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微分中值定理推广及其应用

一、引言 (2)

二、微分中值定理及其证明 (2)

2.1罗尔定理 (3)

2.2拉格朗日中值定理 (3)

三、微分中值定理的应用 (4)

3.1证明方程根的存在性 (4)

3.2证明不等式 (5)

3.3 利用微分中值定理求极限及证明相关问题 (6)

3.4求极限 (7)

3.5用来证明函数恒为常数 (7)

3.6中值点存在性的应用 (8)

3.6.1一个中值点的情形 (8)

3.6.2.2 泰勒公式法 (10)

四小结： (11)

致谢 (12)

参考文献： (12)

微分中值定理推广及其应用

【摘要】微分中值定理是数学分析中非常重要的基本定理, 它是沟通函数与其导数之间关系的桥梁. 本文主要对罗尔中值定理的条件做一些适当的改变，能得出如下一些结论，从而扩大罗尔定理的应用范围。从拉格朗日中值定理的几何意义出发，通过几何直观，把数学分析空间解析几何知识有机的结合起来，改变传统的构造函数差的方法，通过构造行列式函数得出定理的新方法。通过对这两个定理进行分析，并加以推广，结合几个常见的实例论述了罗尔中值定理、拉格朗日中值定理。在证明不等式，求函数极限等方面的应用，从而加深对两个定理的理解。

【关键词】罗尔定理拉格朗日中值定理推广应用

一、引言

微分中值定理是微分学的基本定理，在数学分析中占有重要的地位，是研究函数在某个区间的整体性质的有力工具。其中，拉格朗日定理是核心，罗尔定理是其特殊情况，柯西定理是其推广。通过查阅大量资料文献和网上查阅，我找到了很多相关资料。

本文以案例形式介绍了微分中值定理在数学分析中的应用，论述了微分中值定理在求极限、证明不等式以及泰勒公式和中值点存在性等几个方面的应用研究比较细致和深入。其中证明某区间上满足一定条件的中值点的存在性是微分中值定理非常重要的应用，也是在历年考研试题中经常出现的题型之一。利用中值定理证明中值点的存在性，要兼顾条件与结论，综合分析，寻求证明思路。充分理解微分学的相关知识，掌握微分中值定理的内容，并会熟练的应用。

使用微分中值定理证题，方法多种多样，技巧性强。本文对这一部分的典型例题进行整理归纳总结，总结出一套符合初学者认知规律的解题方法是非常必要的，这也是进一步学习数学分析的基础。

二、微分中值定理及其证明

为了应用导数的概念和运算来研究函数与实际问题，需要一个联系局部与整体的工具，这就是微分中值定理.微分学是数学分析的重要组成部分, 微分中值定理作为微分学的核心, 是沟通导数和函数值之间的桥梁.罗尔中值定理、拉格朗

日中值定理、柯西中值定理、泰勒公式是微分学的基本定理, 统称为微分学的中值定理, 这四个定理作为微分学的基本定理, 是研究函数形态的有力工具.

2.1罗尔定理

若函数f 满足如下条件：

（ⅰ）f 在闭区间[]b a ,上连续；

（ⅱ）f 在开区间()b a ,内可导；

（ⅲ）()()b f a f =,

则在()b a ,内至少存在一点ξ使得()0'=ξf

罗尔定理的几何意义是说：在每一点可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条切线.

证明：因为f 在[]b a ,上连续，所以有最大值M 与m 表示，现分两种情况来讨论：

（1）若M m =,则f 在[]b a ,上必为常数，从而结论显然成立.

（2）若M m <,则因()()b f a f =使得最大值M 与最小值m 至少有一个在()b a ,内某点ξ处取得，从而ξ是f 的极值点，由条件f 在开区间()b a ,内可导，f 在点ξ处可导，故由费马定理推知()0'=ξf

注：定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立.

先讲罗尔定理,并由此推出微分学的两个基本定理—拉格朗日中值定理和柯西中值定理.

2.2拉格朗日中值定理

若函数f 满足如下条件：

（ⅰ）f 在闭区间[]b a ,上连续；

（ⅱ）f 在开区间()b a ,内可导；则在()b a ,内至少存在一点ξ使得()()()a

b a f b f f --=

ξ' （1）显然，特别当()()b f a f =时为罗尔定理。这表明罗尔定理是拉格朗日的定理的一个特殊情形.

证明：做辅助函数

()()()()()()a x a

b a f b f b f x f x F -----=显然，()()b F a F =(=0),且F 在[]b a ,上满足

罗尔定理的另两个条件，故存在),(b a ∈ξ使()()-

=ξξ''f F ()()0=--a

b a f b f ，移项既得到所要证明的（1）式.

拉格朗日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线()x f y =上至少存在一点()()ξξf p ,，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB ,我们在证明中引入辅助函数()x F ，正是曲线()x f y =与直线

()()()()??

