2020年陕西省西安市高新一中中考数学三模试卷
一．选择题（共10小题）
1．在，，1.62，0四个数中，有理数的个数为（）
A．4B．3C．2D．1
2．将两个长方体如图放置，则所构成的几何体的主视图可能是（）
A．B．
C．D．
3．直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角板，如图放置，∠1＝42°，则∠2等于（）
A．97°B．93°C．87°D．83°
4．设正比例函数y＝mx的图象经过点A（m，4），且y的值随x值的增大而减小，则m＝（）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
5．下列运算正确的是（）
A．2m2+m2＝3m4B．（mn2）2＝mn4C．2m?4m2＝8m2D．m5÷m3＝m2 6．如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB中点，且AE+EO＝4，则?ABCD 的周长为（）
A．20B．16C．12D．8
7．一次函数y＝mx+4与一次函数y＝3x+n关于直线y＝1对称，则m、n分别为（）A．m＝﹣3，n＝﹣2B．m＝﹣3，n＝﹣4C．m＝3，n＝﹣2D．m＝3，n＝﹣4 8．如图，四边形ABCD中∠DAB＝60°，∠B＝∠D＝90°，BC＝1，CD＝2，则对角线AC 的长为（）
A．B．C．D．
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（）
A．45°B．50°C．60°D．75°
10．二次函数y＝ax2﹣8ax（a为常数）的图象不经过第三象限，在自变量x的值满足2≤x ≤3时，其对应的函数值y的最大值为﹣3，则a的值是（）
A．B．﹣C．2D．﹣2
二．填空题（共4小题）
11．比较大小：．
12．如图，已知正六边形ABCDEF，则∠ADF＝度．
13．如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为．
14．如图，在锐角△ABC中，AB＝2，AC＝，∠ACB＝45°，D是平面内一点且∠ADB ＝30°，则线段CD的最小值为．
三．解答题
15．计算：﹣22+sin45°﹣|﹣2|﹣（﹣1）0．
16．解方程：+＝1．
17．如图，点P是⊙O外一点，请你用尺规画出一条直线P A，使得其与⊙O相切于点A，（不写作法，保留作图痕迹）
18.如图，△ABC和△EBD均为等腰直角三角形，点E是边AB上一点，∠ABC＝∠EBD＝
90°，连接AD，CE．求证：AD⊥CE．
19.某校初三进行了第三次模拟考试，该校领导为了了解学生的数学考试情况，抽样调查部
分学生的数学成绩，并将抽样的数据进行了如下整理：
（1）填空m＝，n＝，数学成绩的中位数所在的等级；
（2）如果该校有1200名学生参加了本次模拟测，估计D等级的人数；
（3）已知抽样调查学生的数学成绩平均分为102分，求A等级学生的数学成绩的平均分数．
①如下分数段整理样本；
等级等级分数段各组总分人数A110＜X＜120P4
B100＜X＜110843n
C90＜X≤100574m
D80＜X＜901712
②根据左表绘制扇形统计图．
20.2018年3月2日，500架无人飞机在西安创业咖啡街区的夜空绽放，西安高新区用“硬
科技”打造了最具独特的风景线，2018“西安年，最中国”以一场华丽的视觉盛宴完美收官，当晚，某兴趣爱好者想用手中的无人机测量大雁塔的高度，如图是从大雁塔正南面看到的正视图，兴趣爱好者将无人机上升至离地面185米高大雁塔正东面的F点，此时，他测得F点都塔顶A点的俯视角为30°，同时也测得F点到塔底C点的俯视角为45°，已知塔底边心距OC＝23米，请你帮助该无人机爱好者计算出大雁塔的大体高度（结果精确到0.1米）？（≈1.73，≈1.41）．
21.市园林处为了对一段公路进行绿化，计划购买A，B两种风景树共900棵．A，B两种树
的相关信息如表：
品种项目单价（元/棵）成活率
A8092%
