【必考题】高二数学上期末一模试题(含答案)(1)

【必考题】高二数学上期末一模试题(含答案)(1)

一、选择题

1．在如图所示的算法框图中，若()3

21a x dx =

-?

，程序运行的结果S 为二项式()5

2x +的展开式中3x 的系数的9倍，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是（ ）

A ．3K <

B ．3K >

C ．2K <

D ．2K >

2．如图阴影部分为曲边梯形，其曲线对应函数为1x

y e =-，在长方形内随机投掷一颗黄豆，则它落在阴影部分的概率是（ ）

A ．

2

3

e - B ．

1

3

e - C ．

43

e - D ．53e

-

3．如图，ABC ?和DEF ?都是圆内接正三角形，且//BC EF ，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在ABC ?内”，B 表示事件“豆子落在DEF ?内”，则(|)P B A =（ ）

A 33

B 3

C ．

13

D ．

23

4．已知回归方程$21y x =+，而试验得到一组数据是(2,5.1)，(3,6.9)，(4,9.1)，则残差

平方和是（ ） A ．0.01

B ．0.02

C ．0.03

D ．0.04

5．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（ ） A ．

320

B ．

720

C ．

316

D ．

25

6．高二某班共有学生60名，座位号分别为01, 02, 03，·

··, 60.现根据座位号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本.已知03号、18号、48号同学在样本中，则样本中还有一个同学的座位号是（ ） A ．31号

B ．32号

C ．33号

D ．34号

7．在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ，作一矩形，邻边长分別等于线段AC 、CB 的长，则该矩形面积小于216cm 的概率为（ ） A ．

2

3

B ．

34

C ．

25

D ．

13

8．执行如图的程序框图，如果输出a 的值大于100，那么判断框内的条件为( )

A ．5k <？

B ．5k ≥？

C ．6k <？

D ．6k ≥？

9．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设D 为BE 中点，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）

A ．

17

B ．

14

C ．

13

D ．

413

10．小赵和小王约定在早上7:00至7:15之间到某公交站搭乘公交车去上学，已知在这段时间内，共有2班公交车到达该站，到站的时间分别为7:05，7:15，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为（ ）

A ．

13

B ．

49

C ．

59

D ．

23

11．执行如图所示的程序框图，若输入x =9，则循环体执行的次数为（ ）

A ．1次

B ．2次

C ．3次

D ．4次

12．2路公共汽车每5分钟发车一次，小明到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过两分钟的概率是（ ） A ．

25

B ．

35

C ．

23

D ．

15

二、填空题

13．现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，则这组数据的标准差是______．

14．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a ，b ，则双曲线22

22x y 1a b -=的离心率

e 5>的概率是______．

15．已知集合{1,U =2，3，?，}n ，集合A 、B 是集合U 的子集，若A B ?，则称“集合A 紧跟集合B ”，那么任取集合U 的两个子集A 、B ，“集合A 紧跟集合B ”的概率为______．

16．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为__________.

17．某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样法抽取一个容量为45的样本，那么从高一、高二、高三各年级抽取人数分别为 ．

18．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率是________

19．如图，曲线sin

32

x

y π=+把边长为4的正方形OABC 分成黑色部分和白色部分.在正

方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是__________．

20．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，L ，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为__________．

三、解答题

21．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入i x （单位：千元）与月储蓄

i y ，（单位：千元）的数据资料，算出

10

101010

21

1

1

1

80,20184,720i

i i i i i i i i x

y x y x ========∑∑∑∑，，附：线性回归方程

1

2

2

1

?

?????,,n

i i

i n

i

i x y nxy

y

bx a b a

y bx x

nx ==-=+==--∑∑，其中,x y 为样本平均值. （1）求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程???y

bx a =+ ； （2）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄. 22．某班60名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如下图所示.

