二次根式小结与复习
【主要内容】本单元是在学习了平方根和算术平方根的意义的基础上，引入一个符号“”．主要内容有：（ 1）二次根式的有关概念，如：二次根式定义、最简二次根式、?同类二次根式等；（ 2）二次根式的性质；（3）二次根式的运算，如：二次根式的乘除法、二次根式的加减法等．
【要点归纳】
1. 二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，
才有意义．
2.二次根式的性质：
①
②
③
④
3.二次根式的运算
二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加
减．（ 1）二次根式的加减：
需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方
数不变。
注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次
根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．
（2）二次根式的乘法：
（3）二次根式的除法：
注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还
要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．
（4）二次根式的混合运算：
先乘方（或开方），再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运
算的，可适当改变运算顺序进行简便运算．
注意：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运
算过程简便．二次根式运算结果应尽可能化简．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成
带分数．例如不能写成．
【难点指导】
1、如果是二次根式，则一定有；当时，必有；
2、当时，表示的算术平方根，因此有；反过来，也可以将一个非负数写成的形式；
3、表示的算术平方根，因此有，可以是任意实数；
4、区别和的不同：
中的可以取任意实数，中的只能是一个非负数，否则无意义．
5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径：
（ 1）因式的内移：因式内移时，若，则将负号留在根号外．即：．
（ 2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即：
6、二次根式的比较：
（ 1）若，则有；（2）若，则有．
说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小．
二次根式强化训练与复习巩固自测试题
1．化简：______；_________．
2 ．当______时，．
3 ．等式成立的条件是 ______．
4 ．当，化简_______．
5．比较与的大小： _______．
6．分母有理化：
（ 1）__________；（ 2）__________；（ 3）__________．
7．已知，，，那么________．
8．计算_________．
9．如果，那么的值为___________．
10．若有意义，则的取值范围是___________．
1．下式中不是二次根式的为（）
A ．；
B ．；C．； D ．
2．计算得（）
3．若，则化简等于（）4．化简的结果是（）
5．计算的结果是（）
6．化简的结果是（）
7．把式子中根号外的移到根号内，得（）
A ．B．C． D ．
8．等式成立的条件是（）
9．的值为（）
10．若代数式有意义，则的取值范围是（）
（1）（2）（3）（4）
（5）（6）（7）（8）
（9）（10）
求值题：
1．已知：，求的值．
2．已知，求的值。
3．已知：，求的值．
4．求的值．
5．已知、是实数，且，求的值．
五、解答题：（每小题 4分，共16分）
1．解方程：
2．在△ ABC 中，三边分别为，且满足，，试探求△ ABC 的形状．
3．有一种房梁的截面积是一个矩形，?且矩形的长与宽之比为：1，现用直径为3cm 的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房梁的最大截面积是多少？