2019年河南省中考数学试卷
考试时间：100分钟 满分：120分
{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共 小题，每小题 分，合计分．
{题目}1．（2019河南省，T1） 1
2
-的绝对值是( ) 12（A ）- 1
2
（B ）
2（C ） 2（D ） - {答案} B
{}本题考查了绝对值的概念，解题的关键是理解绝对值的意义．此类问题容易出错的地方是容
易与倒数或相反数混淆．根据绝对值的意义:一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，从而可得1
2
-的绝对值是12，即1122-=． 故答案选B
{分值}3
{章节:[1-1-2-4]绝对值} {考点:绝对值的意义} {类别:常考题} {难度:1-最简单}
{题目}2．（2019河南省,T2） 成人每天维生素D 的摄入量约为0.0000046克 ．数据
“0.0000046”用科学记数法表示为
（A ） 46×10-7 （B ） 4.6×10-7 （C ）4.6×10-6 （D ）0.46×10-5
{答案} C
{}本题考查了科学记数法，解题的关键是正确确定a 的值以及n 的值．
0.0000046是绝对值小于1的数，这类数用科学计数法表示的方法是写成a×10-n （1≤a ＜10，
n ＞0 ）的形式，关键是确定－n ，确定了n 的值，－n 的值就确定了．确定方法是：n 的值等于
原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．故0.0000046中左起第一个非零数为4，其左边六个零，即0.0000046=4.6×10-6．答案选C ．
{分值}3
{章节:[1-1-5-2]科学计数法}
{考点:将一个绝对值较小的数科学计数法} {类别:常考题}{类别:易错题} {难度:2-简单}
{题目}3．（2019河南省,T3） 如图，AB∥CD，∠B=75°，∠E=27°，则∠D的度数为
（A ）45° （B ）48° （C ）50° （D ）58° {答案} B
{}如图，设CD 和BE 的交点为F ，
∵AB∥CD，∠B=75°，∴∠B=∠CFE=75°，∵∠CFE=∠D+∠E， ∠E=27°， ∴∠D=∠CFE -∠E=75°-27°=48°.故选B ． {分值}3
{章节:[1-5-3]平行线的性质} {考点:两直线平行同位角相等} {类别:常考题}{类别:易错题} {难度:2-简单}
{题目}4．（2019河南卷,T4）下列计算正确的是（ ）
A.236a a a +=
B.22(3)6a a -=
C.222
()x y x y -=- D.={答案} D
{}本题考查了合并同类项、积的乘方、乘法公式、合并同类二次根式，A 合并同类项系数2+3=5，,不是2×3=6，B 错-3的平方等于9，C 中乘法公式用错，D 正确，选D {分值}3
{章节:[1-14-1]整式的乘法} {考点:多项式乘以多项式} {类别:常考题} {难度:2-简单}
{题目}5.（2019河南,T5）如图（1）是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图（2），关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（ ）
A.主视图相同
B.左视图相同
C. 俯视图相同
D.三种视图都不相同
{答案} c
{}本题考查了三视图，对比平移前后结果A 主视图不同，B 左视图不同，AB 选项不对，C 俯视图相同，C 正确.故选Ｃ． {分值}3
{章节:[1-4-1-1]立体图形与平面图形} {考点:简单组合体的三视图}
{类别:常考题}{类别:易错题} {难度:3-中等难度}
{题目}6．（2019河南,T6）一元二次方程(1)(1)23x x x +-=+的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根 {答案} A
{}本题考查了一元二次方程根的判别式，先化简，∵2123x x -=+，∴2240x x --=，△=
2
-+16=20（2）>0，故选A {分值}3
{章节:[1-21-2-2]公式法} {考点:根的判别式}
{类别:常考题}{类别:易错题} {难度:3-中等难度}
{题目}7．（2019河南,T7）．某超市销售 A ，B ，C ，D 四种矿泉水，它们的单价依次是 5 元、3 元、2 元、1 元．某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（ ） A ．1.95 元 B ．2.15 元 C ．2.25 元 D ．2.75 元
{答案}C
{}本题考查了加权平均数的概念和意义，由题意可知各种不同价格的百分比就是权重，最终的平均数就等于每个价格乘以权重，所以平均单价为：5×10%+3×15%+2×55%+1×10%=2.25，所以最后的平均单价为2.25元.因此本题选C ． {分值}3
{章节:[1-20-1-1]平均数}
{考点:加权平均数（权重为百分比）} {类别:常考题}
{难度:3-中等难度}
{题目}8．（2019年河南,T8）已知抛物线 y = x 2
+bx + 4 经过(-2 ，n)和）(4 ，n)两点，
则 n 的值为（ ）
A ． 2
B ． 4
C ．2
D ．4
{答案}B
{}本题考查了二次函数的对称性;中点坐标公式;求对称轴的公式及二次函数式，由题意知抛物
线过（-2，n ）和（4，n ）,说明这两个点关于对称轴对称，即对称轴为直线x=1，所以-a
b
2=1，又因为a=-1，所以可得b=2，即抛物线的式为y=-x 2
+2x+4，把x=-2代入解得n=-4.因此本题选B ． {分值}3
{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质} {考点:二次函数y ＝ax2+bx+c 的性质} {类别:常考题}
{难度:4-较高难度}
{题目}9．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D=90°，AD=4，BC=3，分别以点A ，C 为圆心，
大于
2
1
AC 长为半径作弧，两弧交于点E ，作射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O.若点O 是AC 的中点，则CD 的长为（ ）
A.22
B.4
C.3
D.10
{答案}A
{}本题考查了尺规作图 ，矩形的判定及性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质 ，勾股定
理，如图，过点B 做BM ⊥AD 于点M,连结AE 、CE ， ∵AD ∥BC ，∴∠BCD+∠D=180°，又∵∠D=90°∴∠BCD=90°，∴∠BCD=∠D=∠BMD=90°， ∴四边形BCDM 为矩形 ，∴MD=BC=3 ， BM=CD ，由作图可知AE=CE 又∵O 是AC 的中点， ∴EO ⊥AC ，∴EB 是AC 的垂直平分线，∴AB=BC=3. 在Rt △ABM 中，∠AMB=90°，AM=AD-MD=1， ∴BM=
22132222=-=-AM AB ，∴CD= 22.故选A.
{分值}3
{章节:[1-18-2-1]矩形} {考点:矩形的性质} {考点:矩形的判定} {类别:常考题} {难度:4-较高难度}
10．（2019河南，T10）如图，在△OAB 中，顶点O(0,0),A(-3,4),B(3,4).将△OAB 与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D 的坐标为（ ）
A.（10,3）
B.（-3,10）
C.（10，-3）
D.（3，-10）
M
F
E
O
B
D
A
C
x
【答案】D
【】由A 、B 两点的坐标可知线段AB 的长度和它与x 轴的关系，由正方形的性质可知AD=AB ，延长DA 交x 轴于点M,则DA ⊥x 轴，Rt △DMO 中，MO=3,DM=10，将△OAB 和正方形ABCD 绕点O 每次顺时针旋转90°，Rt △DMO 也同步绕点O 每次顺时针旋转90°，点D 的落点坐标可由Rt △DMO 的旋转得到。仔细观察图形得到点D 坐标的变化规律，每旋转四次完成一个循环，从而可得到第70次旋转后的坐标。
【解题过程】如图，延长DA 交x 轴于点M ，∵A （-3,4），B （3,4），∴AB=6,AB ∥x 轴，∵四边形 ABCD 为正方形，∴AD=AB=6,∠DAB=90°，∴∠DM0=∠DAB=90°.连结OD,Rt △DMO 中，MO=3 DM=10 则 点D 的坐标为（-3,10），将△OAB 和正方形ABCD 绕点O 每次顺时针旋转90°，Rt △DMO 也同步绕点O 每 次顺时针旋转90°，当图形绕点O 顺时针第一次旋转90°后， 点D 的坐标为（10,3）；当图形绕点O 顺时针第二次旋转90°后， 点D 的坐标为（3,-10）；当图形绕点O 顺时针第三次旋转90°后， 点D 的坐标为（-10,-3）；当图形绕点O 顺时针第四次旋转90°后， 点D 的坐标为（-3,10）；当图形绕 点O 顺时针第五次旋转90°后， 点D 的坐标为（10,3），……，每四次为一个循环.∵70÷4=17…2， ∴旋转70次后，点D 的坐标为（3，-10）.故选D
{分值}3
{章节:[1-23-1]图形的旋转} {考点:正方形的性质} {考点:坐标系内的旋转} {考点:几何选择压轴} {类别:常考题} {难度:4-较高难度}
{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共 小题，每小题 分，合计分．
{题目}11．（2019河南卷，T11）计算：4-2-1
= .
