第2章 静定结构内力计算
§2 – 1 基本概念
2-1-1 支座反力（联系力）计算方法
●两刚片组成结构（单截面法）
满足两刚片规则的体系，两个刚片之间只有三个联系，可取出一个刚片作隔离体( 如图2-1c 或 如图2-1d )，联系力个数与独立平衡条件个数相等，利用平衡条件：
0x F =∑ 0y F =∑ 0M =∑
即可计算出两个刚片之间的三个联系力。
●三刚片组成结构（双截面法）
先求一个铰（或虚铰）的两个联系力。切断两个铰（或虚铰）得到一个隔离体，有两种情况的隔离体。
首先，切断A 、B 铰得到第一个隔离体(如图2-2c)，求B 铰的联系力，对A 铰取矩列平衡方程。
0A M =∑
然后，切断C 、B 铰得到第二个隔离
体(如图2-2d)，求B 铰的联系力，对C 铰取矩列平衡方程。
0C M =∑
将上述两个平衡方程联立，即可求出B 铰的联系力。
(d)隔离体
2 图2-1 二刚片隔离体示意图
Bx
(c)隔离体
(b)三链杆情况
(a)一链杆一铰情况
图2-2 三刚片隔离体示意图
Ax (c)部分隔离体
(a)三刚片取1-1截面
(d)整体隔离体
(b)三刚片取2-2截面
4结构力学典型例题解析
●基附型结构（先附后基）
所谓基本部分就是直接与地基构成几何不变体系的部分；而不能与地基直接构成几何不变体系的部分称为附属部分，这类型结构称为基附型结构。
由于基本部分除了具备和地基构成几何不变所需要的联系外，还与附属部分有联系，若先取基本部分作隔离体，未知力的个数将很多。而附属部分的联系就比较少，因此，先选取附属部分作为隔离体进行求解，最后求解基本部分。
对于基附结构求解顺序是：先附后基。
2-1-2 快速弯矩图方法
●利用微分关系
（1）无外荷载的直杆段，剪力为常数，弯矩图为直线；
（2）无外荷载的直杆段，若剪力为零，则弯矩图为常数；
（3）铰（或自由端）附近无外力偶作用时，铰（或自由端）附近弯矩为零；
有外力偶作用时，铰（或自由端）附近弯矩等于外力偶；
（4）直杆段上有荷载时，弯矩图的凸向与荷载方向一致；
（5）直杆段上仅有集中力偶作用时，剪力不变，弯矩图有突变但斜率相同。
●悬臂梁法作弯矩图
一端自由的直杆件，当将刚结点当作固定端时，如果得到悬臂梁，那么该杆件可以当作悬臂梁作弯矩图。将这种作弯矩图的方法称为悬臂梁法。
●简支梁法（区段叠加法）作弯矩图
从结构中任意取出的一个直杆段，若直杆段两端的弯矩已知，将两端弯矩当作外荷载（力偶），可以将该直杆段及其上作用的荷载一起放到简支梁上，得到一个简支梁，该直杆段可以按照简支梁方法作弯矩图。将这种作弯矩图的方法称为简支梁法。
●利用刚结点力矩平衡
取刚结点作隔离体，利用力矩平衡条件可得到如下结论：
（1）当刚结点连接两个杆件，无外力偶作用时，两个杆端弯矩一定等值同侧。
（2）连接刚结点的杆件只有一个杆端弯矩未知时，利用力矩平衡条件可以求出。
●几种结点的内力特点
（1）铰结点传递剪力但不传递弯矩；
（2）与杆轴线一致的定向结点传递弯矩但不传递剪力；
（3）与杆轴线垂直的定向结点传递弯矩但不传递轴力；
（4）与杆轴线一致的链杆结点传递轴力，但不传递弯矩和剪力；
（5）与杆轴线垂直的链杆结点传递剪力，但不传递弯矩和轴力。
2-1-3 桁架特殊内力的计算
●桁架零杆判断
如图2-3所示的两种杆件轴力为零的情况（可利用平衡条件证明）。
第2章 静定结构内力计算 3
●对称桁架的对称性利用
2-1-4 已知弯矩图求剪力
●取直杆段作为隔离体(如图2-5)，已知杆端弯矩,AB BA M M 和杆端上的外荷载； 两个杆端剪力Q Q ,AB
BA F
F 和两个杆端轴力N N ,AB BA F F 共计四个未知力。
●利用平衡条件即可求出杆端剪力Q Q ,AB
BA F
F ：
（1）列力矩方程
0B
M =∑
可得A 端剪力Q AB
F
（2）列投影方程
0y
F
=∑
可得B 端剪力Q BA
F
●注意：已知弯矩图求剪力的方法，只要直杆件，不论静定结构还是超静定结构上述方法都适用。本方法在位移法中也经常使用，求解有线位移的超静定结构，需要计算附加链杆反力，附加链杆反力的计算首先需要杆件剪力，有了剪力之后通过对合适的隔离体列投影平衡条件即可求出附加链杆反力。
图2-3 桁架零内力杆件
图2-4 对称桁架的零内力杆件
对称轴
对称荷载
反对称荷载
反对称荷载
(a)
(b)
(c)
N BA
图2-5 直杆段求剪力隔离体图
F
4结构力学典型例题解析
第2章静定结构内力计算3
4结构力学典型例题解析
第2章静定结构内力计算3
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第2章静定结构内力计算3
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第2章静定结构内力计算3
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第2章静定结构内力计算3
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第三章 静定结构的位移计算 一、判断题： 1、虚位移原理等价于变形谐调条件，可用于求体系的位移。 2、按虚力原理所建立的虚功方程等价于几何方程。 3、在非荷载因素(支座移动、温度变化、材料收缩等)作用下，静定结构不产生内力，但会有位移且位移只与杆件相对刚度有关。 4、求图示梁铰C 左侧截面的转角时，其虚拟状态应取： A. ; ; B. D. C. M =1 5、功的互等、位移互等、反力互等和位移反力互等的四个定理仅适用于线性变形体系。 6、已知M p 、M k 图，用图乘法求位移的结果为：()/()ωω1122y y EI +。 M k M p 2 1 y 1 y 2 * * ωω ( a ) M =1 7、图a 、b 两种状态中，粱的转角?与竖向位移δ间的关系为：δ=? 。 8、图示桁架各杆E A 相同，结点A 和结点B 的竖向位移均为零。 A a a 9、图示桁架各杆EA =常数，由于荷载P 是反对称性质的，故结点B 的竖向位移等于零。 二、计算题： 10、求图示结构铰A 两侧截面的相对转角?A ，EI = 常数。 q l l l /2 11、求图示静定梁D 端的竖向位移 ?DV 。 EI = 常数 ，a = 2m 。
