高中解析几何专题(精编版)
1. (天津文)设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为F 1,F 2。点(,)
P a b 满足212||||.PF F F =
(Ⅰ)求椭圆的离心率e ;
(Ⅱ)设直线PF 2与椭圆相交于A ,B 两点,若直线PF 2与
圆
22(1)(16x y ++-=相交于M ,N 两点,且5
||||8
MN AB =,求椭圆的
方程。
【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距
离公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想,考查解决问题能力与运算能力,满分13分。
(Ⅰ)解:设12(,0),(,0)(0)F c F c c ->,因为212||||PF F F =,
2c =,整理得2
210,1c c c a a
a ??
+-==- ???得(舍)
或11
,.22
c e a ==所以
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知2,a c b ==,可得椭圆方程为2223412x y c +=,直
线FF 2
的方程为).y x c =-
A ,
B 两点的坐标满足方程
组2223412,
).
x y c y x c ?+=??=-??消去y 并整理,得
2580x cx -=。解得1280,5x x c ==
,得方程组的解21128,0,5,.
x c x y y ?=?=???
??
=???=??
不妨设8,55A c c ??
? ???
,
(0,)B ,
所以16||.5AB c == 于是5
||||2.8
MN AB c ==
圆心(-到直线PF 2
的距离|||2|
.22
c d +=
= 因为2
2
2
||42MN d ??+= ???
,所以223(2)16.4c c ++=
整理得2712520c c +-=,得26
7
c =-(舍),或 2.c =
所以椭圆方程为22
1.1612x y +
= 2. 已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b
+=>>
右焦点为
(),斜率
为I 的直线l 与椭圆G 交与A 、B 两点,以AB 为底边作等腰三角形,顶点为P (-3,2).
(I )求椭圆G 的方程; (II )求PAB ?的面积. 【解析】
解:
(Ⅰ)由已知得c c a ==
解得a =
又222 4.b a c =-=
所以椭圆G 的方程为22
1.124
x y +
= (Ⅱ)设直线l 的方程为.m x y += 由???
??=+
+=14
1222y x m x y 得
.01236422=-++m mx x
设A 、B 的坐标分别为),)(,(),,(212211x x y x y x 则,4 32210m x x x -=+= 4 00m m x y =+= 因为AB 是等腰△PAB 的底边, 所以PE ⊥AB. 所以PE 的斜率.14 3342-=+ -- = m m k 解得m=2。 此时方程①为.01242=+x x 解得.0,321=-=x x 所以.2,121=-=y y 所以|AB|=23. 此时,点P (—3,2)到直线AB :02=+-y x 的距离,2 2 32 | 223|= +--=d 所以△PAB 的面积S= .2 9||21=?d AB 3. (全国大纲文)已知O 为坐标原点,F 为椭圆2 2 :12 y C x +=在y 轴正半轴上的焦点,过F 且斜率为-2的直线l 与C 交与A 、B 两点,点P 满足0.OA OB OP ++=u u u r u u u r u u u r (Ⅰ)证明:点P 在C 上; (II )设点P 关于O 的对称点为Q ,证明:A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上。 【解析】22.解:(I )F (0,1),l 的方程为21y x =-+, 代入2 2 1y x +=并化简得 242210.x x --= …………2分 设112233(,),(,),(,),A x y B x y P x y 则122626 ,44x x = = 1212122 2()21,x x y y x x +=+=++= 由题意得3123122 ()() 1.x x x y y y =-+==-+=- 所以点P 的坐标为2 (1).2 -- 经验证,点P 的坐标为2 (1)-满足方程 22 1,2 y x +=故点P 在椭圆C 上。 (II )由2(1)P -和题设知, 2Q PQ 的垂直一部分线1l 的方程为 2.y x = ① 设AB 的中点为M ,则21 ( )42 M ,AB 的垂直平分线为2l 的方程为 21.24 y x = + ② 由①、②得12,l l 的交点为21 (,)88 N - 21 || 8 |||| || || || 8 NP AB x x AM MN NA == =-= = == == 故|NP|=|NA|。 又|NP|=|NQ|,|NA|=|NB|, 所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|, 由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心,NA为半径的圆上。 4. (全国新文)在平面直角坐标系xOy中,曲线261 y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C上. (I)求圆C的方程; (II)若圆C与直线0 x y a -+=交于A,B两点,且, OA OB ⊥求a的值.