{答案}2
3
{}本题考查了二次根式、负整数指数幂，根据算术平方根的求法可以得到4=2,2-1
=
2
1
，可知2-21=2
3． {分值}3
{章节:[1-15-2-3]整数指数幂} {考点:负指数参与的运算} {类别:常考题} {难度:1-最简单}
{题目}12．（2019河南,T12）不等式组?????+--≤4
71
2＞x x
的解集是 .
{答案} x≤-2
{}根据不等式组的解法，分别求出两个不等式的解集，在数轴上找出他们的公共部分，或者是根据“同大取大，同小取小，大大小小解不了，大小小大中间找”也能求出他们的解集.
解不等式
2
x
≤-1得x≤-2，解不等式-x+7＞4得x ＜3，∴不等式组的解集为x ≤-2. {分值}3
{章节:[1-9-3]一元一次不等式组} {考点:解一元一次不等式组} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}
{题目}13．（2019河南，T13）现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个
装有1个黄球，2个红球，这些球除颜色外完全相同，从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是 . {答案}
9
4 {}在第一个袋子里随机摸出一个球，第一个袋子里的白球和第二个袋子里的黄球颜色不同，只
有红色的颜色相同.第一个袋子摸出红球的概率为32，第二个袋子里摸出红球概率为3
2
，所以摸出颜色相同的球的概率为
32×32=9
4
. {分值}3
{章节:[1-25-2]用列举法求概率} {考点:两步事件不放回} {类别:常考题} {难度:4-较高难度}
{题目}14．（2019河南，T14）如图，在扇形AOB 中，∠AOB=120°，半径OC 交弦AB 于点D,且
OC⊥OA.OA=，则阴影部分的面积为 .
{答案
{}本题考查了与圆有关的计算，（圆内半径相等），等腰三角形的性质（等边对等角），解直角三角形，特殊角三角函数，扇形的面积，不规则图形的转化. 解法1：
∵在扇形AOB 中，∠AOB=120°，∴OA=OB，所以∠BAO=∠ABO=
1
2
（180°-120°）÷2=30°，
∵OC⊥OA，∴在Rt△AOD中，AO=∠BAO=30°，∴OD=AOtan∠BAO=3
=2，
又∵在△BOC中，∠BOC=∠AOB -∠AOD=120°-90°=30°.如图，过点B 作BE⊥OC于点E
∴BE=OBsin30°=×
1
2
∴=S AOD BCO ODB S S S +-影部分△扇形△=
2n 23602
OD AO AO OD BE
π+-g g
=(
2
30222360
2
π+-
g
=π-
π.
解法2：∵在扇形AOB 中，∠AOB=120°，∴OA=OB,∴∠BAO=∠ABO=
1
2
（180°-120°）÷2=30°，
∵OC⊥OA，∴在Rt△AOD中，OD=AOtan∠BAO=
×3=2，∴AOD S V =1
2
×2×
如图，取AD 的中点E ，利用直角三角形斜边上的中线，可得①1
=2
EDO ADO S S V V
；②△AEO ?
△BDO，∴=AEO BDO S S V V ∴=EDO BCO S S S +V 影部分扇形
+
2
n 360
AO π
+π.
{分值}3
{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积} {考点:扇形的面积} {类别:常考题} {类别:易错题} {难度:4-较高难度}
{题目}15．（2019河南,T15）如图，在矩形ABCD 中，AB =1，BC =a ，点E 在边BC 上，且BE
=
3
5
a .连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，若点B 的对应点B ′落在矩形ABCD 的边上，则a 的值为 .
15题图
{答案}
3
5或35
{}本题考查了矩形的性质，折叠的性质，正方形的判定，一线三直角的相似，勾股定理的应用.
先确定折叠时点B ′的位置在哪一条边上，画出图形，再根据图形的特征利用折叠的特征及相似等知识解决.由折叠可得，AB=A B ′, ∠B′=∠B=900，BE= B ′E.由题意可得，点B ′的位置有以下两种情况：
①当点B ′落在矩形的边AD 上时，则四边形ABEB ′为正方形，所以BE=AB=1，则
5
3
a=1，所以a=35；②当点B ′落在边CD 上时，则由已知可得BE=E B ′=53a ，EC=52a ，所以'EB EC =3
2. 由一线三直角易得，△ECB′∽△B′DA ，所以''DB AB ='EB EC =32，则DB ′=32
.
在Rt△AD B′中，则有勾股定理可得AD=35,则a=35.综上所述，a 的值为3
5
或35.
{分值}3
{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定} {考点:全等三角形的性质}
{考点:相似三角形的判定（两角相等）} {类别:常考题} {类别:易错题}
{难度:4-较高难度}
{题型:4-解答题}三、解答题（本大题共8小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
{题目}16．（2019河南，T16）先化简，再求值：，其中.
{}本题考查了分式的混合运算，利用分式的加减法则计算
，然后根据除法法则将原式
转化为乘式，约分后得到最简结果，最后把代入化简后的式子即可．
{答案}解：原式=
=
=
当
时，原式=
{分值}8
{章节:[1-15-2-2]分式的加减} {难度:3-中等难度} {类别:常考题}
{考点:分式的混合运算}
{题目}17．（2019河南,T17）如图，在△ABC中，BA ＝BC ，∠ABC＝90°，以AB 为直径的半圆O 交AC
于点D ，点E 是?BD
上不与点B,D 重合的任意一点，连接AE 交BD 于点F ，连接BE 并延长交AC 于点C. ⑴求证：△ADF ≌ △BDG ； ⑵填空：
①若AB = 4，且点E 是?BD
的中点，则DF 的长为 ； ②取?
E A 的中点H ，当∠EAB的度数为 时，四边形OBEH 为菱形.
{}⑴首先根据在△ABC中，BA ＝BC ，∠ABC＝90°，判定△ABC是等腰直角三角形，得到∠CAB＝45°，再根据直径所对的圆周角是直角，得到 △ABD是等腰直角三角形，从而
DA = DB ，又因为∠CAE与∠DBG对着同一条弧 DE ，得到∠CAE=∠DBG，根据ASA 可以判定△ADF ≌ △BDG .
⑵①DF=4 ；②30°.
①由△ADF ≌ △BDG得到DG = DF.由点E 是?BD
的中点，得到∠CAE=∠BAE.根据AB 为直径， 得∠AEB=∠AEG=90°，又AE=AE ，得到 △AEG ≌ △AEB，从而得到AG=AB=4.再根据△ABD是等
腰直角三角形，可得，所以.
②连接OE ，因为 四边形OBEH 为菱形，所以 BE=BO.因为OB ，OE 都是半径，所以 OB= OE ，推得 △OBE是等边三角形，所以∠ABE=60°.又AB 是直径，所以∠AEB=90°，根据三角形内角和定理， 可得∠EAB=30°.
{答案}解：∵ 在△ABC中，BA ＝BC ，∠ABC＝90°， ∴ ∠CAB＝45°. ∵ AB为直径，
∴ ∠ADB＝∠BDG＝90°. ∴ △ABD是等腰直角三角形，
成绩/分
频数100908070
6050151511
1110
108
8
6
60
∴ DA = DB.
∵ ∠CAE与∠DBG对着同一条弧， ∴ ∠CAE=∠DBG， ∴ △ADF ≌ △BDG.
⑵∵△ADF ≌ △BDG， ∴DG = DF.
∵点E 是?BD
的中点， ∴∠CAE=∠BAE.
∵ AB为直径，
∴ ∠AEB=∠AEG=90°. 又AE=AE ，
∴ △AEG ≌ △AEB， ∴ AG=AB=4 .
∵ △ABD是等腰直角三角形， ∴AD=22，
∴ DF=DG=AG -AD=4 - 22.
②如图，连接OE ，
∵ 四边形OBEH 为菱形， ∴ BE=BO. ∵ OB= OE，
∴△OBE是等边三角形， ∴ ∠ABE=60°. ∵ AB是直径， ∴ ∠AEB=90°， ∴ ∠EAB=30°.
