正弦电压与电流
大小、方向随时间变化的电压、电流称为交流电，
按正弦规律变化的电压、电流称为正弦交流电（简称正弦量）。
一、正弦量的三要素
如图1所示，正弦电量的表达式为：
式中的称为正弦交流电的三要素。
1、振幅：正弦交流电变化过程中最大瞬时值的绝对值。
2、角频率：单位时间内交流电所经历的电角度(反映交流电变化快慢的物理量)。
交流电周期为 T,(交流电变化一周所需要的时间),
频率为f(交流电每秒所变化的周数)，则：f =1/ T
角频率为：
3、初相位：
相位（相位角）：——交流电某时刻所处的位置 ( 或者电角
度 ) ，
反映正弦量变化的进程。
初相位： t=0 时的相位，初相不大于180°。
相位差：两个同频率的正弦量在任一瞬间的相位之差。
相位的超前与滞后：
二、正弦量的有效值
我们平时常说的220V及测量的电流的读数等，均指有效值。
定义：若一个交流电流i和一个直流电流I在相同的时间内通过同一电阻
产生的热量相等. 则我们称I为i的有效值。
根据定义可以推导出：
同理可得电压的有效值：
三、正弦量的相量表示
用复数表示的正弦量 , 称为相量。
相量的模对应正弦量的有效值；相量的复角对应正弦量的初相角。
<注>:角频率可不参予讨论（因为同频率的正弦量运算的结果所得到的频率不变）。
相量值等于有效值和单位极式的乘积，例:
说明：(1)复数只是一个运算工具 , 它在运算上与正弦量具有等效性 , 但它们并不相等
(2)同频率的正弦量所代表的相量可以画在同一复平面上 , 这样的图称为
相量图。
实验报告六 非正弦周期电流电路辅助分析 1.电路课程设计目的 熟悉掌握谐波分析法，并对给定给正弦周期电流电路进行定量分析。 2.设计电路原理与说明 谐波分析法用于分析计算非正弦周期激励下的线性电路的相应。其步骤为： （1）将给定的周期性激励分解为恒定分量和各次谐波分量之和，一般以分解好的形式给出。 （2）分别计算电路在恒定分量及各次谐波分量单独作用下的响应。恒定分量作用下的响应，求解方法同直流电路；各次谐波分量作用下的响应可用向量法求解，应注意L,C 对不同谐波的阻抗随频率变化。 （3）根据叠加定理，将非正弦电源的各次谐波分量单独作用时的响应的瞬时值相加起来，其结果就是电路在非正弦电源激励下的稳态响应。 电路图如下 图一 已知：V t t U s )902sin(100sin 150100?-++=ωω，Ω=10R ，Ω==901C X c ω， Ω==10L X L ω 求各电表示数。 （1）直流分量作用于电路时，电感相当于短路，电容相当于开路。 0,0,0000===P U I （2）一次谐波作用于电路时 V U s ?∠=02150 1 A j X X j R U I C L s ?∠=-+?∠=-+=9.8232.1) 9010(1002150)(1111 u s
V j U ?∠=+?∠=9.1275.18)1010(9.8231.11 （3）二次谐波作用于电路时 A j X X j R U I C L s ?-∠=-+?-∠=-+=8.2163.2)4520(10902100 )(2222 V j U ?∠=+?-∠=6.418.58)2010(8.2163.22 电流表和电压表测的分别是电流、电压的有效值，功率表测量的是电路的有功功率。 W P V U A I 6.861063.21032.17.618.585.18094.263.232.1022222222=?+?==++===++= 3.电路课程设计仿真内容与步骤及结果 （1）按照电路图在Multisim 中接好电路，取ω=10，则L=1H ，C=0.00111F 。观察各表读数，是否与计算值相符。 （2）接入示波器，观察非正弦周期电流电路的电压波形及电流波形。 图二
第十二章(非正弦周期电流电路)习题解答 一、选择题 1． 在图12—1所示电路中，已知)]cos(2512[1t u s ω+=V ， )240cos(2502+ω=t u s V 。设电压表指示有效值，则电压表的读数为 B V 。 A ．12； B ．13； Ｃ．13.93 解：设u 如图12—1所示，根据KVL 得 )240cos(25)cos(2512021+ω+ω+=+=t t u u u s s 即 )120cos(25)cos(25120-ω+ω+=t t u =)60cos(25120-ω+t 根据 2 )1(2 )0(U U U += 得1351222=+=U A 2．在图12—2所示的电路中，已知)100cos(2t u s = V ， )]60100cos(243[0-+=t i s A ，则s u 发出的平均功率为 A W 。 A ．2； B ．4； C ．5 解：由平均功率的计算公式得 )600cos(0 )1()1()0()0(++=I U I U P =2)60cos(41300 =?+?W 3．欲测一周期性非正弦量的有效值，应用 A 仪表。 A ．电磁系； B ．整流系； C ．磁电系 4．在图12—3所示的电路中，Ω=20R ，Ω=ω5L ， Ω=ω451 C ， )]3cos(100)cos(276100[t t u s ω+ω+=V ，现欲使电流i 中含有尽可大的基波分量，Z 应 是 C 元件。 A ．电阻； B ．电感； C ．电容