B10098%若购买A种树x棵，购树所需的总费用为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若希望这批树的成活率不低于94%，且使购树的总费用最低，应选购A、B两种树各多少棵？此时最低费用为多少？
22.象棋是棋类益智游戏，中国象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，
成为流行极为广泛的棋艺活动．李凯和张萌利用象棋棋盘和棋子做游戏．李凯将四枚棋子反面朝上放在棋盘上，其中有两个“兵”、一个“马”、一个“士”，张萌随机从这四枚棋子中摸一枚棋子，记下正汉字，然后再从剩下的三枚棋子中随机摸一枚．
（1）求张萌第一次摸到的棋子正面上的汉字是“兵”的概率；
（2）游戏规定：若张萌两次摸到的棋子中有“士”，则张萌胜；否则，李凯胜．请你用树状图或列表法求李凯胜的概率．
23.如图，点O是△ABC的边AB上一点，以OB为半径的⊙O与边AC相切于点E，与边
BC，AB分别相交于点D，F，且DE＝EF．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）当BC＝3，sin A＝时，求AF的长．
24.已知抛物线，L：y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C，且抛
物线L的对称轴为直线x＝1．
（1）抛物线的表达式；
（2）若抛物线L′与抛物线L关于直线x＝m对称，抛物线L′与x轴交于点A′，B′两点（点A′在点B′左侧），要使S△ABC＝2S△A′BC，求所有满足条件的抛物线L′的表达式．
25.解决问题：
（1）如图①，半径为4的⊙O外有一点P，且PO＝7，点A在⊙O上，则P A的最大值
和最小值分别是和．
（2）如图②，扇形AOB的半径为4，∠AOB＝45°，P为弧AB上一点，分别在OA边找点E，在OB边上找一点F，使得△PEF周长的最小，请在图②中确定点E、F的位置并直接写出△PEF周长的最小值；
拓展应用
（3）如图③，正方形ABCD的边长为4；E是CD上一点（不与D、C重合），CF⊥BE于F，P在BE上，且PF＝CF，M、N分别是AB、AC上动点，求△PMN周长的最小值．
2020年陕西省西安市高新一中中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在，，1.62，0四个数中，有理数的个数为（）
A．4B．3C．2D．1
【分析】根据有理数的定义，即可解答．
【解答】解：在，，1.62，0四个数中，有理数为，1.62，0，共3个，
故选：B．
2．将两个长方体如图放置，则所构成的几何体的主视图可能是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形即可解答．
【解答】解：根据主视图的概念可知，从物体的正面看得到的视图是A，
故选：A．
3．直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角板，如图放置，∠1＝42°，则∠2等于（）
A．97°B．93°C．87°D．83°
【分析】根据平行线的性质得出∠2＝∠ADE，根据三角形外角性质求出∠ADE，即可得出答案．
【解答】解：
∴直线l1∥l2，
∴∠2＝∠ADE，
∵∠1＝42°，∠A＝45°，
∴∠2＝∠ADE＝∠1+∠A＝87°，
故选：C．
4．设正比例函数y＝mx的图象经过点A（m，4），且y的值随x值的增大而减小，则m＝（）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
【分析】直接根据正比例函数的性质和待定系数法求解即可．
【解答】解：把x＝m，y＝4代入y＝mx中，
可得：m＝±2，
因为y的值随x值的增大而减小，
所以m＝﹣2，
故选：B．
5．下列运算正确的是（）
A．2m2+m2＝3m4B．（mn2）2＝mn4C．2m?4m2＝8m2D．m5÷m3＝m2【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、整式的乘除运算分别计算得出答案．
【解答】解：A、2m2+m2＝3m2，故此选项错误；
B、（mn2）2＝m2n4，故此选项错误；