（1）求图中a 的值及这60名学生数学成绩的中位数；

（2）若规定成绩在80分以上为优良，求该班学生中成绩达到优良的人数. 23．用秦九韶算法求()5

4

3

383f x x x x =+-25126x x ++-,当2x =时的值.

24．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4. （1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；

（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求2n m <+的概率

25．读书可以使人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气书籍是文化的重

要载体，读书是承继文化的重要方式某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了

n 名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直

方图，将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于

40分钟的学生称为“非读书之星”:已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人

(1)求,n p 的值;

(2)根据已知条件完成下面的22?列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关?

非读书之星 读书之星 总计

男

女 10 55 总计

(3)将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量学生中，随机抽取3名学生，每次抽取1名，已知每个人是否被抽到互不影响，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望()E X

附：()()()()()2

2

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.

()20P K k ≥ 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

26．某学校为了解高二学生学习效果，从高二第一学期期中考试成绩中随机抽取了25名学生的数学成绩（单位：分），发现这25名学生成绩均在90～150分之间，于是按

[)90,100，[)100,110，…，[]140,150分成6组，制成频率分布直方图，如图所示：

（1）求m 的值；

（2）估计这25名学生数学成绩的平均数；

（3）为进一步了解数学优等生的情况，该学校准备从分数在[]130,150内的同学中随机选出2名同学作为代表进行座谈，求这两名同学分数在不同组的概率.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】

根据二项式5

(2)x +展开式的通项公式，求出3x 的系数，由已知先求a 的值，模拟程序的运行，可得判断框内的条件． 【详解】

解：由于3

23

00

(21)|6a x dx x x =-=-=?

，

Q 二项式5(2)x -展开式的通项公式是5152r r r r T C x -+=??，

令3r =，

3

233152T C x +∴=??；

3x ∴的系数是323

52140C ??=．

∴程序运行的结果S 为360，

模拟程序的运行，可得6k =，1S = 不满足条件，执行循环体，6S =，5k = 不满足条件，执行循环体，30S =，4k = 不满足条件，执行循环体，120S =，3k = 不满足条件，执行循环体，360S =，2k =

由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出S 的值为360． 则判断框中应填入的关于k 的判断条件是3k <？

故选A ． 【点睛】

本题考查程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．

2．D

解析：D 【解析】 【分析】

通过定积分可求出空白部分面积，于是利用几何概型公式可得答案. 【详解】

由题可知长方形面积为3，而长方形空白部分面积为：()()1

1001|2x x e dx e x e -=-=-?，

故所求概率为25133

e e

---=，故选D. 【点睛】

本题主要考查定积分求几何面积，几何概型的运算，难度中等.

3．D

解析：D 【解析】

如图所示，作三条辅助线，根据已知条件，这些小三角形全等，ABC ?包含9 个小三角形，同时又在DEF ?内的小三角形共有6 个，所以(|)P B A =

62

93

= ，故选D. 4．C

解析：C 【解析】 【分析】 【详解】 因为残差，所以残差的平方和为（5.1－5）2＋（6.9－7）2＋（9.1－9）2＝0.03.

故选C.

考点：残差的有关计算.

5．B

解析：B

【解析】

【分析】

由题意可以分两类，第一类第5球独占一盒，第二类，第5球不独占一盒，根据分类计数原理得到答案．

【详解】

解：第一类，第5球独占一盒，则有4种选择；

如第5球独占第一盒，则剩下的三盒，先把第1球放旁边，就是2，3，4球放入2，3，4盒的错位排列，有2种选择，

再把第1球分别放入2，3，4盒，有3种可能选择，于是此时有236

?=种选择；

如第1球独占一盒，有3种选择，剩下的2，3，4球放入两盒有2种选择，此时有

236

?=种选择，

得到第5球独占一盒的选择有4(66)48

?+=种，

第二类，第5球不独占一盒，先放14

-号球，4个球的全不对应排列数是9；第二步放5号球：有4种选择；9436

?=，

根据分类计数原理得，不同的方法有364884

+=种．

而将五球放到4盒共有24

54240

C A

?=种不同的办法，

故任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率

847

24020 P==

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了分类计数原理，关键是如何分步，属于中档题．

6．C

解析：C

【解析】

【分析】

根据系统抽样知，组距为604=15

÷，即可根据第一组所求编号，求出各组所抽编号.【详解】

学生60名，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本,所以组距为604=15

÷，已知03号，18号被抽取，所以应该抽取181533

+=号，

故选C.

