2016年中考数学圆切线的证明题
1．已知：如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，OC垂直AD于F交⊙O于E ，
连结DE、BE，且∠C=∠BED．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若OA=10，AD=16，求AC的长．
2．（本题12分）如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点
E、F，点G是AD的中点．求证：GE是⊙O的切线．
3、如图8.AB是⊙O的直径，∠A=30o,延长OB到D使BD=OB.
(1)ABC是否是等边三角形？说明理由.
(2)求证：DC是⊙O的切线.
4、如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，AE平分∠BAD交BC于点E，点O是AB上一点，⊙O 过A、E两点, 交AD于点G，交AB于点F．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）当∠BAC=120°时，求∠EFG的度数．
C
E
D
A
F
O
B
图8
A
O
D
B
C
B
A
C
D
E
G
O F
第5题图
5．（10分）如图，点D 在O ⊙的直径AB 的延长线上，点C 在O ⊙上，CD AC =，0
120=∠ACD ， （1）求证：CD 是O ⊙的切线；
（2）若O ⊙的半径为2，求图中阴影部分的面积.
6.在Rt △ACB 中，∠C =90°，AC =3cm ，BC =4cm ，以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D .
（1）求线段AD 的长度；
（2）点E 是线段AC 上的一点，试问当点E 在什么位置时，直线ED 与⊙O 相切？请说明理由.
7、如图，等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝6，AB ＝8．以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，交AC 于点G ，
DF ⊥AC ，垂足为F ，交CB 的延长线于点E ． (1)求证：直线EF 是⊙O 的切线； (2)求sin ∠E 的值．
8、如图，直线l 与⊙O 相交于A ，B 两点，且与半径OC 垂直，垂足为H ，已知AB =16厘米，
4
cos 5
OBH ∠=．
(1) 求⊙O 的半径；
(2) 如果要将直线l 向下平移到与⊙O 相切的位置，平移的距离应是多少？请说明理由．
9．如图，⊙O 的直径AB=4，C 、D 为圆周上两点，且四边形OBCD 是菱形，过点D 的直线EF ∥AC ，交BA 、BC 的延长线于点E 、F ． （1）求证：EF 是⊙O 的切线； （2）求DE 的长．
O
D C
B A
（第7题图）
A B
O H C
l F
D
C
M
A D B
N C o
E
F
10、如图，已知矩形ABCD 内接于⊙O ，BD 为⊙O 直径,将△BCD 沿BD 所在的直线翻折后，得到点C 的对应点N 仍在⊙O 上,BN 交AD 与点M.若∠AMB=60°，⊙O 的半径是3cm. (1)求点O 到线段ND 的距离.
(2)过点A 作BN 的平行线EF ，判断直线EF 与⊙O 的位置关系并说明理由.
11． 如图，在⊙O 中，直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，连接AC ，将△ACE 沿AC 翻折得到△ACF ，直线FC 与直线AB 相交于点G ．
（1）直线FC 与⊙O 有何位置关系？并说明理由； （2）若2OB BG ==，求CD 的长．
12．如图，ABC △内接于O ，点D 在半径OB 的延长线上，
30BCD A ∠=∠=°．
（1）试判断直线CD 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若O 的半径长为1，求由弧BC 、线段CD 和BD 所围成的阴影部分面积（结果保留π和根号）．
13．(10分)已知，如图在矩形ABCD 中，点0在对角线AC 上，以 OA 长为半径的圆0与AD 、AC 分别交于点E 、F 。∠ACB=∠DCE．
(1)判断直线CE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； (2)若tan∠ACB=2
2
，BC=2，求⊙O 的半径．
A F C G O D E
B （第13题） A O
C B
D
（第21题）
14． 已知：如图，以ABC △的边AB 为直径的O 交边AC 于点D ，且过点D 的切线DE 平分边
BC ．
（1）BC 与O 是否相切？请说明理由；
（2）当ABC △满足什么条件时，以点O ，B ，E ，D 为顶点的四边形是平行四边形？并说明理由．
15.如图，以BC 为直径的⊙O 交△CFB 的边CF 于点A ，BM 平分∠ABC 交AC 于点M ，AD ⊥BC 于点D ，AD 交BM 于点N ，ME ⊥BC 于点E ，AB 2
=AF ·AC ，cos ∠ABD=5
3，AD=12．
⑴求证：△ANM ≌△ENM ； ⑵求证：FB 是⊙O 的切线；
⑶证明四边形AMEN 是菱形，并求该菱形的面积S ．
16.(10分) 如图9，已知，在△ABC 中，∠ABC =090，BC 为⊙O 的直径， AC 与⊙O 交于点D ,点E 为AB 的中点，PF ⊥BC 交B C 于点G,交AC 于点F . （1）求证：ED 是⊙O 的切线. （2）如果CF =1,CP =2，sin A =5
4
，求⊙O 的直径BC .
