第3课时 代数式与整式、 因式分解
班级 姓名 学号
学习目标
1. 了解代数式、单项式、多项式、整式的有关概念；
2. 掌握同底数幂的乘法和除法、幂的乘方和积的乘方运算法则，并能熟练地进行数
字指数幂的运算；
3. 掌握整式的运算：单项式乘以单项式, 单项式乘以多项式,多项式乘以多项式,
多项式除以单项式，整式的加减乘除混合运算； 4. 理解因式分解的意义及其整式乘法的联系与区别；
5. 掌握因式分解的基本方法：提公因式法．运用公式法．十字相乘法．分组分解
法。 学习难点
1. 整式的有关概念的理解；
2. 正确进行整式的计算；
3. 同底数幂的运算法则的运用；
4. 因式分解基本方法的灵活运用。 教学过程 一、基础回顾
1.x 的2倍与5的差,用代数式表示为_ _,当x=-1时,该代数式的值是 .
2.-552
1
b a 是_____次单项式,它的系数是________.
3.多项式y x xy y x 2
3233
2123+
--是____次____项式,它的最高次项是___ __；常数项是 ，按x 的降幂排列是______ _ _ __；按y 的升幂排列是 . 4.若代数式3223m n x y x y -与 是同类项，则m + n ＝____________. 5. 若3,2==y x a a ，则___________2=-y x a .
6.计算: (1))(-3ab b 5a 352? =___________，(2))1(32-+x x x =_____________， (3))3)(2(-+a a =_____________， (4)2323548x a x b a ÷-=_______________， (5)2)2(y x -=______________， (6))4)(2)(2(2+-+x x x =______________.
7.分解因式：ab a 222-= ，442++a a = .
二、例题精讲
例1：如图，在长和宽分别是b a ,的矩形纸片的四个角都剪去一个边长x 为的正方形。 （1）用含x b a ,,的代数式表示纸片剩余部分的面积； (2) 当,4,6==b a 且剪去部分的面积等于剩余部分 的面积时，求正方形的边长。
例2：(1)下列各式中，哪些是单项式，哪些是多项式？
①xy ；②x
1
；③222x x -；④222x xy x +；⑤0；⑥1+x
(2)下列运算中，结果正确的是（ ）
A.633·x x x =
B.422523x x x =+
C.532)(x x = D ．222()x y x y +=+ 例3：先化简，再求值：（1）),1)(1()2(-+-+x x x x 其中2
1
=x . （2）已知,1452=-x x 求1)1()12)(1(2++---x x x 的值.
例4：把下列各式分解因式
（1）)()()(y x c x y b y x a -+---；（2）2296y xy x +-； （3）y x y x 2222-+-；（4） 22216)4(x x -+
三、延伸拓展
1．如图是一组有规律的图案，第1个 图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n (n 是正整数)个图案中由 个基础图形组成． -
2.（1）已知5,3a b ab -==，求代数式32232a b a b ab -+的值. （2）已知a 、b 、c 为三角形的三边，试说明：bc c b a 2222---＜0． 四、本课小结
(1)
(2)
(3)
……
3条
2条1条
图6
【课后作业】
班级 姓名 学号
1.4
y x 33-它的系数为___________，次数为_______.
2.多项式4423x x y 2y y 5x +--是_____次____项式,它的最高次项是______，二次项系数为_____，把这个多项式按y 降幂排列得____________________.
3.若m 10y x 41与4n 13y x 3
1
+是同类项，则m n ＝__________.
4.若05a a 2=-+，则20082a 2a 2++的值为__________.
5.计算：_______43=?-a a , 2a a a +?=________, (a +2)(a -1)=_______.
6.若3,5==n m a a ，则___________32=+n m a .
7.在多项式142+x 中，添加一个单项式使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是___________（只写出一个即可）. 8．把下列各式分解因式：
（1）x 2－xy ＝ ； （2）4x 2－16＝ ； （3）2x 2＋4x ＋2＝ ； （4）x 2－6x －7＝ ；（5）a 3－a 2＋a －1＝ ．
9.已知1)1(+-=n n a ,当1=n 时,01=a ；当2=n 时,22=a ； 当3=n 时,
03=a …则654321a a a a a a +++++=__________________.
10．.如图是小亮用8根，14根、20根火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”，按此方法搭n 条“金鱼”需要火柴__________根.(用含n 的代数式表示)
11．已知实数x 、y 满足x 2
－2x +4y =5，则x +2y 的最大值为 .
12．观察下列各等式的数字特征：85358535?=-、1192911929?=-、
17
107101710710?=-、……，将你所发现的规律用含字母a 、b 的等式表示出来： .
13.下列运算正确的是 ( )
A.12-=÷x x x
B. 33332244)2(y x x y x -=?-
C.653)()(x x x -=-?--
D.2294
1
)321)(321(y x y x y x -=+--
14．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A ．(x ＋2)(x ＋3)＝x 2＋x ＋6
B ．ax －ay ＋1＝a(x －y)＋1
C ．8a 2b 3＝2a 2·4b 3
D ．x 2－4＝(x ＋2)(x －2)
15.计算：(1)[]
222)23(264m m m m -+-- (2))7()3()4
3
(22ac ab bc a -?-÷-
16.先化简,再求值:
(1),3)12(2)12(2++-+a a 其中2=a .
