第三章数系的扩充与复数的引入
本章概览
教材分析
复数在数学、力学、电学等其他学科中都有广泛的应用，复数与向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系，也是进一步学习数学的基础．
本章内容分为两节：3.1数系的扩充和复数的概念，3.2复数代数形式的四则运算．
教材通过问题情境：“方程x2＋1＝0在实数集中无解，如何设想一种方法使该方程有解？”引出扩充数系的必要性，从而引入虚数、复数的概念．复数实际上是一对有序数对，即a＋bi (a，b)，类比实数可以用数轴上的点表示，复数就可以在直角坐标系中用点或向量表示，从而有了复数的几何意义，使数和形得到了有机的结合．
复数代数形式的四则运算可以类比代数式运算中的“合并同类项”“分母有理化”等，利用i2＝－1，将复数代数形式的四则运算归结为实数的四则运算，体现了化虚为实的化归思想．
复数的加法、减法运算还可以通过向量的加法、减法的平行四边形或三角形法则来进行，这不仅又一次看到了向量这一工具的功能，也把复数及其加、减运算与向量及其加、减运算完美地统一起来．
教材每节设置了“思考”“探究”，让学生通过类比思想，并借助于具体实例对数系进行了扩充，研究了复数代数形式的几何意义和复数加、减法的运算及几何意义，体现了《课标》以学生为主体的教学理念，有利于培养学生的思想素质和激发学习数学的兴趣和欲望．本章的重点是复数的概念及复数代数形式的四则运算，本章的难点是复数的引入和复数加、减法的几何意义．
课标要求
(1)在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．
(2)理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．
(3)了解复数的代数表示法及其几何意义．
(4)能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
教学建议
(1)数的概念的发展与数系的扩充是数学发展的一条重要线索．数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，也体现了数学发生、发展的客观需求．建议教学时详细介绍从自然数系逐步扩充到实数系的过程，使数系的扩充与复数的引入更为自然，让学生充分领略数系扩充过程中所蕴涵的数学思想和科学发展思想．
(2)在讲解复数的相关概念时，在“复数相等”环节，可以类比“相反数”的概念．
(3)学习复数代数形式时的加、减、乘等运算时，可设置研究问题：用第二章“类比推理”思想，将多项式的运算法则与之进行类比．
(4)删减的内容不必再补．对于弱化的部分，建议也只是在其出现的地方作适当延伸，不必重点讲解．
课时分配
本章教学时间大约需5课时，具体分配如下(仅供参考)
3.1数系的扩充和复数的概念
3．1.1数系的扩充和复数的概念
整体设计
教材分析
教材通过三个环节完成了对实数系的扩充过程：(1)提出问题(用什么方法解决方程x2＋1＝0在实数集中无解的问题)，引发学生的认知冲突，激发学生扩充实数系的欲望；(2)回顾从自然数集逐步扩充到实数集的过程和特点(添加新数，满足原来的运算律)；(3)类比、设想扩充实数系的方向及引入新数i所满足的条件(使i2＝－1成立，满足原来的运算律)．由于学生对数系扩充的知识并不熟悉，教学中教师需多作引导．
复数的概念是复数这一章的基础，复数的有关概念都是围绕复数的代数表示形式展开的．虚数单位、实部、虚部的命名，复数相等的概念，以及虚数、纯虚数等概念的理解，教学中可结合具体例子，以促进对复数实质的理解．
课时分配
1课时．
教学目标
1．知识与技能目标
了解引进复数的必要性；理解虚数单位i以及i与实数的四则运算规律．理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等)．2过程与方法目标
通过问题情境，了解扩充数系的必要性，感受数系的扩充过程，体会引入虚数单位i和复数形式的合理性，使学生对数的概念有一个初步的、完整的认识．
3．情感、态度与价值观
通过问题情境，体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．
重点难点
重点：复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念．难点：虚数单位i的引进及复数的概念．