【点睛】

本题主要考查了抽样，系统抽样，属于中档题.

7．C

解析：C

【解析】

【分析】

根据几何概型的概率公式，设AC ＝x ，则BC ＝10﹣x ，由矩形的面积S ＝x （10﹣x ）＜16可求x 的范围，利用几何概率的求解公式求解． 【详解】

设线段AC 的长为xcm ，则线段CB 长为(10)cm x -， 那么矩形面积为(10)16x x -<，2x <或8x >，又010x <<， 所以该矩形面积小于216cm 的概率为42105

=. 故选：C 【点睛】

本题考查几何概型，考查了一元二次不等式的解法，明确测度比为长度比是关键，是中档题．

8．C

解析：C 【解析】 【分析】

由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】

由题意，模拟程序的运算，可得

k 1=，a 1=

满足判断框内的条件，执行循环体，a 6=，k 3= 满足判断框内的条件，执行循环体，a 33=，k 5= 满足判断框内的条件，执行循环体，a 170=，k 7=

此时，不满足判断框内的条件，退出循环，输出a 的值为170． 则分析各个选项可得程序中判断框内的“条件”应为k 6<？ 故选：C ． 【点睛】

本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．

9．A

解析：A 【解析】 【分析】

根据几何概型的概率计算公式，求出中间小三角形的面积与大三角形的面积的比值即可 【详解】

设DE x =，因为D 为BE 中点，

且图形是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形 所以2BE x =，CE x =，120CEB ∠=?

所以由余弦定理得：2222cos BC BE CE BE CE CEB =+-??∠

2221422

72x x x x x ??

=+-???-= ???

即7BC x =

，设DEF V 的面积为1S ，ABC V 的面积为2S

因为DEF V 与ABC V 相似

所以2

1217

S DE P S BC ??=== ???

故选：A

10．C

解析：C 【解析】 【分析】

设小赵到达汽车站的时刻为x ，小王到达汽车站的时刻为y ，根据条件建立二元一次不等式组，求出对应的区域面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可． 【详解】

如图，设小赵到达汽车站的时刻为x ，小王到达汽车站的时刻为y ， 则0≤x≤15，0≤y≤15，

两人到达汽车站的时刻（x ，y ）所对应的区域在平面直角坐标系中画出（如图所示）是大正方形．

将2班车到站的时刻在图形中画出，则两人要想乘同一班车，

必须满足{（x ，y ）|0505x y ≤≤??≤≤?，或515

515x y ≤??

≤?

＜＜}，

即（x ，y ）必须落在图形中的2个带阴影的小正方形内，则阴影部分的面积S=5×

5+10×10=125， 则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率P=1251515?=5

9

， 故选：C 【点睛】

本题主要考查几何概型的概率公式的应用，根据条件求出对应区域的面积是解决本题的关键．

11．C

【解析】 【分析】

根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】

9,5x y ==，41y x -=>；115,3x y ==

，4

13

y x -=>； 1129,39x y =

=，4

19

y x -=<；结束. 故选：C . 【点睛】

本题考查了程序框图的循环次数，意在考查学生的理解能力和计算能力.

12．A

解析：A 【解析】

分析：根据已知中某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过，我们可以计算出两辆车间隔的时间对应的几何量长度为5，然后再计算出乘客候车时间不超过2分钟的几何量的长度，然后代入几何概型公式，即可得到答案 详解：：∵公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过

当乘客在上一辆车开走后3分钟内到达候车时间会超过2分钟 ∴乘客候车时间不超过2分钟的概率为532

55

P -=＝ ． 故选A .

