归纳—猜想~~~找规律
给出几个具体的、特殊的数、式或图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论.解
题的思路是实施特殊向一般的简化；具体方法和步骤是（1）通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；
（2）猜想符合规律的一般性结论；（3）验证或证明结论是否正确,下面通过举例来说明这些问题.
一、数字排列规律题
1、观察下列各算式：
1+3=4=2 的平方，1+3+5=9=3 的平方，1+3+5+7=16=4 的平方…
按此规律
（1）试猜想：1+3+5+7+…+2005+2007 的值 ？
（2）推广： 1+3+5+7+9+…+（2n-1)+（2n+1)的和是多少 ？
2、下面数列后两位应该填上什么数字呢？ 2 3 5 8 12 17
3、请填出下面横线上的数字。
1 1 2358
21
4、有一串数，它的排列规律是 1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6、……聪明的你猜猜第 100 个数
是什么？
5、有一串数字 3 6 10 15 21
第 6 个是什么数？
6、观察下列一组数的排列：1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、…，那么第 2005 个数是
（ ）.
A．1
B．2 C．3 D．4
7、100 个数排成一行，其中任意三个相邻数中，中间一个数都等于它前后两个数的和，如果这 100 个数
的前两个数依次为 1，0，那么这 100 个数中“0”的个数为
个．
二、几何图形变化规律题
1、观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)：
●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●……
从第 1 个球起到第 2004 个球止，共有实心球
个．
2、观察下列图形排列规律（其中△是三角形，□是正方形，○是圆），□○△□□○△□○△□□○△□┅
┅，若第一个图形是正方形，则第2008个图形是
（填图形名称）.
三、数、式计算规律题
1、已知下列等式：
① 13＝12；
② 13＋23＝32；
③ 13＋23＋33＝62；
④ 13＋23＋33＋43＝102 ；
由此规律知，第⑤个等式是
．
2、观察下面的几个算式：
1+2+1=4，
1+2+3+2+1=9，
1+2+3+4+3+2+1=16，
1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，…
根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果：
1
1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1= .
3、1+2+3+…+100＝？经过研究，这个问题的一般性结论是 1+2+3+…+ n 1 nn 1，其中ｎ是正整数.现
2
在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+… nn 1 ＝ ？
观察下面三个特殊的等式
1 2 1 1 2 3 0 1 2
3
2 3 1 2 3 4 1 2 3
3
3 4 1 3 4 5 2 3 4
3 将这三个等式的两边相加，可以得到 1×2+2×3+3×4＝ 1 3 4 5 20
3 读完这段材料，请你思考后回答：
⑴1 2 2 3 100 101
⑵1 2 3 2 3 4 nn 1n 2
⑶1 2 3 2 3 4 nn 1n 2
4、已知：2 2 22 2 ，3 3 32 3，4 4 42 4 ，5 5 52 5
3
38
8 15
15 24
24
…，若10 b 102 b 符合前面式子的规律，则a b
a
a
参考答案:
一、1、（1）1004 的平方（2）n+1 的平方
2、23 30。数列中每两个相邻数字间的差分别是 1，2，3，4，5，6，7。 3、13。这一数列后面一个数是前面相邻两个数的和。 4、34 。考虑时，可以从第一个数开始，每 3 个数加一个括号（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），…… 一共加了 33 个括号，剩下的一个必是第 100 个。每个括号的第一个数分别是 1，2，3，……因此第 100 个数必然是 34。 5、28。3+3=6 6+4=10 10+5=15 15+6=21 21+7=28, 所以第 6 个是 28。其实一般这类的规律题 无非就是在数的基础上加减乘除，有些麻烦点的就是一个数乘上倍数后在加 1 或减 1。 6、A 7、33
二、 1、602 2、圆
三、1、13 23 33 43 53 152
2、10000 3、 ⑴343400 或 1 100 101102
3 4、109.
⑵ 1 nn 1n 2
3
⑶ 1 nn 1n 2n 3
4
2
规律发现专题训练
1. 用黑白两种颜色的正六边形地砖按如下所示的规律拼成若干个图案：第(4)个图案中有黑色地砖 4 块；
那么第( n )个图案中有白色地砖
块。
……
2. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家
1万事非。”如图在，一个边长为 1 的正方形纸版上依，次贴上面积为
2 1 ， 1，…， 1 的矩形彩色纸片（n 为大于 1 的整数）。请你用“数
48
2n
形结合”的思想，依数形变化的规律，计算 1 1 1 1 =
248
2n
，第 3 题 。
3. 有一列数：第一个数为 x1=1，第二个数为 x2=3，第三个数开始依次记为 x3，x4，…，xn；从第二个数 开始，每个数是它相邻两个数和的一半。（如：x = x1 x3 ）
2
2
(1) 求第三、第四、第五个数，并写出计算过程； (2)根据（1）的结果，推测 x8= ；
(3)探索这一列数的规律，猜想第 k 个数 xk=
.（k 是大于 2 的整数）
4.将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线）. 继续对折，对折时每次折痕与上次
的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到 7 条折痕，那么对折四次可以得到_
条折痕 .如
果对折 n 次，可以得到
条折痕 .