C E B O
A D
（第16
参考答案：
1、（1）证明：∵∠BED =∠BAD ，∠C =∠BED
∴∠BAD =∠C ·········································································· 1分 ∵OC ⊥AD 于点F
∴∠BAD +∠AOC =90o ································································ 2分 ∴∠C +∠AOC =90o ∴∠OAC =90o ∴OA ⊥AC
∴AC 是⊙O 的切线. ································································· 4分
（2）∵OC ⊥AD 于点F ，∴AF =
2
1
AD =8 ························································ 5分 在Rt △OAF 中，OF=22AF OA -=6 ··················································· 6分 ∵∠AOF =∠AOC ，∠OAF =∠C ∴△OAF ∽△OCA ············································································· 7分 ∴
OA
OF
OC OA =
即 OC =3
50
61002==OF OA ··································································· 8分 在Rt △OAC 中，AC =3
40
2
2
=
-OA OC ． ··········································· 10分
2．证明：（证法一）连接OE DE ，． 1分 ∵CD 是⊙O 的直径，
∴90AED CED ∠=∠=．
2分
∵G 是AD 的中点，
∴1
2
EG AD DG =
=． 4分
∴12∠=∠． 6分 ∵34OE OD =∴∠=∠，． 8分 ∴1324∠+∠=∠+∠．即90OEG ODG ∠=∠=． 10分 ∴GE 是⊙O 的切线．
12分
（证法二）连接OE OG ，． 1分 ∵AG GD CO OD ==，， ∴OG AC ∥．
2分 ∴1234∠=∠∠=∠，． 4分 ∵OC=OE ． ∴∠2=∠4． ∴∠1=∠3．
6分
又OE OD OG OG ==，，
∴OEG ODG △≌△． 8分 ∴90OEG ODG ∠=∠=． 10分 ∴GE 是⊙O 的切线．
12分
3、（1）解法一：∵∠A ＝30，∴∠COB ＝60．
………………2分
又OC ＝OB ，
∴△OCB 是等边三角形．
………………4分
解法二：∵AB 是⊙Ｏ的直径，∴∠ACB ＝90． 又∵∠A ＝30， ∴∠ABC ＝60． ………………2分
又OC ＝OB ， ∴△OCB 是等边三角形． ………………4分 （2）证明：由（1）知：BC ＝OB ，∠OCB ＝∠OBC ＝60．
又∵BD ＝OB ，∴BC ＝BD ．
………………6分
∴∠BCD ＝∠BDC ＝
1
2
∠OBC ＝30． ∴∠OCD ＝∠OCB ＋∠BCD ＝90， 故DC 是⊙Ｏ的切线．
………………8分
4、（1）证明：连接OE ，------------------------------1分
∵AB =AC 且D 是BC 中点， ∴AD ⊥B C ． ∵AE 平分∠BAD ，
∴∠BAE =∠DAE ．------------------------------3分 ∵OA =OE ， ∴∠OAE =∠OEA ． ∴∠OEA =∠DAE ． ∴OE ∥AD ． ∴OE ⊥BC ．
∴BC 是⊙O 的切线．---------------------------6分 （2）∵AB =AC ，∠BAC =120°，
∴∠B =∠C =30°．----------------------------7分 ∴∠EOB =60°．------------------------------8分 ∴∠EAO =∠EAG =30°．-------------------9分 ∴∠EFG =30°．------------------------------10分
5、（1）证明：连结OC . ………………1分 ∵ CD AC =，120ACD ?