解：由图12—3可见，此电路对基波的阻抗为 j 45j545520j 1 j j 1 j -?++=ω+ωω?ω++=Z C L C L Z R Z i =8 45 j 20++Z 欲使电流i 中含有尽可大的基波分量就是要使i Z 的模最小，因此Z 应为电容。 二、填空题 1．图12—4所示电路处于稳态。已知Ω=50R ，Ω=ω5L ， Ω=ω451 C ，)]3cos(100200[t u s ω+=V ，则电压表的读数为 70.7 V ，电流表的读数为 4 A 。 解：由题目所给的条件可知，L 、C 并联电路对三次谐波谐振，L 对直流相当于短路。 因此，电压表的读数为 7.702 100=V ，而电流表的读数为 450 200 =A 。 2． 图12—5所示电路中，当)cos(2200?+ω=t u V 时，测得10=I A ；当 )]3cos(2)cos(2[2211?+ω+?+ω=t U t U u V 时，测得200=U V ，6=I A 。则83.1051=U V ，71.1692=U V 。 解：由题意得 2010200==ωL ， 22 221200=+U U 及22 22 163=?? ? ??ω+??? ??ωL U L U
第八章 非正弦周期电流电路习题解答 8-1解：直流分量单独作用时，将电容开路，电源u(t)短路，其余保留。 交流分量单独作用时，将电源Ｕ短路，其余保留。 8-2解：电流表达式为24sin i t A ω=+ 在直流分量(0)2I A =作用下，电感看作短路，电源电压(0)22040U V =?=； 在基波分量(1)()4sin I t t A ω= 作用下，(1)0(2030)10256.3U j V =+=∠ 电源电压表达式为()4056.3)u t t V ω=++ 平均功率402102cos56.3240P W =?= 无功功率102sin 56.3240Q Var == 视在功率2242379.5.2S V A =+= 8-3解：（1）在电压的直流分量(0)10U V =单独作用下，电容看作开路，电路中无电流， 即 (0)0I A = 在一次谐波下，(1)()80sin(60)u t t V ω=+单独作用下： (1)(1)(1)8060 4.7129.46218 U I A Z j j ∠===∠+- 在三次谐波(3)()18sin3u t t V ω=单独作用下： (3)(3)(3)180 30666 U I A Z j j ∠===∠+- 电路中的电流为() 4.7sin(129.4)3sin3t i t t A ωω=+ + 其有效值为 3.94I A == （2）电源输出的功率为： 1180 4.7cos(60129.4)183cos 09322 P W =??-+??=
8-4解：（1）一次谐波电压、电流是(1)(1)()100sin314()10sin314u t t V i t t A ==；，它们 同相位，即：(1)(1)L C X X = 100010 100 R ∠==Ω∠ 有： 1 314(1)314L C = 三次谐波时，22215010(942)()(2)942 1.755L C +-= 联立求解（1）、（2）两式，可得31.9318.4L mH C F μ==， （2）(3)1109421030 3.3328.569.5942Z j L j j j C =+-=+-=∠Ω 即 3069.599.5θθ--==-， （3）电路消耗的功率 1110010cos 050 1.755cos 69.5515.422 P W =??+??= 8-5解：电流()S i t 的直流分量(0)2S I A =单独作用时，电容开路，即L 、C 串联支路为开路。 (0)(0)2R S I I A == 一次谐波(1)()10sin S i t t A ω=单独作用时 531010 100L ω-=?=Ω 5611100100.110 C ω-==Ω?? L 、C 串联支路谐振相当于短路 (1)0R I A = 二次谐波(2)()3sin 2S i t t A ω=单独作用时 2200L ω=Ω 1502C ω=Ω L 、C 串联支路的复阻抗为150j Ω (2)15030 1.853.1200150 R j I A j =∠?=∠+ 即 ()2 1.8sin(253.1)R t i t A ω=++ 其有效值为 2.37R I A ==
正选交流电路+三相交流电知识点整理（1） 1、正选交流电与直流电的区别 所谓正弦交流电路，是指含有正弦电源(激励)而且电路各部分所产生的电压和电流(响应)均按正弦规律变化的电路。交流发电机中所产生的电动势和正弦信号发生器所输出的信号电压，都是随时间按正弦规律变化的。它们是常用的正弦电源。在生产上和日常生活中所用的交流电，一般都是指正弦交流电。因此，正弦交流电路是电工学中很重要的一个部分。 直流电路：除在换路瞬间，其中的电流和电压的大小与方向(或电压的极性)是不随时间而变化的，如下图所示： 正选交流电：正弦电压和电流是按照正弦规律周期性变化的，其波形如下图所示。正弦电压和电流的方向是周期性变化的。 正弦量：正弦电压和电流等物理量。正弦量的特征表现在变化的快慢、大小及初始值三个方面，而它们分别由频率(或周期)、幅值(或有效值)和初相位来确定。所以频率、幅值和初相位就称为确定正弦量的三要素。 2、周期T与频率f 周期T：正弦量变化一次所需的时间。单位：秒（s） 频率f：每秒内变化的次数。单位：赫兹（Hz） 两者关系：频率是周期的倒数 f=1/T
