九年级数学垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系人教版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 ［学习目标］
1. 理解由圆的轴对称性推出垂径定理，概括理解垂径定理及推论为“知二推三”。（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分劣弧，（5）平分优弧。已知其中两项，可推出其余三项。注意：当知（1）（3）推（2）（4）（5）时，即“平分弦的直径不能推出垂直于弦，平分两弧。”而应强调附加“平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两弧”。
2. 深入理解垂径定理及推论，为五点共线，即圆心O ，垂足M ，弦中点M ，劣弧中点D ，优弧中点C ，五点共线。（M 点是两点重合的一点，代表两层意义）
3. 应用以上定理主要是解直角三角形△AOM ，在Rt △AOM 中，AO 为圆半径，OM 为弦AB 的弦心距，AM 为弦AB 的一半，三者把解直角形的知识，借用过来解决了圆中半径、弦、弦心距等问题。无该Rt △AOM 时，注意巧添弦心距，或
半径，构建直角三角形。
4. 弓形的高：弧的中点到弦的距离，明确由定义知只要是弓形的高，就具备了前述的（4）（2）或（5）（2）可推（1）（3）（5）或（1）（3）（4），实际可用垂径定理及推论解决弓形高的有关问题。
5. 圆心角、弧、弦、弦心距四者关系定理，理解为：（1）圆心角相等，（2）所对弧相等，（3）所对弦相等，（4）所对弦的弦心距相等。四项“知一推三”，一项相等，其余三项皆相等。源于圆的旋转不变性。即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图象完全重合。 ()()()()1234???
6. 应用关系定理及推论，证角等，线段等，弧等，等等，注意构造圆心角或弦心距作为辅助线。
7. 圆心角的度数与弧的度数等，而不是角等于弧。 二. 重点、难点：
垂径定理及其推论，圆心角，弧，弦，弦心距关系定理及推论的应用。 【典型例题】
例1. 已知：在⊙O 中，弦AB ＝12cm ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：∠AOB 的度数和圆的半径。
点悟：本例的关键在于正确理解什么是O 点到AB 的距离。 解：作OE ⊥AB ，垂足为E ，则OE 的长为O 点到AB 的距离，如图所示： ∴==?=OE AB cm 121
2
126()
由垂径定理知：AE BE cm ==6
∴△AOE 、△BOE 为等腰直角三角形
∴∠AOB ＝90°
由△AOE 是等腰直角三角形 ∴==OA AE 626，
即⊙O 的半径为62cm
点拨：作出弦（AB ）的弦心距（OE ），构成垂径定理的基本图形是解决本题的关键。 例2. 如图所示，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C 、D 两点，设大圆和小圆的半径分别为a ，b 。 求证：AD BD a b ·=-2
2
证明：作OE ⊥AB ，垂足为E ，连OA 、OC 则OA a OC b ==，
在Rt AOE ?中，AE OA OE 222=- 在Rt COE ?中，CE OC OE 2
2
2
=-
()()
∴-=---AE CE OA OE OC OE 222222
=-=-OA OC a b
22
2
2
即()()AE CE AE CE a b +-=-22
BD AC ED CE ==,
AD ED AE CE AE =+=+∴ BD AC CE AE ==-
即2
2b a BD AD -=?
点拨：本题应用垂径定理，构造直角三角形，再由勾股定理解题，很巧妙。 例3. ⊙O 的直径为12cm ，弦AB 垂直平分半径OC ，那么弦AB 的长为（ ） A. 33cm
B. 6cm
C. 63cm
D. 123cm
（20XX 年辽宁）
解：圆的半径为6cm ，半径OC 的一半为3cm ，故弦的长度为 (
)
2632321632
2
2
2
-=-=()cm
故选C 。
例4. 如图所示，以O 为圆心，∠AOB ＝120°，弓形高ND ＝4cm ，
矩形EFGH 的两顶点E 、F 在弦AB 上，H 、G 在AB ?
上，且EF ＝4HE ，
求HE 的长。
解：连结AD 、OG ∠=
∠=??=?AOD AOB 121
2
12060 OA ＝OD
∴△AOD 为等边三角形 ∵OD ⊥AN
∴NO ＝ND ＝4cm
C
O
A
B
M
D
O
∵OD ＝OG ＝8cm
设HE x =，则()MG x MO x cm ==+24， 在Rt OMG ?中，由MG OM OG 222+=得： ()()x x ++=4282
2
解得：x x 1212
54=
=-，（舍去） ∴HE 的长为12
5
cm
点拨：借助几何图形的性质，找出等量关系，列出方程求解，这是解决几何计算题的常用方法。
例5. 已知，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB cm OC cm ==85，，则DC 的长为（ ） A. 3cm
B. 2.5cm
C. 2cm
D. 1cm
（20XX 年北京东城区）
解：OD =-=5432
2
∴=-=DC cm 532()
故选C 。
常见错误：将DC 错算为OD ，即算出OD 就不再计算DC 了，从而错选A 。这种错误十分常见，一定要注意慎重的计算完全。
例6. 在⊙O 中，AB AC ?=?
2，那么（ ）
A. AB AC =
B. AB AC =2
C. AB AC >2
D. AB AC <2
解：如图所示，连结BC 。
AB AC ?=?2
∴?=?
AC BC ∴=AC BC
在△ABC 中，AB ＜AC ＋BC
∴AB ＜2AC 故选D 。
点拨：本题考察弦、弧、圆心角之间的关系，要正确理解三者之间的关系定理。 例7. 已知⊙O 的半径是10cm ，AB ?
是120°，那么弦AB 的弦心距是（ ） A. 5cm B. 53cm C. 103cm D.
5
2
3cm 解：如图所示，OA cm =10，∠AOB ＝120°
∴∠=∠=?AOC AOB 1
2
60
在Rt △ACO 中，
CO AO AOC cm =∠=?
