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高中数学直线与圆及其方程

直线与圆及其方程专题复习

一、高考考点梳理

（一）、直线的倾斜角与斜率

1．直线的倾斜角

①定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角，当直线l和x轴平行时，它的倾斜角为0.

②范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)．

2．直线的斜率

①定义：当α≠90°时，一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα，倾斜角是90°的直线斜率不存在．

②过两点的直线的斜率公式

经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1

x2－x1

. （二）、直线方程的五种形式

（三）、线段的中点坐标公式

若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标

为(x ，y )，则???x ＝x 1＋x 22，

y ＝y 1

＋y 2

2，

此公式为线段P 1P 2

的中点坐标公式.

（四）、两条直线平行与垂直的判定

1．两条直线平行：对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，

则有l 1∥l 2?k 1＝k 2.特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2平行.

2．两条直线垂直：如果两条直线l 1，l 2斜率都存在，设为k 1，k 2，

则l 1⊥l 2?k 1·k 2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.

（五）、两直线相交：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共

点的坐标与方程组?????A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，

A 2x ＋

B 2y ＋

C 2＝0的解一一对应.

相交?方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行?方程组无解；重合?方程组有无数个解.

（六）、距离公式

1．两点间的距离公式

平面上任意两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)间的距离公式为 |AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.

特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2.

2．点到直线的距离公式：平面上任意一点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |

A 2＋

B 2.

3．两条平行线间的距离公式

一般地，两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离

d ＝

|C 1－C 2|A 2

＋B

（七）、圆的定义和圆的方程

（八）、点与圆的位置关系

平面上的一点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2之间存在着下列关系： 1．d ＞r ?M 在圆外，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2?M 在圆外； 2．d ＝r ?M 在圆上，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2?M 在圆上； 3．d ＜r ?M 在圆内，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2?M 在圆内.

（九）、直线与圆的位置关系

设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆心C (a ，b )到直线l

的距离为d ，由?????（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，

Ax ＋By ＋C ＝0

消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，其判别式为Δ.

（十）、圆与圆的位置关系

设两个圆的半径分别为R ，r ，R ＞r ，圆心距为d ，则两圆的位置关系可用下表来表示：

题型一圆的方程

【例1】（2018国Ⅱ卷）设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k(k>0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB|=8．（1）求l 的方程；

（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．

解析：（1）由题意得F(1,0)，l 的方程为y=k(x-1)(k>0). 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由???

y=k(x-1)

y 2

=4x 得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0.

Δ=16k 2

+16>0，故x 1+x 2=2k 2+4

所以|AB|= x 1+x 2+2=2k 2+4

k 2+2=8 ，解得k=-1（舍去），k=1.

因此l 的方程为y=x-1.

（2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y-2=-(x-3)，即y=-x+5.

设所求圆的圆心坐标为(x 0

,y 0

)，则?

y 0

=-x 0

(x 0

+1)2

=(y 0

-x 0

+1)

2+16

解得??

x 0=3

y 0=2

或??

x 0=11y 0=-6

因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.

题型二求点到直线的距离

【例2】（2020国Ⅲ卷）点到直线

距离的最大值为( )

A. B. C. D.

解析：因为点

到直线

距离；

要求距离的最大值，故需；

可得

；当

时等号成立；故选B ．

题型三直线与圆的综合问题

【例3】（2020国Ⅰ卷）已知圆x 2+y 2-6x =0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析：依题意，圆心为C (3,0)，半径r =3，过点A (1,2)的最短弦是垂直于AC 的弦.又AC ，由勾股定理可得最短弦长等于2，故选B.

【例4】（2020国Ⅱ卷）若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线

230x y --=的距离为（）

A.5

B.5

C.5

解析：依题意，因为点(2,1)在直线230x y --=上，结合题意可设圆心坐标为

(,)a a ，则222(2)(1)a a a -+-=，即2650a a -+=，所以1a =，或5a =，所以

圆心坐标为(1,1)或(5,5)，当圆心坐标为(1,1)时，其到直线230x y --=的距离

5=；当圆心坐标为(5,5)时，其到直线230x y --=的距离为

5=，综上，可知B 正确．故选B ．【例5】（2018国Ⅰ卷）直线y=x+1与圆x 2+y 2+2y-3=0交于A,B 两点，则|AB|=________．

解析：圆心为(0,-1),半径R=2,线心距d=2,|AB|=2R 2-d 2=2 2

【例6】（2018国Ⅲ卷）直线x+y+2=0分别与x 轴，y 轴交于A,B 两点，点P 在圆(x-2)2+y 2=2上，则ΔABP 面积的取值范围是( ) A ．[2,6]

B ．[4,8]

C ．[2,32]

D ．[22,32]

解析：线心距d=22,点P 到直线的最大距离为32，最小距离为2，|AB|=22,S min =2, S max =6 .故选A .