? ??---+=a x a b a f b f a f y AB . 三、微分中值定理的应用

3.1证明方程根的存在性

把要证明的方程转化为()0=x f 的形式.对方程()0=x f 用下述方法：

（1）根的存在定理若函数()x f 在区间[]b a ,上连续，且()()0

存在一点()b a ,∈ξ，()0=ξf .

（2）若函数()x f 的原函数()x F 在[]b a ,上满足罗尔定理的条件，则()x f 在()

b a ,内至少有一个零值点.

（3）若函数()x f 的原函数()x F 在0x 处导数也存在，由费马定理知()00'=x F 即

()00=x f . （4）若函数()x f 的原函数()x F 在0x 处导数也存在，由费马定理知()00'=x F 即

()00=x f .

（5）在证明方程根的存在性的过程中，经常用到拉格朗日定理，积分中值定理，

有时也用到柯西中值定理来证明满足方程的存在性所需的条件，然后利用上的方法来证明方程根的存在性.

例若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导()0a >，证明在(),a b 内方程

()()()()222x f b f a b a f x '-=-????

至少存在一根。分析：由于题目是要求方程()()()()222x f b f a b a f x '-=-????是否有根存在，所以

可以先对方程进行变形，把方程变为()()()()2220x f b f a b a f x '---=????。那么方

程()()()()222x f b f a b a f x '-=-????

有根的话，则原方程也有根。变形之后的方程有()f x '存在，所以可以利用不定积分把方程()()()()2220x f b f a b a f x '---=????

，转变为()()()()2220f b f a x b a f x ---=????。

现在我们返回来看题目，由题目中我

们可以知道()f x 在区间[],a b 上连续，在区间(),a b 内可导()0a >，由函数的连

续性和求导的概念，可以得到函数()()()()222f b f a x b a f x ---????

在[],a b 上连续,在(),a b 内可导()0a >，那么我们不难想到利用罗尔中值定理就可以证明该题了。

证明:令()()()()()222F x f b f a x b a f x =---????，

显然()F x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导，

而()()()()22F a f b a b f a F b =-=.

根据Rolled 定理, 至少存在一点ξ，

使()()()()222f b f a b a f x ξ'-=-????.

证毕

本文主要在于辅助函数()()()()()222F x f b f a x b a f x =---????

的构造，我们从结论出发，构造辅助函数，使得该题可以利用中值定理来证明，接下来是考虑利用微分中值定理中的哪一个即可。对于构造辅助函数我们可以得到()()F a F b =，所以选在利用罗尔定理证明。这是对解该类问题的总结，也是自己对该类问题解题提出的一个解题思路模式，大家可以借鉴。

3.2证明不等式

在证明不等式时,可以考虑从微分中值定理入手,找出切入点,灵活运用相关微分中值定理,进行系统的分析,从而得以巧妙解决.

例设0b a <≤,证明ln a b a a b a b b

--≤≤. 证明显然等式当且仅当0a b =>时成立.

下证当0b a <<时,有

ln a b a a b a b b

--<< ① 作辅助函数()ln f x x =,

则()f x 在[,]b a 上满足拉格朗日中值定理,则(,)b a ξ?∈使

ln ln 1a b a b ξ

-=- ② 由于0b a ξ<<<,所以

111a b

ξ<< ③

由②③有

1ln ln 1a b a a b b

-<<-,即 ln a b a a b a b b

--<<. 小结一般证明方法有两种 ①利用泰勒定理把函数()f x 在特殊点展开,结论即可得证.

②利用拉格朗日中值定理证明不等式,其步骤为：

第一步根据待证不等式构造一个合适的函数()f x ,使不等式的一边是这个函数在区间[,]a b 上的增量()()f b f a -；

第二步验证()f x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件,并运用定理,使得等式的另一边转化为()()f b a ξ'-；

第三步把()f ξ'适当放大或缩小.

3.3 利用微分中值定理求极限及证明相关问题

例若()f x 在(,)a +∞内可导,且lim[()()]0x f x f x →∞'+=,求lim ()x f x →∞

. 分析由式[()()][()]x x f x f x e f x e ''+=,引进辅助函数()(),()x x F x f x e g x e ==,显然()0g x '≠.

解由lim[()()]0x f x f x →∞

'+=,知0ε?>,0X ?>当x X >时()()f x f x ε'+<, 令()()x F x f x e =,()x g x e =对x X >,在[,]X x 上利用柯西中值定理有

()()()()()()

F x F X F g x g X g ξξ'-='-,(,)X x ξ∈ 即

()()[()()]x X x X f x e f X e f f e e e e

ξξξ'-+=-, 亦有

[()()]()()1X x

X x f x f X e f f e

ξξ---'=+-, 或

|()||()||()()|(1)X x X x f x f X e f f e ξξ--'≤+++

由于lim 0X x x e -→+∞

=,所以1,x X ?>当1x x >时有 X x e ε-<和1X x e -<,

于是1x x ?>,使

|()||()|2f x f X εε≤+

即

lim ()x f x →∞

0=. 小结

方法 1 选择适当的函数和区间利用拉格朗日中值定理并结合导函数的特点及极限的迫敛性求的最终结果.