=·cos ()101
2
5 故选A 。
点拨：本题考察弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系，要正确构造三角形，灵活运用。 例8. 等腰△ABC 的顶角A ＝120°，腰AB ＝AC ＝10，△ABC 的外接圆半径等于（ ） A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 解：如图所示，连结OA 、OB
∵AB ＝AC ＝10 ∴?=?
AB AC
由垂径定理的推论，得OA 垂直平分BC ，垂足为D 又∵∠BAC ＝120°
∴∠ABC ＝∠ACB ＝30° ∴∠BAO ＝60° 又∵OA ＝OB
∴△AOB 是等边三角形 ∴半径OA ＝OB ＝AB ＝10 故选C 。
点拨：垂径定理及其推论是很重要的性质，主要解题思路是构造特殊的三角形，然后应用定理解题。
例9. 点P 为半径是5的⊙O 内一点，且OP ＝3，在过点P 的所有弦中，长度为整数的弦一共有（ ）
A. 2条
B. 3条
C. 4条
D. 5条
（20XX 年山东）
解：选C 。
点拨：圆是中心对称图形，故与P 点对称的点，关于中点对称有一个，关于轴对称有2个。因此，长度为整数弦一共有4条。
例10. 如图所示，M 、N 分别是⊙O 的弦AB 、CD 的中点，AB ＝CD 。 求证：∠AMN ＝∠CNM
点悟：由弦AB ＝CD ，想到利用弧，圆心角、弦、弦心距之间的关系定理，又M 、N 分别为AB 、CD 的中点，如连结OM 、ON ，则有OM ＝ON ，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，故易得结论。
证明：连结OM 、ON
∵O 为圆心，M 、N 分别为弦AB 、CD 的中点 ∴OM ⊥AB ，ON ⊥CD ∵AB ＝CD ∴OM ＝ON
∴∠OMN ＝∠ONM
∵∠AMN ＝90°－∠OMN ∠CNM ＝90°－∠ONM
A B
O
C
D
∴∠AMN ＝∠CNM
点拨：有弦中点，常用弦心距利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理来证题。
例11. 在⊙O 1与⊙O 2中，分别有40°的MN ⌒和M N 11⌒
，那么：
（1）MN ⌒与M N
1
1
⌒相等吗？
（2）∠MO N 1与∠M O N 121相等吗？ 错解：（1）因为MN ⌒
与M N 11⌒
都是40°的弧
所以MN ⌒＝M N
1
1
⌒
（2）MN ⌒与M N 11⌒
相等，所以∠∠M O N M O N 11121=
常见错误：（1）误以为弧的度数相等弧亦相等，两弧相等必须是在同圆或等圆的前提下，
看它们是否“重合”；（2）应该知道圆心角是角，它的大小是可以用度数来衡量的，度数相同的角就相等。可见它不受所对的弧相等与否来制约。 正解：（1）不一定相等。（2）相等。 【模拟试题】（答题时间：30分钟） 一. 选择题。
1. 下列命题中，正确的命题是（ ）
A. 平分一条弦的直径，垂直平分这条弧所对的弦
B. 平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧
C. 在⊙O 中，AB 、CD 是弦，若AC BD ⌒⌒
=，则AB ∥CD D. 圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径 2. 已知P 为⊙O 内一点，且OP ＝3cm ，如果⊙O 的半径是4cm ，那么过P 点的最短弦等于（ ） A. 2cm B. 3cm C. 7cm D. 27cm 3. 弓形弦长24，弓形高为8，则弓形所在圆的直径是（ ） A. 10 B. 26 C. 13 D. 5
4. 在直径是10cm 的⊙O 中，AB ?
为60°，则弦AB 的弦心距是（ ）
A. 103cm
B. 1523cm
C. 53cm
D. 5
2
3cm
5. AB 、CD 分别为大小不同圆的弦，共AB ＝CD ，那么AB CD ??
、的关系是（ ）
A. AB CD ?=?
B. AB CD ?>?
C. AB CD ?
D. 不确定
二. 填空题。
6. 已知AB 为⊙O 直径，AC 为弦，OD ∥BC 交AC 于D ，AC ＝6cm ，则DC ＝____________。
7. 直角三角形外接圆的圆心在___________，它的半径为___________一半。
8. 若一个圆经梯形ABCD 四个顶点，则这个梯形是___________梯形。 9. 弦AB 把⊙O 分3：7，则∠AOB ＝___________。
10. 若⊙O 半径是4，P 在⊙O 内，PO ＝2，则过P 点的最短的弦所对劣弧是___________度。 11. ⊙O 中，弦AB 垂直直径CD 于点P ，半径OA ＝4cm ，OP ＝2cm ，则∠AOB ＝__________，
∠ADC ＝__________，BD ?
度数为__________，△ADC 周长为__________ cm 。
三. 解答题。
12. 如图，⊙O 的两弦AB ，CD 互相垂直于H ，AH ＝4，BH ＝6， CH ＝3，DH ＝8，求⊙O 半径。
13. 已知：如图，C 为⊙O 直径AB 上一点，过C 点作弦DE ，使CD ＝CO ，若AD ?
度数
为50°，求BE ?
的度数。
C
A H B
O D
D
B O
C A
E
试题答案
一. 选择题。
1. A
2. D
3. B
4. D
5. D
二. 填空题。 6. 3cm
7. 斜边中点，斜边长 8. 等腰 9. 108° 10. 120°
11. 120°，30°或60°，60°或120°，1243+ 三. 解答题。
12. 过O 分别作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥CD 于N ，则得到矩形MHNO ()
∴==-=-=+-=MO HN CN CH CD CH CH HD CH 12125
2
又() MB AB AH BH =
=+=121
2
5 ∴Rt △BOM 中，BO MO MB =
+=
225
2
5 13. 连结OD 、AE
则∠DOA ＝50°，∠DEA ＝25° 由OC ＝CD ，有∠D ＝∠DOA ＝50° ∴∠BCE ＝∠D ＋∠DOA ＝100°
∴∠A ＝∠BCE －∠AED ＝100°－25°＝75° 则BE ?
