《解析几何》思维导图，值得收藏的高 考数学一轮复习资料 也许会有人觉得思维导图对于提高数学成绩毫无用处，但是对于有着多年教学经验的老师，或是非常善于学习的同学来说，他们对思维导图是爱不释手。因为相比于去看书复习，思维导图有着无可比拟的优势，它条理清晰，能够极大地节约大家的时间，并且扩展方便，大家可以根据自身实际情况增减内容。将此图存入手机随时随地方便自己复习回顾。可谓一图在手，天下我有。本文我们就一起来通过思维导图的方式回顾下高中数学《解析几何》模块所学内容。 如果，通过这张概括性的提纲大家能够回想起每个章节的内容，就可以不用下面看了。
如果感觉某些地方一时想不起来，可以重点记忆备注。接下来，我们就分章节详细来看下。 一、直线的方程 直线的方程这章，大家务必要掌握好直线的位置关系（平行、垂直）、直线的方程、点到直线的距离、平行线之间的距离。 二、圆的方程
圆的方程这章，重点要掌握圆的方程的各种形式及其应用，掌握圆的切线方程（过圆上一点圆的切线方程和过圆外一点圆的切线方程），这两类题型在选择题中出现的概率比较大，在大题中通常以动点的轨迹的形式出现。 三、圆锥曲线及对称性问题 圆锥曲线这块，历来是高考数学的一个重点和难点之一，重点应该掌握椭圆、双曲线、抛物线等的离心率、准线等知识。这些考点在选择题和大题中都有可能出现。而对称性问题一般出现在选择题和填空题中，偶尔会出现在大题中。 喜欢本文的朋友记得点击收藏，需要x mind思维导图源文件以便在电脑上查看的老师或家长可以在文末留言，我们无偿提供给大家。对于思维导图软件的下载和使用有问题的朋友，也欢迎一起探讨交流。至于高考数学一轮复习其它章节的思维导图，请查看我们历史文章并持续关注我们后续更新即可。
如何绘制思维导图具体步骤是什么 绘制思维导图 工具 你只需准备好下面提到的东西，就可以开始画了。 1、A4白纸一张; 2、彩色水笔和铅笔; 3、你的大脑; 4、你的想象! 步骤 1、从白纸的中心开始画，周围要留出空白。 从中心开始，会让你大脑的思维能够向任意方向发散出去，自由地、以自然的方式表达自己。 2、用一幅图像或图画表达你的中心思想。 “一幅图画抵得上上千个词汇”。它可以让你充分发挥想象力。一幅代表中心思想的图画越生动有趣，就越能使你集中注意力，集中思想，让你的大脑更加兴奋! 3、绘制时尽可能地使用多种颜色。 颜色和图像一样能让你的大脑兴奋。它能让你的思维导图增添跳跃感和生命力，为你的创造性思维增添巨大的能量，此外，自由地使用颜色绘画本身也非常有趣! 4、连接中心图像和主要分枝，然后再连接主要分枝和二级分枝，接着再连二级分枝和三级分枝，依次类推。
所有大脑都是通过联想来工作的。把分枝连接起来，你会很容易地理解和记住更多的东西。这就像一棵茁壮生长的大树，树杈从主干生出，向四面八方发散。假如主干和主要分枝、或是主要分枝和更小的分枝以及分枝末梢之间有断裂，那么整幅图就无法气韵流畅!记住，连接起来非常重要! 5、用美丽的曲线连接，永远不要使用直线连接。 你的大脑会对直线感到厌烦。曲线和分枝，就像大树的枝杈一样，更能吸引你的眼球。要知道，曲线更符合自然，具有更多的美的因素。 6、每条线上注明一个关键词。 思维导图并不完全排斥文字，它更多地是强调融图像与文字的功能于一体。一个关键词会使你的更加醒目，更为清晰。每一个词汇和图形都像一个母体，繁殖出与它自己相关的、互相联系的一系列“子代”。就组合关系来讲，单个词汇具有无限的一定性时，每一个词都是自由的，这有利于新创意的产生。而短语和句子却容易扼杀这种火花效应，因为它们已经成为一种固定的组合。可以说，思维导图上的关键词就像手指上的关节一样。而写满短语或句子的思维导图，就像缺乏关节的手指一样，如同僵硬的木棍! 7、自始至终使用图形。 每一个图像，就像中心图形一样，相当于一千个词汇。所以，假如你的思维导图里仅有10个图形，就相当于记了
可编辑 中 国 科 学 技 术 大 学 2005—2006学年第2学期考试试卷 考试科目: 线性代数 得分: 学生所在系: 姓名: 学号: 一、判断题（30分，每小题6分）。判断下列命题是否正确，并简要说明理由。 1. 三维空间向量c b,a,共面的充要条件是0det =??? ? ? ???????????c c b c a c c b b b a b c a b a a a 。 2. 设A 为n 阶实正交方阵，I 为n 阶单位阵，则I A 2-为可逆方阵。 3. 设n m ?阶非零实矩阵A 和B 满足0='B A ，则A 的行向量线性相关， 并且B 的行向量也线性相关。 4. 设)(R M n 是n 阶实方阵全体按矩阵的加法与数乘运算构成的线性空间，则 满足0tr =A 的n 阶实方阵A 的全体构成)(R M n 的子空间。 5. 设B A ,为方阵，且???? ??B A 是实正定对称方阵，则B A ,也是实正定对称方阵。 二、计算题（62分）。 1. （15分）b a ,为何值时，下列线性方程组有解？当有解时，求出该方程组的通解。 ?????? ?=-+++=+++=-+++=++++b x x x x x x x x x a x x x x x x x x x x 5432154325 432154321334536223231 2. （15分）设n 阶实方阵?????? ? ??----=211 211 2O O A n O O O ，求n A det 和1 4-A 。 