1.1 某公共汽车站停放着两辆公共汽车A 和B ，从1=t 秒开始，每隔1秒有一乘客
到达车站。如果每一乘客以概率21登上A 车，以概率21
登上B 车，各乘客登哪一辆
车是相互统计独立的，并用j ξ代表j t =时乘客登上A 车的状态，即乘客登上A 车则
1=j ξ，乘客登上B 车则0=j ξ，即{}21
1==j P ξ,{}
2
10==j P ξ，当n t =时在A 车上的乘客数为
∑==n
j j n 1
ξη
n η是一个二项式分布的计算过程。
（1） 求n η的概率分布，即{}；
n k k P n ,,2,1,0? ===η （2） 当公共汽车A 上到达10个乘客时，A 即开车（例如21=t 时921=η，且22
=t 时又有一个乘客登上A 车，则22=t 时A 车出发），求A 车的出发时间n 的概率分布。
(1) 解：n t =时在A 车上的乘客数n η服从二项分布，即
{}{}(){}()
),,2,1,0(2101n k C P P C k P n
k n k
n j k
j k
n
n =?
?
? ??=====-ξξη
(2) 解： A 车的出发时间t 服从负二项分布。设在n 时刻第10位乘客登上A 车，即A 车出发时间n t =，那么在前1-n 个时刻登上A 车的乘客数为9，登上B 车的乘客数为10-n ；若设乘客登A 车概率为p (=1/2)，登B 车概率为q (=1/2)，则随机变量n t =的概率为
{}(
)n
n n n C p q
p C n t P ?
?
? ??=
=
=---219110
991
其中， ,12,11,10=n 。
1.2 设有一采用脉冲调制以传递信息的简单通信系统。脉冲的重复周期为T ，每个周期传递一个值；脉冲宽度受到随机信息的调制，每个脉冲的宽度均匀分布于（0，T ）内，而且不同周期的脉宽是相互统计独立的随机统计变量；脉冲的幅度为常数A 。也就是说，这个通信系统传送的信号为随机脉宽等幅度的周期信号，它是一随机过
程)(t ξ。图1-2给出了它的样本函数。求：(1) )(t ξ的一维概率密度函数)()(x f t ξ。(2)
)(t ξ的二维概率密度函数)()(x f t ξ。
图1-2 题1.2的样本函数
(1) 解：因为)(t ξ的每个周期内的脉宽是服从同一均匀分布的随机变量，且各周期间是统计独立的，所以)(t ξ的一维概率密度函数)()(x f t ξ是以T 为周期的周期函数。显然，)(t ξ只取A 和0两个值。因此，)(t ξ的一维概率密度函数可以表示为
)(}0)(Pr{)(})(Pr{)()(x t A x A t x f t δξδξξ=+-==
假设),2,1,'0()1(' =≤≤-+=n T t T n t t ，则在第n 个周期中
T
T
n t T t d T t A t nT
t T n n n )1(111}'Pr{})(Pr{')1(---='-==≥==?
+-ηηξ
同理可得
T
T
n t t t n )1(}'Pr{}0)(Pr{--=
<==ηξ 于是，)(t ξ的一维概率密度函数为
)()1()()1(1)()(x T T n t A x T T n t x f t δδξ--+-??
?
???---= 其中， ,2,1,)1(=≤≤-n nT t T n 。 (2) 解：求二维概率密度函数分成两种情况：
第一种情况：1t 和2t 不在同一周期内，由于不同周期内取值相互统计独立，所以二维概率密度函数为
T
2T
3T
t
?
?????--+-?????---??
?????--+-?????---=)()1()()1(1)()1()()1(1),;,(2222111
12121)(x T T
n t A x T T n t x T T
n t A x T T n t t t x x f t δδδδξ
其中，),2,1()1(1 =+≤≤n T n t nT ，),2,1()1( =+≤≤m T m t mT ，并且m n ≠。
第二种情况：1t 和
2
t
在同一周期内，再分成三种情况(脉冲沿指下降沿)：
A ：脉冲沿在],[1t nT 间；
B ：脉冲沿在],[21t t 间；
C ：脉冲沿在])1(,[2T n t +间。
相应的概率为
T
nT t dt T A P t nT -==?
