二元函数极限证明
二元函数极限证明设P=f, P0=,当P-PO时f的极限是x, y 同时趋向于a, b时所得到的称为二重极限。
此外，我们还要讨论x,y先后相继地趋于a,b时的极限，称为二次极限。
我们必须注意有以下几种情形：'
两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在两个二次极限存在而不相等
两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在
2
函数f当x-*XO时极限存在，不妨设：limf=a
根据定义:对任意￡>0,存在8〉0,使当|x-x 0|而| x-xO | 又因为￡有任意性，故可取￡ =1,则有：|f -a|再取M=max {|a-l I, |a+l |},则有:存在8 >0,当任意x属于x 0的某个邻域U时，有|f| 证毕
3首先，我的方法不正规，其次，正确不正确有待考察。
1,y 以y=x"2-x 的路径趋于OLimitedsi n/x"2=Limi tedsinx"2/x"2=l而y=x的路径趋于0结果是无穷大。
2,3可以用类似的方法，貌似同济书上是这么说的，二元函数在该点极限存在，是P以任何方式趋向于该点。
f={/}*sin
显然有y->0 , f-〉*sin存在
当x->0, f->*sin, sin再0处是波动的所以不存在而当
x->0, y->0时
由| sin |而x"2+y"2所以|f|所以显然当x ->0, y->0 时，f 的极限就为0
这个就是你说的，唯一不一样就是非正常极限是不存在而不是你说的
正无穷或负无穷或无穷，我想这个就可以了
就我这个我就线了好久了
5
时函数的极限：
以时和为例引入.
介绍符号：的意义，的直观意义.
定义
几何意义介绍邻域其中为充分大的正数?然后用这些邻域语言介绍几何意义.
例1验证例2验证例3验证证……
时函数的极限：
由考虑时的极限引入.
定义函数极限的"”定义.
几何意义.
用定义验证函数极限的基本思路.
例4验证例5验证例6验证证由二为使需有为使需有于是,倘限制，就有
例7验证例8验证单侧极限：
1.定义：单侧极限的定义及记法.
几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.
例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系：
Th类似有:例10证明：极限不存在.
例11设函数在点的某邻域内单调?若存在，则有
二§2函数极限的性质
教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
教学方法：讲练结合。
一、组织教学：
我们引进了六种极限：，?以下以极限为例讨论性质?均给出证明或简证.
二、讲授新课：
函数极限的性质：以下性质均以定理形式给出.
1.唯一性:
2.局部有界性：
3.局部保号性：
4.单调性：
Th4若和都存在,且存在点的空心邻域，使，都有证设二註:若在Th4的条件中，改“”为“”，未必就有以举例说明.
5.迫敛性：
6?四则运算性质：
利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：
这些极限可作为公式用?在计算一些简单极限时，有五组基本极限作为公式用，我们将陆续证明这些公式.
利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质，把所求极限化为基本极限，代入基本极限的值, 即计算得所求极限.
例1
例2例3註:关于的有理分式当时的极限.