(2)[]
x y x y x y x ÷-++-))(()(2,其中2
1,1=-=y x
17．把下列各式因式分解：
（1）x 3－4x （2）x 2－3xy －10y 2 (3) x 2－y 2－4x ＋4 （4）x 4－5x 2＋4
18．对于实数a 、b 、c 、d ，规定一种运算bc ad d c b a -=， 如
220)2(12
20
1-=?--?=-，那么当
255
)
3(42
=--x 时，求x 的值.
新人教版八年级上册数学导学案：因式分解—公式法（第2课时） 学习目标1、经历用完全平方公式法分解因式的探索过 程，理解公式中字母的意 2、会用完全平方公式法对多项式进行因式分 解。 3．能灵活应用提公因式法、公式法分解因式. 重点：用完全平方公式分解因式. 难点：能灵活应用提公因式法、公 式法分解因式，且把多项式的每一 个因式都分解到不能再分解. 时间 分配 导课3分、探索新知10分、典例示范10分小结2分、巩固15分 学习过程 学案（学习过程）导案（学法指导）一.提出问题，创设情景 问题1：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方 法，?分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？ 能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？ 问题2：把下列各式分解因式． （1）a2+2ab+b2 （2）a2-2ab+b2 二、探索新知 1、下列各式是不是完全平方式？ （1）a2-4a+4 （2）x2+4x+4y2 （3）x2-6x-9 （4）a2+a+0.25 方法总结：凡是可以写成a2+2ab+b2或a2-2ab+b2这 样形式的多项式，都可以用完全平方公式分解因式，即可 以把它们化为(a+b)2或(a-b)2的形式。因此，我们把形 如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为完全平方式 . 2、完全平方公式： 文字叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积 的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。 a2+2ab+b2＝（a+b）2 a2-2ab+b2＝（a-b）2 导课： 通过问题导入。 所设置的问题也是前面 学习的乘法公式。 让学生分析、讨论、总 结，最后总结方法，必 要时教师可适度引导。 完全平方公式其实就是 乘法公式的逆运算。
第十五章整式乘除与因式分解 §15.1 整式的乘法 第 同底数幂乘法 学习目标 ⒈在推理判断中得出同底数冪乘法的运算法则，并掌握“法则”的应用. ⒉经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程，感受幂的意义，发展推理能力和表达能力，提高计算能力. ⒊在组合作交流中，培养协作精神,探究精神，增强学习信心. 学习重点：同底数冪乘法运算性质的推导和应用. 学习难点：同底数冪的乘法的法则的应用. 学习过程： 一、预习与新知： ⒈⑴ 阅读课本P 141-142 （2）3 2 表示几个2相乘？2 3表示什么？ 5a 表示什么？m a 呢？ （3）把22222????表示成n a 的形式. ⒉请同学们通过计算探索规律. （1）()()) (2 2222222224 3 =?????=? (2)35 ?45= )(5= （3） 7)3(-?6 )3(-= ())(3-= （4）) (? ? ? ??=??? ?????? ??1011011013 （5）3 a ?4 a = =() a ⒊计算（1）3 2?4 2和72 ； （2）5233?和73 （3）3a ?4a 和7a (代数式表示)；观察计算结果，你能猜想出m a ?n a 的结果吗？ 问题：（1）这几道题目有什么共同特点？ （2）请同学们看一看自己的计算结果，想一想这个结果有什么规律？
⒋请同学们推算一下m a ?n a 的结果？ 同底数幂的乘法法则： 二、课堂展示： （1）计算 ①310?410 ②3a a ? ③53a a a ?? ④x x x x ?+?2 2 （2）计算 ①1 1010+?m n ②57x x ? ③9 7m m m ?? ④-4 444? ⑤()3 9 22-? ⑥12222 +?n n ⑦ y y y y ???425 ⑧5 32333?? 三、随堂练习：（1）课本P 142页练习题 （2）课本P 148页15.1第1①②，2① C 组 1.计算：①10 432b b b b ??? ②()()8 7 6 x x x -?- ③()()()5 6 2 x y y ---- ④()()()3 6 4 5 p p p p ?-+-?- 2.把下列各式化成()n y x +或()n y x -的形式. ① ()()4 3 y x y x ++ ②()()()x y y x y x ---2 3 ③() ()12+++m m y x y x 3.已知9x x x n m n m =?-+求m 的值. 四．小结与反思
第十四章 整式的乘除与因式分解教材分析 1、教学内容及地位 本章属于《课程标准》中的 “数与代数”领域，其核心知识是：整式的乘除运算和因式分解。这些知识是在学习了有理数的运算、列代数式、整式加减和解一元一次方程及不等式的基础引入的。也是进一步学习分式和根式运算、一元二次方程以及函数等知识的基础，同时又是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学工具，因此，本章在初中学段占有重要地位。 2、本章教学内容 在学习上各部分知识之间的联系如下： 从 上 面 可 以 看出，本章内容的突出的特点是：内容联系紧密、以运算为主。全章紧紧围绕整式的乘除运算，分层递进，层层深入。在整式的乘除中，单项式的乘除是关键，这是因为其他乘除都要转化为单项式除法。实际上，单项式的乘除进行的是幂的运算与有理数的运算，因此幂的运算是学好整式乘除的基础。 3 、教学目标