点睛：本题考查的知识点是几何概型，其中计算出所有事件和满足条件的事件对应的几何量的值是解答此类问题的关键

二、填空题

13．1【解析】【分析】设这10个数为则这组数据的方差为：由此能求出这组数据的标准差【详解】现有10个数其平均数为3且这10个数的平方和是100设这10个数为则这组数据的方差为：这组数据的标准差故答案为1

解析：1 【解析】 【分析】

设这10个数为1x ，2x ，3x ，?，10x ，则

12310

310

x x x x +++?+=，

2222

12310100x x x x +++?+=，这组数据的方差为：

()

()222222222

12310123101231011[()()())69101010S x x x x x x x x x x x x x x x x ????=

-+-+-+?+-=+++?+-+++?++? ???????

，由此能求出这组数据的标准差．

现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100， 设这10个数为1x ，2x ，3x ，?，10x ， 则

12310

310

x x x x +++?+=，

2222

12310100x x x x +++?+=，

∴这组数据的方差为：

()

()222222222

12310123101231011[()()())691011010S x x x x x x x x x x x x x x x x ????=

-+-+-+?+-=+++?+-+++?++?= ???????

，

∴这组数据的标准差1S =．

故答案为1． 【点睛】

本题考查一组数据的标准差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

14．【解析】【分析】基本事件总数由双曲线的离心率得利用列举法求出双曲线的离心率包含的基本事件有6个由此能求出双曲线的离心率的概率【详解】某同学同时掷两颗骰子得到点数分别为ab 基本事件总数双曲线的离心率解 解析：

1

6

【解析】 【分析】

基本事件总数n 6636=?=，由双曲线22

22x y 1a b -=的离心率e >，得b 2a >，利用列

举法求出双曲线22

22x y 1a b -=的离心率e >()a,b 有6个，由此能求出

双曲线22

22x y 1a b -=的离心率e >

【详解】

某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a ，b ， 基本事件总数n 6636=?=，

Q

双曲线2222x y 1a b

-=的离心率e >

c

a a

∴=>，解得b 2a >，

∴双曲线22

22x y 1a b

-=的离心率e >()a,b 有：

()1,3，()1,4，()1,5，()2,5，(1，6)，()2,6，共6个，

则双曲线22

22x y 1a b -=的离心率e >61p 366=

=． 故答案为

1

6

． 【点睛】

本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法、双曲线性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.

15．【解析】【分析】由题意可知集合U 的子集有个然后求出任取集合U 的两个子集AB 的个数m 及时AB 的所有个数n 根据可求结果【详解】解：集合23的子集有个集合AB 是集合U 的子集任取集合U 的两个子集AB 的所有个

解析：3()4

n

【解析】 【分析】

由题意可知集合U 的子集有2n 个，然后求出任取集合U 的两个子集A 、B 的个数m ，及

A B ?时A 、B 的所有个数n ，根据n

P m

=

可求结果. 【详解】

解：Q 集合{1,U =2，3，?，}n 的子集有2n 个，

Q 集合A 、B 是集合U 的子集，

∴任取集合U 的两个子集A 、B 的所有个数共有22n n ?个，

A B ?Q ，

①若A =?，则B 有2n 个，

②若A 为单元数集，则B 的个数为1

12n n

C -?个， ?

同理可得，若{1,A =2，3}n ?，则B =n 只要1个即0

12n n C =?，

则A 、B 的所有个数为112202222(12)3n n n n n n

n n n C C C --+?+?+?+?=+=个，

集合A 紧跟集合B ”的概率为33()224

n n

n n P ==?．

故答案为3

()4

n

【点睛】

本题考查古典概率公式的简单应用，解题的关键是基本事件个数的确定．

16．37【解析】根据图得到：n=18S=19n=12S=31n=6S=37n=0判断得到n>0不成立此时退出循环输出结果37故答案为：37

解析：37

根据图得到：n=18,S=19,n=12

S=31,n=6,

S=37,n=0,判断得到n>0不成立，此时退出循环，输出结果37.