例4 ［利用公式］
例5例6例7
教学目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限 教学重点：运用函数极限的运算法则求极限 教学难点：函数极限法则的运用 教学过程： 一、引入： 一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如o x x x x x x o ==→∞→lim ,01 lim .若求极限的函数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数 的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算. 二 、新课讲授 对于函数极限有如下的运算法则： 限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）. 说明：当C 是常数，n 是正整数时，)(lim )]([lim x f C x Cf o o x x x x →→= n x x n x x x f x f o o )](lim [)]([lim →→= 这些法则对于∞→x 的情况仍然适用. 三 典例剖析 例1 求)3(lim 2 2 x x x +→ 例2 求1 1 2lim 231++-→x x x x 例3 求4 16 lim 24--→x x x 分析：当4→x 时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数
4 162--=x x y 在定义域4≠x 内，可以将分子、分母约去公因式4-x 后变成4+x ，由此即 可求出函数的极限. 例4 求1 3 3lim 22++-∞→x x x x 分析：当∞→x 时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以2 x ，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。 总结：),(lim ,lim * N k x x C C k o k x x x x o o ∈==→→ )(01lim ,lim * N k x C C k x x ∈==∞→∞ → 例5 求1 34 2lim 232+--+∞→x x x x x 分析：同例4一样，不能直接用法则求极限. 如果分子、分母都除以3 x ，就可以运用法则计算了。 四 课堂练习（利用函数的极限法则求下列函数极限） （1）)32(lim 2 1-→ x x ； （2）)132(lim 2 2 +-→x x x （3）)]3)(12[(lim 4 +-→x x x ； （4）1431 2lim 221-++→x x x x （5）11lim 21+--→x x x （6）9 6 5lim 223-+-→x x x x （7）13322lim 232+--+∞→x x x x x （8）5 2lim 32--∞→y y y y 五 小结
函数极限的定义 林芳 20101101903 数学科学学院 2010级（1）班 指导教师 韩刚 摘要 极限是数分中的重要内容，用定义证明极限类型题都要用到它。本文就给出二十四个函数极限的定义。 关键词 极限 1函数在一点的极限的定义 1.1函数在0x 点的极限的定义 设函数f(x)在0x 点的附近（但可能除掉点本身）有定义，又设A 是一个定数。如果对任意给定的ε>0，一定存在δ>0，使得当0<0x x -<δ时，总有A x f -)(<ε，我们就称A 是函数在点0x 的极限，记为 A x f x x =→0 )(lim , 或者记为 f(x)→A(x 0x →). 这时也称函数f(x)在0x 点极限存在，其极限值是A. 1.2函数在点0x 右侧的极限的定义 设函数f(x)在（0x ，η+0x ）内有定义，η是一个确定的正数，又设A 是一个定数。如果对任意给定的ε>0,总存在δ>0，当0 我们就称A 是函数f(x)在点x 0的右极限，记为 0)(lim +→x x x f =A 或f(x 0+0)=A 或 f(x)→A (x 0x →+0) 这时也称函数f(x)在点0x 右极限存在。 1.3函数在0x 点左侧的极限的定义 设函数f(x)在（00,x x η-）内有定义，η是一个确定的正数，又设A 是一个定数。如果对任意给定的ε>0,总存在δ>0，当0<δ<-x x 0时，有A x f -)(<ε,我们就称A 是函数f(x)在点的左极限，记为 0)(lim -→x x x f =A 或 f(00-x )=A 或 f(x))0(0-→→x x A 这时也称函数f(x)在0x 点左极限存在. 2函数在无限远处的极限 2.1函数在无限远处极限的定义 若对任意给定的ε>0，存在X>0，当X x >时，总有ε<-A x f )(，我们说A 是f(x)在无限远处的极限，或者说A 是当x 的极限时)(x f ∞→,记为 ) ()()()(lim ∞→→=∞=∞→x A x f A f A x f x 或 这时也称函数f(x)在无限远处极限存在 2.2函数在正无限远处的极限的定义 定义证明二重极限 定义证明二重极限就是说当点(x,y)落在以(x0,y0)点附近的一个小圈圈内的时候，f(x,y)与A的差的绝对值会灰常灰常的接近。那么就说f(x,y)在(x0,y0)点的极限为A关于二重极限的定义，各类数学教材中有各种不同的表述，归纳起来主要有以下三种：定义1设函数在点的某一邻域内有定义(点可以除外)，如果对于任意给定的正数。，总存在正数，使得对于所论邻域内适合不等式的一切点P(X，y)所对应的函数值都满足不等式那末，常数A就称为函数当时的极限.定义2设函数的定义域为是平面上一点，函数在点儿的任一邻域中除见外，总有异于凡的属于D的点，若对于任意给定的正数。，总存在正数a，使得对D内适合不等式0户几卜8的一切点P，有不等式V(P)一周。成立，则称A为函数人P)当P～P。时的极限.定义3设函数X一人工，”的定义域为D，点产人工。，人)是D的聚点，如果对于任意给定的正数。，总存在正数8，使得对于适合不等式的一切点P(X，…ED，都有成立，则称A为函数当时的极限.以上三种定义的差异主要在于对函数的前提假设不尽相同.定义1要求人X，…在点P 入x。，汕)的某去心邻域内有定义，而定义2允许人工，y)在点P。(X。