方差： 方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。统计中的方差（样本方差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。 方差是衡量源数据和期望值相差的度量值。 历史： “方差”（variance）这一词语率先由罗纳德·费雪（Ronald Fisher）在其论文《The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance》中提出。 统计学意义： 当数据分布比较分散（即数据在平均数附近波动较大）时，各个数据与平均数的差的平方和较大，方差就较大；当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小。因此方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动就越小。 样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差；样本方差的算术平方根叫做样本标准差。样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。 最近进展：
方差不仅仅表达了样本偏离均值的程度，更是揭示了样本内部彼此波动的程度，也可以理解为方差代表了样本彼此波动的期望。当然，这个结论是在二阶统计矩下成立。 样本方差： 先求出总体各单位变量值与其算术平均数的离差的平方，然后再对此变量取平均数，就叫做样本方差。样本方差用来表示一列数的变异程度。样本均值又叫样本均数。即为样本的均值。 均值是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。 简介： 在许多实际情况下，人口的真实差异事先是不知道的，必须以某种方式计算。当处理非常大的人口时，不可能对人口中的每个物体进行计数，因此必须对人口样本进行计算。样本方差也可以应用于从该分布的样本的连续分布的方差的估计。
常见分布的期望和方差 x n (0,1) N()
概率与数理统计重点摘要 1、正态分布的计算：()()( )X F x P X x μ σ -=≤=Φ。 2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。（参见P66～72） 3、分布函数(,)(,)x y F x y f u v dudv -∞-∞ = ?? 具有以下基本性质： ⑴、是变量x ，y 的非降函数； ⑵、0(,)1F x y ≤≤，对于任意固定的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续； ⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y << ，有下述不等式成立： 22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥ 4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan )(arctan )23 x y F x y πππ2=++22的概率密度为：2222 6(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π?==??++ 5、二维随机变量的边缘分布： 边缘概率密度： ()(,)()(,)X Y f x f x y dy f y f x y dx +∞ -∞+∞ -∞ ==?? 边缘分布函数： ()(,)[(,)]()(,)[(,)]x X y Y F x F x f u y dy du F y F y f x v dx dv +∞ -∞-∞+∞ -∞ -∞ =+∞==+∞=?? ?? 二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。 6、随机变量的独立性：若(,)()()X Y F x y F x F y =则称随机变量X ，Y 相互独立。简称X 与Y 独立。
10.二维连续型随机变量 【教学内容】：高等教育出版社浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编的《概率论与数理统计》第三章第§1 中的二维连续型随机变量 【教材分析】：前一章我们已经研究了一维随机变量的一些有关概念、性质和计算，本节将这些内容推广到多维的情形，主要讲授二维的连续型随机变量，学习本节内容，要求学生掌握有关概念，并会对一些随机变量进行有关的计算。 【学情分析】： 1、知识经验分析 学生已经学习了一维随机变量的有关概念、性质和计算，掌握了随机变量的相关知识。 2、学习能力分析 学生虽然具备一定的基础的知识和理论基础，但概念理解不透彻，解决问题的能力不高，方法应用不熟练，知识没有融会贯通。 【教学目标】： 1、知识与技能 理解二维连续随机变量的联合密度函数的概念，会进行一些相关的计算，并熟练掌握几种常见的二维分布。 2、过程与方法 根据本节课的知识特点，教学中采用类比和启发式教学法，将一维连续型随机变量的概率密度函数转化二维连续随机变量的联合密度函数。 3、情感态度与价值观 将一维连续型随机变量的概率密度函数转化二维连续随机变量的联合密度函数的学习过程中，使得学生初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神 【教学重点、难点】： 重点：二维连续型随机变量的概念和性质，并对一些随机变量进行有关计算。 难点：对一些随机变量进行有关计算。 【教学方法】：讲授法启发式教学法 【教学课时】：1个课时 【教学过程】： 一、问题引入（复习）