a a a 10kN/m 12、求图示结构E 点的竖向位移。 EI = 常数 。 l l l l /3 2 /3 /3 q 13、图示结构，EI=常数 ，M =?90kN m , P = 30kN 。求D 点的竖向位移。 P 3m 3m 3m 14、求图示刚架B 端的竖向位移。 q 15、求图示刚架结点C 的转角和水平位移，EI = 常数 。 q 16、求图示刚架中Ｄ点的竖向位移。EI ＝ 常数 。 l l l/2 17、求图示刚架横梁中Ｄ点的竖向位移。 EI ＝ 常数 。
静定结构的位移计算 一、判断题： 1、虚位移原理等价于变形谐调条件，可用于求体系的位移。 2、按虚力原理所建立的虚功方程等价于几何方程。 3、在非荷载因素(支座移动、温度变化、材料收缩等)作用下，静定结构不产生力，但会有位移且位移只与杆件相对刚度有关。 4、求图示梁铰C 左侧截面的转角时，其虚拟状态应取： A. ; ; B. D. C. =1 5、功的互等、位移互等、反力互等和位移反力互等的四个定理仅适用于线性变形体系。 6、已知M p 、M k 图，用图乘法求位移的结果为：()/()ωω1122y y EI +。 M k M p 2 1 y 1 y 2 * * ωω ( a ) M =1 7、图a 、b 两种状态中，粱的转角?与竖向位移δ间的关系为：δ=? 。 二、计算题： 10、求图示结构铰A 两侧截面的相对转角?A ，EI = 常数。 q l l l /2 11、求图示静定梁D 端的竖向位移 ?DV 。 EI = 常数 ，a = 2m 。
a a a 10kN/m 12、求图示结构E 点的竖向位移。 EI = 常数 。 l l l /3 2 /3 /3 q 14、求图示刚架B 端的竖向位移。 q 15、求图示刚架结点C 的转角和水平位移，EI = 常数 。 17、求图示刚架横梁中Ｄ点的竖向位移。 EI ＝ 常数 。 18、求图示刚架中D 点的竖向位移。 E I = 常数 。 q l l l/l/22
19、求图示结构Ａ、Ｂ两截面的相对转角，EI＝常数。 23 l/ l/3 20、求图示结构A、B两点的相对水平位移，E I = 常数。 l l 26、求图示刚架中铰C两侧截面的相对转角。 27、求图示桁架中D点的水平位移，各杆EA 相同。 a 30、求图示结构D点的竖向位移，杆AD的截面抗弯刚度为EI，杆BC的截面抗拉（压）刚度为EA。
静定结构内力计算 一、判断题： 1、静定结构的全部内力及反力，只根据平衡条件求得，且解答是唯一的。 2、静定结构受外界因素影响均产生内力，内力大小与杆件截面尺寸无关。 3、静定结构的几何特征是几何不变且无多余约束。 4、图(a)所示结构||M C =0。 a a (a) B C a a A ? 2a 2 (b) 5、图(b)所示结构支座A 转动?角，M AB = 0， R C = 0。 6、荷载作用在静定多跨梁的附属部分时，基本部分一般内力不为零。 7、图(c)所示静定结构，在竖向荷载作用下，AB 是基本部分，BC 是附属部分。 A B C (c) 8、图(d)所示结构B 支座反力等于P /2() ↑。 (d) 9、图(e)所示结构中，当改变B 点链杆的方向（不通过A 铰）时，对该梁的影响是轴力有变化。 Ａ Ｂ (e) 10、在相同跨度及竖向荷载下，拱脚等高的三铰拱，水平推力随矢高减小而减小。
11、图(f)所示桁架有9根零杆。 (f) a a a a (g) 12、图(g)所示桁架有：N 1=N 2=N 3= 0。 13、图(h)所示桁架DE 杆的内力为零。 a a (h) (i) 14、图(i)所示对称桁架在对称荷载作用下，其零杆共有三根。 15、图(j)所示桁架共有三根零杆。 (j) (k) 16、图(k)所示结构的零杆有7根。 17、图(l)所示结构中，CD 杆的内力N 1 = P 。 a 4(l) 4a (m) 18、图(m)所示桁架中，杆1的轴力为0。
二、作图题：作出下列结构的弯矩图（组合结构要计算链杆轴力）。 19、 20、 2 a /a 34/a 34/2a / 2m 2m 35、 36、 4m 4m 37、 38、 l q q 39、 40、 a 2a
第3章 静定结构位移计算 §3 – 1 基本概念 3-1-1 虚拟单位力状态构造方法 ●虚拟单位力状态构造方法： （1）去掉所有荷载重画一个结构； （2）标出所求位移矢量； （3）该矢量变成单位力，即得虚拟单位力状态。 如图3-1a 刚架求C 点竖向位移CV ?和C 截面转角 C ?，图3-1b 和图3-1c 为求相应位移所构造的虚拟单位 力状态。 3-1-2 位移计算公式 虚拟单位力作用下，引起的内力和支座反力： N Q ,,,Ri F M F F 实际荷载作用下，引起的内力： NP P QP ,,F M F ●位移计算一般公式 N Q Ri i F du Md F ds F c ??γ=++-∑∑∑∑??? ●荷载作用产生位移的计算公式 Q N QP NP P k F F F F M M ds ds ds EA EI GA ?=++∑∑∑? ?? 1、梁或刚架结构 P M M ds EI ?=∑? 2、桁架结构 N NP F F ds EA ?=∑? 图3-1虚拟单位力状态 ) a () b () c (