教学过程
引入新课
请同学们回答以下问题：
(1)在自然数集N中，方程x＋4＝0有解吗？
(2)在整数集Z中，方程3x－2＝0有解吗？
(3)在有理数集Q中，方程x2－2＝0有解吗？
活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，最后师生总结．
活动成果：问题(1)在自然数集中，方程x＋4＝0无解，为此引进负数，自然数→整数；
问题(2)在整数集中，方程3x－2＝0无解，为此引进分数，整数→有理数；
问题(3)在有理数集中，方程x2－2＝0无解，为此引进无理数，有理数→实数．
数集的每一次扩充，对数学本身来说，解决了在原有数集中某种运算不能实施的矛盾，如分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾．
提出问题：从自然数集N扩充到实数集R经历了几次扩充？每一次扩充的主要原因是什么？每一次扩充的共同特征是什么？
活动设计：先让学生独立思考，然后小组讨论，师生共同归纳总结．
活动成果：扩充原因：①满足解决实际问题的需要；②满足数学自身完善和发展的需要．扩充特征：①引入新的数；②原数集中的运算规则在新数集中得到保留和扩展，都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律．
设计意图
回顾从自然数集N扩充到实数集R的过程，帮助学生认识数系扩充的主要原因和共同特征．
探究新知
提出问题：方程x2＋1＝0在R上有解吗？如何对实数集进行扩充，使方程x2＋1＝0在新的数集中有解？
活动设计：小组讨论，类比猜想，设想新数的引进，师生共同完成．
学情预测：学生讨论可能没有统一结果，无法描述．
类比原来不同阶段数系的每一次扩充的特点，在实数集中方程x2＋1＝0无解，需要引进“新数”扩充实数集．让我们设想引入一个新数i，使i满足两个条件：(1)i是方程x2＋1＝0的根，即i2＝－1；(2)新数i与实数之间满足加法、乘法的交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．
设计意图
面对新问题的需要，感到扩充实数集的必要性，通过类比，猜想增添的新数需满足的条件．
提出问题：同学们设想，实数a与新数i相加，实数b与新数i相乘，结果如何表达？实数a与实数b和新数i相乘的结果相加，如何表示？
活动设计：学生动手操作，尝试写出新数与实数加法和乘法的运算，然后教师引导，更正不正确的写法，统一新数的特点，为引出复数的概念做铺垫．
活动成果：a＋i，bi，a＋bi.
根据条件(2)，i可以与实数b相乘，再与实数a相加．由于满足乘法和加法的交换律，从而都可以把结果写成a＋bi(a，b∈R)的形式．
提出问题：形如a＋bi(a，b∈R)的数包括所有实数吗？包括你原来没遇到过的新数吗？
写出实数系经过上述扩充后得到的新数构成的集合C.
活动设计：学生思考，可以讨论，师生共同总结，得出复数的概念．
活动成果：形如a＋bi(a，b∈R)的数，包括所有实数，也包括新数bi和a＋bi，实数a 和新数i可以看作是a＋bi(a，b∈R)这样数的特殊形式，即a＝a＋0i，i＝0＋i.
实数系经过上述扩充后，得到的新数集C＝{a＋bi|a，b∈R}．
我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．全体复数所构成的集合C叫做复数集，即C＝{a＋bi|a，b∈R}．
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．注意：今后不做特殊说明，a，b∈R，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．设计意图
让学生自己添加上这些新数，感受实数系的扩充过程，认识扩充后新数的特点，知道复数的代数形式及有关概念．
提出问题：你认为满足什么条件，可以说这两个复数相等？
活动设计：学生讨论探究a ＋bi ＝c ＋di 时，实部和虚部应满足的条件，教师补充． 活动结果：若a ＋bi ＝c ＋di(其中a ，b ，c ，d ∈R )，则a ＝b 且c ＝d ，即两个复数相等的充要条件是实部和虚部分别相等．特别地，a ＋bi ＝0?a ＝0且b ＝0.