定义 如果对于随机变量X 的分布函数)(x F ，存在非负可积函数)(x f ，使得对于任意实数x 有 .)(}{)(? ∞ -= ≤=x dt t f x X P x F 则称X 为连续型随机变量， 称)(x f 为X 的概率密度函数，简称为概率密度或密度函数。 密度函数)(x f 具有下述性质： （1）非负性0)(≥x f （1）规范性 ? ∞+∞ -=1)(dx x f （3）对于任意实数()1212,x x x x ≤ 1{}P x X x <≤11221(())()()()x x P x F x F x p y dy ξω≤<=-=? 2 1 )(x x dx x f （4）0}{0==x X p （5）若)(x f 在点x 处连续，则有 '()()F x f x = (由()()x F x f y dy -∞ = ? 式可知，对()f x 的连续点) 【设计意图】：采用类比的方法将一维连续型随机变量的概率密度函数转化二维连续随机变量的联合密度函数的问题，使学生掌握转化，类比的思想。 二、二维连续型随机变量 定义1 如果存在二元非负函数(,)f x y ，使得二维随机变量(,)X Y 的分布函数(,)F x y 可表示为 (,)(,),x y F x y f u v dvdu -∞-∞ =? ? 则称(,)X Y 为二维连续随机变量，称(,)f x y 为(,)X Y 的联合密度函数。 注 在偏导数存在的点上，有2(,)(,)p x y F x y x y ?=??。 联合密度函数的基本性质 2(,)012(,)1 (,)3(,)4((,))(,)G f x y f x y dxdy x y F f x y x y P x y f x y dxdy G ∞∞ -∞-∞ ≥=?=??∈=? ? ??（）（）（） （）
概率分布以及期望和方差 上课时间: 上课教师： 上课重点:掌握两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布的概率分布及其期望和方差 上课规划：解题技巧和方法 一 两点分布 ⑴两点分布 如果随机变量X 的分布列为 X 1 0 P p q 其中01p <<，1q p =-，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布． 二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X 为任意抽取一件产品得到的结果，则X 的分布列满足二点分布． X 1 0 P 0.8 0.2 两点分布又称01-分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布． （2）典型分布的期望与方差： 二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为p ，在n 次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为np ． 1、在抛掷一枚图钉的随机试验中，令10X ?=? ? ，针尖向上； ，针尖向下.，如果针尖向上的 概率为p ，试写出随机变量X 的概率分布． 2、从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用X 表示“取到的 知识内容 典例分析
白球个数”，即???=，当取到红球时， ，当取到白球时， 01X ，求随机变量X 的概率分布． 3、若随机变量X 的概率分布如下： X 1 P 29C C - 38C - 试求出C ，并写出X 的分布列． 3、抛掷一颗骰子两次，定义随机变量 ?? ?=)(,1)(,0的点数数等于第二次向上一面当第一次向上一面的点 面的点数数不等于第二次向上一当第一次向上一面的点 ξ 试写出随机变量ξ的分布列． 4、篮球运动员比赛投篮，命中得1分，不中得0分，已知运动员甲投篮命中率的概率为P ． ⑴ 记投篮1次得分X ，求方差()D X 的最大值； ⑵ 当⑴中()D X 取最大值时，甲投3次篮，求所得总分Y 的分布列及Y 的期望与方差． 二 超几何分布
如皋市薛窑中学2011届高三理科数学一轮复习 61随机变量的概率分布、期望与方差 【考点解读】 离散型随机变量及其分布列：A;超几何分布：A;条件概率及相互独立事件：A； n次独立重复试验的模型及二项分布：B;离散型随机变量的均值与方差：B 【复习目标】 1?了解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；会求某些简单的离散型随机变量的分布列。 2?了解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。 3?了解条件概率和两个事件相互独立的概念( 对条件概率的应用题不作要求 )。 4 ?理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。 5?了解取有限值的离散型随机变量的均值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。 活动一：基础知识 1. 