2016年全国高考理科数学试题全国卷2
、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的已知z=(m+3)+(m - 1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()
A. - 8
6、上左2图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
A ? 20 n
B ? 24 n
C ? 28 n
D ? 32 n
n
y=2sin2x的图像向左平移石个单位长度，则平移后图象的对称轴为
8、中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，上左3图是实现该算法的程序框图。执行该程序框图，若输入的
x=2 , n=2,依次输入的a为2, 2, 5,则输出的s=()
A
?
7 B ?12 C ?17 D ?34
n 3
则sin2
9、若cos( 7-a )=：5, a =( )
7_ 1 1 7
A ?25
B —
C ? -一
D —-
? 5 5 25
1、
A . ( - 3,1)
B ?( - 1,3)
C .(1,+ g)
D . ( - a, - 3)
已知集合A={1,2,3} ,B={x|(x+1)(x —2)<0 , x€ Z}，贝U AU B=()
A. {1} ?{1,2} C ?{0,1,2,3} D ?{ - 1,0,123}
已知向量a=(1,m),b=(3, - 2)，且(a+b)丄b,贝U m=()
2 2
圆x +y 2x - 8y+13=0的圆心到直线ax+y - 1=0的距离为1，则a=()
如下左1图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
A . 24 .18 .12
__ ■ .................. . ■ 卜_____ _ _____
-III
7、若将函数
k n A ? x= n
2-Rk € Z) B
k n n
x=-^+6(k € Z)
10、从区间［0,1］随机抽取 2n 个数 X i , X 2,…,X n , y i ,
y 2,…，y n ,构成 n 个数对(x i ,y 1) ,(X 2,y 2),…，(x n ,y n ),
其中两数的平方和小于 1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率
n 的近似值为()
率为()
4 5
B, C 的对边分别为 a , b , c ,若 cosA=-, cosC=~3，a=1，则
5 13
14、 a 、B 是两个平面，m, n 是两条直线，有下列四个命题：
(1)如果 ml n , mla, n 〃B,那么 a 丄B 。 (2) 如果 mla, n //a,那么 ml n 。
⑶如果a/B, m? a,那么m//B 。
⑷如果m// n ,a//B ，那么 m 与a 所成的角和n 与B 所成的角相等。 其中正确的命题有 ______________________ (填写所有正确命题的编号 )。
15、 有三张卡片，分别写有 1和2, 1和3, 2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说： “我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：
“我与丙的卡片上相同的数字不是
1”，丙说：
“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是 _______________ .
16、 若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线 y=ln(x+1)的切线，贝U b= ______________ . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17、 (本题满分12分)S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和，且—1=1, S=28。记b n =[lga n ]，其中[x]表示不超过x 的 最大整数，如[0.9]=0 , [Ig99]=1 .
(1) 求 b 1, bn , b 101；
⑵ 求数列｛b n ｝的前1 000项和.
4n A .-
m
2n
m
4m n 2m n
11、已知F 1、 F 2是双曲线 2 2
E ： —2 - ^2 = 1的左，右焦点, 占 八
M 在E 上，MF 与x 轴垂直, 1
sin / MFF1=3,贝U E 的离心
12、已知函数f(x)(x € R)满足f(
-x)=2 - f(x)
x+1
函数 y=——与 y=f(x)
X
图像的交点为(x 1,y 1),
(x 2,y 2) , ...(X m y m ),
m
(X i
i 1
y)
A . 0
.2m
.4m
二、填空题：本大题共 4小题, 每小题
13、A ABC 的内角A ,
b=
18、(本题满分12分)某险种的基本保费为 a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本 年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
(1)
(2) 若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 60%勺概率；
(3) 求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
19、(本小题满分12分)如图，菱形 ABCD 勺对角线 AC 与BD 交于点 Q AB=5, AC=6点E 、F 分别在AD CD 上, 5
L
AE=CFj EF 交 BD 于点日.将厶 DEF 沿 EF 折至 'EF 位置，QD'=/10. (1)证明：DH 丄平面ABCD
⑵ 求二面角B- D'A - C 的正弦值.