⑴解析每个目标 ①目标1中《课标》对整式乘法运算的要求——其中的多项式相乘仅指一次式相乘，是对多项式与多项式相乘的难度作一个要求。 ②目标2中对乘法公式的要求不仅是能利用公式进行（简单）的乘法运算，更要引起老师们注意的是，目标要求会“推导”乘法公式，因此在教学中要从代数、几何多个角度出发推导公式。 ③目标3中，《课标》要求：会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）分解因式（指数是正整数）。首先初中阶段对分解因式只要求掌握两种方法，而对于分组分解法和十字相乘法则不做要求；其次，直接用公式不超过二次，如把多项式a8-1分解因式则是超课标了；最后，多项式中的字母指数仅限于正整数的情况，不考虑指数是负数，分数或字母的情况。而在学习过程中比克标的要求要高一些，通过教学我们要让学生理解因式分解的意义，了解因式分解与整式乘法的互逆关系，从中体会事物之间相互转化的辨证思想。通过学生的自主探索，发现和掌握因式分解的基本方法——提公因式法和公式法（数学书P172选学部分中提到了“十字相乘法”），渗透特殊到一般，逆向思维，换元等思想，培养学生认真观察、深入分析问题的良好习惯和能力。通过因式分解的应用与实践，发展学生的数学思维能力，使他们获得一些研究问题、解决问题的经验与方法。显然教材比课标中的目标高很多，建议老师们根据自己学生的情况进行分层目标要求。 ⑵《课标》总目标与人教材具体目标整体要求偏低,建议从两个方面把握： ③《课标》是由国家教育部制订的，教材的版本可以不同，但《课标》是同一个，从中考角度讲，中考内容一定不能超出《课标》要求的范围，因此应以《课标》为准绳把握教学目标。 ④《课标》是国家对义务教育阶段数学课程的基本规范和要求，它只规定了学生在相应学段应该达到的最低、最基本的要求，因此又要根据学生的具体情况和教材编写的特点，提出不同层次的教学目标。 4、本章教学重点、难点 本章教学重点是整式的乘除运算和因式分解的两种基本方法，教学难点乘法公式的灵活应用，熟练掌握因式分解的两种方法和变形技巧。 5、课时安排 本章教学时间约13课时，具体分配如下（仅供参考）： 15.1整式的乘法 4课时 15.2乘法公式 2课时 15.3整式的除法 2课时 15.4因式分解 3课时 数学活动 小结 2课时
【学习重点与难点】：因式分解的方法和运用 【导学过程】 一、知识再现:（阅读教材，理解记忆） 1、因式分解： 2、用提公因式法分解因式 （1）基本方法，（2）找公因式的方法， 3、因式分解中运用的公式 （1）=-22b a ，（2）=+±222b ab a ， 4、因式分解的应用． 二、典例分析 1、提公因式法分解因式 例1 因式分解：b a ab 223+= 变式1、因式分解：x x 52- = 变式2、因式分解： 2263ab b a += 2、公式法分解因式 例2、因式分解：3212123a a a ++= 变式3、因式分解：296ab ab a +-= 变式4、因式分解：23ab a -=
3、因式分解的应用 例3 解方程的值求代数式224320042200452y x x y y x -?? ???=-=+ 变式5、若622=-n m 且2=-n m 则=+n m 三、巩固提高 1. 下列分解因式正确的是 （ ） A 、﹣a +a 3=﹣a （1+a 2） B 、2a ﹣4b +2=2（a ﹣2b ） C 、a 2﹣4=（a ﹣2）2 D 、a 2﹣2a +1=（a ﹣1）2 2．分解因式：321025=a a a -+ 3、因式分解：a 2 ﹣6a+9= 4、分解因式：3222b ab b a +-= 5、分解因式：8（x 2﹣2y 2）﹣x （7x+y ）+xy ．
【课堂反馈】 1、下列式子变形是因式分解的是【 】 A ．x 2－5x ＋6＝x (x －5)＋6 B ．x 2 －5x ＋6＝(x －2)(x －3) C ． (x －2)(x －3)＝x 2－5x ＋6 D ．x 2－5x ＋6＝(x ＋2)(x ＋3) 2、若实数x 、y 、z 满足2()4()()0x z x y y z ----=．则下列式子一定成立的是（ ） (A)0x y z ++= (B) 20x y z +-= (C) 20y z x +-= (D) 2=0x z y +- 3、分解因式：3269x x x -+= 4、分解因式：=+-+)(3)(2y x y x 5、已知1=-b a ，则b b a 222--的值
整式的乘除与因式分解 一、选择题 1．下列计算中，运算正确的有几个（） (1) a5+a5=a10(2) (a+b)3=a3+b3 (3) (-a+b)(-a-b)=a2-b2 (4) (a-b)3= -(b-a)3 A、0个 B、1个 C、2个 D、3个 2．计算（-2a3）5÷(-2a5)3的结果是（） A、— 2 B、 2 C、4 D、—4 3．若，则的值为（） A． B．5 C． D．2 4．若x2+mx+1是完全平方式，则m=（）。 A、2 B、-2 C、±2 D、±4 5．如图，在长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a>b）把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（） A．a2-b2=(a+b)(a-b) B．(a+b)2=a2+2ab+b2 C．(a-b)2=a2-2ab+b2D．(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2 6．已知()= b -2 a3,则与的值分别 +2 a7, ()= b 是（）
A. 4,1 B. 2,32 C.5,1 D. 10, 32 二、填空题 1．若2,3=-=+ab b a ，则=+22b a ，()=-2b a 2．已知a －1a =3，则a 2＋21a 的值等于 · 3．如果x 2－kx ＋9y 2是一个完全平方式，则常数k ＝________________； 4．若???-=-=+3 1b a b a ，则a 2－b 2＝ ； 5．已知2m ＝x ，43m ＝y ，用含有字母x 的代数式表示y ，则y ＝________________； 6、如果一个单项式与的积为-34 a 2bc,则这个单项式为________________； 7、（－2a 2 b 3）3 （3ab+2a 2）=________________； 8、()()()()=++++12121212242n K ________________； 9、如图，要给这个长、宽、高分别为x 、y 、z 的箱子打包， 其打包方式如下图所示，则打包带的长至少要____________ （单位：mm ）。（用含x 、y 、z 的代数式表示） 10、因式分解：3a 2x 2y 2－27a 2 (x －2y ＋z)(－x ＋2y ＋z) （a+2b －3c ）（a －2b+3c ）