【解析】解:(Ⅰ)曲线1 6 2+ - =x x y与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为(). 0,2 2 3( ), 0,2 2 3- + 故可设C的圆心为(3,t),则有, )2 2( )1 ( 32 2 2 2t t+ = - +解得t=1. 则圆C的半径为.3 )1 ( 32 2= - +t 所以圆C的方程为.9 )1 ( )3 (2 2= - + -y x (Ⅱ)设A( 1 1 ,y x),B( 2 2 ,y x),其坐标满足方程组: ?? ? ? ? = - + - = + - .9 )1 ( )3 ( ,0 2 2y x a y x 消去y,得到方程 .0 1 2 )8 2( 22 2= + - + - +a a x a x 由已知可得,判别式.0 4 16 562> - - = ?a a 因此,, 4 4 16 56 ) 2 8(2 2,1 a a a x - - ± - =从而 2 1 2 , 4 2 2 1 2 1 + - = - = + a a x x a x x① 由于OA⊥OB,可得,0 2 1 2 1 = +y y x x 又, , 2 2 1 1 a x y a x y+ = + =所以 .0 ) ( 22 2 1 2 1 = + + +a x x a x x② 由①,②得1 - = a,满足,0 > ?故.1 - = a 5. (辽宁文)如图,已知椭圆C1的中心在原点O,长轴左、右端点M,N在x轴上,椭圆C2的短轴为MN,且C1,C2的离心率都为e,直线l⊥MN,l与C1交于两 点,与C2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.(I)设 1 2 e=,求BC与AD的比值; (II)当e变化时,是否存在直线l,使得BO∥AN,并说明理由. 【解析】解:(I)因为C 1 ,C 2 的离心率相同,故依题意可设 22222 12 2242 :1,:1,(0) x y b y x C C a b a b a a +=+=>> 设直线:(||) l x t t a =<,分别与C1,C2的方程联立,求得 2222 (),(). a b A t a t B t a t b a --………………4分 当 13 ,,, 2A B e b y y == 时分别用表示A,B的纵坐标,可知 2 2 2||3 ||:||. 2||4 B A y b BC AD y a ===………………6分 (II)t=0时的l不符合题意.0 t≠时,BO//AN当且仅当BO的斜率k BO与AN 的斜率k AN相等,即 2222 , b a a t a t a b t t a -- = - 解得 22 222 1 . ab e t a a b e - =-=-? - 因为 2 2 12 ||,01,1, 1. 2 e t a e e e - <<<<<< 又所以解得 所以当 2 0e <≤时,不存在直线l,使得BO//AN; 当 2 1 2 e <<时,存在直线l使得BO//AN. ………………12分 6. (江西文)已知过抛物线() y px p =2>0的焦点,斜率为22 于(,) A x y 11 和(,)() B x y x x 2212 <两点,且AB=9, (1)求该抛物线的方程; (2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若λ + =,求λ的值.【解析】19.(本小题满分12分) (1)直线AB 的方程是22()2 p y x =-, 与22y px =联立,从而有22450,x px p -+= 所以:1254 p x x += 由抛物线定义得:12||9,AB x x p =++= 所以p=4,从而抛物线方程是28.y x = (2)由224,450p x px p =-+=可简化为 212540,1,4,x x x x -+===从而 1222,42,y y =-= 从而(1,22),(4,42)A B - 设33(,)(122)(4,42)(41,4222)OC x y λλλ==-+=+-u u u r 又22338,[22(21)]8(41),y x λλ=-=+即 即2(21)41λλ-=+ 解得0, 2.λλ==或 7. (山东文)22.(本小题满分14分) 在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆2 2:13 x C y +=.如图所示,斜率为 (0)k k >且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,线段AB 的中点为E ,射线OE 交椭圆C 于点G ,交直线3x =-于点(3,)D m -. (Ⅰ)求22m k +的最小值; (Ⅱ)若2 OG OD =?OE , (i )求证:直线l 过定点; (ii )试问点B ,G 能否关于x 轴对称? 若能,求出此时ABG V 的外接圆方程;若不能,请说明理由. 【解析】22.(I )解:设直线(0)l y kx t k =+>的方程为, 由题意,0.t > 由方程组22 ,1,3 y kx t x y =+?? ?+=??得 222(31)6330k x ktx t +++-=, 由题意0?>, 所以2231.k t +> 设1122(,),(,)A x y B x y , 由韦达定理得1226,31kt x x k +=-+所以1222.31 t y y k +=+ 由于E 为线段AB 的中点,因此223,,3131 E E kt t x y k k ==++ 此时1.3E OE E y k x k = =-所以OE 所在直线方程为1,3y x k =- 又由题设知D (-3,m ),令x=-3,得1 m k =,即mk=1, 所以2222,m k mk +≥=当且仅当m=k=1时上式等号成立, 此时 由0?