{分值}9
{章节:[1-24-1-1]圆} {难度:4-较高难度} {类别:常考题}
{考点:圆的其它综合题}
{题目}18．（2019河南，T18）某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，部分信息如下：
a.七年级成绩频数分布直方图：
b.七年级成绩在70≤x＜80这一组的是：
70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79
（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有人；
（2）表中m的值为；
（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；
（4）该七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数.
{}（1）先确定七年级成绩频数分布直方图，成绩在80≤x＜90，,90≤x＜100，分别有15人，8人，相加即可求出;
（2）根据七年级成绩中位数为第25个、26个数据的平均数，第25个、26个数据的平均数在
70≤x＜80这一组，数据即确定m的值;
(3)根据两个年级的平均分，中位数，解答可得;
(4)用总人数乘以样本中超过76.9分的人数所占比例可得.
{答案}解：（1）∵七年级成绩频数分布直方图80≤x＜90,90≤x＜100的人数为15人和8人，
∴七年级在80分以上（含80分）的有15+8=23人.
（2）中位数为第25个、26个数据的平均数，第25个、26个数据的平均数这一组中的77和78，
所以中位数m=7778
2
+
=77.5；
（3）∵七年级学生的成绩超过平均分76.9分且高于中位数77.5分，位于中上等，而八年级学生的成绩低于平均分且低于中位数，位于中下等.
∴七年级学生的排名更靠前.
（4）估计七年级400人成绩超过平均分76.9分的人数为：400×5158
50
++
=224人
答：七年级成绩超过平均数76.9分的人数是224人.
{分值}9
{章节:[1-20-1-2]中位数和众数}
{难度:4-较高难度}
{类别:常考题}
{考点:中位数}
{考点:用样本估计总体}
{题目}19．（2019河南，T19）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度.如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度.(精确
到1m. 1.73)
{}本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是根据题意构造直角三角形.先在Rt△ACE中，利用三角函数求出AC，然后求出BC的长，最后在Rt△BCD中，利用三角函数求出CD的长，从而可求DE的长.
{答案}解：由题意可得：CE=55,AB=21，∠A=34°，∠CBD=60°.
在Rt△ACE中：∵tanA=CE AC =55
AC ,
即tan34°=
55
AC
≈0.67,∴AC≈82.1. ∴BC=AC -AB≈82.1-21=61.1， 在Rt△BCD中：∵tan∠CBD=
CD BC =61.1CD ，即tan60°=61.1
CD
≈1.73， ∴CD≈61.1×1.73≈105.7，
∴DE=CD -CE≈105.7-55≈51. 答：炎帝塑像DE 的高度约为51m. {分值}9
{章节:[1-28-1-2]解直角三角形} {难度:4-较高难度} {类别:常考题}
{考点:解直角三角形的应用－仰角}
{题目}20．（2019河南，T20）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品.已知购买3个A 奖品和2个B 奖品共需120元；购买5个A 奖品和4个B 奖品共需210元. （1）求A 、B 两种奖品的单价；
（2）学校准备购买A 、B 两种奖品共30个，且A 奖品的数量不少于B 奖品数量的
1
3
，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由.
{}（1）分别根据“购买3个A 奖品和2个B 奖品共需120元”、“ 购买5个A 奖品和4个B 奖品共需210元”列出方程组并求解即可得出A 、B 两种奖品的单价；
（2）设学校准备购买A 种奖品m 个，则B 种奖品购买()30m -个，由“A 奖品的数量不少于B 奖品数量的
1
3
”可列出不等式，求得m 的取值范围；设学校购买A 、B 两种奖品所需的钱数为w 元，写w 出m 与之间的函数关系式，由函数的增减性即可求出最省钱的购买方案. {答案}解：（1）设A 、B 两种奖品的单价分别为x 元、y 元，依题意，得：
3212054210x y x y +=??+=?，解得：30
15
x y =??
=?. 答：A 、B 两种奖品的单价分别为30元、15元.
（2）设学校准备购买A 种奖品m 个，则B 种奖品购买()30m -个，则：
()1
303
m m ≥
-，解得7.5m ≥； 设学校购买A 、B 两种奖品所需的钱数为w 元，则：
()30153015450w m m m =+-=+，因150m =>，所以w 随m 的增大而增大，故当m =8时，购买A 、B 两种奖品所需的钱数最少，此时购买A 种奖品8个，B 种奖品22个. {分值}9
{章节:[1-8-3]实际问题与一元一次方程组} {难度:4-较高难度} {类别:常考题} {类别:易错题}
{考点:一元一次不等式的整数解} {考点:一元一次不等式的应用}
{题目}21. (2019河南，T21)模具厂计算生产面积为4，周长为m 的矩形模具.对于m 的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下： （1）建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为x ，y ，由矩形的面积为4，得4xy =，即4
y x
=；由周长为m ，得()2x y m +=，即2
m
y x =-+.满足要求的（x ，y ）应是两个函数图象在第象 限内交点的坐标.
（2）画出函数图象 函数()40y x x =
>的图象如图所示，而函数2
m
y x =-+的图象可由直线y x =-平移得到，请在同一直角坐标系中直接画出直线y x =-.
（3）平移直线y x =-，观察函数图象: ①当直线平移到与函数()4
0y x x
=
>的图象有唯一交点（2，2）时，周长m 的值为 ； ②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m 的取值范围.
（4）得出结论
若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m 的取值范围为 .
{}（1）根据实际意义，矩形的长和宽不可能是0或负数，所以满足要求的（x ，y ）应是两个函数图象在第一象限内交点的坐标； （2）描点、连线，画出函数图象即可； （3）①交点（2，2）在函数2
m
y x =-+
的图象上，代入可求得周长m 的值； ②观察图象，不难发现，在直线的平移过程中，除了两个函数图象有唯一交点（此时8m =）外，交点的个数还有其它两种情况：一是无交点，此时08m <<；二是有两个不同的交点，此时8m >；
（4）观察图象，当两函数图象有交点时，能生产出面积为4的矩形模具，其周长周长m 的取值范围为8m ≥.
{答案}解：（1）一；
（2）如图所示：
（3）①交点（2，2）在函数2m y x =-+
的图象上，所以222
m
=-+，解得8m =，故填8； ②直线在第一象限内平移的过程中，其与函数的图象交点的个数还有两种情况：一是无交点，
{分值}9
{章节:[1-19-3]一次函数与方程、不等式} {难度:4-较高难度} {类别:发现探究}
{考点:反比例函数与一次函数的综合}
{题目}22．（2019年河南）在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝α.点P 是平面内不与点A ，C 重合的 任意一点，连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，BD ，CP. (1)观察猜想
如图1，当α＝60°时，BD
CP
的值是 .
直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是: . (2)类比探究
如图2，当α＝90°时，请写出的值及直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由. (3)解决问题
当α＝90°时，若点E ，F 分别是CA ，CB 的中点，点P 在直线EF 上，请直接写出点C ，P ，D 在同一直线
上时AD CP
的值.
{}本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行线分线段成比例定理．
备用图
图2
图1
A
第（1）问中，利用“SAS ”可以证得△ACP ≌△ABD.可得BD=CP,BD 与CP 的夹角等于∠BAC. 第（2）问中,模仿（1）中的思路，可以利用两边成比例且夹角相等来证明△ACP ∽△ABD ，BD 与CP 的夹角仍然等于∠BAC. 第（3）问中,画出对应的图形后，找出有关的角度即可解决问题. (1) {答案}解：1；60° （证得△ACP ≌△ABD 即可） (2)
2BD CP
=,直线BD 与CP 相交所成的角度是45°
, 理由如下：
如图1，假设BD 与CP 相交于点M ，AC 与BD 交于点N ， 由题意可知，△PAD 是等腰直角三角形
∴∠DAP ＝45，
2PA AD
=
,
∵CA ＝CB ，∠ACB ＝α＝90°， ∴△ACB 是等腰直角三角形，
∴∠CAB ＝45°，
2AC AB
=
，
∵∠CAP ＝∠PAD+∠CAD ＝45°+∠CAD ， ∠BAD ＝∠BAC+∠CAD ＝45°+∠CAD ， ∴∠PAC ＝∠DAB ，
又∵
2PA AC AD
AB
==
，
∴△APC ∽△ADB ，∴2BD AC CP
AB
==，
∠PCA=∠ABD.