，入)的任一去心邻域内都有使人X，y)无定义的点，相应地，定义I要求见的去心邻域内的点P都适合/(P)一A卜利用极限存在准则证明：(1)当x趋近于正无穷时，(Inx/x^2)的极限为0;(2)证明数列{Xn}，其中a0，Xo0,Xn=[(Xn-1) (a/Xn-1)]/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。1)用夹逼准则:x大于1时,lnx0,x^20,故lnx/x^20且lnx1),lnx/x^2(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2极限为0故(Inx/x^2)的极限为02)用单调有界数列收敛:分三种情况,x0=√a时,显然极限为√ax0√a时,Xn-X(n-1)=[-(Xn-1) (a/Xn-1)]/20,单调递减且Xn=[(Xn-1) (a/Xn-1)]/2√a,√a为数列下界,则极限存在.设数列极限为A,Xn和X(n-1)极限都为A.对原始两边求极限得A=[A (a/A)]/2.解得A=√a同理可求x0√a时,极限亦为√a综上,数列极限存在,且为√(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号: 的意义, 的直观意义.定义( 和. )几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“ ”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4 验证例5 验证例6验证证由=为使需有为使需有于是, 倘限制, 就有例7验证例8验证( 类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义: 介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:Th类似有: 例10证明: 极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调. 若存在, 则有= §2 函数极限的性质(3学时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。教学重点：函数极限的性质及其计算。教学难点：函数极限性质证明及其应用。教学方法：讲练结合。一、组织教学：我们引进了六种极限: , .以下以极限为例讨论性质. 均给出证明或简证.二、讲授新课：(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性( 不等式性质):Th 4若和都存在, 且存在点的空心邻域,使，都有证设= ( 现证对有)註:若在Th 4的条件中, 改“ ”为“ ”, 未必就有以举例说明.5.迫敛性:6.四则运算性质:( 只证“ ”和“ ”)(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：(注意前四个极限中极限就是函数值)这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.例1( 利用极限和)例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4 [ 利用公式]例5例6例7 高等数学 二、计算题（共 200 小题，） 1、设x x x f +=12)(，求)(x f 的定义域及值域。 2、设x x x f -+= 11)(，确定)(x f 的定义域及值域。 3、设)ln(2)(22x x x x x f -+-= ，求)(x f 的定义域。 4、的定义域，求设)(sin 51 2arcsin )(x f x x x f π+-=。 5、的定义域，求设??? ??++-=x f x f x x x f 1)(22ln )(。 6、的定义域求函数22112arccos )(x x x x x f --++=。 7、设)(x f 的定义域为[) )()()(m x f m x f x F b a ++-=，．，)0( 习题1-3 1. 根据函数极限的定义证明: (1)8)13(lim 3 =-→x x ; (2)12)25(lim 2 =+→x x ; (3)42 4 lim 22-=+--→x x x ; (4)21 241lim 3 2 1=+--→x x x . 证明 (1)分析 |(3x -1)-8|=|3x -9|=3|x -3|, 要使|(3x -1)-8|<ε , 只须ε3 1 |3|<-x . 证明 因为?ε >0, ?εδ31 =, 当0<|x -3|<δ时, 有|(3x -1)-8|<ε , 所以8)13(lim 3=-→x x . (2)分析 |(5x +2)-12|=|5x -10|=5|x -2|, 要使|(5x +2)-12|<ε , 只须ε5 1 |2|<-x . 证明 因为?ε >0, ?εδ5 1 =, 当0<|x -2|<δ时, 有|(5x +2)-12|<ε , 所以12)25(lim 2=+→x x . (3)分析 |)2(||2|244)4(2422--=+=+++=--+-x x x x x x x , 要使ε<--+-)4(2 4 2x x , 只须ε<--|)2(|x . 证明 因为?ε >0, ?εδ=, 当0<|x -(-2)|<δ时, 有 ε<--+-)4(2 42x x , 所以424 lim 22-=+--→x x x . (4)分析 |)21 (|2|221|212413--=--=-+-x x x x , 要使 ε<-+-212413x x , 只须ε2 1|)21(|<--x . 证明 因为?ε >0, ?εδ21=, 当δ<--<|)21(|0x 时, 有ε<-+-212413x x , 所以21241lim 3 2 1=+--→x x x . 2. 根据函数极限的定义证明: (1)2 121lim 33= +∞ →x x x ; (2)0sin lim =+∞ →x x x . 证明 (1)分析 3 3 3333||21212121x x x x x x = -+=-+, 要使 ε<- +21213 3x x , 只须ε<3| |21 x , 即3 21 ||ε > x . 