第24讲牛吃草问题
考点解读
1、考察范围：图示、图表或类推法解决问题。
2、考察重点：主要考察学生的分析能力。在变量中抓住两个不变量。
3、命题趋势：牛吃草问题难度比较大，历年考试出现的不是很多，但是对于训练数学思维
能力有重要的作用。
知识梳理
一、“牛吃草问题”涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间。难点在于随时间的增长，
草也在按均匀的速度增长，所以，草的总量不固定。
二、解“牛吃草问题”的主要依据：
①草每天的生长量不变；
②每头牛每天的吃草量不变；
③草的总量＝草场原有的草量＋新生长出的草量。（草场原有草量是一个固定值）
④新生的草量＝草每天的生长量×天数
三、同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：
①设定1头牛1天的吃草量为“1”；
②草的生长速度＝（对应牛的头数×较多天数－对应牛的头数×较少天数）÷（较多天数－较少天数）；
③原来的草量＝对应牛的头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；
④吃的天数＝原来的草量÷（牛的头数－草的生长速度）；
⑤牛的头数＝原来的草量÷吃的天数＋草的生长速度。
“牛吃草问题”有很多的变型，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃
草问题”的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题。
典例剖析
【例1】一片草地以均匀的速度增长，10头牛可以吃40天，15头牛可以吃20天，那么25头牛可以吃多少天？
【变式练习】
1、一片草地以均匀的速度增长，27头牛可以吃6周，23头牛可以吃9周，那么21头牛可以吃多少周？
2、某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多，从开始检票到等
候检票的的队伍消失，同时开4个检票口需要30分钟，同时开5个检票口需要20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需要多少分钟？
【例2】一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内，如果10人淘水，3消失淘完；如果5人淘水，8小时淘完。如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？
【变式练习】
1、一艘船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏水时已经进了一些水。如果12人舀水，3小时舀完，如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完。现在想要2小时把水舀完，需要多少人？
2、有一口水井，连续不断地涌出泉水，每分钟涌出的水量相等。如果用3台抽水机来抽水，36分钟可以抽完；如果用5台抽水机，20分钟可以抽完。现在12分钟要把水抽完，需要几台抽水机？
3、某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多，从开始检票到等候
检票的队伍消失，若同时开5个检票口则需要30分钟，若同时开6个检票口则需要20分钟，如果要使队伍10分钟消失，那么需要同时开几个检票口？
【例3】有一片牧场上面的草每天均匀生长。它可以供9头牛吃12天，或者供8头牛吃16天。如果开始只有4头牛吃，从第7天开始，又增加了若干头牛，再用6天吃完所以的草。那么增加了多少头牛？
【变式练习】
1、有一片草地，可供8只羊吃20天，或供14只羊吃10天，假设草每天的生长速度不变，现在有羊若干只，吃了4天后又增加了6只，这样又吃了2天，便将草吃完，问原来有羊多
少只？
2、公司里有一台自动售货机为员工提供可乐，每天有专人负责补充可乐，且每天补充可乐的数量是相同的，如果公司有5个员工，那么30天后售货机内的可乐正好卖完，如果公司
有6个员工，那么20天后售货机内的可乐正好卖完。已知每个员工每天买的可乐数量是相
同的，如果4个员工买了30天后，又新招入2个员工，那么所有的可乐再过几天刚好卖完？
【例4】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定速度在减少。已知某
块草地上的草可供20头牛吃5天，或供15头牛吃6天，照此计算，可供多少头牛吃10天？
【变式练习】
1、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定速度在减少。已知某块草地
上的草可供20头牛吃5天，或供16头牛吃6天，照此计算，可供11头牛吃几天？
2、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定速度在减少。已知某块草地
上的草可供33头牛吃5天，或供24头牛吃6天，照此计算，这块草地可供多少头牛吃10天？
【例5】两个顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走。在20秒钟里，男孩可以走27级台阶，女孩可以走24级台阶，男孩走了2分钟到达另一端，女孩走了3分钟到达另一端，该扶梯
共有多少级台阶？
【变式练习】
1、自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼，已知男孩
每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？
2、两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶逃向井底。白天往下爬，一只每个白天爬20分米，另一只每个白天爬15分米。黑夜里往下滑，两只蜗牛下滑速度相同。结果一只蜗牛
恰好用5个昼夜达到井底，另一只蜗牛恰好用6个昼夜到达井底。那么，井深多少米？
【例6】75头牛12天啃完一块60亩地的草，而81头牛15天啃完一块72亩地的草，那么18天啃完96亩草需要多少头牛？
【变式练习】
1、有三块草地，面积分别为5公顷、6公顷、8公顷，草地上的草一样厚，而且生长速
度一样快。第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天，问第三块草地可供19头牛吃多少天？
课后精练
A、温故知新
1、牧场上有一片草地，每天牧草都匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，或者供15头吃10天，那么可供25头牛吃几天？
2、有一水池，池底有泉水不断涌出。用10部抽水机20小时可以把水抽干，用15部相同的抽水机10小时可以把水抽干。那么用25部这样的抽水机多少小时把水抽干？
3、一个牧场，草每天匀速生长，每头牛每天吃的草量相同，17头牛30天可以把草吃完，19头牛只需24天就可以把草吃完，现有一群牛，吃了6天后，卖掉其中4头牛，余下的牛再吃2天恰好把草吃完。问原来这群牛有多少头？
4、由于天气渐冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少，经过计算现有牧场上的草可供20头牛吃5天，或者12头牛吃7天，那么6头牛可以吃几天？
5、自动扶梯以均匀的速度自下而上行驶着，小明和小红要从扶梯上楼，已知小明每分钟走
25级台阶，小红每分钟走20级台阶，结果小明用5分钟，小红用6分钟分别到达楼上。问该扶梯共有多少级台阶？
B、拓展提升
1、有一个长方形的水箱，上面有一个注水孔，底面有一个出水孔，两孔同时打开后，如果
每小时注水30立方米，7小时可以注满水箱；如果每小时注水45立方米，注满水箱可以少用2.5小时。那么每小时由底面小孔排出多少立方米的水？（每小时排水量相同）
2、快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路去追赶前面的一个骑车人。这三辆
车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人，现在知道快车每小时行24千米，中车每小时行20千米，那么慢车每小时行多少千米？
3、有三块草地，面积分别是5亩、15亩、24亩，草地上的草一样厚，而且生长速度一样快，第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块草地可供多少头牛吃80天？