解三角形、数列训练测试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 若点A (,)x y 是0
600角终边上异于原点的一点，则
y
x
的值是（ ）
2. 在正整数100至500之间能被11整除的个数为（ ）A ．34 B ．35
C ．36
D ．37
3. {a n }是等差数列，且a 1+a 4+a 7=45，a 2+a 5+a 8=39，则a 3+a 6+a 9的值是（ ）A ．24 B ．27 C ．30 D ．33
4. 设函数f （x ）满足f （n +1）=2
)(2n
n f +（n ∈N *）且f （1）=2，则f （20）为（ ） A ．95
B ．97
C ．105
D ．192
5. 设a n =－n 2+10n +11，则数列{a n }从首项到第几项的和最大（ ） A ．第10项
B ．第11项
C ．第10项或11项
D ．第12项
6．已知等差数列{a n }的公差为正数，且a 3·a 7=－12，a 4+a 6=－4，则S 20为（ ）
A ．180
B ．－180
C ．90
D ．－90
7．由公差为d 的等差数列a 1、a 2、a 3…重新组成的数列a 1+a 4， a 2+a 5， a 3+a 6…是（ ）
A ．公差为d 的等差数列
B ．公差为2d 的等差数列
C ．公差为3d 的等差数列
D ．非等差数列
8．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根
数为（ ）A ．9 B ．10 C ．19 D ．29 9．在等差数列{a n }中，若S 9=18，S n =240，4n a -=30，则n 的值为（ ）A ．14 B ．15 C.16 D ．17 10．在ABC ?中，若2
sin sin cos
2
A
B C =，则ABC ?是（ ）A.等腰?B.直角? C.等边? D.等腰直角? 11．设,R x ∈记不超过x 的最大整数为],[x 令],[}{x x x -=则2
1
5],215[},215{
+++ （ ）.A 是等差数列但不是等比数列 .B 是等比数列但不是等差数列
.C 既是等差数列又是等比数列 .D 既不是等差数列也不是等比数列 12. 锐角三角形ABC ?中，若2A B =，则下列叙述正确的是（ ）.
①sin 3sin B C = ②3tan
tan 122B C = ③64B ππ<< ④a
b
∈ A.①② B.①②③ C.③④ D.①④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13. 已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是___ ____
14．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若
n n T S =132+n n ，则11
11b a =___ ______． 15．数列}{n a 满足12 (01),1 (1).
n n n n n a a a a a +≤≤?=?
->?且16
7a =,则2012a =_____ _____
16．在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若,,a b c 成等差数列,30,B = ABC ?的面积为
3
2
，则b =____.
三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知数列}{n a 满足：111,2n n a a a n -=-=且. （1）求432,a a a ， （2）求数列}{n a 的通项n a
18．（本小题满分12分）设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知3151612,0,0,a S S =>< （1）求公差d 的取值范围； （2）指出n S S S ,,,21 中哪一个最大？说明理由
19．（本小题满分12分）甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第一分钟走2 m ，以后每
分钟比前1分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m ．（1）甲、乙开始运动后，几分钟相遇．
（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？ 20．（本小题满分12分）在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，已知向量
33(cos ,sin ),22A A m = (cos ,sin ),22
A A n =
且满足m n += ，（1）求角A 的大小；
（2
）若,b c +=试判断ABC ?的形状。
21．（本题满分12分)在海岸A 处，发现北偏东 45方向，距离A
为)13(- n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西
75方向，距离A 为2 n mile 的C 处有一艘缉私艇奉命以310n mile / h 的速度追截走私船，此时，走私船正以10 n mile / h 的速度从B 处向北偏东 30方向逃窜，问缉私艇沿什么方向
行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间。(本题解题过程中请不要使用计算器，以保证数据的相对
准确和计算的方便)
北 南
西
东
C
A B D
22. （本小题满分14分）已知数列}{n a 的各项为正数，其前n 项和2
)2
1(
+=n n n a S S 满足，设10()n n b a n N =-∈（1）求证：数列}{n a 是等差数列，并求}{n a 的通项公式；
（2）设数列{}n b 的前n 项和为T n ，求T n 的最大值。（3）求数列{}
()n b n N ∈的前n 项和。
参考答案
一、选择题：（本大题共12个小题；每小题5分，共60分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13、 0,6π??
???
; 14、2132； 15. 6/7 16
三、解答题：本大题共6小题，共74分．
17.解：(1)2123422,415;1119a a a a a -=?∴=+=== 同理，，
()()()
21324312(2)22
2324
2122312122
1
n n n a a a a a a a a n
a n n n n n --=?-=?-=?-=?=+?+++-+=+?
