参考书：
线性代数(第二版) 居余马 清华大学出版社
概要&总结 一、线性代数的基础内容：
1、行列式——行列式的定义及计算性质(7条)，克莱姆法则；
2、矩阵——运算(包括相等、加法、数乘；转置，乘法，逆)；矩阵的行列式、伴随矩阵；初等变换(包括行、列变换及与矩阵乘法的关系，求逆等)；行等价标准形(行阶梯形、行简化阶梯形)及标准形；矩阵的秩；分块矩阵
例1：设A 是m n ?矩阵，设B 是n m ?矩阵，且AB E =，其中E 是m 阶单位矩阵，则： ()()()
; ()(),(); ()(),(); ()(A r A r B m B r A m r B n C r A n r B m D r A r B n
======== 3、向量——线性组合、表示、相关性；秩及极大无关组
例2：设123(1,2,1,0),(1,0,2),(2,1)
T
T
T
a ααα=-==，若123,,ααα形成的向量组为2，
则___a = 特别的，除理解概念外，尽可能深刻的理解初等变换在解决矩阵相关问题中的作用；初等变换与矩
阵乘积运算的关系；矩阵的秩与向量组的秩之间的关系；如何借助矩阵的初等行变换去求向量组的秩及其极大无关组
二、线性代数的应用性内容
1、线性方程组求解：i)齐次的0Ax =，讨论有不全为零解的条件，解的性质和基础解系(不唯一)—格式化的求基础解系的步骤；ii)非齐次的Ax b =，讨论有解的条件(唯一解、无穷多解)，解的性质和结构—格式化的解题步骤
例3：设11010,1111a A b λλλ???? ? ?
=-= ? ? ? ?????
，已知线性方程组AX b =存在两个不同的解。
(I)求,a λ；(II)求AX b =的通解
2、向量空间：基、坐标、过渡矩阵、坐标变换公式；特殊的基，自然基和标准正交基及施密特正交化
方法；正交矩阵
3、特征值特征向量：i)特征值、特征向量——格式化的求解步骤，关键是在理解这组概念及其性质；ii)矩阵对角化：矩阵可对角化的条件；特征向量的性质；相似矩阵
iii)实对称矩阵正交对角化：实对称矩阵特征值特征向量的性质(特征值都为实数，属于不同特征值的特征向量正交)——格式化的对角化步骤
例4：设A 是四阶实对称矩阵，且2
0A A +=，若()3r A =则A 相似于：
11111111();();();()11110000A B C D -????????
? ? ? ?
-- ? ? ? ? ? ? ? ?--- ? ? ? ?
????????
4、二次型：i)二次型与对称矩阵的关系
ii) 利用正交变换的方法化二次型为标准型相当于实对称矩阵的正交对角化；配方法化二次型为标准形；合同矩阵(与等价、相似的关系)
iii)二次型的规范形与惯性定理：正惯性指数与负惯性指数唯一确定
iv)正定二次型与正定矩阵：如何判别？——四个等价的条件(正定；正惯性指数为n ；存在P 使
T P P A =；所有特征值大于零)
例5：设二次型123(,,)T f x x x x Ax =在正交变换x Qy =下的标准形为22
12y y +，且Q
的第三列为
)22
T 。(I)求A ；(II)证明A E +为正定矩阵 【注】另例：设三阶实对称矩阵A 的特征值12311,2,2,(1,1,1)T
λλλα===-=-是A 属于1λ的一个特
征向量。记534B A A E =-+，其中E 为三阶单位矩阵 (I)验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值和特征向量；(II)求矩阵B 。
第一章 行列式
关键字：行列式的概念和基本性质 行列式按行（列）展开定理 克莱默法则
一、1．行列式定义及相关概念：(这是行列式的递推法定义)由2
n 个数(,1,2,
,)ij a i j n =组成的n 阶行
列式111212122212
n n n n nn
a a a a a a D a a a =
是一个算式，特别当1n =时，定义1111||D a a ==；当2,n ≥时
1111121211111
n
n n j j j D a A a A a A a A ==++
+=∑，其中111(1)j j j A M +=-，1j M 是D 中去掉第1行第j 列
全部元素后按照原顺序拍成的1n -阶行列式，称为元素1j a 的余子式，1j A 为元素1j a 的代数余子式。
D 中1122,,,nn a a a 所在的对角线称为行列式的主对角线，相应的元素为主对角元。另一条对角线称为
副对角线
例1：计算n 阶下三角行列式的值 2．n 阶行列式的性质
a)行列式的行与列(按原顺序)互换，其值不变；
b)行列式对任一行按下式展开，其值相等，即11221
n
i i i i in in ij ij j D a A a A a A a A ==++
+=∑ ， 其中
(1)i j ij ij A M +=-，ij M 是D 中去掉第i 行第j 列全部元素后按照原顺序排成的1n -阶行列式，称为元
素ij a 的余子式，ij A 为元素ij a 的代数余子式；
c)线性性质——加法和数乘；
推论：某行元素全为零的行列式其值为0 d)行列式中两行对应元素全相等，其值为0； 推论：行列式中两行对应成比例，其值为0
e)在行列式中，把某行各元素分别乘非零常数，再加到另一行的对应元素上，行列式值不变；
f)行列式的两行互换，行列式的值反号
g)行列式的某一行元素乘另一行对应元素的代数余子式之和为0。
3．计算行列式，利用行列式的性质。(需要记住范德蒙行列式和反对称行列式的值)
计算经验总结：利用行列式性质定义与性质，化成三角阵(习惯上化成上三角阵)，或按零元素最多的行或列按定义展开等等
二、定理(克莱默法则)设线性非齐次方程组
1
(1,2,
,)n
ij j
i j a x
b i n ===∑，其系数行列式：
111212122212
0n n n n nn
a a a a a a D a a a =
≠，这方程组有唯一解(1,2,
,)j j D x j n D
=
=。其中j D 是用常数项
12,,
,n b b b 替换D 中第j 列所成的行列式。
推论：若齐次线性方程组
1
0 (1,2,,)n
ij j
j a x
i n ===∑的系数行列式0D ≠，则方程组只有零解，
0(1,2,
,)
j x j n == 例1：a)解方程组：123121
23258
3 9470
x x x x x x x x +-=??
-=??+-=?；b) λ在什么条件下，121200x x x x λλ+=??+=?有非零解？
第二章 矩阵
【关键字】 矩阵的概念 矩阵的线性运算 矩阵的乘法 方阵的幂 方阵乘积的行列式 矩阵的转置 逆矩阵的概念和性质 矩阵可逆的充分必要条件 伴随矩阵 矩阵的初等变换 初等矩阵 一、矩阵相关概念：数域F 中m n ?个数(1,2,
,;1,2,,)ij a i m n n ==排成m 行n 列，并扩以圆括弧
(或方括弧)的数表1112121
22212
n n n n nn a a a a a a a a a ?????
????
???