随机变量： 1) 定义： _________________________________________________________ 。 2) ____________________________________ 表示方法：。 2. 随机变量分布列的定义： 假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是X1,X2丄X n且P(X=x i)=p i ,i=1,2, -n,① 称①为随机变量X 的概率分布列，简称X的分布列 3. 概率分布表 将①用表的形式表示如下： 4. 分布列的性质： 概率分布列中P(i 1,2L n)满足以下两个条件: (1) ______________________________ (2) ______________________________ 5. 两点分布 如果随机变量X只取两个可能值_0 和__________ 1 ___ ，则称该随机变量X服从0-1分布或两点分布并记为X?0-1或X?两点分布. 其概率分布表为： 其中丨min{ M , n}，且n N,M N,n,M,N N .称分布列
样本方差的期望 假设某百货超市现有一批快到期的日用产品急需处理，超市老板设计了免费抽奖活动来处理掉了这些商品。纸箱中装有大小相同的20个球，10个10分，10个5分，从中摸出10个球，摸出的10个球的分数之和即为中奖分数，获奖如下： 一等奖100分，冰柜一个，价值2500元； 二等奖50分，电视机一个，价值1000元； 三等奖95分，洗发液8瓶，价值178元； 四等奖55分，洗发液4瓶，价值88元； 五等奖60分，洗发液2瓶，价值44元； 六等奖65分，牙膏一盒，价值8元； 七等奖70分，洗衣粉一袋，价值5元； 八等奖85分，香皂一块，价值3元； 九等奖90分，牙刷一把，价值2元； 十等奖75分与80分为优惠奖，只収成本价22元，将获得洗发液一瓶； 分析：表面上看整个活动对顾客都是有利的，一等奖到九等奖都是白得的，只有十等奖才收取一点成本价。但经过分析可以知道商家真的就亏损了吗？顾客就真能从中获得抽取大奖的机会吗？求得其期望值便可真相大白。 摸出10个球的分值只有11种情况，用X表示摸奖者获得的奖励金
额数，计算得到E(X)=-10.098，表明商家在平均每一次的抽奖中将获得10.098元，而平均每个抽奖者将花10.098元来享受这种免费的抽奖。 从而可以看出顾客真的就站到大便宜了吗？相反，商家采用这种方法不仅把快要到期的商品处理出去了，而且还为超市大量集聚了人气，一举多得。 此百货超市老板运用数学期望估计出了他不会亏损而做了这个免费抽奖活动，最后一举多得，从中可看出了数学期望这一科学的方法在经济决策中的重要性。 体育比赛问题： 乒乓球是我们的国球，上世纪兵兵球也为中国带了一些外交。中国队在这项运动中具有绝对的优势。现就乒乓球比赛的安排提出一个问题：假设德国队（德国队名将波尔在中国也有很多球迷）和中国队比赛。赛制有两种，一种是双方各出3人，三场两胜制，一种是双方各出5人，五场三胜制，哪一种赛制对中国队更有利？ 分析：由于中国队在这项比赛中的优势，不妨设中国队中每一位队员德国队员的胜率都为60%，接着只需要比较两个队对应的数学期望即可。 参考资料来源：百度百科-数学期望 期望值：
第9讲随机变量的数学期望与方差 教学目的：1.掌握随机变量的数学期望及方差的定义。 2.熟练能计算随机变量的数学期望与方差。 教学重点： 1．随机变量的数学期望 For personal use only in study and research; not for commercial use 2．随机变量函数的数学期望 3．数学期望的性质 4．方差的定义 For personal use only in study and research; not for commercial use 5．方差的性质 教学难点：数学期望与方差的统计意义。 教学学时：2学时。 For personal use only in study and research; not for commercial use 教学过程： 第三章随机变量的数字特征 §3.1 数学期望 For personal use only in study and research; not for commercial use 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了。然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的，而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了。因此，在对随机变量的研究中，确定其某些数字特征是重要的，而在这些数字特征中，最常用的是随机变量的数学期望和方差。
