一、内点法
1. 基本原理
内点法的特点是将构造的新的无约束目标函数——惩罚函数定义在可行域内，并在可行域内求惩罚函数的极值点，即求解无约束问题时的探索点总是在可行域内部，这样，在求解内点惩罚函数的序列无约束优化问题的过程中，所求得的系列无约束优化问题的解总是可行解，从而在可行域内部逐步逼近原约束优化问题的最优解。。
内点法是求解不等式约束最优化问题的一种十分有效方法，但不能处理等式约束。因为构造的内点惩罚函数是定义在可行域内的函数，而等式约束优化问题不存在可行域空间，因此，内点法不能用来求解等式约束优化问题。
对于目标函数为
min ()f X
s.t. ()0u g X ≤ （u=1,2,3,…m ）
的最优化问题，利用内点法进行求解时，构造惩罚函数的一般表达式为
()()
11
(,)()()m
k k u u
X r f X r
g X ?==-∑ 或者 ()
()
()
[]1
1
(,)()ln ()
()ln ()m
m
k k k u
u
u u X r
f X r
g X f X r
g X ?===+=--∑∑
而对于()f X 受约束于()0(1,2,
,)u g X u m ≥=的最优化问题，其惩罚函数的一般形式为
()
()
11
(,)()()m
k k u u
X r f X r
g X ?==+∑ 或
()()
[]1
(,)()ln ()m
k k u
u X r f X r
g
X ?==-∑
式中，()
k r
-----惩罚因子，是递减的正数序列，即
()()()()()01210k k r r r r r +>>>>>>
>
()lim 0k k r →∞
=
通常取()
1.0,0.1,0.01,0.001,
k r
=。
上述惩罚函数表达式的右边第二项，称为惩罚项，有时还称为障碍项。
说明：
当迭代点在可行域内部时，有()0u g X ≤（u =1，2，3，4，…m ），而()
0k r
>，则惩罚
项恒为正值，当设计点由可行域内部向约束边界移动时，惩罚项的值要急剧增大并趋向无穷大，于是惩罚函数的值也急剧增大直至无穷大，起到惩罚的作用，使其在迭代过程中始终不
会触及约束边界。
2. 内点法的迭代步骤
（1）取初始惩罚因子(0)
0r
>，允许误差0ε>；
（2）在可行域D 内取初始点()
0X ，令1k =；
（3）构造惩罚函数()
(,)k X r
?，从(1)k X -点出发用无约束优化方法求解惩罚函数
()(,)k X r ?的极值点()()k X r *；
（4）检查迭代终止准则：如果满足
()()1571()()1010k k X r X r ε-**---≤=-
或
()()()134
21(,)(,)1010(,)
k k k X r X r X r ??ε?-**---*
-≤=- 则停止迭代计算，并以()
()k X r
*
为原目标函数()f
X 的约束最优解，否则转入下一步；
根据情况，终止准则还可有如下的形式：
()()1()()k k f X f X ε--≤
或
()
11
()m
k u u
r
g X ε=≤∑ 或
()
1
ln ()
m
k u
u r
g X ε=≤∑
5）取()
()()()10
,(),1k k
k
r
Cr X X r k k +*===+，转向步骤3）。
递减系数0.10.5C =-，常取0.1，亦可取0.02。
采用内点法应注意的几个问题： （1）初始点()
0X 的选取
初始点()
0X
必须严格在可行域内，满足所有的约束条件，避免为约束边界上的点。
如果约束条件比较简单，可以直接人工输入；若问题比较复杂，可采用随机数的方式产生初始点()
0X
，具体方程参照复合形法介绍。
（2）关于初始惩罚因子(0)r 的选择。实践经验表明，初始惩罚因子(0)r 选的恰当与否，会显著地影响内点法的收敛速度，甚至解题的成败。
若()
0r
值选得太小，则在新目标函数即惩罚函数()
(,)k X r
?中惩罚项的作用就会很小，
这时求()
(,)k X r ?的无约束极值，犹如原目标函数()f X 本身的无约束极值，而这个极值点
又不大可能接近()f X 的约束极值点，且有跑出可行域的危险。相反，若()
0r 值取得过大，
则开始几次构造的惩罚函数()
(,)k X r ?的无约束极值点就会离约束边界很远，将使计算效率
降低。可取()
0r
≈1～50，但多数情况是取()0
1r =。
通常，当初始点()
0X
是一个严格的内点时，则应使惩罚项()
()0011
()m
u u r
g X
=∑在新目标函数()
(,)k X r
?中所起的作用与原目标函数()0()f X 的作用相当，于是得
()
()()
001()
1()m u u f X r
g X
==∑
倘若约束区域是非凸的且初始点()
0X 亦不靠近约束边界，则()
0r
的取值可更小，约为上式算
得值的0.1～0.5倍。
内点法的计算程序框图
例题：用内点法求
min 22
12()f X x x =+
s.t. 1()10g X x =-≤ （u=1,2,3,…m ） 的约束最优解。（取ε=0.001）
解：构造内点惩罚函数为
()()
[][]22
()1211
(,)()ln ()ln (1)m
k k k u
u X r f X r
g
X x x r x ?==--=+---∑
用极值条件进行求解
()
111201
k r x x x ??=-=?-，2220x x ??==? 联立上式求得
*()
1
1()2
k x r =，*()
2()0k x r =
由于约束条件的限制，可得无约束极值点为
*()
()T
k X r ?=?????