>得02,t <<因此 当102m k t ==<<且时, 22m k +取最小值2。 (II )(i )由(I )知OD 所在直线的方程为1 ,3y x k =- 将其代入椭圆C 的方程,并由0,k > 解得(G ,又2231 (,),(3,)3131k t E D k k k --++, 由距离公式及0t >得 2222 2291||(, 31||||31 k OG k OD k OE k +=+=+====+ 由2||||||,OG OD OE t k =?=得 因此,直线l 的方程为(1).y k x =+ 所以,直线(1,0).l -恒过定点 (ii )由(i )得(G 若B ,G 关于x 轴对称, 则(B 代入2(1)31y k x k =+-=整理得 即426710k k -+=, 解得21 6 k =(舍去)或21,k = 所以k=1, 此时3131 (,),(,)2222 B G ---关于x 轴对称。 又由(I )得110,1,x y ==所以A (0,1)。 由于ABG ?的外接圆的圆心在x 轴上,可设ABG ?的外接圆的圆心为(d ,0), 因此22311 1(),,242 d d d +=++=-解得 故ABG ? 的外接圆的半径为2 r == 所以ABG ?的外接圆方程为2215 ().24 x y ++= 8. (陕西文)17.(本小题满分12分) 设椭圆C: ()222210x y a b a b +=>>过点(0,4),离心率为3 5 (Ⅰ)求C 的方程; (Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为4 5 的直线被C 所截线段的中点坐标。 【解析】17.解(Ⅰ)将(0,4)代入C 的方程得216 1b = ∴b=4 又3 5 c e a == 得222 925a b a -= 即2169125 a -=, ∴a=5 ∴C 的方程为22 12516 x y + = ( Ⅱ)过点()3,0且斜率为45的直线方程为()4 35 y x =-, 设直线与C的交点为A()11,x y ,B()22,x y , 将直线方程()4 35 y x = -代入C的方程,得 ()2 2312525x x -+=, 即2 380x x --=,解得 1x =,2x = ∴ AB 的中点坐标123 22 x x x +==, ()121226 6255y y y x x +==+-=-, 即中点为36,25?? - ??? 。 注:用韦达定理正确求得结果,同样给分。 9. (上海文)22.(16分)已知椭圆2 22:1x C y m +=(常数1m >),点P 是C 上 的动点,M 是右顶点,定点A 的坐标为(2,0)。 (1)若M 与A 重合,求C 的焦点坐标; (2)若3m =,求||PA 的最大值与最小值; (3)若||PA 的最小值为||MA ,求m 的取值范围。 【解析】22.解:⑴ 2m =,椭圆方程为2 214 x y +=,c == ∴ 左.右焦点坐标为(。 ⑵ 3m =,椭圆方程为2 219 x y +=,设(,)P x y ,则 22222 2891||(2)(2)1()(33)9942 x PA x y x x x =-+=-+-=-+-≤≤ ∴ 9 4 x =时min 2||2PA =; 3x =-时max ||5PA =。 ⑶ 设动点(,)P x y ,则 2222 2 2 2 2 22 22124||(2)(2)1()5()11 x m m m PA x y x x m x m m m m m -=-+=-+-=--+-≤≤-- ∵ 当x m =时,||PA 取最小值,且22 10m m ->,∴ 2 221 m m m ≥-且1m > 解得112m <≤+。 10. (四川文)21.(本小题共l2分) 过点C (0,1)的椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3 ,椭圆与x 轴交于两 点(,0)A a 、(,0)A a -,过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ,并 与x 轴交于点P ,直线AC 与直线BD 交于点Q . (I )当直线l 过椭圆右焦点时,求线段CD 的长; (Ⅱ)当点P 异于点B 时,求证:OP OQ ?u u u r u u u r 为定值. 本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识,考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力. 解:(Ⅰ)由已知得3 1,c b a ==,解得2a =,所以椭圆方程为2214 x y +=. 椭圆的右焦点为(3,0),此时直线l 的方程为 3 1y x =-+,代入椭圆方程得 27830x x -=,解得12830,x x ==,代入直线l 的方程得 121 1,7 y y ==-,所以831(,)7 D -, 故2283116 ||( 0)(1)777 CD =-+--=. (Ⅱ)当直线l 与x 轴垂直时与题意不符. 设直线l 的方程为11(0)2 y kx k k =+≠≠且.代入椭圆方程得22(41)80k x kx ++=. 解得12280,41 k x x k -==+,代入直线l 的方程得2122141,41k y y k -==+, 所以D 点的坐标为2 22814(,)4141k k k k --++. 又直线AC 的方程为12x y +=,又直线BD 的方程为12(2)24k y x k +=+-,联立得 4, 2 1. x k y k =-?? =+? 因此(4,21)Q k k -+,又1 (,0)P k -. 所以1 (,0)(4,21)4OP OQ k k k ?