1．离散随机变量的数学期望 我们来看一个问题： 某车间对工人的生产情况进行考察。车工小张每天生产的废品数X 是一个随机变 量，如何定义X 取值的平均值呢？ 若统计100天，32天没有出废品，30天每天出一件废品，17天每天出两件废品， 21天每天出三件废品。这样可以得到这100天中每天的平均废品数为 27.1100 213100172100301100320=?+?+?+? 这个数能作为X 取值的平均值吗？ 可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的 天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是 1.27。 对于一个随机变量X ，若它全部可能取的值是 ,,21x x ， 相应的概率为 ,,21P P ， 则对X 作一系列观察(试验)所得X 的试验值的平均值是随机的。但是，如果试验次数 很大，出现k x 的频率会接近于K P ，于是试验值的平均值应接近 ∑∞=1k k k p x 由此引入离散随机变量数学期望的定义。 定义1 设X 是离散随机变量，它的概率函数是 ,2 ,1,)()(====k P x X P x p K K k 如果 ∑∞ =1||k k k p x 收敛，定义X 的数学期望为 ∑∞ ==1)(k k k p x X E 也就是说,离散随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和。 例1 某人的一串钥匙上有n 把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地 试用这串钥匙中的某一把去开门。若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数 的数学期望。
第七周多维随机变量，独立性 7.4独立随机变量期望和方差的性质 独立随机变量乘积的期望的性质： Y X ,独立，则()()() Y E X E XY E =以离散型随机变量为例，设二元随机变量(),X Y 的联合分布列() ,i j P X x Y y ==已知，则()()(),i j i j P X x Y y P X x P Y y ====?=， () 1,2,,; 1,2,,i m j n == ()() 11,m n i j i j i j E XY x y P X x Y y =====∑∑()() 11 m n i j i j i j x y P X x P Y y =====∑∑()() 1 1 m n i i j j i j x P X x y P Y y =====∑∑()() E X E Y =***********************************************************************独立随机变量和的方差的性质： Y X ,独立，则()()() Y Var X Var Y X Var +=+()()() 2 2 Var X Y E X Y E X Y ??+=+-+?? ()222E X XY Y =++()()()()22 2E X E X E Y E Y ??-++? ? ()()()()2 2 22E X E X E Y E Y =-+-()()()22E XY E X E Y +-()()()() 2 2 22E X E X E Y E Y =-+-()() Var X Var Y =+若12,,,n X X X 相互独立，且都存在方差，则()() 121 n m k k Var X X X Var X =+++=∑ ***********************************************************************利用独立的0-1分布求和计算二项分布随机变量()~,X b n p 期望和方差 我们在推导二项分布随机变量的方差时，已经利用了独立随机变量和的方差等于方差
样本方差的期望和方差沉义义（上海工程技术大学基础教学学院，上海201620）摘要在实际应用中，样本均值珔X和样本方差s 2，x I珔X和计算XJ珔X有必要计算协方差和相关系数。本文给出了相应的计算公式，并提供了一些简单的计算方法。关键词：样本均值样本方差期望;方差;协方差研究生入学数学考试中的相关系数，样本均值X的期望和方差和样本方差s 2是非常重要的测试点。但是，在概率论和数理统计的教学过程中，很少涉及如何计算样本方差S2的方差。其次，对于简单的随机样本x 1，x 2如何计算协方差cov（x I，珔x），相关系数ρx I珔x，yi = x I-X和YJ = x J-xx，协方差cov（y I，y J）以及x I和XX的相关系数ρy I y J使学生感到困惑。本文对以上知识进行了系统分析，并给出了一些简单的计算方法。1，课本中样本均值和样本方差的期望值和方差，样本均值珔X和样本方差s 2的性质由以下定理给出：定理：让总体x?n（μ，σ2），x 1，x 2如果xn（n> 1）是一个简单的随机样本，X是一个样本均值，s 2是一个样本方差，则（1）x?nμ，σ2（）n; （2）x和S 2是独立的；（3）（n-1）S2σ2?χ2（n-1）。推论1 e （x）=μ，D（x）=σ2n; E（S2）=σ2，D（S2）= 2σ4N-1。上述推论的前三个结论的证明