当()k r 取1，0.1,0.01,…→0时，可得最优解为
*[1,0]T X =，*()1f X =
编程方式实现：
1. 惩罚函数
function f=fun(x,r)
f=x(1,1)^2+x(2,1)^2-r*log(x(1,1)-1); 2. 步长的函数
function f=fh(x0,h,s,r) %h 为步长 %s 为方向 %r 为惩罚因子 x1=x0+h*s; f=fun(x1,r); 3. 步长寻优函数
function h=fsearchh(x0,r,s)
%利用进退法确定高低高区间，利用黄金分割法进行求解 h1=0;%步长的初始点 st=0.001; %步长的步长 h2=h1+st;
f1=fh(x0,h1,s,r); f2=fh(x0,h2,s,r); if f1>f2
h3=h2+st;
f3=fh(x0,h3,s,r); while f2>f3 h1=h2; h2=h3; h3=h3+st; f2=f3;
f3=fh(x0,h3,s,r); end
else
st=-st;
v=h1;
h1=h2;
h2=v;
v=f1;
f1=f2;
f2=v;
h3=h2+st;
f3=fh(x0,h3,s,r);
while f2>f3
h1=h2;
h2=h3;
h3=h3+st;
f2=f3;
f3=fh(x0,h3,s,r);
end
end
%得到高低高的区间
a=min(h1,h3);
b=max(h1,h3);
%利用黄金分割点法进行求解
h1=1+0.382*(b-a);
h2=1+0.618*(b-a);
f1=fh(x0,h1,s,r);
f2=fh(x0,h2,s,r);
while abs(a-b)>0.0001
if f1>f2
a=h1;
h1=h2;
f1=f2;
h2=a+0.618*(b-a);
f2=fh(x0,h2,s,r); else
b=h2;
h2=h1;
f2=f1;
h1=a+0.382*(b-a);
f1=fh(x0,h1,s,r);
end
end
h=0.5*(a+b);
4. 迭代点的寻优函数
function f=fsearchx(x0,r,epson)
x00=x0;
m=length(x0);
s=zeros(m,1);
for i=1:m
s(i)=1;
h=fsearchh(x0,r,s);
x1=x0+h*s;
s(i)=0;
x0=x1;
end
while norm(x1-x00)>epson
x00=x1;
for i=1:m
s(i)=1;
h=fsearchh(x0,r,s);
x1=x0+h*s;
s(i)=0;
x0=x1;
end
end
f=x1;
5. 主程序
clear
clc
x0=[2;2]; %给定初始点
r=1;
c=0.1;
epson=0.001;
x1=fsearchx(x0,0.1,epson);
while norm(x0-x1)>epson
x0=x1;
r=r*c;
x1=fsearchx(x0,r,epson) ;
end
disp '函数的最优解为'
x1
运行结果：
函数的最优解为
x1 =
1.0475
-0.0005
力法历年计算题 [ 按步骤给分 ，考题重复率较高 ] 1用力法计算图示结构并作弯矩图，EI=常数。 （1201考题） l l 解：（1）一次超静定结构，基本体系如图 ； （2） 作 1M 图，P M 图如图。 l F P 2 3 /l F P 3/l F P 3 /5l F P 3 /l F P 基本体系 1M 图 P M 图 M 图 （3） 列出力法方程 011111=?+=?P x δ 一次超静定结构，基本体系如图所示。F=10，m l 3=，作单位弯矩图 (4) 计算：∑?==s EI M d 2111δEI EI l l l l l EI EI Ay 542)32213(132 20==?+??=∑， EI EI Fl Fl l Fl l EI EI Ay ds EI M M P P 18032)2.65213121(1322011-=-=?-?===?∑∑? ，kN 310 31==F X (5) 用叠加原理P M X M M +=11,作弯矩图M 图。
2用力法计算图示结构并作弯矩图，EI=常数。（0907,1801考题） l l P F 解：（1）基本体系如图（a ）。 （2）作1M 图如图（b ），作P M 图如图（c ）。 1 X 1=1 F F P 2 P F （a ）基本体系 （b ）1M （c ）P M （d ）M 图（7/l F P ?） （3）力法方程 01111=?+P X δ （4）计算 EI l 3/7311=δ， EI l F P P /231-=? ， 7/61P F X = （5）用叠加原理P M X M M +=11, 作总弯矩图如图（d ）所示。 2-1用力法计算图示结构并作弯矩图，各杆EI=常数。（1501考题,上题图形左右对称反转，数据不变） 解： （1 ）基本体系如图（a ）所示。 （2）作1 M 图如图（b ）, 作 P M 图如图（c ）所示。 （a ）基本体系 （b ）1M 图 （c ）P M （d ）M 图（×l F P /7） （3）力法方程 01111=?+P X δ （4）计算 EI l 3/7311=δ， EI l F P P /231-=? ， 7/61P F X = （5）用叠加原理P M X M M +=11，作总弯矩图如图（d ）所示。
综合练习2 三、作图题 1.绘制图示结构的弯矩图。 答： 2. 绘制图示结构的弯矩图。 答： 3. 绘制图示结构的弯矩图。 答： 6. 绘制图示结构的弯矩图。 答： 四、计算题 1.用力法计算图示结构，作弯矩图。EI =常数。 解：(1) 选取基本体系 (2) 列力法方程 (3) 作1M 图、P M 图 1M 图 P M 图 (4) 求系数和自由项 由图乘法计算?11、?1P ∑?==s 2111d EI M δEI l 343 ； ==?∑?S P P d EI M M 11EI Pl 48293- 解方程可得 =1X 64 29P (5) 由叠加原理作M 图 M 图 2．用力法计算图示结构，作弯矩图。EI =常数。 解：(1) 选取基本体系 (2) 列力法方程 (3) 作1M 图、P M 图 1M 图(单位：m ) P M 图 (单位：m kN ?) (4) 求系数和自由项 由图乘法计算?11、?1P M A