=+- 以上等式相加得：
()151********,015141615
150,16022
12,212,1221224
511
S S a d a d a a d a d d >
>+<=∴+==--<<-
18.解又代入上两式得： (2) 15160,
0S S ><
()()
()1151168898899815160,022
150,800,0,0a a a a a a a a a a a S ++∴>>∴>+<∴>+<∴<∴最大
19．解：（1）设n 分钟后第1次相遇，依题意得2n +
2
)
1(-n n +5n =70 整理得：n 2+13n －140=0，解得：n =7，n =－20（舍去） ∴第1次相遇在开始运动后7分钟． （2）设n 分钟后第2次相遇，依题意有：2n +
2
)
1(-n n +5n =3×70 整理得：n 2+13n －6×70=0，解得：n =15或n =－28（舍去） 第2次相遇在开始运动后15分钟．
(
)(
)2222
123,1,1
1331,cos cos sin sin 2222221cos ,23
322sin sin C ,B+C=
2323sin sin (-B),sin()3262520,0,36663m n m n m n m n A A A A m n A A b c B A B B B B B π
π
πππππππ+=∴++?===∴?=∴+=
∴==
+=∴+==∴+=+=
<<<+<∴+= 20.解：又化简得或
3C=
,C=
6226
B B AB
C π
π
π
π
π
∴=
=
?，或综上：为直角三角形。
21. 解：设缉私艇追上走私船需t 小时
则B D =10 t n m i l e C D =310t n m i l e ∵∠B A C =45°+75°=120° ∴在△A B C 中，由余弦定理得
6
120cos 2)13(22)13(cos 222222=??-?-+-=∠??-+= BAC
AC AB AC AB BC 即 6BC ＝ 由正弦定理得
22
6
120sin 2BC BAC sin BD ABC sin =
=∠?=∠
∴ ∠A B C =45°， ∴B C 为东西走向 ∴∠C B D =120°
在△B C D 中，由正弦定理得
21
310120in 10CD sin BD BCD sin =?=∠?=∠t s t CBD
∴ ∠B C D =30°，∴ ∠B D C =30° ∴6==BC BD 即 610=t ∴ 10
6
=
t （小时） 答：缉私艇沿北偏东60°方向行驶才能最快追上走私船，这需
10
6
小时。
()()()()()()()()(){}11
1
2211221221112211111114S 2114S 21212422020,0,
1
2,(),(1)0
2
1,12(1)21
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a S a a a n n ----------=++=++-=-+-∴--+=+--=>+∴-=∴==∴-=∴==+-=-22.证明：得：
；又为等差数列，
()
()()
561555212121212567121(2)10112112510,111210
5919,1,5252
911230,102
0,()()2(n n n n n n n n n n b a n b b b b b n n b b b b b b b n n b b b b b b b b b b b b b b b =-=-=-?=>=-=-<+====+-≤>∴+++=+++=
=-><∴+++=+++-+++=-+++++ 的前项和最大，即T 最大，T 当n 5时,当n 5时,2252
122
)1050
105)10505)
n b n n n n
n b b b n n n ++=-+?-≤?+++=?-+>?? （综上：（
必修5解三角形数列综合测试题 第Ⅰ卷（选择题共60分） 一、选择题：（每小题5分，共60分） 1．已知锐角ABC ?的面积为4,3BC CA ==，则角C 的大小为（ ） A ． 30 B ． 45 C ． 60 D ． 75 2. 在等差数列{}n a 中，若4612a a +=，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则9S =（ ） A ．48 B ．54 C ．60 D ．108 3. 已知等比数列{}n a 的公比为正数，且2 3952a a a ?=，21a =，则1a =（ ） A ． 1 2 B ．2 C D ．2 4. 已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =，则数列1n a ?? ???? 的前5项和为（ ） A . 158或5 B . 5 或1631 C .3116 D .15 8 5. 已知数列{}n a 的前n 项和2 9n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k =（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 6. 在各项均为正数的等比数列{n a }中，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =（ ） A ． B ．7 C ． 6 D ． 7. 在ABC ?中，60A =，且最大边长和最小边长是方程2 7110x x -+=的两个根，则第三边的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 8. 在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n +=++，则n a = ( )
A ．2ln n + B ．2(1)ln n n +- C ．2ln n n + D ．1ln n n ++ 9. 在ABC ?中，A 、B 的对边分别是a 、b ，且 30=A ，a =4b =，那么满 足条件的ABC ?（ ） A ．有一个解 B ．有两个解 C ．无解 D ．不能确定 10. 已知等差数列{}n a 的公差0d <，若462824,10a a a a =+=，则该数列的前n 项和n S 的最大值为（ ） A ．50 B ．45 C ．40 D ．35 11. 各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10302,14S S ==，则40S =（ ） A ．80 B ．30 C ．26 D ．16 12. 在?ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-．则A 的取值范围是（ ） A ．（0， 6 π ] B ．[ 6π，π） C ．（0，3π] D ．[ 3 π ，π） 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题：（每小题5分，共20分） 13. 已知c b a ,,分别是ABC ?的三个内角C B A ,,所对的边，若 B C A b a 2,3,1=+==则=C sin . 14. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若 5359a a =，则95 S S = ． 15. 已知ABC ? 的一个内角为 120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ?的面积为_______________. 16.下表给出一个“直角三角形数阵” 41 4 1,21