2 结构力学典型例题解析 3、混合结构 N NP P F F MM ds ds EA EI ?=+∑∑? ? ●支座移动引起位移计算公式 Ri i F c ?=-∑ ●温度引起位移计算公式 ()N 0t F t dx M dx h α??α=+±∑∑?? ()N 0M t t lF A h α??α=+±∑∑ 式中：0,,t t α?为线膨胀系数形心温度温差，h 截面高度 M A 虚拟状态弯矩图面积 ●有弹性支座情况的位移计算公式 ()P RP R 0RP R M M F ds F EI k Ay F F EI k ?=+?±=+? ∑∑? ∑∑ 3-1-3 图乘法 图乘法公式： 0P ()Ay MM dx EI EI ±?==∑∑? 图乘法公式条件： ●等截面直杆且EI=常数 ●求 y 0图形必须为一条直线 正负号确定： 面积A 与y 0同侧取“+”号 注意：求面积的图形要会求面积和形心位置。 为使计算过程简洁、明了，先将面积和形心处对应弯矩求出标在弯矩图一侧，然后直接代入图乘法公式求得位移。 图3-2 图乘法示意图
第3章 静定结构的力分析习题解答 习题3.1 是非判断题 (1) 在使用力图特征绘制某受弯杆段的弯矩图时，必须先求出该杆段两端的端弯矩。（ ） (2) 区段叠加法仅适用于弯矩图的绘制，不适用于剪力图的绘制。（ ） (3) 多跨静定梁在附属部分受竖向荷载作用时，必会引起基本部分的力。（ ） (4) 习题3.1(4)图所示多跨静定梁中，CDE 和EF 部分均为附属部分。（ ） 习题3.1(4)图 (5) 三铰拱的水平推力不仅与三个铰的位置有关，还与拱轴线的形状有关。（ ） (6) 所谓合理拱轴线，是指在任意荷载作用下都能使拱处于无弯矩状态的轴线。 （ ） (7) 改变荷载值的大小，三铰拱的合理拱轴线形状也将发生改变。 （ ） (8) 利用结点法求解桁架结构时，可从任意结点开始。 （ ） 【解】（1）正确； （2）错误； （3）正确； （4）正确；EF 为第二层次附属部分，CDE 为第一层次附属部分； （5）错误。从公式0 H /C F M f 可知，三铰拱的水平推力与拱轴线的形状无关； （6）错误。荷载发生改变时，合理拱轴线将发生变化； （7）错误。合理拱轴线与荷载大小无关； （8）错误。一般从仅包含两个未知轴力的结点开始。 习题3.2 填空 (1)习题3.2(1)图所示受荷的多跨静定梁，其定向联系C 所传递的弯矩M C 的大小为______；截面B 的弯矩大小为______，____侧受拉。 P 习题3.2(1)图 (2) 习题3.2(2)图所示风载作用下的悬臂刚架，其梁端弯矩M AB =______kN·m ，____侧受拉；左柱B 截面弯矩M B =______kN·m ，____侧受拉。 习题3.2(2)图 (3) 习题3.2(3)图所示三铰拱的水平推力F H 等于 。 习题3.2(3)图 (4) 习题3.2(4)图所示桁架中有 根零杆。 习题3.2(4)图
第二章 静定结构内力计算 一、判断题： 1、静定结构的全部内力及反力，只根据平衡条件求得，且解答是唯一的。 2、静定结构受外界因素影响均产生内力，内力大小与杆件截面尺寸无关。 3、静定结构的几何特征是几何不变且无多余约束。 4、图(a)所示结构||M C =0。 a a (a) B C a a A ? 2a 2 (b) 5、图(b)所示结构支座A 转动?角，M AB = 0， R C = 0。 6、荷载作用在静定多跨梁的附属部分时，基本部分一般内力不为零。 7、图(c)所示静定结构，在竖向荷载作用下，AB 是基本部分，BC 是附属部分。 A B C (c) 8、图(d)所示结构B 支座反力等于P /2() ↑。 (d) 9、图(e)所示结构中，当改变B 点链杆的方向（不通过A 铰）时，对该梁的影响是轴力有变化。 Ａ Ｂ (e) 10、在相同跨度及竖向荷载下，拱脚等高的三铰拱，水平推力随矢高减小而减小。
11、图(f)所示桁架有9根零杆。 (f) a a a a(g) 12、图(g)所示桁架有：N1=N2=N3= 0。 13、图(h)所示桁架DE杆的内力为零。 a a(h) (i) 14、图(i)所示对称桁架在对称荷载作用下，其零杆共有三根。 15、图(j)所示桁架共有三根零杆。 (j) 3m 3m 3m (k) 16、图(k)所示结构的零杆有7根。 17、图(l)所示结构中，CD杆的内力N1= P。 a 4 (l) 4a(m) 18、图(m)所示桁架中，杆1的轴力为0。
二、作图题：作出下列结构的弯矩图（组合结构要计算链杆轴力）。 19、20、 2m2m 21、22、 a a a a a 4m2m 23、24、 10kN/m 4m 2m2m 25、26、 q q a a 2 a a 27、28、 2 a a 2a a a
第5章 静定结构位移计算 §5 – 1 基本概念 5-1-1 虚拟单位力状态构造方法 ●虚拟单位力状态构造方法： （1）去掉所有荷载重画一个结构； （2）标出所求位移矢量； （3）该矢量变成单位力，即得虚拟单位力状态。 如图3-1a 刚架求C 点竖向位移CV ?和C 截面转角 C ?，图3-1b 和图3-1c 为求相应位移所构造的虚拟单位 力状态。 5-1-2 位移计算公式 虚拟单位力作用下，引起的内力和支座反力： N Q ,,,Ri F M F F 实际荷载作用下，引起的内力： NP P QP ,,F M F ●位移计算一般公式 N Q Ri i F du Md F ds F c ??γ=++-∑∑∑∑??? ●荷载作用产生位移的计算公式 Q N QP NP P k F F F F M M ds ds ds EA EI GA ?=++∑∑∑? ?? 1、梁或刚架结构 P M M ds EI ?=∑? 2、桁架结构 N NP F F ds EA ?=∑? 图3-1虚拟单位力状态 ) a () b () c (
