＝ 5 13 ，a ＝1，则b ＝________. 答案 2113 解析 由已知可得sin A ＝35，sin C ＝1213，则sin B ＝sin(A ＋C )＝35×513＋45×1213＝63 65，再 由正弦定理可得a sin A ＝b sin B ?b ＝1× 636535 ＝21 13 . 题型1 利用正、余弦定理解三角形 典例1 (xx·郑州预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 3cos B ＝ a sin A ，则cos B ＝( ) A ．－12 B.12 C ．－32 D.32 边角互化法． 答案 B 解析 由正弦定理知 sin B 3cos B ＝sin A sin A ＝1，即tan B ＝3，由B ∈(0，π)，所以B ＝π3， 所以cos B ＝cos π3＝1 2 .故选B. 典例2 (xx·重庆期末)在△ABC 中，已知AB ＝43，AC ＝4，∠B ＝30°，则△ABC 的面积是( ) A ．4 3 B ．8 3 C ．43或8 3 D. 3 注意本题的多解性． 答案 C 解析 在△ABC 中，由余弦定理可得AC 2 ＝42 ＝(43)2 ＋BC 2 －2×43BC cos30°， 解得BC ＝4或BC ＝8. 当BC ＝4时，AC ＝BC ，∠B ＝∠A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，∠C ＝120°， △ABC 的面积为12AB ·BC sin B ＝12×43×4×1 2 ＝4 3. 当BC ＝8时，△ABC 的面积为12AB ·BC sin B ＝12×43×8×1 2＝8 3.故选C. 方法技巧 正、余弦定理在解三角形中的应用技巧 1．已知两边和一边的对角或已知两角和一边都能用正弦定理解三角形，正弦定理的形式多样，其中a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 能够实现边角互化．见典例1. 2．已知两边和它们的夹角、已知两边和一边的对角或已知三边都能直接运用余弦定理解三角形．见典例2. 3．已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．见典例2. 冲关针对训练 1．(xx·河西五市联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(b －a )sin A ＝(b －c )·(sin B ＋sin C )，则角C 等于( ) A. π3 B.π6 C.π4 D.2π 3 答案 A 解析 由题意，得(b －a )a ＝(b －c )(b ＋c )，∴ab ＝a 2 ＋b 2 －c 2 ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1 2 ， ∴C ＝π 3 .故选A. 2．(xx·山东师大附中模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知cos2A ＝－1 3 ，c ＝3，sin A ＝6sin C . (1)求a 的值； (2)若角A 为锐角，求b 的值及△ABC 的面积． 解 (1)在△ABC 中，c ＝3，sin A ＝6sin C ，由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得a ＝6c ＝6 ×3＝3 2. (2)由cos2A ＝1－2sin 2A ＝－13得，sin 2 A ＝23，由0 则cos A ＝1－sin 2 A ＝ 33 . 由余弦定理a 2 ＝b 2 ＋c 2－2bc cos A ， 化简，得b 2 －2b －15＝0， 解得b ＝5(b ＝－3舍去)． 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×5×3×63＝52 2. 题型2 利用正、余弦定理判断三角形的形状 典例 (xx·陕西模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋ c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定 用边角互化法． 答案 B 解析 ∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2 A ，∴sin( B ＋ C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2 A .又sin A >0，∴sin A ＝1，∴A ＝π2，故△ABC 为直角三角形．故 选B. [条件探究1] 将本典例条件变为“若2sin A cos B ＝sin C ”，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形 答案 B 解析 解法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0， 因为－π 由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ?a 2＝b 2 ?a ＝b .故选B. [条件探究2] 将本典例条件变为“若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13”，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形 D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 答案 C 解析 在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13， ∴a ∶b ∶c ＝5∶11∶13， 故设a ＝5k ，b ＝11k ，c ＝13k (k >0)，由余弦定理可得 cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25k 2＋121k 2－169k 22×5×11k 2 ＝－23110 <0， 又∵C ∈(0，π)，∴C ∈? ?? ??π2，π， ∴△ABC 为钝角三角形．故选C. [条件探究3] 将本典例条件变为“若b cos B ＋c cos C ＝a cos A ”，试判断三角形的形状． 