浅谈高中数学零点问题(2)
高中新课程标准在数学必修1第三章函数的应用中新增了函数的零点一部分.函数是中学数学的核心概念，核心的根本原因之一在于
函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个
链结点，它从不同的角度，将数与形、函数与方程有机地联系在一起.
一、函数零点的意义
在系统地掌握了函数的概念及性质，基本初等函数知识后，学习方程的根与函数的零点之间的关系，并结合函数的图像和性质来判
断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在
零点的判定方法，为“二分法求方程的近似解”和后续学习的算法
提供了基础.因此方程的根与函数的零点的内容具有承前启后的作用，意义重大.
二、函数零点的概念
1.函数零点的定义
对于函数y=f(x)(x∈D)，把使f(x)=0成立的实数x叫做函数
y=f(x)(x∈D)的零点.
2.几个等价关系
方程f(x)=0有实数根?圳函数y=f(x)的图像与x轴有交点?圳函
数y=f(x)有零点.
3.函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数f(x)=0在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)?f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，即
存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是f(x)=0的根.
三、函数零点的题型及解法
【题型一】解方程：当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上.
[例1]函数f(x)=x-的零点为________.
解析：由x-=0(x≠0)得：x-4=0(x≠0)，
∴x=±2，即函数f(x)的零点为-2和2.
[知识迁移1](2010?福建高考)
函数f(x)=x+2x-3(x≤0)-2+lnx(x>0)的零点个数为()
A.0B.1C.2D.3
解析：令f(x)=0，得x≤0x+2x-3=0或x>0lnx=2，
∴x=-3或x=e，∴答案为C.
[知识迁移2]已知函数f(x)=4+m?2+1=0有且只有一个零点，则实数m的值为?摇?摇?摇?摇.
解析：由题知：方程4+m?2+1=0只有一个零点.
令2=t(t>0)，
∴方程t+m?t+1=0只有一个正根，
∴由图像可知->0Δ=0，∴m=-2.
小结：这类题型主要考查函数零点的有关知识，考查等价转化、函数与方程的思想等.
【题型二】利用函数零点的存在性定理进行判断.
[例2]已知函数f(x)=x+x+a(a<0)在区间(0，1)上有零点，则a 的范围为?摇?摇?摇?摇.
解析：由题意f(0)?f(1)<0，
∴a(2+a)<0，
∴-2
[知识迁移1](2010?天津高考)
函数f(x)=2+3x的零点所在的一个区间是()
A.(-2，-1)
B.(-1，0)
C.(0，1)
D.(1，2)
解析：由题意可知f(-2)=-6<0，f(-1)=-3<0，f(0)=1>0，
f(2)>0，f(-1)?f(0)<0，因此在区间(-1，0)上一定有零点.∴答案
为B.
[知识迁移2](2011?新课标全国高考)
在下列区间中，函数f(x)=e+4x-3的零点所在的区间为()
A.(-，0)
B.(0，)
C.(，)
D.(，)
解析：∵f()=e+4×-3<0，f()=e+4×-3>0，
∴f(x)=e+4x-3的零点所在的区间为(，).答案为C.
小结：这类题型主要考查函数零点的有关概念、判断函数零点所在区间及函数零点存在定理等.
【题型三】通过画函数图像，观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
[例3]判断函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数.
解析：在同一坐标系画出y=lnx与y=6-2x的图像，由图可知两图像只有一个交点，故函数f(x)=lnx+2x-6只有一个零点.
[知识迁移1](2009?山东高考)若函数f(x)=a-x-a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是?摇?摇?摇?摇.
解析：令g(x)=a(a>0，且a≠1)，h(x)=x+a，分01两种情况.在同一坐标系中画出两个函数的图像.如图，若函数f(x)=a-x-a有两
个不同的零点，则函数g(x)、h(x)的图像有两个不同的交点.根据
画出的图像只有当a>1时符合题目要求.
[知识迁移2](2011?山东高考)已知函数f(x)=logx+x-b(a>0，且
a≠1).当2
解析：令y=logx，y=b-x，函数f(x)的零点就是这两个函数图像交点的横坐标，由于直线y=b-x在y轴上的截距b满足31+3-4=0.
根据函数零点存在性定理可得，函数f(x)的零点在区间(2，3)内，
故n=2.
小结：这类题型主要考查函数的应用、函数零点的有关概念、一次函数、指数函数、对数函数的基础知识，考查分析问题、解决问
题的能力，考查等价转化、数形结合的思想，等等.
根据以上的题型及解法分析，我们把函数的零点问题的解决总结为：判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体问题灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断;当不能直接求出时，可根据零点存在性定理进行判断;当用零点存在性定理也无法判断时
可画出图像判断.
从近几年的高考试题来看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题.利用函数零点的存
在性定理或函数的图像，对函数是否存在零点(方程是否存在实根)
进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围，是
高考中常见的题目类型.
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