∠=，
B
A
C
D E G O
F
∴ 30A D ?
∠=∠=. ………………2分 ∵ OC OA =,
∴ 230A ?
∠=∠=. ………………3分
∴ 290OCD ACD ?
∠=∠-∠=. …………………………………………………4分 ∴ CD 是O ⊙的切线. ……………………………………………………………5分 （2）解:∵∠A=30o
， ∴ 1260A ?
∠=∠=. ……………………………6分
∴ 3
23602602ππ=?=OBC
S 扇形. …………………………………………………7分
在Rt △OCD 中, ∵
tan 60CD
OC ?=, ∴ 32=CD . …………………………8分 ∴ 323222
1
21=??=?=?CD OC S OCD Rt . …………………………9分
∴ 图中阴影部分的面积为-323
2π
. ………………………………………10分
6、解：（1）在Rt △ACB 中，∵AC =3cm ，BC =4cm ，∠ACB =90°，∴AB =5cm ． ……1分 连结CD ，∵BC 为直径，∴∠ADC =∠BDC =90°． ∵∠A =∠A ，∠ADC =∠ACB ，∴Rt △ADC ∽Rt △ACB ． ∴AC AD
AB AC =
，∴592==AB AC AD ． …………………………4分 （2）当点E 是AC 的中点时，ED 与⊙O 相切． ………………5分
证明：连结OD ，∵DE 是Rt △ADC 的中线． ∴ED =EC ，∴∠EDC =∠ECD ．
∵OC =OD ，∴∠ODC =∠OCD ． …………………7分
∴∠EDO =∠EDC +∠ODC =∠ECD +∠OCD =∠ACB =90°．
∴ED 与⊙O 相切． …………………………9 7、(1)证明：如图，连结OD ，则 OD OB =． ∴ CBA ODB ∠=∠．
∵ AC =BC , ∴ CBA A ∠=∠． ∴ ODB A ∠=∠．
∵ OD ∥AC ，∴ ODE CFE ∠=∠． ∵ DF AC ⊥于F ，∴ 90CFE ∠=． ∴90ODE ∠=．∴ OD EF ⊥．
∴ EF 是⊙O 的切线． ------------------------------------------------------------3分 ( 2 ) 连结BG ，∵BC 是直径, ∴∠BGC =90=∠CFE ． ∴ BG ∥EF ．∴ GBC E ∠=∠．
设 CG x =，则 6AG AC CG x =-=-．
O
D
C B A
E
21
O
F E
D
C
B
A
在R t △BGA 中,22222
8(6)BG AB AG x =-=--． 在R t △BGC 中, 22222
6BG BC CG x =-=-． ∴ 2
2
2
2
8(6)6x x --=-．解得 23x =．即 23
CG =． 在R t △BGC 中,1sin 9
GC GBC BC ∠== ． ∴ sin ∠E 1
9
=
． --------------------------------------------- --------------------------------5分 8、解：(1) ∵ 直线l 与半径OC 垂直，∴ 11
16822
HB AB =
=?=．
……2分
∵ 4
cos 5
HB OBH OB ∠=
=， ∴ OB =54HB =54
×8= 10．
(2)
分
(2) 在Rt △OBH 中，
22221086OH OB BH -=-==．
……2分 ∴ 1064CH =-=．
所以将直线l 向下平移到与⊙O 相切的位置时，平移的距离是4cm ．
……2分
9．（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°． …………………………………………………… 1分 ∵四边形OBCD 是菱形， ∴OD //BC ．
∴∠1=∠ACB=90°． ∵EF ∥AC ，