函数极限的十种求法 信科2班江星雨20140202250 函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以的极限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。 1.利用极限的四则运算法则： 极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。方能利用极限四则运算法则进行求之。不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。例 1 求lim( x 2 ? 3x + 5). x→ 2 解：lim( x 2 ? 3x + 5) = lim x 2 ? lim 3x + lim 5 = (lim x) 2 ? 3 lim x + lim 5 = 2 2 ? 3 ? 2 + 5 = 3. x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 2.利用洛必达法则 洛必达(L 'Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。 利用洛必达求极限应注意以下几点： 设函数f(x)和F(x)满足下列条件： （1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0; （2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0; （3）x→a时,lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大 则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x)) 例1： 1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2 xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2) 原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x 对分子分母同时求导（洛必达法则） (tgx)' = 1 / (cosx)^2 (x)' = 1 原式= lim 1/(cosx)^2 当x --> 0 时,cosx ---> 1 原式= 1 3.利用两个重要极限： 应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件： ①分子、分母为无穷小，即极限为0 ； ②分子上取正弦的角必须与分母一样。 应用第二重要极限时，必须同时满足四个条件： 第十三讲、函数极限的性质 定理13.1.（唯一性）若极限0lim ()x x f x →存在，则极限值唯一. 证明：我们使用反证法加以证明。假设0lim ()x x f x A →=及0lim ()x x f x B →=， A B <。 取()/2B A ε= ?，则存在δ>10，使得当010||x x δ20，使得当020||x x δ0，使得()f x 在邻域0(;)o U x δ内有界. 定理13.3. 若0lim ()x x f x A →=， 0 lim ()x x g x B →=且A B <，则存在δ>0使当0(;)o x U x δ∈时, 有 ()()f x g x <. 在上面的定理13.3中，取()0g x ≡，则有 推论13.1 .( 局部保号性). 若0 lim ()x x f x A →=且 A > 0 , ( A < 0 ) 则存在δ>0使当0(;)o x U x δ∈时, 有 ()0f x >（()0f x <）. 推论13.2 .( 保不等式) 若存在δ>0使当0(;)o x U x δ∈时, 有 ()()f x g x ≤且0lim ()x x f x A →=， 0lim ()x x g x B →=，则A B ≤。 归纳函数极限的计算方法-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 归纳函数极限的计算方法 摘 要 ：本文总结出了求极限的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算 The sum of the Method of Computing Function Limit Abstract ：The write sums up in this article several ways of extacting the limit by the means of definition, formula,nature, theorem and so on. Key Words ：Function Limit ；Computing method ；L’Hospita l rules; Four fundamental rules 前言 极限的概念是高等数学中一个最基本、最重要的概念，极限理论是研究连续、导数、积分、级数等的基本工具，因此正确理解和运用极限的概念、掌握极限的求法，对学好数学分析是十分重要的.求极限的方法很多且非常灵活，本文归纳了函数极限计算的一些常见方法和技巧. 1. 预备知识 1.1函数极限的εδ-定义]1[ 设函数f 在点0x 的某个空心邻域'0(;)U x δ内有定义，A 为定数，若对任给的0ε>，存在正数'()δδ<，使得当00||x x δ<-<时有|()|f x A ε-<，则称函数当趋于0x 时以A 为极限，记作0 lim ()x x f x A →=或()f x A →0()x x →. 2.求函数极限的方法总结 极限是描述函数的变化趋势，以基于图形或直观结合定义可以求出一些简单的函数的极限；但是结构较为复杂的函数的图形不易画出，基于直观也就无法得出极 关于函数极限如何证明 函数极限的性质是怎么一回事呢?这类的性质该怎么证明呢?下面就是学习啦给大家的函数极限的性质证明内容，希望大家喜欢。 X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限求极限我会 |Xn+1-A| 以此类推，改变数列下标可得|Xn-A| |Xn-1-A| …… |X2-A| 向上迭代，可以得到|Xn+1-A| 只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。 