=--+=u u u r u u u r . 故OP OQ ?u u u r u u u r 为定值. 11. (浙江文)(22)(本小题满分15分)如图,设P 是抛物线1C :2x y =上的 动点。过点P 做圆2C 1)3(:22=++y x 的两条切线,交直线l :3y =-于,A B 两点。 (Ⅰ)求2C 的圆心M 到抛物线 1C 准线的距离。 (Ⅱ)是否存在点P ,使线段AB 被抛物线1C 在点P 处得切 线平分,若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由。 【解析】(22)本题主要考查抛物线几何性质,直线与抛物线、 直线与圆的位置关系,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。满分15分。 (Ⅰ)解:因为抛物线C 1的准线方程为:1 4y =- 所以圆心M 到抛物线C 1准线的距离为:111 |(3)|.44 ---= (Ⅱ)解:设点P 的坐标为2 00(,)x x ,抛物线C 1在点P 处的切线交直线l 于点D 。 再设A ,B ,D 的横坐标分别为,,A B C x x x 过点2 00 (,)P x x 的抛物线C 1的切线方程为: 2 0002()y x x x x -=- (1) 当01x =时,过点P (1,1)与圆C 2的切线PA 为:15 1(1)8 y x -=- 可得17 ,1,1,215 A B D A B D x x x x x x =- ==-+≠ 当10-=x 时,过点P (—1,1)与圆C 2的切线PA 为:15 1(1)8 y x -=- 可得D B A D B A x x x x x x 2,1,15 17 ,1≠+== -= 17 ,1,1,215A B D A B D x x x x x x =- ==-+≠ 所以2 10x -≠ 设切线PA ,PB 的斜率为12,k k ,则 2 010:()PA y x k x x -=- (2) 2020:()PB y x k x x -=- (3) 将3y =-分别代入(1),(2),(3)得 222 00000012011 333(0);;(,0)2D A B x x x x x x x x x k k x k k -++=≠=-=--≠ 从而2 00 12 11 2(3)().A B x x x x k k +=-++ 又 2 0102 1 11 k =+ 即222220 10010(1)2(3)(3)10x k x x k x --+++-= 同理,2222 20 20020(1)2(3)(3)10x k x x k x --+++-= 所以12,k k 是方程2222 20 000(1)2(3)(3)10x k x x k x --+++-=的两个不相等的根,从而222000121222 002(3)(3)1 ,.11 x x x k k k k x x ++-+=?=-- 因为02x x x B A =+ 所以22000 120120 311111 2(3)(),.x x x k k x k k x --++=+=即 从而2 0022 02(3)1(3)1x x x x +=+- 进而得4 4008,8x x ==± 综上所述,存在点P 满足题意,点P 的坐标为4(8,22).± 12. (重庆文)21.(本小题满分12分。(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问8分) 如题(21)图,椭圆的中心为原点0,离心率e=2 ,一条准线的方程是22x = (Ⅰ)求该椭圆的标准方程; (Ⅱ)设动点P 满足:2OP OM ON =+u u u v u u u u v u u u v ,其 中M 、N 是椭圆上的点,直线OM 与ON 的斜率之积为1 2 -,问:是否存在定点F , 使得PF 与点P 到直线l :210x =的距离之比为定值;若存在,求F 的坐标,若不存在,说明理由。 【解析】21.(本题12分) 解:(I )由2 2,22,2c a e a c == = 解得2222,2,2a c b a c ===-=,故椭圆的标准方程为 22 1.42 x y += (II )设1122(,),(,),(,)P x y M x y N x y ,则由 2OP OM ON =+u u u r u u u u r u u u r 得 112212121212(,)(,)2(,)(2,2), 2,2. x y x y x y x x y y x x x y y y =+=++=+=+即 因为点M ,N 在椭圆2224x y +=上,所以 2222 112224,24x y x y +=+=, 故222222 12 1212122(44)2(44)x y x x x x y y y y +=+++++ 2222 112212121212(2)4(2)4(2) 204(2). x y x y x x y y x x y y =+++++=++ 设,OM ON k k 分别为直线OM ,ON 的斜率,由题设条件知 12121 ,2 OM ON y y k k x x ?==-因此121220,x x y y += 所以22220.x y += 所以P 221+ = 上的点,该椭圆的右焦点为F , 离心率:2 e l x = =直线是该椭圆的右准线,故根据椭圆的第二定义, 存在定点F ,使得|PF|与P 点到直线l 的距离之比为定值。 13. (安徽文)(17)(本小题满分13分) 设直线.02,,1:,1:21212211=+-=+=k k k k x k y l x k y l 满足其中实数 (I )证明1l 与2l 相交; (II )证明1l 与2l 的交点在椭圆222x +y =1上. 