3. （17分）设V 是由所有2阶实方阵构成的实线性空间。在定义内积Y X Y X '=tr ),(后， V 成为一个欧氏空间。现定义V 上的变换X X X '+α: A 。 （1）证明： A 是一个线性变换；（2）求 A 在基??? ??????? ?????? ?????? ?????? ??1000,0100,0010,0001下的表示矩阵； （3）求 A 的所有特征值与特征向量；（4）求V 的一组标准正交基，使得 A 在此基下的表示矩阵为对角阵。 4. （15分）通过正交变换化二次型222)()()(),,(x z z y y x z y x f -+-+-=为标准形；并 判断三维欧氏空间中的曲面3)()()(222=-+-+-x z z y y x 是哪一类曲面。 三、证明题（8分）。以下两小题任选一题。 1. 设n m R A ?∈，m n R B ?∈，I 是n 阶单位方阵。证明： （1）)rank(0rank AB n B I A +=??? ? ??-。 （2）n B A AB -+≥)rank()rank()rank(。 2. 设实对称方阵A 满足3A A =，证明：A 正交相似于对角形???? ? ? ?-0s r I I 。
向量与解析几何相结合专题复习 平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算。或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题。 一：将向量及其运算的几何意义转化为平面图形的位置关系或数量关系 【例1．】已知△ABC 中，A 、B 两点的坐标分别为（－4，2）、（3，1），O 为坐标原点。已知||＝λ·||，||＝λ·||，∥ ＝ （1，2）求顶点C 的坐标。 【解】如图：∵||＝λ·||，∴λ＝0 | |>CB ∵||＝λ·||，∴A 、D 、B 三点共线，D 且λ＝0 | |>DB ∴||CB =||DB ∴CD 是△ABC 中∠C 的角平分线。 ∴A 、D 、B 三点共线∥∴O 、C 、D 三点共线,即直线CD 过原点。 ~ 又∵直线CD 的方向向量为＝（1，2），∴直线CD 的斜率为2 ∴直线CD 的方程为：y ＝2x （注意：至此，以将题中的向量条件全部转化为平面解析几何条件，下面用解析几何的方法解决该题） 易得：点A （－4，2）关于直线y ＝2x 的对称点是A ’ （4,－2）， （怎样求对称点） ∵A ’ （4,－2）在直线BC 上 ∴直线BC 的方程为：3x ＋y －10＝0 由?? ?=-+=01032y x x y 得C （2，4） 【解题回顾】本题根据向量共线的条件将题设中的||＝λ·||和∥转化
为三点共线，实现了向量条件向平面位置关系的转化；而由λ＝||CB =||DB ，实现了向量条件向平面图形的数量关系的转化，从而从整体上实现了由向量条件向平几及解条件的转化。 \ 【例2】．已知1OF ＝（－3，0），2OF ＝（3，0），（O 为坐标原点），动点M 满足：||1MF ＋||2MF ＝10。 （1）求动点M 的轨迹C ； （2）若点P 、O 是曲线C 上任意两点，且OP ·=0，求2 2 2 OQ OP ?的值 【解】（1）由||1MF ＋||2MF ＝10知： 动点M 到两定点F 1和F 2的距离之和为10 根据椭圆的第一定义：动点M 的轨迹为椭圆：116252 2=+y x \ （2）∵点P 、O 是1 16252 2=+y x 上任意两点 设P(ααsin 4,cos 5)，Q(ββsin 4,cos 5) （注意 ∵OP ·=0 得：βαβαsin sin 16cos cos 25+＝0 ① 而2 、2 2 ?都可以用α、β的三角函数表示，利用①可以解得： 2 2 2 PQ ?＝40041 【例3．】在△ABC 中，A(2，3)，B(4，6)，C(3，－1)，点D 满足：CA ·CD ＝CD ·CB （1）求点D 的轨迹方程； ~
线性代数是数学的一个分支，其研究对象是向量、向量空间（或线性空间）、线性变换和有限维线性方程组。向量空间是现代数学中的一个重要课题。因此，线性代数在抽象代数和泛函分析中得到了广泛的应用。通过解析几何，线性代数可以具体表示。线性代数理论已扩展到算子理论。由于科学研究中的非线性模型可以近似为线性模型，线性代数在自然科学和社会科学中得到了广泛的应用。 概念 线性代数是代数的一个分支，主要研究线性关系。线性关系是以单一形式表示的指数对象之间的关系。例如，在解析几何中，平面上直线的方程是二维线性方程；空间中的平面方程是三次方程，空间中的直线被视为两个平面的交点，由两个三次线性方程组成。说。含有n个未知数的线性方程称为线性方程。变量为一阶的函数称为线性函数。线性关系问题称为线性问题。解线性方程组的问题是最简单的线性问题。 所谓“线性”是指以下数学关系。其中f称为线性算子或线性映射。所谓“代数”是指用符号代替元素和运算。换句话说，我们不关心上面的x和y是实数还是函数，f
是多项式还是微分。我们把它们抽象为一个符号或一种矩阵。线性代数共同研究了哪些线性算子f满足线性关系，它们分别具有什么性质。[1] 历史 作为线性代数的一个独立分支，它形成于20世纪 算术九章 算术九章 很久以前，“鸡兔同笼”问题实际上是求解线性方程组的一个简单问题。最古老的线性问题是解线性方程组。这在中国古代“九章算术·方程”一章中有充分的描述。本文所述的方法实质上等同于对方程组增广矩阵行进行基本变换并消除未知变量的现代方法。 由于费马和笛卡尔的工作，现代意义上的线性代数基本上出现在17世纪。直到18世纪末，线性代数的领域仅限于平面和空间。19世纪上半叶，完成了向n维线性空间的过渡。