2 2
20、 (本小题满分12分)已知椭圆E
：牛+鲁=1的焦点在X 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为 k(k>0)的直线交E 于
I 3 A , M 两点，点 N 在E 上，MAL NA
(1)当 t=4 , |AM|=|AN| 时，求A AMN 的面积；
⑵当2|AM|=|AN|时，求k 的取值范围.
x — 2
21、 (本小题满分12分)(1)讨论函数f(x)= — e x 的单调性，并证明当
x>0时，(x - 2)e x +x+2>0;
入T 厶
x
— —
⑵ 证明：当a € [0,1)时，函数g(x)=
-2
(x>0)有最小值。设g(x)的最小值为h(a),求函数h(a)的值域.
X
请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号
22、（本小题满分10分）［选修4 - 1:几何证明选讲］如图，在正方形ABCD中，E、G分别在边DA DC上（不与端点重合），且DE=DG过D点作DF丄CE垂足为F.
（1）证明：B, C, G, F四点共圆；
⑵若AB=1, E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.
23、（本小题满分10分）［选修4 -4 :坐标系与参数方程］在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）1 2+y2=25. （1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
⑵直线I的参数方程是x=tCOS a a（t为参数），I与C交于A B两点，|AB|= 10，求I的斜率.
1 1
24、（本小题满分10分）［选修4 - 5:不等式选讲］已知函数f（x）=|x - 2l+|x+玄，M为不等式f（x）<2的解集.
（1）求M;
⑵证明：当a，b€M 时，|a+b|<|1+ab| .
参考答案
1、 解析：二 m+3>0 m- 1<0,「.- 3 2、 解析：B={x|(x+1)(x - 2)<0, x € Z}={x| - 1 C. 3、 解析： 向量 a+b=(4,m - 2) ,T ( a+b)丄 b ,「.(a+b) ? b=10 - 2(m - 2)=0，解得 m=8 故选 D. 4、 解析：圆 x 2+y 2 - 2x - 8y+13=0 化为标准方程为：(x - 1)2+(y - 4) 2=4,故圆心为(1,4) , d= |a+4—1| =1,解 寸a +1 4 得a=--，故选A . 3 5、 解析一：E -F 有6种走法，F ^G 有3种走法，由乘法原理知，共 6X 3=18种走法，故选 B . 解析二：由题意，小明从街道的 E 处出发到 F 处最短有C 2条路，再从F 处到 G 处最短共有 C 条路，则小明到 老年公寓可以选择的最短路径条数为 C J ?C =18条，故选B 。 6、 解析：几何体是圆锥与圆柱的组合体， 设圆柱底面圆半径为 r ，周长为c ,圆锥母线长为I ，圆柱高为h . 由图得 r=2 , c=2n r=4 n,由勾股定理得： l =Q22+(2 羽)2=4, S 表=nr 2+ch+gc l =4 n +16 n +8n =28 n ，故选 C. . n n n 7、解析：由题意，将函数 y=2sin2x 的图像向左平移乜个单位得y=2sin2(x+ ^2)=2sin(2x+ —)，则平移后函数 n n n k n 的对称轴为2x+?=^+k n ，k € Z ，即x =h 〒k € Z ，故选B 。 8、解析：第一次运算：s=0X 2+2=2,第二次运算：s=2X 2+2=6,第三次运算：s=6X 2+5=17,故选 C. n 2 n 7 丄)打 sin2 a =cos( — - 2 a )=2cos (丁 - a ) - 1=25,故选 D. n 3 解法二：对cos(--a )= 5展开后直接平方 解法三：换元法 10、解析：由题意得：(x i ,y i )(i=1 , 2, 3, ... , n)在如图所示方格中，而平方和小于 1的点均在如图的阴影 中 9、解析: n cos( - 4 x+1 1 12、解析：由f( - x)=2 - f(x)得f(x)关于(0,1)对称，而y=——=1—也关于(0,1)对称, x x 3 12 63 cosC=y3, sinA= 5, sinC=^3, ? sinB=sin(A+C)=sinAcosC+co sAsin 。