C、2m?4m2＝8m3，故此选项错误；
D、m5÷m3＝m2，正确．
故选：D．
6．如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB中点，且AE+EO＝4，则?ABCD 的周长为（）
A．20B．16C．12D．8
【分析】首先证明：OE＝BC，由AE+EO＝4，推出AB+BC＝8即可解决问题；
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AE＝EB，
∴OE＝BC，
∵AE+EO＝4，
∴2AE+2EO＝8，
∴AB+BC＝8，
∴平行四边形ABCD的周长＝2×8＝16，
故选：B．
7．一次函数y＝mx+4与一次函数y＝3x+n关于直线y＝1对称，则m、n分别为（）A．m＝﹣3，n＝﹣2B．m＝﹣3，n＝﹣4C．m＝3，n＝﹣2D．m＝3，n＝﹣4【分析】先求出一次函数y＝mx+4与y轴交点关于直线y＝1的对称点，得到n的值，再求出一次函数y＝3x+b与x轴交点关于直线y＝1的对称点，代入一次函数y＝mx+4，求出m的值即可．
【解答】解：∵一次函数y＝mx+4与y轴交点为（0，4），
∴点（0，4）关于直线y＝1的对称点为（0，﹣2），
∴n＝﹣2，
一次函数y＝3x﹣2与x轴交点为（，0），
（，0）关于直线y＝1的对称点为（，2），
∴m+4＝2，解得m＝﹣3．
故选：A．
8．如图，四边形ABCD中∠DAB＝60°，∠B＝∠D＝90°，BC＝1，CD＝2，则对角线AC 的长为（）
A．B．C．D．
【分析】延长DC与AB交于一点K．解直角三角形求出DK，再求出AD，利用勾股定理求出AC．
【解答】解：延长DC交AB的延长线于点K；
在Rt△ADK中，∠DAK＝60°∠AKD＝30°，BC＝1，∴，
∴DK＝CD+CK＝4，
∴AD＝＝，
在△Rt△ADC中，
AC＝＝，
故选：C．
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（）
A．45°B．50°C．60°D．75°
【分析】设∠ADC的度数＝α，∠ABC的度数＝β，由题意可得，求出β即可解决问题．
【解答】解：设∠ADC的度数＝α，∠ABC的度数＝β；
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴∠ABC＝∠AOC；
∵∠ADC＝β，∠ADC＝α；而α+β＝180°，
∴，
解得：β＝120°，α＝60°，∠ADC＝60°，
故选：C．
10．二次函数y＝ax2﹣8ax（a为常数）的图象不经过第三象限，在自变量x的值满足2≤x ≤3时，其对应的函数值y的最大值为﹣3，则a的值是（）
A．B．﹣C．2D．﹣2
【分析】根据题意和题目中的函数解析式，利用二次函数的性质可以求得a的值，本题得以解决．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣8ax＝a（x﹣4）2﹣16a，
∴该函数的对称轴是直线x＝4，
又∵二次函数y＝ax2﹣8ax（a为常数）的图象不经过第三象限，
∴a＞0，
∵在自变量x的值满足2≤x≤3时，其对应的函数值y的最大值为﹣3，
∴当x＝2时，a×22﹣8a×2＝﹣3，
解得，a＝，
故选：A．
二．填空题（共4小题）
11．比较大小：＜．
【分析】先把根号外的因式移入根号内，再根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小比较即可．
【解答】解：∵﹣2＝﹣，﹣3＝﹣，
∴﹣2＜﹣3，
故答案为：＜．
12．如图，已知正六边形ABCDEF，则∠ADF＝30度．
【分析】连接OF，由多边形是正六边形可求出∠AOF的度数，再根据圆周角定理即可求出∠ADF的度数．
【解答】解：由题意知：AD是正六边形的外接圆的半径，
找到AD的中点O，连接OF，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOF＝＝60°，
∴∠ADF＝∠AOF＝×60°＝30°．
故答案为：30°．