故答案为：37.

17．151020【解析】试题分析：抽取比例为

45900=120∴300×120=15200×120=10400×120=20抽取人数依次为151020考点：分层抽样

解析：15,10,20

【解析】

试题分析：抽取比例为，抽取人数依次为15，10，20

考点：分层抽样

18．78【解析】【分析】求得4位同学各自在周六周日两天中任选一天参加公益活动周六周日都有同学参加公益活动的情况利用古典概型概率公式求解即可【详解】4位同学各自在周六周日两天中任选一天参加公益活动共有24

解析：

【解析】

【分析】

求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．

【详解】

4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，

周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，

∴所求概率为=．

故答案为：．

【点睛】

有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1．基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．

19．【解析】分析：首先求得黑色部分的面积然后利用几何概型整理计算即可求得最终结果详解：由题意可知阴影部分的面积为：正方形的面积：由几何概型计算公式可知此点取自黑色部分的概率：点睛：(1)一定要注意重视定

解析：1 4

分析：首先求得黑色部分的面积，然后利用几何概型整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可知，阴影部分的面积为：

4

4

10024sin 3cos

|422x S dx x x πππ??????=-+=-?= ? ???????

?

??， 正方形的面积：24416S =?=，

由几何概型计算公式可知此点取自黑色部分的概率：1241164

S p S ===. 点睛：(1)一定要注意重视定积分性质在求值中的应用；

(2)区别定积分与曲边梯形面积间的关系，定积分可正、可负、也可以为0，是曲边梯形面积的代数和，但曲边梯形面积非负.

20．12【解析】分析：由频率=以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率即可求出第三组中有疗效的人数得到答案详解：由直方图可得分布在区间第一组和第二组共有20人分布唉区间第一组与第二组的频率

解析：12 【解析】 分析：由频率=

频数

样本容量

，以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频

率，即可求出第三组中有疗效的人数得到答案.

详解：由直方图可得分布在区间第一组和第二组共有20人，分布唉区间第一组与第二组的频率分别为0.24,0.16，所以第一组有12人，第二组8人第三组的频率为0.36，所以第三组的人数为18人，

第三组中没有疗效的有6人，第三组由疗效的有12人.

点睛：1、用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法，分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观.2、频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1.

三、解答题

21．（1）0.30.4y x =-；（2）1.7 【解析】 【分析】

（1）根据数据，利用最小二乘法，即可求得y 对月收入x 的线性回归方程回归方程

??y

b =x ?a +； （2）将x ＝7代入即可预测该家庭的月储蓄． 【详解】

（1）由题意知，10

10

1

1

10,

80,20i

i i i n x

y =====∑∑ ，

80208,21010

x y ∴=

=== ∴2

1082160,1064640n x y n x ??=??=?=?=

10

10

21

1

184,720i i i

i i x y x ====∑∑ 由122

1

184160

?0.3720640

n

i i

i n

i

i x y nxy

b

x

nx ==--==

=--∑∑.

??20.380.4a

y bx =-=-?=- 故所求回归方程为0.30.4y x =- （2）将7x =代入回归方程

可以预测该家庭的月储蓄为0.370.4 1.7y =?-=（千元）. 【点睛】

本题考查线性回归方程的应用，考查最小二乘法求线性回归方程，考查转化思想，属于中档题．

22．（1）0.005，中位数为73.75；（2）15人 【解析】 【分析】

（1）根据频率和为1计算得到0.005a =，再计算中位数得到答案. （2）根据比例关系计算得到答案. 【详解】

（1）由题意可得：(0.030.040.02)101a a ++++?=，解得：0.005a =. 设中位数为(7080)m m <<，0.050.30.04(70)0.5m ++-=. 解得73.75m =.