高频炉的频率是200- 300kHz；中频炉的频率是500-8000Hz；高速电动机的频率是150 -2000Hz; 通常收音机中波段的频率是530-1600kHz ，短波段是2.3-23MHz；移动通信的频率是900MHz和1800MHz; 在元线通信中使用的频率可高 300 GHz。 正弦量变化的其他表达方式：角频率 正弦量变化的快慢除用周期和频率表示外，还可用角频率ω来表示。因为一周期内 经历了 2π弧度(图 4.1.3) ，所以角频率为： 上式表示 T，f,ω三者之间的关系，只要知道其中之一，则其余均可求出。 3、幅值与有效值 正弦量在任一瞬间的值称为瞬时值，用小写字母来表示，如 i ， U 及 e 分别表示电流、电压及电动势的瞬时值。瞬时值中最大的值称为幅值或最大值，用带下标 m 的大写字母来表示，如Im， Um 及 Em 分别表示电流、电压及电动势的幅值。 正弦电流的数学表达式： i= I msinωt u = Umsinwt 正弦电流、电压和电动势的大小往往不是用它们的幅值，而是常用有效值(均方根值)来计量的。 参考资料：有效值是从电流的热效应来规定的，因为在电工技术中，电流常表现出其热效应。不论是周期性变化的电流还是直流，只要它们在相等的时间内通过同一电阻而两者的热效应相等，就把它们的安[培]值看作是相等的。就是说，某-个周期电流 i 通过电阻 R (譬如电阻炉)在一个周期内产生的热量，和另一个直流 I 通过同样大小的电阻在相等的时间内产生的热量相等，那么这个周期性变化的电流 i 的有效值在数值上就等于这个直流 I。 周期内电流的有效值:
非正弦周期电流电路及电路频率特性 4.5 三相电路的功率 4.5 三相电路的功率例题3 第5章电路的频率特性非正弦周期交流电路非正弦周期交流电路非正弦周期交流电路 5.1 非正弦周期交流电路的分析和计算 1. 非正弦周期信号 1. 非正弦周期信号 1. 非正弦周期信号 2. 非正弦周期电流电路分析 2. 非正弦周期电流电路分析 2. 非正弦周期电流电路分析 2. 非正弦周期电流电路分析2. 非正弦周期电流电路分析 3. 非正弦周期量的有效值 3. 非正弦周期量的有效值 3. 非正弦周期量的有效值 4. 非正弦周期电流电路的平均功率 4. 非正弦周期电流电路的平均功率 4. 非正弦周期电流电路的平均功率 4. 非正弦周期电流电路的平均功率 4. 非正弦周期电流电路的平均功率 4. 非正弦周期电流电路的平均功率习题 5.2 RC串联电路的频率特性 5.2 RC串联电路的频率特性 5.2 RC 串联电路的频率特性 5.2 RC串联电路的频率特性 5.3 RC串/并联电路的频率特性 5.3 RC串/并联电路的频率特性 5.3 RC串/并联电路的频率特性谐振的概念串联谐振特点串联谐振特点串联谐振特点串联谐振特点串联谐振特点串联谐振特点串联谐振特点串联电路频率特性阻抗的幅频特性阻抗的相频特性电流的幅频特性电流的幅频特性电流抑制比谐振通用曲线谐振通用曲线5.5 LC并联电路的频率特性例题1 例题2 例题3 例题3 例题3 例题3 例题3 例题4 R + _ + _ . . + _ . . 网络函数：响应相量激励相量―幅频特性―相频特性 R + _ + _ . . + _ . . 0 ω1/RC 相频特性 RC低通滤波器：带宽：截止角频率幅频特性 0 ω
非正弦周期电路的研究 一、 实验目的： 1、 充分理解非正弦周期电路的谐波分析法，了解非正弦周期函数的傅里叶分析法。 2、 熟练掌握非正弦周期电流电路的计算。 二、 实验原理： 在实际问题中，电路中可能会产生非正弦量，即电路中的电压和电流随时间作非正弦周期性变化，它可能由以下原因导致：电路中有两个以上不同频率的正弦电源同时作用；电路中含有二极管等非线性元件；电路输入的信号不是正弦信号。 利用数学手段可以将工程中常遇到的非正弦周期信号分解成无限多个不同频率的正弦波，设()f t 为一满足狄里赫利条件的非正弦周期信号，其周期为T ，角频率为2T πω=，则()f t 的傅里叶级数展开式的一般形式为： 上式还和合并为：()01cos()km k k f t A A k t ω?∞==++∑ 式中：0A ——()f t 的直流分量或恒定分量，也称零次谐波。 11cos()m A t ω?+——频率和()f t 相同，称为基波或一次谐波。 cos()km k A k t ω?+——频率为基波频率的k 倍，称为k 次谐波。
反之同理，我们可以利用几个不同频率（频率之间为倍数关系）的电源制造一个非正弦周期性信号。 在对非正弦周期电路进行分析时和利用电路的叠加原理，即逐个分析电路信号的各次谐波，最后再将各次谐波信号合成，这样就把非正弦电路分解成了多个正弦电路分析。 合成时，非正弦周期电流i 的有效值为： 同理，22222 0123...k U U U U U U =+++++ （1）如下右图所示电路，计算电源电压及干路上电流的有效值，设输入电源为：()()100sin31440cos62810sin 94220s u t t t t =-++ (2)如下右图所示电路 已知输入电压13cos cos3i m m u U t U tV ωω=+，100rad s ω=，1L H =，输出R 上的电压，若要使输出01cos m u U t ω=，则12,C C 应如何取值？ 输出无三次谐波，可知1 ,L C 对三次谐波发生并联谐振，即 解得：111.1C F μ= 同时，输出电压为输入电压 的一次谐波，可知12,,L C C 的串并联电路对于一次谐波发生串联谐振，即：