，称为数域F 上的m n ?矩阵，通常用大写字母记做,() (1,2,
,;1,2,
,)m n ij m n A A A a i m j n ??===或或，其中ij a 称为矩阵A 的第i 行第j 列元素。F R
=时为实矩阵，F C =时为复矩阵；m n ?个元素全为0的矩阵称为零矩阵；m n =时称A 为方阵(或为n
阶方阵)；线性方程组的未知元系数排成的矩阵A ，称为系数矩阵，若加上右端常数项排成的矩阵称为增广矩阵，记为(,)A b 。
【注】矩阵与行列式的区别：行列式D 是一个算式，是一个值；矩阵A 是一张表，当是方阵时可以计算其所对应的行列式值，称为矩阵的行列式，记为||A 或det()A 。若||0A =，称A 为奇异矩阵；若
||0A ≠，称A 为非奇异矩阵。
二、矩阵的基本运算：加法、数量乘法和乘法；转置；逆矩阵、初等行和列变换
1、1)如果两个矩阵()ij A a =和()ij B b =的行数和列数分别相等，且对应元素也相等，即
(1,2,
,;1,2,,)ij ij a b i m b n ===，就称A 和B 相等，记做A B =
2)加法：设()ij A a =和()m n ij B b F ?=∈，规定()ij ij A B a b +=+，并称A B +为A 和B 之和。 【注】i)两个矩阵可相加的条件是行数和列数均相同(同型矩阵)，且结果行数和列数也相同；
ii)矩阵加法满足以下运算律：交换率、结合律、存在零矩阵、存在负矩阵(由此定义减法) 3)数乘：设k 是数域F 中任意的一个数，()m n ij A a F ?=∈，规定()ij kA ka =
【注】i)矩阵数乘指k 乘A 的每一个元素ij a 按原来的次序排成的矩阵，区别于行列式kD ，若A 是n 阶方阵，则||||n
kA k A =；ii ）矩阵数乘满足以下运算律：1;()();A A kl A k lA ==
();k l A kA lA +=+()k A B kA kB +=+
4)乘法：设A 是一个m n ?矩阵，B 是一个n s ?矩阵，则A 和B 的乘积AB (记作()ij C c =)是一个m s ?矩阵，且11221
n
ij i j i j in nj ik kj k c a b a b a b a b ==++
+=∑，即C AB =的第i 行第j 列元素ij c 是A 第i 行n 个
元素与B 第j 列n 个元素分别相乘的乘积之和
【注】a)矩阵乘法满足：()();()()();();AB C A BC k AB kA B A kB A B C AB AC ===+=+
()B C A BA CA +=+；b)有了矩阵乘法，线性方程组可以写为：Ax b =
例2：a)AB 与BA 是否相等？一者不存在；AB 和BA 不同型；同型(方阵)但不相等等 b)若0AB =，能否推知0A =或0B =？逆否命题是什么？左零因子、右零因子 c)当0A ≠时，由AB AC =能否有B C =？当||0A ≠时，由AB AC =能否有B C =？ d)如果1
()2
A B E =
+，证明：2A A =当且仅当2B E = 5)特殊矩阵(方阵()ij n n A a ?=)：主对角元全为1，其余元素均为零时称为n 阶单位矩阵，记作n I 或I 或
E ；主对角元全为非零常数k ，其余元素全为零时称为n 阶数量矩阵，记作n kI 或kI 或kE ；非主对角
元皆为零时称为n 阶对角矩阵，记作12diag(,,,)n a a a Λ=；当i j >，0ij a = (1,2,
,1)j n =-时
称为上三角矩阵，当i j <，0ij a = (2,3,,)j n =时称为下三角矩阵
相关结论：a)m m n m n n m n I A A I A ???==； b)对角阵12diag(,,
,)n a a a Λ=左乘A 等于i a (1,2,
,)i n =乘以A 中第i 行的每一个元素，右乘A
等于i a (1,2,
,)i n =乘以A 中第i 列的每一个元素；
c)两个上(下)三角矩阵的乘积仍是上(下)三角矩阵；
d)设A 、B 是两个n 阶矩阵，则乘积AB 的行列式等于A 和B 行列式的乘积，即||||||AB A B = 2、1)矩阵的转置：把一个m n ?的矩阵n m A ?行和列互换得到一个n m ?的矩阵，称之为A 的转置矩阵，
记做T A 或'()T ji n m A a ?=，其中T
ji ij a a =。转置满足如下运算：
();T T
A A = ()T
T
T
A B A B +=+；();()T T T T T kA kA AB B A ==
2)设矩阵()ij n n A a ?=，若(
,1,,)i j j i a a i j n ==，则称A 为对称矩阵；若ij ji a a =- (,1,
,)i j n =，
则称A 为反对称矩阵。
3) A 为对称矩阵的充要条件是T A A =；A 为反对称矩阵的充要条件是T A A =- 例3：a)设A 和B 均为对称阵，证明：AB 对称的充要条件是AB 可交换； b)证明如果A 是实对称矩阵，且2
0A =，那么0A =
3、可逆矩阵：矩阵可逆的条件是什么？可逆矩阵怎么求？(伴随矩阵，初等行变换)
1)逆矩阵：对于矩阵n n A F ?∈，如果存在矩阵n n B F ?∈使得AB BA I ==，就称A 为可逆矩阵(简称A 可逆)，并称B 是A 的逆矩阵，记作1A B -=。同样对于存在的B ，其也可逆，且A 是B 的逆矩阵；
A 和
B 互为逆矩阵。
2)若A 是可逆矩阵，则A 的逆矩阵是唯一的
3)伴随矩阵：设n 阶矩阵()ij n n A a ?=，ij A 是行列式det A 中元素ij a 的代数余子式，称cof ()ij n n
A A ?=为A 的代数余子式矩阵，并称cof A 的转置矩阵为A 的伴随矩阵，记作adj A 或*
A ，即*
(cof )T
A A =
4)(利用伴随矩阵求逆矩阵)矩阵A 可逆的充分必要条件是0A ≠，且1
*
1||
A
A A -=
5)可逆矩阵满足运算率：a) 11
()
A A --=; b)111()(0)kA k A k ---=≠; c) 111()A
B B A ---=; d)
11()()T T A A --=; e) 1det()1/det A A -=，即11||||A A --=
例4：a)设矩阵12
3
111(0);;221311a a b A ad bc A a A c d a -?
???
??
????=-≠==???
?????????????
，求1A -； b)设A 是n n ?矩阵，证明：存在非零矩阵B 使0AB =的必要条件是||0A =(充分也成立) c)设方阵A 满足2
230A A I +-=，证明：i)A 和2A I +都可逆，求出它们的逆；ii)3A I +和A I -不同时可逆；
d)设A 和B 都是n 矩阵，下列命题是否成立？若成立则证明，不成立，举出反例 (i)若A ，B 皆不可逆，则A B +也不可逆；(ii)若AB 可逆，则A ，B 都可逆； (iii) 若AB 不可逆，则A ，B 都不可逆；(iv)若A 可逆，则kA 可逆(k 是数) 4、矩阵的初等变换和初等矩阵
1)初等行变换：以非零常数c 乘矩阵的某一行——倍乘变换；将矩阵的某一行乘以常数c 加到另一行——倍加变换；将矩阵的某两行对换位置——对换变换。类似的有初等列变换，初等行变换和初等列变换统称为初等变换。
2)初等变换矩阵：将单位矩阵做一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵。 a)初等倍乘矩阵()diag(1,
,1,,1,
,1)i E c c =，()i E c 是由单位阵第i 行(或列)乘c (0c ≠)得到
b)初等倍加矩阵11()1
1ij i E c c
j ?????????
?
=?
??????????
?
行行，()ij E c 是由单位矩阵第i 行乘c 加到第j 行得到的，第j 列乘c 加到第i 列得到的；
c)初等对换矩阵ij E 是由单位矩阵第i ，j 行(或列)对换而得到的
3)结论：a ）初等矩阵左乘矩阵A ，相当于做相应的行变换；右乘矩阵B ，相当于做列变换 b)初等矩阵是可逆阵，且有(1/)();()();i i ij ij ij ij E c E c I E c E c I E E I =-==
c)可逆矩阵可以经过若干次初等行变化化为单位矩阵，可逆矩阵A 可以表示为若干个初等矩阵的乘积；如果对可逆矩阵A 和同阶的单位阵I 做同样的初等变换，当A 变为单位阵时I 变为1
A -，即
1(,)(,)A I I A -????→初等行变换
例5：用初等行变换求逆矩阵：231120122A -??
??=????--??
第三章 线性方程组
【关键词】向量的概念 向量的线性组合与线性表示 向量组的线性相关与线性无关 向量组的极大线性无关组 等价向量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 矩阵的秩 初等变换与矩阵的秩的关系 矩阵运算(加法、数乘)与矩阵的秩之间的关系 等价矩阵 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 非齐次线性方程组有解的充分必要条件 线性方程组解的性质和解的结构 齐次线性方程组的基础解系和通解 非齐次线性方程组的通解 克莱姆法则(已学) 解空间
此章有三块紧密相连的知识：向量、矩阵的秩和线性方程组 一、n 维向量及其线性相关性
1、1)n 元(维)向量：数域F 上n 个数12,,
,n a a a 构成的有序数组，记做12(,,,) or n a a a α=
12 (,,
,)T n a a a ，分别称为行向量和列向量，其中i a 称为α的第i 个分量，全体n 元向量的集合记为n F
2)向量的运算：两向量相等当且仅当对应元素全相等；和为对应元素相加；数乘为各元素都乘上数k 。 【注】n 维行、列向量事实上可以看做F 上1n ?和1n ?矩阵，适用矩阵的运算和运算性质；矩阵的行、
列可分别看成对应维数的行、列向量
3)向量空间：F 上全体n 维向量集合，在其上定义了加法和数乘，称为F 上的n 维向量空间，仍记n F ，当为实数域R 时为n 维实向量空间记为n R 2、1)线性组合：设,(1,2,
,)n
i i F k F i m α∈∈=，则向量11221m
i i m m i k k k k αααα==++
+∑称为向量
组12,,
,m ααα在数域F 上的一个线性组合。如果记1
m
i i i k βα==∑，就说β可由12,,
,m ααα线性表示
例1：123,,ααα均为三维列向量，记矩阵123(,,),A ααα= 123123(,24,B αααααα=++++
12339)ααα++。如果||1A =，那么||B =_________
2)线性相关：如果对m 个向量12,,
,n m F ααα∈，有m 个不全为零的数12,,,m k k k F ∈，使
11220m m n k k k ααα+++=成立，则称12,,,m ααα线性相关；否则，称为线性无关。
3)充要条件：向量组12,,,(2)m m ααα≥线性相关的充要条件是12,,
,m ααα中至少有一个向量可由
其余的1m -个向量线性表示。 【注】i)逆否命题：向量组12,,,(2)m m ααα≥线性无关的充要条件是12,,,m ααα中任一个向量都
不能由其余的1m -个向量线性表示 ii)n 维单位(基本)向量：n 维向量12,,,n εεε称为n 维单位向量；任一个n 维向量1(,
,)n a a α=都可表示为向量组12,,
,n εεε的一个线性组合1122n n a a a αεεε=++
，其中(0,
,0,1,0,
,0)i ε=(1在
第i 个位置，其余位置均为0)。
iii)零向量是任一向量组的线性组合，所以任一含零向量的向量组总是线性相关 4)向量相关与方程组的关系：设12(,,
,)T n i i i ni a a a F α=∈(1,2,,i m =)，则12,,
,m ααα线性相关
的充要条件是齐次方程组0Ax =有非零解，其中11
12121
22212
12(,,
,)m m n n nm m a a a a
a a a a a A ααα??