解三角形的必备知识和典型例题及习题 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。 （1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 （1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝2 1ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题： 第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题： 第1、已知三边求三角. 第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 5．三角形中的三角变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
解三角形及其数列专练 1．(2016·吉林)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量m＝(cosA，3sinA)，n＝(2cosA，－2cosA)，m·n＝－1. (1)若a＝23，c＝2，求△ABC的面积； (2)求 b－2c acos（ π 3 ＋C） 的值． 解析(1)因为m·n＝2cos2A－3sin2A＝cos2A－3sin2A＋1＝2cos(2A＋ π 3 )＋1＝－1，所以cos(2A＋ π 3 )＝－1.又 π 3 <2A＋ π 3 <2π＋ π 3 ，所以2A＋ π 3 ＝π，A＝ π 3 .由12＝4＋b2－2×2×b×cos π 3 ，得b＝4(舍负值)．所以△ABC的面积为 1 2 ×2×4×sin π 3 ＝2 3. (2) b－2c acos（ π 3 ＋C） ＝ sinB－2sinC sinAcos（ π 3 ＋C） ＝ sin（A＋C）－2sinC 3 2 cos（ π 3 ＋C） ＝ 3 2 cosC－ 3 2 sinC 3 2 cos（ π 3 ＋C） ＝ 3cos（ π 3 ＋C） 3 2 cos（ π 3 ＋C） ＝2. 2．(2016·福建)在△ABC中，B＝ π 3 ，点D在边AB上，BD＝1，且DA＝DC. (1)若△BCD的面积为3，求CD； (2)若AC＝3，求∠DCA. 解析(1)因为S △BCD ＝3，即 1 2 BC·BD· sinB＝3，又B＝ π 3 ，BD＝1，所以BC＝4. 在△BDC中，由余弦定理得，CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cosB， 即CD2＝16＋1－2×4×1× 1 2 ＝13，解得CD＝13. (2)在△ACD中，DA＝DC，可设∠A＝∠DCA＝θ，则∠ADC＝π－2θ，又AC＝3，由正弦定
解三角形、数列2018年全国高考分类真题（含答案） 一．选择题（共4小题） 1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（） A．B．C．D． 2．在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（） A．4 B． C． D．2 3．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（） A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4 4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（） A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12 二．填空题（共4小题） 5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为． 6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=，c=． 7．设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为． 8．记S n为数列{a n}的前n项和．若S n=2a n+1，则S6=． 三．解答题（共9小题） 9．在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣． （Ⅰ）求∠A； （Ⅱ）求AC边上的高． 10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过
点P（﹣，﹣）． （Ⅰ）求sin（α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值． 11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B ﹣）． （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值． 12．在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5． （1）求cos∠ADB； （2）若DC=2，求BC． 13．设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列． （1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围； （2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．14．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1=1，数列{（b n+1﹣b n）a n}的前n项和为2n2+n． （Ⅰ）求q的值； （Ⅱ）求数列{b n}的通项公式． 15．设{a n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为S n（n∈N*），{b n}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6． （Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式； （Ⅱ）设数列{S n}的前n项和为T n（n∈N*）， （i）求T n； （ii）证明=﹣2（n∈N*）． 16．等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．