∑?==s 2111d EI M δEI 3128 ；==?∑?S P P d EI M M 11EI 3480 解方程可得=1X kN 75.3- (5) 由叠加原理作M 图 M 图(单位：m kN ?) 3. 利用对称性计算图示结构，作弯矩图。EI =常数。 解： (1) 将荷载分成对称荷载和反对称荷载。 (2) 简化后可取半边结构如所示。 (3)作出一半刚架弯矩图如图所示。 (单位：m kN ?) (4)作整个刚架弯矩图如图所示。） (单位：m kN ?) 4. 用力法计算图示结构，作弯矩图。EI =常数。 解：(1) 选取基本体系 (2) 列力法方程 (3) 作1M 图 、P M 图 1M 图(单位：m ) P M 图(单位：m kN ?) (4) 求系数和自由项 由图乘法计算?11、?1P 解方程可得=1X kN 5.42 (5) 由叠加原理作M 图 M 图 (单位：m kN ?) 5．用位移法计算图示刚架，列出位移法方程，求出系数项及自由项。EI =常数。 解： (1)基本未知量 这个刚架基本未知量只有一个结点B 的角位移1?。 (2)基本体系 在B 点施加附加刚臂，约束B 点的转动，得到基本体系。 (3)位移法方程 01111=+?P F k (4)计算系数和自由项 令6EI i =，作1M 图如图所示。 1M 图 取结点B 为研究对象，由0=∑B M ，得=11k 11i
第六章 位移法 一、是非题 1、位移法未知量的数目与结构的超静定 次数有关。 2、位移法的基本结构可以是静定的，也 可以是超静定的。 3、位移法典型方程的物理意义反映了原 结构的位移协调条件。 4、结 构 按 位 移 法 计 算 时 ， 其 典 型 方 程 的 数 目 与 结 点 位 移 数 目 相 等 。 5、位移法求解结构内力时如果P M 图为 零，则自由项1P R 一定为零。 6、超 静 定 结 构 中 杆 端 弯 矩 只 取 决 于 杆 端 位 移 。 7、位 移 法 可 解 超 静 定 结 构 ，也 可 解 静 定 结 构 。 8、图示梁之 EI =常数，当两端发生图 示角位移时引起梁中点C 之竖直位移为 (/)38l θ（向下）。 /2/22l l θ θC 9、图示梁之EI =常数，固定端A 发生顺时针方向之角位移θ，由此引起铰支端B 之转角（以顺时针方向为正）是 -θ/2 。 10、用位移法可求得图示梁B 端的竖向位移为ql EI 324/。 q l 11、图 示 超 静 定 结 构 ， ?D 为 D 点 转 角 （顺 时 针 为 正）， 杆 长 均 为 l , i 为 常 数 。 此 结 构 可 写 出 位 移 法 方 程 111202i ql D ?+=/。 二、选择题 1、位 移 法 中 ，将 铰 接 端 的 角 位 移 、滑 动 支 承 端 的 线 位 移 作 为 基 本 未 知 量 ： A. 绝 对 不 可 ； B. 必 须 ； C. 可 以 ，但 不 必 ； D. 一 定 条 件 下 可 以 。
2、AB 杆 变 形 如 图 中 虚 线 所 示 ， 则 A 端 的 杆 端 弯 矩 为 ： A.M i i i l AB A B AB =--426???/ ; B.M i i i l AB A B AB =++426???/ ; C.M i i i l AB A B AB =-+-426???/ ; D.M i i i l AB A B AB =--+426???/。 ?A B 3、图 示 连 续 梁 ， 已 知 P , l ， ?B , ?C , 则 ： A. M i i BC B C =+44?? ； B. M i i BC B C =+42?? ； C. M i Pl BC B =+48?/ ； D. M i Pl BC B =-48?/ 。 4、图 示 刚 架 ， 各 杆 线 刚 度 i 相 同 ， 则 结 点 A 的 转 角 大 小 为 ： A. m o /(9i ) ; B. m o /(8i ) ; C. m o /(11i ) ; D. m o /(4i ) 。 5、图 示 结 构 ， 其 弯 矩 大 小 为 ： A. M AC =Ph /4, M BD =Ph /4 ; B. M AC =Ph /2, M BD =Ph /4 ; C. M AC =Ph /4, M BD =Ph /2 ; D. M AC =Ph /2, M BD =Ph /2 。 2 6、图 示 两 端 固 定 梁 ， 设 AB 线 刚 度 为 i ， 当 A 、B 两 端 截 面 同 时 发 生 图 示 单 位 转 角 时 ， 则 杆 件 A 端 的 杆 端 弯 矩 为 ： A. I ; B. 2i ; C. 4i ; D. 6i ( )i A B A =1 ?B =1? 7、图 示 刚 架 用 位 移 法 计 算 时 ， 自 由 项 R P 1 的 值 是 ： A. 10 ； B. 26 ； C. -10 ； D. 14 。 4m 6kN/m 8、用 位 移 法 求 解 图 示 结 构 时 ， 独 立 的 结 点 角 位 移 和 线 位 移 未 知 数 数 目 分 别 为 ： A . 3 , 3 ; B . 4 , 3 ; C . 4 , 2 ; D . 3 , 2 。
力法和位移计算
1. 平面杆系结构位移计算一般公式 R N s K F c F du M d F ds ?γ?=-+++∑∑∑∑???弹塑性结构都适用。 ( ) 2. 图示结构的超静定次数为： ( ) A. 7； B. 8； C. 9； D. 10。 3 ．图中取A 支座反力为力法的基本未知量X 1 (向上为正)，则X 1为 （ ） A. 3P/16； B. 4P/16； C. 5P/16； D. 不定，取 决于EI 值 A EI l /P 2l /2 4. 图示梁的跨中挠度为零。（ y ） M M 5．图示结构的超静定次数是 。