方法2 选择适当的函数和区间利用柯西中值定理结合具体题意求的最终结果.

3.4求极限

对于有些求极限的题，如果使用洛必达法则,则求导数的计算量很大.微分中值定理为求这样一些较难的极限提供了一种简单而有效的方法.其方法是对极限题中的某些部分构造辅助函数,使用微分中值定理,然后求出极.

例求???

? ??-+∞→1112lim n n n a a n ,其中0>a . 解：对()x a x f =应用拉格朗日中值定理,有

???? ??-+∞→1112

lim n n n a a n =()??

????+-?=∞→111lim ;2n n a n x x n ξ =()

1ln lim 2+∞→n n a a n n ξ =a ln 其中??

????+∈n n 1,11ξ 3.5用来证明函数恒为常数

导数是研究函数性态的重要工具, 但用导数研究函数性态的着眼点在局部范围. 而在整体上或比较大的范围运用导数这一工具来研究函数性态, 主要工具还是微分中值定理,它是应用导数研究整体性问题的重要工具. 证明函数恒为常数这是函数的整体性质,在这个应用中微分中值定理很实用.

例9 设()x f '在[]1,0上连续, ()0'=c f ,()1,0∈c 且在()1,0内恒有()()x f k x f '''≤. 其中k 为小于1 的常数,试证:()x f 为常数函数.

证明：[]1,0∈?x ,不妨设x c <,则1<-c x ,而()0'=c f ,

所以有

()()()c f x f x f '''-=

=()()c x f -1''ξ

()1'ξf k ≤, 其中x c <<1ξ.

同理 ()()()c f f k k k -=+ξξξ1'''

()1'+≤k f k ξ, k k c ξξ<<+1, 其中

n k ,,2,1 =

所以

()()()2'21''ξξf k f k x f ≤≤()n n f k ξ'≤≤ ,

其中1<

故

()0lim '=∞

→n n n f k ξ ()()0lim ''==∞

→x f x f n . 即()0'=x f (当x c >时同样成立) , 从而, ()0'=x f ，()1,0∈x .

故在[]1,0上()x f 为常数函数.

3.6中值点存在性的应用

3.6.1一个中值点的情形

3.6.1.1原函数法

在利用微分中值定理证明中值点的存在性问题时，关键是根据所证明的结论构造辅助函数，构造辅助函数最基本最重要的思想就是寻求原函数，而寻求原函数的方法又因所证结论不同而不同.

（1）直接法

这种方法的解题思路主要是根据题目所证结论中常数项的特点直接得到辅助函数.

例函数()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，证明:在()b a ,内至少存在一点ξ，

使得()()()()ξξξf f a

b a af b bf +=--'. 分析：结论等号左侧显然是函数()x xf 在区间[]b a ,两端点函数值的差与区间长度()a b -之商,于是联想到对函数()xf x 使用拉格朗日中值定理.

证明：令()()x xf x F =，显然()x F 在[]b a ,上满足拉格朗日中值定理条件.

于是知：在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()()()F b F a F b a

ξ-'=-，而()[()()]x F xf x f x ξξ=''=+()()f f ξξξ'=+，

即得结论 ()()()()bf b af a f f b a

ξξξ-'=+-. （2）积分法

这种方法的基本思想是利用不定积分寻求辅助函数，具体做法如下：将结论中的ξ换成x ，通过恒等变形将结论化成()|0x F x ξ='=的形式，然后用观察或直接积分（如果不易通过观察得到）求得原函数()F x ，积分常数取为0. 例设函数()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，证明：至少存在一点(,)a b ξ∈，使()()()0f f g ξξξ''+=.

分析：结论即要证明函数()()()f x f x g x ''+在(0,1)内有零点，因结论中含有函数导数，故考虑利用罗尔定理，而此函数的原函数通过观察可能感到有点困难.将()()()0f f g ξξξ''+=变形为 ()()0()f g f ξξξ''+=，即要证明函数()()()f x g x f x ''+在(0,1)内有零点.而()[()]d ()

f x

g x x f x ''+?()ln[()e ]g x f x c =+，显然()ln[()e ]g x f x 与()()e g x f x 的导数有相同的零点，于是可取原函数为()()e g x f x .

证明：令()()()e g x F x f x =,显然()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0F a F b ==，于是由罗尔定理知至少存在一点(0,1)ξ∈，使

()0F ξ'=，而()()[()()()]e g x F x f x f x g x '''=+，

故

()[()()()]e 0g f f g ξξξξ''+=，又()e 0g ξ≠，

于是()()()0f f g ξξξ''+=.

当所证明的结论中出现二阶导数时通常可考虑两次使用中值定理证明.