解 由已知得 b ·a 2＋ c 2－b 22ac ＋c ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a ·b 2＋c 2－a 2 2bc ， ∴b 2 (a 2 ＋c 2 －b 2 )＋c 2 (a 2 ＋b 2 －c 2 )＝a 2 (b 2 ＋c 2 －a 2 )． ∴(a 2 ＋c 2 －b 2 )(b 2 ＋a 2 －c 2 )＝0. ∴a 2＋c 2＝b 2或b 2＋a 2＝c 2 ，即B ＝π2或C ＝π2. ∴△ABC 为直角三角形． 方法技巧 判定三角形形状的两种常用途径 提醒：“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后 要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系． 冲关针对训练 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C. (1)求角A的大小； (2)若sin B＋sin C＝3，试判断△ABC的形状． 解(1)由2a sin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C及正弦定理，得2a2＝(2b－c)b＋(2c －b)c， 即bc＝b2＋c2－a2，∴cos A＝b2＋c2－a2 2bc ＝ 1 2 ， A∈(0，π)， ∴A＝60°. (2)∵A＋B＋C＝180°， ∴B＋C＝180°－60°＝120°. 由sin B＋sin C＝3，得sin B＋sin(120°－B)＝3，∴sin B＋sin120°cos B－cos120°sin B＝ 3. ∴3 2 sin B＋ 3 2 cos B＝3，即sin(B＋30°)＝1. ∵0° ∴B＋30°＝90°，即B＝60°. ∴A＝B＝C＝60°，∴△ABC为等边三角形. 题型3 与三角形有关的最值 角度1 与三角形边长有关的最值 典例(xx·杏花岭区模拟)已知锐角三角形 ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且a＝b cos C＋ 3 3 c sin B. (1)求B； (2)若b＝2，求ac的最大值． 本题采用转化法． 解(1)在△ABC中，∵a＝b cos C＋ 3 3 c sin B， ∴sin A＝sin B cos C＋ 3 3 sin C sin B， ∴sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋3 3 sin C sin B ， 化为cos B sin C ＝ 3 3 sin C sin B ，sin C ≠0， 可得tan B ＝3，B ∈(0，π)，∴B ＝π 3 . (2)由正弦定理得b sin B ＝2R ＝4 3 ， 令y ＝ac ＝2R sin A ·2R sin C ＝16 3sin A sin C ＝163sin A sin ? ????2π3－A ＝83sin ? ????2A －π6＋43. ∵0 2. 故π6<2A －π6<5π6，∴sin ? ????2A －π6∈? ????12，1， ∴y ∈? ?? ??83，4.∴ac 的最大值为4. 角度2 与三角形内角有关的最值 典例 (xx·庄河市期末)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，设f (x )＝a 2x 2 －(a 2 －b 2 )x －4c 2 . (1)若f (1)＝0，且B －C ＝π 3，求角C 的大小； (2)若f (2)＝0，求角C 的取值范围． 本题采用放缩法． 解 (1)由f (1)＝0，得a 2 －a 2 ＋b 2 －4c 2 ＝0， ∴b ＝2c ， 又由正弦定理，得sin B ＝2sin C ， ∵B －C ＝π 3 ， ∴sin ? ?? ??π3＋C ＝2sin C ， 整理得3sin C ＝cos C ，∴tan C ＝ 3 3 . ∵角C 是三角形的内角，∴C ＝π 6. (2)∵f (2)＝0，∴4a 2 －2a 2 ＋2b 2 －4c 2 ＝0， 即a 2 ＋b 2 －2c 2 ＝0， 由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝1 2 (当且仅当a ＝b 时取等号)． 又∵余弦函数在? ????0，π2上递减，C 是锐角， ∴0 3. 方法技巧 求与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角的取值范围、函数值域的求法求解范围即可． 冲关针对训练 (xx·绵阳检测)已知向量m ＝? ????3sin x 4，1，n ＝? ????cos x 4 ，cos 2 x 4，记f (x )＝m ·n . (1)若f (x )＝1，求cos ? ?? ? ?2π3－x 的值； (2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围． 解 (1)f (x )＝m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2 x 4＝ 32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ? ????x 2＋π6＋1 2. 因为f (x )＝1， 所以sin ? ????x 2＋π6＝12 ， cos ? ????x ＋π3＝1－2sin 2? ????x 2＋π6＝12，cos ? ????2π3－x ＝－cos ? ????x ＋π3＝－12. (2)因为(2a －c )cos B ＝b cos C ， 由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )， 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0， 所以cos B ＝12，B ＝π3，所以0 3， 所以π6 ??A 2＋π6<1， 又因为f (x )＝m ·n ＝sin ? ????x 2＋π6＋12 ， 所以f (A )＝sin ? ????A 2＋π6＋1 2， 故函数f (A )的取值范围是? ?? ??1，32. 1．(xx·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( ) A. π12 B.π6 C.π4 D.π3 答案 B 解析 因为a ＝2，c ＝2， 所以由正弦定理可知，2sin A ＝2sin C ， 故sin A ＝2sin C . 又B ＝π－(A ＋C )， 故sin B ＋sin A (sin C －cos C ) ＝sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝(sin A ＋cos A )sin C ＝0. 