6. n次超静定结构，只需去掉n个多余约束即可作为力法基本结构。（n） 7. 试求图示结构C截面的角位移。 P C EI L EI EI L A B 8. 图示结构的超静定次数为：( ) ①. 5； ②. 6； ③. 7； ④. 8。 9. 图示同一结构的两种受力状态，根据互等定理，第（D）组答案是正确的。 A. θ2=Δ4 B. θ1=Δ 5
C. Δ1=θ2+θ3 D. Δ4=θ2+θ3 θθθθ 10．已知图示简支梁仅在C 点作用荷载P 1=1时， D 点产生的竖向位移为f D ＝2mm （ ），则当在D 点作用荷载P 2=2时，C 点产生的竖向位移为f c ＝______mm 。 P 1=1 P 2=2 f D ＝2mm f c (a) (b) 11．图示对称刚架，A 支座的三个反力中，必定为零的是 （ ） A ． V A ; m B ． H A ; C ． M A ; D ． H A 和M A 。 H A V A M A
综合练习2 2. 绘制图示结构的弯矩图。 3a a 答： 3a a 3. 绘制图示结构的弯矩图。 q 答： A
4. 绘制图示结构的弯矩图。 答： l P 5. 绘制图示结构的弯矩图。 答： 6. 绘制图示结构的弯矩图。 l l 答： 2 2ql 四、计算题
1.用力法计算图示结构，作弯矩图。EI =常数。 l l /2l /2 解：(1) 选取基本体系 (2) 列力法方程 011111=?+=?P X δ (3) 作1M 图、P M 图 1M 图 P M 图 (4) 求系数和自由项 由图乘法计算δ11、?1P ∑?= =s 2111d EI M δEI l 343 ； ==?∑?S P P d EI M M 11EI Pl 48293 -
解方程可得 =1X 64 29P (5) 由叠加原理作M 图 (2) 列力法方程 011111=?+=?P X δ (3) 作1M 图、P M 图 A B C 4 A B C 40 1M 图(单位：m ) P M 图 (单位：m kN ?) (4) 求系数和自由项 由图乘法计算δ11、?1P
∑?==s 2111d EI M δEI 3128 ；= =?∑?S P P d EI M M 11EI 3480 解方程可得=1 X kN 75.3- (5) 由叠加原理作M 图 A B C 32.5 15 M 图(单位：m kN ?) 3. 利用对称性计算图示结构，作弯矩图。EI =常数。 2m 4m 2m 解： (1) 将荷载分成对称荷载和反对称荷载。 (2) 简化后可取半边结构如所示。
第7章 位移法 习 题 7-1：用位移法计算图示超静定梁，画出弯矩图，杆件EI 为常数。 题7-1图 7-2：用位移法计算图示刚架，画出弯矩图，杆件EI 为常数。 题7-2图 7-3：用位移法计算图示刚架，画出弯矩图，杆件EI 为常数。 题7-3图 7-4：用位移法计算图示超静定梁，画出弯矩图。 q 2
题7-4图 7-5：用位移法计算图示刚架，画出弯矩图，杆件EI 为常数。 题7-5图 7-6：用位移法计算图示排架，画出弯矩图。 题7-6图 7-7：用典型方程法计算7-2题，画出弯矩图。 7-8：用典型方程法计算7-3题，画出弯矩图。 7-9：用典型方程法计算7-5题，画出弯矩图。 7-10：用典型方程法计算图示桁架，求出方程中的系数和自由项。 题7-10图 7-11 ：用典型方程法计算图示刚架，求出方程中的系数和自由项。 10kN 3.510 kN 4 E
题7-11图 7-12：用位移法计算图示结构，杆件EI 为常数（只需做到建立好位移法方程即可）。 题7-12图 7-13：用位移法计算图示结构，并画出弯矩图。 题7-13图 7-14 ：用位移法计算图示结构，并画出弯矩图。 F F
题7-14图 7-15：用位移法计算图示刚架,画出弯矩图。 题7-15图 7-16：用位移法计算图示结构，并画出弯矩图。 题7-16图 7-17：用位移法计算图示结构，并绘弯矩图，所有杆件的EI 均相同。 q
题7-17图 7-18：确定图示结构用位移法求解的最少未知量个数，并画出基本体系。 题7-18图 7-19：利用对称性画出图示结构的半刚架，并在图上标出未知量，除GD 杆外，其它杆件的EI 均为常数。 （c ） （b ） B
超静定结构计算——力法 一、判断题: 1、判断下列结构的超静定次数。 (1、 (2、 (a (b (3、 (4、 (5、 (6、 (7、 (a(b 2、力法典型方程的实质是超静定结构的平衡条件。 3、超静定结构在荷载作用下的反力和内力,只与各杆件刚度的相对数值有关。 4、在温度变化、支座移动因素作用下,静定与超静定结构都有内力。 5、图a 结构,取图b 为力法基本结构,则其力法方程为δ111X c =。 (a(bX 1
c 6、图a 结构,取图b 为力法基本结构,h 为截面高度,α为线膨胀系数,典型方程中?12122t a t t l h =--(/(。 t 2 1 t l A h (a(bX 1 7、图a 所示结构,取图b 为力法基本体系,其力法方程为。 (a(bP k P X 1 二、计算题: 8、用力法作图示结构的M 图。 B EI 3m 4kN A 283 kN 3m EI
/m C 9、用力法作图示排架的M 图。已知 A = 0.2m 2,I = 0.05m 4 ,弹性模量为E 0。 q 8m =2kN/m 6m I I A 10、用力法计算并作图示结构M 图。EI =常数。 M a a a a 11、用力法计算并作图示结构的M图。 q l l ql/2 2 EI EI EI 12、用力法计算并作图示结构的M图。