见教科书[1]。D（s 2）= 2σ4N-1的证明如下。从定理（3）的结论中，我们可以得出D （n-1）s 2σ（）2 = 2（n-1），即（n-1）2σ4D（s 2）= 2（n-1），所以D（s 2）= 2σ4N-1。2，2 cov（x I，x）=σ2n，ρx I珔x = 1 = n（I = 1，2，n）。证明x I?n（μ，σ2）独立于彼此（I = 1,2然后cov（x I，XJ）=σ2，I = J0，I≠{J（I = 1，2，...））因此，cov（x I，珔x）= 1ncov（x I，x 1 + ...）+ X i +…+ X n）= 1ncov（X i，X 1）+…+ 1ncov（X i，X i）+…+ —8 1 —1ncov（X i，X n）= 0 +…+σ2n +…+0 =σ2n（i = 1，2，…，n），ρx I珔x = cov（x I，珔x）d（xi）d （xx槡）=σ2nσ2·σ2槡n = 1槡n（I = 1,2，n）。3，yi = x I-X的性质是推论3 E（yi）= 0，D （yi）= 1-1（）nσ2; cov（y I，y J）=-σ2n（I≠J），ρy I y J =-1n-1（I≠J）（I = 1,2，n）。证明了e（yi ）= e（x ixx）= e（x ixx）= e（x ixx）= e（x IX）=u-μ= 0，D（yi）= D（x ixx）= D（xi）+ D（x（x）珔（x I，x，x）=σ2 +σ2 +σ2n-2，σ2n = 1-1（nσ2），cov （y I，y J）= cov（x I ，y J）= cov（x IX，x，J）x，jx jx，jxx，xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx-x-= cov（x I，XJ）-CoV（x I，XJ）-CoV（xx，XJ）+ cov （x，x，x）= 0-σ2n-σ2n +σ2n =-σ2n，ρy I，y J = cov（yi）YJ）d（yi）d（y J槡）=-σ2n1 -1（）nσ2 =-1n-1。这里我们必须指出
离散型随机变量的期望值和方差 一、基本知识概要： 1、 期望的定义： 一般地，若离散型随机变量ξ的分布列为 则称E ξ=x 1P 1+x 2P 2+x 3P 3+…+x n P n +…为ξ的数学期望或平均数、均值，简称期望。 它反映了:离散型随机变量取值的平均水平。 若η=a ξ+b(a 、b 为常数)，则η也是随机变量，且E η=aE ξ+b 。 E(c)= c 特别地，若ξ～B(n ，P )，则E ξ=n P 2、 方差、标准差定义： D ξ=(x 1- E ξ)2·P 1+(x 2-E ξ)2·P 2+…+(x n -E ξ)2·P n +…称为随机变量ξ的方差。 D ξ的算术平方根ξD =δξ叫做随机变量的标准差。 随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。 且有D(a ξ+b)=a 2D ξ,可以证明D ξ=E ξ2- (E ξ)2。 若ξ～B(n ，p)，则D ξ=npq ，其中q=1-p. 3、特别注意：在计算离散型随机变量的期望和方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要准确应用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度。 二、例题： 例1、（1）下面说法中正确的是 （ ） A ．离散型随机变量ξ的期望E ξ反映了ξ取值的概率的平均值。 B ．离散型随机变量ξ的方差D ξ反映了ξ取值的平均水平。 C ．离散型随机变量ξ的期望E ξ反映了ξ取值的平均水平。 D ．离散型随机变量ξ的方差D ξ反映了ξ取值的概率的平均值。 解：选C 说明：此题考查离散型随机变量ξ的期望、方差的概念。 （2）、（2001年高考题）一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出两个，则其中含红球个数的数学期望是 。 解：含红球个数ξ的E ξ=0× 101+1×106+2×10 3=1.2 说明：近两年的高考试题与《考试说明》中的“了解……，会……”的要求一致，此部分以重点知识的基本 题型和内容为主，突出应用性和实践性及综合性。考生往往会因对题意理解错误，或对概念、公式、性质应用错误等，导致解题错误。 例2、设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求E ξ、D ξ 剖析：应先按分布列的性质，求出q 的值后，再计算出E ξ、D ξ。 解：因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，所以??? ? ???≤≤-≤=+-+11 2101212122 q q q q
样本方差的期望 （1）样本（背景知识）：由学过的概率论的知识可以知道，若在总体个数有限的情况下，抽取出一些个体，总体的分布可能会发生变化，所以个体的分布可能反映不了总体的分布。后一句不太好理解，所以举个经典例子：若N个产品中有M个废品，在抽样调查其废品率时，正常抽取样本（随机抽不放回），则样品的废品率服从超几何分布；而产品中的废品率服从二项分布。这样由样品得到的估计，统计性质就与总体不同。而且当产品数量不是很大时，这种分布差异无法忽视。然而只有在总体中包含的个体极多或包含无限多个个体时，不放回的抽取才对总体的分布影响极少或者毫无影响，这种例子才不成立，此时可以用样本估计总体。这种情形在应用中最为常见，数理统计学在理论上对其研究得也最深入。此时称抽出的若干数据独立同分布，称这组数据为从某总体抽出的独立随机样本，简称为从某总体中抽出的样本。【1】 （2）样本均值/方差：顾名思义，样本均值就是样本的均值，样本方差就是样本数据的方差。 （3）总体均值/方差：同上。。 （4）样本均值/方差的期望：样本数据均为我们抽取得来（是已知量）