????==??????，12
m x x x x =????????????
【注】 i)逆否命题：12,,,m ααα线性无关的充要条件是0Ax =只有零解；ii)如果n m <，由高斯消
元法知线性方程组必有自由未知量，即必有非零解；任何1n +个n 维向量都是线性相关的；n
R 中，任
何一组线性无关的向量最多只能含n 个向量 5)向量组扩充的相关性质：i) 如果向量组12,,
,m ααα中有一部分向量线性相关，则整个向量组也线性
相关；整个向量组线性无关，则部分向量组也线性无关 ii ）若向量组12,,
,m ααα线性无关，而12,,,,m βααα线性相关，则β可由12,,,m ααα线性表示，
且表示法唯一；特别的，若n F 中的n 个向量12,,,n ααα线性无关，则n F 中的任一向量α可由
12,,,n ααα线性表示，且表示法唯一
iii)如果一个n 维向量组12,,,m ααα线性无关，那么把这些向量各任意添加l 个分量得到新的向量
(n l +维)组12*,*,
,*m ααα也是线性无关的；如果12,,
,m ααα是线性相关的，则去掉相同位置的若
干个分量所得到的新的向量组也是线性相关的。【齐次方程组的零解、非零解】 例2：设1
234(1,1,1);(1,2,0);(0,2,1);(1,3,5)αααα====-。a) 123,,ααα是否线性相关？b) 4α可
否由123,,ααα线性表出？如果可以，求出其表示式。
例3： 设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量线性相关的是：122331),,;A αααααα--- 122331122331122331),,;)2,2,2;)2,2,2B C D αααααααααααααααααα+++---+++
二、向量组的秩及其极大线性无关组 1、秩：如果向量组12,,
,m ααα中存在r 个线性无关的向量，且其中任一个向量都可由这r 个向量线
性表示，则数r 称为向量组的秩，记做 秩12{,,,}m r ααα=
【注】i)如果12,,
,m ααα线性无关，则 秩12{,,
,}m m ααα=；ii)秩为r 的向量组中，任意1r +个
向量是线性相关的；iii)秩的等价定义：若向量组中存在r 个线性无关的向量，且任何1r +向量都线性相关，则称数r 为向量组的秩 2、等价：如果向量组12,,
,l βββ中每个向量可由向量组12,,,m ααα线性表示，就称前一个向量组
可由后一个向量组线性表示。如果两个向量组可相互线性表示，则称这两个向量组是等价的 3、如果向量组12,,
,l βββ可由向量组12,,,m ααα线性表示，且l m >，则12,,,l βββ线性相关。
【注】如果向量组12,,,l βββ可由向量组12,,,m ααα线性表示，且12,,
,l βββ线性无关，则l m ≤
4、极大线性无关组：秩为r 的向量组中，任一个线性无关的部分组最多只能含有r 个线性无关的向量；
将只含有r 个线性无关向量的向量组，称为极大线性无关组。一般情况下，极大线性无关组不唯一。 【注】设 秩12{,,
,}m p ααα=，秩12{,,,}l q βββ=，如果12,,,l βββ可由12,,,m ααα线性
表示，则q p ≤；特别的等价的向量组，秩相等。
二、矩阵的秩、等价(相抵)标准形
1、矩阵的秩：对于矩阵A ，把它的每一行(列)称为A 的一个行(列)向量，把A 的行(列)向量组的秩称为
其行(列)秩；m n ?的矩阵A 的行秩m ≤；列秩n ≤；
2、初等变换与矩阵的秩：a)如果对矩阵A 做初等行变换将其化为B ，则B 的行秩等于A 的行秩； b)对矩阵A 做初等行变换化为B ，则A 与B 的任何对应的列向量组有相同的线性相关性，即： 1212
(,,
,)(,,,)n n A B αααξξξ=????→=初等行变换，则列向量组1
2
,,,r
i i i ααα与1
2
,,,r
i i i ξξξ 12(1)r i i i n ≤<<<≤有相同的线性相关性
例1：求极大线性无关组：设123(1,2,1,2)
,(2,1,2,1),
(0,1,2,0),T
T T ααα===4
(3,1,2,2),T
α= 5(2,0,1,3)T α=，试求向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余的向量用这个线性无关组表示
c)初等变换不改变矩阵的行秩和列秩；矩阵的行秩等于列秩，统称为矩阵A 的秩，记做()A 秩或()r A
例2：(用初等行变换求矩阵的秩)设1
10
223
11034301225231A -??
?
-
?
= ?
?
-??
，求()r A
d)()r A n =的n 阶矩阵也称为满秩矩阵；n 阶矩阵A 满秩的充要条件是A 为非奇异矩阵(即||0A ≠)；【矩阵可逆的充要条件是A 为满秩矩阵】
3、加法、乘法运算与矩阵的秩：a)()()()r A B r A r B +≤+； b)()min{(),()}r AB r A r B ≤ (I )
c)设A 是m n ?矩阵，,P Q 分别是m 阶、n 阶可逆矩阵，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ === 例3：设A 为n n ?矩阵，且2
A E =，那么()()r A E r A E n ++-= 4、子式及其与秩的关系：a)矩阵()ij m n A a ?=的任意k 个行(12,,
,k i i i 行)和任意k 个列(12,,,k j j j 列)
的交点上的2
k 个元素按照原顺序排成的k 阶行列式称为A 的k 阶子行列式，简称A 的k 阶子式；当k 阶子式等于零(不等于零)时，称为k 阶零子式(非零子式)；当1122,,,k k i j i j i j ===时，称为A 的k 阶
主子式
b) ()r A r =的充要条件是A 的非零子式最高阶数为r
例4： 设矩阵0
1000
010,00010000A ??
?
?= ?
?
??
则3
A 的秩为_____
5、矩阵的等价：a)若矩阵A 经过初等变换化为B (或：存在可逆矩阵P 和Q ，使得PAQ B =)，就称A 和B 等价，记作A B ?
b)矩阵等价的性质：i)反身性、对称性、传递性；ii)若A 为m n ?矩阵，且()r A r =，则一定存在可逆矩阵P (m 阶)和Q (n 阶)，使得000r m n
I PAQ U ???
==
???，其中r I 为r 阶单位矩阵，右端的矩阵称为等价标准形【秩相同的同型矩阵等价，且全都等价于同一标准形】
例5、设矩阵211121,112A --??
?=-- ? ?--??
求与A 等价的标准形
三、线性方程组Ax b =
1、齐次线性方程组(有非零解的条件和解的结构) ：0Ax =，A 为m n ?矩阵 a)将A 的列看成向量即12(,,
,)n A ααα=，因此0Ax =等价于11220n n x x x ααα+++=，于是
0Ax =有非零解的充要条件是12,,,n ααα线性相关，即()r A n <；特别的，若A 为方阵，||0A =
b)解的性质：若12,x x 是齐次方程组0Ax =的两个解向量，则1122x k x k x =+也是它的解 c)(i)基础解系：设12,,,p x x x 是0Ax =的解向量，如果12,,,p x x x 线性无关，0Ax =的任一个
解都能由12,,
,p x x x 线性表示，则称12,,,p x x x 是0Ax =的一个基础解系
(ii)解的存在与表示：设A 是m n ?矩阵，若()r A r n =<，则齐次方程组0Ax =存在基础解系，且基础解系含n r -个解向量；若记基础解系的n r -个解向量为12,,
,n r x x x -，则0Ax =的一般解为
1122n r n r x k x k x k x --=+++，其中12,,,n r k k k -为任意实数
例6：求齐次方程组0Ax =的基础解系，并写出一般解，其系数矩阵为110232*********A --??
?=- ? ?-??