同底数幂的乘法：m n a a ?= 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 幂的乘方：()n m a = 幂的乘方，底数不变，指数相乘 积的乘方：a n n b = 积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相 乘 同底数幂的除法： a m n a ÷= （a 0≠,m,n 都是 正整数，并且m>n ） 同底数幂相除，底数不变，指数相减 0a = a 0≠（） 任何不等于0的数的0次幂都等于 整式的乘法 单项式与单项式相乘，把它们的系数、字母 ，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积 的 。如：52 ac bc =g 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘 多项式的 ，再把所的积 如：22132(2)ab ab ab -=g 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的 ，再把所得的积相加 如：(8)()x y x y --= 乘法 公式 平方差公式： (a+b)(a-b)= 两个数的 与这两个数的 的积，等于这两个数的 完全平方公式： 2 a+b =（） 2a b -=（） 添括号的法则： 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都 ；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都 。 如：a b c ++= a b c --= 单项式相除，把系数与同底数幂 作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的 。 如：42328x y 7x y ÷= 整式 的除法 多项式除以单项式，先把这个多项式的 除以这个单项式，再把所得的 如：3212a 63)3a a a -+÷=（ 把一个多项式化成几个整式的 ，这样的式子的变形叫做把这个多项式 。也叫做把这个多项式 。 因式分 解 整式乘除 与 因式分解 提公因式法： 2a()3()b c b c +-+= 公式法： 22a b -= 22 a +2ab+ b = 22a -2ab+b = 22()()x p x q +-+=
整式的乘除与因式分解复习试题（一） 姓名 得分 一、填空(每题3分，共30分) 1． a m =4,a n =3，a m+n =____ __. 2．(2x －1)(－3x+2)=___ _____. 3．=--+- )32)(32(n n n m ___________. 4．=--2)2 3 32(y x ______________, 5．若A ÷5ab 2=-7ab 2c 3,则A=_________,若4x 2yz 3÷B=-8x,则B=_________. 6.若4)2)((2 -=++x x b ax ，则b a =_________________. 8．若。 ＝，，则b a b b a ==+-+-01222 9．已知31=+ a a ，则221 a a +的值是 。 10．如果2a+3b=1,那么3-4a-6b= 。 二、选择题(每题3分，共30分) 11、下列计算错误的个数是（ ） ①(x 4-y 4)÷（x 2-y 2）=x 2-y 2 ; ② (-2a 2)3=-8a 5 ; ③ (ax+by)÷(a+b)=x+y; ④ 6x 2m ÷2x m =3x 2 A. 4 B3 C. 2 D. 1 12．已知被除式是x 3+2x 2 －1，商式是x ，余式是－1，则除式是（ ） A 、x 2+3x －1 B 、x 2+2x C 、x 2－1 D 、x 2－3x+1 13．若3x =a ，3y =b ，则3x － y 等于（ ） A 、b a B 、a b C 、2ab D 、a+1b 14.如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为（ ） A. –3 B. 3 C. 0 D. 1 15.一个正方形的边长增加了cm 2，面积相应增加了2 32cm ，则这个正方形的边长为（ ） A 、6cm B 、5cm C 、8cm D 、7cm 16．一个多项式分解因式的结果是)2)(2(3 3 b b -+，那么这个多项式是（ ） A 、46 -b B 、6 4b - C 、46 +b D 、46 --b 17．下列各式是完全平方式的是（ ） A 、412+ -x x B 、2 1x + C 、1++xy x D 、122 -+x x 18．把多项式)2()2(2 a m a m -+-分解因式等于（ ） A 、))(2(2 m m a +- B 、))(2(2 m m a --C 、m(a-2)(m-1) D 、m(a-2)(m+1) 19．下列多项式中，含有因式)1(+y 的多项式是（ ） A 、2 2 32x xy y -- B 、2 2)1()1(--+y y C 、)1()1(2 2 --+y y D 、1)1(2)1(2 ++++y y 20、已知多项式c bx x ++2 2分解因式为)1)(3(2+-x x ，则c b ,的值为（ ） A 、1,3-==c b B 、2,6=-=c b C 、4,6-=-=c b D 、6,4-=-=c b 三、解答题：(共60分) 1.计算题
整式乘除与因式分解计算题 一、计算： ；2、[（﹣y5）2]3÷[（﹣y）3]5?y2 1、 3、4、（a﹣b）6?[﹣4（b﹣a）3]?（b﹣a）2÷（a﹣b）5、（2x﹣3y）2﹣8y2；6、（m+3n）（m﹣3n）﹣（m﹣3n）2； 7、（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）；8、（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）； 9、（a﹣2b+c）2；10、[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（2y﹣x）﹣2x（2x﹣y）]÷2x．11、（m+2n）2（m﹣2n）2 12、．13、6a5b6c4÷（﹣3a2b3c）÷（2a3b3c3）．14、（x﹣4y）（2x+3y）﹣（x+2y）（x﹣y）． 15、[（﹣2x2y）2]3?3xy4．16、（m﹣n）（m+n）+（m+n）2﹣2m2．
17、（－3xy 2）3·（61x 3y ）2； 18、4a 2x 2·（－52a 4x 3y 3）÷（－21 a 5xy 2）； 19、22 2)(4)(2)x y x y x y --+（； 20、22 1(2)(2))x x x x x -+-+－（． 21、（x 2）8?x 4÷x 10﹣2x 5?（x 3）2÷x ． 22、3a 3b 2÷a 2+b ?（a 2b ﹣3ab ﹣5a 2b ）． 23、（x ﹣3）（x+3）﹣（x+1）（x+3）． 24、（2x+y ）（2x ﹣y ）+（x+y ）2﹣2（2x 2﹣xy ）． 二、因式分解： 25、6ab 3﹣24a 3b ； 26、﹣2a 2+4a ﹣2； 27、4n 2（m ﹣2）﹣6（2﹣m ）； 28、2x 2y ﹣8xy+8y ； 29、a 2（x ﹣y ）+4b 2（y ﹣x ）； 30、4m 2n 2﹣（m 2+n 2）2； 31、； 32、（a 2+1）2﹣4a 2； 33、3x n+1﹣6x n +3x n ﹣1