设计意图
通过探究讨论，让学生对复数相等的概念达成共识，并揭示复数相等的内涵，利用两复数相等，可以得到关于实数的方程组，进而得到a ，b 的值．
理解新知
提出问题：对于复数z ＝a ＋bi ，当且仅当a ，b 满足什么条件时，z 为实数，为0，为虚数，为纯虚数？
活动设计：学生思考、讨论，师生总结．
活动结果：当且仅当b ＝0时，复数z ＝a ＋bi 是实数；当且仅当a ＝b ＝0时，复数z ＝a ＋bi 为0；当且仅当b ≠0时，复数z ＝a ＋bi 是虚数；当且仅当a ＝0且b ≠0时，复数z ＝a ＋bi 为纯虚数．
设计意图
让学生进一步理解复数的代数形式，明确复数z ＝a ＋bi 为实数、虚数和纯虚数的充要条件．
提出问题：实数系扩充到复数系后，实数集R 与复数集C 有怎样的关系？你能类比实数的分类，对复数进行合理的分类吗？试用韦恩图表示复数集、实数集、虚数集和纯虚数集之间的关系．
活动设计：小组讨论，学生尝试分类，教师引导归纳．
活动结果：实数集R 是复数集C 的真子集，即R C .复数z ＝a ＋bi 可以分类如下：
复数z ?????
实数(b ＝0)虚数(b ≠0)(当a ＝0时为纯虚数) 复数集、实数集、虚数集和纯虚数集之间的关系用图表示如下：
设计意图
让学生了解数系扩充后复数的正确分类及各数系之间的包含关系．
提出问题：任意两个复数可以比较大小吗？若可以，请说明进行比较的方法；若不可以，请说明理由．
活动设计：让学生思考，议论后发言，教师点拨．
学情预测：学生可能不知所云，无法下结论，也可能类比实数的大小比较，认为可以比较大小．
活动结果：若两个复数都是实数，则可以比较大小；否则就不能比较大小．因此，一般说来，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较其大小．
运用新知
例1请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数．
①2＋3i ；②－3＋12
i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0. 思路分析：根据复数的代数形式及实部和虚部的概念找出各复数的实部和虚部，根据虚数、纯虚数的概念判断．
解：①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为12
，是虚数；③的实部为2，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部0，虚部为0，是实数．
点评：复数a ＋bi 中，实数a 和b 分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫做复数的虚部．
巩固练习
符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由．
(1)实部为－2的虚数；
(2)虚部为－2的虚数；
(3)虚部为－2的纯虚数；
(4)实部为－2的纯虚数．
解答：(1)存在且有无数个，如－2＋i 等；(2)存在且不唯一，如1－2i 等；
(3)存在且唯一，即－2i ；(4)不存在，因为纯虚数的实部为0.
例2实数m 取什么数值时，复数z ＝m ＋1＋(m －1)i 是
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
思路分析：因为m ∈R ，所以m ＋1，m －1都是实数．由复数z ＝a ＋bi 是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m 的取值．
解：(1)当m －1＝0，即m ＝1时，复数z 是实数；
(2)当m －1≠0，即m ≠1时，复数z 是虚数；
(3)当m ＋1＝0，且m －1≠0，即m ＝－1时，复数z 是纯虚数．
点评：这是一道巩固复数概念的题目，首先要在变化中认识复数代数形式的结构，正确判断复数的实部和虚部；然后依据复数是实数、虚数、纯虚数的条件，用列方程(或不等式)的方法求出相应的m 的取值．
变式练习
已知集合M ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数a ＝______.
提示：由M ∩N ＝{3}知，3∈M ，即有(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i ＝3，
所以?????
a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0，解得a ＝－1. 例3已知(2x －1)＋i ＝y －(3－y)i ，其中x ，y ∈R ，求x ，y 的值．
思路分析：根据两复数相等的概念，列出关于x 与y 的方程组，可求得x ，y 的值．
解：根据复数相等的定义可得，?????