5. 观察下面一列有规律的数
1 ,2 3, , 4 , 5 , 6 ,， 根据这个规律可知第 n 个数是 3 8 15 24 35 48
（n 是正整数）
3
6. 古希腊数学家把数 1，3，6，10，15，21，……，叫做三角形数，它有一定的规律性，则第 24 个三角
形数与第 22 个三角形数的差为
。
7. 按照一定顺序排列的一列数叫数列,一般用 a1，a2，a3，…，an 表示一个数列，可简记为{an}.现有数列 {an}满足一个关系式：an+1= a2 -nnan+1,(n=1,2,3,…,n),且 a1=2.根据已知条件计算 a2,a3,a4 的值，然后进 行归纳猜想 an= .（用含 n 的代数式表示）
8.观察下面一列数：-1，2，-3，4，-5，6，-7，．．，将这列数排成下列形式
按照上述规律排下去，那么第 10 行从左边第 9 个数 是.
-1 2 -3 4
-5 6 -7 -9 10 -11 12 -13 14 -15 16
9. 观察下列等式 9-1=8
...... 第 8 题
16-4=12
25-9=16
36-16=20
…………
这些等式反映自然数间的某种规律，设 n(n≥1)表示自然数，用关于 n 的等式表示这个规律为.
10. 如图是阳光广告公司为某种商品设计的商标图案，
图中阴影部分为红色。若每个小长方形的面积都 1，
则红色的面积是
。
11. 如下图，从 A 地到 C 地，可供选择的方案是
走水路、走陆路、走空中.从 A 地到 B 地有 2 条水
路、2 条陆路，从 B 地到 C 地有 3 条陆路可供选择，走空中从 A 地不经 B 地直接到 C 地.则从 A 地到 C 地
可供选择的方案有( )
A．20 种 B．8 种 C． 5 种
D．13 种
12. 某校的一间阶梯教室，第 1 排的座位数为 12，从第 2
第 17 题
排开始，每一排都比前一排增加 a 个座位。（1）请你在下表的空格里填写一个适当的代数式：
第 1 排的 第2 排的座 第3 排的座 第 4 排的座
座位数
位数
位数
… 位数
第 n 排的 座位数
12
12＋a
…
（2）已知第 15 排座位数是第 5 排座位数的 2 倍，求 a 的值，并计算第 21 排有多少座位？
4
13. 探索：⑴一条直线可以把平面分成两部分，两条直线最多可以把平面分成 4 部分，三条直线最多可 以把平面分成 部分，四条直线最多可以把平面分成 部分，试画图说明；⑵n 条直线最多可以把平面 分成几部分？
14.先观察 1 1 ＝ (1 1 ) ( 1 1) ＝1－ 1＝ 2
1 2 2 3 1 2 2 3
33
1
1
1
＝
1 (
1
)
(
1
1 11
13
) ( ) ＝1－ ＝
34 1 2 2 3 3 4
44
1 2 2 3
再计算 1 1 1 1 的值．
1 2 2 3 3 4
n(n 1)
15..观察下列顺序排列的等式： 9×0＋1＝1 9×1＋2＝11 9×2＋3＝21 …，猜想：第 21 个等式应为：
9×4＋5＝41
16. 我们把分子为 1 的分数叫做单位分数. 如 1 ， 1 ， 1 …，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的
234
单位分数的和，如 1 ＝ 1 1 ， 1 ＝ 1 1 ， 1 ＝ 1 1 ，…
2 3 6 3 4 12 4 5 20
（1） 根据对上述式子的观察，你会发现 1 ＝ 1 1 . 请写出□，○所表示的数；
□5 ○
（2） 进一步思考，单位分数 1 （n 是不小于 2 的正整数）＝ 1 1 ，请写出△，☆所表示的式。
n
☆△
17. 你到过县城的拉面馆吗？拉面馆的师傅，能把一根很粗的面条，先两头捏合在一起拉伸，再捏合， 再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多根细面条，如下面草图所示。请问这样第 次可拉出 256 根面条。
18. 我国古代的“河图”是由 3×3 的方格构成，每个格内均有数目不等
的点图，每一行、每一列以及每条对角线上的三个点图的点数之和 均
相等．如图，给出了“河图”的部分点图，请你推算出 M 处所对应的
点图
A．·
B．··
C．
D．
-26
-48
19.计算1 2 3 4 5 6 2007 2008 的结果是（ ）
A. -2008
B. -1004
C. -1
D. 0
-8
-14
-88
5
-4
x
-2
-2
20．观察右图并寻找规律，x 处填上的数字是 A．－136 B．－150 C．－158 D．－162
21．若“！”是一种数学运算符号，并且 1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6， 4！=4×3×2×1，…，则100! 的值为
98!