向量、解三角形、数列、不等式测试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.由11a =，3d =确定的等差数列{}n a ， 当298n a =时，n 等于 （ ） Ａ．99 Ｂ．100 Ｃ．96 Ｄ．101 2.ABC ?中，若?===60,2,1B c a ，则ABC ?的面积为 （ ） A ． 2 1 B ．23 C.1 D.3 3.如图，在△ABC 中，1 ,3,,,2 BD DC AE ED AB a AC b BE = ===若则= （ ） A ．1133a b + B ．11 24a b -+ C ．1124a b + D ．11 33 a b -+ 4.已知3≥x ，函数1 1 -+=x x y 的最小值是 （ ） A ．2 7 B ．4 C ．8 D ．6 5.设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则()()a c b c -?-的最小值为 ( ) A 、2- （ B ）22- （ C ）1- (D)12- 6.在各项均为正数的等比数列 {}n b 中，若783b b ?=，则 3132log log b b ++……314log b +等于 （ ） (A) 5 (B) 6 (C)7 (D)8 7.设,x y 满足约束条件1 2x y y x y +≤?? ≤??≥-? ,则3z x y =+的最大值为 （ ） A ． 5 B. 3 C. 7 D. -8 8.在ABC ?中,80,100,45a b A ?===,则此三角形解的情况是 （ ） A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解 9.已知b a ,满足：a =3，b =2，b a +=4，则b a -=( ) A ．3 B ．5 C ．3 D 10 10.一个等比数列}{n a 的前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ）
必修五解三角形和数列综合练习 解三角形 一、选择题 1．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b 2＋c 2－a 2＝bc ，则角A 等于( ) (A) 6 π (B) 3 π (C) 3 2π (D) 6 5π 2．在△ABC 中，给出下列关系式： ①sin(A ＋B )＝sin C ②cos(A ＋B )＝cos C ③2 cos 2sin C B A =+ 其中正确的个数是( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 3．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a ＝3，sin A ＝32，sin(A ＋C )＝4 3 ，则b 等于( ) (A)4 (B)3 8 (C)6 (D) 8 27 4．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝4，sin C ＝ 3 2 ，则此三角形的面积是( ) (A)8 (B)6 (C)4 (D)3 5．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，且sin A ＝2sin B cos C ，则此三角形的形状是( ) (A)直角三角形 (B)正三角形 (C)腰和底边不等的等腰三角形 (D)等腰直角三角形 二、填空题 6．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，B ＝45°，则角A ＝________. 7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝19，则角C ＝________. 8．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b ＝3，c ＝4，cos A ＝ 5 3 ，则此三角形的面积为________. 9．已知△ABC 的顶点A (1，0)，B (0，2)，C (4，4)，则cos A ＝________. 10．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，那么边BC 上的中线AD 的长为________. 三、解答题 11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且a ＝3，b ＝4，C ＝60°. (1)求c ； (2)求sin B . 12．设向量a ，b 满足a ·b ＝3，|a |＝3，|b |＝2. (1)求〈a ，b 〉； (2)求|a －b |.
解三角形测试 一、选择题 1．己知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为( )． A ．90° B ．120° C ．135° D ．150° 2．在△ABC 中，下列等式正确的是( )． A ．a ∶b ＝∠A ∶∠B B ．a ∶b ＝sin A ∶sin B C ．a ∶b ＝sin B ∶sin A D ．a sin A ＝b sin B 3．若三角形的三个内角之比为1∶2∶3，则它们所对的边长之比为( )． A ．1∶2∶3 B ．1∶3∶2 C ．1∶4∶9 D ．1∶2∶3 4．在△ABC 中，a ＝5，b ＝15，∠A ＝30°，则c 等于( )． A ．25 B ．5 C ．25或5 D ．10或5 5．已知△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝6，b ＝4，那么满足条件的△ABC 的形状大小 ( )． A ．有一种情形 B ．有两种情形 C ．不可求出 D ．有三种以上情形 6．在△ABC 中，若a 2＋b 2－c 2＜0，则△ABC 是( )． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．形状不能确定 7．在△ABC 中，若b ＝3，c ＝3，∠B ＝30°，则a ＝( )． A ．3 B ．23 C ．3或23 D ．2 8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边．如果a ，b ，c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为 2 3 ，那么b ＝( )． A ． 2 3 1+ B ．1＋3 C ． 2 3 2+ D ．2＋3 9．某人朝正东方向走了x km 后，向左转150°，然后朝此方向走了3 km ，结果他离出发点恰好3km ，那么x 的值是( )．
