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高中数学必修辅导教学材料

必修

一

第1章集合

§1.1 集合的含义及其表示

重难点：集合的含义与表示方法，用集合语言表达数学对象或数学内容；区别元素与集合等概念及其符号表示；用集合

语言（描述法）表达数学对象或数学内容；集合表示法的恰当选择．

考纲要求：①了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系；

②能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题．

经典例题：若x ∈R ，则｛3，x ，x 2

－2x ｝中的元素x 应满足什么条件? 当堂练习：

1．下面给出的四类对象中，构成集合的是（）

A 2A C 3． A 4A 5． A 60__________{0}， a __________{a }，

__________Q ，

__________Z ，－1__________R ， 0__________N ， 0

Φ．

7．由所有偶数组成的集合可表示为{x x = }．

8．用列举法表示集合D={2

(,)8,,x y y x x N y N =-+∈∈}为． 9．当a 满足时, 集合A ＝{30,x x a x N +-<∈}表示单元集． 10．对于集合A ＝{2，4，6}，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的值是__________．

11．数集{0，1，x 2

－x }中的x 不能取哪些数值？ 12．已知集合A ＝{x ∈N|

126x

－∈N

}，试用列举法表示集合A ．

13.已知集合A={2

210,,x ax x a R x R ++=∈∈}.

(1)若A 中只有一个元素,求a 的值; (2)若A 中至多有一个元素,求a 的取值范围. 14.由实数构成的集合A 满足条件:若a ∈A, a ≠1,则

11A a

∈-,证明：

（1）若2∈A ，则集合A 必还有另外两个元素，并求出这两个元素；（2）非空集合A 中至少有三个不同的元素。

§1.2 子集、全集、补集

重难点：子集、真子集的概念；元素与子集，属于与包含间的区别；空集是任何非空集合的真子集的理

解；补集的概念及其有关运算．

考纲要求：①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；

②在具体情景中，了解全集与空集的含义；

③理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．

经典例题：已知A =｛x |x =8m +14n ，m 、n ∈Z ｝，B =｛x |x =2k ，k ∈Z ｝，问：

（1）数2与集合A 的关系如何? （2）集合A 与集合B 的关系如何?

当堂练习：

1．下列四个命题：①Φ＝｛0｝；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的有（） A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

2．若M ＝{x ｜x ＞1}，N ＝{x ｜x ≥a }，且N ?M ，则（） A ．a ＞1 B ．a ≥1 C ．a ＜1 D ．a ≤1 3．设U 为全集，集合M 、N

U ，且M ?N ，则下列各式成立的是（）

A ．M C U ? N C U

B ．M

C U ?M C ．M C U ?N C U

D ． M C U ?N

4. 已知全集U ＝{x ｜－2≤x ≤1}，A ＝{x ｜－2＜x ＜1 }，B ＝{x ｜x 2

＋x －2＝0}，

C ＝{x ｜－2≤x ＜1}，则（）

A ．C ?A

B ．

C ?A C U C ．B C U ＝C

D ．A C U ＝B 5．已知全集U ＝{0，1，2，3}且A C U ＝{2}，则集合A 的真子集共有（） A ．3个 B ．5个 C ．8个 D ．7个

6．若A B ，A C ，B ＝｛0，1，2，3｝，C ＝｛0，2，4，8｝，则满足上述条件的集合A 为________．

7．如果M ＝{x ｜x ＝a 2＋1，a ∈N*}，P ＝{y ｜y ＝b 2

－2b ＋2，b ∈N ＋}，则M 和P 的关系为M _________P ． 8．设集合M ＝{1，2，3，4，5，6}，A ?M ，A 不是空集，且满足：a ∈A ，则6－a ∈A ，则满足条件的集合A 共有_____________个．

9．已知集合A={13x -≤≤}， A C U ={|37x x <≤}，B C U ={12x -≤<}，则集合B= ． 10．集合A ＝{x |x 2

＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，若B A ，则实数m 的值是． 11．判断下列集合之间的关系：