度数为75°
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 第一课时（一）教学目标：（1）理解圆的旋转不变性，掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理推论及应用；（2）培养学生实验、观察、发现新问题，探究和解决问题的能力；（3）通过教学内容向学生渗透事物之间可相互转化的辩证唯物主义教育，渗透圆的内在美（圆心角、弧、弦、弦心距之间关系），激发学生的求知欲．教学重点、难点：重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理的推论．难点：从感性到理性的认识，发现、归纳能力的培养．教学活动设计教学内容设计（一）圆的对称性和旋转不变性学生动手画圆，对折、观察得出：圆是轴对称图形和中心对称图形；圆的旋转不变性. 引出圆心角和弦心距的概念：圆心角定义：顶点在圆心的角叫圆心角．弦心距定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距．（二）应用电脑动画（实验）观察，在同圆等圆中，圆心角变化时，圆心角所对应的弧、弦、弦心距之间的关系，得出定理的内容.这样既培养学生观察、比较、分析和归纳知识的能力，又可以充分调动学生的学习的积极性. 定理：在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．（三）剖析定理得出推论问题1：定理中去掉“在
同圆或等圆中”这个前提，否则也不一定有所对的弧、弦、弦心距相等这样的结论.（学生分小组讨论、交流）举出反例：如图，∠AOB=∠COD，但AB CD，.（强化对定理的理解，培养学生的思维批判性.）问题2、在同圆等圆中，若圆心角所对的弧相等，将又怎样呢？（学生分小组讨论、交流，老师与学生交流对话），归纳出推论. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．（推论包含了定理，它是定理的拓展）（四）应用、巩固和反思例1、如图，点O是∠EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边所在的直线分别交于点A、B和C、D，求证：AB=CD. 解（略，教材87页）例题拓展：当P点在圆上或圆内是否还有AB=CD呢？（让学生自主思考，并使图形运动起来，让学生在运动中学习和研究几何问题）练习：（教材88页练习）1、已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距，根据本节定理及推论填空：．（1）如果AB＝CD，那么______，______，______；（2）如果OE＝OG，那么______，______，______；（3）如果=，那么______，______，______；（4）如果∠AOB＝∠COD，那么______，______，______．（目的：巩固基础知识）2、（教材88页练习3题，略．定理的简单应用）
《 圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理知识点及练习 1、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心 距相等。若∠AOB=∠A＇OB＇，则AB⌒ = A'B' ⌒，AB=A＇B＇，AM=A＇M＇ 2、推论：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 特别提示：①弧、弦、圆心角、弦心距之间的等量转化的前提是在同圆或等圆中； 、 ②同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，同时在本定理和推论中的“弧”是指同为劣弧或优弧，一般选择劣弧。 ③“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等”，这里说的相等是指角的度数与弧的度数 相等。而不是角与弧相等，在书写时要防止出现“∠=? AOB AB”之类的错误。因为角与弧是两个不能比较变量的概念。相等的弧一定是相同度数的弧，但相同度数的弧却不一定是相等的弧； ④在同圆或等圆中，如果弦不等，那么弦心距也就不等，大弦的弦心距较小，小弦的弦心距反而大，反之弦心距较小时，则弦较大。当弦为圆中的最大弦（直径）时，弦心距缩小为零；当弦逐步缩小时，趋近于零时，弦心距逐步增大，趋近于半径。 ⑤在同圆或等圆中，如果弧不等，那么弧所对的弦、圆心角也不等，且大弧所对的圆心角较大，反之也成立；但不能认为大弧所对的弦也较大，只有当弧是劣弧时，这一命题才能成立，半圆对的弦最大，当弧为优弧时，弧越大，对的弦越短。 3、应用 （1）在解答圆的问题时，若遇弧相等常转化为它们所对的圆心角相等或弦相等来解答； （2）有弦的中点时常作弦心距，利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系来证题；另外，证明两弦相等也常作弦心距。 （3）在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角。 （4）有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法：
垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 一. 本周教学内容： 垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 ［学习目标］ 1. 理解由圆的轴对称性推出垂径定理，概括理解垂径定理及推论为“知二推三”。（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分劣弧，（5）平分优弧。已知其中两项，可推出其余三项。注意：当知（1）（3）推（2）（4）（5）时，即“平分弦的直径不能推出垂直于弦，平分两弧。”而应强调附加“平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两弧”。 2. 深入理解垂径定理及推论，为五点共线，即圆心O，垂足M，弦中点M，劣弧中点D，优弧中点C，五点共线。（M点是两点重合的一点，代表两层意义） C O A B M D 3. 应用以上定理主要是解直角三角形△AOM，在Rt△AOM中，AO为圆半径，OM为弦AB的弦心距，AM为弦AB的一半，三者把解直角形的知识，借用过来解决了圆中半径、弦、弦心距等问题。无该Rt△AOM时，注意巧添弦心距，或半径，构建直角三角形。 4. 弓形的高：弧的中点到弦的距离，明确由定义知只要是弓形的高，就具备了前述的（4）（2）或（5）（2）可推（1）（3）（5）或（1）（3）（4），实际可用垂径定理及推论解决弓形高的有关问题。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距四者关系定理，理解为：（1）圆心角相等，（2）所对弧相等，（3）所对弦相等，（4）所对弦的弦心距相等。四项“知一推三”，一项相等，其余三项皆相等。源于圆的旋转不变性。即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图象完全重合。 ()()()() 1234 ??? O B' M' A' B M A 6. 应用关系定理及推论，证角等，线段等，弧等，等等，注意构造圆心角或弦心距作为辅助线。 7. 圆心角的度数与弧的度数等，而不是角等于弧。
