一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)
1. )(
0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .
(A )
(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导.
2.
)时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=
x x x x x
x βα.
(A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是等价无穷小; (C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小.
3.
若
()()()0
2x
F x t x f t dt
=-?,其中
()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ,则
( ).
(A )函数()F x 必在0x =处取得极大值;
(B )函数()F x 必在0x =处取得极小值;
(C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点;
(D )函数()F x 在0x
=处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.
)
(
)( , )(2)( )(10
=+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设
(A )2
2
x
(B )
2
22x +(C )1x - (D )2x +.
二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)
5. =
+→x
x x sin 20
)
31(lim .
6. ,)(cos 的一个原函数是已知
x f x x =??x x x
x f d cos )(则 .
7.
lim
(cos cos cos )→∞
-+++=2
2
2
21
n n n
n
n
n π
π
ππ .
8.
=
-+?
2
1
2
12
211
arcsin -
dx x
x x .
三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)
9. 设函数=()y y x 由方程
sin()1x y e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17
7
x x x x ?+-求
11. .
求,, 设?--?????≤<-≤=1 32
)(1020
)(dx x f x x x x xe x f x
12.
设函数
)(x f 连续,
=?1
()()g x f xt dt
,且→=0()
lim x f x A x ,A 为常数. 求'()
g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.
13.
求微分方程2ln xy y x x '
+=满足
=-
1(1)9y 的解.
四、 解答题(本大题10分)
14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ,过点(,)01,且曲线上任一点M x y (,)00处切线
斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲
线方程.
五、解答题(本大题10分)
15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线,该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.
(1)
求D 的面积A ;(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .
六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共8分)
16. 设
函数
)
(x f 在
[]
0,1上连续且单调递减,证明对任意的
[,]
∈01q ,
1
()()≥??q f x d x q f x dx
.
17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续,且0
)(0
=?
π
x d x f ,0
cos )(0
=?
π
dx x x f .证明:
在
()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ,使.0)()(21==ξξf f (提示:设
?=
x
dx
x f x F 0
)()()
一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C
二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)
5.
6
e . 6.c
x x +2
)cos (21 .7. 2π. 8.
3
π
.
三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 解:方程两边求导
(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++=
cos()
()cos()x y x y
e y xy y x e x xy +++'=-+
0,0x y ==,(0)1y '=-
10. 解:767u x x dx du =
=
1(1)112
()7(1)71u du du u u u u -=
=-++??原式
1
(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712
ln ||ln |1|77x x C =-++
11.
解:
1033
()x f x dx xe dx ---=+?
??
3
()x
xd e --=-+??
00
2
32
cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----??=--+-=???
令
321
4
e π
=
--
12. 解:由
(0)0f =,知(0)0g =。
===
??1
()()()x
xt u
f u du
g x f xt dt x
(0)x ≠
02
()()()(0)
x
xf x f u du
g x x x
-'=
≠?
2
0()()A
(0)lim lim
22x
x x f u du
f x
g x x →→'===?
02
()()lim ()lim
22x
x x xf x f u du
A A
g x A x
→→-'==-
=
?,'()g x 在=0x 处连续。
13.
解:2
ln dy y x dx x +=
2
2
(ln )
dx dx
x x y e e xdx C -??=+?
211
ln 39x x x Cx -=
-+
1
(1),09y C =-=,
11ln 39y x x x
=- 四、 解答题(本大题10分) 14. 解:由已知且0
2d x
y y x y
'=+?,
将此方程关于x 求导得y y y '+=''2
特征方程:022
=--r r
解出特征根:.2,121
=-=r r
其通解为
x x e C e C y 221+=-
代入初始条件
y y ()()001='=,得
31
,3221==
C C
故所求曲线方程为:
x x e e y 23132+=
-
五、解答题(本大题10分)
15. 解:(1)根据题意,先设切点为
)ln ,(00x x ,切线方程:
)(1
ln 00
0x x x x y -=
-
由于切线过原点,解出
e x =0,从而切线方程为:
x e y 1=
则平面图形面积
?-=
-=1
121
)(e dy ey e A y
(2)三角形绕直线x = e 一周所得圆锥体体积记为V 1,则2131
e V π=
曲线
x y ln =与x 轴及直线x = e 所围成的图形绕直线x = e 一周所得旋转体体积为V 2
?-=1
22)(dy
e e V y π
D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积
)
3125(6
221+-=
-=e e V V V π
六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共12分)
16. 证明:1
()()q
f x d x q f x dx -??1
()(()())
q
q
q
f x d x q f x d x f x dx =-+???