解析几何与线性代数(一)试卷 一、判断下列结论是否正确。（每题1分，共计10分） 1、对321 , , ααα，如果其中任意两个向量都线性无关，则321 , , ααα线性无关；（ ） 2、如果向量组s 21, , , ααα 线性相关，则其中任意向量都可以由其余向量线性表示；（ ） 3、A 是n m ?矩阵，齐次线性方程组0=AX 只有零解的充要条件是A 的列向量线性相关；（ ） 4、如果r ) ,,, ( 21=s r ααα ，则s 21, , , ααα 中任意1+r 个向量都线性相关；（ ） 5、设B A 、 为n 阶矩阵，若22B =A ，则B =A 或B -=A ；（ ） 6、对任意的n m ?矩阵A ，A A T 和T AA 都是对称矩阵；（ ） 7、设B A 、 都是n 阶矩阵，若B A 、 皆不可逆，则B +A 也不可逆；（ ） 8、如果向量组s 21, , , ααα 线性相关，则其任一部分组也线性相关。（ ） 9、n 级行列式中，若不为零的元素的个数小于n ，则此行列式等于零。（ ） 10、若A *是n 阶矩阵A 的伴随矩阵，则有|A *|＝|A|n 。（ ） 二.填空题(每题2分,共10分) 1、n 阶矩阵C 、、B A 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则必有 。 E C )(=B A A E AC )(=B B E BA )(=C C E CA )(=B D 2、如果方程组?????=--=+=-+0 504 0 3z y kx z y z ky x 有非零解，则 。 10k )(或=A 3-或1k )(-=B 3或1k )(-=C 31k )(-=或D 3.设B A 、都是n 阶非零矩阵，且0=AB ，则B A 和的秩 。 4、已知6654114332a a a a a a k i 是6阶行列式中带正号的项，则 。 5、设x B AX =+，其中 3- 50 21- 1B , 1- 0 1-1 1 1-0 1 0 ???? ? ????? =??????????=A ，则。 =x 三.选择题（每题2分,共20分） 1．判断下面多项式在实数域上的可约性（ ） 2．（ ） 3．（ ）
第八章 向量代数与空间解析几何 第一节 向量及其线性运算 教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。 教学重点：1.空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 3.向量的概念 4.向量的运算 教学难点：1.空间思想的建立 2.向量平行与垂直的关系 教学内容： 一、向量的概念 1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。 2． 量的表示方法有: a 、i 、F 、OM 等等。 3． 向量相等b a =：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。 4． 量的模：向量的大小，记为a 。 模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。 5． 量平行b a //：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。 6． 负向量：大小相等但方向相反的向量，记为a - 二、向量的线性运算 1．加减法c b a =+： 加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7－4
2．c b a =- 即c b a =-+)( 3．向量与数的乘法a λ：设λ是一个数，向量a 与λ的乘积a λ规定为 0)1(>λ时，a λ与a 同向，||||a a λλ= 0)2(=λ时，0a =λ 0)3(<λ时，a λ与a 反向，||||||a a λλ= 其满足的运算规律有：结合率、分配率。设0 a 表示与非零向量a 同方向的单位向量，那么 a a a 0= 定理1：设向量a ≠0，那么，向量b 平行于a 的充分必要条件是：存在唯一的实数λ， 使b ＝a λ 例1：在平行四边形ABCD 中，设a =AB ，b =AD ，试用 a 和 b 表示向量MA 、MB 、MC 和MD ，这里M 是平行 四边形对角线的交点。（见图7－5） 图7－4 解：→→==+AM AC 2b a ，于是)(2 1 b a +- =→ MA 由于→ → -=MA MC ， 于是)(21 b a += → MC 又由于→→==+-MD BD 2b a ，于是)(2 1 a b -=→MD 由于→→-=MD MB ， 于是)(2 1 a b --=→MB 三、空间直角坐标系 1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7－1，其符合右手规则。即以右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以2 π 角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。