又C 为△ABC 的内角， 故sin C ≠0， 则sin A ＋cos A ＝0，即tan A ＝－1. 又A ∈(0，π)，所以A ＝3π 4. 从而sin C ＝ 12sin A ＝ 22×22＝12 . 由A ＝3π4知C 为锐角，故C ＝π 6. 故选B. 2．(xx·南阳模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋ c sin B cos A ＝12 b ，且a >b ，则B ＝________. 答案 π6 解析 由正弦定理，得sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝12sin B ，即sin B sin(A ＋C )＝1 2sin B ， 因为sin B ≠0，所以sin B ＝12，所以B ＝π6或5π6，又因为a >b ，故B ＝π 6 . 3．(xx·沈阳模拟)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )·sin C .若a ＝3，则b 2 ＋c 2 的取值范围是________． 答案 5 ＋c 2 ≤6 解析 由正弦定理可得，(a －b )·(a ＋b )＝(c －b )·c ，即b 2 ＋c 2 －a 2 ＝bc ，cos A ＝ b 2＋ c 2－a 22bc ＝12，又A ∈? ????0，π2，∴A ＝π3.∵b sin B ＝c sin C ＝ 3 sin π3 ＝2， ∴b 2＋c 2＝4(sin 2B ＋sin 2C )＝4[sin 2B ＋sin 2 (A ＋B )]＝4???? ??1－cos2B 2＋1－cos2(A ＋B )2＝ 3sin2B －cos2B ＋4＝2sin ? ????2B －π6＋4. ∵△ABC 是锐角三角形，且A ＝π3，∴B ∈? ?? ??π6，π2，即2B －π6∈? ????π6，5π6，∴12 ????2B －π6≤1，∴5 ≤6. 4．(xx·全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2 B ＝2sin A sin C . (1)若a ＝b ，求cos B ； (2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积． 解 (1)由题设及正弦定理可得b 2 ＝2ac . 又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c . 由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1 4 . (2)由(1)知b 2 ＝2ac . 因为B ＝90°，由勾股定理得a 2 ＋c 2 ＝b 2 . 故a 2 ＋c 2 ＝2ac ，得c ＝a ＝ 2. 所以△ ABC 的面积为1. [重点保分 两级优选练] A 级 一、选择题 1．(xx·长沙模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝13，b ＝3， A ＝60°，则边c ＝( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．6 答案 C 解析 a 2 ＝c 2 ＋b 2 －2cb cos A ?13＝c 2 ＋9－6c cos60°，即c 2 －3c －4＝0，解得c ＝4或c ＝－1(舍去)．故选C. 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( ) A ．a >b B ．a D ．a 与b 的大小关系不能确定 答案 A 解析 据题意由余弦定理可得a 2 ＋b 2 －2ab cos120°＝c 2 ＝(2a )2 ，化简整理得a 2 ＝b 2 ＋ab ，变形得a 2 －b 2 ＝(a ＋b )(a －b )＝ab >0，故有a －b >0，即a >b .故选A. 3．(xx·湖南长郡中学六模)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b sin2A ＝a sin B ，且c ＝2b ，则a b 等于( ) A ．2 B ．3 C. 2 D. 3 答案 A 解析 由2b sin2A ＝a sin B ，得4b sin A cos A ＝a sin B ，由正弦定理得4sin B sin A cos A ＝sin A sin B ，∵sin A ≠0，且sin B ≠0，∴cos A ＝14，由余弦定理得a 2＝b 2＋4b 2－b 2，∴a 2＝4b 2 ， ∴a b ＝2.故选A. 4．(xx·衡水中学调研)在△ABC 中，三边之比a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，则sin A －2sin B sin2C ＝ ( ) A ．1 B ．2 C ．－2 D.1 2 答案 B 解析 不妨设a ＝2，b ＝3，c ＝4，故cos C ＝4＋9－162×2×3＝－14，故sin A －2sin B sin2C ＝a －2b 2c cos C ＝ 2－6 8×? ?? ??－14＝2.故选B. 5．在△ABC 中，A ，B ，C 是三角形的三个内角，a ，b ，c 是三个内角对应的三边，已知 b 2＋ c 2＝a 2＋bc .若sin B sin C ＝34 ，△ABC 的形状( ) A ．等边三角形 B ．不含60°的等腰三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形 答案 A 解析 在△ABC 中，由余弦定理，可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，由已知，得b 2＋c 2－a 2 ＝bc ， ∴cos A ＝1 2 . ∵0 3 . ∵A ＋B ＋C ＝π，A ＝π3，∴C ＝2π 3－B . 由sin B sin C ＝34，得sin B sin ? ????2π3－B ＝3 4. 即sin B ? ????sin 2π3cos B －cos 2π3sin B ＝3 4. 32sin B cos B ＋12sin 2 B ＝34， 34sin2B ＋14(1－cos2B )＝34 ， 32sin2B －12cos2B ＝1，∴sin ? ????2B －π6＝1. 又∵－π6<2B －π6<7π 6， ∴2B －π6＝π2，即B ＝π 3 . ∴C ＝π 3 ，也就是△ABC 为等边三角形．