13．如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为9．
【分析】要求△AOC的面积，已知OB为高，只要求AC长，即点C的坐标即可，由点D为三角形OAB斜边OA的中点，且点A的坐标（﹣6，4），可得点D的坐标为（﹣3，2），代入双曲线可得k，又AB⊥OB，所以C点的横坐标为﹣6，代入解析
式可得纵坐标，继而可求得面积．
【解答】解：∵点D为△OAB斜边OA的中点，且点A的坐标（﹣6，4），
∴点D的坐标为（﹣3，2），
把（﹣3，2）代入双曲线，
可得k＝﹣6，
即双曲线解析式为y＝﹣，
∵AB⊥OB，且点A的坐标（﹣6，4），
∴C点的横坐标为﹣6，代入解析式y＝﹣，
y＝1，
即点C坐标为（﹣6，1），
∴AC＝3，
又∵OB＝6，
∴S△AOC＝×AC×OB＝9．
故答案为：9．
14．如图，在锐角△ABC中，AB＝2，AC＝，∠ACB＝45°，D是平面内一点且∠ADB ＝30°，则线段CD的最小值为3﹣．
【分析】作AH⊥BC于H，因为AB＝2，AC＝，∠ACB＝45°，可得∠ABH＝60°，BC＝，在BC上截取BO＝AB＝2，则△OAB为等边三角形，以O为圆心，2为半径作⊙O，根据∠ADB＝30°，可得点D在⊙O上运动，当DB经过圆心O时，CD最小，其最小值为⊙O的直径减去BC的长．
【解答】解：如图，作AH⊥BC于H，
∵AB＝2，AC＝，∠ACB＝45°，
∴CH＝AH＝，
∴BH＝，
∴∠ABH＝60°，BC＝CH+BH＝，
在BC上截取BO＝AB＝2，则△OAB为等边三角形，
以O为圆心，2为半径作⊙O，
∵∠ADB＝30°，
∴点D在⊙O上运动，
当DB经过圆心O时，CD最小，
最小值为4﹣（+1）＝3﹣．
故答案为：3﹣．
三．解答题
15．计算：﹣22+sin45°﹣|﹣2|﹣（﹣1）0．
【分析】根据零次幂、绝对值、特殊锐角的三角函数值以及实数的运算法则进行计算即可．
【解答】解：﹣22+sin45°﹣|﹣2|﹣（﹣1）0．
＝﹣4+2×﹣2+﹣1，
＝﹣4+2﹣2+﹣1，
＝﹣5．
16．解方程：+＝1．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2+x（x+2）＝x2﹣4，
解得：x＝﹣3，
经检验x＝﹣3是分式方程的解．
17．如图，点P是⊙O外一点，请你用尺规画出一条直线P A，使得其与⊙O相切于点A，（不写作法，保留作图痕迹）
【分析】连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点K，以点K为圆心OK为半径作⊙K交⊙O于点A，A′，作直线P A，P A′，直线P A，P A′即为所求．
【解答】解：连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点K，以点K为圆心OK 为半径作⊙K交⊙O于点A，A′，作直线P A，P A′，
直线P A，P A′即为所求．
18.如图，△ABC和△EBD均为等腰直角三角形，点E是边AB上一点，∠ABC＝∠EBD＝
90°，连接AD，CE．求证：AD⊥CE．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．
【专题】553：图形的全等．
【分析】延长CE交AD于点F，根据SAS证明△EBC与△DBA全等，利用全等三角形的性质和垂直的定义证明即可．
【解答】证明：延长CE交AD于点F，
∵△ABC和△EBD均为等腰直角三角形，
∴EB＝DB，AB＝BC，∠ABD＝∠EBC＝90°，
在△EBC与△DBA中
，
∴△EBC≌△DBA（SAS），
∴∠DAB＝∠ECB，
∵∠DAB+∠ADB＝90°，
∴∠ECB+∠ADB＝90°，
∴∠DFC＝90°，
∴AD⊥CE．
19.某校初三进行了第三次模拟考试，该校领导为了了解学生的数学考试情况，抽样调查部
分学生的数学成绩，并将抽样的数据进行了如下整理：
（1）填空m＝6，n＝8，数学成绩的中位数所在的等级B；
（2）如果该校有1200名学生参加了本次模拟测，估计D等级的人数；
（3）已知抽样调查学生的数学成绩平均分为102分，求A等级学生的数学成绩的平均分数．