3.6.2.2 泰勒公式法

当题设中出现高阶导数（三阶或三阶以上的导数）时，通常可考虑使用泰勒公式证明中值点的存在性.

例设函数()f x 在闭区间[1,1]-上具有三阶连续导数，且(1)0f -=，(1)1f =，(0)0f '=.试证：在开区间(1,1)-内至少存在一点ξ，使()3f '''=ξ.

证明：由(0)0f '=，得()f x 在0x =处的二阶泰勒公式为

23(0)()()(0)2!3!

f f f x f x x '''''=++η （η介于0与x 之间，[1,1]x ∈-）. 由题设知

1()(0)(1)(0)026

f f f f η'''''-=+-= 1(10)η-<<， 2()(0)(1)(0)126

f f f f η'''''=++= 2(01)η<<，两式相减，可得12()()6f f ''''''+=ηη.

又()f x '''在区间[1,1]-连续，从而在12[,]ηη上也连续，

故()f x '''在区间12[,]ηη上有最大值M 和最小值m .

从而有

121[()()]32

m f f M ''''''≤+=≤ηη，由介值定理知，至少存在一点ξ12[,][1,1]ηη∈?-，使得()3f '''=ξ.

3.6.2 两个中值点的情形

在证明两个中值点存在性的命题时，通常可考虑使用两次中值定理.

例函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 可导，0a b <<，试证:存在,(,)a b ∈ξη，使得()()2a b f f +''=ξηη

. 分析：结论中两点只要存在即可，不要求一定不同，故可在同一区间上使用两次中值定理.同时结论中的()2f ηη

'部分可看作函数()f x 与2x 2x 在点η处的导数之商，故联想到柯西中值定理.再对()f x 使用拉格朗日中值定理，然后寻求两个结论之间的关系.

证明：令2()g x x =，易知()f x 与()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 可导，且

()0g x '≠.

由柯西中值定理知,存在(,)a b ∈η，使得

()()()()()()

f b f a f

g b g a g '-='-ηη 即 22()()()2f b f a f b a '-=-ηη

， 22()()()()2f f b f a b a '-=-ηη

. 而由拉格朗日中值定理知，存在(,)a b ∈ξ，使得

()()f b f a -()()b a f '=-ξ .

由以上两式得:存在()b a ,,∈ηξ，使

22()()()(),2f b a f b a ηξη

''-=- 即

()()2a b f f +''=ξηη

. 微分中值定理应用非常广泛(在使用时应特别注意验证定理的条件) ,以上只介绍了几种常见的应用. 通过对微分中值定理的研究,加深了对微分中值定理的理解,有助于更好掌握该定理的解题应用.

四小结：

微分中值定理是微分学的基本定理，而且它也是微分学的理论核心，有着广泛的应用。本课题是对微分中值定理在证明方程根的存在性、证明不等式、求极限、泰勒公式、中值点存在性的应用等几个方面的论述,其中证明某区间上满足一定条件的中值点的存在性是微分中值定理非常重要的应用，利用中值定理证明中值点的存在性，要兼顾条件与结论，综合分析，寻求证明思路。

我们知道，运用微分中值定理证明有关命题的关键是构造辅助函数，构造满足某个中值定理条件的而得到要证明的结论。而构造辅助函数技巧性较强，构造

合适的辅助函数往往是困难的。由于本人能力有限，查找的资料也有局限性，本文对辅助函数的构造还未进行深入的研究，这将是我以后研究的方向。

致谢

行文至此，我的论文已接近尾声；岁月如梭，我三年的大学时光也即将敲响结束的钟声。离别在即，我站在人生的又一个转折点上，心中难免思绪万千，心中一种感恩之情油然而生。育我成才者是老师。感谢我的指导老师，这篇论文是在林老师的的悉心指导与鼓励下完成的。林老师以其严谨求实的治学态度、高度的敬业精神、兢兢业业、孜孜以求的工作作风和大胆创新的进取精神对我产生重要影响尤其是林老师渊博的学识、严谨的治学态度、精益求精的工作作风和诲人不倦的高尚师德，都将深深地感染和激励着我。在此谨向林老师致以诚挚的感谢！