第2章 正弦交流电路 判断题 正弦交流电的基本概念 1．若电路的电压为)30sin(?+=t U u m ω，电流为)45sin(?-=t I i m ω， 则u 超前i 的相位角为75°。 [ ] 答案:V 2．如有电流t i 100sin 261=Ａ，)90100sin(282?+=t i Ａ，则电流相量分别是 ?=0/61I &Ａ，?=90/82I &Ａ。所以二者的电流相量和为：2 1I I I &&&+= [ ] 答案:V 3．若电路的电压为u ＝I m sin(ωt+30°)，电流为i =I m sin(ωt-45°)，则u 超前i 的相位角 为15°。 [ ] 答案:X 4．正弦量的三要素是指其最大值、角频率和相位。 [ ] 答案:X 5．正弦量可以用相量表示，因此可以说，相量等于正弦量。 [ ] 答案:X 6．任何交流电流的最大值都是有效值的2倍。 [ ] 答案:X 7．正弦电路中，相量不仅表示正弦量，而且等于正弦量。 [ ] 答案:X 正弦量的相量表示法 1．如有电流t i 100sin 261=Ａ，)90200sin(282?+=t i Ａ，则电流相量分别是 ?=0/61I &Ａ，?=90/82I &Ａ。所以二者的电流相量和为：2 1I I I &&&+= 。[ ] 答案:X 单一参数的正弦交流电路 1．电容元件的容抗是电容电压与电流的瞬时值之比。 [ ] 答案:X
2．在电感元件的电路中，电压相位超前于电流90o，所以电路中总是先有电压后有电流。[ ] 答案:X 3．电感元件的感抗是电感电压与电流的瞬时值之比。[ ] 答案:X 4．电感元件的感抗是电感电压与电流的有效值之比。[ ] 答案:V 5．直流电路中，电容元件的容抗为零，相当于短路。[ ] 答案:X 6．直流电路中，电感元件的感抗为无限大，相当于开路。[ ] 答案:X 7．直流电路中，电容元件的容抗为无限大，相当于开路。[ ] 答案:V 8．直流电路中，电感元件的感抗为零，相当于短路。[ ] 答案:V 9．在Ｒ、Ｌ、Ｃ串联电路中，当X L＞X C时电路呈电容性，则电流与电压同相。[ ]答案:X 10．电感元件电压相位超前于电流π/2 (rad)，所以电路中总是先有电压后有电流。[ ]答案:X 11．正弦交流电路中，电源频率越高，电路中的感抗越大，而电路中的容抗越小。[ ] 答案:V 12．正弦电流通过电感或电容元件时，当电流为零时，则电压的绝对值为最大，当电流为最大值时，则电压为零。[ ] 答案:V 13．正弦电流通过电感或电容元件时，当电流为零时，则电压的绝对值为最小。[ ]答案:X 14．电容元件的容抗是电容电压与电流的瞬时值之比。[ ] 答案:X 15．电容元件的容抗是电容电压与电流的有效值之比。[ ] 答案:V 16．单一电感元件的正弦交流电路中，消耗的有功功率比较小。[ ] 答案:X 17．电容元件的交流电路中，电压比电流超前90°。[ ] 答案:X 18．电容元件的交流电路中，电流比电压超前90°。[ ] 答案:V 19．电感元件的有功功率为零。[ ] 答案:V 20．电容元件的有功功率为零。[ ] 答案:V 21．电压、电流的相量式，既能反映电压与电流间的大小关系，又能反映相互间的相位关系。[ ]
第十二章电路定理 一、教学基本要求 1、了解周期函数分解为傅里叶级数的方法和信号频谱的概念。 2、理解周期量的有效值、平均值的概念，掌握周期量有效值的计算方法。 3、掌握非正弦周期电流电路的谐波分析法和平均功率的计算，了解滤波器 的概念。 二、教学重点与难点 教学重点： 1、非正弦周期电流电路的电流、电压的有效值、平均值； 2、非正弦周期电流电路的平均功率 3、非正弦周期电流电路的计算方法 叠加定理、戴维宁定理和诺顿定理。 教学难点： 1、叠加定理在非正弦周期电流电路中的应用 2、非正弦周期电流电路功率的计算 三、本章与其它章节的联系： 本章主要讨论非正弦周期电流、电压信号的作用下，线性电路的稳态分析和计算方法。非正弦周期信号可以分解为直流量和一系列不同频率正弦量之和，每一信号单独作用下的响应，与直流电路及交流电路的求解方法相同，再应用叠加定理求解，是前面内容的综合。 四、学时安排总学时：4 五、教学内容 §12.1 非正弦周期信号 生产实际中不完全是正弦电路，经常会遇到非正弦周期电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。 非正弦周期交流信号的特点： 1) 不是正弦波
2) 按周期规律变化，满足：（k=0，1，2…..） 式中T 为周期。图 12.1 为一些典型的非正弦周期信号。 （a）半波整流波形（b）锯齿波（c）方波 图12.1 本章主要讨论非正弦周期电流、电压信号的作用下，线性电路的稳态分析和计算方法。采用谐波分析法，实质上就是通过应用数学中傅里叶级数展开方法，将非正弦周期信号分解为一系列不同频率的正弦量之和，再根据线性电路的叠加定理，分别计算在各个正弦量单独作用下电路中产生的同频率正弦电流分量和电压分量，最后，把所得分量按时域形式叠加得到电路在非正弦周期激励下的稳态电流和电压。 §12.2周期函数分解为付里叶级数 电工技术中所遇到的非正弦周期电流、电压信号多能满足展开成傅里叶级数的条件，因而能分解成如下傅里叶级数形式： 也可表示成： 以上两种表示式中系数之间关系为： 上述系数可按下列公式计算：
第十二章(非正弦周期电流电路)习题解答 一、选择题 1． 在图12—1所示电路中，已知)]cos(2512[1t u s ω+=V ， )240cos(2502+ω=t u s V 。设电压表指示有效值，则电压表的读数为 B V 。 A ．12； B ．13； Ｃ． 解：设u 如图12—1所示，根据KVL 得 )240cos(25)cos(2512021+ω+ω+=+=t t u u u s s } 即 )120cos(25)cos(25120 -ω+ω+=t t u =)60cos(25120 -ω+t 根据 2 )1(2 )0(U U U += 得1351222=+=U A 2．在图12—2所示的电路中，已知)100cos(2t u s = V ， )]60100cos(243[0-+=t i s A ，则s u 发出的平均功率为 A W 。 A ．2； B ．4； C ．5 解：由平均功率的计算公式得 ~ )600cos(0 )1()1()0()0(++=I U I U P =2)60cos(41300 =?+?W 3．欲测一周期性非正弦量的有效值，应用 A 仪表。 A ．电磁系； B ．整流系； C ．磁电系 4．在图12—3所示的电路中，Ω=20R ，Ω=ω5L ， Ω=ω451 C ， )]3cos(100)cos(276100[t t u s ω+ω+=V ，现欲使电流i 中含有尽可大的基波分量，Z 应 是 C 元件。 A ．电阻； B ．电感； C ．电容