2x －1＝y ，1＝－(3－y )，解得x ＝52，y ＝4. 点评：根据两复数相等的定义求其中参数值的问题，应首先将复数转化为代数形式，并确定其实部和虚部，然后利用两复数相等的充要条件，即实部和虚部分别相等列出相应的方程组，然后解方程组求出参数的值．
变练演编
1．给出实数－1、1和0，你能构成哪些不同的复数？
2．已知复数z ＝(x 2＋5x ＋6)＋(x 2－2x －15)i(x ∈R )，需要添加条件：____________，即可求实数x 的值．
答案：1.可以构成不同的复数有：－1＋i ，－1＋0i ，1－i ，1＋0i ，i ，－i ；
2．可以添加的条件很多，如z 为实数，z 为虚数，z 为纯虚数，z ＝0，z ＝6－15i 等等． 达标检测
1．下列说法正确的是( )
①实数是复数；②虚数是复数；③实数集和虚数集的交集不是空集；④实数集与虚数集的并集等于复数集．
A ．①②③
B ．①②④
C ．②④
D ．①②③
2．a ＝0是复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R )为纯虚数的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4ai 相等，则实数a 的值为( )
A ．1
B ．1或－4
C ．－4
D ．0或－4
4．以2i －5的虚部为实部，以5i －2i 2的实部为虚部的复数是__________．
答案或提示：1.B 2.B
3．C(提示：由两复数相等的条件列出关于a 的方程组)
4．2＋2i(提示：先确定两个已知复数的实部和虚部，注意：i 2＝－1)
课堂小结
可以先给学生1～2分钟的时间默写本节的主要基础知识、方法，例题、题目类型、解题规律等；然后用精练的、精确的语言概括本节的知识脉络、思想方法、解题规律等．
1．内容知识：
2．解题规律方法：
3．思想方法：
布置作业
教材本节练习第3题，习题3.1 A 组1,2题．
补充练习
1．设集合C ＝{复数}，A ＝{实数}，B ＝{纯虚数}，若全集S ＝C ，则下列结论正确的是… ( )
A ．A ∪
B ＝
C B ．A ＝B
C ．A ∩B ＝
D ．B ∪B ＝C
2．在下列命题中，正确命题的个数为( )
①两个复数不能比较大小；②1＋i 2>0；③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1；④若a ，b 是两个相等的实数，则(a －b)＋(a ＋b)i 是纯虚数．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3．复数(2x 2＋5x ＋2)＋(x 2＋x －2)i 为虚数，则实数x 满足( )
A ．x ＝－12
B ．x ＝－2或－12
C ．x ≠－2
D ．x ≠1且x ≠－2
4．已知集合M ＝{1，(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i}，集合P ＝{－1,0}．若M ∩P ＝{0}，则实数m 的值为( )
A ．－1
B ．－1或4
C ．6
D ．6或－1
5．复数z 1＝a ＋|b|i ，z 2＝c ＋|d|i(a 、b 、c 、d ∈R )，则z 1＝z 2的充要条件是__________．
6．已知m ∈R ，复数z ＝m (m ＋2)m －1
＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时， (1)z ∈R ；(2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数；(4)z ＝12
＋4i? 答案或提示：1.D 2.A 3.D 4.A 5.a ＝c 且b 2＝d 2
6．解：(1)若z ∈R ，则m 须满足?????
m 2＋2m －3＝0，m －1≠0， 解之，得m ＝－3.
(2)若z 是虚数，则m 须满足m 2＋2m －3≠0且m －1≠0，
解之，得m ≠1且m ≠－3.
(3)若z 是纯虚数，则m 须满足????? m (m ＋2)m －1＝0，m 2＋2m －3≠0，
解之，得m ＝0或m ＝－2.
(4)若z ＝12＋4i ，则m 须满足????? m (m ＋2)m －1＝12，m 2＋2m －3＝4，
解之，得m ∈?．
设计说明
本节课的教学设计以问题为驱动，通过不断提出问题，研究问题，解决问题，使学生回顾旧知识获得新知识，完成数系的扩充和复数概念的教学．
复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，本课时将已有知识和新学知识通过问题链设计教学，让学生体验已学过的数集的扩充历史，体会数集的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要；通过小组合作学习，使学生了解数的发展过程和规律，对各种数集之间的关系有着比较清晰、完整的认识，从而学生更容易积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类以及两复数相等的条件．
备课资料
数的发展史
数的概念是从实践中产生和发展起来的．早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1,2,3,4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N .