一.教学内容： 弧、弦、圆心角 二. 教学目标： 1. 使学生理解圆的旋转不变性，理解圆心角、弦心距的概念； 2. 使学生掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理及推论，并初步学会运用这些关系解决有关问题； 3. 使学生理解并掌握1°的弧的概念 4. 培养学生观察、分析、归纳的能力，向学生渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律. 三. 教学重点、难点： 圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是重点；从圆的旋转不变性出发，推出圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是难点。 四. 教学过程设计： 1. 圆的旋转不变性 圆是轴对称图形。也是中心对称图形。不论绕圆心旋转多少度，都能够和原来的图形重合。 圆所特有的性质——圆的旋转不变性 圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能够与原来的图形重合。 2. 圆心角，弦心距的概念. 顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧AB是∠AOB所对的弧，弦AB既是圆心角∠AOB也是弧AB所对的弦. 圆心到弦的距离叫做弦心距。 3. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 同样还有： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都也相等。 4. 1°的弧的概念. (投影出示图7－59)
圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。 这里指的是角与弧的度数相等，而不是角与弧相等。即不能写成圆∠AOB=，这是错误的。 【典型例题】 例1. 判断题，下列说法正确吗？为什么？ （1）如图所示：因为∠AOB=∠A ′OB ′，所以 = . （2）在⊙O 和⊙O ′中，如果弦AB=A ′B ′，那么=。 分析：（1）、（2）都是不对的。在图中，因为不在同圆或等圆中，不能用定理。对于（2）也缺少了等圆的条件. 可让学生举反例说明。 例2. 已知：如图所示，AD=BC 。 求证：AB=CD 。 证：∵AD=BC ? ?=∴BC AD ? ???? ?+=+∴=BC AC AD AC AC AC DC AB AB DC =∴=∴? ? 变式练习。已知：如图所示， = ，求证：AB=CD 。 证：∵? ?? ?==AC AC BC AD ∴? ???+=+AC BC AC DA ? ?=∴AB DC CD AB =∴ 例3. 在圆O 中，?=∠=? ?60ACB AC AB 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC
［知识要点归纳］ 1. 圆不但是轴对称图形，而且也是中心对称图形，实际上圆绕圆心旋转任意一个角度， 都能够与原来的图形重合。 2. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。从圆心到弦的距离叫做弦心距。 3. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦 心距相等。 4. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组 量相等，那么它 们所对应的其余各组量都分别相等。 注意：要正确理解和使用圆心角定理及推论。 (1) 不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件虽然圆心角相等， 但所对的弧、弦、弦心距不一定相等。 如图，同心圆，虽然 ZAOB ZCOD ，但 AB=CD ，而且 AB = CD ，弦心 距也不相切。 (2) 要结合图形深刻理解圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念与“所对” 一词的含义, 从而正确运用上述关系。 下面举四个错例： c c 若O O 中，AC = DB ，则 CE = FD , CEA =/DFB CE FD 不是弦，/ CEA / BFD 不是圆心角，就不可以用圆 心角定理推论证明。 其中一条是优弧，一条是劣弧，同时在本定理和推论中的 “弧”是指同为劣弧或优弧，一般选择劣弧。 (4)在具体运用定理或推论解决问题时可根据需要，选择有关部分，比如“等弧所对 的圆心角相等”，在“同圆中，相等的弦所对的劣弧相等”等。 5. 1°的弧：因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成 360份，我 们把每一份这样的弧叫做 1 °的弧。 一般地，n °的圆心角对着 n °的弧，n °的弧对着n°的圆心角，也就是说，圆心角的 度数和它所对的弧的度数相等。 圆心 弧弦 弦心距之间的关系 这两个结论都是错误，首先 (3)同一条弦对应两条弧, 注意：这里说的相等是指角的度数与弧的度数相等。 而不是角与弧相等，在书写时要防
弧，弦，圆心角的关系练习题 1．到点O 的距离为5的所有点构成的图形是__________ 2. △ABC 中，∠C=90°，AB=cm 4，BC=cm 2，以点A 为圆心，以cm 5.3长为半径画圆，则点C 在圆A___________，点B 在圆A_________； 3、在⊙O 中的两条弦AB 和CD ，AB>CD ，AB 和CD 的弦心距分别为OM 和ON ，则OM__________ON 。 4、 如图，在⊙O 中，弦EF ∥直径AB ，若弧AE 的度数为50°，则弧EF 的度数为 ，弧BF 的度数为 ，∠EOF= °，∠ EFO= °。 5， ⊙O 中，如果弧AB=2弧BC ，那么下列说法中正确的是（ ） A. AB=BC B. AB=2BC C. AB ＞2BC D. AB<2BC 6.、AB 为⊙O 的直径，C 、D 为半圆AB 上两点，且弧AC 、弧CD 、弧DB 的度数的比为3∶2∶5，则∠AOC= °，∠ COD= °，∠DOB= °。 7.. 在⊙O 中，弦AB=8cm ，弦心距为cm 34，则圆心角∠AOB= 。 8.．如图7－34，点O 是∠EPF 的平分线上一点，以O 为圆心的圆与角的两边分别相交于A 、B 和C 、D ，角平分线PO 和⊙O 相交于G 、H ．下列结论：①AB ＝CD ； ②＝；③PB ＝PD ；④PA ＝PC ，其中正确的有（ ）．A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9、已知：如图，AB 、CD 是⊙O 的两条直径，弦AE ∥CD ，求证： ． 10. 已知：如图，点O 是∠EPF 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于点A 、B 和C 、D 。求证：∠OBA=∠OCD 。 11. 已知：如图，∠AOB=90°，C 、D 是弧AB 的三等分点，AB 分别交OC 、OD 于点E 、F 。求证：AE=BF=CD 。
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系—知识讲解(提高) 【学习目标】 1、了解圆心角、圆周角的概念; 2、理解圆周角定理及其推论,能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题; 3、掌握在同圆或等圆中,三组量:两个圆心角、两条弦、两条弧,只要有一组量相等,就可以推出其它两 组量对应相等,及其它们在解题中的应用. 【要点梳理】 要点一、弧、弦、圆心角的关系 1、圆心角定义 如图所示,∠AOB的顶点在圆心,像这样顶点在圆心的角叫做圆心角. 2、定理: 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等. 3、推论: 在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦也相等. 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等. 要点诠释: (1)一个角要就是圆心角,必须具备顶点在圆心这一特征、 (2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提、 要点二、圆周角 1、圆周角定义: 像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角,它们的顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 2、圆周角定理: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半. 3、圆周角定理的推论: 半圆(或直径)所对的圆周角就是直角,90°的圆周角所对的弦就是直径. 要点诠释: (1)圆周角必须满足两个条件:①顶点在圆上;②角的两边都与圆相交、 (2)圆周角定理成立的前提条件就是在同圆或等圆中、 4、圆内接四边形:
(1)定义: 圆内接四边形:顶点都在圆上的四边形,叫圆内接四边形. (2)性质:圆内接四边形对角互补,外角等于内对角(即它的一个外角等于它相邻内角的对角). 5、弦、弧、圆心角、弦心距的关系: 在同圆或等圆中,弦,弧,圆心角,弦心距等几何量之间就是相互关联的,即它们中间只要有一组量相等,(例如圆心角相等),那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)、 *如果它们中间有一组量不相等,那么其它各组量也分别不等、 【典型例题】 类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用 1、已知:如图所示,⊙O中弦AB＝CD.求证:AD＝BC. 【思路点拨】 本题主要就是考查弧、弦、圆心角之间的关系,要证AD＝BC,只需证??AD BC =或 证∠AOD＝∠BOC即可. 【答案与解析】 证法一:如图①,∵AB＝CD,∴??AB CD =. ∴???? AB BD CD BD -=-,即?? AD BC =, ∴AD＝BC. 证法二:如图②,连OA、OB、OC、OD, ∵AB＝CD,∴∠AOB＝∠COD. ∴∠AOB－∠DOB＝∠COD－∠DOB, 即∠AOD＝∠BOC,∴AD＝BC. 【总结升华】在同圆或等圆中,证两弦相等时常用的方法就是找这两弦所对的弧相等或所对的圆心角相等,而图中没有已知的等弧与等圆心角,必须借助已知的等弦进行推理. 举一反三: 【变式】如图所示,已知AB就是⊙O的直径,M、N分别就是AO、BO的中点,CM⊥AB,DN⊥AB. 求证:??AC BD =.
圆心 弧 弦 弦心距之间的关系 ［知识要点归纳］ 1. 圆不但是轴对称图形，而且也是中心对称图形，实际上圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。 2. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。从圆心到弦的距离叫做弦心距。 3. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 4. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 注意：要正确理解和使用圆心角定理及推论。 例1. 例2. A C .. 例3. 例4.
【模拟试题】 一. 选择题。 1. 在⊙O 与⊙O'中，若∠=∠AOB A O B '''中，则有（ ） A. AB A B ?=? '' B. AB A B ?>?'' C. AB A B ??2 C. AB CD ? B. OM ON = C. OM ON < D. 无法确定 6. DAC 二. 1. 2. 3. 4. 弦CD 的弦心距OF ＝_______cm ，弦CD 的长为________cm 。 5. 已知⊙O 的半径为5cm ，过⊙O 内一已知点P 的最短的弦长为8cm ，则OP ＝_______。 6. 已知A 、B 、C 为⊙O 上三点，若AB BC CA ??? 、、度数之比为1：2：3，则∠AOB ＝ _______，∠BOC ＝________，∠COA ＝________。 7. 已知⊙O 中，直径为10cm ，AB ?是⊙O 的1 4 ，则弦AB ＝_________，AB 的弦心距＝ _________。
【模拟试题】（答题时间：30分钟） 一. 选择题。 1. 下列命题中，正确的命题是（） A. 平分一条弦的直径，垂直平分这条弧所对的弦 B. 平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧 C. 在⊙O中，AB、CD是弦，若，则AB∥CD D. 圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径 2. 已知P为⊙O内一点，且OP＝3cm，如果⊙O的半径是4cm，那么过P点的最短弦等于（） A. 2cm B. 3cm C. cm D. cm 3. 弓形弦长24，弓形高为8，则弓形所在圆的直径是（） A. 10 B. 26 C. 13 D. 5 4. 在直径是10cm的⊙O中，为60°，则弦AB的弦心距是（） A. B. C. D. 5. AB、CD分别为大小不同圆的弦，共AB＝CD，那么的关系是（） A. B. C. D. 不确定 二. 填空题。 6. 已知AB为⊙O直径，AC为弦，OD∥BC交AC于D，AC＝6cm，则DC＝____________。 7. 直角三角形外接圆的圆心在___________，它的半径为___________一半。 8. 若一个圆经梯形ABCD四个顶点，则这个梯形是___________梯形。 9. 弦AB把⊙O分3：7，则∠AOB＝___________。 10. 若⊙O半径是4，P在⊙O内，PO＝2，则过P点的最短的弦所对劣弧是___________度。 11. ⊙O中，弦AB垂直直径CD于点P，半径OA＝4cm，OP＝2cm，则∠AOB＝__________，∠ADC＝__________，度数为__________，△ADC周长为__________ cm。 三. 解答题。 12. 如图，⊙O的两弦AB，CD互相垂直于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径。 13. 已知：如图，C为⊙O直径AB上一点，过C点作弦DE，使CD＝CO，若度数
圆心角 弧 弦 弦心距之间的关系 章节测试 基础练习 1．下列说法中正确的是（ ）． A ．相等的圆心角所对的弧相等 B ．等弧所对的圆心角相等 C ．相等的弦所对的弦心距相等 D ．弦心距相等，则弦相等 2．在半径为5cm 为圆中，有一条长为6cm 的弦，则圆心到此弦的距离为（ ）． A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．6cm 3．在两个半径不同的圆中，分别有和 ，若 和 的度数相等，那么下面结论中正确 的是（ ）． A ．＝ B ．和所对的两个圆心角相等 C ． 所对的弦和所对的弦相等 D ． 和 所对的弦的弦心距相等 4．下列说法：①等弧的度数相等；②等弧的长度相等；③度数相等的两条弧是等弧；④长度相等的两条弧是等弧，其中正确的有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．如图7－33，以O 为圆心的两个同心圆，大圆的半径OA 、OB 分别和小圆相交于A ＇、B ＇，则下面正确的是（ ）． A ．弦A B 和弦A ′B ′相等 B ．的长度＝的长度 C ． ＝ D ． 的度数＝ 的度数 图7－33 6．在⊙O 中，弦AB 把⊙O 分成度数的比为1∶5的两条弧，则的度数是（ ）． A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 7．在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆的3 1 ，圆的半径为4cm ，则弦AB 的长是（ ）． A ．3cm B ．2cm C ．32cm D ．34cm 8．如图7－34，点O 是∠EPF 的平分线上一点，以O 为圆心的圆与角的两边分别相交于A 、B 和C 、 D ，角平分线PO 和⊙O 相交于G 、H ．下列结论：①AB ＝C ；② ＝；③PB ＝PD ；④PA ＝PC ，其中正确 的有（ ）．
圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理知识点及练习 1、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心 距相等。若∠AOB=∠A＇OB＇，则AB⌒= A'B' ⌒，AB=A＇B＇，AM=A＇M＇ 2、推论：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 特别提示：①弧、弦、圆心角、弦心距之间的等量转化的前提是在同圆或等圆中； ②同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，同时在本定理和推论中的“弧”是指同为劣弧或优弧，一般选择劣弧。 ③“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等”，这里说的相等是指角的度数与弧的度数 相等。而不是角与弧相等，在书写时要防止出现“∠=? AOB AB”之类的错误。因为角与弧是两个不能比较变量的概念。相等的弧一定是相同度数的弧，但相同度数的弧却不一定是相等的弧； ④在同圆或等圆中，如果弦不等，那么弦心距也就不等，大弦的弦心距较小，小弦的弦心距反而大，反之弦心距较小时，则弦较大。当弦为圆中的最大弦（直径）时，弦心距缩小为零；当弦逐步缩小时，趋近于零时，弦心距逐步增大，趋近于半径。 ⑤在同圆或等圆中，如果弧不等，那么弧所对的弦、圆心角也不等，且大弧所对的圆心角较大，反之也成立；但不能认为大弧所对的弦也较大，只有当弧是劣弧时，这一命题才能成立，半圆对的弦最大，当弧为优弧时，弧越大，对的弦越短。 3、应用 （1）在解答圆的问题时，若遇弧相等常转化为它们所对的圆心角相等或弦相等来解答； （2）有弦的中点时常作弦心距，利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系来证题；另外，证明两弦相等也常作弦心距。 （3）在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角。 （4）有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法： （I）连过弧中点的半径；（II）连等弧对的弦；（III）作等弧所对的圆心角。
数学教案－圆心角、弧、弦、弦心距之 间的关系 第一课时圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（一）教学目标：（1）理解圆的旋转不变性，掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理推论及应用；（2）培养学生实验、观察、发现新问题，探究和解决问题的能力；（3）通过教学内容向学生渗透事物之间可相互转化的辩证唯物主义教育，渗透圆的内在美（圆心角、弧、弦、弦心距之间关系），激发学生的求知欲．教学重点、难点：重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理的推论．难点：从感性到理性的认识，发现、归纳能力的培养．教学活动设计教学内容设计（一）圆的对称性和旋转不变性学生动手画圆，对折、观察得出：圆是轴对称图形和中心对称图形；圆的旋转不变性。引出圆心角和弦心距的概念：圆心角定义：顶点在圆心的角叫圆心角．弦心距定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距．（二）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系应用电脑动画（实验）观察，在同圆等圆中，圆心角变化时，圆心角所对应的弧、弦、弦心距之间的关系，得出定理的内容。这样既培养学生观察、比较、分析和归纳知识的能力，又可以充分调动学生的学习的积极性。定理：在同圆等
圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．（三）剖析定理得出推论问题1：定理中去掉“在同圆或等圆中”这个前提，否则也不一定有所对的弧、弦、弦心距相等这样的结论。（学生分小组讨论、交流）举出反例：如图，∠AOB=∠COD，但AB CD，。（强化对定理的理解，培养学生的思维批判性。）问题2、在同圆等圆中，若圆心角所对的弧相等，将又怎样呢？（学生分小组讨论、交流，老师与学生交流对话），归纳出推论。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．（推论包含了定理，它是定理的拓展）（四）应用、巩固和反思例1、如图，点O是∠EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边所在的直线分别交于点A、B和C、D，求证：AB=CD。解（略，教材87页）例题拓展：当P点在圆上或圆内是否还有AB=CD呢？（让学生自主思考，并使图形运动起来，让学生在运动中学习和研究几何问题）练习：（教材88页练习）1、已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距，根据本节定理及推论填空：．（1）如果AB ＝CD，那么______，______，______；（2）如果OE＝OG，那么______，______，______；（3）如果 =，那么______，______，______；（4）如果∠AOB＝∠COD，
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（一） 教学目标：1、本节课使学生理解圆的旋转不变性；2、掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理，并能应用这些关系定理证明一些问题．3、通过本节课的教学进一步培养学生观察、比较、归纳、概括问题的能力．教学重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理．教学难点：“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理”中的“在同圆或等圆”的前提条件的理解．教学过程：一、新课引入：同学们请观察老师手中的圆形图片．ab为⊙o的直径．①我把⊙o沿着ab折叠，两旁部分互相重合，我们知道这个圆是一个轴对移图形．②若把⊙o沿着圆心o旋转180°时；两旁部分互相重合，这时我们可以发现圆又是一个中心对称图形．由学生总结圆不仅是轴对称图形，圆也是中心对称图形．若一个圆沿着它的圆心旋转任意一个角度，都能够与原来图形互相重合，这就是我们本节课要讲的内容：圆的一条特殊性质，即圆的旋转不变性．从圆的旋转不变性出发，推出圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，这是本节课我们所要学习的圆的又一条性质．二、新课讲解：首先出示圆形图片，引导学生观察：下面我们来学习圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系．提问两名中下生回答弧、弦的概
念．接着教师一边画图，一边引导学生观察，由学生总结出：圆心角定义：顶点在圆心的角叫圆心角．弦心距定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距．教师通过图片（图7-21）演示，从学生观察中得到圆的旋转不变性，到圆心角、弦心距的两个概念，其目的是要求学生学会从观察、比较到归纳分析知识的能力，这样可以充分调动学生学习几何的积极性．教师为了使学生真正了解图中圆心角、弧、弦、弦心距之间的内在联系，有意识找两位差一些的学生回答：“指出圆心角∠aob所对的弧是______，所对的弦是______，所对弦的弦心距是______．接下来我们来讨论：在⊙o中，如果圆心角∠aob=∠a′ob′，那么它们所对的和，弦ab和a′b′、弦心距om和om′是否也相等呢？教师利用电脑演示，一边讲解，我们把∠aob连同ab沿着圆心o旋转，使射线oa与oa′重合．由圆的旋转不变性，射线ob与ob′重合．因为∠aob=∠a′ob’，oa=oa′，ob=ob′，∴点a与点a′重合，ab与a′b′重合，从点o到ab的垂线om和点o到a′b′的垂线om′也重合．即，= ，ab=a′b′，om=om′．于是由一名学生总结定理内容，教师板书：定理：在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．教师进一步提出这样一个问题：这个命题不加“在同圆或等圆”这个前题条件是否
