四川省成都七中2021届高三数学上学期入学考试试题 文
考试时间:120分钟 总分:150分
一、选择题(每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求.把答案涂在答题卷上.)
1.已知集合(){},21A x y y x ==-,(){}2
,B x y y x ==,则A
B =( )
A .?
B .{}1
C .(){}
1,1
D .(){}
1,1-
2
.复数z = )
A .1
B
C .2
D
3.已知命题():,0p x ?∈-∞,23x x <;命题:0,2q x π?
?
?∈ ??
?
,sin x x <,
则下列命题为真命题的是( ) A .p q ∧
B .()p q ∨?
C .()p q ?∧
D .()p q ∧?
4.抛物线2
:4C y x =的焦点为F ,点A 在抛物线上,且点A 到直线3x =-的距离是线段AF 长度的2倍,则线段AF 的长度为( ) A .1
B .2
C .3
D .4
5.一组数据的平均数是4.8,方差是3.6,若将这组数据中的每一个数据都加上60,得到一组新数据,则所得新数据的平均数和方差分别是( ) A .55.2,3.6 B .55.2,56.4
C .64.8,63.6
D .64.8,3.6
6.设2
3
23a ??=
???,23
13b ??= ???,13
13c ??
= ???
,则a ,b ,c 的大小关系是( )
A .a b c >>
B .a c b >>
C .c a b >>
D .b c a >>
7.若α,β为锐角,且满足4cos 5α=,()5cos 13
αβ+=,则sin β的值为( ) A .1665
-
B .
3365
C .5665
D .6365
8.要做一个圆锥形漏斗,其母线为20,要使其体积最大,则其高为( ) A
.
3
B .100
C .20
D .
203
9.一空间几何体的三视图如图,则该几何体的体积可能为( )
A .12
π
+
B .22
π
+
C .1π+
D .2π+
10.已知数列{}n a 满足1
32n n a -=?,*n ∈N ,现将该数列按下图规律排成蛇形数阵(第i 行有i 个数,
*i ∈N )
,从左至右第i 行第j 个数记为(),i j a (i ,*
j ∈N 且j i ≤),则()21,20a =( ).
A .21132?
B .21232?
C .23032?
D .23132?
11.已知函数()()sin f x x ω?=+,其中0ω>,0?π<<,()4f x f π??≤ ???恒成立,且()f x 在区间0,4π??
???
上恰有两个零点,则ω的取值范围是( ) A .()6,10
B .()6,8
C .()8,10
D .()6,12
12.己知函数()212ln x f x x -=
的定义域为10,e ?? ???,若对任意的1x ,210,x e ??
∈ ???
,()()()
121222
1212
f x f x m x x x x x x -+>-恒成立,则实数m 的取值范围为( ) A .(],3-∞
B .(],4-∞
C .(],5-∞
D .(],6-∞
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷的横线上.)
13.在空间直角坐标系O xyz -中,记点()1,2,3A 在xOz 平面内的正投影为点B ,则OB =________.
14.已知x ,y 满足2
2x y x x y ≤??
≤??+≥?
,则2z x y =-+的最大值为________.
15.在ABC △中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,且
cos cos 2B b
C a c
=-
+,若13b =,4a c +=,
则a的值为________.
16.已知椭圆
22
22
:1
x y
a b
Γ+=与双曲线
22
22
:1
x y
m n
Ω-=共焦点,
1
F、
2
F分别为左、右焦点,曲线Γ与Ω在
第一象限交点为P,且离心率之积为1.若
1212
sin2sin
F PF PF F
∠=∠,则该双曲线的离心率为________.三、解答题(共70分,22与23题二选一,各10分,其余大题均为12分)
17.(本题12分)设数列{}n a的前n项和为n S,且1
a=,
1
21
n n
a S
+
=+,数列{}n b满足11
a b
=,点
()
1
,
n n
P b b
+
在直线20
x y
-+=上,*
n∈N.
(Ⅰ)求数列{}n a,{}n b的通项公式;
(Ⅱ)设n
n
n
b
c
a
=,求数列{}n c的前n项和n T.
18.
(本题12分)如图,四棱锥P ABCD
-中,平面PDC⊥底面ABCD,PDC
△是等边三角形,底面ABCD 为梯形,且60
DAB
∠=?,AB CD,22
DC AD AB
===.
(Ⅰ)证明:BD PC
⊥;
(Ⅱ)求A到平面PBD的距离.