10
(1)()()q
q
q f x d x q f x dx
=--??
1212[0,][,1]
()()
12(1)()(1)()
0q q f f q q f q q f ξξξξξξ∈∈≥=
---≥
故有:
1
()()≥??q
f x d x q f x dx
证毕。
17.
证:构造辅助函数:
π
≤≤=?x dt t f x F x
0,)()(0
。其满足在],0[π上连续,在),0(π上可导。
)()(x f x F =',且0)()0(==πF F
由题设,有
????+===π
π
π
π0
)(sin cos )()(cos cos )(0|dx
x F x x x F x xdF xdx x f ,
有
?=π
sin )(xdx x F ,由积分中值定理,存在),0(πξ∈,使0sin )(=ξξF 即0)(=ξF
综上可知),0(,0)()()0(πξπξ∈===F F F .在区间],[,],0[πξξ上分别应用罗尔定理,知存
在
),0(1ξξ∈和),(2πξξ∈,使0)(1='ξF 及0)(2='ξF ,即0)()(21==ξξf f .
高
等数学I 解答
一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中) (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)
1. 当0x x →时,()(),x x αβ都是无穷小,则当0x x →时( D )不一定是无穷小.
(A)
()()x x βα+
(B) ()()x x 22
βα
+
(C)
[])()(1ln x x βα?+
(D)
)()(2x x βα
2. 极限
a
x a x a x -→??? ??1sin sin lim 的值是( C ). (A ) 1
(B ) e
(C )
a e cot (D ) a e tan
3.
???
??=≠-+=001
sin )(2x a x x
e x x
f ax 在0x =处连续,则a =( D ). (A ) 1
(B ) 0
(C ) e
(D )
1-
4. 设)(x f 在点x a =处可导,那么=
--+→h h a f h a f h )
2()(lim
( A ).
(A )
)(3a f '
(B ) )(2a f ' (C) )(a f '
(D )
)(31
a f '
二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)
5. 极限)
0(ln )ln(lim
>-+→a x a
a x x 的值是
a 1
.
6. 由x x y e
y
x 2cos ln =+确定函数y (x ),则导函数='y x
xe
ye x y
x xy
xy ln 2sin 2+++
-
.
7. 直线l 过点M (,,)123且与两平面x y z x y z +-=-+=202356,都平行,则直线l 的方程
为 13
121
1--=--=-z y x . 8. 求函数2
)4ln(2x x y -=的单调递增区间为 (-∞,0)和(1,+∞ ) .
三、解答题(本大题有4小题,每小题8分,共32分)
9. 计算极限10(1)lim
x
x x e
x →+-.
解:1
1
ln(1)120
00(1)1
ln(1)lim
lim lim
2x x
x
x x x x e e x x e
e e x x
x +-→→→+--+-===-
10. 已知:||3a =,||26b =,30a b ?=,求||a b ?。
解:
1312
cos 1sin ,13
5cos 2=
-==?=θθθb a b a ,
72
=?b a
11. 设)(x f 在[a ,b ]上连续,且
]
,[)()()(b a x dt
t f t x x F x
a
∈-=?,试求出)(x F ''。
解:
??-=x
a
x
a
dt
t tf dt t f x x F )()()(
??=-+='x
a
x
a
dt
t f x xf x xf dt t f x F )()()()()(
)()(x f x F =''
12. 求 3cos .sin x x dx x ? 解:23cos 1sin sin 2x x dx xd x x -=-??
2221111
sin sin sin cot 2222x x xdx x x x C
---=-+=--+?
四、解答题(本大题有4小题,每小题8分,共32分)
13. 求
?
-2
3
2
21
x x dx .
令
1x t =
?