第一课时圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（一）教学目标： （1）理解圆的旋转不变性，掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理推论及应用； （2）培养学生实验、观察、发现新问题，探究和解决问题的能力； （3）通过教学内容向学生渗透事物之间可相互转化的辩证唯物主义教育，渗透圆的内在美（圆心角、弧、弦、弦心距之间关系），激发学生的求知欲． 教学重点、难点： 重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理的推论． 难点：从感性到理性的认识，发现、归纳能力的培养． 教学内容设计 （一）圆的对称性和旋转不变性 学生动手画圆，对折、观察得出：圆是轴对称图形和中心对称图形；圆的旋转不变性. 引出圆心角和弦心距的概念： 圆心角定义：顶点在圆心的角叫圆心角． 弦心距定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距． （二）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 应用电脑动画（实验）观察，在同圆等圆中，圆心角变化时，圆心角所对应的弧、弦、弦心距之间的关系，得出定理的内容.这样既培养学生观察、比较、分析和归纳知识的能力，又可以充分调动学生的学习的积极性. 定理：在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等． （三）剖析定理得出推论 问题1：定理中去掉“在同圆或等圆中”这个前提，否则也不一定有所对的弧、弦、弦心距相等这样的结论.（学生分小组讨论、交流）
举出反例：如图，∠AOB=∠COD，但AB CD，.（强化对定理的理解，培养学生的思维批判性.） 问题2、在同圆等圆中，若圆心角所对的弧相等，将又怎样呢？（学生分小组讨论、交流，老师与学生交流对话），归纳出推论. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．（推论包含了定理，它是定理的拓展） （四）应用、巩固和反思 例1、如图，点O是∠EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边所在的直线分别交于点A、B 和C、D，求证：AB=CD. 解（略，教材87页） 例题拓展：当P点在圆上或圆内是否还有AB=CD呢？ （让学生自主思考，并使图形运动起来，让学生在运动中学习和研究几何问题） 练习：（教材88页练习） 1、已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距，根据本节定理及推论填空：． （1）如果AB＝CD，那么______，______，______； （2）如果OE＝OG，那么______，______，______； （3）如果= ，那么______，______，______； （4）如果∠AOB＝∠COD，那么______，______，______． （目的：巩固基础知识） 2、（教材88页练习3题，略．定理的简单应用） （五）小结：学生自己归纳，老师指导． 知识：①圆的对称性和旋转不变性；②圆心角、弧、弦、弦心距之间关系，它反映出在圆中相等量的灵活转换． 能力和方法：①增加了证明角相等、线段相等以及弧相等的新方法；②实验、观察、发现新问题，探究和解决问题的能力．
弧、弦、圆心角之间的关系（教学设计） 竹山县竹坪中学 程少林何艳华 一、教学目标 知识与技能 掌握圆的有关性质，了解圆心角概念，掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个值相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值相等以及它们在解题中的应用。过程与方法 通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具具体问题。 二、教学过程 复习：圆是轴对称图形，其对称轴是__________________________。它是中心对称图形吗？如果是，它的对称中心在哪里？ 观察： 课件演示圆绕圆心旋转 从上面圆绕圆心旋转的过程可以看出，实际上圆绕圆心旋转任意角 我们把圆的这种特性叫做圆的旋转不变性 归纳：圆的性质 1、圆既是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它们的对称轴又 其对称中心是圆心 2、圆具有旋转不变性。 学生自学课本理解圆心角的概念 练习：1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
观察一下：在⊙O中有哪些圆心角？并观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？（请举出两个例子，并说出圆心角所对的弧，弦。） 已知:如图∠AOB=∠COD, 求证: AB=CD 证明:∵OA=OC ，OB=OD， ∠AOB=∠COD, ∴当点A与点C重合时， 点B与点D也重合。 ∴AB=CD， 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。(一定对吗?) 在同圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等. 在等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等. ∠AOB＝∠AOB′，为什么? 此时成立吗? 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等,讨论： 1. 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对 的圆心角，所对的弦及弦的弦心距有何关系？ 2. 在同圆或等圆中，如果相等，那么它们所对 的圆心角，所对的弧及弦的弦心距有何关系？ O O β α∠ = ∠ A B=C D？ 在同圆或等圆中，
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系--知识讲解（基础） 【学习目标】 1.了解圆心角、圆周角的概念； 2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题； 3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它 两组量对应相等，及其它们在解题中的应用． 【要点梳理】 要点一、弧、弦、圆心角的关系 1.圆心角定义 如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． 2.定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 3.推论： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等． 要点诠释： (1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 要点二、圆周角 1.圆周角定义： 像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2.圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3.圆周角定理的推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释： (1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. 4.圆内接四边形：