用数学归纳法： ①证明{x(n)}单调增加。 x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1); 设x(k+1)>x(k)，则 x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化) =[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。 ②证明{x(n)}有上界。 x(1)=1<4， 设x(k)<4，则 x(k+1)=√[2+3x(k)]<√(2+3*4)<4。 当0 构造函数f(x)=x*a^x(0 令t=1/a，则：t>1、a=1/t 且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1) 则： lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x =lim(x→+∞)[x'/(t^x)'](分子分母分别求导) =lim(x→+∞)1/(t^x*lnt) =1/(+∞) =0 所以，对于数列n*a^n，其极限为0 3.根据数列极限的定义证明： (1)lim[1/(n的平方)]=0 n→∞ (2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2 n→∞ (3)lim[根号(n+1)-根号(n)]=0 n→∞ (4)lim0.999…9=1 n→∞n个9 5几道数列极限的证明题，帮个忙。。。Lim就省略不打了。。。 n/(n^2+1)=0 两个重要极限的证明第六节极限存在准则、两个重要极限 教学目的：1 使学生掌握极限存在的两个准则；并会利用它们求极限； 2使学生掌握利用两个重要极限求极限的方法； 教学重点：利用两个重要极限求极限 教学过程： 一、讲授新课： 准则I：如果数列满足下列条件： (i)对 ; (ii) 那么，数列的极限存在，且。 证明：因为，所以对，当时，有，即 ，对，当时，有，即，又因为，所以当时，有， 即有：，即，所以。 准则I′如果函数满足下列条件： (i)当时，有。 (ii)当时，有。 那么当时，的极限存在，且等于。 第一个重要极限： 作为准则I′的应用，下面将证明第一个重要极限：。 证明：作单位圆，如下图： 设为圆心角，并设见图不难发现：，即：，即， (因为，所以上不等式不改变方向) 当改变符号时，及1的值均不变，故对满足的一切 ，有。 又因为， 所以而，证毕。 【例1】。 【例2】。 【例3】。 【例4】。 准则Ⅱ：单调有界数列必有极限 如果数列满足：，就称之为单调增加数列;若满足：，就称之为单调减少数列;同理亦有严格单增或单减，以上通称为单减数列和严格单减数列。 如果，使得：，就称数列为有上界;若，使得：，就称有下界。 准则Ⅱ′：单调上升，且有上界的数列必有极限。 准则Ⅱ″: 单调下降，且有下界的数列必有极限。 注1：由前已知，有界数列未必有极限，若加单调性，就有极限。 2：准则Ⅱ，Ⅱ′，Ⅱ″可推广到函数情形中去，在此不一一陈述了。 第二个重要极限： 作为准则Ⅱ的一个应用，下面来证明极限是不存在的。 先考虑取正整数时的情形：对于，有不等式：，即：， 即： (i)现令，显然，因为将其代入，所以，所以为单调数列。 (ii)又令，所以， 即对，又对所以{ }是有界的。 由准则Ⅱ或Ⅱ′知存在，并使用来表示，即 一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明: 12 23lim 22=-+-→x x x x 证: 由 2 4 4122322-+-= --+-x x x x x x ()2 2 22 -=--= x x x 0>?ε 取 εδ= 则当δ <-<20x 时,就有 ε<--+-12 2 32x x x 由函数极限 δε-定义有: 12 23lim 22=-+-→x x x x 2、利用极限的四则运算性质 若 A x f x x =→)(lim 0 B x g x x =→)(lim 0 (I) []=±→)()(lim 0 x g x f x x )(lim 0 x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0 (II) []B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 (III)若 B ≠0 则： B A x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )(lim )()(lim 0 00 （IV ） cA x f c x f c x x x x =?=?→→)(lim )(lim 0 （c 为常数） 上述性质对于 时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,, 例：求 4 5 3lim 22+++→x x x x 解: 4 53lim 22+++→x x x x =254252322=++?+ 3、约去零因式（此法适用于 型时0 ,0x x → 例: 求12 16720 16lim 23232+++----→x x x x x x x 解:原式= () () ) 12102(65) 2062(103lim 223 2232 +++++--+---→x x x x x x x x x x x =)65)(2() 103)(2(lim 222+++--+-→x x x x x x x =)65()103(lim 222++---→x x x x x =) 3)(2()2)(5(lim 2+++--→x x x x x =2 lim -→x 73 5 -=+-x x 4、通分法（适用于∞-∞型） 例: 求 )21 44(lim 22x x x ---→ 解: 原式=) 2()2() 2(4lim 2x x x x -?++-→ =) 2)(2() 2(lim 2x x x x -+-→ =4 1 21lim 2=+→x x 5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质） 设函数f(x)、g(x) 满足： 二元函数极限的求法 数学与统计学院、数学与应用数学、0701班，湖北，黄石，435002 1.