例7： 设12,,
,s ααα为线性方程组0Ax =的一个基础解系，1112221223
,,t t t t βααβαα=+=+ 121,s s t t βαα=+，其中12,t t 为常数。试问12,t t 满足什么关系时，12,,
,s βββ也是0Ax =的基础解
系。
(iii)矩阵的乘法与秩的关系II ：设,A B 分别是m n ?和n s ?矩阵，且0AB =，则(
)()r A r B n +≤；特别的，()()T
r A A r A =
例8：证明：如果A 是n n ?矩阵(2n >)，那么, ()(*)1, ()10, ()1n r A n
r A r A n r A n =??
==-??<-?
2、非齐次线性方程组(有解的条件和解的结构) ：Ax b =，A 为m n ?矩阵
a) 将A 的列看成向量即12(,,,)n A ααα=，因此Ax b =等价于1122n n x x x b ααα++
+=，于是
Ax b =有解的充要条件是b 可由12,,,n ααα线性表示，即1212(,,
,,)(,,
,)n n r b r αααααα=
((,))()r A b r A =即【增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩】；特别的，((,))()r A b r A A ==的列数 时，
Ax b =有唯一解。
例9：求Ax b =的解，其中1101231,00213A b --???? ? ?== ? ? ? ?-????
b)解的性质(结构)：(i)若12,x x 是Ax b =的解向量，则12x x x =-是对应的齐次方程组0Ax =的解向量
(ii)若Ax b =有解，则一般解为0x x x =+，其中0x 是Ax b =的一个特解(某一个解)，x 是0Ax =的一般解1122,()n r n r x k x k x k x r r A --=++
+=
例10：求解非齐次线性方程组Ax b =的一般解，其中11023123111,0021123A b ---????
? ?=-= ? ? ? ?-????
例11： 设n 元方程组Ax b =，其中矩阵12
21221
0120
00,,002100020n n x a x a a
A x b x a x a a -??????
? ? ? ? ? ?
?
? ?=== ?
? ? ? ? ?
? ? ??
????
?。 (I) 证明行列式||(1)n
A n a =+；
(II)当a 为何值时，方程组有唯一解，并求1x ；
(III)当a 为何值时，方程组有无穷多解，并求通解
第四章 向量空间与线性变换
【关键词】向量空间及其相关概念 n 维向量空间的基变换和坐标变换 过渡矩阵 向量的内积 线性无关向量组的正交规范化方法 规范正交基 正交矩阵及其性质
一、什么是向量空间(前面已介绍：集合+线性运算)？如何刻画？ 1、n
R 的基与向量关于基的坐标：设有序向量组12{,,,},n n B R βββ=?如果B 线性无关，则n R 中
任一向量α均可由B 线性表示，即1122n n a a a αβββ=+++，就称B 是n R 的一组基(或基底)，有序
数组12(,,
,)n a a a 是向量α关于基B (在基B 下)的坐标，记做12(,,
,)B n a a a α=或
12(,,,)T B n a a a α=，并称之为α的坐标向量；特别的n 个单位向量组成的基称为自然基或标准基
例1：在4R 中，求向量(1,2,1,1)ξ=在基11234{,,,}B ξξξξ=和自然基下的坐标，其中1(1,1,1,1),ξ=
2(1,1,1,1),ξ=--3(1,1,1,1),ξ=-- 4(1,1,1,1)ξ=--下的坐标。(事实上为求解非齐次线性方程组解
的问题)
2、不同的基之间有什么关系？过渡矩阵，坐标变换公式
a) 设112{,,
,}n B ααα=是n R 的一组基，且111121212
121222
21122n n n n n n n nn n
a a a a a a a a a ηαααηαααηααα=+++??=+++????=++
+
?，则12,,,n ηηη线性
无关的充要条件是111212122
211
det 0,n n n n nn a a a a a a A A a a a ??
?
?
≠= ?
???
其中 b)将a)中12{,,
,}n ηηη与12{,,
,}n ααα的关系写成矩阵形式有1212(,,,)(,,,)n n A ηηηααα=，若
212{,,,}n
B ηηη=与112{,,,}n B ααα=均为n R 的基，则称A 为旧基1B 到新基2B 的过渡矩阵(或称
A 是基1
B 到基2B 的变换矩阵)。事实上，根据a)，A 的第j 列是j η在旧基1B 下的坐标
c)向量在不同基下的坐标关系：设向量α在两组基112{,,,}n B ααα=和212{,,,}n B ηηη=下的坐标
分量分别为12(,,
,)T n x x x x =和12(,,,)T n y y y y =。基1B 到基2B 的过渡矩阵为A ，则Ay x =或
1y A x -=
例2： 设123,,ααα是3维向量空间3
R 的一组基，则由基12311,,23
ααα到122331,,αααααα+++的过
渡矩阵是什么？
例3： 从2
R 的基1211,01αα????==???
?-????到1211,12ββ????
==????????
的过渡矩阵为______ 二、欧式空间、标准正交基和正交矩阵
1、什么是欧式空间？向量空间(向量集合+线性运算)+长度、角度度量(内积运算) 内积：设12(,,
,)T n a a a α=和12(,,,)T n n b b b R β=∈，规定α与β的内积为：
1122(,)n n a b a b a b αβ=+++。
a)当,αβ均为列向量，看成矩阵有(,)T
T
αβαββα==；若均为行向量类似。
b)性质：交换性(,)(,)αββα=；线性(加法、数乘)；非负性(,)0αα≥，等号成立当且仅当0α=
c)向量的长度
(,)ααα=；向量内积满足|(,)| αβαβ≤，称为柯西-施瓦茨不等式
d)向量,αβ之间的夹角定义为(,)
,arccos αβαβαβ
<>=；非零向量,αβ正交(垂直)的充要条
件是(,)0αβ=
2、特殊的基：标准正交基
a)n R 中两两正交且不含零向量的向量组(称为非零正交向量组) 12,,,s ααα是线性无关的
b)设12,,
,n
n R ααα∈，若1,,
(,),1,2,
,0,,i j i j i j n i j αα=?==?≠?
，则称12,,
,n ααα是n R 的一组标
准正交基，如单位向量组，或2
12(cos ,sin ),(sin ,cos )R αθθαθθ==-∈等等
c)非正交基如何化成标准正交基：施密特正交化方法。将n R 一组线性无关向量12,,,m ααα化为标
准正交向量组步骤：i)正交化：11;βα=11111111(,)(,)(2)(,)
(,)
j j j j j j j j j αβαββαββββββ----=-
-
-
≥
ii)单位化：1(1,2,,)||||
j j j j m ηββ=
=，12,,,m ηηη为一标准正交向量组(当m n =时为基)
例4：已知3R 的一组基122{,,}B ααα=，其中123(1,2,0);(2,1,0);(2,2,2)ααα===，试用施密特正交化方法从B 构造3
R 的一组标准正交基 3、正交矩阵及其性质：a)设n n
A R
?∈，如果T
A A I =，就称A 为正交矩阵；(以后二次型用)
b) A 为n 阶正交矩阵的充要条件是A 的列向量组为一组标准正交基；
c)设,A B 皆是n 阶正交矩阵，则有i)det 11A =-或；ii) 1T
A A -=；iii) 1
,T
A A -也是正交阵；iv) AB
也是正交阵
d)若列向量,n
x y R ∈在n 阶正交矩阵A 作用下变换为,n
Ax Ay R ∈则向量的内积、长度、夹角均不变，即(,)(,);||||||||;,,Ax Ay x y Ax x Ax Ay x y ==<>=<>
第五章 特征值与特征向量 矩阵对角化
【考点二】矩阵的特征值和特征向量的概念、性质 相似变换、相似矩阵的概念及性质
一、什么是矩阵的特征值和特征向量？怎么求(步骤)？有什么性质？
1、设A 为复数域C 上的n 阶矩阵，如果存在数C λ∈和非零的n 维向量ξ使得A ξλξ=，就称λ是矩阵A 的一个特征值，ξ是A 属于(或对应于)特征值λ的一个特征向量
2、如何求？根据定义特征值就是使得()0E A λξ-=有非零解的λ值，即满足det()0E A λ-=的λ是特征值；因此步骤为i) 求det()0E A λ-=的根12,,
,n λλλ(可能有重根)；ii)求每个特征根i λ所对应
方程组()0i E A λξ-=的非零解(基础解系)，即为特征值i λ所对应的特征向量。
事实上，称11
12
1212221
2
()det()n n
n n nn
a a a a a a f E A a a a λλλλλ------=-=
---为矩阵A 的特征多项式；E A
λ-为特征矩阵；det()0E A λ-=为特征方程
例5： 若3维列向量,αβ满足T αβ=2，其中T
α为α的转置，则矩阵T
βα的非零特征值为______ 例6： 设三阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3，向量12(1,2,1),(0,1,1)T T
αα=--=-是线性方程
组0Ax =的两个解。
(I)求A 的特征值和特征向量；(II)求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ使得T
Q AQ =Λ(后话)
例7： 设矩阵1
322010232,101,*223001A P B P A P -????????===????