--=21
2
322)1
(11
11dt t t t
原式
=-?dt
t 121
2
32
=arcsin t
12
3
2=
π
6
14. 求函数
2
12x x y +=
的极值与拐点.
解:函数的定义域(-∞,+∞)
2
2)1()1)(1(2x x x y ++-='
322)1()3(4x x x y +--='' 令0='y 得 x 1 = 1, x 2 = -1
0)1(<''y x 1 = 1是极大值点,0)1(>-''y x 2 = -1是极小值点
极大值1)1(=y ,极小值1)1(-=-y
0=''y 33
故拐点(-
3,-
2
3),(0,0)(
3,
2
3
)
15. 求由曲线
43x y =
与
23x x y -=所围成的平面图形的面积.
解 :,,
x x x x x x 3
232431240=--+=
x x x x x x ()(),,,.+-==-==620602123
S x x x dx x x x dx
=-++---??()()3260
2
3024334 =-++---()()x x x x x x 423602340
21632332316
=+=4521347
1
3 16. 设抛物线2
4x y -=上有两点(1,3)A -,(3,5)B -,在弧A B 上,求一点(,)P x y 使ABP
?的面积最大.
解:
AB y x AB P AB x y x x x ABP 连线方程: 点到的距离 的面积
+-==+-=-++-≤≤2104521
5
23
5
132()
?
S x x x x x ()()
=??-++=-++124523
522322
当 '=-+='=S x x x S x ()()4410 当时取得极大值也是最大值''=-<=S x x S x ()()40
1 此时 所求点为,y =313()
另解:由于的底一定故只要高最大而过点的抛物线
的切线与平行时高可达到最大值问题转为求,使 解得所求点为?ABC AB C AB C x x f x x x C ,,,()
,(),,(,)
002
0004253312113-'=-=--+=-=
六、证明题(本大题4分)
17. 设0x >,试证x x e x
+<-1)1(2.
证明:设
0),1()1()(2>+--=x x x e x f x
1)21()(2--='x e x f x ,x xe x f 24)(-='', 0)(,
0≤''>x f x ,因此)(x f '在(0,+∞)内递减。
在(0,+∞)内,)(,0)0()(x f f x f ='<'在(0,+∞)内递减, 在(0,+∞)内,
),0()(f x f <即0)1()1(2<+--x x e x
亦即当 x >0时,x x e x
+<-1)1(2 。
高等数学I A
一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中) (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 18. 函数
???
??????<+<≤>-+=0,sin 1
0,2tan 1,1)
1ln()(x x x x x x x x x f π
的全体连续点的集合是 ( )
(A) (-∞,+∞)
(B) (-∞,1)
(1,+ ∞)
(C) (-∞,0)
(0, +∞)
(D) (-∞,0) (0,1) (1,+ ∞)
19.
设0)11(lim 2=--++∞→b ax x x x ,则常数a ,b 的值所组成的数组(a ,b )为( )
(A ) (1,0) (B ) (0,1) (C ) (1,1) (D ) (1,-1)
20.
设在[0,1]上
)(x f 二阶可导且0)(>''x f ,则( )
(A )
)0()1()1()0(f f f f -<'<'
(B)
)1()0()1()0(f f f f '<-<'
(C)
)0()1()0()1(f f f f -<'<'
(D )
)0()1()0()1(f f f f '<'<-
21.
,1cos sin 2
2
2
4
dx x
x
x M ?-
+=
π
π
?-
+=2
24
3)cos (sin π
πdx x x N ?--=
2
2
4
32)cos sin (π
π
dx x x x P 则( )
(A ) M < N < P (B ) P < N < M (C ) P < M < N (D ) N < M < P
二 填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 1. 设=->)1arctan (12x x d x ( )
2. 设
?
+=,
sin )(c x dx x f 则
?
=
dx x f n )()(( )
3. 直线方程p z n y m
x +-=
=--65
24,与xoy 平面,yoz 平面都平行,
那么m n p ,,的值各为( )
4. =
??
? ??=+∞
→∑2
12
lim
n i n
i x e
n
i
( )
三 解答题(本大题有3小题,每小题8分,共24分)
1. 计算
??? ?
?-→2201sin 1
lim x x x