2 结构力学典型例题解析 3、混合结构 N NP P F F MM ds ds EA EI ?=+∑∑? ? ●支座移动引起位移计算公式 Ri i F c ?=-∑ ●温度引起位移计算公式 ()N 0t F t dx M dx h α??α=+±∑∑?? ()N 0M t t lF A h α??α=+±∑∑ 式中：0,,t t α?为线膨胀系数形心温度温差，h 截面高度 M A 虚拟状态弯矩图面积 ●有弹性支座情况的位移计算公式 ()P RP R 0RP R M M F ds F EI k Ay F F EI k ?=+?±=+? ∑∑? ∑∑ 5-1-3 图乘法 图乘法公式： 0P ()Ay MM dx EI EI ±?==∑∑? 图乘法公式条件： ●等截面直杆且EI=常数 ●求 y 0图形必须为一条直线 正负号确定： 面积A 与y 0同侧取“+”号 注意：求面积的图形要会求面积和形心位置。 为使计算过程简洁、明了，先将面积和形心处对应弯矩求出标在弯矩图一侧，然后直接代入图乘法公式求得位移。 图3-2 图乘法示意图
第二章 静定结构内力计算 一、是非题（正确的打√，错误的打×） 1、图示体系是一个静定结构。（ ） 2、某刚架的弯矩图如图所示，则由此可以判断出此刚架在E 处必作用了一个水平向右的集中荷载，其大小为10kN 。（ ） 30 5 M 图（KN m ×?） 3、已知某简支直梁的M 图如图（a ）所示，其中AB 段为二次抛物线，BC 段为水平线，且在B 处M 图数值无突变，则其剪力图如图（b ）所示。（ ） （a ） （b ） 4、图示三种结构中，ABC 杆的内力是相同的。（ ） （a ） （b ） （c ） 5、图（a ）是从某结构中取出的一段杆AB 的隔离体受力图，则图（b ）为该段杆的弯矩图，这是可能的。（ ）
（a ） (b) 6、图示结构的M 图的形状是正确的。（ ） 7、对图示结构中的BC 段杆作弯矩图时，叠加法是不适用的。（ ） 8、在图示结构中，支座A 处的竖向反力0=RA F 。 （ ） 9、图示结构中CA BA M M =。 （ ）
10、图示结构中0BA CA M M ==。 （ ） 题10图 题11图 11、图示结构中AB 杆的弯矩为零。（ ） 12、图示三铰拱，轴线方程为(x l x l f y ?=2 4)，受均布竖向荷载q 作用，则拱内任一截面的弯矩等于零。（ ） 题12图 题13图 13、图示桁架，因对称结构受反对称荷载，故AB 杆的轴力为零。( ) 14 、不受外力作用的任何结构，内力一定为零。（ ） 15、对于图中所示同一结构受两种不同荷载的情况，其对应的支座反力相等，且内力图也相同。（ ） (a) (b) 16、比较图a 和b 所示同一结构受两种不同的荷载可知，除CD 段弯矩不同外，其余各部分弯矩完全相同。（ ）
第5章 静定结构位移计算 习题 5-1：由积分法求图示悬臂梁C 点的竖向位移CY ?，杆件的EI 为常数。 题5-1图 5-2：由积分法求图示悬挑梁C 点、D 点的竖向位移CY ?和DY ?，杆件EI 为常数。 题5-2图 5-3：图示刚架的A 支座向下发生了a 的移动，向左发生了b 的移动，求由此引起C 点的转角C ??和D 点的竖向位移DY ?。 题5-3图 题5-4图 5-4：图示刚架的A 支座向下发生了a 的移动，C 支座向右发生了b 的移动，求由此引起铰D 两侧截面的相对转角D ??和E 点的竖向位移EY ?。 5-5：图示桁架的CE 杆由于制造误差比设计短了a ，试计算由此引起的D 点水平位移DX ?。杆件的EA 均相同。 m 4kN
题5-5图 5-6：图示桁架的EB 杆由于制造误差比设计短了a ，试计算由此引起的D 点水平位移DX ?。杆件的EA 均相同。 题5-6图 5-7：求图示桁架E 点的竖向位移 EY ?、FG 杆的转角 FG ??，所有杆件EA 相同。 题5-7图 5-8：求出图示桁架C 点的竖向位移 CY ?，所有杆件的EA 相同。
题5-8图 5-9：求图示结构的C 、D 两点的相对水平位移 CDX ?，所有杆件的EI 相同。 题5-9图 5-10：求图示结构D 点的水平位移 DX ?，所有杆件的EI 相同。 题5-10图 5-11：计算图示结构D 点的转角 D ??，所有杆件的EI 相同，弹簧刚度系数为k 。 10kN
题5-11图 5-12：试求图示结构G 点的水平位移GX ?，所有杆件的EI 均为常量。 题5-12图 5-13：用图乘法求图示结构D 点的竖向位移DY ?，所有杆件的EI 相同，弹簧的刚度系数为k 。 题5-12图 5-14：求图示结构A 点的水平位移 AX ?、D 点的转角 D ??，所有杆件的EI 相同。 q kN
第3章 静定结构的内力分析习题解答 习题3.1 是非判断题 (1) 在使用内力图特征绘制某受弯杆段的弯矩图时，必须先求出该杆段两端的端弯矩。（ ） (2) 区段叠加法仅适用于弯矩图的绘制，不适用于剪力图的绘制。（ ） (3) 多跨静定梁在附属部分受竖向荷载作用时，必会引起基本部分的内力。（ ） (4) 习题3.1(4)图所示多跨静定梁中，CDE 和EF 部分均为附属部分。（ ） 习题3.1(4)图 (5) 三铰拱的水平推力不仅与三个铰的位置有关，还与拱轴线的形状有关。（ ） (6) 所谓合理拱轴线，是指在任意荷载作用下都能使拱处于无弯矩状态的轴线。 （ ） (7) 改变荷载值的大小，三铰拱的合理拱轴线形状也将发生改变。 （ ） (8) 利用结点法求解桁架结构时，可从任意结点开始。 （ ） 【解】（1）正确； （2）错误； （3）正确； （4）正确；EF 为第二层次附属部分，CDE 为第一层次附属部分； （5）错误。从公式0 H /C F M f 可知，三铰拱的水平推力与拱轴线的形状无关； （6）错误。荷载发生改变时，合理拱轴线将发生变化； （7）错误。合理拱轴线与荷载大小无关； （8）错误。一般从仅包含两个未知轴力的结点开始。 习题3.2 填空 (1)习题3.2(1)图所示受荷的多跨静定梁，其定向联系C 所传递的弯矩M C 的大小为______；截面B 的弯矩大小为______，____侧受拉。 P 习题3.2(1)图 (2) 习题3.2(2)图所示风载作用下的悬臂刚架，其梁端弯矩M AB =______kN·m ，____侧受拉；左柱B 截面弯矩M B =______kN·m ，____侧受拉。