解三角形与等差数列阶段测试题 2014.8.8 一、选择题：（每小题5分，共计50分） 1. 在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ ） A ．310+ B ．() 1310- C ．13+ D ．310 2. 在△ABC 中，b=c=3，B=300，则a 等于（ ） A B ． C D ．2 3. 不解三角形，下列判断中正确的是（ ） A ．a=7，b=14，A=300有两解 B ．a=30，b=25，A=1500有一解 C ．a=6，b=9， A=450有两解 D ．a=9， c=10，B=600无解 4. 在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则AB BC ?的值为( ) A ．79 B ．69 C ．5 D ．-5 5. .在△ABC 中，A B B A 22sin tan sin tan ?=?，那么△ABC 一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 6. 已知等差数列5724,7 43…，则使得n S 取得最大值的n 值是（ ） A. 15 B. 7 C. 8和9 D. 7和8 7. 已知数列{}n a 满足*12463(),9n n a a n N a a a ++=∈++=且，则15796 log () a a a ++的值是( ) A ．-2 B ．12- C ．2 D ．12 8. 已知等差数列{}n a 满足1231010a a a a ++++=，则有（ ） A 、11010a a +> B 、11010a a +< C 、11010a a += D 、5151a = 9. 在等差数列中，若是9641272=++a a a ，则1532a a +等于( ) A. 12 B. 96 C. 24 D. 48 10. 等差数列{ a n }的前n 项的和记为S n ，已知a 1 > 0，S 7 = S 13，则当S n 的值 最大时，n =（ ） A. 8 B.9 C.10 D.11
2018-2019学年高三一模理分类---三角函数和解三角形 海淀（理） (15)（本小题满分13分） 已知函数()cos()cos 4 f x x x a π =-+ (Ⅱ)求a 的值； (Ⅱ)求函数()f x 的单调递增区间． 文）已知函数()cos()cos 4 f x x x a π =-+的图象经过点(O,l)，部分图象如图所示． (I)求a 的值； (Ⅱ)求图中0x 的值，并直接写出函数()f x 的单调递增区间． 朝阳 （理）15．（本小题满分13分） 在ABC △中，a ，120A ∠=?，ABC △b c <． （Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）求cos 2B 的值． （文）15.（本小题满分13分） 已知函数2 ()cos cos f x x x x =. （Ⅰ）求( )3 f π 的值及()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若函数()f x 在区间[0,]m 上单调递增，求实数m 的最大值． 石景山
（文 理）15. （本小题13分） 在ABC △中，角A B C ， ，的对边分别为a b c ，， ，b=3c =，1 cos 3 B=-． （Ⅰ）求sin C 的值； （Ⅱ）求ABC △的面积． 丰台 （理）15．（本小题13分） 已知函数2()cos(2)2sin ()3f x x x a a π =--+∈R ，且()03 f π=. （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）若()f x 在区间[0,]m 上是单调函数，求m 的最大值. 延庆 （理）15.（本小题满分13分） 如图，在ABC ?中，点D 在BC 边上，cos ADB ∠=，3cos =5 C ∠，7AC =． sin CA D ∠（求Ⅰ）的值； （Ⅱ）若10BD =， 求AD 的长及ABD ?的面积． 怀柔 15．（本小题满分13分） 在 中，角，，所的对边分别是a ，b ，c ， ， ． （Ⅰ）求边c 的值； （Ⅱ）若，求 的面积． 门头沟 A D B C
选择题 1．在△ABC 中，a ＝80，b ＝100，∠A ＝45°，则此三角形解的情况是( ) A ．一解 B ．两解 C ．一解或两解 D ．无解 2．在三角形ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为( ) A.2π3 B.5π6 C.3π4 D.π3 3．在△ABC 中，∠B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为( ) A ．45° B ．60° C ．75° D ．90° 4．在△ABC 中，a 2＋b 2－ab ＝c 2＝23S △ABC ，则△ABC 一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形 5．如图所示为起重机装置示意图．支杆BC ＝10 m ，吊杆AC ＝15 m ，吊索AB ＝519 m ，起吊的货物与岸的距离AD 为( ) A ．30 m B.152 3 m C ．15 3 m D ．45 m 6．在△ABC 中，b 2－bc －2c 2＝0，a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积S 为( ) A. 152 B.15 C ．2 D ．3 7．锐角三角形ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是( ) A ．1＜a ＜3 B ．1＜a ＜ 5 C.3＜a ＜ 5 D ．不确定 8．△ABC 中，a ，b ，c 分别是A 、B 、C 的对边，且满足2b ＝a ＋c ，B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( ) A ．1＋ 3 B ．3＋ 3 C.3＋33 D ．2＋ 3 9．在△ABC 中，下列结论： ①a 2＞b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形；②a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则A 为60°；③a 2＋b 2＞c 2，则△ABC 为锐角三角形；④若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝1∶2∶3. 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10．锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，设B ＝2A ，则b a 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．(0,2) C ．(2，2) D ．(2，3) 11．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n －a n ＋1＋1＝0(n ∈N ＋)，则此数列中a 10等于( ) A ．－7 B ．11 C ．12 D ．－6 12．已知等差数列{a n }的首项a 1＝125 ，第10项是第一个比1大的项，则公差d 的取值范围是( ) A ．d ＞875 B ．d ＜825