公式法（一） 【目标导航】 能说出平方差公式的特征，并熟练地利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解． 【复习导入】 把下列各式分解因式： 1．－4m3＋16m2－26m； 2．(x－3)2＋(3x－9)； 3．－m2n(x－y)n＋mn2(x－y)n＋1； 4（2011福建福州）分解因式：225 x-=. 5．y2－25 【合作探究】 1．由练习中4、5说出分解依据及多项式的特点： 2．由乘法中的平方差公式反过来，得到因式分解中的平方差公式： 【合作探究】 练习：下列各多项式能否用平方差公式分解因式？为什么？ (1) x2＋y2；(2) x2－y2；(3)－x2＋y2； (4)－x2－y2；(5) 1 4 a2b2－1；(6) x4－y4. 例1 把下列多项式分解因式 (1) 4x2－9； (2) (x＋p)2－(x＋q)2； (3) 16－ 1 25 m2； (4)－(x＋2)2＋16(x－1)2． 例2 把下列多项式分解因式 (1) x4－y4； (2) （2011贵州安顺）因式分解：x3－ 9x= ． (3)－ 1 4 xy3＋0.09xy； (4)a2－b2＋a－b； (5)(p－4)(p＋1)＋3p. 练习：把下列多项式分解因式 (1) a2－ 1 25 b2； (2) 9a2－4b2； (3) （2011广西南宁）把多项式x3-4x分解因 式所得的结果是（） (A) x (x2－4) (B) x（x+4）（x－4） (C) x（x+2）（x－2）(D)（x+2）（x－2） (4)－a4＋16； (5) m4(m－2)＋4(2－m) 例3 在实数范围内分解因式 (1) x2－2； (2) 5x2－3. 例4(1) 计算：9972－9 (2)设n是整数，用因式分解的方法说明： (2n＋1)2－25能被4整除． (3) 已知x、y为正整数，且4x2－9y2=31， 你能求出x、y的值吗？ 【课堂操练】 1．9a2－ =(3a＋b)(3a－b). 2．分解因式:4x2－9y2= ； 3x2－27y2= ； a2b－b3= ； 2x4－2y4= . 3．下列各式中，能用平方差公式分解的是（） A. x2＋y2 B. x2＋y4 C. x2－y4 D. x2－2x 4．已知－(2a－b)(2a＋b)是下列一个多项式分解 因式的结果，这个多项式是（） A. 4a2－b2 B.4a2＋b2 C. －4a2－b2 D. －4a2＋b2 5．分解因式： (1)9a2－ 1 4 b2； (2)2x3－8x； (3)(m＋a)2－(n－b)2. 【课后巩固】 1.把下列各式分解因式： (1) 9(m＋n)2－(m－n)2 (2) p4－16 (3) －(x＋2y)2＋(2x＋3y)2
沧港中心学校导学案课题多项式的因式分解 学生姓名评卷情况 主备人杨玲审核人 科目七年级数学备课时间20XX年3月27日 方程、简化计算等方面都常用因式分解。3、理解因式分解是多项式乘法的逆变形。 学习重点: 因式分解的概念。 学习难点: 理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。 一、复习回顾: 问题一整式乘法有几种形式? 问题二乘法公式有哪些? (1)单项式乘以单项式(1)平方差公式:： (2)单项式乘以多项式：a(m+n)= (2)完全平方公式： (3)多项式乘以多项式：(a+b)(m+n)= 二、自主学习: 1、计算： （1）23= ?（2）（m+4）（m－4）=__________； （3）（y－3）2=__________；（4）3x（x－1）=__________； （5）m（a+b+c）=__________；（6）a（a+1）（a－1）=__________。 2、若a=101,b=99,则22 a b -=___________；若a=99,b=-1,则22 2 a a b b -+=_______； 若x=-3,则2 2060 x x += 小结：一般地，把一个含字母的表示成若干个多项式的的形式，称把这个多项式因式分解。 思考：由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算? 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与上面的变形有什么不同? 因式分解与整式的乘法有什么区别和联系？ 三、合作探究:
四、课堂检测 1、下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1) 2x-3x+1=x(x-3)+1 ；(2) (m＋n)(a＋b)＋(m＋n)(x＋y)＝(m＋n)(a＋b＋x＋y)； (3) 2m(m-n)=22m-2mn；(4) 42x-4x+1= ()2 21 x-； (5) 32a+6a=3a（a+2）；（6） ()() 243223 x x x x x -+=-++ (7) 2 2 2 11 2 k k k k ?? ++=+ ? ??；(8) 3 18a bc=32a b·6ac。 3、下列说法不正确的是( ) A. a b -是22 a b -的一个因式 B. xy是2 23 x y xy -的一个因式C.22 2 x xy y -+的因式是x y +和x y - D. 22 2 a a b b ++的一个因式是a b + 4、计算：(1) 2 87+87×13 (2) 22 10199 - 5、若 x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5),则m= ,n= 家长签字：