q= 2 kN/m 3 m 4 m 4 m A EI C EI B 13、用力法计算图示结构并作出M图。E I 常数。(采用右图基本结构。P l2/3l/3l/3 l2/3 P l/3 X 1 X 2 14、用力法计算图示结构并作M图。EI =常数。 3m 6m
综合练习2 2.绘制图示结构的弯矩图。 3a a 答： 3a a 3.绘制图示结构的弯矩图。 q 答： A
4. 绘制图示结构的弯矩图。 答： l P 5. 绘制图示结构的弯矩图。 答： 6. 绘制图示结构的弯矩图。 l l 答： 2 2ql 四、计算题
1.用力法计算图示结构，作弯矩图。EI =常数。 l l /2l /2 解：(1) 选取基本体系 (2) 列力法方程 011111=?+=?P X δ (3) 作1M 图、P M 图 1M 图 P M 图 (4) 求系数和自由项 由图乘法计算δ11、?1P ∑?= =s 2111d EI M δEI l 343 ； ==?∑?S P P d EI M M 11EI Pl 48293 -
解方程可得 =1X 64 29P (5) 由叠加原理作M 图 (2) 列力法方程 011111=?+=?P X δ (3) 作1M 图、P M 图 A B C 4 A B C 40 1M 图(单位：m ) P M 图 (单位：m kN ?) (4) 求系数和自由项 由图乘法计算δ11、?1P
∑?==s 2111d EI M δEI 3128 ；= =?∑?S P P d EI M M 11EI 3480 解方程可得=1 X kN 75.3- (5) 由叠加原理作M 图 A B C 32.5 15 M 图(单位：m kN ?) 3. 利用对称性计算图示结构，作弯矩图。EI =常数。 2m 4m 2m 解： (1) 将荷载分成对称荷载和反对称荷载。 (2) 简化后可取半边结构如所示。
1 ： 图 a 桁 架, 力 法 基 本 结 构 如 图 b ，力 法 典 型 方 程 中 的 系 数 为 ：( ) 3. 2：图示结构用力矩分配法计算时，结点A 的约束力矩（不平衡 力矩）为（以顺时针转为正） ( ) 4.3Pl/16 3：图示桁架1,2杆内力为： 4. 4：连续梁和 M 图如图所示，则支座B 的竖向反力 F By 是：
4.17.07(↑) 5：用常应变三角形单元分析平面问题时，单元之间（）。 3.应变、位移均不连续； 6：图示体系的几何组成为 1.几何不变,无多余联系； 7：超静定结构在荷载作用下的内力和位移计算中，各杆的刚度为（） 4.内力计算可用相对值，位移计算须用绝对值 8：图示结构用力矩分配法计算时，结点A之杆AB的分配系数
μAB 为（各杆 EI= 常数）( ) 4.1/7 9：有限元分析中的应力矩阵是两组量之间的变换矩阵，这两组量是（ ）。 4.单元结点位移与单元应力 10：图示结构用位移法计算时，其基本未知量数目为( ) 4.角位移=3，线位移=2 11：图示结构，各柱EI=常数，用位移法计算时，基本未知量数 目是（ ） 3.6 12：图示结构两杆长均为d,EI=常数。则A 点的垂直位移为（ ） 4.qd 4/6EI （↓） 13：图示桁架,各杆EA 为常数,除支座链杆外,零杆数为：
1.四 根 ； 14：图示结构，各杆线刚度均为i,用力矩分配法计算时，分配 系数μAB 为（ ） 2. 15：在位移法中，将铰接端的角位移，滑动支撑端的线位移作为基本未知量： 3.可以，但不必； 1：用图乘法求位移的必要条件之一是：( ) 2.结构可分为等截面直杆段； 2：由于静定结构内力仅由平衡条件决定,故在温度改变作用下静定结构将（ ） 2.不产生内力 3：图示结构，各杆EI=常数，欲使结点B 的转角为零，比值P1/P2应 为（ ） 2.1
力法历年计算题[ 按步骤给分，考题重复率较高] 一、三杆刚架力法题 1用力法计算图示结构并作弯矩图，EI=常数。（1201考题） l l l P F 解：（1）一次超静定结构，基本体系如图；（2）作 1 M图， P M图如图。 X1 P F l X1=1 l l l F P 2 3/l F P 3/l F P 3/ 5l F P 3/l F P 基本体系1 M 图P M 图M图（3）列出力法方程 1 1 11 1 = ? + = ? P x δ （4）计算 3 , 3 2 , 2 1 3 P1 3 11 P P F X EI l F EI l = - = ? = δ（5）画M图 P M X M M+ = 1 1 1-1用力法计算图示结构并作弯矩图，各杆EI=常数。（1507考题） 解：(1)一次超静定结构，基本体系如图所示。(2) 列力法方程0 1 1 11 = ? + P x δ (3) F=10，m l3 =，作单位弯矩图 1 M图和荷载弯矩图 P M图。 (4) 计算：∑?= =s EI M d 2 1 11 δ EI EI l l l l l EI EI Ay54 2 ) 3 2 2 1 3( 13 2 2 0= = ? + ? ? = ∑， EI EI Fl Fl l Fl l EI EI Ay ds EI M M P P 180 3 2 ) 2. 6 5 2 1 3 1 2 1 ( 13 2 2 1 1 - = - = ? - ? = = = ?∑ ∑?，kN 3 10 3 1 = = F X (5) 用叠加原理P M X M M+ = 1 1 ,作弯矩图M图。
§6-4 力法计算的简化
目的: 使选用的基本结构和基本未知量便于计算。 ? 尽可能缩小计算规模，降低线性方程组的阶数； ? 使尽可能多的副系数等于零. （减少未知量数；减小未知力和外载的影响范围）
1
6-4-1 无弯矩状态的判别
不计轴向变形前提下，下列情况无弯矩，只有轴力。 (1) 集中荷载沿柱轴作用 (2) 等值反向共线集中荷载沿杆轴作用。 (3) 集中荷载作用在不动结点。
FP FP FP FP
2
6-4-2 对称性的利用
(1) 结构对称性(Symmetry) 的概念
几何对称 支承对称 刚度对称
3
反对称结构？
？
？
对称结构 （1）选取对称的基本结构
X2 FP FP X3 X3 X2 X1 X1 基本未知量 的性质？