【例7】（2017国Ⅲ卷）在直角坐标系xOy 中，曲线22-+=mx x y 与x 轴交于

B A ,两点，点

C 的坐标为（0,1）.当m 变化时，解答下列问题：

（1）能否出现BC AC ⊥的情况？说明理由；

（2）证明过C B A ，，三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 解析：（1）令）（0,1x A ，）（0,2x B ，又）

（1,0C 1x ，2x 为022=-+mx x 的根

0?> ??

?-=-=+22

121x x m

x x 假设BC AC ⊥成立，0=?∴C B C A

)1,()1,-011x x C A -==（，)1,()1,-022x x C B -==（ 01121≠-=+=?∴x x C B C A

∴不能出现BC AC ⊥的情况.

（2）令圆与y 轴的交点为）（1,0C ，）（3,0y D 令圆的方程为022=++++F Ey Dx y x 令0=y 得02=++F Dx x 的根为1x ，2x

2-==∴F m D ，

令0=x 得02=++F Ey y ……. ① 点）

（1,0C 在①上，021=-+∴E 1=∴E 022=-+∴y y 解得1=y 或2-=y 23-=∴y

∴过C B A ，，三点的圆在y 轴上截得的弦长为3,为定值.

【例8】（2015国Ⅰ卷）已知过点且斜率为k 的直线l 与圆C ：交于M ，N 两点. （Ⅰ）求k 的取值范围；

（Ⅱ），其中O 为坐标原点，求.

()1,0A ()()2

231x y -+-=12OM ON ?=MN

解析：（Ⅰ）由题设，可知直线l 的方程为.

因为l 与C 交于两点，所以

所以的取值范围是

（Ⅱ）设. 将代入方程,整理得,

所以 , 由题设可得

，解得，所以l 的方程为.

故圆心在直线l 上，所以.

1y kx 147

k 4

1122(,),(,)M x y N x y 1y

kx 2

1x y 22(1)-4(1)70k x k x 12

4(1)

7,.11k x x x x k k

2121212122

4(1)1181k k OM ON x x y y k x x k x x k 2

4(1)

8=121k k k

=1k 1y x ||2MN

高一数学圆的方程经典例题

典型例题一例1 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l 、2l 的方程，从代数计算中寻找解答．解法一：圆9)3()3(22=-+-y x 的圆心为)3,3(1O ，半径3=r ．设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324 311 34332 2 <=+-?+?= d ．如图，在圆心1O 同侧，与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点，这两个交点符合题意．又123=-=-d r ． ∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意． ∴符合题意的点共有3个．解法二：符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ，且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为043=++m y x ，则14 3112 2 =++= m d ， ∴511±=+m ，即6-=m ，或16-=m ，也即 06431=-+y x l ：，或016432=-+y x l ：．设圆9)3()3(2 2 1=-+-y x O ：的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ，则 34 36 343322 1=+-?+?=d ，14 316 34332 2 2=+-?+?= d ． ∴1l 与1O 相切，与圆1O 有一个公共点；2l 与圆1O 相交，与圆1O 有两个公共点．即符合题意的点共3个．说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：

设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324 311 34332 2 <=+-?+?=d ． ∴圆1O 到01143=-+y x 距离为1的点有两个．显然，上述误解中的d 是圆心到直线01143=-+y x 的距离，r d <，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断．典型例题三例3 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ．所以所求圆的方程为20)1(2 2=++y x ．解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 124-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为： 23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C

高中数学-必修二-圆与方程-经典例题

习题精选精讲圆标准方程已知圆心),(b a C 和半径r ,即得圆的标准方程222 )() (r b y a x =-+-；已知圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-，即得圆心 ),(b a C 和半径r ，进而可解得与圆有关的任何问题．一、求圆的方程例1 (06重庆卷文) 以点)1,2(-为圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的方程为（ ) （A)3)1()2(22=++-y x (B)3)1()2(2 2=-++y x （C)9)1() 2(22 =++-y x （D)9)1()2(22=-++y x 解已知圆心为)1,2(-,且由题意知线心距等于圆半径，即2 243546+++= d r ==3，∴所求的圆方程为9)1()2(22=++-y x ，故选(C). 点评：一般先求得圆心和半径,再代入圆的标准方程222 )()(r b y a x =-+-即得圆的方程. 二、位置关系问题例2 (06安徽卷文) 直线1=+y x 与圆0222=-+ay y x )0(>a 没有公共点,则a 的取值范围是( ) (A))12,0(- (B ）)12,12( +- （C))12,12(+-- (D))12, 0(+ 解化为标准方程222 )(a a y x =-+，即得圆心),0(a C 和半径a r =. ∵直线 1=+y x 与已知圆没有公共点，∴线心距a r a d =>-= 2 1，平方去分母得 2 2212a a a >+-，解得 1212-<<--a ,注意到0>a ，∴120-<r d 线圆相离；?=r d 线圆相切;?