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（6）圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图 定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体的高度和宽度。 3、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变； ②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 （2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，h为斜高，l为母线） ' S直棱柱侧面积=chS圆柱侧=2πrh S正棱锥侧面积=1ch'S圆锥侧面积=πrl 2 S正棱台侧面积= S圆柱表=2πr(r+l)S圆锥表=πr(r+l) S圆台表=π(r2+rl+Rl+R2) （3）柱体、锥体、台体的体积公式 1(c1+c2)h' S圆台侧面积=(r+R)πl 2 1V柱=Sh V圆柱=Sh=π2r hV锥=Sh V圆锥 =1πr2h 33 1'1122V台=(S'S)h V圆台=(S+S)h=π(r+rR+R)h 333 2 （4）球体的表面积和体积公式：V球=4πR 3 ； S球面=4πR3
如何在电脑上绘制出思维导图 思维导图是一种能够帮助我们发散思维、提高效率的大脑工具，和传统的学习记忆方法相比，思维导图拥有更大的优势，在很多领域都可以看到思维导图的身影。目前来说绘制思维导图主要有手绘和电脑绘制两种方法，二者都有各自的优势和劣势。如果是为了提高效率的话，不少人还是会更倾向于使用电脑绘制思维导图。 为什么选择电脑绘制思维导图？ 电脑绘制思维导图主要是通过一些专业的思维导图软件来进行绘制，如MindMaster、亿图图示等，其特点是拥有无限的扩展性，可以不受限制的自由组合，还可以快捷添加文字、图片、音频、超链接等等，而且修改起来也十分方便。 除此之外，软件里还有各种各样的适用于各种场景和用途的导图类型模板和风格可以选择，对于那些绘画不是很好的朋友，借助模板可以轻松绘制出漂亮的思维导图，从而提升绘图的积极性。 与手绘思维导图相比，电脑绘制更适用于效率办公和教育学习。作为职场人士，工作自然离不开电脑，而一些思维导图软件可以与常用办公软件如WPS、Office 等相兼容，无论是进行演示还是团队协作都更加灵活。
对于老师来讲，一堂课的知识点光靠一个黑板肯定是不够用的，相比之下，用思维导图软件进行备课，可以将众多细节知识点通过注释的形式进行备注，便于教师记忆和查找，也有利于节省教学设计的时间。 选择MindMaster思维导图的三大原因 一、便捷性。MindMaster是一款跨平台使用的思维导图软件，支持同时在Windows、Mac、Linux系统上使用，而且兼容性良好，可自由导出为多种图片格式及PDF、PS、Word、PPT、Excel、Html、SVG等格式，即使没有下载软件也能接收查看别人画好的思维导图。手机打开微信扫一扫，就可以快速接收文件。 二、多样性。除了基础的思维导图外，MindMaster还可以绘制树状图、组织架 构图、鱼骨图、时间线等类型的图形，且拥有大量现成的精美模板可以使用，还有丰富的剪贴画，多彩的主题样式，可自由编辑的线条框架等，这些都可以帮你轻松绘制出独一无二的精美导图。 三、独特性。除了一些常规功能外，MindMaster还拥有一些独特的人性化功能，比如一键生成PPT演示、护眼界面、一键更改为手绘风格等，这些贴心的设计都能够极大提升你的绘图体验。
中 国 科 学 技 术 大 学 2005—2006学年第2学期考试试卷 考试科目: 线性代数 得分: 学生所在系: 姓名: 学号: 一、判断题（30分，每小题6分）。判断下列命题是否正确，并简要说明理由。 1. 三维空间向量c b,a,共面的充要条件是0det =??? ? ? ???????????c c b c a c c b b b a b c a b a a a 。 2. 设A 为n 阶实正交方阵，I 为n 阶单位阵，则I A 2-为可逆方阵。 3. 设n m ?阶非零实矩阵A 和B 满足0='B A ，则A 的行向量线性相关， 并且B 的行向量也线性相关。 4. 设)(R M n 是n 阶实方阵全体按矩阵的加法与数乘运算构成的线性空间，则 满足0tr =A 的n 阶实方阵A 的全体构成)(R M n 的子空间。 5. 设B A ,为方阵，且???? ? ?B A 是实正定对称方阵，则B A ,也是实正定对称方阵。 二、计算题（62分）。 1. （15分）b a ,为何值时，下列线性方程组有解？当有解时，求出该方程组的通解。 ?????? ?=-+++=+++=-+++=++++b x x x x x x x x x a x x x x x x x x x x 5432154325 432154321334536223231 2. （15分）设n 阶实方阵?????? ? ??----=211211 2O O A n ，求n A det 和1 4 -A 。 3. （17分）设V 是由所有2阶实方阵构成的实线性空间。