（2）成绩达到优良的人数：(0.020.005)106015+??=（人） 【点睛】

本题考查了频率直方图，意在考查学生的理解能力和计算能力. 23．238 【解析】 【分析】

5432()3835126((((38)3)5)12)6f x x x x x x x x x x x =+-++-=+-++-，当2x =时，代入计算即可得出． 【详解】

根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式:

()()()()()3835126x x x f x x x =

+-++-,

当2x =时.03v =,

103814v v =+=,

2123v v =?-142325=?-=, 3225v v =?+252555=?+=, 43212v v =?+55212122=?+=, 5426v v =?-12226238=?-=,

所以当2x =时,多项式()f x 的值为238. 【点睛】

本题考查了秦九韶算法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 24．（1），（2）

【解析】 【分析】 【详解】

（1）从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个，

从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个． 因此所求事件的概率为

.

（2）先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，在从袋中随机取一个球，记下编号为n ，

其中一切可能的结果（m ，n ）有：（1,1）（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1）（3， 2），（3,3）（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个．

所有满足条件n≥m ＋2的事件为（1,3）（1,4）（2,4），共3个， 所以满足条件n≥m ＋2的事件的概率为P1＝

316

故满足条件n ＜m ＋2的事件的概率为1－P1＝1－

316

＝.

25．（1）0.01P =,n =100,（2）表见解析，没有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关（3）分布列见解析，()34

E X = 【解析】 【分析】

（1）首先根据频率和为1求P ，再根据频率，频数和样本容量的关系求n ；

（2）首先计算“读书之星”的人数，然后再依次填写22?列联表；并根据公式计算2K 和

3.841比较大小，做出判断；

（3）从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为14，由题意可知1~3,4X B ?? ???

并求分布列和数学期望. 【详解】

（1）()0.0050.0180.0200.0220.025101P +++++?= 解得：0.01P =， 所以10

0.101

0n =

=. (2)因为100n =，所以“读书之星”有1000.2525?= 从而22?列联表如下图所示:

()2

2

10030101545100 3.0304555752533

K ??-?==≈???

因为3.030 3.841<，所以没有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关 (3)将频率视为概率，即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为

1

4

. 由题意可知1~3,4X B ?? ???

所以()303

01127041464P X C ????? ? ???-=??== ()3

2

1127

11464

14P X C ?==-=

?? ???， ()2

23

19

21464

14P X C ????? ? ?????==-=

()333

413641P X C ?? ??

=?== 所以X 的分布列为

故()344

E X =?=. 【点睛】

本题考查频率分布直方图的应用，独立性检验，二项分布，意在考查利用所给数据，分析问题和解决问题的能力，属于中档题型. 26．（1）0.008m =（2）121.8（3）35

【解析】 【分析】

（1）利用小矩形的面积和为1，求得m 值；

（2）每个小矩形的中点与面积相乘，再相加，求得平均数；

（3）利用古典概型，求出试验的所有等可能结果，再计算事件所含的基本事件，最后代入公式计算概率值. 【详解】

（1）0.040.120.240.40.12101m +++++=，∴0.008m =.

（2）0.04950.121050.241150.4125x =?+?+?+?0.121350.08145121.8+?+?=.

（3）由直方图得，[)130140

,有3人，[]140,150有2人， [)130140

,的学生为1A ，2

A ，3A ，[]140,150的学生为1

B ，2B ， 所有情况：12A A ，13A A ，11A B ，12A B ，23A A ，21A B ，22A B ，31A B ，32A B ，12B B 共10种情况；

符合题意的：11A B ，12A B ，21A B ，22A B ，31A B ，32A B 共6种情况. 所以概率为63105

P ==. 【点睛】

本题考查频率分布直方图估计平均数、及古典概型的概率求解，考查概率与统计思想，考查数据处理能力.