写作毕业论文是一次再系统学习的过程，毕业论文的完成，同样也意味着新的学习生活的开始。

参考文献：

［1］主编：纪乐刚.《数学分析》.新世纪高等师范院校教材. 华东师范大学出版社:2003年10月.第一版 .2005年6月第7次印刷

［2］主编：纪乐刚.《数学分析》.新世纪高等师范院校教材. 华东师范大学出版社:2003年10月.第一版 .2005年6月第7次印刷

［3］主编：纪乐刚.《数学分析》.新世纪高等师范院校教材. 华东师范大学出版社:2003年10月.第一版 .2005年6月第7次印刷

［4］主编：纪乐刚.《数学分析》.新世纪高等师范院校教材. 华东师范大学出版社:2003年10月.第一版 .2005年6月第7次印刷

［5］主编：纪乐刚.《数学分析》.新世纪高等师范院校教材. 华东师范大学出版社:2003年10月.第一版 .2005年6月第7次印刷

［6］主编：纪乐刚.《数学分析》.新世纪高等师范院校教材. 华东师范大学出版社:2003年10月.第一版 .2005年6月第7次印刷

积分中值定理的推广与应用

积分中值定理的推广与应用系别数学系专业数学与应用数学姓名韩凤指导教师张润玲职称副教授日期2011年6月

国内图书分类号：吕梁学院本科毕业论文（设计）积分中值定理的推广与应用姓名韩凤系别数学系专业数学与应用数学申请学位学士学位指导教师张润玲职称副教授日期2011年6月

摘要在微积分学中积分中值定理与微分中值定理一样有着重要的地位.微积分的许多问题和不等式的证明都以它为依据,积分中值定理在证明有关中值问题时具有极其重要的作用.它是《数学分析》、《高等数学》课程中定积分部分的基本定理之一.众所周知积分中值定理包括积分第一中值定理与积分第二中值定理,而在数学分析课本上已有过这两个定理的详细证明,但这两个定理的推广与应用尚未提及.因此,在教学过程中,学在运用这一知识点解决有关的数学问题比较困难,常常不知如何下手,本文主要讲述的是积分第一中值定理的各种形式的推广以及通过以下几方面的列举例题,加以归纳总结,并充分体现积分中值定理在学习解题练习中的应用. 关键词：积分中值定理；推广；应用

ABSTRACT The integral median value theorem and differential median value theorem has the same important position in the questions and the proof of the inequality are all based on the integral theorem,the integral median theorem has played an important role in solving the problems about is one of the basic theorems in the definite integral part of“the mathematical analysis”and“the higher mathematics”.Well-known that the integral median theorem include the first median theorem for integrals and the second median theorem for integrals and the textbooks of the mathematical analysis have the detailed proof about the two theorems,but the popularization and application of the two theorems have not been addressed .Therefore,it is difficult when students use this knowledge to solve the related problems during the process of article mainly introduce various popularization of the first median theorem for integrals and giving some example through the following aspects,and giving some summary,strive to reflect the application of integral median value theorem in studying the way which can slove the ploblems. Keywords：Integral median value theorem; Promotion; Applications.

微分中值定理与导数的应用总结

1基础知识详解先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理：条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理：条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论：闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。第三章微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 '()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，

微分中值定理及其应用

第六章微分中值定理及其应用微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的有力工具。中值定理名称的由来是因为在定理中出现了中值“ξ”，虽然我们对中值“ξ”缺乏定量的了解，但一般来说这并不影响中值定理的广泛应用. 1．教学目的与要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式并应用于函数性质的研究，熟练应用L＇Hospital法则求不定式极限，熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题. 2．教学重点与难点：重点是中值定理与函数的Taylor公式，利用导数研究函数的单调性、极值与凸性. 难点是用辅助函数解决有关中值问题，函数的凸性. 3．教学内容： §1 拉格朗日定理和函数的单调性本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识—罗尔定理，并由此来讨论函数的单调性. 一罗尔定理与拉格朗日定理定理6.1(罗尔(Rolle)中值定理)设f满足 (ⅰ)在[]b a,上连续; (ⅱ)在) a内可导; (b , (ⅲ)) a f= f ) ( (b

则),(b a ∈?ξ使 0)(='ξf (1) 注 (ⅰ)定理6.1中三条件缺一不可. 如: 1o ? ??=<≤=1 010 x x x y , (ⅱ),(ⅲ)满足, (ⅰ)不满足, 结论不成立. 2o x y = , (ⅰ),(ⅲ)满足, (ⅱ)不满足,结论不成立. 3o x y = , (ⅰ), (ⅱ)满足, (ⅲ)不满足,结论不成立. (ⅱ) 定理6.1中条件仅为充分条件. 如:[]1,1 )(2 2-∈?????-∈-∈=x Q R x x Q x x x f , f 不满足(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)中任一条,但0)0(='f . (ⅲ)罗尔定理的几何意义是:在每一点都可导的一段连续曲线上,若曲线两端点高度相等,则至少存在一条水平切线. 例 1 设f 在R 上可导,证明:若0)(='x f 无实根,则0)(=x f 最多只有一个实根. 证 (反证法,利用Rolle 定理) 例 2 证明勒让德(Legendre)多项式 n n n n n dx x d n x P )1(!21)(2-?= 在)1,1(-内有n 个互不相同的零点. 将Rolle 定理的条件(ⅲ)去掉加以推广,就得到下面应用更为广