∵∠ANB=∠DNC ，∴∠CMN=∠CAB=45° 即直线BD 与CP 相交所成的角度为45°. 综上所述：
2BD CP
=,直线BD 与CP 相交所成的角度是45°
.
（3）2
解法提示：如图2，设CP=a ，由（2）则可得.设CD 与AB 相交于点Q ，由平行线分线段成
比例则可得PQ=CP=a.可证∠DQB=∠DBQ=67.5°，则，易得2AD a ==+
所以
2AD CP
=+
如图3，可设AP=DP=b ，则.由EF ∥AB ，∠PEA=∠CAB=45°，可证∠ECD=∠EAD=22.5°，
易得，+b,所以2AD CP
=.
综上所述：
2AD CP
=.
{分值}10
{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定} {难度:4-较高难度} {类别:发现探究}
{考点:相似三角形的判定（两边夹角）}
{题目}23.（2019河南，T23）如图，抛物线21
2
y ax x c =++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，直
线1
22
y x =--经过点A ，点C.
(1)求抛物线的式；
(2)点P 是抛物线上一动点，过点P 作x 轴的垂线，交直线AC 于点M,设点P 的横坐标为m. ①当△PCM是直角三角形时，求点P 的坐标；
②作点B 关于点C 的对称点B ′,则平面内存在直线l ,使点M,B,B ′到该直线的距离都相等.当点P 在y 轴右侧的抛物线上，且与点B 不重合时，请直接写出直线l :y kx b =+的式.(k,b 可用含m 的
式子表示).
图 1
B
图 2
图
3
{}（1）根据一次函数求出点A 和点C 的坐标，代入抛物线式联立成方程组求解即可解决；
（2）①是直角三角形存在性问题，因为∠PMC 与∠OCA 这个角确定不变，所以分∠MPC=90°和∠PCM=90°两种情况讨论即可，再结合对称性特点或构造一线三直角相似建立方程即可求出点P 的坐标；
②三个不同的点到直线l 的距离都相等，所以直线l 一定过任意两点的中点，由于点C 为BB ′的中点，所以只需确定MB 的中点坐标，两个点确定一条直线，由两个中点坐标则直线l 的式就可确定.
{答案}（1）∵122y x =--经过点A ，点C ，∴A （-4,0），C （0,-2），∵21
2
y ax x c =++过点A 和点C ， ∴?????=+-?+=0)4(21
162c a c ，∴解得?????-==2
41c a ， ∴抛物线的式为：211
242
y x x =+-；
（2）①∵PM⊥x 轴， ∴∠PMC=∠OCA,∵ △PCM为直角三角形 , ∴只有两种情况：∠MPC=90°或∠PCM=90°， 当∠MPC=90°时，∴PM⊥PC，∴PC P x 轴 ，
∴点P 和点C 关于211
242
y x x =+-的对称轴对称，
∵211
242
y x x =+-的对称轴为1x =-，C （0,-2），∴P （-2,-2）
. 当∠PCM=90°时，过点C 作AC 的垂线交抛物线与点P ，即为所求，如图： 第一种方法（几何法）过点P 作PE⊥y 轴与点E ，过点M 作MF⊥y 轴与点F.
∵P 21142（m,m +m-2），∴M 12（m,-m-2），E 21142（0,m +m-2），F 1
2
（0,-m-2），C （0,-2）， ∴PE=m , EC=2211114242m m m m ++-2-(-2)=, CF=11
22-2-(-m-2)=m , MF=m ，
∵△PEC∽△CFM， ∴PE EC CF FM =
，即211
4212
m m
m m m +=， ∴11
242m += ，
∴6m = ，∴P （6,10），
第二种方法（代数法） CP⊥AC，直线AC 的式为1
22
y x =--， ∴直线CP 的式为22y x =-，
∴由??
???-+=-=221
41222x x y x y 得21122242x x +-=-， ∴120,6x x == ∴P （6,10）
. （3）4224
m
y x m -=-+.提示：由（1）可得点B （0,2），
∵ C （0,-2） 又∵点B 和点B ′关于点C （0,-2）
对称∴由中点坐标公式可得B ′（-2，-4）， ∵P 21142（m,m +m-2）(m>0),∴M 1
2
（m,-m-2）
. ∵点B 与点B ′到直线l 的距离相等 ∴直线l 必过BB ′的中点C （0,-2）∴k ≠0，b=-2,
连MB ，取MB 的中点Q,
∵M 12（m,-m-2），B （0,2） ∴Q m+21
24
（,-m-1）
， ∵ 点B 与点M 到直线l 的距离相等， ∴直线l 必过BM 的中点Q m+21
24
（,-m-1）
,∴ 14122--=++?m b m k ,?????--=++?-=≠141
222
b 0m b m k k ，,解得??
?
??+-=-=4242m m k b ， ∴直线l 的式为4224
m
y x m -=
-+.
{分值}11
{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质} {难度:4-较高难度} {类别:发现探究}
{考点:二次函数y ＝ax2+bx+c 的性质} {考点:二次函数中讨论直角三角形}
2019-2020年中考数学试题及答案试题 一、选择题（2分×12=24分） 1．如果a 与-2互为倒数，那么a 是（ ）A 、-2 B 、-21 C 、2 1 D 、 2 2．比-1大1的数是 （ ）A 、-2 B 、-1 C 、0 D 、1 3．计算：x 3·x 2的结果是 （ ）A 、x 9 B 、x 8 C 、x 6 D 、x 5 4．9的算术平方根是 （ ）A 、-3 B 、3 C 、± 3 D 、81 5．反比例函数y= -x 2的图象位于 （ ） A 、第一、二象限 B 、第一、三象限 C 、第二、三象限 D 、第二、四象限 6．二次函数y=(x-1)2+2的最小值是 （ ）A 、-2 B 、2 C 、-1 D 、1 7．在比例尺为1：40000的工程示意图上，将于2005年9月1日正式通车的南京地铁一号线（奥体中心至迈皋桥段）的长度约为54.3cm,它的实际长度约为（ ） A 、0.2172km B 、2.172km C 、21.72km D 、217.2km 8.下列四个几何体中，主视图、左视图与俯视图是全等图形的几何体是（ ） A 、球 B 、圆柱 C 、三棱柱 D 、圆锥 9．如图，在⊿ABC 中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB 的值是（ ） A 、43 B 、34 C 、53 D 、54 10．随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上 的概率是（ ） A 、41 B 、21 C 、4 3 D 、1 11．如图，身高为1.6m 的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA 由B 到A 走去，当走到C 点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得 BC=3.2m ,CA=0.8m, 则树的高度为（ ） A 、4.8m B 、6.4m C 、8m D 、10m 12.右图是甲、乙两户居民家庭全年支出费用的扇形统计图。 根据统计图，下面对全年食品支出费用判断正确的是（ ） A 、甲户比乙户多 B 、乙户比甲户多 C 、甲、乙两户一样多 D 、无法确定哪一户多 二、填空题（3分×4=12 分） 13．10在两个连续整数a 和b 之间，a<10 初中毕业学业考试 数学试题卷解析 准考证号＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿＿ 考生注意∶ 1.请考生在试题卷首填写好准考证号及姓名 2.请将答案填写在答题卡上，填写在试题卷上无效 3.本学科试题卷共4页，七道大题，满分120分，考试时量120分钟。 4.考生可带科学计算机参加考试 一、填空题(本大题8个小题，每小题3分，满分24分﹚ 1、若向东走5米记作+5米，则向西走5米应记作＿＿＿＿＿米。 知识点考察：有理数的认识；正数与负数，具有相反意义的量。 分析：规定向东记为正，则向西记为负。 答案：-5 点评：具有相反意义的一对量在日常生活中很常见，若一个记为“+”，则另一个 记为“-”。 2、我国南海海域的面积约为3500000㎞2，该面积用科学计数法应表示为＿＿＿＿＿㎞2。 知识点考察：科学计数法。 分析：掌握科学计数的方法。)10(10≤ 班级 姓名 学号 成绩 一、精心选一选 1．下列运算正确的是（ ） Ａ．()11a a --=-- Ｂ．( ) 2 3624a a -= Ｃ．()2 22a b a b -=- Ｄ．3 2 5 2a a a += 2．如图，由几个小正方体组成的立体图形的左视图是（ ） 3．下列事件中确定事件是（ ） Ａ．掷一枚均匀的硬币，正面朝上 Ｂ．买一注福利彩票一定会中奖 Ｃ．把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球 Ｄ．掷一枚六个面分别标有1，2，3，4，5，6的均匀正方体骰子，骰子停止转动后奇数点朝上 4．如图，AB CD ∥，下列结论中正确的是（ ） Ａ．123180++=o ∠ ∠∠ Ｂ．123360++=o ∠ ∠∠ Ｃ．1322+=∠∠∠ Ｄ．132+=∠ ∠∠ 5．已知24221 x y k x y k +=??+=+?，且10x y -<-<，则k 的取值范围为（ ） Ａ．112 k -<<- Ｂ．102 k << Ｃ．01k << Ｄ． 1 12 k << 6．顺次连接矩形各边中点所得的四边形（ ） Ａ．是轴对称图形而不是中心对称图形 Ｂ．是中心对称图形而不是轴对称图形 Ｃ．既是轴对称图形又是中心对称图形 Ｄ．没有对称性 7．已知点()3A a -，，()1B b -，，()3C c ，都在反比例函数4 y x = 的图象上，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） Ａ．a b c >> Ｂ．c b a >> Ｃ．b c a >> Ｄ．c a b >> 8．