①如下分数段整理样本；
等级等级分数段各组总分人数A110＜X＜120P4
B100＜X＜110843n
C90＜X≤100574m
D80＜X＜901712
②根据左表绘制扇形统计图．
【考点】V2：全面调查与抽样调查；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；
VB：扇形统计图；W2：加权平均数；W4：中位数．
【专题】54：统计与概率；65：数据分析观念．
【分析】（1）根据表格中的数据和扇形统计图中的数据可以求得本次抽查的人数，从而可以得到m、n的值，从而可以得到数学成绩的中位数所在的等级；
（2）根据表格中的数据可以求得D等级的人数；
（3）根据表格中的数据，可以计算出A等级学生的数学成绩的平均分数．
【解答】解：（1）本次抽查的学生有：4÷＝20（人），
m＝20×30%＝6，n＝20﹣4﹣6﹣2＝8，
数学成绩的中位数所在的等级B，
故答案为：6，8，B；
（2）1200×＝120（人），
答：D等级的约有120人；
（3）由表可得，
A等级学生的数学成绩的平均分数：＝113（分），
即A等级学生的数学成绩的平均分是113分．
20.2018年3月2日，500架无人飞机在西安创业咖啡街区的夜空绽放，西安高新区用“硬
科技”打造了最具独特的风景线，2018“西安年，最中国”以一场华丽的视觉盛宴完美收官，当晚，某兴趣爱好者想用手中的无人机测量大雁塔的高度，如图是从大雁塔正南面看到的正视图，兴趣爱好者将无人机上升至离地面185米高大雁塔正东面的F点，此时，他测得F点都塔顶A点的俯视角为30°，同时也测得F点到塔底C点的俯视角为
45°，已知塔底边心距OC＝23米，请你帮助该无人机爱好者计算出大雁塔的大体高度（结果精确到0.1米）？（≈1.73，≈1.41）．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】1：常规题型．
【分析】作FD⊥BC，交BC的延长线于D，作AE⊥DF于E，则四边形AODE是矩形．解直角△CDF，得出CD＝DF＝185米，那么OD＝OC+CD＝208米，AE＝OD＝208米．再解直角△AEF，求出EF＝AE?tan∠F AE＝米，然后根据OA＝DE＝DF﹣EF即可求解．
【解答】解：如图，作FD⊥BC，交BC的延长线于D，作AE⊥DF于E，则四边形AODE 是矩形．
由题意，可知∠F AE＝30°，∠FCD＝45°，DF＝185米．
在直角△CDF中，∵∠D＝90°，∠FCD＝45°，
∴CD＝DF＝185米，
∴OD＝OC+CD＝208米，
∴AE＝OD＝208米．
在直角△AEF中，∵∠AEF＝90°，∠F AE＝30°，
∴EF＝AE?tan∠F AE＝208×＝（米），
∴DE＝DF﹣EF＝185﹣≈185﹣119.95≈65.1（米），
∴OA＝DE≈65.1米．
故大雁塔的大体高度是65.1米．
21.市园林处为了对一段公路进行绿化，计划购买A，B两种风景树共900棵．A，B两种树
的相关信息如表：
品种项目单价（元/棵）成活率
A8092%
B10098%若购买A种树x棵，购树所需的总费用为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若希望这批树的成活率不低于94%，且使购树的总费用最低，应选购A、B两种树各多少棵？此时最低费用为多少？
【考点】FH：一次函数的应用．
【分析】（1）根据购树的总费用＝买A种树的费用+买B种树的费用，化简后便可得出y 与x的函数关系式；
（2）先根据A种树成活的数量+B种树成活的数量≥树的总量×平均成活率，列出不等式，得出x的取值范围，然后根据一次函数的性质判断出最佳的方案．
【解答】解：（1）由题意，得：y＝80x+100（900﹣x）
化简，得：y＝﹣20x+90000（0≤x≤900且为整数）；
（2）由题意得：92%x+98%（900﹣x）≥94%×900，
解得：x≤600．
∵y＝﹣20x+90000随x的增大而减小，
∴当x＝600时，购树费用最低为y＝﹣20×600+90000＝78000．
当x＝600时，900﹣x＝300，