我们利用它算出样本参数（例如样本均值），假装它是总体的参数（例如总体均值，是未知量），这就是用样本估计总体的过程；由样本的定义，用样本估计得到的总体的参数不是完美的，有时和真正的总体的参数之间可能有一个偏移。那么接下来一个很自然的想法就是，由于我们对样本参数计算式已知，除去不可控的抽样随机性，从计算方法的角度上来说，我们可以知道这个偏移量是多少吗？更进一步地，我们可以在计算方法上对这个偏移加以修正吗？自然地，类似前述在定义样本时举过的例子，我们还可以假设对总体的数据和参数已知，这样就可以用总体的数据和参数模拟抽样，反算出样本参数，并与真实的总体参数加以对比，达到修正偏移的目的了！而这样反算出的样本参数，就叫做样本参数（例如样本均值、样本方差）的期望。 从正面的/科学的（也是教材上的）角度来说，我们是用总体反过来估计了样本，得到的当然就是样本参数的期望值啦。 若样本参数经修偏后，在某种算法下与真实的总体参数达到一致，该样本参数为总体参数的一个无偏估计量。一个参数往往有不止一个无偏估计，我们需要在一个对估计的整体的优良性准则下视情况讨论。
样本方差与总体方差的区别 之前一直对于样本方差与总体方差的概念区分不清，对于前者不仅多了样本”两个字，而且公式中除数是N-1 ,而不是N。现在写下这么写东西，以能彻底把他们的区别搞清楚。 总体方差: 也叫做有偏估计，其实就是我们从初高中就学到的那个标准定义的方差，除数是N。女0果实现已知期望值，比如测水的沸点，那么测量 立的（期望值不依测量值而改变，随你怎么折腾，温度计坏了也好，看反了也好，总之，期望值应该是100度），那么E『（X-期望）人2』，就有10个自由度。事实上，它等于（X- 期望）的方差，减去（X-期望）的平方。”所以叫做有偏估计，测量结果偏于那个”已知的期望值“。样本方差: 无偏估计、无偏方差（unbiased varianee ）。对于一组随机变量，从中随机抽取N个样本, 这组样本的方差就是Xi^2平方和除以N-1。这可以推导出来的。如果现在往水里撒把盐, 水的沸点未知了，那我该怎么办？我只能以样本的平均值，来代替原先那个期望100度。同 样的过程，但原先的（X-期望），被（X-均值）所代替。设想一下（Xi-均值）的方差，它 不在等于Xi的方差，而是有一个协方差，因为均值中，有一项Xi/n是和Xi相关的，这就 是那个”偏"的由来 刊屮）二 Ei a.—-￡（A;-W） f=l 9 =rr 一 证明: 10次，测量值和期望值之间是独
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样本方差的期望 1，答主说的关于硬币的问题，这是频率学派和贝叶斯学派的分歧，但是他们是有统一的。通过贝叶斯理论，最后的结果是p^=(X+1)/n+2,这里是题主疑问的所在。其实这个估计与频率X/n是有差别的，当n 很大的时候不显著，原因（高等数学的极限理论），当n相当小的时候，则很显著。从一个角度看，当n很小的时候，用贝叶斯估计比X/n 更合理。因为当n很小的时候，试验结果可能出现X=0或X=n，这时，如果按照X/n，则应该把p估计0或1，这就太极端了，因为我们不能仅仅根据在少数几次试验中把全不出现或是全出现的事件，就来判定它为不可能或必然事件。若按贝叶斯理论的公式p^=(X+1)/n+2，则在这两种情况下分别给出估计值为1/(n+2)和（n+1）/(n+2),这样就留有余地了。（参考陈希孺的教材）2 ，取2/3，那是为了让结果好看，它没有具体的理论支撑的，只是一个定义的说法。只是说用平滑理论大家容易比较接受。举一个不恰当的例子，你穿衣服为了保暖，在衣服上绣一朵花，那是为了好看，没有保暖的功能，但是别人喜欢接受你绣了花的衣服。欢迎讨论 （1）取具体的样本值，那么EX是没有意义的，我的理解是你承认了X是随机变量，只是这样做EX没有任何价值。根据你的描述我是这么理解的。但是我想说的是你这里取了具体的样本(其实更准确说是样品)，这个样本X它不是随机变量。（2）从大的方面讲，我看过陈希孺老先生写的概率论与数理统计和数理统计学，其实书中说到的样本均值和样本方差都是定义出来的，当然为什么这么定义，这是你想
得到的答案。我自己说一下自己的理解，统计问题一个是估计，一个是检验假设。不管是哪个问题，都是要构造好多统计量，当然样本方差和样本均值都是统计量，也是随机变量。用这些统计量去估计参数或是假设检验。统计量是针对某种需求构造的，其实它是可以推广的，那就是样本距。正好它是二阶的时候被说成了样本方差，有极大的应用。
二项分布的期望的方差的证明 山西大学附属中学 韩永权 hyq616@https://www.doczj.com/doc/5e16980586.html, 离散型随机变量的二项分布: 在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（0,1,2k n = p q -=1） 于是得到随机变量ξ的概率分布如下： ξ 1 2 3 ... 1n - n P 0n n C q 11n n C pq - 222n n C p q - 333 n n C p q - ... 11 n n n C p q -- n n n C p 称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n ，p)，其中n ，p 为参数，并记k n k k n q p C -＝b(k ；n ，p)． 1 求证：服从二项分布的随机变量ξ的期望E np ξ=. 