19.某厂生产不同规格的一种产品,根据检测标准,其合格产品的质量()g
y与尺寸()
mm
x之间近似满足关系式b
y c x
=?(b,c为大于0的常数).按照某指标测定,当产品质量与尺寸的比在区间(0.302,0.388)内时为优等品.现随机抽取6件合格产品,测得数据如下:
尺寸()
mm
x38 48 58 68 78 88
质量()g
y16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5
质量与尺寸的比
y
x
0.44
2
0.39
2
0.35
7
0.32
9
0.30
8
0.29
(1)现从抽取的6件合格产品中再任选2件,求选中的2件均为优等品的概率;
(2)根据测得数据作了初步处理,得相关统计量的值如下表:
()6
1
ln ln i
i
i x y =?∑
(
)6
1
ln i
i x =∑
()6
1
ln i
i y =∑
()
6
2
1
ln i
i x =∑
75.3 24.6 18.3 101.4
根据所给统计量,求y 关于x 的回归方程. 附:对于样本()(),1,2,
,6i i v u i =,其回归直线u b v a =?+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
()()()
1
12
2
21
1
n
n
i
i
i i i i n
n
i
i
i i v v u u v u nvu
b v v v
nv
====---=
=
--∑∑∑∑,a u bv =-, 2.7183e ≈.
20.(本题12分)设函数()()24143x
f x ax a x a e ??=-+++??.
(1)若曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线与x 轴平行,求a ; (2)若()f x 在2x =处取得极小值,求a 的取值范围.
21.(本题12分)如图,设椭圆()22
2210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,点D 在椭圆上,
112DF F F ⊥,
121
22F F DF =,12DF F △的面积为
2
2
.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)是否存在圆心在y 轴上的圆,使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求圆的方程,若不存在,请说明理由. (22题与23题为选做题,二选一)
22.(本题10分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为22114x t t
y t t ?=+????=+-??
(t 为参数).
(1)求曲线C 的普通方程;
(2)以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为6
π
θ=,()ρ∈R ,直线l
与曲线C 交于A ,B 两点,求线段AB 的长度AB . 23.(本题10分)已知函数()11
44
f x x x =-++,M 为不等式()2f x ≤的解集. (1)求M ;
(2)证明:当a ,b M ∈
时,a b ≥-.
成都七中2021-2021度上期2021届高三入学考试
数学试卷(理科)答案
1-5:CBCBD 6-10:BBABA 11-12:AB 13
.1- 15.1或3 16
17.【答案】(Ⅰ)1
321n n n a b n -==- (Ⅱ)1
1
33n n n T -+=-
【解析】(1)由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥,两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥. 又21213a S =+=,所以213a a =.
故{}n a 是首项为1,公比为3的等比数列.所以1
3n n a -=.
由点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上,所以12n n b b +-=.
则数列{}n b 是首项为1,公差为2的等差数列.则()11221n b n n =+-?=-. (Ⅱ)因为1213n n n n b n c a --==,所以0121
13521
333
3
n n n T --=++++
. 则123
113521
33333n n
n T -=
++++
, 两式相减得:
212222211333
33n n n
n T --=++++-1
1113321121313
n n n -????
-?? ???-????=+?
--1121233n n n --??=-- ???
∴211
1211
3323233n n n n n n T ----+=-
-=-
?? 18.【答案】(Ⅰ)见解析; (Ⅱ)3
2
h =
. 【解析】(Ⅰ)由余弦定理得2
2
12212cos603BD =+-???=, ∴222BD AB AD +=,∴90ABD ∠=?,BD AB ⊥,∵AB DC ,∴BD DC ⊥.
又平面PDC ⊥底面ABCD ,平面PDC
底面ABCD DC =,BD ?底面ABCD ,
∴BD ⊥平面PDC ,
又PC ?平面PDC ,∴BD PC ⊥. (Ⅱ)设A 到平面PBD 的距离为h .
取DC 中点Q ,连结PQ ,∵PDC △是等边三角形,∴PQ DC ⊥. 又平面PDC ⊥底面ABCD ,平面PDC 底面ABCD DC =,PQ ?平面PDC ,
∴PQ ⊥底面ABCD ,且3PQ =
由(Ⅰ)知BD ⊥平面PDC ,又PD ?平面PDC ,∴BD PD ⊥. ∴A PBD P ABD V V --=,即11
11
321333232
h ??=?? 解得3h =
19.【答案】(1)
15
;(2)0.5
y ex =. 【解析】由已知,优等品的质量与尺寸的比
()0.302,0.388y
x
∈ 则随机抽取的6件合格产品中,有3件为优等品,记为a ,b ,c ,
有3件为非优等品,记为d ,e ,f ,
现从抽取的6件合格产品中再任选2件,基本事件为:
(),a b ,(),a c ,(),a d ,(),a e ,(),a f ,(),b c ,(),b d ,(),b e ,(),b f ,(),c d ,(),c e ,(),c f ,(),d e ,(),d f ,(),e f ,
选中的两件均为优等品的事件为(),a b ,(),a c ,(),b c , 所求概率为
31155
=. (Ⅱ)对b
y c x =?两边取自然对数得ln ln ln y c b x =+ 令ln i i v x =,ln i i u y =,则u b v a =?+,且ln a c = 由所给统计量及最小二乘估计公式有:
1122
21
75.324.618.360.271
101.424.660.542
n
i i n
i
i v u nuv
b v
nv
==--?÷=
=
==-÷-∑∑
118.324.6216
a u bv ??