第十五章 整式乘除与因式分解 知识点归纳： 一、幂的运算： 1、同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=?（n m ,都是正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。 如：532)()()(b a b a b a +=+?+ 2、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：10253)3(=- 幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn a a a )()(== 如：23326)4()4(4== 3、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）。积的乘方，等于各因数乘方的积。 如：（523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=???- 4、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m φ 同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：3334)()()(b a ab ab ab ==÷ 5、零指数； 10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于1。 二、单项式、多项式的乘法运算： 6、单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。如：=?-xy z y x 3232 。 7、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式)。如：)(3)32(2y x y y x x +--= 。 8、多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。 9、平方差公式：22))((b a b a b a -=-+注意平方差公式展开只有两项 公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。 如：))((z y x z y x +--+ = 10、完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=± 完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，首尾2倍中间放，符号和前一个样。
整式的乘除及因式分解 知识点归纳： 1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。 如：-2a2be的系数为_2,次数为4,单独的一个非零数的次数是0。 2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。 如：a2 - 2cib + x + \ 9项有 /、— 2ab > x > 1,二次项为a，、— 2ab ,—次项为「常数项为1,各项次数分别为2, 2, 1, 0,系数分别为1,?2, 1, 1,叫二次四项式。 3、整式：单项式和多项式统称整式。 注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。 5、同底数幕的乘法法则: m严”(〃“都是正整数) 同底数幕相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。如I ：- a = _________ :a ?/?/= _______________ (a + b)2^(a + b)3 =(a + b)5,逆运算为：___________________ 6、幕的乘方法则: (屮)”-严(如都是正整数) 幕的乘方，底数不变，指数相乘。女(-3丁=3” 幕的乘方法则可以逆用：即a mn =(a m)n =(a n)m 如：46 =(42)3 =(43)2 例如：(")3= ___________ :(厂)2= ____________ ； (")3 =(/)() 7、积的乘方法则：伽)”=心”(〃是正整数)
2x? 3y(-2x2y)(5xy2) (3审? (一2号2) (-a2b)3 - (a2b)2 12、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所 得的积相加, 即rn{a + b + c) = ma + mb + me (m,a,b,c都是单项式) 注意: ①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。 ②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。 ③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。］ 女口：2x(2x - 3y) - 3y(x + y) 2x(-2x - 3y + 5) - 3ab(5a -ab +2b2) 13、多项式与多项式相乘的法则; 多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。 女口：(x + 2)(x - 6) (2x — 3y)(x —2y + 1) (a + b\a ~ -ab + b~) 14、平方差公式：《+〃)(。")= /_戸注意平方差公式展开只有两项公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。
14．3．2公式法导学案（第1课时） 备课时间： 主备：张洪波 高永爱 审核：高永爱 使用时间： 【学习目标】 1.运用平方差公式分解因式，能说出平方差公式的特点. 2.会用提公因式法与平方差公式法分解因式． 3.会两次运用平方差公式分解因式，知道因式分解必须进行到不能分解为止. 【学习重难点】 学习重点:用平方差公式法进行因式分解. 学习难点:把多项式进行必要变形，灵活运用平方差公式分解因式 【自主学习】 1、对于等式x 2+x = x (x+1)： 1) 如果从左到右看，是一种什么变形？ 2) 什么叫因式分解？这种因式分解的方法叫什么？ 3) 如果从右到左看，是一种什么变形？ 4) 因式分解和整式乘法是两种互为_______的变形. 【合作探究】 探究一： 1.计算：（1）（x-1）(x+1)=_________;(2)(y+4)(y-4)=_______ 2.根据1题的结果分解因式：（1）21_____x -=;(2)216________y -= 3.你能将22a b -进行因式分解吗？你是如何思考的？ 分析：要将22a b -进行因式分解，可以发现它_________公因式，不能用提公因式法分解因式，但我们还可以发现这个多项式是两个数的 ____________ 形式，所以用平方差公式可以写成如下 形式：