【解析】(17)(本小题满分13分)本题考查直线与直线的位置关系,线线相交的判断与证明,点在曲线上的判断与证明,椭圆方程等基本知识,考查推理论证能力和运算求解能力. 证明:(I )反证法,假设是l 1与l 2不相交,则l 1与l 2平行,有k 1=k 2,代入k 1k 2+2=0,得 .0221=+k 此与k 1为实数的事实相矛盾. 从而2121,l l k k 与即≠相交. (II )(方法一)由方程组???-=+=1 1 21x k y x k y 解得交点P 的坐标),(y x 为??? ? ???-+=-=.,2121212k k k k y k k x 而 .14 4228)()2(222 2212 221212122212122212122 1222=++++=-++++=-++-=+k k k k k k k k k k k k k k k k k k y x 此即表明交点.12),(22上在椭圆=+y x y x P (方法二)交点P 的坐标),(y x 满足 . 021 1,02.1,1.011212121=++?-=+??? ????+=-=≠?? ?=+=-x y x y k k x y k x y k x x k y x k y 得代入从而故知 整理后,得,122 2=+y x 所以交点P 在椭圆.1222上=+y x 14. (福建文)18.(本小题满分12分) 如图,直线l :y=x+b 与抛物线C :x 2 =4y 相切于点A 。 (I )求实数b 的值; (11)求以点A 为圆心,且与抛物线C 的准线相切的圆的方程. 。【解析】18.本小题主要考查直线、圆、抛物线等基 础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想,满分12分。 解:(I )由22, 4404y x b x x b x y =+?--=?=?得,(*) 因为直线l 与抛物线C 相切,所以2(4)4(4)0,b ?=--?-= 解得b=-1。 (II )由(I )可知21,(*)440b x x =--+=故方程即为, 解得x=2,代入24, 1.x y y ==得 故点A (2,1), 因为圆A 与抛物线C 的准线相切, 所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y=-1的距离, 即|1(1)|2,r =--= 所以圆A 的方程为22(2)(1) 4.x y -+-= 15. (湖北文)21.(本小题满分14分)平面内与两定点()1,0A a -、 ()2,0A a (0a >)连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹,加上A 、A 2两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线。 (Ⅰ)求曲线C 的方程,并讨论C 的形状与m 值的关系; (Ⅱ)当1m =-时,对应的曲线为1C ;对给定的),0()0,1(+∞-∈Y m ,对应的曲线为2C ,设1F 、2F 是2C 的两个焦点。试问:在1C 上,是否存在点N ,使得△ 1F N 2F 的面积2||S m a =。若存在,求tan 1F N 2F 的值;若不存在,请说明理由。 【解析】21.本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识,同时考查推理 运算的能力,以及分类与整合和数形结合的思想。(满分14分) 解:(I )设动点为M ,其坐标为(,)x y , 当x a ≠±时,由条件可得12 2 22 ,MA MA y y y k k m x a x a x a ?=?==-+- 即222()mx y ma x a -=≠±, 又12(,0),(,0)A a A A -的坐标满足222,mx y ma -= 故依题意,曲线C 的方程为222.mx y ma -= 当1,m <-时曲线C 的方程为22 22 1,x y C a ma +=-是焦点在y 轴上的椭圆; 当1m =-时,曲线C 的方程为222x y a +=,C 是圆心在原点的圆; 当10m -<<时,曲线C 的方程为22 22 1x y a ma +=-,C 是焦点在x 轴上的椭圆; 当0m >时,曲线C 的方程为22 22 1,x y a ma - =C 是焦点在x 轴上的双曲线。 (II )由(I )知,当m=-1时,C 1的方程为222;x y a += 当(1,0)(0,)m ∈-+∞U 时, C 2 的两个焦点分别为12((F F - 对于给定的(1,0)(0,)m ∈-+∞U , C 1上存在点000(,)(0)N x y y ≠使得2||S m a =的充要条件是 2220002 0,0,12|||.2 x y a y y m a ?+=≠? ??=?? 由①得00||,y a <≤ 由②得0||y = 当0,0,a m < ≤≤< 或102 m +<≤时, 存在点N ,使S=|m|a 2; ,a >即 或12 m +>时, 不存在满足条件的点N , 当m ??∈? ? ????U 时, 由100200(),(,)NF x y NF x y =--=-u u u r u u u u r , 可得222 21200(1),NF NF x m a y ma ?=-++=-u u u r u ① ② 令112212||,||,NF r NF r F NF θ==∠=u u u r u u u u r , 则由22 121212cos ,cos ma NF NF r r ma r r θθ ?==-=-u u u r u u u u r 可得, 从而22121sin 1 sin tan 22cos 2 ma S r r ma θθθθ==- =-, 于是由2||S m a =, 可得2212||tan ||,tan .2m ma m a m θθ-==-即 综上可得: 当m ?