（1）A={三角形}，B={等腰三角形}，C={等边三角形}；（2）A={2

|20x x x --=},B={|12x x -≤≤},C={2

|44x x x +=}; （3）A={10

|110x x ≤≤},B={2

|1,x x t t R =+∈},C={|213x x +≥}; （4）11{|,},{|,}.24

k k A x x k Z B x x k Z ==

+∈==

+∈

12．已知集合{}

|(2)10A x x p x x R =+++=∈，，且?A {负实数}，求实数p 的取值范围．

13．.已知全集U={1,2,4,6,8,12},集合A={8,x,y,z},集合B={1,xy,yz,2x},其中6,12z ≠,若A=B, 求

A C U ．

14．已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{x ∈U |x 2

－5qx ＋4＝0，q ∈R}．（1）若A C U ＝U ，求q 的取值范围；

（2）若A C U 中有四个元素，求A C U 和q 的值；（3）若A 中仅有两个元素，求A C U 和q 的值．

§1.3 交集、并集

重难点：并集、交集的概念及其符号之间的区别与联系．

考纲要求：①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；

②能使用韦恩图（Venn ）表达集合的关系及运算．经典例题：已知集合A={}

0,x x x -= B={

}

240,x ax x -+=且

A ?B=

B ，求实数a 的取值范围．

当堂练习： 1．已知集合{}{}

{}2

20,0,2M

x x

px N x x

x q M N =

++==

--=?=且，则

q p ,的值为（）

． A ．3,2p q =-=- B ．3,2p q =-= C ．3,2p q ==- D ．3,2p q ==

2．设集合A ＝｛（x ，y ）｜4x ＋y ＝6｝，B ＝｛（x ，y ）｜3x ＋2y ＝7｝，则满足C ?A ∩B 的集合C 的个数是（）． A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

3．已知集合{}{}|35|141A x x B x a x a =-≤≤=+≤≤+，，A B B ?=且， B φ≠，则实数a 的取值范围是（）

．

4.设全集U=R ，集合{}{}()()0,()0,0()

f x M x f x N x

g x g x =====则方程

的解集是（）．

A ．M

B ． M ∩（N

C U ） C ． M ∪（N C U ）

D ．M N ?

5.有关集合的性质:(1) U C (A ?B)=( A C U )∪（B C U ）; (2) U C (A ?B)=(

A C U )?（

C U (3)

A ? (A C U )=U (4) A ? (A C U )=Φ 其中正确的个数有（）个． A.1

B ． 2

C ．3

D ．4

7 8则910.(C U 1112(C U 14.1 （A ） {a} A （B ）a ?A （C ）{a}∈A （D ）a ?A 2．若{1，2} A ?{1，2，3，4，5}，则集合A 的个数是（）（A ）8 （B ）7 （C ）4 （D ）3 3．下面表示同一集合的是（）

（A ）M={（1，2）}，N={（2，1）} （B ）M={1，2}，N={（1，2）} （C ）M=Φ，N={Φ} （D ）M={x|2

210}x x -+=,N={1}

4．若P ?U ，Q ?U ，且x ∈C U （P ∩Q ），则（）

（A ）x ?P 且x ?Q （B ）x ?P 或x ?Q （C ）x ∈C U (P ∪Q) （D ）x ∈C U P 5．若M ?U ，N ?U ，且M ?N ，则（）

≠

（A ）M ∩N=N （B ）M ∪N=M （C ）C U N ?C U M （D ）C U M ?C U N 6．已知集合M={y|y=－x 2

+1,x ∈R}，N={y|y=x 2

,x ∈R},全集I=R ，则M ∪N 等于（）（A ）{(x,y)|x=21,,}22

y x y R ±

∈，（B ）{(x,y)|x 21,,,}22

y x y R ≠±

≠

∈

（C ）{y|y ≤0,或y ≥1} （D ）{y|y<0, 或y>1}

7．50名学生参加跳远和铅球两项测试,跳远和铅球测试成绩分别及格40人和31人,两项测试均不及格的有4人,则两项测试成绩都及格的人数是( )