高二数学必修5（解三角形与数列）练习题 一、选择题 1在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 2 已知,2 31,2 31-= += b a 则b a ,的等差中项为（ ） A ．3 B ．2 C ． 3 1 D ． 2 1 3等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ?等于（ ） Ａ．4 Ｂ．8 Ｃ．16 Ｄ．32 4等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2462,10,S S S ==则等于（ ） A ．12 B ．18 C ．24 D ．42 5在ABC ?中，ο 120,3,33===A b a ，则Ｂ的值为（ ） Ａ、ο30 Ｂ、ο45 Ｃ、ο60 Ｄ、ο 90 6在⊿ABC 中，已知ba c b a 22 22+=+，则∠C= （ ） A 300 B 1500 C 450 D 1350 7在ABC ?中，已知?=30A ，?=45C ，2=a ，则ABC ?的面积等于（ ） A ．2 B ．13+ C ．22 D ． )13(2 1 + 8已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线2 23y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于（ ） Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．2- 9设ABC ?的三内角A 、B 、C 成等差数列，sinA 、sinB 、 sinC 成等比数列，则这个三角形的形状是（ ） Ａ．直角三角形 Ｂ钝角三角形 Ｃ．等腰直角三角形 Ｄ．等边三角形 二、填空题 11已知数列{n a }的前n 项和2 9n S n n =-，则其通项n a = 12已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ， a 1=4,d=－ 5 7 , 当S n 取得最大值时n= 13、在ABC ?中，2||,60==AB A ο ，且ABC ?的面积为 2 3 ，则=||AC ； 14、在等差数列{}n a 中，421,,a a a 这三项构成等比数列，则公比=q 三、解答题 15.在ABC ?中，A B C 、、是三角形的三内角，a b c 、、是三内角对应的三边，已知
一、选择题 的值为则，，中，已知在c C b a ABC ,12046.1?===? 76.A 76.B 28.C 28.D 应等于的规律，，，，，，，，，，观察数列x x 553421853211.2 11.A 12.B 13.C 14.D 的值为，则，中，已知在A c C a ABC 3,606.3=?==? ?45.A ?135.B ??13545.或C ??12060.或D 的值为，则，中，已知等差数列124115116}{..4a a a a a n ==+ 15.A 30.B 31.C 64.D 离为 向，这时船与灯塔的距后，看见灯塔在正西方海里的方向航行方向，后来船沿南偏东偏东某船开始看见灯塔在南906030.5?? 海里230.A 海里330.B 海里345.C 海里245.D 的值为，则，中，已知等差数列158431204}{..6a a a a a a n =+=+ 26.A 30.B 28.C 36.D 的值为，则且项和是其前为等差数列，已知611tan 3 22,}{..7a S n S a n n π = 3.A 3 3 . B 3.± C 3.- D 等于时，的面积等于当，中，已知在C ABC B a ABC sin 32,3 24.8?= =?π 147. A 1414. B 714. C 14 21 .D 9.在ABC ?中，若7,3,8,a b c ===则面积为（ ） A 12 B 21 2 .28C D 为取最小值的则使，若项和为的前等差数列n S a a a S n a n n n ,14,5}{..101041=+-= 3.A 4.B 5.C 6.D 则最大角正弦值等于，，中，已知在,14 13 cos 87.11= ==?C b a ABC 73. A 732. B 733. C 73 4. D
第一章 解三角形 一、选择题 1．己知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为( )． A ．90° B ．120° C ．135° D ．150° 2．在△ABC 中，下列等式正确的是( )． A ．a ∶b ＝∠A ∶∠B B ．a ∶b ＝sin A ∶sin B C ．a ∶b ＝sin B ∶sin A D ．a sin A ＝b sin B 3．若三角形的三个内角之比为1∶2∶3，则它们所对的边长之比为( )． A ．1∶2∶3 B ．1∶3∶2 C ．1∶4∶9 D ．1∶2∶3 4．在△ABC 中，a ＝5，b ＝15，∠A ＝30°，则c 等于( )． A ．25 B ．5 C ．25或5 D ．10或5 5．已知△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝6，b ＝4，那么满足条件的△ABC 的形状大小 ( )． A ．有一种情形 B ．有两种情形 C ．不可求出 D ．有三种以上情形 6．在△ABC 中，若a 2＋b 2－c 2＜0，则△ABC 是( )． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．形状不能确定 7．在△ABC 中，若b ＝3，c ＝3，∠B ＝30°，则a ＝( )． A ．3 B ．23 C ．3或23 D ．2 8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边．如果a ，b ，c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为 2 3 ，那么b ＝( )． A ． 2 3 1+ B ．1＋3 C ． 2 3 2+ D ．2＋3 9．某人朝正东方向走了x km 后，向左转150°，然后朝此方向走了3 km ，结果他离出发点恰好3km ，那么x 的值是( )．