在定义内积Y X Y X '=tr ),(后， V 成为一个欧氏空间。现定义V 上的变换X X X '+ : A 。 （1）证明： A 是一个线性变换；（2）求 A 在基??? ??????? ?????? ?????? ?????? ? ?1000,0100,0010,0001下的表示矩阵； （3）求 A 的所有特征值与特征向量；（4）求V 的一组标准正交基，使得 A 在此基下的表示矩阵为对角阵。 4. （15分）通过正交变换化二次型222)()()(),,(x z z y y x z y x f -+-+-=为标准形；并判 断三维欧氏空间中的曲面3)()()(222=-+-+-x z z y y x 是哪一类曲面。 三、证明题（8分）。以下两小题任选一题。 1. 设n m R A ?∈，m n R B ?∈，I 是n 阶单位方阵。证明： （1）)rank(0rank AB n B I A +=??? ? ? ?-。 （2）n B A AB -+≥)rank()rank()rank(。 2. 设实对称方阵A 满足3A A =，证明：A 正交相似于对角形???? ? ? ?-0s r I I 。
56. 你对向量的有关概念清楚吗？ （1）向量——既有大小又有方向的量。 （）向量的模——有向线段的长度，2||a → （）单位向量，3100|||| a a a a →→ → → == （）零向量，4000→ → =|| （）相等的向量长度相等方向相同5???? =→→ a b 在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。 （6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。 b a b b a → → → → → → ≠?=∥存在唯一实数，使()0λλ （7）向量的加、减法如图： OA OB OC →+→=→ OA OB BA →-→=→ （8）平面向量基本定理（向量的分解定理） e e a → → → 12，是平面内的两个不共线向量，为该平面任一向量，则存在唯一
实数对、，使得，、叫做表示这一平面内所有向量λλλλ12112212a e e e e →→→→→ =+ 的一组基底。 （9）向量的坐标表示 i j x y →→ ，是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数，，使得 ()a x i y j x y a a x y → →→→→ =+=，称，为向量的坐标，记作：，，即为向量的坐标() 表示。 ()()设，，，a x y b x y → → ==1122 ()()()则，，，a b x y y y x y x y → →±=±=±±11121122 ()()λλλλa x y x y →==1111，， ()()若，，，A x y B x y 1122 ()则，AB x x y y → =--2121 ()()||AB x x y y A B →= -+-212212，、两点间距离公式 57. 平面向量的数量积 （）··叫做向量与的数量积（或内积）。1a b a b a b →→→→→→ =||||cos θ []θθπ为向量与的夹角，，a b → → ∈0
如何绘制思维导图简单画法 导读： 思维导图是由东尼博赞创建于20世纪70年代，就像为了方便发明方便面的安藤百福一样，东尼博赞在思维导图的创建过程中也是经过了一些可行性探索。简而言之，思维导图就是助于记忆和学习的思维工具，不仅可以用于职场，也可以普遍到日常生活的角角落落：购物清单、学习笔记、旅行计划、未来规划等，都可以用思维导图来整理。 如今越来越多的人开始学习使用思维导图，一般绘制思维导图有两种途径，一种是纸笔，一种则是用软件进行绘制。下面小编将为大家介绍一下这两种绘制方法分别是怎么简单画出思维导图的，希望对大家有所帮助。 一、纸笔简单绘制方法 1、准备好一张空白的纸和水彩笔 2、画好中心图像：在内容上最引人注意的是中心图像，我们要做的是把心中主要的影像反映出来，在时间上给自己五分钟左右的描绘时间，这个时间既是中心图像时间，也是思考延伸分支的时间。最后在大小上，保持五厘米左右的图像最为和谐。
3、涂上自己喜欢的颜色，色彩可以刺激大脑记忆，所以加上不同颜色，可以美化心情，还可以享受到色彩带来的游戏乐趣。 4、延展线条分支，然后在相应位置写上关键词语言，最后将它们依次相连形成层次清晰的思维导图即可。 二、软件简单绘制方法 1、首先要下载安装好思维导图软件。 2、然后打开软件，可以看到有很多的模板，我们可以直接套用，也可以自己绘制，点击新建----思维导图，开启画布。 3、然后新建一个文档，开始编辑内容。
4、按回车键可以建立子主题，或者也可以用鼠标移动到父主题旁边的+上，点击创建子主题。 5、菜单栏上有很多的功能，你也可以点击这里创建子主题，或者插入关系线图标标注等等。