某款手机连续两次降价，售价由原来的1185元降到580元．设平均每次降价的百分率为x ，则下面列出的方程中正确的是（ ） Ａ．2 1185580x = Ｂ．()2 11851580x -= Ｃ．( )2 11851580x -= Ｄ．()2 58011185x += 9．如图，P 是Rt ABC △斜边AB 上任意一点（A ，B 两点除外），过P 点作一直线，使截得的三角形与Rt ABC △相似，这样的直线可以作（ ） Ａ．1条 Ｂ．2条 Ｃ．3条 Ｄ．4Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． A B D C 3 2 1 第4题图 P 第9题图 2014年中考数学计算题专项训练 一、集训一（代数计算） 1. 计算： （1）30 82 145+-Sin （2） （3）2×(－5)＋23－3÷1 2 （4）22＋(－1)4＋(5－2)0－|－3|； （6）?+-+-30sin 2)2(20 （8）()()0 2 2161-+-- （9）( 3 )0 - ( 12 )-2 + tan45° （10）()()0332011422 ---+÷- 2.计算：345tan 3231211 0-?-??? ? ??+??? ??-- 3.计算：( ) () () ??-+-+-+ ?? ? ??-30tan 3312120122010311001 2 4.计算：()( ) 11 2230sin 4260cos 18-+ ?-÷?--- 5.计算：12010 0(60)(1) |2(301) cos tan -÷-+- 二、集训二（分式化简） 注意：此类要求的题目，如果没有化简，直接代入求值一分不得！ 考点：①分式的加减乘除运算 ②因式分解 ③二次根式的简单计算 1. ． 2。 2 1 422 ---x x x 3.（a+b ）2 +b （a ﹣b ）． 4. 11()a a a a --÷ 5.2 11 1x x x -??+÷ ??? 6、化简求值 （1）????1＋ 1 x －2÷ x 2 －2x ＋1 x 2－4，其中x ＝－5． （2）（a ﹣1+）÷（a 2 +1），其中a= ﹣1． （3）2121(1)1a a a a ++-?+，其中a （4）)2 5 2(423--+÷--a a a a ， 1-=a （5）)1 2(1a a a a a --÷-，并任选一个你喜欢的数a 代入求值. 1、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan ∠ADC=2. (1) 求证：DC=BC; (2) E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且∠E DC=∠F BC ，DE=BF ，试判断△E CF 的形 状，并证明你的结论； (3) 在（2）的条件下，当BE ：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin ∠BFE 的值. [解析] （1）过A 作DC 的垂线AM 交DC 于M, 则AM=BC=2. 又tan ∠ADC=2,所以2 12 DM ==.即DC=BC. (2)等腰三角形. 证明：因为,,DE DF EDC FBC DC BC =∠=∠=. 所以，△DEC ≌△BFC 所以，,CE CF ECD BCF =∠=∠. 所以，90ECF BCF BCE ECD BCE BCD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=? 即△ECF 是等腰直角三角形. （3）设BE k =,则2CE CF k ==，所以EF =. 因为135BEC ∠=?，又45CEF ∠=?，所以90BEF ∠=?. 所以3BF k = = 所以1sin 33 k BFE k ∠= =. 2、已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ． （1）求证：△ADE ≌△CBF ； （2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论． [解析] （1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠1＝∠C ，AD ＝CB ，AB ＝CD ． ∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点， ∴AE ＝ 21AB ，CF ＝2 1 CD ． ∴AE ＝CF ∴△ADE ≌△CBF ． （2）当四边形BEDF 是菱形时， 四边形 AGBD 是矩形． E B F C D A 甘肃省陇南市2019-2020学年中考中招适应性测试卷数学试题（5） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是（ ） A ． 1 9 B ． 16 C ． 13 D ． 23 2．计算(－ab 2)3÷(－ab)2的结果是( ) A ．ab 4 B ．－ab 4 C ．ab 3 D ．－ab 3 3．二次函数2y ax bx c =++（a≠0）的图象如图所示，则下列命题中正确的是（ ） A ．a ＞b ＞c B ．一次函数y=ax +c 的图象不经第四象限 C ．m （am+b ）+b ＜a （m 是任意实数） D ．3b+2c ＞0 4．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2的度数为（ ）． A ．50° B ．40° C ．30° D ．25° 5．某校九年级（1）班学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1980张相片，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为 A ． (1) 19802 x x -= B ．x （x+1）=1980 C ．2x （x+1）=1980 D ．x （x-1）=1980 6．一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率为（ ）． A ． 1 6 B ． 12 C ． 13 D ． 23 7．方程x 2+2x ﹣3=0的解是（ ） A ．x 1=1，x 2=3 B ．x 1=1，x 2=﹣3 2020学年中考数学试卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．（3分）|﹣5|的相反数是（） A．﹣5 B．5 C．D．﹣ 2．（3分）在下列图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是（） A．B．C．D． 3．（3分）下列各式中，运算正确的是（） A．（a3）2=a5B．（a﹣b）2=a2﹣b2 C．a6÷a2=a4D．a2+a2=2a4 4．（3分）若式子有意义，则实数m的取值范围是（） A．m＞﹣2 B．m＞﹣2且m≠1 C．m≥﹣2 D．m≥﹣2且m≠1 5．（3分）某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们一周的读书时间进行了统计，统计数据如下表所示： 则该班学生一周读书时间的中位数和众数分别是（） A．9，8 B．9，9 C．9.5，9 D．9.5，8 6．（3分）如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则∠1=（） A．30°B．25°C．20°D．15° 7．（3分）计算：（）﹣1+tan30°?sin60°=（） A．﹣ B．2 C．D． 8．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO=CO，BO=DO．添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是（） A．AB=AD B．AC=BD C．AC⊥BD D．∠ABO=∠CBO 9．（3分）已知反比例函数y=﹣，下列结论：①图象必经过（﹣2，4）；②图象在二，四象限内；③y随x的增大而增大；④当x＞﹣1时，则y＞8．其中错误的结论有（）个 A．3 B．2 C．1 D．0 10．（3分）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O 在格点上，则∠BED的正切值等于（） A．B．C．2 D． 11．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论： ①abc＜0；②2a﹣b＜0；③b2＞（a+c）2；④点（﹣3，y1），（1，y2）都在抛物线上，则有y1＞y2． 其中正确的结论有（） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2 + 3 8 3.计算：2×(－5)＋23－3÷1 9. 计算：( 3 )0 - ( )-2 + tan45° 2 - (-2011)0 + 4 ÷ (-2 )3 中考专项训练——计算题 集训一（计算） 1. 计算： Sin 450 - 1 2.计算： 2 ． 4.计算：22＋(－1)4＋( 5－2)0－|－3|； 5.计算：22+|﹣1|﹣ ． 8.计算：（1） (- 1)2 - 16 + (- 2)0 （2）a(a-3)+(2-a)(2+a) 1 2 10. 计算： - 3 6.计算： - 2 + (-2) 0 + 2sin 30? ． 集训二（分式化简） 7.计算 ， 1. （2011.南京）计算 ． x 2 - 4 - 9.（2011.徐州）化简： (a - ) ÷ a - 1 10.（2011.扬州）化简 1 + x ? ÷ x （ 2. （2011.常州）化简： 2 x 1 x - 2 7. （2011.泰州）化简 ． 3.（2011.淮安）化简：（a+b ）2+b （a ﹣b ）． 8.（2011.无锡）a(a-3)+(2-a)(2+a) 4. （2011.南通）先化简，再求值：(4ab 3－8a 2b 2)÷4ab ＋(2a ＋b )(2a －b )，其中 a ＝2，b ＝1． 1 a a ； 5. （2011.