故选A. 6．(xx·江西高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2 ＝(a －b )2 ＋6，C ＝π 3 ，则△ABC 的面积是( ) A ．3 B.932 C.33 2 D ． 3 3 答案 C 解析 c 2 ＝(a －b )2 ＋6，即c 2 ＝a 2 ＋b 2 －2ab ＋6.① ∵C ＝π3 ，∴由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2 －ab ，② 由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝33 2 .故选C. 7．(xx·上海杨浦质量调研)设锐角△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的边长分别为a ，b ， c ，且a ＝1，B ＝2A ，则b 的取值范围为( ) A ．(2，3) B ．(1，3) C ．(2，2) D ．(0,2) 答案 A 解析 由a sin A ＝b sin B ＝b sin2A ，得b ＝2cos A . π2 ， 所以π6 2 ，所以2 8．(xx·全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是1 2，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( ) A ．5 B. 5 C ．2 D ．1 答案 B 解析 S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝2 2，∴B ＝45°或135°.若B ＝45°，则由余弦定理得AC ＝1，∴△ABC 为直角三角形，不符合题意，因此B ＝135°，由余弦定理得AC 2 ＝AB 2 ＋BC 2 －2AB ·BC cos B ＝1＋2－2×1×2×? ?? ?? －22＝5，∴AC ＝ 5.故选B. 9．(xx·辽宁五校第一次联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若直线bx ＋y cos A ＋cos B ＝0与ax ＋y cos B ＋cos A ＝0平行，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰或者直角三角形 答案 C 解析 由两直线平行可得b cos B －a cos A ＝0，由正弦定理可知sin B cos B －sin A cos A ＝0，即12sin2A ＝1 2sin2B ，又A ，B ∈(0，π)，且A ＋B ∈(0，π)，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π 2.若A ＝B ，则a ＝b ，cos A ＝cos B ，此时两直线重合，不符合题意，舍去， 故A ＋B ＝π 2 ，则△ABC 是直角三角形．故选C. 10．(xx·武昌调研)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2b sin C ，则tan A ＋tan B ＋tan C 的最小值是( ) A ．4 B ．3 3 C ．8 D ．6 3 答案 C 解析 a ＝2b sin C ?sin A ＝2sin B sin C ?sin(B ＋C )＝2sin B sin C ?tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，又根据三角形中的三角恒等式tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C (注：tan A ＝tan(π－B －C )＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C ，即tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C )? tan B tan C ＝ tan A tan A －2 ， ∴tan A tan B tan C ＝tan A ·tan A tan A －2＝m 2 m －2(tan A ＝m )，令m －2＝t ?(t ＋2)2 t ＝t ＋4 t ＋ 4≥8，当且仅当t ＝4 t ，即t ＝2，tan A ＝4时，取等号．故选C. 二、填空题 11．(xx·重庆高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝ －1 4 ，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________. 答案 4 解析 由3sin A ＝2sin B 及正弦定理，得3a ＝2b ，所以b ＝3 2 a ＝3.由余弦定理cos C ＝ a 2＋ b 2－ c 22ab ，得－14＝22＋32－c 2 2×2×3 ，解得c ＝4. 12．(xx·河北唐山一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等差数列，且A －C ＝90°，则cos B ＝________. 答案 34 解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . ∴2sin B ＝sin A ＋sin C . ∵A －C ＝90°，∴2sin B ＝sin(90°＋C )＋sin C . ∴2sin B ＝cos C ＋sin C . ∴2sin B ＝2sin(C ＋45°)．① ∵A ＋B ＋C ＝180°且A －C ＝90°，∴C ＝45°－B 2，代入①式中，2sin B ＝2 sin ? ? ??? 90°－B 2. ∴2sin B ＝2cos B 2.∴4sin B 2cos B 2＝2cos B 2 . ∴sin B 2＝2 4 . ∴cos B ＝1－2sin 2B 2＝1－14＝34 . 13．(xx·沈阳监测)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且满足4S ＝a 2 －(b －c )2 ，b ＋c ＝8，则S 的最大值为________． 答案 8 解析 由题意得4×12 bc sin A ＝a 2－b 2－c 2 ＋2bc ， 又a 2 ＝b 2 ＋c 2－2bc cos A ，代入上式得2bc sin A ＝－2bc cos A ＋2bc ， 即sin A ＋cos A ＝1，2sin ? ????A ＋π4＝1，