∴∠2=∠1 =90°． …………… 2分 ∵OD 是半径，
∴EF 是⊙O 的切线． ………………………………………… 3分
（2）解：连结OC ，
∵直径AB=4， ∴半径OB=OC=2． ∵四边形OBCD 是菱形，
∴OD=BC=OB=OC=2． ………………………………………… 4分 ∴∠B=60°． ∵OD //BC ，
∴∠EOD=∠B= 60°．
在Rt △EOD 中，tan 2tan 6023DE OD EOD =∠=??=．…… 5分
10. (1)解：(法一)：过点O 作OG ⊥ND 于点G
∴∠OGD=90°
A
B
O H
C
(第20题)
l
E
∵四边形ABCD 是矩形, ∴∠C =90° 由翻折得
∠N=∠C = 90°= ∠OGD …………1分 ∴OG ∥BN ∵∠NBD=30°
∴∠GOD=30° …………3分
在Rt △OGD 中，cos30°= ,OD=3 ∴OG= …………5分 (法二)：过点O 作OG ⊥ND 于点G
则DG=NG …………1分 ∵OB=OD
∴OG 是△BDN 的中位线
∴OG= BN ∵四边形ABCD 是矩形, ∠C=90° ∴BD 是⊙O 直径 ∵OD=3
∴BD=6 …………3分
在Rt △BND 中，cos30°= ∴BN= ∴OG= …………5分 (2)相切.证明：连接OA 交BN 与H.
∵∠DBN=30°,
由翻折得∠DBC=∠DBN=30°.
∵∠ABC=90°, ∴∠ABO=60°. …………1分 ∵OA=OB, ∴△ABO 是等边三角形 . …………3分
∴∠AOB=60°.
∴∠BHO=90°. 又∵EF ∥BN , ∴∠FAH=90°.
∴ＯA ⊥EF.
∴EF 与⊙O 相切. …………5分 11．解：（1）直线FC 与⊙O 相切．……1分
理由如下：
连接OC ．
∵OA OC =， ∴12∠=∠……2分
由翻折得，13∠=∠，90F AEC ∠=∠=?．
∴23∠=∠． ∴OC ∥AF ． ∴90OCG F ∠=∠=?．
∴直线FC 与⊙O 相切．……4分
（2）在Rt △OCG 中，1
cos 22
OC OC COG OG OB ∠===，
∴60COG ∠=?．……6分
OD OG
2
1
BD
BN
3
323
6=?)
(2
3
3cm H M A
D B
N
C o E F
)(2
3
3cm A F C G O D
E B
（第20题） 1 3 2
在Rt △OCE 中，3
sin 60232
CE OC =??=?=．……8分 ∵直径AB 垂直于弦CD ， ∴223CD CE ==．……9分 12．解：（1）直线CD 与O 相切．
理由如下：
在O 中，223060COB CAB ∠=∠=?=°°．
又OB OC =∵，OBC ∴△是正三角形，60OCB ∠=∴°． 又30BCD ∠=∵°，603090OCD ∠=+=∴°°°， OC CD ⊥∴．
又OC ∵是半径，∴直线CD 与O 相切． （2）由（1）得COD △是Rt △，60COB ∠=°．
1OC =∵，3CD =∴．
13
22
COD S OC CD ==△∴·．
又1
π6
OCB S =
扇形∵， 3133ππ266
COD OCB S S S -=-=
-=△阴影扇形∴． 13．解：(1)直线CE 与⊙O 相切．……………………………………………………………2分
证明如下：
∵四边形ABCD 为矩形 ∴BC∥AD，∠ACB=∠DAC 又∵∠ACB=∠DCE ∴∠DAC=∠DCE
连接0E ，则∠DAC=∠AEO=∠DCE…………………………………………4分 ∵∠DCE+∠DEC=90° ∴∠AEO+∠DEC=90° ∴∠DEC=90°
∴CE 与⊙O 相切．………………………………………………………………6分 (2)∵tan∠ACB=
2
2
AB BC =，BC=2 ∴AB=BCtan∠ACB=2，AC=6 又∵∠ACB=∠DCE ∵tan∠DCE=