苏州）先化简，再求值： a ﹣1+ ）÷（a 2+1），其中 a= ﹣ 1． 6.（2011.宿迁）已知实数 a 、b 满足 ab ＝1，a ＋b ＝2，求代数式 a 2b ＋ab 2 的值． ? ? 1 ? x 2 - 1 ? 集训三（解方程） 1. （2011?南京）解方程 x 2﹣4x+1=0． 山东泰安市2019年中考数学阶段测试卷3（带答案） 阶段检测三一、选择题 1.在平面直角坐标系中,点P(-2,x2+1)所在的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.根据如图所示的程序计算函数值,若输入的x值为5/2,则输出的y 值为( ) A.3/5 B.2/5 C.4/25 D.25/4 3.将某抛物线向右平移2个单位,再向下平移3个单位所得的抛物线的函数关系式是 y=-2x2+4x+1,则将该抛物线沿y轴翻折后所得抛物线的函数关系式 是( ) A.y=-2(x-1)2+6 B.y=-2(x-1)2-6 C.y=-2(x+1)2+6 D.y=2(x+1)2-6 4.(2017河南)我们知道:四边形具有不稳定性.如图,在平面直角坐标系中,边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上,AB的中点是坐标原点O.固定点A,B,把正方形沿箭头方向推,使点D落在y轴正半轴上点D'处,则点C的对应点C'的坐标为( ) A.(√3,1) B.(2,1) C.(1,√3) D.(2,√3) 5.甲骑摩托车从A地去B地,乙开汽车从B地去A地,同时出发,匀速行驶,各自到达终点后停止,设甲、乙两人间距离为s(单位:千米),甲行驶的时间为t(单位:小时),s与t之间的函数关系如图所示,有下列结论: ①出发1小时时,甲、乙在途中相遇; ②出发1.5小时时,乙比甲多行驶了60千米; ③出发3小时时,甲、乙同时到达终点; ④甲的速度是乙的速度的一半. 其中,正确结论的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 6.如图,正方形OABC,正方形ADEF 的顶点A,D,C在坐标轴上,点F在AB上,点B,E在函数y=4/x(x>0)的图象上,则点E的坐标是( ) A.(√5+1,√5-1) B.(3+√5,3-√5) C.(√5-1,√5+1) D.(3-√5,3+√5) 7.已知一次函数y=kx+b的图象与直线y=-5x+1平行,且过点(2,1),那么此一次函数的关系式为( ) A.y=-5x-2 B.y=-5x-6 C.y=-5x+10 D.y=-5x+11 8.已知函数y=-(x-m)(x-n)(其中m 扬州市初中毕业、升学统一考试数学试题 第Ⅰ卷（共24分） 一、 选择题：（本大题共8个小题,每小题3分,共24分.） 二、 1.若数轴上表示1-和3的两点分别是点A 和点B ，则点A 和点B 之间的距离是（ ） A ．4- B ．2- C ．2 D ．4 2.下列算式的运算结果为4a 的是（ ） A ．4a a ? B ．()22a C ．33a a + D ．4a a ÷ 3.一元二次方程2720x x --=的实数根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．不能确定 4.下列统计量中，反映一组数据波动情况的是（ ） A ．平均数 B ．众数 C.频率 D ．方差 5.经过圆锥顶点的截面的形状可能是（ ） A ． B ． C. D ． 6.若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是（ ） A ．6 B ．7 C. 11 D ．12 7.在一列数：1a ，2a ，3a ，???，n a 中，13a =，27a =，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第2017个数是（ ） A ．1 B ．3 C.7 D ．9 8.如图，已知C ?AB 的顶点坐标分别为()0,2A 、()1,0B 、()C 2,1，若二次函数21y x bx =++的图象与 阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b 的取值范围是（ ） A ．2b ≤- B ．2b <- C. 2b ≥- D ．2b >- 第Ⅱ卷（共126分） 二、填空题（每题3分，满分30分，将答案填在答题纸上） 9.2017年5月18日，我国在南海北部神弧海域进行的可燃冰试开采成功，标志着 我国成为全球第一个在海域可燃冰开采中获得连续稳定的国家．目前每日的天然气 试开采量约为16000立方米，把16000立方米用科学记数法表示为 立方米． 10.若2a b =，6b c =，则a c = ．11.因式分解：2327x -= ． 中考数学计算题专项训 练 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 2017年中考数学计算题专项训练 【亲爱的同学们，如果这试卷是蔚蓝的天空，你就是那展翅翱翔的雄鹰；如果这试卷是碧绿的草原，你就是那驰骋万里的骏马。只要你自信、沉着、放松、细心，相信你一定比雄鹰飞得更高，比骏马跑得更快！】 一、集训一（代数计算） 1. 计算： （1）30 82 145+- Sin （2）∣ ﹣5∣+22﹣（√3+1） （3）2×(－5)＋23 －3÷12 （4）22＋(－1)4 ＋ (5－2)0 －|－3|； （5）( 3 )0 - ( 12 )-2 + tan45° （6） ()()03 32011422 - --+÷- 2.计算：3 45tan 3231211 -?-??? ? ??+??? ??-- 3.计算： ( ) () ( ) ??-+ -+-+?? ? ??-30 tan 3312120122010311001 2 4.计算： ()( ) 11 2 230sin 4260cos 18-+ ?-÷?--- 5.计算： 120100(60)(1)|28|(301)21 cos tan -÷-+-- ?-- 1. a a 2﹣a 2 ﹣1 a +a ÷a a﹣a ． 2。 2 1422---x x x 3.（a+b ）2 +b （a ﹣b ）． 4. 11 ()a a a a --÷ 5.2 111x x x -??+÷ ??? （1） ( ) 1＋ 1 x －2 ÷ x 2 －2x ＋1 x 2－4 ，其中x ＝－5（2）（a ﹣ 1+ 2a +1）÷（a 2 +1），其中a=√2﹣ （3）2121(1)1a a a a ++-?+，其中a =2-1. （5）221 21111x x x x x -??+÷ ?+--?? 然后选取一个使原式有 意义的x 的值代入求值 （6） 9、化简求值： 11 1(1 122 2+---÷-+-m m m m m m ）, 其中m = 3． 10、先化简，再求代数式22 211 11 x x x x -+---的值，其中x=tan600 -tan450 11、化简：x x x x x x x x x 416 )44122(2222 +-÷+----+, 其 中 22+=x 12、化简并求值： 221122a b a b a a b a -??--+ ?-?? ，其 中322323a b =-=，． 13、计算：332141 222 +-+÷?? ? ??---+a a a a a a a ． 14、先化简，再求值：13x -·32269122x x x x x x x -+----， 其中x ＝－6． 15、先化简：再求值：( ) 1－ 1 a －1 ÷ a 2－4a ＋4 a 2－a ，其中a ＝2＋ 2 . 毕节市2019年初中毕业生学业（升学）统一考试试卷 数 学 一、选择题： 1.下列实数中，无理数为（ ） A ． 2.0 B ． 2 1 C ．2 D ．2 2.2019年毕节市参加中考的学生约为115000人.将115000用科学记数法表示为（ ） A ．6 1015.1? B ．6 10115.0? C ．4 105.11? D ．51015.1? 3.下列计算正确的是（ ） A ．93 3 a a a =? B ．2 22)(b a b a +=+ C ．02 2 =÷a a D ．6 32)(a a = 4.一个几何体是由一些大小相同的小立方块摆成的，其主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小立方块最少．． 有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 5.对一组数据：1,2,1,2-，下列说法不正确．．． 的是（ ） A ．平均数是1 B ．众数是1 C ．中位数是1 D ．极差是4 6.如图，CD AB //，AE 平分CAB ∠交CD 于点E ，若0 70=∠C ，则AED ∠等于（ ） A ．0 55 B ．0 125 C. 0 135 D ．0 140 7.若关于x 的一元一次不等式 23 2-≤-x m 的解集为4≥x ，则m 的值为（ ） A ．14 B ．7 C.2- D ．2 8.为了估计鱼塘中鱼的数量，可以先从鱼塘中随机打捞50条鱼，在每条鱼身上做上记号后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间，等这些鱼完全混合于鱼群后，在从鱼塘中随机打捞50条鱼，发现只有2条鱼是前面做了记号的，那么可以估计这个鱼塘鱼的数量约为（ ） A ．1250条 B ．1750条 C.2500条 D ．5000条 9.若关于x 的分式方程 1 1 2517--=+-x m x x 有增根，则m 的值为（ ） A ．1 B ．3 C. 4 D ．5 10.甲、乙、丙、丁四人参加体育训练，近期10次跳绳测试的平均成绩都是每分钟174个，其方差如下表： 则这10次跳绳测试中，这四个人发挥最稳定．．．的是（ ） A ．甲 B ．乙 C.丙 D ．丁 11.把直线12-=x y 向左平移1个单位，平移后直线的关系式为（ ） A ．22-=x y B ．12+=x y C. x y 2= D ．22+=x y 12.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，0 30=∠ACD ，则BAD ∠为（ ） A ．0 30 B ．