空间解析几何与向量代数 向量及其运算 目的：理解向量的概念及其表示；掌握向量的运算，了解两个向量垂直、平行的条件；掌握空间直角坐标系的概念，能利用坐标作向量的线性运算； 重点与难点 重点：向量的概念及向量的运算。难点：运算法则的掌握 过程： 一、向量 既有大小又有方向的量称作向量 通常用一条有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向. 向量的表示方法有两种:→a、 →AB 向量的模：向量的大小叫做向量的模.向量→a、→AB的模分别记为| |→a、| |→AB. 单位向量：模等于1的向量叫做单位向量. 零向量：模等于0的向量叫做零向量,记作→0.规定：→0方向可以看作是任意的. 相等向量：方向相同大小相等的向量称为相等向量 平行向量（亦称共线向量）：两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个向量平行.记作a // b.规定：零向量与任何向量都平行. 二、向量运算 向量的加法 向量的加法:设有两个向量a与b,平移向量使b的起点与a的终点重合,此时从a 的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和,记作a+b,即c=a+b . 当向量a与b不平行时,平移向量使a与b的起点重合,以a、b为邻边作一平行四边形,从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a+b. 向量的减法: 设有两个向量a与b,平移向量使b的起点与a的起点重合,此时连接两向量终点且指向被减数的向量就是差向量。 →→→→→ A O OB OB O A AB- = + =, 2、向量与数的乘法 向量与数的乘法的定义: 向量a与实数λ的乘积记作λa,规定λa是一个向量,它的模|λa|=|λ||a|,它的方向当λ>0时与a相同,当λ<0时与a相反. (1)结合律λ(μa)=μ(λa)=(λμ)a； (2)分配律(λ+μ)a=λa+μa； λ(a+b)=λa+λb. 例1在平行四边形ABCD中,设 ?→ ? AB=a, ?→ ? AD=b.
数学思维导图怎么画，两个步骤告诉你思维导图的简单画法思维导图是作为目前最流行的思维工具,能帮我们扩散思维、理清事件全程逻辑关系,对问题进行全方位描述与分析，从而找到解决问题的关键点。 所以掌握数学思维导图的画法,就十分有必要了,接下来，小编将通过下面7个步骤，告诉大家应该如何绘制思维导图!这方法需要借助迅捷流程图制作软件,它有软件版和在线版,小编用的是在线版。 步骤如下:
1、从软件界面左侧选择一个文本框,并将其放置在中间位置,在周围留出空白,接着在文本框中填入中心思想。 这里有几个要点需要注意: ①可以使用右侧的【样式】工具栏中对文本框进行外观设置，颜色上可以丰富些，这样你的思维导图会更加充满跳跃感和生命力，你的创造性思维也会被增加更多能量； ②文本框里的中心思想也可以用图片代替,这样画面会更加生动,更容易激发你的想象力,让你的大脑保持兴奋,这个操作可以在在右侧【文本】工具栏中找到。 2、选择连接文本框的支干，在左侧工具栏有各类连接线条或者箭头，选择一种并将其移动到两个文本框之间 选择支干同样不容小视，这几点也需要注意: ①各个层级间的连接箭头可以不一样，给不同的箭头赋予不同意义；
②箭头/连接线的颜色也可以丰富些,让整体画面丰富起来； ③为每个箭头都附上注释，明确显示两文本框之间的关系。 接着以此类推将二级分枝三级分枝地绘制，让大脑不断处于联想工作的状态,很快，你的思维导图就会向四面八方发散出来了。在这过程中，你会不断萌生新想法，为你的思维导图“添砖加瓦”。 三、也是最后一步,依次点击【文件】-【导出】，选择一种格式将它导出来就OＫ了。
另外，如果不想自己绘制，迅捷流程图也提供了海量模板供你使用，你可以直接拿来修改编辑。
六、平面向量 考试要求：1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。2、掌握向量的加法和减法。3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直问题，掌握向量垂直的条件。6、掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用，掌握平移公式。 1、已知向量与不共线，且0||||≠=，则下列结论中正确的是 A ．向量-+与垂直 B ．向量-与垂直 C ．向量b a +与a 垂直 D ．向量b a b a -+与共线 2．已知在△ABC 中，?=?=?，则O 为△ABC 的 A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心 3．在△ABC 中设a AB =，b AC =，点D 在线段BC 上，且3BD DC = ，则AD 用b a ,表 示为 。 4、已知21,e e 是两个不共线的向量，而→→→ →→ → +=-+=2121232)2 51(e e b e k e k a 与是两个共线 向量，则实数k = . 5、设→ i 、→ j 是平面直角坐标系内分别与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，且 →→+=j i 24，→ →+=j i 43，则△OAB 的面积等于 ： A ．15 B ．10 C ．7.5 D ．5 6、已知向量OB OA OC OB OA +==--=),3,2(),1,3(，则向量OC 的坐标是 ， 将向量按逆时针方向旋转90°得到向量，则向量的坐标是 . 7、已知)3,2(),1,(==k ，则下列k 值中能使△ABC 是直角三角形的值是 A ． 2 3 B ．21- C ．－5 D ．31- 8、在锐角三角形ABC 中，已知ABC ?==,1||,4||的面积为3，则=∠BAC ，?的值为 . 9、已知四点A ( – 2，1)、B (1，2)、C ( – 1，0)、D (2，1)，则向量与的位置关系是 A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 无法判断 10、已知向量OB OA CA OC OB 与则),sin 2,cos 2(),2,2(),0,2(αα===夹角的范围