（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形． （2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系： 在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等). *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等. 【典型例题】 类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用 1.如图，在⊙O中，，求∠A的度数. 【答案与解析】 . 【总结升华】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的圆周角相等，所对的弦也相等． 举一反三： 【变式】如图所示，中弦AB=CD，求证：AD=BC. 【答案】 证法1：∵AB=CD，∴(在同圆中，相等的弦所对的弧(同为优弧或同为劣弧)也相等) ∴ ∴AD=BC(在同圆中，相等的弧所对的弦也相等)
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系—知识讲解（提高） 【学习目标】 1.了解圆心角、圆周角的概念； 2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题； 3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它 两组量对应相等，及其它们在解题中的应用． 【要点梳理】 要点一、弧、弦、圆心角的关系 1.圆心角定义 如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． 2.定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 3.推论： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等． 要点诠释： (1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征. (2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 要点二、圆周角 1.圆周角定义： 像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2.圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3.圆周角定理的推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释： (1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. 4.圆内接四边形：
（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形． （2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系： 在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等). *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等. 【典型例题】 类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用 1.已知：如图所示，⊙O中弦AB＝CD．求证：AD＝BC． 【思路点拨】 本题主要是考查弧、弦、圆心角之间的关系，要证AD＝BC，只需证??AD BC =或 证∠AOD＝∠BOC即可．【答案与解析】 证法一：如图①，∵ AB＝CD，∴??AB CD =． ∴???? AB BD CD BD -=-，即?? AD BC =， ∴ AD＝BC． 证法二：如图②，连OA、OB、OC、OD， ∵ AB＝CD，∴∠AOB＝∠COD． ∴∠AOB－∠DOB＝∠COD－∠DOB， 即∠AOD＝∠BOC，∴ AD＝BC． 【总结升华】在同圆或等圆中，证两弦相等时常用的方法是找这两弦所对的弧相等或所对的圆心角相等，而图中没有已知的等弧和等圆心角，必须借助已知的等弦进行推理． 举一反三： 【变式】如图所示，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB． 求证：??AC BD =．
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(一) 教学目标1．使学生理解圆的旋转不变性，理解圆心角、弦心距的概念；2．使学生掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理及推论，并初步学会运用这些关系解决有关问题；3．培养学生观察、分析、归纳的能力，向学生渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律．教学重点和难点圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是重点；从圆的旋转不变性出发，推出圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是难点．教学过程设计一、创设情景，引入新课圆是轴对称图形．圆的这一性质，帮助我们解决了圆的许多问题．今天我们再来一起研究一下圆还有哪些特性．1．动态演示，发现规律投影出示图7－47，并动态显示：平行四边形绕对角线交点O旋转180°后．问：(1)结果怎样？学生答：和原来的平行四边形重合．(2)这样的图形叫做什么图形？学生答：中心对称图形．投影出示图7－48，并动态显示：⊙O绕圆心O旋转180°．由学生观察后，归纳出：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形． 投影继续演示如图7－49，让直径AB两个端点A，B绕圆心旋转30°，
45°，90°，让学生观察发现什么结论？ 得出：不论绕圆心旋转多少度，都能够和原来的图形重合．进一步演示，让圆绕着圆心旋转任意角度α，你发现什么？学生答：仍然与原来的图形重合．于是由学生归纳总结，得出圆所特有的性质：圆的旋转不变性．即圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能够与原来的图形重合．2．圆心角，弦心距的概念．我们在研究圆的旋转不变性时，⊙O绕圆心O旋转任意角度α后，出现一个角∠AOB，请同学们观察一下，这个角有什么特点？如图7－50．(如有条件可电脑闪动显示图形．)在学生观察的基础上，由学生说出这个角的特点：顶点在圆心上．在此基础上，教师给出圆心角的定义，并板书．顶点在圆心的角叫做圆心角．再进一步观察，AB是∠AOB所对的弧，连结AB，弦AB既是圆心角∠AOB也是AB所对的弦．请同学们回忆，在学习垂径定理时，常作的一条辅助线是什么？学生答：过圆心O作弦AB的垂线．在学生回答的基础上，教师指出：点O到AB的垂直线段OM的长度，即圆心到弦的距离叫做弦心距．如图7－51．(教师板书定义)最后指出：这节课我们就来研究圆心角之间，以及它们所对的弧、弦、弦的弦心距之间的关系．(引出课题) 二、大胆猜想，发现定理在图7－52中，再画一圆心角∠A′OB′，