11
1
)( 同理可得
T
t t B P 1
2)(-=
T
t T n C P 2
)1()(-+=
相应的条件概率为
)()(),;,(1212121|x x x t t x x f A -?=δδξ
即1}0,0{21===x x P 。类似可得
)()(),;,(212121|x A x t t x x f B δδξ?-= )()(),;,(1212121|x x A x t t x x f C -?-=δδξ
于是，
T
t T n x x A x T t t x A x T nT t x x x C P t t x x f B P t t x x f A P t t x x f t t x x f C B A t 2
121122*********|2121|2121|2121)()1()()()()()
()()(),;,()(),;,()(),;,()
,;,(-+--+--+--=++=δδδδδδξξξξ
1.3 设有一随机过程)(t ξ，它的样本函数为周期性的锯齿波。图题1-3画出了一个样本函数图。各样本函数具有同一形式的波形，其区别仅在于锯齿波的起点位置不同。设在t =0后的第一个零值点位于0τ，0τ是一个随机变量，它在(0，T )内均匀分布，即
??
??
?≤≤=其它值
,00,
1)(0T t T t f τ
若锯齿波的幅度为A ，求随机过程)(t ξ的一维概率密度。
图题1-3
解：显然，)(x f t ξ是t 的周期函数，且周期为T 。设t=t’+(n -1)T T t ≤≤'0(，),2,1 =n 。所以，t ’或者落在],0[0τ上或者落在],[0T τ上。设
x t =)(ξ
当],0['0τ∈t 时，
A
x
T t T =--)'(0τ
由此可得
x A
T
T t -
+=)'(0τ 于是，
?
????≤≤==其它值
,
00,1
)()(0A x A dx dy y f x f t τξ
同理当],['0T t τ∈时也有上式。因此
t
??
??
?≤≤=其它值
,00,
1)(A x A x f t ξ
上式对于所有0≥t 成立。 1.4 设有随机过程
t t t ωηωξζsin cos )(+= )(+∞<<-∞t
其中，ω为常数，且0>ω，ξ和η是随机变量，且相互统计独立，它们的概率密度为
???
?
??-=2exp 21
)(2x x f πξ )(+∞<<-∞x ???
?
??-=2exp 21
)(2y y f πη )(+∞<<-∞y 即ξ和η是正态分布N(0，1)随机变量。若把)(t ζ写成)sin()(φ?ζ+=t V t 的形式，
（1） 求)(v f V 、)(??f 及),(??v f V ，问V 和φ是否统计独立。 （2） 画出)(t ζ的典型样本函数； （3） 求)(t ζ的一维概率密度)(z f t ?
（4） 设有事件A ，?
????
?>?=?
c t t A ?
π?π
?
/0
2d )(2，其中c 为常数，求出现A 事件
的概率P(A)。
(1) 解：将)sin()(φ?ζ+=t V t 展开得
φ?φ?ζcos sin sin cos )(t V t V t +=
因此，
???
?
?==φ
ηφξcos sin V V 由此可得雅可比为
V V V V J =-=
??=
φ
φφ
φ
φηξsin cos cos sin ),(),(
由于ξ和η是相互统计独立的随机变量，所以
???
?
??+-
=2exp 21
),(22,y x y x f πηξ 于是V 和φ的联合概率密度函数为
?
?
???<<-≥???
?
??-==对于其它值对于,0,0,2exp 2),(),(2,,πφππφηξφv v v J y x f v f V 做边缘积分得
0,2exp )(2
>???
?
??-
=v v v v f V πφππ
φφ≤≤-=
,21)(f
由此可见，
)()(),(,φφφφf v f v f V V =
所以，V 和φ是相互统计独立的。
(a)
(b)
(2) 解：设1=ω，则当4,1πφ==V 时，样本函数为（a ），当2,1.0πφ==V 时，样本函数为(b)。 (3) 解：因为
t t t ?η?ξζsin cos )(+=
其中，ξ和η都是正态分布的随机变量，对于任意t ，)(t ζ是ξ和η的线性组合，所以
)(t ζ仍是正态分布。显然
0)}({=t E ζ ，1)}({2=t E ζ
所以，)(t ζ的概率密度函数为
???
?
??-=2exp 21
)(2z z f t π? )(+∞<<-∞z 解决此题的另一种方法是设辅助变量，即设
???
?
?-=+=θ
ηθξθηθξcos sin sin cos B A 雅可比为
1cos sin sin cos ),().,(=-=
??=θ
θ
θ
θηξB A J
于是，
??