∈?? ?? 时,在C 1上,存在点N ,使得2 12||,tan 2;S m a F NF ==且 当10,2m ?∈ ? ?时,在C 1上,存在点N ,使得2 12||,tan 2;S m a F NF ==-且 当11(1,(,)22 m -+∞U 时,在C 1上,不存在满足条件的点N 。 16. (湖南文)21.(本小题满分13分) 已知平面内一动点P 到点(1,0)F 的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1. (Ⅰ)求动点P 的轨迹C 的方程; (Ⅱ)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线12,l l ,设1l 与轨迹C 相交于点 ,A B ,2l 与轨迹C 相交于点,D E ,求,AD EB u u u r u u u r 的最小值. 【解析】21.解析:(I )设动点P 的坐标为(,)x y , || 1.x = 化简得222||,y x x =+ 当20,4;0x y x x ≥=<时当时,y=0.、 所以动点P 的轨迹C 的方程为2,4(0)0)y x x x =≥<和y=0(. (II )由题意知,直线1l 的斜率存在且不为0,设为k ,则1l 的方程为 (1)y k x =-. 由2(1)4y k x y x =-??=?,得2222(24)0.k x k x k -++= 设1122(,),(,),A x y B x y 则12,x x 是上述方程的两个实根,于是 121224 2,1x x x x k +=+=. 因为12l l ⊥,所以2l 的斜率为1 k -. 设3344(,),(,),D x y B x y 则同理可得2343424,1x x k x x +=+= 故 12123434()1()1x x x x x x x x =+++++++ 当且仅当2 21k k =即1k =±时,AD EB ?u u u r u u u r 取最小值16. 17. (广东文)21.(本小题满分14分) 在平面直角坐标系xOy 中,直线:2l x =-交x 轴于点A ,设P 是l 上一点,M 是线段OP 的垂直平分线上一点,且满足∠MPO=∠AOP (1)当点P 在l 上运动时,求点M 的轨迹E 的方程; (2)已知T (1,-1),设H 是E 上动点,求HO +HT 的最小值,并给出此时点H 的坐标; (3)过点T (1,-1)且不平行与y 轴的直线l 1与轨迹E 有且只有两个不同 的交点,求直线1l 的斜率k 的取值范围。 【解析】21.(本小题满分14分) 解:(1)如图1,设MQ 为线段OP 的垂直平分线,交OP 于点Q , ,,||||.MPQ AOP MP l MO MP ∠=∠∴⊥=Q 且 因此22|2|,x y x +=+即 24(1)(1).y x x =+≥- ① 另一种情况,见图2(即点M 和A 位于直线OP 的同侧)。 Q MQ 为线段OP 的垂直平分线, .MPQ MOQ ∴∠=∠ 又,.MPQ AOP MOQ AOP ∠=∠∴∠=∠Q 因此M 在x 轴上,此时,记M 的坐标为(,0).x 为分析(,0)M x x 中的变化范围,设(2,)P a -为l 上任意点().a R ∈ 由||||MO MP = (即22||(2)x x a =++ 21 1 1.4 x a =--≤- 故(,0)M x 的轨迹方程为 0,1y x =≤- ② 综合①和②得,点M 轨迹E 的方程为 2 4(1),1,0, 1.x x y x +≥-?=? <-? 18. (江苏)18.如图,在平面直角坐标系xOy 中,M 、N 分别是椭圆12 42 2=+y x 的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点,其中P 在第一象限,过P 作x 轴的垂线,垂足为C ,连接AC ,并延长交椭圆于点B ,设直线PA 的斜率为k (1)当直线PA 平分线段MN ,求k 的值; (2)当k=2时,求点P 到直线AB 的距离d ; (3)对任意k>0,求证:PA ⊥PB 【解析】18.本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂 直关系、点到直线的距离等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力,满分16分. 解:(1)由题设知,),2,0(),0,2(,2,2--==N M b a 故所以线段MN 中点 的坐标为)2 2 ,1(- -,由于直线PA 平分线段MN ,故直线PA 过线段MN 的中点,又直线PA 过坐标原点,所以.2 2122=-- = k (2)直线PA 的方程22 21,42 x y y x =+ =代入椭圆方程得 解得).3 4 ,32(),34,32(,32--±=A P x 因此 于是),0,3 2(C 直线AC 的斜率为 .032,13 232340=--=++ y x AB 的方程为故直线 .32 21 1| 323432|,21=+--=d 因此 (3)解法一: 将直线PA 的方程kx y =代入 22221,421212x y x k k μ+==++解得记 则)0,(),,(),,(μμμμμC k A k P 于是-- 故直线AB 的斜率为 ,20k k =++μμμ 其方 程为 , 0)23(2)2(),(2 22222=+--+-=k x k x k x k y μμμ代入椭圆方程得 解得223 222 (32)(32)(,)222k k k x x B k k k μμμμ++==-+++或因此. 