随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展．
为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数．这样就把数集扩充到有理数集Q.显然N
Q.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z ，则
有Z Q、N Z.如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集．
有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数．所谓无理数，就是无限不循环小数．有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集．
数因为生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾．但是，数集扩到实数集R以后，像x2＝－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数i，叫做虚数单位．并由此产生了复数．
(设计者：刘洪福)
《数系的扩充与复数的引入》第1课时教案设计学校：江西省抚州市临川二中姓名：黄志彬联系方式： 学情分析： “数系的扩充与复数的引入”是北师大版选修2-2第五章第一节内容，是在学生已经学习了 x+=没有实数解，但实际需要要求此方程的解，实数以及实数有关的运算，知道方程210 所以有必要引出复数的概念以及复数的有关运算，建立新的数系。 ●教学理念： 本着“以学生为主体，教师为主导”的理念，采用探究式教学方法，按照提出问题，思考、交流进而分析得出结论的方法进行启发式教学。 教学目标： 知识技能： 1．了解数系发展原因，数集的扩展过程； 2．理解复数的有关概念以及符号表示； 过程与方法：经历了数系的扩充过程，体验了复数引入的必要，探究了复数相等的概念，领悟了类比的思想方法． 情感态度与价值观：在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求；在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系． ●教学重难点： 重点：对引入复数的必要性的认识，理解复数的基本概念 难点：虚数单位的引入以及复数概念的生成. ●设计思路： 本节课主要采用“问题发现”与“讨论探究”等方式组织教学，凸显学生的主体地位，让教师成为活动的组织者、引导者、合作者，课堂展示学生的研究过程来激发学生的探索勇气。并灵活运用多媒体辅助教学，增强教学的直观性，激发学生的学习兴趣。 教学过程： 以问题为载体，以学生思考为主线 创设情境→建构知识→知识运用→归纳总结→作业布置→课后探究 1.提出问题，探究新知：以一分四十秒数学史录音视频开始，提出问题：自然数集，整数集，有理数集，实数集的关系，继续提出问题：数集扩充到实数集之后,是不是所有的方
§3.1.1数系的扩充和复数的概念 教案 李 志 文 【教学目标】 知识与技能：1.了解数系的扩充过程；2.理解复数的基本概念 过程与方法：1.通过回顾数系扩充的历史，让学生体会数系扩充的一般性方法. 2.类比前几次数系的扩充，让学生了解数系扩充后，实数运算律均可应用于 新数系中，在此基础上，理解复数的基本概念. 情感态度与价值观: 1、虚数单位的引入，产生复数集，让学生体会在这个过程中蕴含的创 新精神和实践能力，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系; 2、初步学会运用矛盾转化，分与合，实与虚等辩证唯物主义观点看待和 处理问题。 【重点难点】 重点: 理解虚数单位i 的引进的必要性及复数的有关概念． 难点：复数的有关概念及应用． 【学法指导】 1、回顾以前学习数的范围扩充过程，体会数系扩充的必要性及现实意义； 2、思考数系扩充后需考虑的因素，譬如运算法则、运算律、符号表示等问题，为本节学习奠定方法基础. 【知识链接】 前两个学段学习的数系的扩充： 但是，数集扩到实数集R 以后，像x 2=－1这样的方程还是无解的，因为在实数范围内，没有一个实数的平方等于负数．联系从自然数到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？ Q N Z R 人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数 的全体构成自然数集N 为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负整，将数系扩充至整数集Z. 为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题， 人们引进了分数，将数系扩充至有理数集Q. 用方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有 理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.有 理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R . N x 2=－1，x =?