引言 多元函数的极限在高等数学中非常重要，但由于多元函数的自变量多,因此对于判断其极限存在与否及其求法，比起一元函数的极限就显得比较困难.求极限和证明极限的方法很多，一般我们常用定义法，初等变形法，两边夹准则，阶的估计等.在这几种方法中，定义法是基础，但是比较繁琐,其他方法有的较易，有的较难，让人不知道从何下手.因此，我们有必要总结探讨出比较容易好的方法去求多元函数的极限.多元函数极限在现在的生活中也有很大的用处，比如工程计算方面.从以上来看，研究归纳总结多元函数极限的求法问题是有意义和必要的.本文主要研究二元函数极限的定义以及二元函数极限求解的几种方法，并以实例加以说明. 2.二元函数极限的定义 定义1 设E 是2R 的一个子集，R 是实数集,f 是一个规律，如果对E 中的每一点(,)x y ,通过规律f ,在R 中有唯一的一个u 与此对应,则称f 是定义在E 上的一个二元函数,它在点(,)x y 的函数值是u ,并记此值为(,)f x y ，即(,)u f x y =. 有时,二元函数可以用空间的一块曲面表示出来,这为研究问题提供了直观想象.例如，二元函数222y x R x --=就是一个上半球面，球心在原点，半径为R ，此函数定义域为满足关系式222R y x ≤+的x ,y 全体,即 }|),{(222R y x y x D ≤+=.又如,xy Z =是马鞍面. 知道多元函数的定义之后,在我们求多元函数极限之前我们必须知道多 元函数极限的定义. 定义2 设E 是2R 的一个开集，A 是一个常数，二元函数()(,)f M f x y =在点()000,M x y E ∈附近有定义．如果0>?ε,0>?δ,当()00,r M M δ<<时,有()f M A ε-<,就称A 是二元函数在0M 点的极限.记为()0 lim M M f M A →=或 ()()0f M A M M →→. 定义的等价叙述 1 ：设E 是2R 的一个开集,A 是一个常数,二元函数 ()(,)f M f x y =在点()000,M x y E ∈附近有定义．如果0>?ε，0>?δ，当()() 22 000x x y y δ< -+-<时，有(,)f x y A ε-<，就称A 是二元函数在0 M 点的极限。记为()0 lim M M f M A →=或()()0f M A M M →→. 定义的等价叙述2： 设E 是2R 的一个开集,A 是一个常数,二元函数 ()(,)f M f x y =在点()000,M x y E ∈附近有定义．如果0>?ε，0>?δ，当 000,0x x y y δδ<-<<-<且()()00,,x y x y ≠时， 有(,)f x y A ε-<，就称A 是二元函数在0M 点的极限.记为 ()0 l i m M M f M A →=或 ()()0f M A M M →→. 注：（1）和一元函数的情形一样，如果0 lim ()M M f M A →=,则当M 以任何 点列及任何方式趋于0M 时,()f M 的极限是A ；反之,M 以任何方式及任何点列趋于0M 时，()f M 的极限是A .但若M 在某一点列或沿某一曲线0M →时，()f M 的极限为A ，还不能肯定()f M 在0M 的极限是A . 二元函数的极限较之一元函数的极限而言，要复杂得多,特别是自变量的变化趋势，较之一元函数要复杂. 二元函数极限证明 设p=f(x,y),p0=(a,b)，当p→p0时f(x,y)的极限是x,y同时趋向于a,b时所得到的称为二重极限。 此外，我们还要讨论x,y先后相继地趋于a,b时的极限,称为二次极限。 我们必须注意有以下几种情形：’ (1)两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在 (2)两个二次极限存在而不相等 (3)两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在 2 函数f(x)当x→x0时极限存在，不妨设：limf(x)=a(x→x0) 根据定义:对任意ε>0,存在δ>0,使当|x-x0|<δ时,有|f(x)-a|<ε 而|x-x0|<δ即为x属于x0的某个邻域u(x0;δ) 又因为ε有任意性,故可取ε=1,则有:|f(x)-a|<ε=1,即:a-1 再取m=max{|a-1|,|a+1|},则有:存在δ>0,当任意x属于x0的某个邻域u(x0;δ)时,有|f(x)| 证毕 3首先，我的方法不正规，其次，正确不正确有待考察。 1，y以y=x^2-x的路径趋于0limitedsin(x+y)/x^2=limitedsinx^2/x^2=1而y=x的路径趋于0结果是无穷大。 2，3可以用类似的方法，貌似同济书上是这么说的，二元函数在该点极限存在，是p(x,y)以任何方式趋向于该点。 4 f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x) 显然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在 当x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0处是波动的所以不存在 而当x->0,y->0时 由|sin(1/x)|<=1得|f|<=(x^2+y^2)/(|x|+|y|) 而x^2+y^2<=x^2+y^2+2*|x||y|=(|x|+|y|)^2 所以|f|<=|x|+|y| 所以显然当x->0,y->0时，f的极限就为0 这个就是你说的，唯一不一样就是非正常极限是不存在而不是你说的 正无穷或负无穷或无穷，我想这个就可以了 就我这个我就线了好久了 5 毕业论文 题目：幂指函数极限的计算 学院：数学与信息科学学院姓名：何晓岭 指导教师：魏喜凤 幂指函数极限的计算 【摘要】函数极限是《数学分析》中的一个重点知识,也是微积分学的基础，因此，掌握好函数极限的求解方法是学好《数学分析》的关键. 而在函数极限的计算中，有关幂指函数极限计算的题目类型多、难度大且灵活多变.为此，首先给出了幂指函数的定义，其次讨论幂指函数确定式(B A型)和不确定式（00型、1∞型、0 ∞型）的极限问题，最后整理总结了幂指函数极限的计算方法,并通过实例说明这些方法的实用性. 