4
X1---反对称基本未知量 X2、 X3---对称的基本未量
?δ11X1 + δ12X2 + δ13X3 + Δ1P = 0 ? ?δ21X1 + δ22X2 + δ23X3 + Δ2P = 0 ?δ X + δ X + δ X + Δ = 0 ? 31 1 32 2 33 3 3P
作单位弯矩图，荷载弯矩图； 求出系数和自由项 δ Δ1+ + = 0 ?δ XX 11 1δ Pδ 11 1+ 12 X2 13 X3 + Δ1P = 0 ? δ2122 X δ2 23 X Δ +X =00 +2 +δ Δ22P X1 δ22 X+ ?δ 233 3+ P = X1 = 1 ?δ X + δ X + δ X + Δ = 0 X 2 32 + δ2 33 X 31 333 + 3 Δ33 P = 0 ?δ 32 1 P M
反对称
X2 = 1
1
5
δ12 = δ 21
M2
=0
基本方程分为两组： 一组只含反对称未知量 一组只含对称未知量
对称
X3 = 1
δ13 = δ31
对称
=0
M3
选用对称的基本结构计算， 降低线性方程组的阶数
> 超静定结构计算——位移法 一、判断题： 1、判断下列结构用位移法计算时基本未知量的数目。 （1） （2） （3） （4） （5） （6） EI EI EI EI 2EI EI EI EI EA EA a b EI= EI=EI= 24442 @ 2、位移法求解结构内力时如果P M 图为零，则自由项1P R 一定为零。 3、位移法未知量的数目与结构的超静定次数有关。 4、位移法的基本结构可以是静定的，也可以是超静定的。 5、位移法典型方程的物理意义反映了原结构的位移协调条件。 二、计算题： 12、用位移法计算图示结构并作M 图，横梁刚度EA →∞，两柱线刚度 i 相同。 2 * 13、用位移法计算图示结构并作M 图。E I =常数。
l l /2l /2 14、求对应的荷载集度q 。图示结构横梁刚度无限大。已知柱顶的水平位移为 ()5123/()EI →。 12m 12m 8m q 15、用位移法计算图示结构并作M 图。EI =常数。 l l l l — 16、用位移法计算图示结构，求出未知量，各杆EI 相同。 4m 19、用位移法计算图示结构并作M 图。 q l l
20、用位移法计算图示结构并作M 图。各杆EI =常数，q = 20kN/m 。 6m 6m | 23、用位移法计算图示结构并作M 图。EI =常数。 l l 2 24、用位移法计算图示结构并作M 图。EI =常数。 q 29、用位移法计算图示结构并作M 图。设各杆的EI 相同。 q q l l /2/2 * 32、用位移法作图示结构M 图。 E I =常数。
力法历年计算题 [ 按步骤给分，考题重复率较高 ] 一、三杆刚架力法题 1用力法计算图示结构并作弯矩图，EI=常数。（1201考题） l l l P F 解：（1）一次超静定结构，基本体系如图；（2）作 1 M图， P M图如图。 X1 P F l X1=1 l l l F P 2 3/l F P 3/l F P 3/ 5l F P 3/l F P 基本体系1 M 图P M 图 M图（3）列出力法方程 1 1 11 1 = ? + = ? P x δ （4）计算 3 , 3 2 , 2 1 3 P1 3 11 P P F X EI l F EI l = - = ? = δ（5）画M图 P M X M M+ = 1 1 1-1用力法计算图示结构并作弯矩图，各杆EI=常数。（1507考题） 解： (1)一次超静定结构，基本体系如图所示。 (2) 列力法方程0 1 1 11 = ? + P x δ (3) F=10，m l3 =，作单位弯矩图 1 M图和荷载弯矩图 P M图。 (4) 计算：∑?= =s EI M d 2 1 11 δ EI EI l l l l l EI EI Ay54 2 ) 3 2 2 1 3( 13 2 2 0= = ? + ? ? = ∑， EI EI Fl Fl l Fl l EI EI Ay ds EI M M P P 180 3 2 ) 2. 6 5 2 1 3 1 2 1 ( 13 2 2 1 1 - = - = ? - ? = = = ?∑ ∑?，kN 3 10 3 1 = = F X
(5) 用叠加原理P M X M M +=11,作弯矩图M 图。 2用力法计算图示结构并作弯矩图，EI=常数。（0907,1801考题） l l P F 解：（1）基本体系如图（a ）。 （2）作1M 图如图（b ），作P M 图如图（c ）。 1 X 1=1 F F P 2 P F （a ）基本体系 （b ）1M （c ）P M （d ）M 图（7/l F P ?） （3）力法方程 011 11=?+P X δ （4）计算 EI l 3/73 11=δ， EI l F P P /231-=? ， 7/61 P F X = （5）用叠加原理P M X M M +=11, 作总弯矩图如图（d ）所示。 2-1用力法计算图示结构并作弯矩图，各杆EI=常数。（1501考题,上题图形左右对称反转，数据不变） 解： （1）基本体系如图（a ）所示。 （2）作1M 图如图（b ）, 作P M 图如图（ c ）所示。 （a ）基本体系 （b ）1M 图 （c ）P M （d ）M 图（×l F P /7） （3）力法方程 011 11=?+P X δ
1．用位移法计算图示结构，并作M 图，EI =常数。 2．用位移法作图示结构M 图。EI =常数。 2 3．用位移法作图示结构之M 图。已知典型方程式中之系数r E I 116=，自由项R Pl P 138=-。 l 4．用位移法作图示结构M 图。EI =常数。 l 5．已知图示结构C 点线位移为() Pl EI 330/ ↓，EI =常数，作M 图。