????????
，求2B E +的特征值与特征向量，其中*A 为伴随矩阵，E 为单位矩阵
3、特征值和特征向量的性质
a)若12,ξξ都是A 的属于特征值0λ的特征向量，则1122k k ξξ+(12,k k 任意，但11220k k ξξ+≠)也是A 的属于0λ的特征向量
b)设n 阶矩阵()ij A a =的n 个特征值为12,,
,n λλλ，则i)
1
1
tr()(A )n n
i ii
i i a
A λ====∑∑的迹；
ii)
1
det n
i
i A λ
==∏
c)若λ是矩阵A 的特征值，ξ是A 的属于λ的特征向量，则i) k λ是kA 的特征值；ii) m
λ是m
A 的特征根；iii)当A 可逆时，1λ-是1
A -的特征根；且ξ仍是对应的特征向量
d)矩阵A 和T
A 的特征值相同，即det()det()T
E A E A λλ-=-
例8： 设三阶实对称矩阵A 的特征值12311,2,2,(1,1,1)T
λλλα===-=-是A 属于1λ的一个特征向
量。记53
4B A A E =-+，其中E 为三阶单位矩阵
(I)验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值和 特征向量(后话)； (II)求矩阵B (后话)
例9：设121242121A -????=-????--??
，求A 的特征值和特征向量，并求可逆矩阵P 使1P AP -为对角矩阵 结论：一般的，求可逆矩阵P 使1P AP -为对角矩阵的步骤为i) 求A 的特征值和特征向量；
ii ）将(1,,)i i i A i n ξλξ=
=(包括重根，如果存在的话)排成矩阵的形式12(,,,)n A ξξξ=
112(,,
,)n n λξξξλ??
???
?
???
?
，取12(,,
,)n P ξξξ=即可
二、相似矩阵及其性质(什么是相似矩阵？比较前面学的等价矩阵)
1、对于矩阵A 和B ，若存在可逆矩阵P ，使1P AP B -=，就称A 相似于B ，记作~A B
2、矩阵的相似关系也是一种等价关系，满足反身性、对称性、传递性
3、关于乘积的：i)111
1212P A A P P A PP A P ---=；ii)若~A B ，则~m m A B (m 为正整数)；
iii)若~A B ，则()~()f A f B ，其中1
110(),n n n n f x a x a x a x a --=++
++
11110110(),()n n n n n n n n f A a A a A a A a E f B a B a B a B a E ----=++++=++
++
4、相似矩阵的特征值相同，但是逆命题不成立
例10： 设,A B 为同阶方阵，i)如果,A B 相似，试证,A B 的特征多项式相同；
ii)举一个二阶方阵的例子说明i)的逆命题不成立；(过渡到后面的矩阵可对角化条件) iii)当,A B 均为实对称矩阵时，试证i)的逆命题成立(后话)
第五章 特征值与特征向量 矩阵对角化 第六章 二次型
【关键词】矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵 实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵 【关键词】二次型及其矩阵表示 合同变换与合同矩阵 二次型的秩 惯性定理 二次型的标准形和规范形 用正交变换和配方法化二次型为标准形 二次型及其矩阵的正定性(二次型问题本质上是对称矩阵的对角化问题，因此此处内容前后综合起来一起讲)
三、矩阵可对角化(与对角矩阵相似)的条件：n 阶矩阵有n 个线性无关的特征向量
1、相似标准形：若A 与对角阵Λ相似，则Λ的主对角元都是A 的特征值，若不计i λ的顺序，则Λ是唯一的，称Λ为A 的相似标准形
2、矩阵A 的属于不同特征值的特征向量是线性无关的；因此若A 有n 个互不相同的特征值，则A 与对角阵相似
3、矩阵A 的属于不同特征值的线性无关特征向量组成的向量组仍是线性无关的
4、n 阶矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是A 的每个特征值对应的特征向量线性无关的最大个数等于该特征值的重数
例1： 设矩阵12314315A a -????=--??????
的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论A 是否可对角化 四、实对称矩阵、二次型、合同阵
1、实对称矩阵的特征值和特征向量：实对称矩阵A 的任一个特征值都是实数，且对应于不同特征值的特征向量是正交的
2、对于任一个n 阶实对称矩阵A ，存在n 阶正交矩阵Q 使得1
12{,,,}n Q AQ diag λλλ-=
【如何寻找正交矩阵Q 使得1
12{,,
,}n Q AQ diag λλλ-=】格式化的步骤如下：
第一步：求特征值。由特征方程1
||()
0i
m
r i
i I A λλλ=-=
-=∏得到全部互异特征值12,,,m λλλ；
第二步：求特征向量并正交化。由()0i I A x λ-=求出每个i r 重特征值i λ所对应的i r 个特征向量
1
2
,,,r i
i i i
ξξξ并用施密特正交化方法得到i r 个单位化正交向量12,,,r
i
i i i ηηη；由于不同特征值所对
应的特征向量正交，因此得到12{,,,|1,2,
,}r i
i i i i m ηηη=为n 个相互正交的单位特征向量；
第三步：摆成矩阵。将得到n 个相互正交的单位特征向量按列摆成n 阶矩阵，就是所求的矩阵Q
例2： 设三阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3，向量12(1,2,1),(0,1,1)T T
αα=--=-是线性方程
组0Ax =的两个解。
(I)求A 的特征值和特征向量(已讲)；(II)求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ使得T
Q AQ =Λ
例3： 设三阶实对称矩阵A 的特征值12311,2,2,(1,1,1)T
λλλα===-=-是A 属于1λ的一个特征向
量。记53
4B A A E =-+，其中E 为三阶单位矩阵
(I)验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值(已讲) 和特征向量； (II)求矩阵B
3、二次型与实对称矩阵的关系 1) n 元变量12,,
,n x x x 的二次齐次多项式
22
1211112121313112222323222
(,,
,)22222 n n n n n
nn n
f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x
=+++
++++
++
+
称为一个二次型；利用矩阵的乘法二次型可以写为矩阵乘积的形式：12(,,
,)T n f x x x x Ax =，称A 为
二次型所对应的矩阵，其中111212122
212
,n n ij ji n n nn a a a a a a A a a a a a ??
?
?
== ?
???
为实对称矩阵；矩阵A 的秩也称为二次型12(,,
,)T n f x x x x Ax =的秩
2) 合同：对于两个矩阵A 和B ，如果存在可逆矩阵C ，使得T
C AC B =，就称A 合同(或相合)于B ，记做~A B ,A 和B 是合同矩阵
3) 化二次型为标准形：寻找坐标变换x Cy =把二次型12(,,
,)T n f x x x x Ax =化为12,,,n
y y y 的平方和22
2
1122n n d y d y d y ++
+(把含平方项而不含混合项的二次型称为标准二次型)，事实上就是寻
找可逆矩阵C ，使T
C AC 成为对角矩阵
【掌握正交变换方法和配方法】
a. 正交变换：利用实对称对角化方法寻找n 阶正交矩阵Q 使得1
12{,,
,}n Q AQ diag λλλ-=，二
次型22
2
121122(,,
,)T T T n n n f x x x x Ax x Q AQx y y y λλλ===+++
例4： 已知二次型222
12312312(,,)(1)(1)22(1)f x x x a x a x x a x x =-+-+++的秩为2。(I)求a 的值；(II)
求正交变换x Qy =，把123(,,)f x x x 化成标准形；(III)求方程123(,,)0f x x x =的解 b. 配方法：借助例题说明，依次配i x 的平方项及含有i x 的混合项
例5：用配方法把二次型222
123123121323(,,)24246f x x x x x x x x x x x x =-++++化为标准形，并求所用
的坐标变换x Cy =及变换矩阵C
4) 惯性定理和二次型规范形
a.什么是惯性定理？二次型化为标准形后，正平方项和负平方项的项数唯一确定；正平方项的个数称为正惯性指数，负平方项的个数称为负惯性指数；正、负惯性指数的差称为符号差
b. 什么是二次型规范形？存在坐标变换x Cy =使得二次型：
22
222
21212T p p p p q x Ax y y y y y y +++=++
+---
-，称右端为T
x Ax 的规范形
注：两实对称矩阵A 和B 合同的充要条件是A ,B 有相同的正惯性和负惯性指数；全体n 阶实对称矩阵，按照合同规范形分类共有
(1)(2)2
n n ++类
5)什么是正定二次型即正定矩阵？有什么性质？ a. 如果对于任意的非零向量12(,,,)T n x x x 恒有12(,,
,)0T n f x x x x Ax =>，就称T x Ax 为正
定二次型，A 为正定矩阵
b. T
x Ax 是正定二次型；A 的正惯性指数为n ，即~A I ；存在可逆阵P 使得T A P P =；A 的n 个特征值全大于零——以上四条等价，适当选取来判别矩阵或二次型的正定
例6： 设二次型222
1231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-。(I)求二次型f 的矩阵的所有特征
值；(II)若二次型f 的规范形为22
12y y +，求a 的值
第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).