办公人士如何绘制思维导图 导读： 都市白领、办公室人士电脑上通常会安装不少办公软件。除了打字的word 软件，可以做表格Excel软件和做幻灯片演示的PPT软件外，还有什么软件值得安装呢？那当然是近来大火的思维导图软件。 使用思维导图软件如何办公 思维导图又叫心智导图，是表达发散性思维的有效图形思维工具。思维导图运用图文并重的技巧，把各级主题的关系用相互隶属与相关的层级图表现出来，把主题关键词与图像、颜色等建立记忆链接。 在工作中，思维导图软件可以用来进行活动策划、做会议记录、做项目管理、进行项目分析等，并且如今有些思维导图软件可以将文件导入office，完美兼容，对于办公依赖office的人士来说无疑是提升工作效率的得力助手。 免费获取MindMaster思维导图软件：https://www.doczj.com/doc/586750183.html,/mindmaster/ 办公常用的思维导图软件 思维导图作为一款思维工具，越来越受到职场人士的喜爱。无论是在任务安排还是读书笔记方面都有着出众的表现。作为一款常用的办公思维导图软件，MindMaster结合了精美的设计元素，预置丰富的主题样式，超人性化的布局模
式和展示模式，以及对其他常用软件的完美兼容，使得亿图思维导图软件正努力成为一款真正的效率神器！ 如何用MindMaster制定计划提高办公效率 1、在每周工作日开展前，提前绘制一个思维导图。安装并打开MindMaster，然后创建一个空白模板。 2、绘制思维导图，以每一个工作日为子主题，创建五个。
3、为了适应商务风格，可以在中心主题的“样式”功能里，更换主题样式，建议更换为极简的主题，有助于浏览。 4、完善每天的工作内容后，点击“高级”-“甘特图”。
导语： 思想导图是什么？新手应该怎样画思想导图呢？思想导图是一种利用发散思想的原理，依照过程进行制造的一种图形笔记和思想方法。与传统的笔记相比，思想导图所能够承载的信息量更大、层次更清晰，且不易被人忘记。简单归纳，这种导图的功用是：具有事务管控、回忆学习、策划创造和总结剖析的才能。 第一步：快速创建思维导图 1、打开亿图思维导图软件，点击新建中的“思维导图”； 2、选择从“模板”或者“例子”中新建，双击即可直接进入； 3、在思维导图的编辑界面你会发现自动为你打开了相对应的库和思维导图菜单栏。 第二步：添加主题 方法1：通过用浮动按钮添加： 点击浮动按钮右侧功能键进行添加，如下图所示：
方法2：从符号库中添加： 1、软件界面左侧的符号库中有内置的图形符号，根据需求选择相对应的图形，直接拖拽至绘图界面即可； 2、只要该图形拖拽至需要吸附的主题附近，然后松开鼠标就会自动吸附了。 第三步：通过“思维导图”菜单栏进行编辑 1、插入主题或者副主题：选中需要添加主题或者副主题的图形，点击“插入主题”或者“副主题”即可。
2、插入多个主题：选中需要插入的图形，点击“添加多个主题”，然后在弹出的文本框中输入需要添加的主题名称，一行代表一个主题，如下图所示： 3、插入关系： 方法1：点击“插入关系”后，将鼠标移动至绘图界面，当鼠标靠近主题或者副主题附近时，会出现许多的连接点，只要将鼠标移动至需要添加的连接点上，就会出现红色的标识，如下图所示，然后点击鼠标左键并移动至下一个连接点，再放开鼠标即可。 方法2：通过软件界面左侧“符号库”中的“关系”同样也可以添加关系，将其直接拖拽至绘图界面，然后调整箭头的两个链接点即可。 PS：连接线上一般有两个黄色的菱形符号，拖动它可以对线条的弧度、方向等进行调整。
第七章 空间解析几何与向量代数 A 一、 1、平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________. 2、设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角. 3、设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴 上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、 1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(??-??及； 及(3)a 、b 的夹角的余弦. 2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量. 3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ. 三、 1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________. 