（A ）35 （B ）25 （C ）28 （D ）15 8．设x,y ∈R,A={}(,)x y y x =,B= {

}

(,)

1y x y x

=,则A 、B 间的关系为（）

（A ）A B （B ）B A （C ）A=B （D ）A ∩B=Φ

9．设全集为R ，若M={}1x x ≥ ，N= {}05x x ≤<，则（C U M ）∪（C U N ）是（）（A ）{}0x x ≥ （B ） {}15x x x <≥或（C ）{}15x x x ≤>或（D ） {}05x x x <≥或

10．已知集合{|31,},{|32,}M x x m m Z N y y n n Z ==+∈==+∈，若00,,x M y N ∈∈ 则0与集合,M N 的关系是（）

（A ）00y x M ∈但N ?（B ）00y x N ∈但M ?（C ）00y x M ?且N ?（D ）00y x M ∈且N ∈ 11．集合U ，M ，N ，P 如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（）

（A ）M ∩（N ∪P ）（B ）M ∩C U （N ∪P ）

（C ）M ∪C U （N ∩P ）（D ）M ∪C U （N ∪P ） 12．设I 为全集，A ?I,B A,则下列结论错误的是（）

（A ）C I A

C I B （B ）A ∩B=B （C ）A ∩C I B =Φ （

D ） C I A ∩B=Φ

13．已知x ∈{1，2，x 2

}，则实数x=__________．

14．已知集合M={a,0}，N={1，2}，且M ∩N={1}，那么M ∪N 的真子集有个．

15．已知A={－1，2，3，4}；B={y|y=x 2

－2x+2,x ∈A},若用列举法表示集合B ，则B= ．

16．设{}1,2,3,4I =，A 与B 是I 的子集，若{}2,3A B =，则称(,)A B 为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”的个数是．（规定(,)A B 与(,)B A 是两个不同的 “理想配集”）

17．已知全集U={0，1，2，…，9}，若(C U A)∩(C U B)={0，4，5}，A ∩(C U B)={1，2，8}，A ∩B={9}，试求A ∪B ．

18．设全集U=R,集合A={}14x x -<<,B={}1,y y x x A =+∈,试求C U B, A ∪B, A ∩B,A ∩(C U B), ( C U A) ∩(C U B)．

19．设集合A={x|2x 2

+3px+2=0}；B={x|2x 2

+x+q=0}，其中p ，q ，x ∈R ，当A ∩B={}

时，求p 的值和A

∪B ．

20．设集合A={(x,y)642

++=x x y },B={}(,)2x y y x a =+,问：

(1) a 为何值时,集合A ∩B 有两个元素； (2) a 为何值时,集合A ∩B 至多有一个元素． 21．已知集合A={}1234,,,a a a a ，B={

1234

,,,a a a a ，其中1

,,,a a a a

均为正整数，且1234a a a a <<<，A

∩B={a 1,a 4}, a 1+a 4=10, A ∪B 的所有元素之和为124,求集合A 和B ．

22．已知集合A={x|x 2－3x+2=0},B={x|x 2

－ax+3a －5},若A ∩B=B ，求实数a 的值．

U P M

第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ

§2.1.1 函数的概念和图象

重难点：在对应的基础上理解函数的概念并能理解符号“y =f （x ）”的含义，掌握函数定义域与值域的求法；函数的三种不同表示的相互间转化，函数的解析式的表示，理解和表示分段函数；函数的作图及如何选点作图，映射的概念的理解．