高等数学第三章微分中值定理与导数的应用的习题库

第三章微分中值定理与导数的应用一、判断题 1. 若()f x 定义在[,]a b 上，在(a,b)内可导，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（） 2. 若()f x 在[,]a b 上连续且()()f a f b =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（） 3. 若函数()f x 在[,]a b 内可导且lim ()lim ()x a x b f x f x →+→- =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（） 4. 若()f x 在[,]a b 内可导，则必存在(a,b)ξ∈，使'()(a)()()f b f f b a ξ-=-。（） 5. 因为函数()f x x =在[1,1]-上连续，且(1)(1)f f -=，所以至少存在一点()1,1ξ∈-使 '()0f ξ=。（） 6. 若对任意(,)x a b ∈，都有'()0f x =，则在(,)a b 内()f x 恒为常数。（） 7. 若对任意(,)x a b ∈，都有''()()f x g x =，则在(,)a b 内()()f x g x =。（） 8. arcsin arccos ,[1,1]2 x x x π +=∈-。（） 9. arctan arctan ,(,)2 x x x π += ∈-∞+∞。（） 10. 若()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则导函数'()f x 有3个不同的实根。（） 11. 若22()(1)(4)f x x x =--，则导函数'()f x 有3个不同的实根。（） 12. ' ' 222(2)lim lim 21(21)x x x x x x →→=-- （） 13. 22' 0011lim lim()sin sin x x x x e e x x →→--= （） 14. 若'()0f x >则()0f x >。（） 15. 若在(,)a b 内()f x ，()g x 都可导，且''()()f x g x >，则在(,)a b 内必有()()f x g x >。（） 16. 函数()arctan f x x x =-在R 上是严格单调递减函数。（） 17. 因为函数()f x x =在0x =处不可导，所以0x =不是()f x 的极值点。（） 18. 函数()f x x =在0x =的领域内有()(0)f x f ≥，所以()f x 在0x =处取得极小值。（） 19. 函数sin y x x =-在[0,2]π严格单调增加。（） 20. 函数1x y e x =+-在(,0]-∞严格单调增加。（） 21. 方程32210x x x ++-=在()0,1内只有一个实数根。（） 22. 函数y [0,)+∞严格单调增加。（） 23. 函数y (,0]-∞严格单调减少。（） 24. 若'0()0f x =则0x 必为'0()f x 的极值点。（） 25. 若0x 为()f x 极值点则必有'(0)0f =。（）

第五章微分中值定理及其应用答案

139 第五章微分中值定理及其应用上册P 178—180 习题解答 1．设0)(0>'+x f ，0)(0<'-x f .证明0x 是函数)(x f 的极小值点 . 证 0)()(lim )(0000 <--='- →-x x x f x f x f x x ，?在点0x 的某左去心邻域内有 0) ()(0 0<--x x x f x f ，此时00<-x x ，?在点0x 的该左去心邻域内有 0)()(0>-x f x f ，即)()(0x f x f >； 0)()(lim )(0000 >--='+ →+x x x f x f x f x x ，?在点0x 的某右去心邻域内有0) ()(0 0>--x x x f x f ，此时00>-x x ，?在点0x 的该左去心邻域内有 0)()(0>-x f x f ，即)()(0x f x f >. 综上 , 在点0x 的某去心邻域内有)()(0x f x f >. 即0x 是函数)(x f 的极小值点 . 2. 举例说明 , Rolle 定理的三个条件都不满足 , 函数仍然可以存在水平的切线 . 解答: 例如函数 . 21 , 1, 12 , )(2? ??≤<-≤≤-=x x x x x f )(x f 定义在区间] 2 , 2 [-上 , )(x f 在点1=x 间断 ,因此不满足在闭区间上连续和在开区间内可导的条件 , 并且4) 2(=-f , 而 1) 2 (=f , ≠-) 2(f ) 2 (f . 对区间] 2 , 2 [-上的这个函数)(x f , Rolle 定理的三个条件都不满足 . 但是 , 0) 0 (='f , 该曲线上点) 0 , 0 (处的切线仍然是水平的 . 3. 设函数)(x f 在闭区间] , [b a 上连续 , 在开区间) , (b a 内可微 . ⑴ 利用辅助函数 1 )(1)(1)( )(b f b a f a x f x x =ψ. 证明Lagrange 中值定理 .