6．求图示结构位移法方程的系数和自由项。横梁刚度EA →∞。柱线刚度i 为常数。 /2 h h 7．用位移法作图示结构M 图。已知r R ql P 11 1234==-,，各杆长为l ，图中圆括号内数字为各杆线刚 度相对值。 B A 8．用位移法作图示结构M 图，各杆长均为l ，线刚度均为i 。 q 9．图示结构，各杆EI 和长度l 相同，支座B 下沉?，用位移法作M 图。 10．用位移法计算图示结构，并作M 图，EI =常数。 l l l l
11．用位移法作图示结构M 图。EI =常数。 12．给定图示结构在荷载P 作用下的?，求相应的P 值。EI =常数。 l /2 /2 13．用位移法计算图示结构，并作出M 图。 30kN/m EI 1= 14．用位移法作图示结构之M 图。已知典型方程式中之系数r E I 1111=，自由项() R EI l c 123=-?。 l 15．用位移法计算图示结构，并作M 图。 2m 2m
16．用位移法作图示结构M 图。已知系数和自由项为：r i r r i 1112211015 ===-,., r i 221516=/,R R P P 146=?=-kN m,kN 2, EI =常数。 3kN/m 17．用位移法作图示结构M 图。除注明者外，各杆的EI =常数。 18．用位移法计算图示结构，并作出M 图。 19．用位移法计算图示结构，并作出其M 图。各杆之E I =常数。 q l 20．用位移法作图示结构的M 图。设各柱的相对线刚度为2，其余各杆的为1。 3m 3m
1、 已知图示结构弯矩图，试作剪力图。 2、用位移法计算图示结构，作弯矩图。（EI=常数） 3、计算图示在荷载作用下的静定刚架，绘出其弯矩M 图，并求C 点的竖向位移 Cv Δ。 4、用位移法计算图示结构D 点水平位移Δ，EI 为常数。 L EI F P EI 1 =∞ D L EI L
5、用位移法计算图示刚架，并画出M图。 6、用位移法作图示结构M图。E=常数。 7、用位移法计算图示结构，并画出弯矩图。 8、利用对称性，用力法计算下图所示超静定结构，并画出M图。
l EI B A EI EI q EI D C q l 9、用力法计算图示钢架，并绘制弯矩图，EI为常数。 20kN/m 40kN 6m 6m 10、用力法计算图示结构，并画出弯矩图。 11、试列出图示刚架的力法典型方程，并求出所有系数和自由项。(EI=常数)
12、下图所示超静定刚架支座A 产生逆时针转角 ，支座C 产生竖向沉降 c ，并受图示荷载作用，用力法计算该刚架并画出M 图。 a A B EI EI q C a c 13、计算图示静定组合结构，画出梁式杆的弯矩图。 2m 2m 2m D A F 1kN/m C 2m 2m E G B 14、试做图示多跨静定梁的弯矩图，剪力图。 15、作 图 示 结 构 的 M 图 。 A B C a a a a F P a D E F F P
16、试做图示结构的弯矩图，剪力图。 17、计算图示结构，绘弯矩图、剪力图、轴力图。 18、试作图示多跨静定梁的弯矩图、剪力图。
19、计算图示桁架指定杆件1、2、3的内力。 20、计算图示刚架A、C两截面的相对转角 AC。
超静定结构计算——位移法 一、判断题： 1、判断下列结构用位移法计算时基本未知量的数目。 （1） （2） （3） （4） （5） （6） EI EI EI EI 2EI EI EI EI EA EA a b EI= EI=EI= 24442 2、位移法求解结构内力时如果P M 图为零，则自由项1P R 一定为零。 3、位移法未知量的数目与结构的超静定次数有关。 4、位移法的基本结构可以是静定的，也可以是超静定的。 5、位移法典型方程的物理意义反映了原结构的位移协调条件。 二、计算题： 12、用位移法计算图示结构并作M 图，横梁刚度EA →∞，两柱线刚度 i 相同。 2 13、用位移法计算图示结构并作M 图。E I =常数。
l l l/2l/2 14、求对应的荷载集度q。图示结构横梁刚度无限大。已知柱顶的水平位移为 () 5123 /() EI→。 12m12m 8m q 15、用位移法计算图示结构并作M图。EI =常数。 l l l 16、用位移法计算图示结构，求出未知量，各杆EI相同。 4m 19、用位移法计算图示结构并作M图。 q l l
20、用位移法计算图示结构并作M 图。各杆EI =常数，q = 20kN/m 。 6m 6m 23、用位移法计算图示结构并作M 图。EI =常数。 l l 2 24、用位移法计算图示结构并作M 图。EI =常数。 q 29、用位移法计算图示结构并作M 图。设各杆的EI 相同。 q q l l /2/2 32、用位移法作图示结构M 图。 E I =常数。
q l l /2 l /2l 36、用位移法计算图示对称刚架并作M 图。各杆EI =常数。 l l 38、用位移法计算图示结构并作M 图。EI =常数。 q l l l l 42、用位移法计算图示结构并作M 图。 2m 2m 43、用位移法计算图示结构并作M 图。EI =常数。
《结构力学》计算题61.求下图所示刚架的弯矩图。 a a a a q A B C D 62.用结点法或截面法求图示桁架各杆的轴力。 63.请用叠加法作下图所示静定梁的M图。 64.作图示三铰刚架的弯矩图。 65.作图示刚架的弯矩图。
66. 用机动法作下图中E M 、L QB F 、R QB F 的影响线。 1m 2m 2m Fp 1 =1m E B A 2m C D 67. 作图示结构F M 、QF F 的影响线。 68. 用机动法作图示结构影响线L QB F F M ,。 69. 用机动法作图示结构R QB C F M ,的影响线。 70. 作图示结构QB F 、E M 、QE F 的影响线。
71.用力法作下图所示刚架的弯矩图。 l B D P A C l l EI=常数 72.用力法求作下图所示刚架的 M图。 73.利用力法计算图示结构，作弯矩图。 74.用力法求作下图所示结构的M图,EI=常数。 75.用力法计算下图所示刚架，作M图。
76. 77. 78. 79. 80. 81. 82.
83. 84. 85.