考纲要求：①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；

②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；③了解简单的分段函数，并能简单应用；

经典例题：设函数f （x ）的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域：

（1）H （x ）=f （x 2

+1）；

（2）G （x ）=f （x +m ）+f （x －m ）（m ＞0）. 当堂练习：

1．下列四组函数中,表示同一函数的是（） A ．2(),()f x x g x x ==

B ．2

(),()()f x x g x x ==

C ．2

1(),()11

x f x g x x x -==+- D ．2

()11,()1f x x x g x x =+?-=-

2．函数()y f x =的图象与直线x a =交点的个数为（）

A ．必有一个

B ．1个或2个

C ．至多一个

D ．可能2个以上 3．已知函数1()1

f x x =

+，则函数[()]f f x 的定义域是（）

A ．{}1x x ≠

B ．{}2x x ≠-

C ．{}1,2x x ≠--

D ．{}1,2x x ≠-

4．函数1()1(1)

f x x x =

--的值域是（）

A ．5

[,)4

+∞ B ．5

(,]4

-∞ C ． 4[,)3

+∞ D ．4(,]3

-∞

5．对某种产品市场产销量情况如图所示，其中：1l 表示产品各年年

产量的变化规

律；2l 表示产品各年的销售情况．下列叙述：（）（1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去；（2）产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌；

（3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量；（4）产品的产、销情况均以一定的年增长率递增．你认为较合理的是( ) A ．（1），（2），（3） B ．（1），（3），（4） C ．（2），（4） D ．（2），（3）

6．在对应法则,,,x y y x b x R y R →=+∈∈中,若25→,则2-→ ， →6．

7．函数()f x 对任何x R +

∈恒有1212()()()f x x f x f x ?=+，已知(8)3f =，则(2)f = ．

8．规定记号“?”表示一种运算，即a b ab a b a b R +

?=++∈，、. 若13k ?=，则函数()f x k x =?的值域是___________．

9．已知二次函数f(x)同时满足条件： (1) 对称轴是x=1； (2) f(x)的最大值为15；(3) f(x)的两根立方和等于17．则f(x)的解析式是． 10．函数2

522

y x x =

-+的值域是．

11．求下列函数的定义域： (1)()121

x f x x =-

- (2)0

(1)

()x f x x x

．求函数y x =-

13．已知f(x)=x 2

+4x+3，求f(x)在区间[t,t+1]上的最小值g(t)和最大值h(t)．

沿折线

（1（2 )上）

1f (1)等于（2A ．3．已知函数(1)()11f x x x =++-, (2)()f x =

()33f x x x =+

(4)0()

()1()R

x Q f x x C Q ∈=∈???,其中是偶函数的有（）个

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

4．奇函数y =f （x ）（x ≠0），当x ∈（0，+∞）时，f （x ）=x －1，则函数f （x －1）的图象为（）

5．已知映射f:A →B,其中集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象,且对任意的A a ∈,在B 中和它对应的元素是a ,则集合B 中元素的个数是（）

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

6．函数2

()24f x x tx t =-++在区间[0, 1]上的最大值g(t)是． 7．已知函数f(x)在区间(0,)+∞上是减函数,则2

(1)f x x ++与

()34

f 的大小关系是

．

8．已知f(x)是定义域为R 的偶函数,当x<0时, f(x)是增函数,若x 1<0,x 2>0,且12x x <,则1()f x 和2()f x 的大小关系是．

9．如果函数y =f (x +1)是偶函数，那么函数y =f (x )的图象关于_________对称． 10．点(x,y)在映射f 作用下的对应点是33(,

x y y x +-,若点A 在f 作用下的对应点是B(2,0),则点

A 坐标是．

13. 已知函数2

22()x x f x x

=,其中[1,)x ∈+∞，(1)试判断它的单调性；(2)试求它的最小值．

14．已知函数2

1()a f x a

a x

-，常数0>a 。

（1）设0m n ?>，证明：函数()f x 在[]m n ，上单调递增；（2）设0m n <<且()f x 的定义域和值域都是[]m n ，，求n m -的最大值． 13.(1)设f(x)的定义域为R 的函数,求证: 1

()[()()]2F x f x f x =+-是偶函数；

()[()()]2

G x f x f x =--是奇函数.

(2)利用上述结论，你能把函数32

()323f x x x x =+-+表示成一个偶函数与一个奇函数之和的形式．

14. 在集合R 上的映射:21:1f x z x →=-,2

2:4(1)1f z y z →=--.