第2章 静定结构内力计算 §2 – 1 基本概念 2-1-1 支座反力（联系力）计算方法 ●两刚片组成结构（单截面法） 满足两刚片规则的体系，两个刚片之间只有三个联系，可取出一个刚片作隔离体( 如图2-1c 或 如图2-1d )，联系力个数与独立平衡条件个数相等，利用平衡条件： 0x F =∑ 0y F =∑ 0M =∑ 即可计算出两个刚片之间的三个联系力。 ●三刚片组成结构（双截面法） 先求一个铰（或虚铰）的两个联系力。切断两个铰（或虚铰）得到一个隔离体，有两种情况的隔离体。 首先，切断A 、B 铰得到第一个隔离体(如图2-2c)，求B 铰的联系力，对A 铰取矩列平衡方程。 0A M =∑ 然后，切断C 、B 铰得到第二个隔离 体(如图2-2d)，求B 铰的联系力，对C 铰取矩列平衡方程。 0C M =∑ 将上述两个平衡方程联立，即可求出B 铰的联系力。 (d)隔离体 2 图2-1 二刚片隔离体示意图 Bx (c)隔离体 (b)三链杆情况 (a)一链杆一铰情况 图2-2 三刚片隔离体示意图 Ax (c)部分隔离体 (a)三刚片取1-1截面 (d)整体隔离体 (b)三刚片取2-2截面
4结构力学典型例题解析 ●基附型结构（先附后基） 所谓基本部分就是直接与地基构成几何不变体系的部分；而不能与地基直接构成几何不变体系的部分称为附属部分，这类型结构称为基附型结构。 由于基本部分除了具备和地基构成几何不变所需要的联系外，还与附属部分有联系，若先取基本部分作隔离体，未知力的个数将很多。而附属部分的联系就比较少，因此，先选取附属部分作为隔离体进行求解，最后求解基本部分。 对于基附结构求解顺序是：先附后基。 2-1-2 快速弯矩图方法 ●利用微分关系 （1）无外荷载的直杆段，剪力为常数，弯矩图为直线； （2）无外荷载的直杆段，若剪力为零，则弯矩图为常数； （3）铰（或自由端）附近无外力偶作用时，铰（或自由端）附近弯矩为零； 有外力偶作用时，铰（或自由端）附近弯矩等于外力偶； （4）直杆段上有荷载时，弯矩图的凸向与荷载方向一致； （5）直杆段上仅有集中力偶作用时，剪力不变，弯矩图有突变但斜率相同。 ●悬臂梁法作弯矩图 一端自由的直杆件，当将刚结点当作固定端时，如果得到悬臂梁，那么该杆件可以当作悬臂梁作弯矩图。将这种作弯矩图的方法称为悬臂梁法。 ●简支梁法（区段叠加法）作弯矩图 从结构中任意取出的一个直杆段，若直杆段两端的弯矩已知，将两端弯矩当作外荷载（力偶），可以将该直杆段及其上作用的荷载一起放到简支梁上，得到一个简支梁，该直杆段可以按照简支梁方法作弯矩图。将这种作弯矩图的方法称为简支梁法。 ●利用刚结点力矩平衡 取刚结点作隔离体，利用力矩平衡条件可得到如下结论： （1）当刚结点连接两个杆件，无外力偶作用时，两个杆端弯矩一定等值同侧。 （2）连接刚结点的杆件只有一个杆端弯矩未知时，利用力矩平衡条件可以求出。 ●几种结点的内力特点 （1）铰结点传递剪力但不传递弯矩； （2）与杆轴线一致的定向结点传递弯矩但不传递剪力； （3）与杆轴线垂直的定向结点传递弯矩但不传递轴力； （4）与杆轴线一致的链杆结点传递轴力，但不传递弯矩和剪力； （5）与杆轴线垂直的链杆结点传递剪力，但不传递弯矩和轴力。 2-1-3 桁架特殊内力的计算 ●桁架零杆判断 如图2-3所示的两种杆件轴力为零的情况（可利用平衡条件证明）。
第五节静定结构的内力分析 静定结构按其受力特性，可以分为静定梁、静定刚架、三铰拱、静定析架和静定组合结构。 一、静定梁 1 ．截面内力分量及正负号规定 平面杆件的任一截面上一般有三个内力分量：轴力N ，剪力Q 和弯矩M 。内力的正负号一般规定为： ( 1 ）轴力以受拉为正； ( 2 ）剪力以绕隔离体顺时针方向为正； ( 3 ）弯矩一般不规定正负号（对水平梁通常以使梁的下侧受拉为正）。 内力图一般以杆轴为基线绘制。弯矩图规定画在杆件的受拉侧，无需标明正负号；剪力图和轴力图则可画在杆件的任一侧（对水平杆件通常将正的剪力和轴力绘于杆件上侧）, 但需标明正负号。 2 ．截面法 截面法是结构内力分析的基本方法。截面法计算结构内力的基本步骤为： ( l ）将结构沿拟求内力的截面切开。 ( 2 ）取截面任一侧的部分为隔离体，作出隔离体的受力图；受力图中的力包括两部分：外荷载和截断约束处的约束力（截面内力或支座反力），未知截面内力一般假设为正号方向。 ( 3 ）利用静力平衡条件计算所求内力。对于平面结构，一般情况下隔离体上的各力组成一平面任意力系，故有三个独立的平衡方程（投影方程或力矩方程）: 特殊情况下，例如截取的是一个铰节点，则各丸组成一平面汇交力系，故有两个独立的投影平衡方程： 【例3 -9 】计算简支斜梁（图 3 -32 ）在均布荷载作用下1 / 3 跨处的内力
( l ）求支座反力 将梁（图3 -32a ）沿三根支座链杆处截开，取梁整体为隔离体，作出隔离体的受力图如图3 -32 ( b ）所示。由整体平衡条件，可得： ( 2 ）求截面内力 在 1 / 3 跨截面 C 处截开，取AC 部分为隔离体，作出受力图如图 3 -32 （c）所示。由隔离体AC 的平衡条件（x、y方向分别沿截面的轴向和切向），可得: 注：计算截面C 内力时，也可先求出截面上的水平和竖向分力Xc 、Yc ( Xc =0 ) ，再将其沿切向和轴向分解得到截面的剪力和轴力。 3．梁式直杆的内力图特征