2、方程02422 2 2 =++-++z y x z y x 表示______________曲面. 3、1)将xOy 坐标面上的x y 22 =绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为__ _____________，曲面名称为___________________. 2)将xOy 坐标面上的x y x 22 2 =+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________. 3)将xOy 坐标面上的36942 2 =-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方 程为_____________，曲面名称为_____________________. 4）在平面解析几何中2x y =表示____________图形。在空间解析几何中 2x y =表示______________图形. 5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(42 2 2 y x z += (2))(42 2 y x z += 四、
专题01曲线和方程 训练篇 B 1.已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，?ABM 为等腰三角形，且顶角为120，则E 的离心率为 A.5 B.2 C.3 D.2 分析 要求e ，不一定要清楚a 和c ，可以求出a ，c 之间的关系，在转化为e 的方程或等式. 解1 设双曲线方程为22 221(0,0)x y a b a b -=>>. 如图所示，||||AB BM =，120ABM ∠=，过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，在△BMN 中，由于|BM |=|AB |=2a ，则||BN a =， ||3MN a =，故点M 的坐标为(2,3)M a a ，代入双曲线方程得 2 2 2 2 a b c a ==-，即2 2 2c a =，所以2e =. 解2 如图所示，不妨设点M 在第一象限，则直线AM 的方程 3:()AM l y x a =+，直线BM 的方程:3()BM l y x a =-，联立解得23x a y a =???=??，所以点 M 的坐标为(2,3)M a a ，以下同解1. 2.双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线， 点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2，则a =_______________. 解 不妨令B 为双曲线的右焦点，A 在第一象限，则双曲线如图所示. 因为OABC 为正方形，2=OA ，所以22==c OB ， π 4 ∠= AOB . 因为直线OA 是渐近线，方程为= b y x a ，所以tan 1=∠=b AOB a . 又222 8+==a b c ，所以2=a . 3.以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |= 42，|DE|=25，则C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 解 因为抛物线焦点到准线的距离为p ，所以只要求出p ，因D 在圆上，A 既在圆上，又在抛物线上，从而可以得到三个方程，不妨设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为 222x y r +=，作出示意图如图所示. O C B A y x F A -1 B 1M N x y -2-4-3234O 1 234 -1 -2-3-4
思维导图怎么画技巧：教你全面绘制一份思维导图 说起来，有些人觉得思维导图不知道应该怎么绘制，觉得一头雾水。但是当我们绘制出思维导图后，我们会觉得思维导图真的是一种很有用的工具，可以帮助我们快速理解整个事情的过程以及从哪方面下手。所以今天，我就要来和大家讲讲，思维导图应该怎么画更简单。 一、准备工作 我们想要绘制思维导图的话，还是借助工具比较方便，这里为大家推荐的是迅捷流程图制作软件，这是一款操作上比较简单的工具，可以帮助我们快速地实现流程图的绘制。 二、确定主题 当我们想要绘制流程图的时候，我们肯定是需要先确定好要绘制的主题，当主题确定好后，我们才方便进行下一步操作。
三、开始绘制 当我们开始绘制思维导图的时候，我们运行迅捷流程图制作软件。然后在软件界面上，点击“创建新图表”。 当然，若是你之前已经有绘制过流程图的话，那你可以点击“打开现有图表”。
接下来我们可以创建一个文件名，然后在左侧，可以查看各种图表模板，我们可以选择对应的模板后进行添加，当然，要是想要自己从头开始绘制思维导图，那直接点击“空白图表”也行。
打开编辑界面后，我们可以看到，在软件左侧，是一些素材选择，中间区域是编辑模块，然后在右侧，是对素材进行编辑的一个功能。 我们在左侧选择需要的素材，添加到编辑区域中。当然，我们需要先确定主题素材，点击后进行添加。
成功添加素材后，可以对素材进行编辑，选中素材后，可以对素材四周进行拉伸，将素材放大或缩小。然后可以其中编辑文本内容。
编辑好文本后，可以对文本格式进行设置，在右侧的“文本”模块中，可以对文本的颜色、字体、位置等进行设置。