=亦, 14、解析：对于①，ml n , mla, n 则 a,3的位置关系无法确定，故错误；对于②，因为 n// 所以过直线n 作平面丫与平面 3相交于直线c ,则n // c ,因为m!a,「. ml c ,「. ml n ,故②正确；对于③, 由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由 线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④. 15、解析：由题意得：丙不拿(2,3)，若丙(1,2)，则乙(2,3)，甲(1,3)满足；若丙(1,3)，则乙(2,3)，甲(1,2) 不满足；故甲(1,3), y=l n(x+1)的切线为： 1 X 2 X 1 X 2+1 y= ? x+ln(x 2+1)— ,… J X 2+1 ' ' X 2+1 X 2 Inx 1+1= ln(x 2+1)— ------ ' 'X +1 解得 X 1=2 , X 2= - 2。二 b=lnx 1+1=1 - ln2 . 由正弦定理： 寿一.：，解得b=1；. si nB si nA 13 o\ (1) 由几何概型概率计算公式知 n /4 1 _m 一 ? ? -n = 4m ,,, ，故选C. n 3 11 、解析： 离心率e=MF — MF ，由正弦定理得 e =MF - MF=sinF 1 - sinF 2=— = 2 .故选 A 1—— 3 F 1F 2 F 1F 2 sinM ?对于每一组对称点 x i +x' i =0, y i +y' i =2, Y i X i i 1 m Y i 1 c m 丄，丄 2 m ，故选B. 2 16、解析：y=lnx+2的切线为: y=^ ? x+lnx 1+1(设切点横坐标为 X" 4 13 、解析：??? COS A=5 , a 4 — a i 17、解析： ⑴ 设｛a n ｝的公差为 d , S=7a 4=28,「.a 4=4,「. d= 3 =1 ,「.a n =a i +(n - 1)d=n . ???bi =[lga i ]=[lg1]=0 , b ii =[lga ii ]=[lg11]=1 , b ioi =[lga ioi ]=[lg1O1]=2 ⑵ 记｛b n ｝的前n 项和为T n ,则 T 1ooo =b 1+b 2+ ?.?+b 1000 =[lga 1]+[lga 2]+...+[lga 1000]. 当 O w lga n <1 时，n=1, 2, ... , 9;当 1< lga n <2 时，n=10, 11, ... , 99;当 2< lga n <3 时，n=100, 101, 999; 当 lga n =3 时，n=1000.^T W00=0X 9+1 x 90+2X 900+3X 仁 1893. 18、(1)设续保人本年度的保费高于基本保费为事件 A , P(A)=1 - P( A )=1 - (0.30+0.15)=0.55 X . 平均保费 EX=0.85a 0.30+0.15a+1.25a 0.20+1.5a 0.20+1.75a 0.10+2a 0.05=1.23a , ?平均保费与基本保费比值为 1.23 . 5 AE CF 19、解析：(1)证明：如下左 1 图，T AE=CF=4，「. AD =CD ?- EF// AC ???四边形 ABCD 为菱形，? ACLBD , ? EF 丄BD , ? EF 丄DH ?- EF 丄D 'H . _ _ 22 2 ?/AC=6 ? AD=3 又 AB=5, AQLOB ?OB=4 ?。日瓦，OD=1 ? DH=DH=3 , ? |OD'| 2=|OH| 2+|D'H| 2 , ? D'H 丄OH 又??? OHH EF=H ?- D'H 丄面 ABCD 5 5 15 ⑵方法一、几何法：若 AB=5, AC=6 贝U AO=3 B0=OD=4 ?/ AE=4 , AD=AB=5 ? DE=5- 4=—, ??? HD =DH=3 OD =2 Q I ，?满足 HD 2=OD 2+O H ,则厶 OHD 为直角三角形，且 OD 丄 OH 即OD 丄底面 ABCD 即OD 是五棱锥 D'- ABCFE 勺高. 贝U 五棱锥 D'— ABCFE 体积 V 」S ? OD ='x 69x2^1=13^1. 3 3 4 2 方法二、向量法。建立如下左 2 图坐标系 H- xyz . B(5,0,0) , C(1,3,0) , D'(0,0,3) , A(1, — 3,0), ?向量 AB=(4,3,0) , AD'=( — 1,3,3) , AC=(0,6,0), x=3 设面 ABD'法向量 n 1=(x,y,z)，由：? AD==0得 4X x+3y 03z =0，取 y = - 4，? ^=(3, - 4,5). 同理可得面 AD'C 的法向量n i =(3,0,1), (2)设续保人保费比基本保费高出 60%为事件 B, P(B|A)= P(AB) =0.10+0.05 =3 P(A) = 055 11 ?/ EF / AC DEEH DH15/4 = 3 A D ACO D 5 =4 ? EH =9, EF=2E H | , DH=3, OH=4- 3=1 , 底面五边形的面积 S=|x AC- OB+ (EF+AC) - OH 1 2 =I 9 (?+6) xi x 6x 4+ 2—— =12+ 21 69
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