证明如下：预备公式： 1 1k k n n kc nc --= 100110220211(1)()11011111()(......)n n n n k k n n k n n n n n n n p q c p q c p q c p q c p q c p q ----------------+=++++++因为()(1),k k n k k k n k n n p k c p p c p q ξ--==-= 所以 001112220012......n n n k k n k n n n n n n n E c p q c p q c p q k c p q nc p q ξ---=?+?++?++?++ =00110220211(1)()11011111(......)n n n k k n n k n n n n n n n np c p q c p q c p q c p q c p q ---------------++++++ =1()n np p q np -+= 所以E np ξ= 方法二： 证明：若 ),(~p n B X ，则X 表示n 重贝努里试验中的“成功” 次数，现在我们来求X 的数学期望。
为什么样本方差里面要除以（n-1）而不是n？（---by小马哥整理） 首先，我们来看一下样本方差的计算公式： (1) 刚开始接触这个公式的话可能会有一个疑问就是：为什么样本方差要除以（n-1）而不是除以n？为了解决这个疑惑，我们需要具备一点统计学的知识基础，关于总体、样本、期望（均值）、方差的定义以及统计估计量的评选标准。有了这些知识基础之后，我们会知道样本方差之所以要除以（n-1）是因为这样的方差估计量才是关于总体方差的无偏估计量。这个公式是通过修正下面的方差计算公式而来的。 公式(2)是我们按照正常的思维, 思考的应该有的方差的计算公式，也就是除以n的情况： (2) 公式(3)是我们经过修正得到的式子, 修正过程为： (3) 我们在课本上看到的其实是修正后的结果： (4) 下面详细(推导)讲, 为啥会要乘以前面那个(1/n-1), 来对公式(2)进行修正. 为了方便叙述，在这里说明好数学符号： (5) 前面说过样本方差之所以要除以（n-1）是因为这样的方差估计量才是关于总体方差的无偏估计量。在公式上来讲的话就是样本方差的估计量的期望要等于总体方差。如下： (6) 但是没有修正的方差公式，它的期望是不等于总体方差的(下面会讲解详细原因, 就是下面那个公式推导!) (7) 也就是说，样本方差估计量如果是用没有修正的方差公式来估计总计方差的话是有偏差的 下面给出比较好理解的公式推导过程：
(8) 也就是说，除非否则一定会有 (9) 需要注意的是不等式右边的才是的对方差的“正确”估计，但是我们是不知道真正的总体均值是多少的，只能通过样本的均值来代替总体的均值。所以样本方差估计量如果是用没有修正的方差公式来估计总计方差的话是会有偏差，是会低估了总体的样本方差的。为了能无偏差的估计总体方差，所以要对方差计算公式进行修正，修正公式如下： (10) 这种修正后的估计量将是总体方差的无偏估计量，下面将会给出这种修正的一个来源； 为了能搞懂这种修正是怎么来的，首先我们得有下面几个等式： 1.方差计算公式： (11) 2. 均值的均值、方差计算公式： (12) 对于没有修正的方差计算公式我们有： (13)
限时作业62 随机变量的数学期望与方差 一、选择题 1.下列说法中，正确的是( ) A.离散型随机变量的均值E(X)反映了X取值的概率平均值 B.离散型随机变量的方差D(X)反映了X取值的平均水平 C.离散型随机变量的均值E(X)反映了X取值的平均水平 D.离散型随机变量的方差D(X)反映了X取值的概率平均值 解析:离散型随机变量X的均值反映了离散型随机变量×取值的平均水平,随机变量的方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度. 答案:C 则D(X)等于( ) A.0 B.0.8 C.2 D.1 解析:根据方差的计算公式,易求V(X)＝0.8. 答案:B 3.若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p＝0.5，则E(X)和D(X)分别为( ) A.0.5和0.25 B.0.5和0.75 C.1和0.25 D.1和0.75 解析:∵X服从两点分布， ∴X的概率分布为 D(X)＝0.52×0.5+(1－0.5)2×0.5＝0.25. 答案:A 4.离散型随机变量X的分布列为P(X＝k)＝p k q1－k(k＝0,1,p+q＝1)，则EX与DX依次为( ) A.0和1 B.p和p2 C.p和1－p D.p和p(1－p) 解析:根据题意，EX＝0×q+1×p＝p,DX＝(0－p)2q+(1－p)2p＝p(1－p)或可以判断随机变量X 满足两点分布，所以EX与DX依次为p和p(1－p)，选D. 答案:D 5.已知X～B(n,p),EX＝8,DX＝1.6，则n与p的值分别是( ) A.100,0.08 B.20,0.4 C.10,0.2 D.10,0.8 解析:由于X～B(n,p),EX＝8,DX＝1.6，即np＝8,np(1－p)＝1.6， 可解得p＝0.8，n＝10，应选D. 答案:D 二、填空题 6.①连续不断地射击，首次击中目标所需要的射击次数为X;②南京长江大桥一天经过的车辆数为X;③某型号彩电的寿命为X；④连续抛掷两枚骰子，所得点数之和为X；⑤某种水管的外径与内径之差X. 其中是离散型随机变量的是____________.(请将正确的序号填在横线上) 解析:②④中X的取值有限，故均为离散型随机变量；①中X的取值依次为1,2,3,…,虽然无限，但可按从小到大顺序列举，故为离散型随机变量;而③⑤中X的取值不能按次序一一列举，故均不是离散型随机变量.