0 50 C. 0 60 D ．0 70 13.如图，ABC Rt ?中，0 90=∠ACB ，斜边9=AB ，D 为AB 的中点，F 为CD 上一点，且CD CF 3 1 = ，过点B 作DC BE //交AF 的延长线于点E ，则BE 的长为（ ） 中考数学试题(及答案) 一、选择题 1．华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据 0.000000007用科学记数法表示为( )． A ．7710?﹣ B ．8 0.710?﹣ C ．8710?﹣ D ．9710?﹣ 2．下列四个实数中，比1-小的数是（ ） A ．2- B ．0 C ．1 D ．2 3．在数轴上，与表示6的点距离最近的整数点所表示的数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．若一元二次方程x 2﹣2kx +k 2＝0的一根为x ＝﹣1，则k 的值为（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．1或﹣1 D ．2或0 5．下列图形是轴对称图形的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 6．将两个大小完全相同的杯子（如图甲）叠放在一起（如图乙），则图乙中实物的俯视图 是（ ）. A ． B ． C ． D ． 7．分式方程 ()()31112x x x x -=--+的解为（ ） A ．1x = B ．2x = C ．1x =- D ．无解 8．将一个矩形纸片按如图所示折叠，若∠1=40°，则∠2的度数是（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．70° 9．甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市先降价20%，后又降价10%；乙超市连续两次降价15%；丙超市一次性降价30%.则顾客到哪家超市购买这种商品更合算（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．一样 10．已知直线//m n ，将一块含30°角的直角三角板ABC 按如图方式放置 （30ABC ∠=?），其中A ，B 两点分别落在直线m ，n 上，若140∠=?，则2∠的度数为（ ） A ．10? B ．20? C ．30° D ．40? 11．如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 是BD 上两点，BM DN =，连接AM 、 MC 、CN 、NA ，添加一个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件是( ) A ．12 OM AC = B ．MB MO = C ．B D AC ⊥ D ．AMB CND ∠=∠ 12．cos45°的值等于( ) A ．2 B ．1 C ． 3 D ． 22 二、填空题 13．在学习解直角三角形以后，某兴趣小组测量了旗杆的高度．如图，某一时刻，旗杆AB 的影子一部分落在水平地面L 的影长BC 为5米，落在斜坡上的部分影长CD 为4米．测得斜CD 的坡度i ＝1： ．太阳光线与斜坡的夹角∠ADC ＝80°，则旗杆AB 的高度 _____．（精确到0.1米）（参考数据：sin50°＝0.8，tan50°＝1.2， ＝1.732） 14．若a ，b 互为相反数，则22a b ab +=________. 15．若关于x 的一元二次方程kx 2+2(k+1)x+k －1=0有两个实数根，则k 的取值范围是 16．在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点E 是BC 边上的动点，连接AE ，过点E 作AE 的垂线交AB 边于点F ，则AF 的最小值为_______ 17．我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，“一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000人，将数据4400000000用科学记数法表示为______． 2018年中考数学计算题专项训练 一、选择填空 1．下列运算错误的是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．下列计算正确的是（ ） A ． ﹣|﹣3|=﹣3 B ． 30=0 C ． 3﹣1=﹣3 D ． =±3 3.下列各式化简结果为无理数的是（ ） A ． B ． C ． D ． 4.已知分式的值为零，那么x 的值是 _________ 5.函数y=1-x 3 x +中自变量x 的取值范围是 _________ 二、代数计算 1. 30821 45+-Sin 2 . 3.计算2×(－5)＋23－3÷1 2 4. -22＋(－1)4＋(5－2)0－|－3|； 5. ( 3 )0 - ( 12 )-2 + tan45° 6计算：3 45tan 32 31211 0-?-???? ??+??? ??-- 7. ()()()??-+-+-+??? ??-30tan 331212012201031100102 8. 计算：()()0112230sin 4260cos 18-+?-÷?--- 90238(2452005)(tan 602)3---?-+?- 10.计算：120100(60)(1)|28|(301)21 cos tan -÷-+--?-- 三、分式化简求值（注意：此类要求的题目，如果没有化简，直接代入求值一分不得！） 1. ()()()()a -b a 2-b -a b a -b a 2++，其中a 、b 是方程01-x 2x 2=+的两根。 2、 3. 11()a a a a --÷ 4.2111x x x -??+÷ ??? 5、化简求值 （1）??? ?1＋ 1 x －2÷ x2－2x ＋1 x2－4，其中x ＝－5． （2）2121(1)1a a a a ++-?+，其中a 2 （3）)2-a -2-5(4-2-3a a a ÷， 1-=a （4） )12(1a a a a a --÷-，并任选一个你喜欢的数a 代入求值. 2019年中考数学计算题专项训练（超详细，经典！！！） 一、集训一（代数计算） 1. 计算： （1）30 82 145+-Sin （2） （3）2×(－5)＋23－3÷1 2 （4）22＋(－1)4＋(5－2)0－|－3|； （5）?+-+-30sin 2)2(20 （6）()()0 2 2161-+-- （7）( 3 )0 - ( 12 )-2 + tan45° （8）()()0332011422 ---+÷- 2.计算：345tan 3231211 0-?-??? ? ??+??? ??-- 3.计算：( ) () () ??-+-+-+ ?? ? ??-30tan 3312120122010311001 2 4.计算：() ( ) 11 2230sin 4260cos 18-+ ?-÷?--- 5.计算：1 2010 0(60)(1) |28|(301) cos tan -÷-+-- 二、集训二（分式化简） 注意：此类要求的题目，如果没有化简，直接代入求值一分不得！ 考点：①分式的加减乘除运算 ②因式分解 ③二次根式的简单计算 1. ． 2。 2 1 422 ---x x x 3.（a+b ）2 +b （a ﹣b ）． 4. 11()a a a a --÷ 5.2 11 1x x x -??+÷ ??? 6、化简求值 （1）????1＋ 1 x －2÷ x 2 －2x ＋1 x 2－4，其中x ＝－5（2）（a ﹣1+ ）÷（a 2 +1），其中a= ﹣ 1 （3）2121 (1)1a a a a ++-?+，其中a （4）)2 5 2(423--+÷--a a a a ， 1-=a 机密★启用前试卷类型：A 2019年陕西省初中毕业学业考试 数学试卷 注意事项： 1、本试卷分为第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)。全卷共8页，总分120分。考试时间120分钟。 2、领取试卷和答题卡后，请用0．5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡填涂对应的试卷类型信息点(A或B)。 3、请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效。 4、作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑。 5、考试结束，本试卷和答题卡一并交回。 第一部分(选择题共30分) 一、选择题(共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的) 1．计算：(－3)0＝【A】 A．1 B．0 C．3 D ．－ 1 3 2．如图，是由两个正方体组成的几何体，则该几何体的俯视图为【D 】 3．如图，OC是∠AOB的平分线，l∥OB．若∠1＝52°，则∠2的度数为【C】A．52°B．54° C．64°D．69° 4．若正比例函数y＝－2x的图象经过点(a－1，4)，则a的值为【A】 A．－1 B．0 C．1 D．2 5．下列计算正确的是【D】 A．2a2·3a2＝6a2B．(－3a2b)2＝6a4b2 C．(a－b)2＝a2－b2D．－a2＋2a2＝a2 6．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若DE＝1，则BC的长为【A】 A．2＋ 2 B．2＋ 3 C．2＋ 3 D．3 7．在平面直角坐标系中，将函数y＝3x的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x轴交点的坐标为【B】 A．(2，0) B．(－2，0) C．(6，0) D．(－6，0) 8．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6．若点E、F分别在AB、CD上，且BE＝2AE，DF＝2FC，G、H分别是AC的三等分点，则四边形EHFG的面积为【C】 A．