解：由图12—3可见，此电路对基波的阻抗为~ j45 j5 45 5 20 j 1 j j 1 j - ? + + = ω + ω ω ? ω + + =Z C L C L Z R Z i = 8 45 j 20+ +Z 欲使电流i中含有尽可大的基波分量就是要使i Z的模最小，因此Z应为电容。 二、填空题 1．图12—4所示电路处于稳态。已知Ω =50 R，Ω = ω5 L，Ω = ω 45 1 C ， )] 3 cos( 100 200 [t u s ω + =V，则电压表的读数为V，电流表的读数为4 A 。 解：由题目所给的条件可知，L、C并联电路对三次谐波谐振，L对直流相当于短路。因此，电压表的读数为7. 70 2 100 =V，而电流表的读数为4 50 200 =A。 2．图12—5所示电路中，当) cos( 2 200? + ω =t u V时，测得10 = I A；当 )] 3 cos( 2 ) cos( 2 [ 2 2 1 1 ? + ω + ? + ω =t U t U u V时，测得200 = U V，6 = I A。则 83 . 105 1 = U V，71 . 169 2 = U V。 ； 解：由题意得
非正弦交流电有效值的计算 交变电流的大小和方向随时间作周期性变化。为方便研究交变电流的特性，根据电流的热效应引入了有效值这一物理量。 定义：若某一交流电与另一直流电在相同时间内通过同一电阻产生相等的热量，则这一直流电的电压、电流的数值分别是该交流电的电压、电流的有效值。 教材中给出了正弦交流电的有效值I 与最大值I m 的关系I I m =2 ，那么非正弦交流电的有 效值又该如何求解呢？其方法是从定义出发，根据热效应求解。 例1. 如图1所示的交变电流，周期为T ，试计算其有效值I 。 图1 分析：由图1可知，该交变电流在每个周期T 内都可看作两个阶段的直流电流：前 T 3 中，I A 16=，后 23 T 中，I A 23=。在一个周期中，该交变电流在电阻R 上产生的热量为： Q I R T I R T =?+?12 22 323 =? +?=?63323 1822R T R T R T ① 设该交变电流的有效值为I ，则上述热量 Q I R T =??2 ② 联立①、②两式，可得有效值为I A =32 例2. 如图2所示表示一交变电流随时间变化的图象，其中，从t ＝0开始的每个 T 2 时间内
的图象均为半个周期的正弦曲线。求此交变电流的有效值。 图2 分析：此题所给交变电流虽然正负半周的最大值不同，但在任意一个周期内，前半周期和后半周期的有效值是可以求的，分别为 I A I A 122242 = =， 设所求交变电流的有效值为I ，根据有效值的定义，选择一个周期的时间，利用在相同时间 内通过相同的电阻所产生的热量相等，由焦耳定律得 I RT I R T I R T 212 22 22 =+ 即I 2 22221242 12=?+?( )() 解得I A =5 例3. 求如图3所示的交变电流的有效值，其中每个周期的后半周期的图象为半个周期的正 弦曲线。 图3 分析：从t ＝0开始的任意一个周期内，前半周期是大小不变的直流电，为I A 15=，后半周期是有效值为I A 25 2 = 的交变电流。
CH12 非正弦周期电流电路和信号的频谱 重点掌握有效值、平均值和平均功率的应用，掌握非正弦电流电路的计算方法。 §12-1 非正弦周期函数 教学目的：掌握非正弦周期函数的典型傅里叶级数、有效值、平均值和平均功率。 教学重点：非正弦周期函数的有效值、平均值和平均功率。 教学难点：有效值、平均值和平均功率的计算。 教学方法：课堂讲授 教学过程：课前提问：单相交流电路有功功率、无功功率、视在功率的公式？ 教学内容： 一、非正弦周期函数 1．两种非正弦信号： （1）周期性 （2）非周期性 2．两种非正弦电路 （1）电路元件是线性，激励是非正弦； （2）激励是正弦波，电路元件为非线性。 3．非正弦周期函数激励下线性电路的稳态响应 分析方法：谐波分析法 4．典型周期函数付里叶级数展开式 二、非正弦周期函数的有效值、平均值和平均功率 1．三角函数正交性 2．有效值： （1）周期量有效值的定义：? = T dt t i T I 0 2)]([1 （2）非正弦周期量： 01 ()cos()km k k f t F F k t ω?∞ ==+ +∑ 有效值为：F = = 非正弦周期电流的有效值为：I = = 上式表明，非正弦周期电流的有效值为其直流分量和各次谐波分量有效值的平方和的平