(4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3 -(x +y )3 -x 3 =3xy (x +y )-y 3 -3x 2 y -x 3 -y 3 -x 3 =-2(x 3 +y 3 ). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为2 ) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ? ? ? ? ? ?
第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4.
(2)b a c a c b c b a ; 解b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4;
解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解逆序数为4:41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n-1) 2 4 ??? (2n); 解逆序数为 2)1 (- n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2)(n-1个) (6)1 3 ???(2n-1) (2n) (2n-2) ??? 2. 解逆序数为n(n-1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2)(n-1个) 4 2(1个)
2009—2010学年第二学期 课名：线性代数（2学分） 一、填空与选择题(24分) 1、 已知m 阶方阵A 与n 阶方阵B 的行列式值分别为,a b ,且0ab ≠,则 1 1030T A B --??-= ??? ______a b m n ) ()3(+-_____________. 解：化简后可得11-300 m n T A B +-?? ??? （） 由拉普拉斯定理 ，分母为-1T A B ，所以得到a b m n ) ()3(+- 2、 设100220333A ?? ?= ? ??? ，其伴随矩阵为* A ，则()1*A -=____A 61______. 解：先化简，由伴随矩阵的性质*-1 A A A =，() 1 *-1-1 11 6 A A A A A A -== =（） 3、 若3阶方阵A 满足20A E A E A E +=+=-=，则253A A E --=___-231___________. 解：看到这种形式请立刻联想到特征值，20A E A E A E +=+=-= 由这几个等式，我们可知A 的三个特征值为-1，-2，1.而A 为3阶方阵，说明它只有3个特征值，现在，我们来看253A A E --，我们假定253=B A A E --，则根据特征多项式，我们可以分别把A 的三个特征值带进去，得到B 的三个特征值分别为 123 1533 410-3111-5-3-7λλλ=+-=??=+=??==?，在根据特征值之积等于方阵的行列式可知2 53A A E --=-231 4、 已知123,,ααα是3 R 空间的一组规范正交基，则12323ααα-+=__14__________. 解：本题要求的是12323ααα-+的范数，带入公式，由于123,,ααα是3 R 空间的一组规范 正交基（正交基：列向量位单位向量，且每个列向量之间内积为0），于是有 =5、 设二次型22212312313(,,)222T f x x x x Ax ax x x bx x ==+-+，其中0b >，已知A 的全体特征值
安徽矿业职业技术学院 2011-2012学年第二学期期末考试 《工程数学-线性代数》试卷(C)（时间：120分钟） 课程所在系部：公共课教学部 适用专业：矿井建设与相关专业 考试形式: 闭卷(闭卷/开卷) 命 题 人：马万早 说明：在本卷中，T A 表示矩阵A 的转置矩阵，A*表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A|表示方阵A 的行列式. 1 A -表示方阵A 的逆矩阵，R （A ）表示矩阵A 的秩。 一、填空题 （ 每小题2分，共20分） 1. 将行列式的行与列依次互换，行列式 。 2. 设D 为一个三阶行列式，第三列元素分别为-2，2，1，其余子式分别为9，6，2，则D= 。 3. 关于线性方程组的克莱姆法则成立的条件（1）是 ，（2）是 。 4. n 阶矩阵A 可逆的设A * 为A 的伴随矩阵，则A -1 = 。 5. 若n 阶矩阵满足2 40A A E +-=,则()1 A E --= 。 6. ()10234501?? ? ?= ? ??? ， ()10234501?? ? ?= ? ??? 。 7. 设向量组 321,,ααα线性无关，则向量组332211,,,,,βαβαβα线性 。 8. 设A 为三阶矩阵，若 A =5，则 1 -A = , * A = 。 9. n 阶方阵A 的列向量组为 n αααΛ,,21，则r(n αααΛ,,21) 。 10. 非齐次线性方程组A n m ?X=b 无解的条件是 。 二、选择题（10分，每题2分） 1． 1303 1 k k -≠-的充要条件是（ ） 。 （a ） k ≠2（b ）k ≠4（c ） k ≠2且k ≠4（d ）k ≠2或k ≠4 2. A,B,C 为n 阶方阵，则下列各式正确的是（ ） (a) AB=BA (b) AB=0,则A=0或B=0 (c) （A+B ）（A-B ）=A 2 -B 2 (d) ( B+C)A=BA+CA 3. 设A 为n 阶可逆矩阵，则下述说法正确的是（ ） (a) A ,0≠ (b) 1-A 0≠ (c) r(A)=n (d) A 的行向量组线性相关 4. 设矩阵A =(a ij )n m ?，AX=0有非零解的充要条件是（ ） (a) A 的行向量组线性无关 (b) A 的行向量组线性相关 (c) A 的列向量组线性无关 (d) A 的列向量组线性相关 5. 向量组 s αααΛ,,21的秩为r,则下述说法正确的是（ ） (a) s αααΛ,,21中至少有一个r 个向量的部分组线性无关 (b) s αααΛ,,21中任何r 个向量的线性无关部分组与s αααΛ,,21可互相线性表示 (c) s αααΛ,,21中r 个向量的部分组皆线性无关 (d) s αααΛ,,21中r+1个向量的部分组皆线性相关 三、判断题（正确的划√，错误的划х，共10分，每题2分） 1． 1112111221222122ka ka a a k ka ka a a ???? = ? ? ???? 。 （ ） 2． A 为任意的m n ?矩阵, 则A T A, AA T 不一定都是对称矩阵。 （ ） 3． s αααΛ,,21线性无关，则其中至少有一个部分组线性相关。 （ ） 4． 行列式 0002 00201602002000 = （ ） 5． 若两个向量组可不能线性表示，则它们的秩相等。 （ ） 四、计算 1．计算n 阶行列式（12分）
习题解答 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: 解(1)原式= 2x( - 4) X3 + Ox(-1)x(-1)+ 1X1X8 -lx(-4)x(-l)-2x(-l)x8-0xix3 = -4； (2) 原式=acb 十 bac + cba - c‘ - a' ■ b' =3abc — a 3 — — c 3 ; (3) 原式=1?&?c 2 + l*c*a 2 + l'a*62-l*6*a 2~l*c'62-l ,a*c 2 =be 2 + ca 2 十 ab 2 — ba? — cb 2 — ac 2 = c 2(6-a) + aZ>(6-a)-c(A 2-a 2) = (a-6)(Z>-c)(c-a); (4) 原式=x(x + y)y + yx(x +，)+ (” + y)yx - (x +，)' 一 d - =- 2(r + y ). 2. 按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： (1) 1 2 3 4； (2) 4 1 3 2； (3) 3 4 2 1; (4) 2 4 1 3; (5) 1 3 …(2n -1) 2 4 …(2”)； (6) 1 3 …(2n — 1) (2”) (2n - 2)…2? 解(1)此排列为自然排列，其逆序数为0; (2) 此排列的首位元素的逆序数为0；第2位元素1的逆序数为1;第3位元 素3的逆序数为1;末位元素2的逆序数为2,故它的逆序数为0+ 1 + 1 + 2 = 4； (3) 此排列的前两位元素的逆序数均为0;第3位元素2的逆序数为2；末 位元素1的逆序数为3,故它的逆序数为0 + 0 + 2 + 3 = 5; (4) 类似于上面,此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0,0,2, 1,故它的逆序数为0 + 0 + 2+1 = 3; (5) 注意到这2刃个数的排列中，前n 位元累之间没有逆序对.第n + 1位 元素2与它前面的n - 1个数构成逆序对，故它的逆序数为“?1;同理，第” +2 倍元素4的逆序数 2 0 1 ⑴ 1 -4 -1 -1 8 3 1 1 1 (3) a b c a 2 b 2 c 2 ? t
工程数学-线性代数第五版答案02
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 第二章 矩阵及其运算 1. 已知线性变换: ?????++=++=++=3 213321232113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换. 解 由已知: ???? ?????? ? ?=???? ??221321323513122y y y x x x , 故 ???? ?????? ? ?=???? ??-3211221323513122x x x y y y ???? ?????? ??----=321423736947y y y , ?????-+=-+=+--=3 21332123211423736947x x x y x x x y x x x y . 2. 已知两个线性变换 ?????++=++-=+=3 2133212311542322y y y x y y y x y y x , ?????+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换. 解 由已知 ???? ?????? ? ?-=???? ??221321514232102y y y x x x ??? ? ?????? ??--???? ??-=321310102013514232102z z z
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 ??? ? ?????? ??----=321161109412316z z z , 所以有?????+--=+-=++-=3 213321232111610941236z z z x z z z x z z z x . 3. 设???? ??--=111111111A , ??? ? ??--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B . 解 ??? ? ??---???? ??--???? ??--=-1111111112150421321111111111323A AB ??? ? ??----=???? ??---???? ??-=2294201722213211111111120926508503, ???? ??-=???? ??--???? ??--=092650850150421321111111111B A T . 4. 计算下列乘积: (1)??? ? ?????? ??-127075321134; 解 ???? ?????? ??-127075321134???? ???+?+??+?-+??+?+?=102775132)2(71112374??? ? ??=49635. (2)??? ? ??123)321(;
第一章 行列式 1、 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解 3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4、