22. 如图，平面内有公共端点的六条射线 OA、OB、OC、OD、OE、OF，从射线 OA 开始按逆时针依次在射
线上写出数字 1、2、3、4、5、6、7…，则数字“2008”在（ ）
A．射线 OA 上 B．射线 OB 上 C．射线 OD 上 D．射线 OF 上
23.
B8
A
7
21
6 12
C
93
O
F
4
5
10
11 E
D
(1) 左下图是有几个大小完全一样的小正方体搭成的几何体的俯视图,小正方形中的数字表示在该位置
小正方体的个数,请你画出该几何体的主视图和左视图.
(2) 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…， 其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.现以这组数中的各个数作为正方形的边长值构 造如下正方形：
...
11
2
3
5
再分别依次从左到右取 2 个、3 个、4 个、5 个…正方形拼成如下长方形并记为①、②、③、④、 …
2 1
2
11
1
11 1
…
1
23
3
5
①
①
①
①
6
相应长方形的周长如下表所示：
序号
①
②
③
④
… 仔细观察图形，上表中的 x 16 ， y
周长
6
10
26 .
x
y
…
若按此规律继续作长方形，则序号为⑧的长
方形周长是 178 .
24．(本题满分 10 分) 如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，然后将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，再将其中的
一个正方形剪成四个小正方形，如此继续下去，………，请你根据以上操作方法得到的正方形的个 数的规律完成各题. (1) 将下表填写完整； (2)
(2) an
（用含n 的代数式表示）．
(3) 按照上述方法，能否得到 2009 个正方形?如果能，请求出 n；如果不能，请简述理由.
25. 观察下列图形的构成规律，根据此规律，第 8 个图形中有
个圆．
26. 观察下面图形，按规律在两个箭头所指的“田”字格内分别 画上适当图形
第 11 题图
27、观察下面一列数，按某种规律在横线上填上适当的数：1， 3 ， 5 ， 7 ……则 4 9 16
第 n 个数为
；
7
规律发现专题训练答案
1.4n+2 2.1 3.(1)5;7;9 (2)15 (3)2n-1 4.15;? 5.n/n(n+2)
6.45 7.n+1 8.90 9.? 10.5 11.D
12.(1)12+2a;12+3a;12+a(n-1)(2)a=2;54
13.7;11;n/(n+1)+1
14.n/(n+1)
15.9×20+21=201
16.(1)6;30(2)n+1;n(n+1)
17.8
18.C 19.B 20.D 21.9900 22.C
23.（2）16；26；178
24(1)13;16;(2)3n+1;(3)不能，3n+1=2009 3n=2008 因为 2008 不是 3 的倍数。
25.n×n
26.？ 27.(2n-1)/n×n
阅读规律题专题测试卷
一填空
1、.观察下列各数，按规律在横线上填上适当的数.
(1)1，1,2,3,5, ,13,21,34, , .
(2)1,－2,4,－8,16, , .
(3).观察下列数据，按某种规律在横线上填上适当的数：
1， 3 ， 5， 7 ，
，…
4 9 16
(4) 、有一组数：1，2，5，10，17，26，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第 8
个数为
．
(5).观察下列各数之间的关系,在空中填上适当的数:1,1,2,3,5,8,
.