【关键词】幂指函数；极限；确定式；不确定式；计算方法 The Calculation of the Power Exponent Function Limit 【Abstract】The limit function is a key knowledge of mathematical analysis, and calculus based, therefore, it is important for the learning of mathematical analysis to master the methods of solving the limit of function .But in the calculation of the function limit, the subjects of calculation about power exponent function are various,difficult and flexible. so, we first give the definition of the exponential function, followed by a discussion of limit problem of power exponent function to determine the type and uncertain type, finally summarize the methods of power exponential function limit, and explain the practicability of these methods by actual examples. 【Key Words】power exponent function; limit; determine type; uncertain type; methods to solve problem 《关于幂指函数的极限求法》论文查阅笔记 幂指函数的定义：幂函数a x f )(的指数a 不变幂底)(x f 变化，指数函数)(x g a 是底数a 不变)(x g ，幂指函数是底数和指数同时变化的函数)()(x g x f 。幂指函数的定义如下（设两个)(x f 和)(x g 是在定义域为D 上的连续函数，则称0)(,)()(>=x f x f y x g 为定义在D 上的幂指函数。 幂指函数求法及分类：定值型Ｂ A ，未定型∞1、0∞、00。 一般求法：幂指函数的重要恒等式 ) ()(ln )(≡)(x g x f e x f x g 该公式可以求得未定型的一般极限 )(ln )()(→lim )(→l i m x f x g x g a x a x e x f = 常用方法：直接代值（定值型）、洛必达法则（未定型）、重要极限（e x x x =+）（11l i m ∞→、e x x x =+10 →1l i m （）、无穷小等价代换(当0→x 时，1-~)1l n (~a r c t a n ~a r c s i n ~t a n ~s i n x e x x x x x +、221~cos -1x x 、()n x ~1-11n x +）等。 幂指函数的极限求法应用： 确定型：如果A x f =)(l i m ，（0>A ），B x g =)(lim ，则[][]B x g x g A x f x f ==)(l i m )()(l i m )(l i m 。 未定型：①关于∞1型的极限 ②关于0 ∞型的极限 ③关于00型的极限 （1）运用重要极限求解（公式） 1．定义： 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5 )13(lim 2=-→x x （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 利用导数的定义求极限 这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2．极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3） )0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条 件不满足时，不能用。 . 利用极限的四则运算法求极限 这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。 8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 例1 1213lim 1 --+→x x x 解：原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注：本题也可以用洛比达法则。 例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解：原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→ 解：原式11)32 (1)31 (lim 3 =++-= ∞→n n n n 上下同除以 。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim 0=→x x x （2） e x x x =+→1 )1(lim ； e x x x =+∞→)11(l i m 经典合同 二元函数极限证明姓名：XXX 日期：XX年X月X日 二元函数极限证明 目录 第一篇：二元函数极限证明 第二篇：二元函数的极限 第三篇：二元函数极限的研究 第四篇：二元函数的极限与连续 第五篇：函数极限的证明 正文 第一篇：二元函数极限证明 二元函数极限证明 设p=f(x,y),p0=(a,b)，当p→p0时f(x,y)的极限是x,y同时趋向于a,b时所得到的称为二重极限。 此外，我们还要讨论x,y先后相继地趋于a,b时的极限,称为二次极限。 