2
2
∴DE=DCtan∠DCE=l……………………………………………………………8分 方法一：在Rt △CDE 中 CE=223CD DE +=
A
O
C B
D
（第12
题）
连接OE ，令⊙O 的半径为r ，则在Rt △COE 中，
222CO OE CE =+
即22
(6)3r r -=+
解得：6
4
r =
…………………………………………………………10分 14、（1）BC 与
O 相切
理由：连结OD ，BD ， DE 切O 于D ，AB 为直径，
90EDO ADB ∴==∠∠， 又DE 平分CB ， 1
2
DE BC BE ∴=
=，
······································ 2分 EDB EBD ∴=∠∠．又ODB OBD =∠∠，90ODB EDB +=∠∠； 90OBD DBE ∴+=∠∠，即90ABC =∠． BC ∴与
O 相切． ·········································································· 4分
（2）当ABC △为等腰直角三角形()90ABC =∠时，四边形OBED 是平行四边形．
ABC △是等腰直角三角形()90ABC =∠，
AB BC ∴=． ·················································································· 6分
BD AC ⊥于D ，D ∴为AC 中点．
1
2
OD BC BE ∴=
=，OD BC ∥． ∴四边形OBED 是平行四边形． ························································· 8分
15、.⑴证明：∵BC 是⊙O 的直径
∴∠BAC=90o
又∵EM ⊥BC ，BM 平分∠ABC ， ∴AM=ME ，∠AMN=EMN 又∵MN=MN ， ∴△ANM ≌△ENM
⑵∵AB 2=A F ·AC ∴AB
AF AC AB =
又∵∠BAC=∠FAB=90o ∴△ABF ∽△ACB ∴∠ABF=∠C
又∵∠FBC=∠ABC+∠FBA=90o ∴FB 是⊙O 的切线
⑶由⑴得AN=EN ，AM=EM ，∠AMN=EMN ， 又∵AN ∥ME ，∴∠ANM=∠EMN ， ∴∠AMN=∠ANM ，∴AN=AM ，
∴AM=ME=EN=AN ∴四边形AMEN 是菱形 ∵cos ∠ABD=53，∠ADB=90o
∴5
3=AB
BD
设BD=3x ，则AB=5x ，，由勾股定理()()x x －x AD 4352
2==
而AD=12，∴x=3 ∴BD=9，AB=15
∵MB 平分∠AME ，∴BE=AB=15 ∴DE=BE-BD=6
∵ND ∥ME ，∴∠BND=∠BME ，又∵∠NBD=∠MBE ∴△BND ∽△BME ，则BE
BD ME ND =
设ME=x ，则ND=12-x ，15912=-x x ，解得x=215
∴S=M E ·DE=2
15×6=45
16、解：⑴ 连接OD …………………………………………1分 ∵BC 为直径 ∴△BDC 为直角三角形。 又∵∠OBD=∠ODB
Rt △ADB 中E 为AB 中点 ∴∠A BD=∠EDB …………………………2分 ∵∠OBD+∠ABD =900
∴∠ODB+∠EDB =900
∴ED 是⊙O 的切线。 …………………………………………5分 (2)∵PF ⊥BC
∴∠FPC=∠PDC 又∠PCF 公用
∴△PCF ∽△DCP ………………………………………………………7分
∴PC 2=CF ·CD
又∵CF =1, CP =2， ∴CD=4 …………………………………………8分
可知 sin ∠DBC = sin A =5
4 ∴
BC DC =54即BC 4=5
4
得直径BC= 5 ………………………………………10分