第4章静定结构的位移计算习题解答 习题4.1 是非判断题 (1 变形体虚功原理仅适用于弹性体系,不适用于非弹性体系。( (2 虚功原理中的力状态和位移状态都是虚设的。( (3 功的互等定理仅适用于线弹性体系,不适用于非线弹性体系。( (4 反力互等定理仅适用于超静定结构,不适用于静定结构。( (5 对于静定结构,有变形就一定有内力。( (6 对于静定结构,有位移就一定有变形。( (7 习题4.1(7图所示体系中各杆EA 相同,则两图中C 点的水平位移相等。( (8 M P 图,M 图如习题4.1(8图所示,EI =常数。下列图乘结果是正确的: 4 832(12l l ql EI ??? ( (9 M P 图、M 图如习题4.1(9图所示,下列图乘结果是正确的: 0332 02201111(1y A EI y A y A EI ++ ( (10 习题4.1(10图所示结构的两个平衡状态中,有一个为温度变化,此时功的互等 定理不成立。(
F C C F l (aP l l (b P l 习题 4.1(7图图 (bM l /4 1 图 (aM P l 8
1ql 2q M 图 (bP M 图 (a1 02 y A 3A 2 1A 2 EI EI 1 01 y 03 y 习题 4.1(8图习题 4.1(9图(a(b F P t 12 t
习题 4.1(10图 【解】(1错误。变形体虚功原理适用于弹性和非弹性的所有体系。 (2错误。只有一个状态是虚设的。 (3正确。 (4错误。反力互等定理适用于线弹性的静定和超静定结构。 (5错误。譬如静定结构在温度变化作用下,有变形但没有内力。 (6错误。譬如静定结构在支座移动作用下,有位移但没有变形。 (7正确。由桁架的位移计算公式可知。 (8错误。由于取0y 的M 图为折线图,应分段图乘。 (9正确。 (10正确。习题4.2 填空题 (1 习题4.2(1图所示刚架,由于支座B 下沉?所引起D 点的水平位移?D H =______。 (2 虚功原理有两种不同的应用形式,即_______原理和_______原理。其中,用于求位移的是_______原理。 (3 用单位荷载法计算位移时,虚拟状态中所加的荷载应是与所求广义位移相应的________。 (4 图乘法的应用条件是:__________且M P 与M 图中至少有一个为直线图形。 (5 已知刚架在荷载作用下的M P 图如习题4.2(5图所示,曲线为二次抛物线,横梁的 抗弯刚度为2EI ,竖杆为EI ,则横梁中点K 的竖向位移为________。 (6 习题4.2(6图所示拱中拉杆AB 比原设计长度短了1.5cm ,由此引起C 点的竖向位移为________;引起支座A 的水平反力为________。 (7 习题4.2(7图所示结构,当C 点有F P =1(↓作用时,D 点竖向位移等于?(↑,当E 点有图示荷载作用时,C 点的竖向位移为________。 (8 习题4.2(8图(a 所示连续梁支座B 的反力为(16 11R ↑=B F ,则该连续梁在支座B
§3-1 平面杆件的截面内力 ［截面内力及符号规定］ 从微观上看，截面内力为：正应力、剪应力 从宏观上看，平面杆件任一截面内力为：轴力、剪力和弯矩 （1）截面上正应力的合力，称为轴力。轴力的拉为正，压为负。 （2）截面上剪应力的合力，称为剪力。剪力以绕隔离体顺时针转为正，反之为负。 （3）截面上正应力对截面形心的合力矩，称为弯矩。对于梁下部受拉为正，反之为负。 ［内力图］ 作轴力图和剪力图时要注明正负号；作弯矩图时画在杆件受拉纤维一边，不注明正负号。 ［内力与荷载的关系］ 弯矩、剪力与荷载集度之间的微分关系 （1），即无荷载作用的区间，剪力图为水平线，弯矩图为斜直线； （2）常数，即均布荷载作用的区间，剪力图为斜直线，弯矩图为抛物线。 ［截面法］ 截面法是求内力的最基本方法。欲求某截面内力，即将该指定截面切开，取左边或右边部分为隔离体，画受力图，根据平衡方程求内力。 §3-2 单跨静定梁 ［弯矩图的叠加］ 基本弯矩图 弯矩图的叠加，为弯矩图竖标的叠加。
［单跨静定梁］ 三种基本形式： （1）简支梁（2）外伸梁（3）悬臂梁 其它形式： ［作剪力图］ 梁的剪力图简易作法：先求出全部的支座反力。然后根据外力和反力的指向，从梁的左端零点出发，顺着力的方向，依次绘出剪力图，最终到达梁的右端零点。剪力图绘在梁的上方为正，下方为负。 ［作弯矩图］ 先求出各控制截面的弯矩，然后根据弯矩图的叠加，分段作出结构的全部弯矩图。 求控制截面弯矩的固定截面法：先求出全部的支座反力。欲求某控制截面的弯矩，只要将该截面假想固定，可取左半部或右半部为对象，根据悬臂结构的弯矩，判断受拉边，求出弯矩值。 §3-3 多跨静定梁 ［多跨静定梁］ （1）由若干根梁用铰相连，跨越几个相连跨度的静定梁。 （2）多跨静定梁可分为基本部分与附属部分。 基本部分——几何不变部分； 附属部分——依靠基本部分才能保持其几何不变性。 （3）多跨静定梁的计算原则： 先计算附属部分，后计算基本部分。 §3-4 静定刚架 ［刚架］ 刚架是由若干梁和柱主要用刚结点组成的结构。 ［平面静定刚架常见类型］ （1）悬臂刚架
第二章静定结构内力计算 一、是非题（正确的打√，错误的打×） 1、图示体系是一个静定结构。（） 2、某刚架的弯矩图如图所示，则由此可以判断出此刚架在E处必作用了一个水平向右的集中荷载，其大小为10kN。（） M图（） 3、已知某简支直梁的M图如图（a）所示，其中AB段为二次抛物线，BC 段为水平线，且在B处M图数值无突变，则其剪力图如图（b）所示。（） （a）（b） 4、图示三种结构中，ABC杆的内力是相同的。（） （a）（b）（c） 5、图（a）是从某结构中取出的一段杆AB的隔离体受力图，则图（b）为该段杆的弯矩图，这是可能的。（）