(2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3、 (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a )、 (4)y x y x x y x y y x y x +++、 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3)、 2、 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4;
解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解逆序数为4:41, 43, 42, 32、(3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1、(4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3、 (5)1 3 ??? (2n-1) 2 4 ??? (2n); 解逆序数为 2)1 (- n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) (6)1 3 ???(2n-1) (2n) (2n-2) ??? 2、 解逆序数为n(n-1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个)
第一章n阶行列式 在初等数学中讨论过二阶、三阶行列式，并且利用它们来解二元、三元线性方程组. 为了研究n元线性方程组，需要把行列式推广到n 阶，即讨论n阶行列式的问题. 为此，下面先介绍全排列等知识，然后引出n阶行列式的概念. §1 全排列及其逆序数 先看一个例子. 引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解这个问题相当于说，把三个数字分别放在百位、十位与个位上，有几种不同的放法？ 显然，百位上可以从1、2、3三个数字中任选一个，所以有3种放法；十位上只能从剩下的两个数字中选一个，所以有两种放法；个位上只能放最后剩下的一个数字，所以只有1种放法. 因此，共有? ?种放法. 3= 1 6 2 这六个不同的三位数是： 123，132，213，231，312，321. 在数学中，把考察的对象，如上例中的数字1、2、3叫做元素. 上述问题就是：把3个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？ 对于n个不同的元素，也可以提出类似的问题：把n个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？ 把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列，简称排列. n个不同元素的所有排列的种数，通常用P n表示. 有引例的结果可知P3 = 3 . 2 . 1 = 6 . 1
2 为了得出计算P n 的公式，可以仿照引例进行讨论： 从n 个元素中任取一个放在第一个位置上，有n 种取法；又从剩下的n －1个元素中任取一个放在第二个位置上，有n －1种取法； 这样继续下去，直到最后只剩下一个元素放在第n 个位置上，只有1种取法. 于是 P n =n .（n －1）. … . 3 . 2 . 1 = n ! . 对于n 个不同的元素，我们规定各元素之间有一个标准次序（例如n 个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n 个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数. 逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列. 下面我们来讨论计算排列的逆序数的方法. 不失一般性，不妨设n 个元素为1至n 这n 个自然数，并规定由小到大为标准次序. 设 n p p p Λ21 为这n 个自然数的一个排列，考虑元素 ),,2,1(n i p i Λ=，如果比i p 大的且排在i p 前面的元素有i t 个，就说i p 这个元素的逆序数是i t . 全体元素的逆序数之总和 ∑==+++=n i i n t t t t t 1 21Λ， 即是这个排列的逆序数. 例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中，
第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2221 11c b a c b a 解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a )
(4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆 序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解 逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n 1) 2 4 (2n ) 解 逆序数为 2 ) 1(-n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个)
(2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) 4 2(1个) 6 2 6 4(2个) (2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n2) (n1个) 3写出四阶行列式中含有因子a11a23的项 解含因子a11a23的项的一般形式为 (1)t a11a23a3r a4s 其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42 所以含因子a11a23的项分别是 (1)t a11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44 (1)t a11a23a34a42(1)2a11a23a34a42a11a23a34a42 4计算下列各行列式
《工程数学—线性代数》复习参考资料 ——《线性代数》的复习尤其要求 ．．．．详细阅读人手一册的《综合练习题》授课教师：杨峰（省函授总站高级讲师） 第一章行列式 一、全排列及其逆序数（理解） 1、把n个不同元素排成一列，叫做这n个元素的全排列。（也称排列） 2、对于n个不同元素，先规定元素之间有一个标准次序（例如，n个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序，一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。 逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。 例题求排列32514的逆序数 解 3的逆序数为0； 2的逆序数为1； 5的逆序数为0； 1的逆序数为3； 4的逆序数为1； 于是这个排列的逆序数为 5 1 3 1 0= + + + + = t 二、n阶行列式的定义（理解） 定义设有 2 n个数，排成n行n列的数表， a11a12 (1) a21a22 (2) ……………… a n1a n2…a nn 作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号t)1 (-，得到形如
n np p p t a a a ???-2121)1( （1） 的项，其中n p p p ???21为自然数n ,,2,1???的一个排列，t 为这个排列的逆序数。由于这样的排列共有n ！个，因而形如（1）式的项共有n ！项，所有这n ！项的代数和 n np p p t a a a ???-∑2121)1( 称为n 阶行列式，记作 nn n n n n a a a a a a a a a D ? ??= 2 1 2222111211 ， 简记为)det(ij a ，数ij a 称为行列式)det(ij a 的元素。元素ij a 的第一个下标 i 称为行标，表明该元素位于第i 行，第二个下标j 称为列标，表明该元 素位于第j 列， 三、行列式的性质（掌握） 记 nn n n n n a a a a a a a a a D ? ??= 2 1 2222111211 ， nn n n n n T a a a a a a a a a D ? ??= 212221212111 行列式D T 称为行列式D 的转置行列式。 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号。 推论 如果行列式的两行（列）完全相同，则此行列式等于零。 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个数k ，等于用数k 乘以此行列式。
第一章行列式 1?利用对角线法则计算下列三阶行列式? (1)381141102---? 解3 81141102--- ?2?(?4)?3?0?(?1)?(?1)?1?1?8 ?0?1?3?2?(?1)?8?1?(?4)?(?1) ??24?8?16?4??4? (2)b a c a c b c b a ? 解b a c a c b c b a ?acb ?bac ?cba ?bbb ?aaa ?ccc ?3abc ?a 3?b 3?c 3? (3)222111c b a c b a ? 解2 22111c b a c b a ?bc 2?ca 2?ab 2?ac 2?ba 2?cb 2 ?(a ?b )(b ?c )(c ?a )?
(4)y x y x x y x y y x y x +++? 解y x y x x y x y y x y x +++ ?x (x ?y )y ?yx (x ?y )?(x ?y )yx ?y 3?(x ?y )3?x 3 ?3xy (x ?y )?y 3?3x 2y ?x 3?y 3?x 3 ??2(x 3?y 3)? 2?按自然数从小到大为标准次序?求下列各排列的逆序数? (1)1234? 解逆序数为0 (2)4132? 解逆序数为4?41?43?42?32? (3)3421? 解逆序数为5?32?31?42?41,21? (4)2413? 解逆序数为3?21?41?43? (5)13???(2n ?1)24???(2n )? 解逆序数为2 ) 1(-n n ? 32(1个) 52?54(2个) 72?74?76(3个) ?????? (2n ?1)2?(2n ?1)4?(2n ?1)6?????(2n ?1)(2n ?2)(n ?1个) (6)13???(2n ?1)(2n )(2n ?2)???2? 解逆序数为n (n ?1)? 32(1个) 52?54(2个) ?????? (2n ?1)2?(2n ?1)4?(2n ?1)6?????(2n ?1)(2n ?2)(n ?1个) 42(1个) 62?64(2个) ??????
一、判断题 1.若A , B 为n 阶对称阵，则AB 也是对称阵。 （ b ） 2.整个向量组线性无关,则部分向量组线性无关。 （ a ） 3.设12,αα 是线性方程组AX b =的两个不同的解，则12αα- 是对应的齐次线性方程组0AX =的解。 （ a ） 4.若A 可逆,则*A 也可逆。 （ a ） 5.若A 的顺序主子式都大于0，则A 正定。 （ bA ） 6.部分向量组线性无关,则整个向量组线性无关。 （ b ） 7.A 和T A 具有相同的特征值。 （ a ） 8.若A 可逆,则*A 也可逆。 （ a ） 9.若实对称阵A 的特征值全大于零，则二次型T f X AX = 是正定的。 （ a ） 10.设12,αα 是线性方程组AX b =的两个不同的解，则12αα- 是对应的齐次线性方程组0AX =的解。 （ a ） 11.设1α是线性方程组AX b =的两个不同的解，2α是齐次线性方程组0=AX 的解，则12+αα 是对应的线性方程组=AX b 的解。 （ bA ） 12.若A 可逆,则1A - 也可逆。 （ a ） 13.设12,s ηηηL 是非齐次线性方程组AX b =的s 个不同的解， 12,s k k k L 为实数，满足121,s k k k ++=L 则1122x k k ηη=+L s s k η+也是它的解。 （ a ） 14. n 阶矩阵A 与对角阵相似的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量。 （ a ） 15. {} 1121212(,),0,T n n n V x x x x x x x R x x x ==∈++=L L L 设满足则1V 是向量空间。 （ a ） 16.A 和T A 具有相同的特征值。 （ a ）
第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4.