结论：多项式的乘法公式的逆向应用，就是多项式的因式分解公式，如果被分解的多项式符合公式的条件，就可以直接写出因式分解的结果，这种分解因式的方法称为运用公式法。 拓展延伸： 1．把一个单项式写成平方的形式： （1）24a =（ ）2；（2）40.16a =（ ）2；（3）221.21a b =（ ）2； 例1：分解因式：（１）；249x -； （２）22()()x p x q +-+ （３）．22221.1b b a - 结论：（1）中的_______（2）中的________和（３）中的________相当于平方差公式中的a ；（1）中的______（2）中的_________和（３）中的__________相当于平方差公式中的b ，这说明公式中的a 和b 可以表示一个数，也可以表示一个单项式，或是多项式，只要符合公式的特点( )()22-，就可以运用公式分解因式． 总结平方差公式的特点： ①左边是二项式，每项都是 的形式，两项的符号 . ②右边是两个多项式的 ，一个因式是两数的 ，另一个因式是这两数的 . 例2：因式分解：（1）44x y - ； （2）3a b ab -； 【尝试应用】 1．口答：①24x -=_________ ②29t -= ③21649____m -= ④2254______x -+= 2．因式分解： （1）22125 a b -； （2）2294a b -； （3）24x y y -；
整式的乘除与因式分解 知识点全面 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
整式的乘除与因式分解知识点 一、整式乘除法 同底数幂相乘,底数不变,指数相加. a m·a n=a m+n[m,n都是正整数] 同底数幂相除,底数不变,指数相减. a m÷a n=a m-n[a≠0,m,n都是正整数,且 任何不等于0的数或式子的0次幂都等于1. a0=1[a≠0]， 00无意义 (a m)n表示n个a m相乘，a 的(m n)幂表示m 幂的乘方,底数不变,指数相乘. (a m)n=a mn[m,n都是正整数] 积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得幂相乘.(ab)n=a n b n[n为正整数]注：不要漏积中任何一个因式单项式与单项式相乘,把它们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.ac5·bc2=(a·b)·(c5·c2)=abc5+2=abc7 注：运算顺序先乘方，后乘除，最后加减 单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,m(a+b+c)=ma+mb+mc 注：不重不漏，按照顺序，注意常数项、负号 .本质是乘法分配律。 多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加. 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相乘 (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 乘法公式：平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差. (a+b)(a-b)=a2-b2完全平方公式:两数和[或差]的平方,等于它们的平方和,加[或减]它们积的2倍. (a±b)2=a2±2ab+b2 因式分解：把一个多项式化成几个整式积的形式,也叫做把这个多项式分解因式. 因式分解方法: 1、提公因式法.关键:找出公因式 公因式三部分：①系数(数字)一各项系数最大公约数；②字母--各项含有的相同字母；③指数--相同字母的最低次数；步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项． 注意：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的． 2、公式法.①a2-b2=(a+b)(a-b)两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积a、b可以是数也可是式子②a2±2ab+b2=(a±b)2 完全平方两个数平方和加上或减去这两个数的积的2倍,等于这两个数的和[或差]的平方. ③x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2)立方差公式 3、十字相乘(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 因式分解三要素：（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式（2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 弄清因式分解与整式乘法的内在的关系:互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差 添括号法则：如括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如括号前是负号各项都得改符号。用去括号法则验证
第二章 《因式分解》 §2.1 分解因式 学习重点： 1．理解因式分解的意义. 2．识别分解因式与整式乘法的关系. 学习难点：通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系. 一、自主复习：【填空】 公式类：()()a b a b +-=2 ()a b += 2()a b -= （1）单?单：3a×4ab= （2）单?多：(35)a a b -= （3）多?多：(3)(2)x y x y -+= （4）混合乘：x （x-1）（x+1）= 二、独立探究问题：分解因式的概念 1．自主学习教材p43-p44，其中p44做一做的前（1）—（5）是什么运算？做一做的后（1）—（5）与前（1）—（5）的关系是什么？ 2．分解因式的概念：把一个多项式化成的形式，这种变形叫做把这个多项式 3．掌握分解因式概念应注意： （1）被分解对象是 （2）分解因式的结果必须是几个的形式. （3）分解因式要一直分解到每个因式不能再为止. 4．及时反馈：完成书p45随堂练习 三、小组合作探究：分解因式与整式乘法的关系 1．议一议 （1）由(1)(1)a a a +-=3 a a -的变形是运算. （2）由3a a -=(1)(1)a a a +-的变形与（1）有什么不同？ 2．想一想 分解因式与整式乘法有什么关系？ ()ma mb mc m a b c ++++因式分解整式乘法 .因式分解与整式乘法是的变形. 四、知识的运用 例：下列从左到右的变形中，哪些是分解因式？哪些不是分解因式？为什么？ （1）x +1=x （1+ x 1）（2）()222424ab ac a b c +=+ （3）2 4814(2)1x x x x --=--（4）222()ax ay a x y -=- （5）2 2 2 4(2)a ab b a b -+=-（6）2 (3)(3)9x x x +-=- 五、课堂小结 1．分解因式的概念： 2．分解因式应注意： 3．分解因式与整式乘法的关系 六、课堂过关 1．