我们必须注意有以下几种情形：’ (1)两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在 (2)两个二次极限存在而不相等 (3)两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在 2 函数f(x)当x→x0时极限存在，不妨设：limf(x)=a(x→x0) 根据定义:对任意ε>0,存在δ>0,使当|x-x0|<δ时,有 |f(x)-a|<ε 而|x-x0|<δ即为x属于x0的某个邻域u(x0;δ) 第 2 页共 26 页 又因为ε有任意性,故可取ε=1,则有:|f(x)-a|<ε=1,即:a-1 再取m=max{|a-1|,|a+1|},则有:存在δ>0,当任意x属于x0的某个邻域u(x0;δ)时,有|f(x)| 证毕 3首先，我的方法不正规，其次，正确不正确有待考察。 1，y以y=x^2-x的路径趋于 0limitedsin(x+y)/x^2=limitedsinx^2/x^2=1而y=x的路径趋于0结果是无穷大。 2，3可以用类似的方法，貌似同济书上是这么说的，二元函数在该点极限存在，是p(x,y)以任何方式趋向于该点。 4 f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x) 显然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在 当x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0处是波动的所以不存在 而当x->0,y->0时 由|sin(1/x)|<=1得|f|<=(x^2+y^2)/(|x|+|y|) 而x^2+y^2<=x^2+y^2+2*|x||y|=(|x|+|y|)^2 所以|f|<=|x|+|y| 所以显然当x->0,y->0时，f的极限就为0 这个就是你说的，唯一不一样就是非正常极限是不存在而不是你说的 正无穷或负无穷或无穷，我想这个就可以了 就我这个我就线了好久了 第 3 页共 26 页 目 录 目 录............................................................................................................................................... 0 摘 要............................................................................................................................................... 1 Abstract ........................................................................................................................................... 2 1.幂指函数的概念 ........................................................................................................................... 3 2.幂指函数的求极限 .. (3) 2.1 )(x f ，)(x g 的极限均为有限常数，即B A 型的极限求法 ...................................... 3 2.2 利用重要极限 .. (4) 2.3 应用洛必达法则求极限 ................................................................................................ 6 2.4 用等价无穷小 .. (7) 2.4.1 0 0中的等价无穷小代换 .................................................................................... 7 2.4.2 0 ∞中的等价无穷小代换 ................................................................................... 8 2.4.3 ∞1中的等价无穷小代换. . (9) 2.5 利用微分中值定理 ....................................................................................................... 10 3.幂指函数的求导 . (11) 3.1 复合函数求导法 ........................................................................................................... 11 3.2 对数求导法 ................................................................................................................... 12 3.3 多元函数求导法 ........................................................................................................... 13 总 结............................................................................................................................................. 16 参考文献 .. (17)定义证明二重极限_1
函数与极限习题与答案计算题(供参考)
函数极限的定义证明
函数极限的十种求法
函数极限的性质
归纳函数极限的计算方法
关于函数极限如何证明
两个重要极限的证明
求极限的几种方法
(整理)二元函数极限的求法.
二元函数极限证明
幂指函数极限的计算
关于幂指函数的极限求法归纳
求极限的方法及例题总结
二元函数极限证明
关于幂指函数的极限与导数的求法
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