第六章微分中值定理及其应用

第六章微分中值定理及其应用引言在前一章中,我们引进了导数的概念,详细地讨论了计算导数的方法.这样一来,类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决.但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题,那么,只知道怎样计算导数是远远不够的,而要以此为基础,发展更多的工具. 另一方面,我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的的函数;（2）导数只是反映函数在一点的局部特征;（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态,因此如何解决这个矛盾？需要在导数及函数间建立起一一联系――搭起一座桥,这个“桥”就是微分中值定理. 本章以中值定理为中心,来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的应用. §6.1 微分中值定理教学章节：第六章微分中值定理及其应用——§6.1微分中值定理教学目标：掌握微分学中值定理,领会其实质,为微分学的应用打下坚实的理论基础. 教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义,掌握三个定理的证明方法,知道三者之间的包含关系. 教学重点：中值定理. 教学难点：定理的证明. 教学方法：系统讲解法. 教学过程：一、一个几何命题的数学描述为了了解中值定理的背景,我们可作以下叙述：弧? AB 上有一点P,该处的切线平行与弦AB.如何揭示出这一叙述中所包含的“数量”关系呢？联系“形”、“数”的莫过于“解析几何”,故如建立坐标系,则弧? AB 的函数是y=f(x),x ∈[a,b]的图像,点P 的横坐标为x ξ=.如点P 处有切线,则f(x)在点x ξ=处可导,且切线的斜率为()f ξ';另一方面,弦AB 所在的直线斜率为()() f b f a b a --,曲线y=f(x)上点P 的切线平行于弦 AB ?()() ()f b f a f b a ξ-'= -. 撇开上述几何背景,单单观察上述数量关系,可以发现：左边仅涉及函数的导数,右边仅涉及

微分中值定理例题

理工大学微积分-微分中值定理费马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理

()()1.()0,(0)0,f x f f f ?ξξξξζξξξ'' <=>><≤[][]''''''[]<<≤１２１２１２１２１２１２１２２１１１２１１１２１１２２１设证明对任何的x ０，ｘ０，有（ｘ＋ｘ）（ｘ）＋ｆ（ｘ）．解：不妨设ｘｘ，（ｘ）＝f （ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（０）＝ｆ（）ｘ－ｆ（）ｘ＝ｘｆ（）－ｆ（）＝ｘｆ－．因为，０ｘｘ()ξζ?''<<<<２１１２ｘ＋ｘ，又ｆ０，所以（ｘ）０，所以原不等式成立。 12n 12n 12n 11221122n 001 1 000.x b f x .x x x b 1,f )f x f x f x x *,()()()()n n n n n i i i i i i i X b b x f x f x f x x x λλλλλλλχλχλχλλλλλ=='' >???∈<<1++?+=++?+≤?=<=>α. '''=+-+ ∑∑2设f （）在（a ，）内二阶可导，且（）0，，（a ，），0，，，且则，试证明(（）+（）++（）. 解：设同理可证：()20000i 00 1 1 1 1 0000111() ()()()().x 2! ()()()()()(()()().) n n n i i i i i i i n n i n n i i i i i i i i i i i i f x x f x f x x x f x f x f x f x x x f x X X x x f x f x λλλλξξλλλ=======?? ''-'-≥+-<<'≥+-===- ??? ∑∑∑∑∑∑∑注：x ()3.)tan . 2 F ,F 2 (0)0,(0)0,((cos 2 F f x f F F f ππξ ξπξξπππ πππξ [0]0'∈=[0]0=∴===[0]∈Q 设f(x)在，上连续，在（，）内可导，且f （0）=0，求证：至少存在（0，），使得2f ( 证明：构造辅助函数：（x)=f(x)tan 则（x)在，上连续，在（，）内可导，且））所以（x)在，上满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理知：至少存在（0()()()()()()F 011F x cos sin F cos sin 0222222 cos 0)tan 2 2 x x x f f f πξξξ ξξξξ ξ ξπξξ'=''''=- =-='∈≠=，），使得，而f(x)f()又（0，），所以，上式变形即得：2f (，证毕。

微分中值定理及其应用

分类号UDC 单位代码密级公开学号 2006040223 四川文理学院学士学位论文论文题目：微分中值定理及其应用论文作者：XXX 指导教师：XXX 学科专业：数学与应用数学提交论文日期：2010年4月20日论文答辩日期：2010年4月28日学位授予单位：四川文理学院中国达州 2010年4月

目录摘要 .......................................................................... Ⅰ ABSTRACT....................................................................... Ⅱ 引言第一章微分中值定理历史 (1) 1.1 引言 ................................................................... 1 1.2 微分中值定理产生的历史 .................................................. 2 第二章微分中值定理介绍 (4) 2.1 罗尔定理 ............................................................... 4 2.2 拉格朗日中值定理........................................................ 4 2.3 柯西中值定理 ........................................................... 6 第三章微分中值定理应用 (7) 3.1 根的存在性的证明........................................................ 7 3.2 一些不等式的证明........................................................ 8 3.3 求不定式极限 .......................................................... 10 3.3.1 型不定式极限 .................................................... 10 3.3.2 ∞ ∞ 型不定式极限 .................................................... 11 3.4 利用拉格朗日定理讨论函数的单调性 ....................................... 12 第四章结论 ................................................................... 14 参考文献....................................................................... 15 致谢 .. (16)