（a） (b) 6、图示结构的M图的形状是正确的。（） 7、对图示结构中的BC段杆作弯矩图时，叠加法是不适用的。（） 8、在图示结构中，支座A处的竖向反力。（） 9、图示结构中。（）
10、图示结构中。（） 题10图题11图 11、图示结构中AB杆的弯矩为零。（） 12、图示三铰拱，轴线方程为，受均布竖向荷载作用，则拱内任一截面的弯矩等于零。（） 题12图题13图 13、图示桁架，因对称结构受反对称荷载，故AB杆的轴力为零。( ) 14、不受外力作用的任何结构，内力一定为零。（） 15、对于图中所示同一结构受两种不同荷载的情况，其对应的支座反力相等，且内力图也相同。（）
(a) (b) 16、比较图a和b所示同一结构受两种不同的荷载可知，除CD段弯矩不同外，其余各部分弯矩完全相同。（） (a) (b) 17、简支的斜梁，在竖向荷载作用下，其内力与等跨度且同荷载的水平简支梁相同。（） 18、实际工程中的桁架结构，只有轴力，没有弯矩和剪力。（） 19、图示结构在温度改变作用下，所有的约束力（支座反力、杆件之间的相互约束力、杆截面内力）为零的这组答案满足平衡条件，故为其唯一确定解。（） 20、对于图（a）（b）（c）所示三种结构，其梁式杆的最大弯矩（绝对值）排序为：（a）>（b）>（c）.( )
6-1 求图示桁架AB 、AC 的相对转角，各杆EA 为常量。 解：（1）实状态桁架各杆的轴力如图（b ）所示。 (b)(a) N (d )(c)题6-1 N N （2）建立虚设单位力状态如（c ）所示,求AB 杆的转角。 1113(2)82i P i AB i i P a P a P a N N l P a a a E A EA EA EA EA ?????-?-???==++?=∑（?） （3）建立虚设单位力状态如（d ）所示,求AC 杆的转角。 113(2)() (72i P i AC i i P a P a N N l P a a E A EA EA EA ????-?-??== +?=∑（?） 故，AB 、AC 的相对转角为两杆转角之差： 8(7(10.414AB AC P P P P EA EA EA EA ???+=-= -==-（夹角减小） 6-2 求半圆曲梁中点K 的竖向位移。只计弯曲变形。EI 为常数。 方法一 解：（1）荷载作用下的实状态的约束反力如图（a ）所示。以任意半径与水平坐标轴的顺时针夹角为自变量，其弯矩方程为： sin (0)P M θθπ=-≤≤Pr （2）建立虚设单位力状态如（b ）所示，其弯矩方程为： []1 cos )(0)2211cos()cos )()222 i M πθθππθθθπ?≤≤??=??-=≤≤??(r -r r -r (r +r
(a) 题6-2 （3）积分法求半圆曲梁中点K 的竖向位移。 2 02 3322 0022 311 cos )(sin )cos )(sin )2211cos )sin cos )sin sin sin 2)sin sin 2)2222cos 2i V P k Pr Pr M M ds rd rd EI EI EI Pr Pr d d d d EI EI Pr EI π ππππππππθθθθθθ θθθθθθθθθθθθθ?-?-??==+????=-?+?=-+????????? =-∑? ??????(r -r (r +r (-(+(-(+(-11320 211cos 2)cos cos 2)442Pr EI π ππθθθ????+-+=-↑??? ?（）( 方法二：本题也可以只算纵向对称轴左边，再乘2。 题6-2 (a) 203322003 320 1 sin )(Pr cos ) 221sin )cos cos sin 2)2 1sin cos 2)42i V P k M M ds rd EI EI Pr Pr d d EI EI Pr Pr EI EI π πππ θθθ θθθθθθθθ?-??===-?=-=-+=-↑∑????（） (r -r (-(-(1 6-3 求梁的自由端的挠度。EI 为常数。 方法一 ：（积分法） 解：（1）荷载作用的实状态,以及坐标如图（a ）,其弯矩方程为： ()2 1 (0)2 M x qlx qx x l =--≤< （2）建立虚设单位力状态,以及坐标如图（b ）所示,其弯矩方程为：()(0)i M x x x l =-≤<
ΔC ΔCy ΔCx 第四章 静定结构结构位移计算 学习目的和要求 静定结构位移计算是演算结构刚度和计算超静定结构所必需的。变形体虚功原理是结构力学结构力学中的重要理论。位移计算公式就是在此原理上得到的，对于近一学习也起到奠基性的作用。 本章基本要求： 1、了解温度改变、支座移动引起的位移计算。 2、领会变形体虚功原理和互等定理。 3、掌握实功、虚功、广义力、广义位移的概念。 4、熟练荷载产生的位移计算。 5、熟练掌握图乘法求位移。 学习内容 实功和虚功、广义力和广义位移，变形体虚功原理，功的互等定理、位移互等定理、反力互等定理。静定结构在荷载作用下产生的位移计算；支座移动、温度改变产生的位移计算。刚架和梁的位移计算图乘法。 §4.1 应用虚力原理求刚体体系位移 1、 结构的位移： 结构在荷载作用下，要产生内力和变形，结构的变形引起结构的位移，位移一般分为线位移和角位移两种，线位移是指结构上点的移动，角位移是指杆件横截面产生的转动。 2、 计算位移的目的： (1) 验算结构的刚度。结构变形不得超过规范规定的容许值。 (2) 为超静定结构的内力分析打基础。超静定结构的计算要同时满足平衡条件和变形连续条件。 (3) 结构制作、施工过程中也常需先知道结构的位移 2、 产生位移的主要原因 产生位移的主要原因主要由上述三种：①荷载作用、②温度改变和材料胀缩、③支座移动和制造误差。 各种因素对静定结构的影响 (1)荷载使静定结构产生内力、变形、位移； （2）温度改变或材料胀缩使静定结构不产生内力、但能产生变形、位移；