下列从左到右的变形，是分解因式的为（） A ．x 2－x =x （x －1） B ．a （a －b ）=a 2－ab C ．（a +3）（a －3）=a 2－9 D ．x 2－2x +1=x （x －2）+1 2．下列各式分解因式正确的是（） A. 2 2 3633(2)a x bx x x a b -+=- B. ()2 2 xy x y xy x y +=+ C. 2 ()a ab ac a a b c -+-=-+- D. 2 2 963(32)abc a b abc ab -=- 3.（1）2 2 ()()a b a b a b +-=-的运算是 （2）3 2 2 2(2)x x x x -=-的运算是 4．计算下列各式： （1）（a +b ）（a －b ）=________. （2）（a +b ）2=________. （3）8y （y +1）=________. （4）a （x +y +1）=________. 根据上面的算式填空： （5）ax +ay +a =（）（）（6）a 2－b 2=（）（） （7）a 2+2ab +b 2=（）（）（8）8y 2+8y =（）（）
整式的乘除与因式分解 1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项 式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。 bc a 22-的 系数为 ，次数为 ，单独的一个非零数的次数是 。 2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。 122++-x ab a ，项有 ，二次项为 ，一次项为 ，常数项为 ，各项次数分别为 ，系数分别为 ，叫 次 项式。 3、整式：单项式和多项式统称整式。注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。 4、多项式按字母的升（降）幂排列： 1223223--+-y xy y x x > 按x 的升幂排列： 按y 的升幂排列： 按x 的降幂排列： 按y 的降幂排列： 5、同底数幂的乘法法则：m n m n a a a +=（n m ,都是正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。 例1.若6422=-a ，则a= ；若8)3(327-=?n ，则n= . 例2.若125512=+x ，则 x x +-2009) 2(的值为 。 例3 .设4x =8y-1,且9y =27x-1,则x-y 等于 。 6、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数） < 幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：10253 )3(=- 幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn a a a )()(== 如：23326)4()4(4== 7、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。 （5 23)2z y x -= 8、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)m n > 同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：3334)()()(b a ab ab ab ==÷ 9、零指数和负指数； 】 10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于1。 p p a a 1=-（p a ,0≠是正整数），即一个不等于零的数的p -次方等于这个数的p 次方的倒数。 如：8 1)21(233==- 10、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里
第四章因式分解 第一节因式分解 (1)计算下列各式： ①(m+4)(m-4)=__________;②(y-3)2=__________; ③3x(x-1)=__________;④m(a+b+c)=__________; ⑤a(a+1)(a-1)=__________. (2)根据上面的算式填空： ①3x2-3x=( )( );②m2-16=( )( ); ③ma+mb+mc=( )( );④y2-6y+9=( )2 ⑤a3-a=( )( ) 在(1)中我们知道从左边推右边是整式乘法;那么在(2)中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解。因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系。 一、因式分解的定义：把一个多项式化成的形式，这种变形叫做把这个多项式。也可以叫做分解因式。 定义解析：（1）等式左边必须是 （2）分解因式的结果必须是以的形式表示； （3）分解因式必须分解到每个因式都有不能分解 为止。 二、合作探究 探究一：下列从左到右的变形中，哪些是分解因式？哪些不
是分解因式？为什么？ （1）22 111x x x x x x ????- =+- ???? ??? （2）()22 2424ab ac a b c +=+ （3）24814(2)1x x x x --=-- （4）222()ax ay a x y -=- （5）2224(2)a ab b a b -+=- （6）2(3)(3)9x x x +-=- 解: （7）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是 A 、29)3)(3(x x x -=+- B 、))((2233n mn m n m n m ++-=- C 、)1)(3()3)(1(+--=-+y y y y D 、z yz z y z z y yz +-=+-)2(2242 探究二：连一连： 9x 2 －4y 2 a （a ＋1）2 4a 2－8ab ＋4 b 2 －3a （a ＋2） －3a 2 －6a 4（a －b ）2 a 3 ＋2a 2＋a （3x ＋2y ）（3x －2y ） 三、提升训练 1． 下列各式从左到右的变形是分解因式的是（ ）. A ．a （a －b ）＝a 2 －ab ； B ．a 2 －2a ＋1＝a （a －2）＋1 C ．x 2 －x ＝x （x －1）； D ．x 2 －y y ?1 ＝（x ＋y 1）（x －y 1） 2.连一连： a 2－1 (a +1)(a －1) a 2+6a +9 (3a +1)(3a －1) a 2－4a +4 a (a － b )