(2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数:
(1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解逆序数为4:41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n-1) 2 4 ??? (2n); 解逆序数为 2)1 (- n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) (6)1 3 ???(2n-1) (2n) (2n-2) ??? 2. 解逆序数为n(n-1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个)
1 北京邮电大学高等函授教育、远程教育 《工程数学》综合练习题 通信工程、计算机科学与技术专业（本科） 《线性代数》部分 一、判断题： 1.四阶行列式 D = 000000000 d c b a = abcd. ( ) 2.n 阶行列式D = 1 1 1 1 1 1 000000 00 00 000 00 0000 01 3 2 1 n n λλλλλ- =.21n λλλ ( ) 3.设A 为n 阶矩阵,k 为不等于零的常数,则.A k kA = ( ) 4.设A ,B 均为n 阶矩阵,则.2)(2 2 2 B AB A B A ++=+ ( ) 5.若n 阶矩阵A ,B 满足AB =0,则有A =0或者B =0. ( ) 6.对n 阶矩阵A ,若存在n 阶矩阵B ,使AB=E (E 为n 阶单位矩阵),则A 可逆且有.1 B A =- ( ) 7.设A ,B 均为n 阶矩阵且A B →,则A ,B 均可逆. ( ) 8.若n 阶矩阵A ,B 均为可逆矩阵,则A+B 仍为可逆矩阵. ( ) 9.设A ,B 均为n 阶可逆矩阵,则[] )()(1 1 1 '='---A B AB . ( ) 10.若n 阶矩阵A 为对称矩阵,则A 为可逆矩阵. ( ) 11.若n 阶矩阵A 为正交矩阵,则A 为可逆矩阵. ( )
2 12.若n 阶可逆矩阵A =?? ? ?? ?? ? ?n λλλ 2 1,则.11 2 111 ?????? ? ? ?=----n A λλλ ( ) 13.若存在),,2,1(0m i k i ==使式子02211=++m m k k k ααα 成立,则向量组m ααα,,,21 线性无关. ( ) 14.若向量组m ααα,,,21 线性相关,则m α可用121,,,-m ααα 线性表示. ( ) 15.设),,2,1(n i i =α为基本单位向量组,则n ααα,,,21 线性无关. ( ) 16.若)(,,,21m r r ≤ααα 是向量组m ααα,,,21 的一个极大无关组,则),,2,1(m i i =α均可用r ααα,,,21 线性表示. ( ) 17.等价向量组所含向量个数相同. ( ) 18.若)(,,,21m r r <ααα 是向量组的一个极大无关组,则此极大无关组与原向量组等价. ( ) 19.若n m ?矩阵A 有一个r (r 第一章 行列式 1利用对角线法则计算下列三阶行列式 ⑴ 2 1 04 31 2 0 1 解 1 4 1 1 8 3 2 ( 4) 3 0 ( 1) ( 1) 1 1 8 0 1 3 2 ( 1) 8 1 ( 4) ( 1) 2 4 8 16 4 4 a b c (2) b c a cab a b c 解 b c a cab acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3 b 3 c 3 bc 2 ca 2 ab 2 ac 2 ba 2 cb 2 (a b)(b c)(c a) 1 C 21b 2 1 C 2 1b x y x y ⑷ y x y x x y x y x y x y 解y x y x x y x y x(x y)y yx(x y) (x y)yx y (x y) x 3xy(x y) y3 3x2y x3 y3 x3 2(x3 y3) 2按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数 (1) 1 2 3 4 解逆序数为0 (2) 4 1 3 2 解逆序数为4 41 43 42 32 3 2 (1 个) 5 2 5 4(2 个) 7 2 7 4 7 6(3 个) (3)3 4 2 1 解逆序数为 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为 (5)1 3 (2n 逆序数为1) 2 4 n(n 1) 2 (2n) (2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1 个) (6)1 3 (2n 1) (2n) (2n 2) 2 解逆序数为n(n 1) 3 2(1 个) 5 2 5 4 (2 个) (2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1 个) 4 2(1 个) 6 2 6 4(2 个) (2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n 2) (n 1 个) 3写出四阶行列式中含有因子ana23的项 解含因子ana23的项的一般形式为 (1)t ana23a3r a4s 其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42 所以含因子ana23的项分别是 t 1 (1) ana23a32a44 ( 1) ana23a32a44 ana23a32a44 (1)t ana23a34a42 ( 1)2ana23a34a42 ana23a34a42 4计算下列各行列式 练习题 1. (单选 题) (本题3.0分) A、 B、 C、 D、 标准答案：C 2. (单选题) (本题 3.0分) A、 B、 C、 D、 标准答案：A 3. (单选题) (本题3.0分) A、B=0 B、BA=0 C、 D、 标准答案：D 4. (单选题) (本题3.0分) A、充要条件 B、充分条件 C、必要条件 D、既非充分也非必要条件 标准答案：B 5. (单选题) (本题3.0分) A、 B、 C、 D、 标准答案：D 6. (单选题) (本题3.0分) A、 B、 C、 D、 标准答案：D 7. (单选题) (本题3.0分) A、 B、 C、 D、 标准答案：B 8. (单选题) (本题3.0分) A、 B、 C、 D、 标准答案：C 9. (单选题) (本题3.0分) A、 B、 C、 D、 标准答案：D 10. (单选 题) (本题3.0分) A、m+n B、-m+n C、m-n D、n-m 标准答案：D 11. (单选题) (本题3.0分) A、 B、 C、 D、 标准答案：D 12. (判断题) (本题3.0分) A、true B、false 标准答案：B 13. (判断题) (本题3.0分) A、true B、false 标准答案：A 14. (判断题) (本题3.0分) A、true B、false 标准答案：B 15. (判断题) (本题3.0分) A、true B、false 标准答案：B 16. (判断题) (本题3.0分) A、true B、false 标准答案：B 17. (判断题) (本题3.0分) A、true B、false 标准答案：B 18. (判断题) (本题3.0分) A、true B、false 第一章n 阶行列式 在初等数学中讨论过二阶、三阶行列式，并且利用它们来解二元、三元线性方程组 . 为了研究n元线性方程组，需要把行列式推广到 n 阶，即讨论 n 阶行列式的问题 . 为此，下面先介绍全排列等知识，然 后引出 n 阶行列式的概念. § 1全排列及其逆序数 先看一个例子. 引例用 1、2、3 三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三 位数？ 解这个问题相当于说，把三个数字分别放在百位、十位与个位 上，有几种不同的放法？ 显然，百位上可以从1、 2、 3 三个数字中任选一个，所以有 3 种放法；十位上只能从剩下的两个数字中选一个，所以有两种放法； 个位上只能放最后剩下的一个数字，所以只有 1 种放法 . 因此，共有 3 2 1 6 种放法. 这六个不同的三位数是： 123， 132， 213， 231， 312， 321. 在数学中，把考察的对象，如上例中的数字 1、2、3 叫做元素 . 上述问题就是：把 3 个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？ 对于 n 个不同的元素，也可以提出类似的问题：把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？ 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列，简称排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 P n表示 . 有引例的结果可 知 P3 = 3 . 2 . 1 = 6 . 为了得出计算 P n的公式，可以仿照引例进行讨论： 从 n 个元素中任取一个放在第一个位置上，有 n 种取法；又从剩下的 n－ 1 个元素中任取一个放在第二个位置上，有n－ 1 种取法； 这样继续下去，直到最后只剩下一个元素放在第n 个位置上，只有 1 种取法 . 于是 P n=n .（ n－1）.?. 3 . 2 . 1 = n! . 对于 n 个不同的元素，我们规定各元素之间有一个标准次序（例如 n 个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n 个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有 1 个逆序 . 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数. 逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列. 下面我们来讨论计算排列的逆序数的方法. 不失一般性，不妨设 n 个元素为 1 至 n 这 n 个自然数，并规定由小到大为标准次序 . 设 p1 p2p n 为这 n 个自然数的一个排列，考虑元素p i (i 1,2,, n) ，如果比 p i 大的且排在p i前面的元素有t i个，就说p i这个元素的逆序数是t i. 全体元素的逆序数之总和 n t t1t 2t n t i， i 1 即是这个排列的逆序数. 例1 求排列 32514 的逆序数 . 解在排列 32514 中， 第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n -1) 2 4 ??? (2n ); 解 逆序数为2 )1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6,???, (2n -1)(2n -2)(n -1个) (6)1 3 ??? (2n -1) (2n ) (2n -2) ??? 2.同济大学工程数学线性代数第六版答案(全)
工程数学(线性代数)(专升本)练习题
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同济大学工程数学线性代数第六版答案(全)
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