高二数学解三角形与数列知识整理 1. 三角基本关系式： 22sin cos 1αα+=，sin tan cos α αα =． 2. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= +，变形：()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++= -，变形：()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-． 3. 重要的诱导公式： ()sin sin ααπ-=，()cos cos ααπ-=-，()tan tan ααπ-=-． 三角形中常考点： sin()sin A B C +=；cos()cos A B C +=-； tan()tan A B C +=-，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=??． 4. 二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin 22sin cos ααα=； ⑵2 222 cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-， 变形：2 1cos 2cos 2αα+=，2 1cos 2sin 2 αα-=； ⑶222 sin 22sin cos 2tan tan 2cos 2cos sin 1tan αααα ααααα = ==--． 5. 一个综合性很强的例子： 22 222 cos 2cos sin (cos sin )(cos sin ) 1sin 2sin cos 2sin cos (sin cos )cos sin 1tan 1tan tan()sin cos tan 11tan 4 ααααααααααααααααααααααα--+== ++++---π====-+++ 6. 辅助角公式（一角一函数）： ()sin cos a b ααα?+=+，其中tan b a ?= ． 常见辅助角公式： sin cos x x x π? ?±=± ?4??， 2sin x x x π? ?=± ?4? ?， cos 2sin x x x π??±=± ?6??， sin 2sin x x x π? ?±=± ?3? ?， 3sin 2x x x π??=± ?6??， 3cos 2x x x π??±=± ?3? ?， 7. 根据“函数()()sin 00y x ω?ω=A +A >>，”的定义域，利用其单调性求其最值． 8. 设A 、B 两点的坐标分别为()11x y ，，()22x y ，，有： ⑴()1212,x x y y AB =--；⑵||(x AB =． 9. 设()11a x y =，，()22b x y =，，有： ⑴模长：21a x = +2b x =+ ⑵坐标运算：()1212a b x x y y +=++，，()1212a b x x y y -=--，，1212a b x x y y ?=+； ⑶平行与垂直：若a ∥b ，则12210x y x y -=；若a b ⊥，则12120a b x x y y ?=+=； ⑷数量积：cos a b a b θ?=， 12 1 cos a b a b x θ?== + 10. 正弦定理： 在C ?AB 中，有 2sin sin sin a b c R C ===A B ，其中，R 为C ?AB 的外接圆的半径． 正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 11. 射影定理：（要求会用两角和的正弦公式及正弦定理证明） cos cos cos cos cos cos .a b C c B b a C c A c a B b A =+=+=+，，
综合练习2 一、选择题 1．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22 2a b bc -=，sin 3sin C B =，则 A = ( ) A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 2 ． 在 ABC ?，内角,,A B C 所对的边长分别为 ,,.a b c 1sin cos sin cos ,2 a B C c B A b +=,a b B >∠=且则 A ． 6π B ．3π C ．23π D ．56 π 3．在△ABC 中，一定成立的等式是（ ） A. a A b B sin sin = B. a A b B cos cos = C. a B b A sin sin = D. a B b A cos cos = 4．若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形 D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 5．设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为,,a b c 若()cos a b c C =+,则△ABC 的形状是（ ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形 6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2 2 245b c b c +=+-且2 2 2 a b c bc =+-，则△ABC 的面积为（ ） A. 3 B. 32 C. 2 2 D. 2 7．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ） A ． 18 5 B ． 43 C ．23 D ．8 7 8．已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦是方程2x 2 ＋3x －2＝0的根，则第三边 长是( ) A ．20 B ．21 C ．22 D ．61 9．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分,,a b c ．若c o s s i n a A b B =，2 sin cos cos A A B += A ．－ 12 B ．1 2 C ．－1 D ．1