2、为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：
按照上面的规律，摆 n 个“金鱼”需用火柴棒的根数为（ ）
A． 2 6n
B． 8 6n
C． 4 4n
D． 8n
3,广西河 3、（2007 池非课改）填 数有相同的规律， 根据此规 1 3
35
5 20
7 56
在下面三个田字格内的
5 A 律，C =
．
BC
8
4、观察下列等式，并回答问题： 1 2 3 6 (1 3) 3
2 1 2 3 4 5 15 (1 5) 5
2
1 2 3 n
1 2 3 4 10 (1 4) 4 2
……
。
并求1 2 3 1000 的结果。
5、观察下列算式：21＝2、22＝4、23＝8、24＝16、55＝32、26＝64、27＝128、28＝256……。观察后，
用你所发现的规律写出 223的末位数字是
。
6．探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，解答问题： 1+3=4=22
9 ※※※※ ※
1+3+5=9=32
7 ※ ※ ※※ ※ 5 ※ ※ ※※ ※ 3 ※ ※ ※※ ※ 1 ※ ※ ※※ ※
1+3+5+7=16=42
1+3+5+7+9=25=52
（1）请猜想 1+3+5+7+9+…+19=
；（只填数字，2 分）
（2）请猜想 1+3+5+7+9+…+（2n-1）+（2n+1）+（2n+3）=
；（只
填乘方形式，3 分）
（3） 请用上述规律计算：
103+105+107+…+2003+2005
7、观察下面的几个算式： 1+2+1=4， 1+2+3+2+1=9，
1+2+3+4+3+2+1=16，
1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，…
根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果：
1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1= 。
8、观察下列算式：21＝2、22＝4、23＝8、24＝16、55＝32、26＝64、27＝128、28＝256……。观察后，
用你所发现的规律写出 223的末位数字是
。
9、已知：
,……，若
符合前面式子的规律， 则 a + b =
．
10,例 计算： 1 1 1 1
1 2 2 3 3 4
9 10
解： 1 1 1 1
1 2 2 3 3 4
9 10
=
1
1
1
1
1
1
1
1
=
1
19
.
1 2 2 3 3 4
9 10 1 10 10
9
观察上面的解题过程，请你用类似的方法计算： 1 1 1 1 .
1 3 3 5 5 7
99 101
11、观察下面的几个算式： 1+2+1=4， 1+2+3+2+1=9， 1+2+3+4+3+2+1=16， 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，… 根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果：
1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1= 。
12.观察下面的一列数： 1 ，－ 1 ， 1 ，－ 1 ……
2 6 12 20 请你找出其中排列的规律，并按此规律填空．
（1）第 9 个数是
，第 14 个数是
．
（2）若 n 是大于 1 的整数，按上面的排列规律，
13. 按如图所示的方式搭正方形，则搭 x 个正方形
写出第 n 个数． 所需的火柴棒数是
根．
14、(9 分)树的高度与树生长的年数有关，测得某
表：（树苗原高 100 厘米）
年数（n） 高度 an（单位：厘米）
1
100＋5
2
100＋10
3
100＋15
4
100＋20
…
……
棵树的有关数据如下
(1) 用含有字母 n 的代数式表示生长了 n 年的树苗的高度 an。 (2)生长了 11 年的树的高度是多少？ 15. 已知任意三角形的内角和为 180°,试利用多边形中过某一点的对角线条数，寻求多边形内角和的公 式。
……
内角和 180° 180°×2
180°×3
180°×4
n 边形
根据上图所示，一个四边形可以分成 个三角形；于是四边形的内角和为
度：一个五边形
可以分成
个三角形，于是五边形的内角和为
度，……，按此规律，n 边形可以分成
个三角形,于是 n 边形的内角和为
度
16、合情推理题：
10
观察右面的图形（每个正方形的边长均为１）和相应的等式，探究其中的规律：
11
①1 1 1 1 22
②2 2 2 2 33
③ 3 3 3 3 44
④4 4 4 4
55
(1) 写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示；
(2) 猜想并写出与第n 个图形相对应的等式．
17、意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…， 其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两上数的和。现以这组数中的各个数作为正方形的长
度构造如下正方形：
...
11
2
3
5
再分别依次从左到右取 2 个3、个4、个、
5 个,正方形拼成如下矩形并记为①②、、③、
④.相应矩形的周长如下表所示：若按
此规律继续作矩形，则序号为⑩的矩形
周长是＿＿＿＿＿＿＿。
18,请你观察表一，寻找规律．表二、
表三、表四分别是从表一中截取的
一部分，其中 a、b、c 的值分 别为
（）
序号 ① ② 周长 6 10
③④ 16 26
12
1 2 3 4 5…
2 4 6 8 10 …
3 6 9 12 15 …
4 8 12 16 20 …
5 10 15 20 25
…………
…
表一
12 15 a
表二
20 24 25 b
表三
A．20、29、30 B．18、30、26 C．18、20、26 D．18、30、28
19、根据下列图形的排列规律，第 2008 个图形
是
(填序号即可). (①；②；③；④.)
……
18 c 32
表四
13
“
”
“
”
At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!