数系的扩充与复数的引入知识点总结 一．数系的扩充和复数的概念 １．复数的概念 (1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =,就是实数; 0b ≠,叫做虚数;当0,0a b =≠时,叫做纯虚数. (3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等. 即：如果：,,,a b c d R ∈，那么：=+=+b=d a c a bi c di ????，特别地: . (4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数. 即：=+=-(,)z a bi z a bi a b R ∈的共轭复数是 ２．复数的几何意义 （１）数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的 平面叫做复平面，也叫高斯平面， 轴叫做实轴，轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数 复平面内的点每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法. （２）复数的几何意义 坐标表示:在复平面内以点表示复数（）； 向量表示:以原点 为起点，点为终点的向量表示复数. 向量的长度叫做复数的模，记作 .即. ３．复数的运算 （１）复数的加，减，乘，除按以下法则进行 设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则 12()()z z a c b d i ±=±+±
数系的扩充与复数的引入知识点总结 一。数系的扩充和复数的概念 1.复数的概念 (1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =，就是实数; 0b ≠，叫做虚数;当0,0a b =≠时，叫做纯虚数. (3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等． 即:如果：,,,a b c d R ∈，那么：=+=+b=d a c a bi c di ????，特别地: 。 (4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数。 即：=+=-(,)z a bi z a bi a b R ∈的共轭复数是 ２。复数的几何意义 （1)数（)可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平 面叫做复平面,也叫高斯平面， 轴叫做实轴,轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数．除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 复数集Ｃ和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数 复平面内的点每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来,复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应,这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法. (２)复数的几何意义 坐标表示：在复平面内以点表示复数（)； 向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数. 向量的长度叫做复数的模，记作．即 . ３．复数的运算 (1）复数的加，减,乘，除按以下法则进行 设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则 12()()z z a c b d i ±=±+±
数系的扩充与复数的引入知 识点总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
数系的扩充与复数的引入知识点总结 一．数系的扩充和复数的概念 １．复数的概念 (1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =,就是实数; 0b ≠,叫做虚数;当0,0a b =≠时, 叫做纯虚数. (3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等. 即：如果：,,,a b c d R ∈，那么：=+=+b=d a c a bi c di ???? ，特别地: . (4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数. 即：=+=-(,)z a bi z a bi a b R ∈的共轭复数是 ２．复数的几何意义 （１）数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对 应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数 的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法. （２）复数的几何意义
坐标表示:在复平面内以点表示复数（）； 向量表示:以原点为起点，点为终点的向量表示复数. 向量的长度叫做复数的模，记作 .即. ３．复数的运算 （１）复数的加，减，乘，除按以下法则进行 设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则 12()()z z a c b d i ±=±+± 12()()z z ac bd ad bc i ?=-++ 1222 2()()(0)z ac bd ad bc i z z c d -++=≠+ （２）几个重要的结论 2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+ 22||||z z z z ?== 若z 为虚数,则22||z z ≠ （３）运算律 m n m n z z z +?= ()m n mn z z = 1212()(,)n n n z z z z m n R ?=?∈ （４）关于虚数单位i 的一些固定结论： 21i =- 3i i =- 41i = 2340n n n n i i i i ++++++= 注：（１）两个复数不能比较大小，但是两个复数的模可以比较大小