解三角形和数列 1. (2016·山东淄博三模，16，12分)在△ABC 中，sin A ＝sin B ＝－cos C . (1)求角A ，B ，C 的大小；(2)若BC 边上的中线AM ＝7，求△ABC 的面积． 2. (2016·秦皇岛一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足2AB →·AC → ＝a 2－(b ＋c )2. (1)求角A 的大小；(2)求23cos 2C 2－sin ? ?? ?? 4π3－B 的最大值，并求取得最大值时角B ，C 的大小． 3. (2013·课标Ⅱ，17，12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B . (1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值． 4. (2015·湖南，17，12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角． (1)证明：B －A ＝π 2；(2)求sin A ＋sin C 的取值范围．
5. (2015·课标Ⅱ，17)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍． (1)求sin B sin C ；(2)若AD＝1，DC＝2 2 ，求BD和AC的长． 6. (2016·浙江，16)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2a cos B. (1)证明：A＝2B；(2)若△ABC的面积S＝a2 4 ，求角A的大小． 7. (2016·山东，16，12分，中)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2(tan A＋tan B) ＝tan A cos B ＋tan B cos A. (1)证明：a＋b＝2c；(2)求cos C的最小值．
必修五解三角形数列测试题 一、填空题: 1. {a n }是等差数列，且a 1+a 4+a 7=45，a 2+a 5+a 8=39，则a 3+a 6+a 9＝ ． 2. 设函数f （x ）满足f （n+1）= 2 )(2n n f +（n ∈N *）且f （1）=2，则f （20）＝ . 3. 设a n =－n 2+10n+11，则数列{a n }中最大的项为 ． 4．已知等差数列{a n }的公差为正数，且a 3·a 7=－12，a 4+a 6=－4，则S 20＝ ． 5．在等差数列{a n }中，若S 9=18，S n =240，4n a -=30，则n= . 6．在ABC ?中，若2 cos sin sin 2A C B =，则ABC ?是 三角形． 7．数列{a n }满足a 1=1, a 2= 32，且n n n a a a 21111=++- (n ≥2)，则a n ＝ ． 8．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2 n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝ 。 9. 已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是_______. 10．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若 n n T S =1 32+n n ，则1111b a =_______． 11．数列}{n a 满足???>-≤≤=+) 1(1)10(21n n n n n a a a a a 且76 1=a ,则=2010a _______。 12．在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若,,a b c 成等差列,030=B ， ABC ?的面积为2 3 ，则b =____. 13．在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是______. 14．在圆225x y x +=内，过点53()22 ，有n 条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项1a ，最长弦长为n a ，若该数列的公差1163 d ??∈ ??? ，，则n 的取值集合为 ． 三、解答题 15．（本小题满分12分）已知数列}{n a 满足：111,2n n a a a n -=-=且. （1）求 （2）求数列}{n a 的通项n a 432,a a a ，
解三角形、数列训练测试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 若点A (,)x y 是0 600角终边上异于原点的一点，则 y x 的值是（ ） 2. 在正整数100至500之间能被11整除的个数为（ ）A ．34 B ．35 C ．36 D ．37 3. {a n }是等差数列，且a 1+a 4+a 7=45，a 2+a 5+a 8=39，则a 3+a 6+a 9的值是（ ）A ．24 B ．27 C ．30 D ．33 4. 设函数f （x ）满足f （n +1）=2 )(2n n f +（n ∈N *）且f （1）=2，则f （20）为（ ） A ．95 B ．97 C ．105 D ．192 5. 设a n =－n 2+10n +11，则数列{a n }从首项到第几项的和最大（ ） A ．第10项 B ．第11项 C ．第10项或11项 D ．第12项 6．已知等差数列{a n }的公差为正数，且a 3·a 7=－12，a 4+a 6=－4，则S 20为（ ） A ．180 B ．－180 C ．90 D ．－90 7．由公差为d 的等差数列a 1、a 2、a 3…重新组成的数列a 1+a 4， a 2+a 5， a 3+a 6…是（ ） A ．公差为d 的等差数列 B ．公差为2d 的等差数列 C ．公差为3d 的等差数列 D ．非等差数列 8．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根 数为（ ）A ．9 B ．10 C ．19 D ．29 9．在等差数列{a n }中，若S 9=18，S n =240，4n a -=30，则n 的值为（ ）A ．14 B ．15 C.16 D ．17 10．在ABC ?中，若2 sin sin cos 2 A B C =，则ABC ?是（ ）A.等腰?B.直角? C.等边? D.等腰直角? 11．设,R x ∈记不超过x 的最大整数为],[x 令],[}{x x x -=则2 1 5],215[},215{ +++ （ ）.A 是等差数列但不是等比数列 .B 是等比数列但不是等差数列 .C 既是等差数列又是等比数列 .D 既不是等差数列也不是等比数列 12. 锐角三角形ABC ?中，若2A B =，则下列叙述正确的是（ ）. ①sin 3sin B C = ②3tan tan 122B C = ③64B ππ<< ④a b ∈ A.①② B.①②③ C.③④ D.①④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是___ ____