于是直线PB 的斜率.1) 2(23) 2(2)23(222232 22 3 1k k k k k k k k k k k k -=+-++-= ++-+= μμμ 因此.,11PB PA k k ⊥-=所以 解法二: 设)0,(),,(,,0,0),,(),,(11121212211x C y x A x x x x y x B y x P --≠>>则. 设直线PB ,AB 的斜率分别为21,k k 因为C 在直线AB 上,所以.2 2)()(0111112k x y x x y k ==---= 从而 1) () (212112*********+----?--? =+=+x x y y x x y y k k k k .044)2(1222 1222122222221222122=--=-+=+--=x x x x y x x x y y 因此.,11PB PA k k ⊥-=所以 高中数学专题-集合的概念及其基本运算 【考纲考点剖析】 考 点 考纲内容 5年统计 分析预测 1.集合间的 基本关系 1.了解集合、元素的含义及其关系。 2.理解全集、空集、子集的含义, 及集合之间的包含、相等关系。 3.掌握集合的表示法 (列举法、描述法、Venn 图)。 1.集合交、并、补的运算是考查的热点; 2.集合间的基本关系 很少涉及; 3.题型:选择题 4.备考重点: (1) 集合的交并补的混合运算; (2) 以其他知识为载体考查集合之间的关系; (3) 简单不等式的解法. 2.集合的基 本运算 1.会求简单集合的并集、交集。 2.理解补集的含义,且会求补集。 【知识清单】 1.元素与集合 (1)集合元素的特性:确定性、互异性、无序性. (2)集合与元素的关系:若a 属于集合A ,记作a A ∈;若b 不属于集合A ,记作b A ?. (3)集合的表示方法:列举法、描述法、图示法. (4)常见数集及其符号表示 数集 自然数 集 正整数 集 整数集 有理数 集 实数集 符号 N N *或 N + Z Q R 2.集合间的基本关系 (1)子集:对于两个集合A 与B ,如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,我们就说集合 A 包含于集合 B ,或集合B 包含集合A ,也说集合A 是集合B 的子集。记为A B ?或B A ?. (2)真子集:对于两个集合A 与B ,如果A B ?,且集合B 中至少有一个元素不属于集合A ,则称集合A 是集合B 的真子集。记为A B ?≠. (3)空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集. (4)若一个集合含有n 个元素,则子集个数为2n 个,真子集个数为21n -. 3.集合的运算 (1)三种基本运算的概念及表示 名称 交集 并集 补集 数学 语言 A∩B={x|x ∈A,且x ∈B} A ∪B={x|x ∈A,或x ∈B} C U A={x|x ∈ U,且x ?A} 图形 语言 (2)三种运算的常见性质 A A A =I , A ?=?I , A B B A =I I , A A A =U , A A ?=U , A B B A =U U . (C A)A U U C =,U C U =?,U C U ?=. A B A A B =??I , A B A B A =??U , ()U U U C A B C A C B =U I , ()U U U C A B C A C B =I U . 【重点难点突破】 考点1 集合的概念 【1-1】【全国卷II 理】已知集合,则中元素的 个数为 A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A l立体几何知识点整理(文科)l // m l //m m 直线和平面的三种位置关系:一.αl 1. 线面平行 方法二:用面面平行实现。l//l //αl符号表示: 2. 线面相交βl lαAα方法三:用平面法向量实现。符号表示: n 为平若面线在面内3. 的一个法向量,ln n l ll //且。,则l αα符号表示: 二.平行关系:线线平行:1.方法一:用线面平行实现。3. 面面平行:l mβl //l方法一:用线线平行实现。l'l // ml m'αl // l 'm m // m'm//且相交l , m且相交l ' , m'方法二:用面面平行实现。//l βl // mlγm m α方法二:用线面平行实现。 方法三:用线面垂直实现。 l // l, m l // m //m //若。,则l l , m且相交mβ方法四:用向量方法:m l l // m。若向量和向量共线且l、m不重合,则α 2.线面平行: 方法一:用线线平行实现。1/11 l C A方法三:用向量方法: Bα l m l m ,则的数量积为和向量若向量0。三.垂直关系: 夹角问题。三.线面垂直:1.异面直线所成的角:一)(方法一:用线线垂直实现。(0 ,90 ]范围:(1) ACl ABl 求法:(2)P n l ABAC A方法一:定义法。AθO AC, ABα:平移,使它们相交,找到夹角。步骤1 方法二:用面面垂直实现。)常用到余弦定理步骤2:解三角形求出角。( 余弦定理:βl lm a c222c ab l m, l m cosθ2ab bα )计算结果可能是其补角( 面面垂直:2.方法二:向量法。转化为向量 方法一:用线面垂直实现。 C的夹角βl lθl:)(计算结果可能是其补角 BA AB ACαcos AB AC方法二:计算所成二面角为直角。 线面角)(二线线垂直:3. 上任取一点(1) 定义:直线l ,作(交点除外)P方法一:用线面垂直实现。 内,则连结AO AO 为斜线PA 在面于O,PO l l m PAO 图中(与面)为直线l l所成的角。的射影,m 平面解析几何 一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-(111(,)P x y 、222(,)P x y ). 2.