第3章数系的扩充与复数的引入 §3.1.1数系的扩充和复数的概念 【教学目标】 1．了解解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因，数集的扩展过程以及复数的分类表； 2．理解复数的有关概念以及符号表示； 3．掌握复数的代数表示形式及其有关概念； 4.在问题情境中了解数系得扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系． 【教学重点】引进虚数单位i 的必要性、对i 的规定以及复数的有关概念． 【教学难点】复数概念的理解． 【教学过程】 1．对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括（教师引导学生进行简明扼要的概括和总结） 自然数 整数有理数无理数实数2．提出问题 我们知道，对于实系数一元二次方程012x ，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？ 3．组织讨论，研究问题 我们说，实系数一元二次方程012x 没有实数根．实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数． 解决这一问题，其本质就是解决一个 什么问题呢？组织学生讨论，引导学生研究，最后得出结论：最根本的问题是要解决－1的开平方问题．即一个什么样的数，它的平方会等于－ 1．4．引入新数i ，并给出它的两条性质 根据前面讨论结果，我们引入一个新数 i ，i 叫做虚数单位，并规定：（1）12i ；
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立． 有了前面的讨论，引入新数i ，可以说是水到渠成的事．这样，就可以解决前面提出的问题（－1可以开平方，而且－1的平方根是i ）． 5．提出复数的概念 根据虚数单位i 的第（2）条性质，i 可以与实数b 相乘，再与实数a 相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成bi a 这样，数的范围又扩充了，出现了形如),(R b a bi a 的数，我们把它们叫做复数． 全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C 表示，显然有： N*N Z Q R C ． 【巩固练习】 下列数中，哪些是复数，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？ 例1.实数m 分别取什么值时，复数z ＝m+1＋(m-1)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ 分析：因为m ∈R ，所以m+1，m-1都是实数，由复数z ＝a ＋bi 是实、虚数、纯 虚数与零的条件可以确定实数m 的值． . 1,010 131,0121011为纯虚数时，即）当（为虚数； 时，即）当（为实数； 时，，即）当解（z m m m z m m z m m 6．提出两个复数相等的定义，即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部 分别对应相等．也就是 由此容易得出： 6 cos 6sin ,,0,2,7212i i i i ）纯虚数 ）虚数；（是（为何值时，复数当且练习：已知复数21,)()1(2z m R m i m i m z
高中数学人教版选修1-2（文科）第三章数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念（包括3.1.1数系的扩充和复数的概念，3.1.2 复数的几何意义）C 卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共8题；共16分) 1. （2分） (2018高二下·西宁期末) 已知i为虚数单位，则复数i(i-1)对应的点位于（） A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限 2. （2分）若复数(其中是虚数单位)，则a+b=（） A . －2 B . －1 C . 1 D . 2 3. （2分） (2018高一下·河南月考) 已知 ,则（） A . B . C . D .
4. （2分）已知圆：，则下列命题：①圆上的点到的最短距离的最小值为；②圆上有且只有一点到点的距离与到直线的距离相等；③已知，在圆上有且只有一点，使得以为直径的圆与直线相切.真命题的个数为 A . B . C . D . 5. （2分）已知i为虚数单位，复数z满足1﹣i=，则z的共轭复数等于（） A . 1﹣i B . 1+i C . +i D . ﹣﹣i 6. （2分）若复数z满足（z﹣3）（2﹣i）=5（i为虚数单位），则z为（） A . 2﹣i B . 2+i C . 5﹣i D . 5+i 7. （2分）(2017·诸暨模拟) 已知复数z满足z（1+i）=2i，则z的共轭复数等于（） A . 1+i B . 1﹣i
C . ﹣1+i D . ﹣1﹣i 8. （2分）已知i是虚数单位，复数z=（3+i）（1﹣i）对应的点在第（）象限． A . 一 B . 二 C . 三 D . 四 二、填空题 (共3题；共3分) 9. （1分） (2018高二下·如东月考) 若复数满足（为虚数单位），则 ________． 10. （1分） (2018高二下·聊城期中) 已知复数，，且，则 ________． 11. （1分）若（a﹣2i）i=b﹣i，其中a，b∈R，i是虚数单位，复数a+bi=________． 三、解答题 (共3题；共25分) 12. （5分） (2018高二下·张家口期末) 已知复数，是的共轭复数，且为纯虚数，在复平面内所对应的点在第二象限，求 . 13. （5分） (2019高二下·嘉兴期中) 已知复数，其中为虚数单位， . （Ⅰ）若，求实数的值； （Ⅱ）若在复平面内对应的点位于第一象限，求实数的取值范围. 14. （15分） (2019高二下·江门月考) 当为何实数时，复数，求： （1）实数； （2）虚数；