答案 q A B C D F xB F yB F yA F xA 2qa3 2/ 2qa3 2/ q2a ()2/8 2qa3 2/ =/ qa2 2 取整体为研究对象，由0 A M=，得 2 220 yB xB aF aF qa +-=（1）(2分) 取BC部分为研究对象，由0 C M= ∑，得 yB xB aF aF =，即 yB xB F F =（2）(2分) 由(1)、(2)联立解得 2 3 xB yB F F qa ==(2分) 由0 x F= ∑有20 xA xB F qa F +-=解得 4 3 xA F qa =-(1分) 由0 y F= ∑有0 yA yB F F +=解得 2 3 yA yB F F qa =-=-(1分) 则222 422 2 333 D yB xB M aF aF qa qa qa =-=-=（）(2分) 弯矩图(3分) 62.解：（1）判断零杆（12根）。（4分） （2）节点法进行内力计算，结果如图。每个内力3分（3×3＝9分）63.解：
超静定结构计算——位移法 一、判断题： 1、判断下列结构用位移法计算时基本未知量的数目。 （1）（2）（3） （4）（5）（6） 2、位移法求解结构内力时如果P R一定为零。 M图为零，则自由项1P 3、位移法未知量的数目与结构的超静定次数有关。 4、位移法的基本结构可以是静定的，也可以是超静定的。 5、位移法典型方程的物理意义反映了原结构的位移协调条件。 二、计算题： 12、用位移法计算图示结构并作M图，横梁刚度EA →∞，两柱线刚度i相同。 13、用位移法计算图示结构并作M图。E I =常数。 14、求对应的荷载集度q。图示结构横梁刚度无限大。已知柱顶的水平位移为 () /() EI→。 5123 15、用位移法计算图示结构并作M图。EI =常数。 16、用位移法计算图示结构，求出未知量，各杆EI相同。 19、用位移法计算图示结构并作M图。 20、用位移法计算图示结构并作M图。各杆EI =常数，q = 20kN/m。 23、用位移法计算图示结构并作M图。EI =常数。 24、用位移法计算图示结构并作M图。EI =常数。 29、用位移法计算图示结构并作M图。设各杆的EI相同。 32、用位移法作图示结构M图。E I =常数。 36、用位移法计算图示对称刚架并作M图。各杆EI =常数。 38、用位移法计算图示结构并作M图。EI =常数。 42、用位移法计算图示结构并作M图。 43、用位移法计算图示结构并作M图。EI =常数。 48、已知B点的位移?，求P。 51、用位移法计算图示结构并作M图。 超静定结构计算——位移法（参考答案） 1、（1）、4；（2）、4；（3）、9；（4）、5；（5）、7； （6）、7。 2、（X） 3、（X） 4、（O） 5、（X） 12、13、
1．选出图示结构的力法基本结构，并绘出相应的多余约束力。 l l 2 A 2．用力法计算图示桁架的内力。EA =常数，各杆长为l 。 3．用力法计算，并绘图示结构的M 图。EI =常数。 l 4．已知荷载作用下桁架各杆的内力如图所示，试求结点D 的水平位移。EA =常数。 6 m -()N P ? 5．用力法计算图示桁架内力。各杆EA =?8103kN 。
6．选取图示对称结构的较简便的力法基本结构。EI =常数。 7．图示力法基本体系，求力法方程中的系数δ11和自由项?1P。EI是常数。 1 l/4/2 /4l l 8．用力法作图示结构的M图。 3m m 9．图示结构，杆BC承受向下的均布荷载q=2kN m，图中已画出其M图，各杆EI相同。试求D截面转角θD。 2m 3m2m 5.7 3.6 5.8 A B D C M图· (kN m) 10．用力法计算图示结构，并绘出M图。EI =常数。 3m =10kN/m q
11．图a 所示结构，取图b 为力法基本体系。已知：δ111283=/()EI ，δ226403=/()EI ， δ122723=/()EI ，?1163P q EI =-/()，?2323P q EI =-/()，求作M 图。 4m 4m m q q 2 (b) 12．用力法计算图示结构，并作M 图。EI =常数。 l /3 l 13．图a 结构，取图b 为力法基本体系，EI =常数，EA EI l =/2，计算δ12。 (b) l (a)l 14．求图示单跨梁截面C 的竖向位移?C V 。 l l /2 /2 15．用力法计算，并作图示对称结构M 图。EI =常数。 l l
综合练习2 三、作图题 2. 绘制图示结构的弯矩图。 3a a 答： 3a a 3. 绘制图示结构的弯矩图。
q 答： M A 4. 绘制图示结构的弯矩图。 答： P l 5. 绘制图示结构的弯矩图。
答： 6. 绘制图示结构的弯矩图。 l l 答： 2 2 ql 四、计算题 1.用力法计算图示结构，作弯矩图。EI =常数。
l l /2l /2 解：(1) 选取基本体系 (2) 列力法方程 11111=?+=?P X δ (3) 作1M 图、P M 图 1M 图 P M 图 (4) 求系数和自由项 由图乘法计算δ11、?1P ∑?==s 2 111d EI M δEI l 343 ； ==?∑?S P P d EI M M 11EI Pl 48293-
解方程可得 =1X 64 29P (5) 由叠加原理作M 图 3Pl /643Pl /64 29Pl /128 M 图 (2) 列力法方程 011111=?+=?P X δ (3) 作1M 图、P M 图
A B C 4 A B C 40 1M 图(单位：m ) P M 图 (单位：m kN ?) (4) 求系数和自由项 由图乘法计算δ11、?1P ∑?==s 2111d EI M δEI 3128 ；==?∑?S P P d EI M M 11EI 3480 解方程可得=1X kN 75.3- (5) 由叠加原理作M 图 A B C 32.515 M 图(单位：m kN ?) 3. 利用对称性计算图示结构，作弯矩图。EI =常数。 2m 4m 2m 解：
力法历年计算题 [ 按步骤给分，考题重复率较高 ]一、三杆刚架力法题 1用力法计算图示结构并作弯矩图，EI=常数。（1201考题） l l l P F 解：（1）一次超静定结构，基本体系如图；（2）作 1 M图， P M图如图。 X1 P F l X1=1 l l l F P 2 3/l F P 3/l F P 3/ 5l F P 3/l F P 基本体系1 M 图P M 图 M图（3）列出力法方程 1 1 11 1 = ? + = ? P x δ （4）计算 3 , 3 2 , 2 1 3 P1 3 11 P P F X EI l F EI l = - = ? = δ（5）画M图 P M X M M+ = 1 1 1-1用力法计算图示结构并作弯矩图，各杆EI=常数。（1507考题） 解： (1)一次超静定结构，基本体系如图所示。 (2) 列力法方程0 1 1 11 = ? + P x δ (3) F=10，m l3 =，作单位弯矩图 1 M图和荷载弯矩图 P M图。 (4) 计算：∑?= =s EI M d 2 1 11 δ EI EI l l l l l EI EI Ay54 2 ) 3 2 2 1 3( 13 2 2 0= = ? + ? ? = ∑， EI EI Fl Fl l Fl l EI EI Ay ds EI M M P P 180 3 2 ) 2. 6 5 2 1 3 1 2 1 ( 13 2 2 1 1 - = - = ? - ? = = = ?∑ ∑?，kN 3 10 3 1 = = F X (5) 用叠加原理 P M X M M+ = 1 1 ,作弯矩图M图。