-? ?
??=-=
=,
由ln a c =得c e =,
所以y 关于x 的回归方程为0.5
y ex
=.
20.【答案】(1)a 的值为1;(2)a 的取值范围是1,2??
+∞
???
. 【解析】(1)因为()()24143x
f x ax a x a e ??=-+++??,
所以()()()()22414143x x
f x ax a e ax a x a e x '??=-++-+++∈??????R ()2212x
ax a x e ??=-++??.
()()11f a e '=-.
由题设知()10f '=,即()10a e -=,解得1a =.此时()130f e =≠. 所以a 的值为1.
注:没验证()130f e =≠要酌情扣分
(2)由(1)得()()()()221212x x
f x ax a x e ax x e '??=-++=--??.
若12a >
,则当1,2x a ??
∈ ???
时,()0f x '<;当()2,x ∈+∞时,()0f x '>. 所以()0f x <在2x =处取得极小值. 若12a ≤
,则当()0,2x ∈时,20x -<,1
1102
ax x -≤-<,所以()0f x '>. 所以2不是()f x 的极小值点. 综上可知,a 的取值范围是1,2??
+∞
???
. 21.【答案】(1)2212x y +=;(2)存在满足条件的圆,其方程为2
253239x y ??+-= ??
?. 【解析】(1)设()1,0F c -,()2,0F c ,其中222
c a b =-,
由
121
22F F DF =得1212
2
22
F F DF c =
=
从而122112122222
DF F S DF F F c =
?==△,故1c =. 从而122DF =
,由112DF F F ⊥得222
211292
DF DF F F =+=,因此2322DF =. 所以12222a DF DF =+=,故2a =
,2221b a c =-=
因此,所求椭圆的标准方程为:2
212
x y +=
(2)如图,设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆2
212x y +=相交,()111,P x y ,()222,P x y 是两个交点,10y >,20y >,11F P ,22F P 是圆C 的切线,且1122F P F P ⊥由圆和椭圆的对称性,易知21x x =-,12y y =
1212PP x =.
由(1)知()11,0F -,()21
,0F ,所以()11111,F P x y =+,()22111,F P x y =--,再由1122F P F P ⊥ 得()2
211
10x y -++=,由椭圆方程得()22
11112
x x -=+,即211340x x +=, 解得14
3
x =-
或10x = 当10x =时,1P ,2P 重合,此时题设要求的圆不存在. 当14
3
x =-
时,过1P ,2P 分别与11F P ,22F P 垂直的直线的交点即为圆心C ,设()00,C y 由111CP F P ⊥,得
1011111y y y x x -?=-+,而11113y x =+=,故05
3
y = 圆C
的半径1CP == 综上,存在满足条件的圆,其方程为:2
253239x y ?
?+-= ??
?.
22.【答案】(1)2
6y x =-(2x ≤-或2x ≥);(2
. 【解析】(1)曲线C 的参数方程为221,14,
x t t
y t t ?=+????=+-??
①②(t 为参数),
将①式两边平方,得222
1
2x t t =+
+③, ③-②,得2
6x y -=,即2
6y x =-,
因为112x t t t t =+
=+≥=,当且仅当1t t =,
即1t =±时取“=”,
所以2x ≥,即2x ≤-或2x ≥,
所以曲线C 的普通方程为2
6y x =-(2x ≤-或2x ≥).
(2)因为曲线C 的直角坐标系方程为2
6y x =-(2x ≤-或2x ≥), 所以把cos sin x y ρθρθ
=??
=?代入得:22
sin cos 6ρθρθ=-,()cos 2ρθ≥,
则曲线C 的极坐标方程为2
2
sin cos 6ρθρθ=-,()
cos 2ρθ≥
设A ,B 的极坐标分别为1,6A πρ?? ???,2,6B πρ?
? ???,由226
sin cos 6
πθρθρθ?=???=-? 得22
sin
cos 66
6
π
π
ρρ=-,即232240ρρ--=
,且ρ≥
因为44324473?=+??=?
,∴ρ=
ρ=,
满足3ρ≥
,不妨设113ρ-=
,213
ρ=
所以12AB ρρ=-=
注:没考虑3
ρ≥
要酌情扣分 23.【解析】(1)()12,,411111
,,44244
12,4x x f x x x x x x ?
-≤-??
?=-++=-<??
≥??
所以不等式的解集为[]1,1M =-.
(2
)要证a b -
,只需证a b ≥-,
即证()2
41ab a b -≥-,只需证22442ab a ab b -≥-+,即22
42a ab b ≥++,
即证()2
4a b ≥+,只需证2a b ≥+ 因为a ,b M ∈,所以2a b +≤, 所以所证不等式成立.