iP （3）支座移动或制造误差使静定结构不产生内力变形、但能产生位移； 4、位移计算方法： 本章只讨论线性变形体系的位移计算，计算方法是单位荷载法，其理论基础是虚功原理。 由于线性变形体系和叠加原理的使用条件都是：①材料处于弹性阶段，应力与应变之间成正比； ②结构变形微小，不影响力的作用。所以，对线性变形体系的位移计算，可以应用叠加原理。 §4.2 结构位移计算的一般公式 如结构在荷载、温度改变、支座移动等因素作用下而发生了图1所示变形和位移，这是结构的实 际的位移状态。要利用虚功方程求位移Δi2（状态②中i方向的位移）。应先虚拟力状态：在欲 求位移处沿着求位移的方向，加上与所求位移相应的广义单位荷载（如图2）。求出虚拟力状态 的内力和反力。由虚功方程，即得平面杆系结构位移计算的一般公式： 该式适用于：①静定结构和超静定结构； ②弹性体系和非弹性体 系； ③各种因素产生的位移计算。 §4.3 荷载作用下的位移计算 如果弹性体系由荷载产生了内力（M P，N P，Q P）， 而内力产生的变形可由材料力学公式得到 代入虚功方程式得： 几点注意： 1．该式可用来求弹性体系由荷载产生的位移；
建筑力学问题简答（七）超静定结构内 力计算 194．什么是超静定结构？它和静定结构有何区别？ 答：单靠静力平衡条件不能确定全部反力和內力的结构为超静定结构。 从几何组成的角度看，静定结构是没有多余约束的几何不变体系。若去掉其中任何一个约束，静定结构即成为几何可变体系。也就是说，静定结构的任何一个约束，对维持其几何不变性都是必要的，称为必要约束。对于超静定结构，若去掉其中一个甚至多个约束后，结构仍可能是几何不变的。 195．什么是超静定结构的超静定次数？ 答：超静定结构多余约束的数目，或者多余约束力的数目，称为结构的超静定次数。 196．超静定结构的基本结构是否必须是静定结构？ 答：超静定结构的基本结构必须是静定结构。 197．如何确定超静定结构的超静定次数？ 答：确定结构超静定次数的方法是：去掉超静定结构的多余约束，使之变为静定结构，则去掉多余约束的个数，即为结构的超静定次数。 198．撤除多余约束的方法有哪几种？ 答：撤除多余约束常用方法如下： （1）去掉一根支座链杆或切断一根链杆，等于去掉一个约束。 （2）去掉一个固定铰支座或拆去一个单铰，等于去掉两个约束。 （3）去掉一个固定端支座或把刚性连接切开，等于去掉三个约束。 199．用力法计算超静定结构的基本思路是什么？ 答：用力法计算超静定结构的基本思路是： 去掉超静定结构的多于约束，代之以多余未知力，形成静定的基本结构；取多余未知力作为基本未知量，通过基本结构的位移谐调条件建立力法方程，利用这一变形条件求解多余约束力；将已知外荷载和多余约束力所引起的基本结构的内力叠加，即为原超静定结构在荷载作用下产生的内力。 200．什么是力法的基本结构和基本未知量？ 答：力法的基本结构是：超静定结构去掉多余约束后得到的静定结构。力法的基本未知量是对应于多余约束的约束反力。 201．简述n 次超静定结构的力法方程，及求原结构的全部反力和內力的方法。 答：（1）n 次超静定结构的力法方程 对于n 次超静定结构，撤去n 个多余约束后可得到静定的基本结构，在去掉的n 个多余约束处代以相应的多余未知力。当原结构在去掉的多余约束处的位移为零时，相应地也就有n 个已知的位移谐调条件：Δi =0（i =1，2，…，n ）。由此可以建立n 个关于求解多余未知力的方程： 00 22112222212111212111=?++++=?++++=?++++nP n nn n n P n n P n n X X X X X X X X X δδδδδδδδδ 式中： δii 称为主系数，表示当X i =1作用在基本结构上时，X i 作用点沿X i 方向的位移。由于δ
14.常见问题解答6超静定结构内力计算静 定结构的内力与材料的性质无关 建筑力学常见问题解答 6 超静定结构內力计算 1．什么是超静定结构？它和静定结构有何区别？ 答：单靠静力平衡条件不能确定全部反力和內力的结构为超静定结构。 从几何组成的角度看，静定结构是没有多余约束的几何不变体系。若去掉其中任何一个约束，静定结构即成为几何可变体系。也就是说，静定结构的任何一个约束，对维持其几何不变性都是必要的，称为必要约束。对于超静定结构，若去掉其中一个甚至多个约束后，结构仍可能是几何不变的。 2．什么是超静定结构的超静定次数？ 答：超静定结构多余约束的数目，或者多余约束力的数目，称为结构的超静定次数。 3．超静定结构的基本结构是否必须是静定结构？ 答：超静定结构的基本结构必须是静定结构。 4．如何确定超静定结构的超静定次数？ 答：确定结构超静定次数的方法是：去掉超静定结构的多余约束，使之变为静定结构，则去掉多余约束的个数，即
为结构的超静定次数。 5．撤除多余约束的方法有哪几种？ 答：撤除多余约束常用方法如下： 去掉一根支座链杆或切断一根链杆，等于去掉一个约束。 去掉一个固定铰支座或拆去一个单铰，等于去掉两个约束。 去掉一个固定端支座或把刚性连接切开，等于去掉三个约束。 6．用力法计算超静定结构的基本思路是什么？ 答：用力法计算超静定结构的基本思路是： 去掉超静定结构的多于约束，代之以多余未知力，形成静定的基本结构；取多余未知力作为基本未知量，通过基本结构的位移谐调条件建立力法方程，利用这一变形条件求解多余约束力；将已知外荷载和多余约束力所引起的基本结构的内力叠加，即为原超静定结构在荷载作用下产生的内力。 7．什么是力法的基本结构和基本未知量？ 答：力法的基本结构是：超静定结构去掉多余约束后得到的静定结构。力法的基本未知量是对应于多余约束的约束反力。 8．简述n 次超静定结构的力法方程，及求原结构的全部反力和內力的方法。答：n 次超静定结构的力法方程