?
???????+-=??
?
???????+-??????????--=
=2exp 212)sin cos (exp 212)cos sin (exp 21
1)
,(),(222122122121,21,y y y y y y J
x x f y y f B A πθθπθθπηξ
因此，)(t ζ的概率密度函数为
??
?
??????-==2exp 21
)()(2y y f y f A π?
(4) 解：事件A 为
{}
c
c t t t c t t t t c t t A >+=??
???
??
??
?>????????--++=?
?
?
???>++=?
?
???
?>=??22/0
2222/0
2222/0
22cos 22sin 422d ]2sin sin cos [2d )(2ηξω?ξη
ω?ηξηξπ?ωξηωηωξπ?ζπ??
π?
π?
π
所以，
}{}{}{222c V P c P A P >=>+=ηξ
由本题(1)的结论可知V 服从瑞利分布，相应的V 2服从指数分布，因此
2d )2
exp(21}{c
c
e x x
A P -∞+=-=?
1.5 求1.4题给出的随机过程)(t ζ的均值和自相关函数。 解：因为
0][][==ηξE E
所以，
]sin cos E[)](E[t t t ωηωξζ+=t E t E ωηωξsin ][cos ][+== 0
相关函数为
),(R 21t t ζ
)]sin cos )(sin cos E[(2211t t t t ωηωξωηωξ++=
)sin cos sin ](cos [sin sin ][cos cos ][2112212212t t t t E t t E t t E ωωωωξηωωηωωξ+++= 因为ξ和η相互统计独立，所以，0][][][==ηξξηE E E ，且1][][22==ηξE E ，于是
2121,cos ),(R t t t t -==τωτζ
实际上，由于ξ和η是随机变量，而不是随机过程。所以相关函数为常数，功率
谱为冲激函数。这说明)(t ζ的功率谱为在ω±处的两个冲激，即相关函数为ωτcos 。 1.6 设有随机过程)(t ξ，并设x 为一实数，定义另一随机过程)(t η
??
?≥=<=)
)((0
)()
)((1)(x t t x t t ξηξη
试证：)(t η的均值和自相关函数分别为随机过程)(t ξ的一维和二维分布函数。 证明：)(t η的均值为
)(})({}1)({}0)({0}1)({1)]([x F x t P t P t P t P t E ξξηηηη=<====?+=?=
)(t η的自相关函数为
)
)(,)((}1)(,1)({}
)(,)({)]()([221121101
2121x t x t F t t P j t i t jP i t t E i j <<======?=∑∑==ξξηηηηηηξ
1.7 设有随机过程},)({∞<<∞-t t ξ，t t cos )(ηξ=。其中η为均匀分布于(0, 1)间的随机变量，即
??
?<≤=)
(0)
10(1)(值其它y y y f η 试证：（a ）2121cos cos 31
),(t t t t R =ξξ
（b ）2121cos cos 12
1
),(t t t t C =ξξ
证明：易得
2
1
][=
ηE ，31][2=ηE
按定义，相关函数为
212122121cos cos 3
1
cos cos }{}cos cos {),(t t t t E t t E t t R ===ηηηξξ
协方差函数为
]}cos )2/1][(cos )21{[(),(2121t t E t t C --=ηηξξ
212cos cos 41t t E ??????
+-=ηη
21cos cos 412131t t ???
??+-= 21cos cos 12
1
t t =
1.8 设有一随机过程ξ (t )作为图题1-8所示的线性系统的输入，系统的输出为η (t )，若ξ (t )的相关函数为),(21t t R ξξ，试求输出随机过程η (t )的自相关函数（用输入过程的相关函数表示）。
图题1-8
解：输出随机过程η (t )的自相关函数为
)}()({),(2121t t E t t R ηηηη=
)]}()()][()({[2211T t t T t t E ----=ξξξξ
)]()()()()()()()([21212121T t T t T t t t T t t t E --+----=ξξξξξξξξ
),(),(),(),(21212121T t T t R T t t R t T t R t t R --+----=ξξξξξξξξ
若ξ (t )为平稳随机过程，则)(),(21τξξξR t t R =，其中，12t t -=τ。于是η (t )的自相关函数为
)()()(2)(T R T R R R --+-=ττττξξξξξξη
)
(t