第三章数系的扩充与复数的引入 §3.1.1数系的扩充和复数的概念 一、教学目标： 1. 知识与技能：了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i。 2. 过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律。 3. 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、 纯虚数、实部、虚部)理解并掌握复数相等的有关概念。 二、教学重点： 复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等。 三、教学难点： 虚数单位i的引进和复数的概念。 四、教学过程： （一）导入新课 数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N。 随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展 为了解决测量、分配中遇到的将等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数。这样就把数集扩充到有理数集Q。显然N Q。把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有Z Q、N Z。 有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数。所谓无理数，就是无限不循环小数。有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R。 数集的每一次扩充，解决了在原有数集中某种运算不能实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾。 但是，数集扩到实数集R以后，像x2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1。由于解方程的需要，我们引入了一个新数i，使得21 i=-，并由此产生的了复数 （二）讲解新课： 我们希望引入的新数i和实数之间仍能进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律。因此，把实数a与i相加，结果记作：a+i；把实数b与i相乘，结果记作：bi；把实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作：a+bi等等。所以实数系经过扩充后得到的新数集是C=｛a+bi ︱a，b∈R｝。 1、复数的定义：形如(,) +∈的数叫复数，其中i叫做虚数单位。全体复数 a bi a b R 所成的集合叫做复数集，用字母C表示 2、复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即(,) =+∈，其中a叫复 z a bi a b R
第3章 数系的扩充与复数的引入 §3.1.1数系的扩充和复数的概念 【教学目标】 1．了解解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因，数集的扩展过程 以及复数的分类表； 2．理解复数的有关概念以及符号表示； 3．掌握复数的代数表示形式及其有关概念； 4.在问题情境中了解数系得扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数 的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系． 【教学重点】引进虚数单位i 的必要性、对i 的规定以及复数的有关概念． 【教学难点】复数概念的理解． 【教学过程】 1．对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括（教师引导学生进行简明扼要的概括和总结） 自然数 整数 有理数 无理数 实数 2．提出问题 我们知道，对于实系数一元二次方程012=+x ，没有实数根．我们能否将 实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？ 3．组织讨论，研究问题 我们说，实系数一元二次方程012=+x 没有实数根．实际上，就是在实数 范围内，没有一个实数的平方会等于负数．解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？ 组织学生讨论，引导学生研究，最后得出结论：最根本的问题是要解决－1的开平方问题．即一个什么样的数，它的平方会等于－1． 4．引入新数i ，并给出它的两条性质 根据前面讨论结果，我们引入一个新数i ，i 叫做虚数单位，并规定： （1）12 -=i ；
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律 仍然成立． 有了前面的讨论，引入新数i ，可以说是水到渠成的事．这样，就可以解决 前面提出的问题（－1可以开平方，而且－1的平方根是i ±）． 5．提出复数的概念 根据虚数单位i 的第（2）条性质，i 可以与实数b 相乘，再与实数a 相加．由 于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成bi a +这样，数的范围又 扩充了，出现了形如 ),(R b a bi a ∈+的数，我们把它们叫做复数． 全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C 表示，显然有： N*N Z Q R C ． 【巩固练习】 下列数中，哪些是复数，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分 别指出这些复数的实部与虚部各是什么？ 例1.实数m 分别取什么值时，复数z ＝m+1＋(m-1)i 是 (1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ 分析：因为m ∈R ，所以m+1，m-1都是实数，由复数z ＝a ＋bi 是实、虚数、纯 虚数与零的条件可以确定实数m 的值． .1,010131,0121011为纯虚数时，即）当（为虚数；时，即）当（为实数； 时，，即）当解（z m m m z m m z m m -=? ??≠-=+≠≠-==- 6．提出两个复数相等的定义，即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部 分别对应相等．也就是 由此容易得出： 6 cos 6sin ,,0,2,7212ππi i i i --+ ）纯虚数）虚数；（是（为何值时，复数当且练习：已知复数21,)()1(2z m R m i m i m z ∈+-+=