(1)试求映射:f x y →的解析式;

(2)分别求函数f 1(x)和f 2(z)的单调区间; (3) 求函数f(x)的单调区间.

第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ

§2.1.3单元测试

1．设集合P={}04x x ≤≤,Q={}02y y ≤≤,由以下列对应f 中不能．．构成A 到B 的映射的是（）A ．12

y x =

B ． 13

y x =

C ． 23

y x =

D ． 18x y =

2．下列四个函数: (1)y=x+1; (2)y=x+1; (3)y=x 2

-1; (4)y=

,其中定义域与值域相同的是（）

A ．(1)(2)

B ．(1)(2)(3)

C ．2)(3)

D ．(2)(3)(4) 3．已知函数7

()2c f x ax bx x

=++

-,若(2006)10f =,则(2006)f -的值为（）

A ．10

B ． -10

C ．-14

D ．无法确定 4．设函数1(0)

()1(0)x f x x ->=

，则()()()()2a b a b f a b a b ++-?-≠的值为（）

A ．a

B ．b

C ．a 、b 中较小的数

D ．a 、b 中较大的数

5．已知矩形的周长为1,它的面积S 与矩形的长x 之间的函数关系中,定义域为（） A ．

6A ．7 8．0>，

9A ．10）

A ．

11）A ．12A -5 1314151617．作出函数2

23y x x =-++的图象，并利用图象回答下列问题： (1)函数在R 上的单调区间； (2)函数在[0,4]上的值域． 18．定义在R 上的函数f (x )满足：如果对任意x 1，x 2∈R ，都有f (

x x +)≤

［f (x 1)+f (x 2)］，则称函

数f (x )是R 上的凹函数.已知函数f (x )＝ax 2

+x (a ∈R 且a ≠0)，求证：当a ＞0时，函数f (x )是凹函数； 19．定义在(－1，1)上的函数f (x )满足：对任意x 、y ∈(－1，1)都有f (x )+f (y )=f (

1x y xy

++)．

(1)求证：函数f (x )是奇函数；

(2)如果当x ∈(－1，0)时，有f (x )＞0，求证：f (x )在(－1，1)上是单调递减函数；

20．记函数f (x )的定义域为D ，若存在x 0∈D ，使f (x 0)=x 0成立，则称以(x 0，y 0)为坐标的点是函数f (x )的图象上的“稳定点”． (1)若函数f (x )=

31x x a

-+的图象上有且只有两个相异的“稳定点”，试求实数a 的取值范围；

(2)已知定义在实数集R 上的奇函数f (x )存在有限个“稳定点”，求证：f (x )必有奇数个“稳定点”．

第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ

§2.2指数函数

重难点：对分数指数幂的含义的理解，学会根式与分数指数幂的互化并掌握有理指数幂的运算性质；指数函数的性质的理解与应用，能将讨论复杂函数的单调性、奇偶性问题转化为讨论比较简单的函数的有关问题．

考纲要求：①了解指数函数模型的实际背景；

A ．2A ．3A ．4） A ．

5A ．6

7．设2m n

mn x a -+=，求x -

．

8．已知

1()31

f x m =

++是奇函数，则(1)f -= ．

9．函数1

()1(0,1)x f x a

a a -=->≠的图象恒过定点．

10．若函数()()0,1x

f x a b a a =->≠的图象不经过第二象限，则,a b 满足的条件是．

11．先化简,再求值其中256,2006a b ==；

(2) 1

222[()()]a b a b a ------,其中1

2,a b -==

．

12．(1)已知x ∈[-3,2]，求f(x)=

1114

+的最小值与最大值．

(2)已知函数2

33()x x f x a -+=在[0,2]上有最大值8,求正数a 的值．

(3)已知函数221(0,1)x

y a a a a =-->≠在区间[-1,1]上的最大值是14,求a 的值． 13．求下列函数的单调区间及值域:

14(1)（11A ．2．设a 1

2log (21)a a +的值是（）

A ．1-

B ．2-

C ．0

D ．12

3．函数y =

）

A ．[1

B ．[0,1]

C ．[0,)+∞

D ．{0}

4．设函数200,0

(),()1,lg(1),0

x x f x f x x x x ≤=>+>???若则的取值范围为（）

A ．（－1，1）

B ．（－1，+∞）

C ．(,9)-∞

D ．(,1)(9,)-∞-+∞

5．已知函数1

()(2

f x =，其反函数为()

g x ，则2

()g x 是（）

A ．奇函数且在（0，＋∞）上单调递减

B ．偶函数且在（0，＋∞）上单调递增

C ．奇函数且在（-∞，0）上单调递减

D ．偶函数且在（-∞，0）上单调递增 6．计算200832log [log (log 8)]= ． 7

1189101的图象1112(2)13

(2)14(1)(2)|h (x 1)－h §2.4幂函数

重难点：掌握常见幂函数的概念、图象和性质，能利用幂函数的单调性比较两个幂值的大小．考纲要求：①了解幂函数的概念；

②结合函数1

21,,,,y x y x y x y y x x

====

=的图像，了解他们的变化情况．

经典例题：比较下列各组数的大小：

（1）1.53

，1.73

1，1；（2）（－

）

，（－

107

）3

，1.1

；

（3）3.83

，3.952，（－1.8）5

3；（4）31.4，51.5

当堂练习：

1．函数y ＝（x 2

－2x ）

－

的定义域是（）

A ．{x |x ≠0或x ≠2}

B ．（－∞，0）（2，＋∞）

C ．（－∞，0）［2，＋∞ ）

D ．（0，2） 3．函数y ＝5

x 的单调递减区间为（）

A ．3A ．4A C 5A ．

B ．

C ．

D ． 6789 1011．试比较530.75

0.16,1.5,6.25的大小．

12．讨论函数y ＝x 5

4的定义域、值域、奇偶性、单调性。

13．一个幂函数y ＝f (x )的图象过点(3, 427),另一个幂函数y ＝g (x )的图象过点(－8, －2), (1)求这两个幂函数的解析式；（2）判断这两个函数的奇偶性；（3）作出这两个函数的图象，观察得f (x )< g (x )的解集. 14．已知函数y ＝42215x x －－．

（1）求函数的定义域、值域；（2）判断函数的奇偶性；（3）求函数的单调区间．

（1）

（2）（3）第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ

基本初等函数Ⅰ单元测试

1．碘—131经常被用于对甲状腺的研究，它的半衰期大约是8天(即经过8天的时间，有一半的碘—131会衰变为其他元素)．今年3 月1日凌晨，在一容器中放入一定量的碘 —131，到3月25日凌晨，测得该容器内还剩有2毫克的碘—131，则3月1日凌晨，放人该容器的碘—131的含量是（） A ．8毫克 B ．16毫克 C ．322．函数y ＝0.5x 、 y ＝x －2 、y ＝log 0.3x 如图所示,依次大致是（） A ．（1）（2）（3） B ．（2）（1）（3） C ．（3）（1）（2） D ．（3）（2）（1）

3．下列函数中，值域为(－∞,＋∞)的是（） A ．y ＝2x B ．y ＝x 2 C ．y ＝x －2

D ．y ＝log a x (a >0, a ≠1) 4

A 5A 6A b

7A 8A )＞f (2)

9f （x 1）+f A )(,0x f a 时=R ；③当0,()[3)a f x >+∞时在上有反函数.则其中正确的命题是（） A ．①②③ B ．②③ C ．①② D ．①③ 11．不等式0.30.40.20.6x x

?>?的解集是．

12．若函数22x x

y a -=-?的图象关于原点对称，则a = ．

13．已知0

中的最大值是M ，最小值是m ，则M ＝，m ＝．

14．设函数1

9()log (0,1)(9)2,(log 2)a f x x a a f f -=>≠=满足则的值是．