方根。 3．平均值 4．平均功率 如图所示一端口N 的端口电压u (t )和电流i (t )的关联参考方向下，一端口电路吸收的瞬时功率和平均功率为： 1()()*() ()T p t u t i t p p t dt T ==? 图12-1 一端口电路 一端口电路的端口电压u (t )和电流i (t )均为非正弦周期量，其傅里叶级数形式分别为 01 01 ()cos() ()cos() km uk k km ik k u t U U k t i t I I k t ωψωψ∞ =∞ ==++=++∑∑ 在图示关联参考方向下，一端口电路吸收的平均功率 0011()()*()T T P p t dt u t i t dt T T = =?? 将上式进行积分，并利用三角函数的正交性，得 0 1 k k P P P ∞ ==+∑ 上式表明，不同频率的电压与电流只构成瞬时功率，不能构成平均功率，只有同频率的 电压与电流才能构成平均功率；电路的平均功率等于直流分量和各次谐波分量各自产生的平均功率之和，即平均功率守恒。 [例]：教材习题12-5 [解]：略。 §12-2 非正弦周期电流电路分析 教学目的：掌握非正弦周期电流电路的分析方法。 教学重点：非正弦周期电流电路的分析方法。
4.2.1 图4.01所示的是时间t=0时电压和电流的相量图，并已知=220V，=10A，2=5A，试分别用三角函数式及复数式表示各正弦量。 I 1 解（1）复数式 V，A， A （2）三角函数式 u=220，i1 =10，i2 =10 4.2.2 已知正弦量和=-4-j3A，试分别用三角函数式、正弦波形及相量图表示它们。如= 4-j3A，则又如何？ 解（1）三角函数式u=220 当= -4-j3A时，i =5 当= 4-j3A时， （2）正弦波形及相量图（图T4.2.2） 4.3.1 已知通过线圈的电流i=10，线圈的电感L=70mH（电阻忽略 不计），设电源电压u、电流i及感应电动势e L的参考方向如图4.02所示，试分别计算在t =，t =和t =瞬间的电流、电压及电动势的大小，并在电路图上标出它们在该瞬间的实际方向，同时用正弦波表示出三者之间的关系。 解∵i =10
∴u = u，i，e三者的正弦波形见图T4.3.1（a）。 t =时，i =1010 各量的实际方向见图T4.3.1（b）。 t =时，i =1010 ， 各量的实际方向见图T4.3.1（c）。 t=时，i =1010 各量的实际方向见图T4.3.1（d）。 4.3.2 在电容为64F的电容器两端加一正弦电压u=220，设
电压和电流的参考方向如图4.03所示，试计算在t =，t =和t =瞬间的电流和电压的大小。 解i = T=时， i = 3.13 A T=时， i == 0 T=时， i == 有一由，，元件串联的交流电路，已知=10Ω，=H， 4.4.1 =。在电容元件的两端并联一短路开关S。（1）当电源电压为220V的直流电压时，试分别计算在短路开关闭合和断开两种情况下电路中的电流I及各元件上的电压R，L，C。（2）当电源电压为正弦电压u= 时，试分别计算在上述两种情况下电流及各电压的有效值。 解根据题意画出电路图T4.4.1。 （1）电源为220V直流电压，则 开关S断开时：= 0， = L = 0，
第5章 非正弦周期电流电路分析 学习要点 ●了解非正弦周期信号的基本概念 ●了解非正弦周期信号的平均值和有效值的概念及其计算方法 ●了解非正弦周期信号线性电路的分析方法 5.1 非正弦周期信号的谐波分析 5.2 非正弦周期信号的有效值、平均值和平均功率 5.3 非正弦周期电流电路的计算 5.1 非正弦周期信号的谐波分析 5.1.1 非正弦周期信号的产生 作用于电路的电源是非正弦的。 几个不同频率的电源作用于同一电路。 电路中存在非线性元件。 5.1.2 非正弦周期信号的分解 电工和电子技术中非正弦周期信号一般都满足狄里赫利条件，可分解成收敛的三角级数，称为傅里叶级数。 01m 12m 2()sin()sin(2)f t A A t A t ωθωθ=++++ + 0A 直流分量 1m 1sin()A t ωθ+基波 2m 2sin(2)A t ωθ+二次谐波
5.1.3 非正弦周期信号的频谱 幅频谱：用长度与直流分量和各次谐波分量幅值大小相对应的线段按频率的高低依次排列起来得到的图形。 相频谱：把非正弦周期函数各次谐波的初相用相应的线段按频率的高低依次排列起来得到的图形。 幅频谱和相频谱统称为频谱。如无特别说明，一般所说的频谱是专指幅频谱而言的。 5.2 非正弦周期信号的有效值、平均值和平均功率 5.2.1 非正弦周期信号的有效值 如果已经知道非正弦周期信号在一个周期内的表达式，有效值的计算公式为： I = U = 如果已经知道非正弦周期信号的傅里叶级数分解结果，有效值的计算公式为： I ==
U == 5.2.2 非正弦周期信号的平均值 如果已经知道非正弦周期信号在一个周期内的表达式，平均值的计算公式为： 001d T I i t T = ? 001d T U u t T =? 如果已经知道非正弦周期信号的傅里叶级数分解结果，平均值就等于其直流分量。 例：已知非正弦周期电流的波形如图所示，试求其有效值和平均值。 解：本题中给出了非正弦周期电流的波形。由电流波形可以写出其在一个周期内的表达式，为： 所以有效值为：5A I === 电流平均值为：4 4 000 11 d 10d 2.5A T T I i t t T T ===?? 例：已知非正弦周期电流： 120) 50) i t t ωω=+-?++? 试求其有效值和平均值。 解：本题中给定的非正弦周期电流包括直流分量和两个不同频率的正弦量，并且已知各正弦量的有效值，所以其有效值为： 1.16A I === 平均值就等于其直流分量，为： 01A I = 5.2.3 非正弦周期信号的平均功率 如果电压u 和电流i 同频率的非正弦周期量，并且已知电压u 和电流i 的函数表达式，则平均功率为： 00 11d d T T P p t ui t T T ==??