1 B． 3 2 C．2 D．4 BE＝2AE，DF＝2FC，G、H分别是AC的三等分点 ∴E是AB的三等分点，F是CD的三等分点 ∴EG∥BC且EG＝－ 1 3BC＝2 同理可得HF∥AD且HF＝－ 1 3AD＝2 ∴四边形EHFG为平行四边形EG和HF间距离为1 S四边形EHFG＝2×1=2 9．如图，AB是⊙O的直径，EF、EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF．若∠AOF＝40°，则∠F的度数是【B】 A．20°B．35°C．40°D．55° 连接FB，得到FOB＝140°； ∴∠FEB＝70° ∵EF＝EB 【典型题】中考数学试题含答案 一、选择题 1．在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的( ) A ．平均数 B ．中位数 C ．众数 D ．方差 2．已知林茂的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：林茂从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家．图中x 表示时间，y 表示林茂离家的距离．依据图中的信息，下列说法错误的是（ ） A ．体育场离林茂家2.5km B ．体育场离文具店1km C ．林茂从体育场出发到文具店的平均速度是50min m D ．林茂从文具店回家的平均速度是60min m 3．如图，在矩形ABCD 中，AD=2AB ，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，DH ⊥AE 于点H ，连接BH 并延长交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O ，下列结论：①∠AED=∠CED ；②OE=OD ；③BH=HF ；④BC ﹣CF=2HE ；⑤AB=HF ，其中正确的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 4．如图，在ABC V 中，90ACB ∠=?，分别以点A 和点C 为圆心，以大于 1 2 AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接 CD .若34B ∠=?，则BDC ∠的度数是（ ） A．68?B．112?C．124?D．146? 5．如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则下列三个结论：①sin∠C＞sin∠D；②cos∠C＞cos∠D；③tan∠C＞tan∠D中，正确的结论为（） A．①②B．②③C．①②③D．①③ 6．菱形不具备的性质是（） A．四条边都相等 B．对角线一定相等 C．是轴对称图形 D．是中心对称图形 7．点 P（m + 3，m + 1）在x轴上，则P点坐标为（） A．（0，﹣2）B．（0，﹣4）C．（4，0）D．（2，0） 8．不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（） A．B． C． D． 9．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上， OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩 形OABC面积的1 4 ，那么点B′的坐标是（） A．（－2，3）B．（2，－3）C．（3，－2）或（－2，3）D．（－2，3）或（2，－3） 10．如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若7， 中考数学计算题专项训练 一、训练一（代数计算） 1. 计算： （1）30821 45+-Sin （2） （3）2×(－5)＋23－3÷12 （4）22＋(－1)4＋(5－2)0－|－3|； （6）?+-+-30sin 2)2(20 （8）()()0 22161-+-- 2.计算：345tan 32312110-?-??? ? ??+??? ??-- 3.计算：()() ()??-+-+-+??? ??-30tan 331212012201031100102 4.计算：() ()0 112230sin 4260cos 18-+?-÷?--- 5.计算：120100(60)(1)|28|(301)21 cos tan -÷-+--?-- 二、训练二（分式化简） 注意：此类要求的题目，如果没有化简，直接代入求值一分不得！ 考点：①分式的加减乘除运算 ②因式分解 ③二次根式的简单计算 1. ． 2。 2 1422---x x x 3.（a+b ）2 +b （a ﹣b ）． 4. 11()a a a a --÷ 5.2111x x x -??+÷ ??? 6、化简求值 （1）????1＋ 1 x －2÷ x 2 －2x ＋1 x 2－4，其中x ＝－5． （2）2121(1)1a a a a ++-?+，其中a 2-1. （3） )2 52(423--+÷--a a a a ， 1-=a （4）)12(1a a a a a --÷-，并任选一个你喜欢的数a 代入求值. （5）22121111x x x x x -??+÷ ?+--??然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值 7、先化简：再求值：????1－1a －1÷a 2－4a ＋4a 2－a ，其中a ＝2＋ 2 . 8、先化简，再求值：a －1a ＋2·a 2＋2a a 2－2a ＋1÷1a 2－1 ，其中a 为整数且－3＜a ＜2. 9、先化简，再求值：222211y xy x x y x y x ++÷??? ? ??++-，其中1=x ，2-=y ． 10、先化简，再求值： 222112( )2442x x x x x x -÷--+-，其中2x =（tan45°-cos30°） 三、训练三（求解方程） 1. 解方程x 2﹣4x+1=0． 2。解分式方程 2322-=+x x 3解方程：3x ＝ 2x －1 ． 4．解方程：x 2+4x －2=0 5。解方程：x x -1 - 31- x = 2． 四、训练四（解不等式） 1.解不等式组，并写出不等式组的整数解． 2.解不等式组?????<+>+.22 1,12x x 3. 解不等式组? ????x +23 ＜1，2(1-x )≤5，并把解集在数轴上表示出来。 4. 解不等式组31311212 3x x x x +<-??++?+??≤，并写出整数解． 五、训练五（综合演练） 1、（1）计算: |2-|o 2o 12sin30(3)(tan 45)-+--+; （2）先化简,再求值: 6)6()3)(3(2+---+a a a a ,其中12-=a . 2、解方程： 0322=--x x 3、解不等式组1(4)223(1) 5. x x x ?+?， 2019年中考数学试卷 一.选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439 000米．将439 000用科学记数法表示应为（ ） A.0.439×106 B.4.39×106 C.4.39×105 D.139×103 【解析】本题考察科学记数法较大数，N a 10?中要求10||1<≤a ，此题中5,39.4==N a ，故选C 2．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【解析】本题考察轴对称图形的概念，故选C 3．正十边形的外角和为（ ） A.180° B.360° C.720° D.1440° 【解析】多边形的外角和是一个定值360°，故选B 4．在数轴上，点A ，B 在原点O 的两侧，分别表示数a ，2，将点A 向右平移1个单位长度，得到点C ．若CO=BO ，则a 的值为（ ） A.-3 B.-2 C.-1 D.1 【解析】本题考察数轴上的点的平移及绝对值的几何意义.点A 表示数为a ，点B 表示数为2，点C 表示数为a+1，由题意可知，a ＜0， ∵CO=BO ，∵2|1|=+a ，解得1=a （舍）或3-=a ，故选A 5．已知锐角∵AOB 如图，（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心， OC 长为半径作?PQ ，交射线OB 于点D ，连接CD ； （2）分别以点C ，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交?PQ 于点M ，N ； （3）连接OM ，MN ． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） A.∵COM=∵COD B.若OM=MN ，则∵AOB=20° C.MN∵CD D.MN=3CD 【解析】连接ON ，由作图可知∵COM∵∵DON. A. 由∵COM∵∵DON.，可得∵COM=∵COD ，故A 正确. B. 若OM=MN ，则∵OMN 为等边三角形，由全等可知∵COM=∵COD=∵DON=20°，故B 正确 C.由题意，OC=OD ，∵∵OCD=2 COD 180∠-?.设OC 与OD 与MN 分别交于R ，S ，易证 ∵MOR∵∵NOS ，则OR=OS ，∵∵ORS=2 COD 180∠-?，∵∵OCD=∵ORS.∵MN∵CD ，故C 正 确. D.由题意，易证MC=CD=DN ，∵MC+CD+DN=3CD.∵两点之间线段最短.∵MN ＜MC+CD+DN=3CD ，故选D 6．如果1m n +=，那么代数式()22 2 21m n m n m mn m +??+?- ?-?? 的值为（ ） A.-3 B.-1 C.1 D.3 【解析】()22 2 21m n m n m mn m +??+?- ?-?? ))(()()(2n m n m n m m n m n m m n m -+???????--+-+= ) (3))(() (3n m n m n m n m m m +=-+?-= 1 =+n m Θ ∵原式=3，故选D B全国卷2019年中考数学试题(解析版)
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