1.编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X. （1）求随机变量X 的分布列； （2）求随机变量X 的数学期望和方差. 解 （1）P （X=0）= 33 A 2= 3 1 ； P （X=1）= 33 13A C = 21；P （X=3）=33 A 1 =61； ∴随机变量X 的分布列为 （2）E （X ）=1×21+3×6 1 =1. D （X ）=(1-0)2 · 31+(1-1)2·21+(3-1)2 ·6 1=1. 2 某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红球可获得奖金50元.现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令X 表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额.求： （1）X 的分布列； （2）X 的均值. 解 （1）X 的所有可能取值为0，10，20，50，60. P （X=0）=3 109?? ? ??=0001729； P （X=10）=101×2 109??? ??+10 9×12C × 101×109=0001243; P(X=20)= 101×12C × 10 1×109=000118; P(X=50)=109 ×210 1=00019; P(X=60)= 3 101 = 000 11 . 故X 的分布列为
（2）E （X ）=0× 0001729+10×0001243+20×000 118+50×00019+60×00011 =3.3(元). 3（本小题满分13分） 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生 产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y 的含 （1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量； （2）当产品中的微量元素x,y 满足x ≥175，且y ≥75时,该产品为优 等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量； （3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产 品中优等品数ξ的分布列极其均值（即数学期望）。 解：（1） 98 7,573514 =?=，即乙厂生产的产品数量为35件。 （2）易见只有编号为2，5的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中的 优等品2,5 故乙厂生产有大约2 35145 ? =（件）优等品， （3）ξ的取值为0， 1，2。 211 23323222 555331 (0),(1),(2)10510 C C C C P P P C C C ξξξ?========= 所以ξ的分布列为
二维随机变量的期望与方差 【定义11.1】设二维随机变量（X 、Y ）的Joint p.d.f.为f(x,y)，则： ????????????∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞ ∞-∞∞--=-=-=-=====dxdy y x f EY y dy y f EY y DY dydx y x f EX x dx x f EX x DX dxdy y x yf dy y yf EY dydx y x xf dx x xf EX Y X Y X ),()()()(),()()()(),()(),()(2222 假定有关的广义积分是绝对收敛的。 别外：二维随机变量的函数Z=g(X,Y)的数学期望为： ??∞∞-∞∞-?=dxdy y x f y x g EZ ),(),( 有关性质： ① E （X+Y ）=EX+EY ； 因为： EY EX dxdy y x yf dxdy y x xf dxdy y x f y x Y X E +=+=+=+??????∞∞-∞ ∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-),(),(),()()( ② 设X 、Y 同类型，且相互独立，则：E(XY)=EXEY ；
对连续情形：因X 、Y 相互独立， 故 )()(),(y f x f y x f Y X =， [][]EY EX dy y yf dx x xf dxdy y f x xyf dxdy y x xyf XY E Y X Y X ?=? ===??????∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-)()()()(),()( ③ 设X 、Y 相互独立，则：D （X+Y ）=DX+DY ； 由于X 、Y 相互独立，X-EX 与Y-EY 也相互独立， 0][][]}][{[=--=--EY Y E EX X E EY Y EX X E 因而： DY DX EY Y EX X E EY Y E EX X E EY Y EX X E Y X E Y X E Y X D +=--+-+-=-+-=+-+=+)])([(2)()(} )](){[(} )]({[)(2222
样本方差为何除以n-1? 方差的概念从小学就开始建立了。对于一个随机变量，分别表示其数学期望和 方差，从中随机抽取n个样本，是样本均值， 是样本方差。那么为什么样本方差是除以而不是n 呢？ 这里涉及到一个无偏估计的概念，是随机变量，同样也是随机变量，其中是对总体的一个估计，如果的期望分别等于的话，就说这种 估计是无偏的。容易证明，但是 的证明就不是那么显而易见了，下面我证明给大家看。记为的方差和期望。
证毕～～
这样看，x1,x2,...xn是n个可以自由变化的样本，互不影响。 而x1-xbar, x2-xbar,...xn-xbar是否也是n个自由变化的呢？不是……因为这n个统计量受到一个约束条件的影响就是之和等于0。如果我们记yi=xi-xbar,也就是说y1+y2+...yn=0, 这样我们可以任意变动其中n－1值，比如取定了y1,y2,...y(n-1)，那么yn就不能任意变化，yn=-(y1+y2+y(n-1))。 这个只是从自由变化的角度直观解释，实际上证明分布比较烦琐…… 比如说让十跟人任意取十个数,很容易理解可以随便取.十个都是自由的. 如果我加一个条件,十个人取十个数,但是这是个书加起来必须得零. 第一个人可以随便取,第二个人也可以,第九个也可以,都是自由的, 但是第十个人不能随便自由取,只能取特定的数,才能保证这十个数的 和是零.所以加了一个条件就丢了一个自由度 自由度是指当以样本的统计量来估计总体的参数时，样本中独立或能自由变化的数据的个数称为该统计量的自由度。当平均数的值和其中n-1个数据的值已知时，另一个数据的值就不能自由变化了，因此样本方差无偏估计的自由度为n-1。