直线的五种方程 (1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ,且斜率为k ). (2)斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < (4)截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距,0a b ≠、). (5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠; < ②1212120l l A A B B ⊥?+=; 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l :0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程 (1)圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. (2)圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +->0).圆心??? ??--2,2E D ,半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1,O 2,半径分别为r 1,r 2,d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ; 解析几何练习题 一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行,则实数a 等于( ) A 、12 B 、12 - C 、13 D 、13 - 3.若直线,直线与关于直线对称,则直线的斜率为 ( ) A . B . C . D . 4.在等腰三角形AOB 中,AO =AB ,点O(0,0),A(1,3),点B 在x 轴的正半轴上,则直线AB 的方程为( ) A .y -1=3(x -3) B .y -1=-3(x -3) C .y -3=3(x -1) D .y -3=-3(x -1) 5.直线对称的直线方程是 ( ) A . B . C . D . 6.若直线与直线关于点对称,则直线恒过定点( ) 32:1+=x y l 2l 1l x y -=2l 2 1 2 1-22-02032=+-=+-y x y x 关于直线032=+-y x 032=--y x 210x y ++=210x y +-=()1:4l y k x =-2l )1,2(2l A . B . C . D . 7.已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0,且在y 轴上的截距为3 1,则m ,n 的值分别为 A.4和3 B.-4和3 C.- 4和-3 D.4和-3 8.直线x-y+1=0与圆(x+1)2+y 2=1的位置关系是( ) A 相切 B 直线过圆心 C .直线不过圆心但与圆相交 D .相离 9.圆x 2+y 2-2y -1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是( ) A.(x -2)2 +(y+3)2 =1 2 B.(x -2)2+(y+3)2=2 C.(x +2)2 +(y -3)2 =1 2 D.(x +2)2+(y -3)2=2 10.已知点在直线上移动,当取得最小值时,过点引圆的切线,则此切线段的长度为( ) A . B . C . D . 11.经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ,使点P 为弦AB 的中点,则 弦AB 所在直线方程为( ) A .50x y --= B .50x y -+= C .50x y ++= D .50x y +-= 0,40,22,44,2(,)P x y 23x y +=24x y +(,)P x y 22111()()242 x y -++ =2 321 22 第8章 第1节 一、选择题 1.(2010·崇文区)“m =-2”是“直线(m +1)x +y -2=0与直线mx +(2m +2)y +1=0相互垂直”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m =-2时,两直线-x +y -2=0、-2x -2y +1=0相互垂直;两直线相互垂直时,m(m +1)+2m +2=0,∴m =-1或-2,故选A. 2.(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x -2y -2=0平行的直线方程是( ) A .x -2y -1=0 B .x -2y +1=0 C .2x +y -2=0 D .x +2y -1=0 [答案] A [解析] 解法1:所求直线斜率为12,过点(1,0),由点斜式得,y =12(x -1),即x -2y -1=0. 解法2:设所求直线方程为x -2y +b =0, ∵过点(1,0),∴b =-1,故选A. (理)设曲线y =ax2在点(1,a)处的切线与直线2x -y -6=0平行,则a =( ) A .1 B.12 C .-12 D .-1 [答案] A [解析] y′=2ax ,在(1,a)处切线的斜率为k =2a , 因为与直线2x -y -6=0平行,所以2a =2,解得a =1. 3.点(-1,1)关于直线x -y -1=0的对称点是( ) A .(-1,1) B .(1,-1) C .(-2,2) D .(2,-2) [答案] D [解析] 一般解法:设对称点为(x ,y),则高中数学专题-集合的概念及其基本运算
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