t ω A i /A 2220 3 2πt ωA i /A 203 2π 6 π A 102 i 1 i 第四章 正弦交流电路 [练习与思考] 4-1-1 在某电路中，() A t i 60 314sin 2220-= ⑴指出它的幅值、有效值、周期、频率、角频率及初相位，并画出波形图。 ⑵如果i 的参考方向选的相反，写出它的三角函数式，画出波形图，并问⑴中各项有无改变？ 解：⑴ 幅值 A I m 2220 有效值 A I 220= 频率 314 5022f Hz ωππ === 周期 1 0.02T s f = = 角频率 314/rad s ω= 题解图4.01 初相位 s rad /3 π ψ- = 波形图如题解图4.01所示 (2) 如果i 的参考方向选的相反, 则 A t i ?? ? ?? +=32 314sin 2220π，初相位改变了， s rad /3 2π ψ= 其他项不变。波形图如题解图 4.02所示。 题解图4.02 4-1-2 已知A )120314sin(101 -=t i ，A )30314sin(202 +=t i ⑴它们的相位差等于多少？ ⑵画出1i 和2i 的波形。并在相位上比较1i 和2i 谁超前，谁滞后。 解：⑴ 二者频率相同，它们的相位差 ?-=?-?-=-=150301202 1 i i ψψ? (2)在相位上2i 超前，1i 滞后。波形图如题解图4.03所示。 题解图4.03
+1 +j 1 m I ? 2 m I ? m I ? ?60? 30?1.234-2-1 写出下列正弦电压的相量 V )45(sin 2201 -=t u ω，)V 45314(sin 1002 +=t u 解：V U ?-∠=?4521101 V U ?∠=? 452502 4-2-2 已知正弦电流)A 60(sin 81 +=t i ω和)A 30(sin 62 -=t i ω，试用复数计算电流 21i i i +=，并画出相量图。 解：由题目得到 A j j j j I I I m m m ?∠=+=-++=?-?+?+?=? -∠+?∠=+=? ??1.231093.32.9)32.5()93.64()30sin 630cos 6()60sin 860cos 8(30660821 所以正弦电流为 )A 1.23(sin 101 +=t i ω 题解图4.04 相量图如题解图4.04所示。 4-2-3 指出下列各式的错误。 A I 3010∠=, )V 45sin 100 +=t ( U ω A e I j 3010=， A )20314sin 10 +=t (I 解：A I 3010∠= 应改为 A I ?∠=? 3010 )V 45sin 100 +=t ( U ω 应该为 )V 45sin 100 +=t ( u ω A e I j 30 10= 应该为 A e I j ? ? =3010 A )20314sin 10 +=t (I 应该为 A )20314sin 10 +=t (i 4-3-1 已知H 1=L 的电感接在400Hz/100V 的正弦电源上，u 的初相位为200 ，求电流并画 出电流、电压的相量图。 解：已知 V U ?∠=? 20100
第五章非正弦周期性电流电路§5-2非正弦周期性电流电路的分析
非正弦交流电源激励的线性电路中，电压和电流的分析主要应用叠加原理，可按如下步骤进行计算。 （1）将非正弦周期激励电压或电流，应用傅里叶级数分解为直流分量（或不含有）和各次谐波分量之和。所取的项数多少，应视所要求的准确度而定，一般取前几项就足够准确。 （2）分别计算出直流分量和各次谐波分量单独作用时电路中的电压和电流分量。 首先计算直流分量单独作用时电路中的电压、电流分量：这时电感相当于短路，电容相当于开路。按直流电阻电路分析方法进行计算，求出待求支路中的电压和电流分量。
其次，计算每一谐波分量单独作用时电路中的电压、电流分量，按正弦交流电路分析的相量法进行计算。值得注意的是，电容元件的容抗、电感元件的感抗在不同频率谐波作用下会产生变化，感抗与谐波次数成正比，容抗与谐波频率成反比。如基波频率为ω时，感抗、容抗分别为 L X L ω=C X C ω1=Lk X k L ω=1Ck X k C ω=k 次谐波作用下，感抗、容抗分别为 最后应将分析计算所得的待求支路相量形式的电压和电流分量，变换为时域正弦量的瞬时值表达式。
（3）应用叠加原理将各分量单独作用时所计算的结果进行叠加，便求出线性电路在非正弦周期函数电源激励下所求支路的电压和电流。应该注意的是：叠加时，各分量应以瞬时值表示，而不能用相量形式，因为不同频率正弦量的相量相加是没有意义的。
【例5-3】如图所示的串联电路中 Ω=60R Ω=10L ωΩ=901C ωV t t u )253sin(230)30sin(220040οο-+++=ωω求电路中的电流i 。 解（1）直流分量单独作用时 V U 400=这时电感相当于短路，电容相当于开路，如图(b)所示，此时电流的直流分量为 0=I