推广的积分中值定理及其应用

推广的积分中值定理及其应用摘要:定积分是微积分的重要组成部分,而积分中值定理是定积分的重要性质之一,所以积分中值定理在微积分中占了很重要的地位,本文系统的叙述了推广的积分中值定理包括:ξ必可以在开区间中取得,导函数的积分中值定理等多个方面,我们所学知识中积分中值定理与微分中值定理的中间点的存在区间是不统一的,但推广后的积分中值定理能够与微分中值定理的存在区间从形式上统一起来,使与其相关的理论得以联系和应用.同时,在本篇论文中以实例的形式列举了推广的积分中值定理在确定零点分布、证明积分不等式、求极限等方面的应用,显然,推广的积分中值定理的优点就在于此,它可以解决原积分中值定理无法解决的问题,这表明了积分中值定理在推广后更具有应用性. 关键词:积分中值定理;导函数;微分中值定理 Promotion of Integral Mean Value Theorem and Its Application Abstract:Definite integral is an important component of calculus, the mean value theorem is one of the important properties of the definite integral, so integral mean value theorem in calculus plays a very important position .This paper describes the system to promote the integral mean value theorem, including: ξwill be achieved in the open interval ,of the derivatives and other integral mean value theorem, we have the knowledge of the differential mean value theorem and the Intermediate Value Theorem Existence interval is not uniform, but after the promotion of integral mean value theorem and the Mean Value Theorem to the presence of range from the formal unity, so that contact can be associated with the theory and application. Meanwhile, in this paper an example to cite a form of integral mean value theorem in determining the zeros to prove inequality, such as the application of limit, obviously, to promote the advantages of integral mean value theorem in this, it Can solve the original integral mean value theorem can not solve the problem, suggesting that the integral mean value theorem in the promotion of a more applied after. Keywords: Integral mean value theorem, derivative, mean value theorem

微分中值定理及其应用习题解析2

第六节定积分的近似计算 1. 分别用梯形法和抛物线法近似计算 ?21x dx (将积分区间十等份) 解 (1)梯形法 ?21x dx ≈412.111.1121(1012+??+++-)6938.0≈ (2)抛物线法 ?21x dx =???++-(42 113012])8.116.114.112.11(2)9.117.115.113.111.11++++++++6932.0≈ 2. 用抛物线法近似计算dx x x ?π0sin 解当n=2时，dx x x ?π 0sin ≈12π?? ?????+++πππ22)32222(41≈1.8524. 当n=4时，dx x x ?π 0sin ≈ 24π ??? ????????? ??+++??? ??++++πππππππππππ322222287sin 7885sin 5883sin 388sin 841 ≈1.8520. 当n=6时，dx x x ?π 0sin ≈ ??? ? ??+++++???? ??+?+++++πππππππππππππππ54332233321211sin 11122234127sin 712125sin 5122212sin 124136≈1.8517. 3..图10-27所示为河道某一截面图。试由测得数据用抛物线法求截面面积。解由图可知n=5，b-a=8. ? b a x f )(dx ≈()()[]864297531100245*68y y y y y y y y y y y ++++++++++ =()()[]85.075.165.185.0255.02.10.230.15.0400154++++++++++ =()2.102.2215 4+=8.64（m 2）（1）按积分平均 ?-b a t d t f a b )(求这一天的平均气温，其中定积分值由三种近视法分别计算；

微分中值定理的证明题(题目)

微分中值定理的证明题 1. 若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0f f ξλξ'+=。。 2. 设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)()b a ae be e a b ξξ-=--。。 3. 设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1) 内至少存在一点ξ，使得：()0F ξ''=。证 4. 设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)0(=f ，1)1(=f .证明： (1)在(0,1)内存在ξ，使得ξξ-=1)(f ． (2) 在(0,1)内存在两个不同的点ζ，1)()(//=ηζηf f 使得 5. 设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+. 6. 若)(x f 在]1,0[上可导，且当]1,0[∈x 时有1)(0<

9. 设()f x 在[,]a b 上连续,(,)a b 内可导(0),a b ≤<()(),f a f b ≠ 证明: ,(,)a b ξη?∈使得 ()().2a b f f ξηη +''= (1) 10. 已知函数)(x f 在[0 ,1]上连续，在（0 ，1）内可导，b a <<0，证明存在),(,b a ∈ηξ，使)()()(3/22/2ηξηf b ab a f ++= 略） 11. 设)(x f 在a x ≥时连续，0)(时，0)(/>>k x f ，则在))(,(k a f a a -内0)(=x f 有唯一的实根根 12. 试问如下推论过程是否正确。对函数21sin 0()0 0t t f t t t ?≠?=??=?在[0,]x 上应用拉格朗日中值定理得： 21s i n 0()(0)111s i n ()2s i n c o s 00x f x f x x f x x x ξξξξ --'====--- (0)x ξ<< 即：1 1 1cos 2sin sin x x ξξξ=- (0)x ξ<< 因0x ξ<<，故当0x →时，0ξ→，由01l i m 2s i n 0ξξξ+→= 01lim sin 0x x x +→= 得：0lim x +→1cos 0ξ=，即01lim cos 0ξξ+→= 出 13. 证明：02x π?<<成立2cos x x tgx x <<。