第三章 正弦交流电路 一、填空题 1．交流电流是指电流的大小和____ 都随时间作周期变化，且在一个周期内其平均值为零的电流。 2．正弦交流电路是指电路中的电压、电流均随时间按____ 规律变化的电路。 3．正弦交流电的瞬时表达式为e =____________、i =____________。 4．角频率是指交流电在________时间内变化的电角度。 5．正弦交流电的三个基本要素是_____、_____和_____。 6．我国工业及生活中使用的交流电频率____，周期为____。 7． 已知V t t u )270100sin(4)(?+-=，m U = V ，ω= rad/s ，ψ = rad ，T= s ，f= Hz ，T t= 12 时，u(t)= 。 8．已知两个正弦交流电流A )90314sin(310A,)30314sin(100 20 1+=-=t i t i ，则21i i 和的相位差为_____，___超前___。 9．有一正弦交流电流，有效值为20A ，其最大值为____，平均值为____。 10．已知正弦交流电压V )30314sin(100 +=t u ，该电压有效值U=_____。 11．已知正弦交流电流A )60314sin(250 -=t i ，该电流有效值I=_____。 12．已知正弦交流电压() V 60314sin 22200 +=t u ，它的最大值为___，有效值为____， 角频率为____，相位为____，初相位为____。 13．正弦交流电的四种表示方法是相量图、曲线图、_____ 和_____ 。 14．正弦量的相量表示法，就是用复数的模数表示正弦量的_____，用复数的辐角表示正弦量的_______。 15．已知某正弦交流电压V t U u u m )sin(ψω-=，则其相量形式? U =______V 。 16．已知某正弦交流电流相量形式为0 i120e 50=? I A ，则其瞬时表达式i =__________A 。 17．已知Z 1=12+j9， Z 2=12+j16， 则Z 1·Z 2=________，Z 1/Z 2=_________。 18．已知11530Z =∠?，22020Z =∠?，则 Z 1?Z 2=_______，Z 1/Z 2=_________。 19．已知A )60sin(210,A )30sin(250 201+=+=t i t i ωω，由相量图得
第五章非正弦周期电流的电路 一选择题 1．周期电流周期电压的有效值等于它们的（）。 Ａ、最大值Ｂ、最小值Ｃ、方均根值 2．非正弦周期量的有效值等于它的各次谐波（）。 Ａ.平方和的平方根Ｂ.有效值平方和的平方根 Ｃ.最大值平方和的平方根 3．非正弦周期量的有效值与各项谐波的初相（）。 Ａ.有关Ｂ.无关Ｃ.关系不确定 4．非正弦周期量的有效值（）它的各次谐波有效值的和（）。 Ａ.等于Ｂ.大于Ｃ.小于 5．一般定义周期量的平均值为它的（）的平均值。 Ａ、瞬时值Ｂ、有效值Ｃ、绝对值 是（）。6．一周期内的值有正有负的周期量的平均值Ｉav与其直流分量I 0 Ａ.不同的Ｂ.相同的Ｃ.无关的 7．整个周期内部为正值的周期量的平均值Ｉav与其直流分量I 是（）。 0Ａ.不同的Ｂ.相同的Ｃ.不一定相同 8．波形因数等于周期量的有效值与（）的比值。 Ａ.最大值Ｂ.平均值Ｃ.最小值 9．正弦量的平均值为（）。 Ａ.Ｉm/2；Ｂ.1.11 ；Ｃ.2Ｉm/π D. Ｉm/3 10．正弦量的波形因数为（）。 Ａ.Ｉm/√2 ；Ｂ.1.11；Ｃ. 2Ｉm/π 11．在非正弦周期性电路中, 计算直流分量单独作用下的响应时电感元件等于（）。 Ａ、短路Ｂ、开路Ｃ、非零电阻 12．在非正弦周期性电路中,计算直流分量单独作用下的响应电容元件等于（）。 Ａ、短路Ｂ、开路Ｃ、有限大电阻
13．在非正弦周期性电路中,计算除零次谐波外各次谐波的响应，电感元件电容 元件对不同频率谐波的感抗、容抗（） Ａ、相同Ｂ、不同Ｃ、都等于基波感抗、容抗 14．如基波角频率为ω，电感Ｌ对基波复阻抗Ｚ L1 ＝（）。 Ａ、ωＬＢ、ｊωＬＣ、1/ωL 15．如基波角频率为ω，电感Ｌ对Ｋ次谐波复阻抗Ｚ Lk ＝（）。 Ａ、KωL Ｂ、1/KωL Ｃ、jKωL 16．如基波角频率为ω，电容Ｃ对基波复阻抗为Ｚc1＝（）。 Ａ、ｊωｃＢ、1/ωC Ｃ、1/jωC 17．如基波角频率为ω，电容Ｃ对Ｋ次谐波复阻抗Ｚck＝（）。 Ａ、1/KjωC Ｂ、jKωC Ｃ、1/KωC 18．非正弦周期性电路的总响应的解析式应从（）得到。 Ａ、各次响应解析式相加Ｂ、各次响应相量相加得总响应相量 Ｃ、各次向应的有效值相加、初相位相加。 19．非正弦周期性电流电路中，不同次谐波电压电流可以构成（）。 Ａ. 瞬时功率Ｂ.平均功率Ｃ.视在功率 20．非正弦周期性电流电路中，第Ｋ次谐波电压电流构成的平均功率为（）。 Ａ.ｕ k ｉ k Ｂ.U k I k ｃｏｓφ k Ｃ.Ｕ k Ｉ k 21．非正弦周期性电流电路中，电路的功率等于各次谐波（）。 Ａ.功率的和Ｂ.功率和的平方Ｃ.功率的平方和 22．非正弦周期性电流电路中，直流分量的功率（）。 Ａ.ＵoＩo/2；Ｂ. ＵoＩo/3；Ｃ. ＵｏＩｏ D. ＵoＩo/2 23．对称三相非正弦周期量的一次七次十三次等谐波都是一组（）。 Ａ.正序对称量Ｂ.负序对称量Ｃ.零序对称量 24．对称三相非正弦周期量的三次九次十五次等谐波都是一组（）。 Ａ.正序对称量Ｂ.负序对称量Ｃ.零序对称量 25．对称三相非正弦周期量的五次十一次十七次等谐波都是一组（）。 Ａ.正序对称量Ｂ.负序对称量Ｃ.零序对称量 26．在对称非正弦三相电路中，不论三相电源或负载作Ｙ联接还是△联接，其线